= 5 cos(2π500t π/2) + 9 cos(2π900t + π/3) cos(2π1400t) (9) H(f) = 4.5, αλλού

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.5/10.0 Θέµα 1ο - 5 µονάδες Εστω το περιοδικό σήµα xt cosπ500t π/ + cosπ900t + π/3 + cosπ1400t 1 αʹ 5 µ. Υπολογίστε την περίοδο του σήµατος. ϐʹ 10 µ. Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του. γʹ 10 µ. Αν το παραπάνω σήµα δοθεί ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστηµα που περιγράφεται ως {.5, f < 600 Hz Hf 4.5, αλλού τότε ποιά είναι η έξοδος yt; αʹ Η περίοδος του σήµατος υπολογίζεται εύκολα πρώτα µέσω της ϑεµελιώδους συχνότητας, δηλ. f 0 Μ.Κ. {500, 900, 1400} 100 Hz 3 Η περίοδος ισούται µε T 0 1 f s. ϐʹ Το σήµα γράφεται ως xt cosπ500t π/ + cosπ900t + π/3 + cosπ1400t 4 e jπ/ e jπ500t + e jπ/ e jπ500t + e jπ/3 e jπ900t + e jπ/3 e jπ900t + 1 ejπ1400t + 1 e jπ1400t 5 τα ϕασµατα ϑα είναι όπως στο Σχήµα 1. γʹ Προφανώς το σύστηµα γράφεται ως Hf {.5, 600 < f < , f < 600 και f > yt.5e jπ/ e jπ500t +.5e jπ/ e jπ500t + 4.5e jπ/3 e jπ900t e jπ/3 e jπ900t ejπ1400t e jπ1400t 8 5 cosπ500t π/ + 9 cosπ900t + π/ cosπ1400t 9

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση X k f X k / / f /3 / Σχήµα 1: Φάσµατα Θέµατος 1. Θέµα ο - 5 µονάδες είξτε ότι ο µετασχ. Fourier του περιοδικού σήµατος για T 0 4 είναι xt Xf 1 t kt0 rect k sinc δ f k αʹ 1ος τρόπος : Μπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε το µετασχ. Fourier του περιοδικού σήµατος ϐρίσκοντας το µετασχ. Fourier µιας περιόδου του σήµατος και δειγµατοληπτώντας το ανά kf 0. Μια περίοδος του σήµατος γράφεται ως t xt, T 0 rect 1 και έχει µετασχ. Fourier Η σχέση Xf, T 0 sincf 13 X k 1 Xf, T 0 1 T 0 fkf0 4 sinck/4 1 k sinc µας δίνει τους συντελεστές Fourier του περιοδικού σήµατος. Ετσι, το περιοδικό σήµα ϑα έχει συντελεστές Fourier ως Xf X k δf kf 0 1 k sinc δ f k

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 3 ϐʹ ος τρόπος : Το περιοδικό σήµα µπορεί να γραφεί ως xt xt, T 0 δ T0 t 16 µε xt, T 0 rectt/ 17 δ T0 t γιατί xt xt, T 0 δ T0 t rectt/ από την ιδιότητα της συνάρτησης έλτα δt kt 0 18 δt kt 0 19 t rect δt kt 0 0 t kt0 rect 1 xt δt t 0 xt t 0 Κάνοντας µετασχ. Fourier στην Εξίσωση 19, έχουµε { Xf F rectt/ { + F {rectt/}f } δt kt 0 } δt kt 0 αφού η συνέλιξη στο χρόνο γίνεται γινόµενο στη συχνότητα. Από γνωστά Ϲεύγη Xf sincf 1 T 0 T 0 + T δ f k T 0 sincfδ f k T 0 k sinc δ f k T 0 T αφού Τέλος, για T 0 4 έχουµε Xf 4 Xfδf f 0 Xf 0 δf f 0 8 k sinc δ f k k sinc δ f k 4 9

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 4 Θέµα 3ο - 5 µονάδες Εστω η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήµατος ως αʹ 10 µ. Υπολογίστε την απόκριση σε συχνότητα Hf. ϐʹ 10 µ. Βρείτε και σχεδιάστε την απόκριση πλάτους, Hf. ht δt e t ut 30 γʹ 5 µ. είξτε ότι η έξοδος του συστήµατος αν στην είσοδο εµφανιστεί το σήµα xt cost 31 ϑα είναι yt cos t + π 3 αʹ αʹ 1ος τρόπος : Η απόκριση σε συχνότητα είναι ο µετασχ. Fourier της κρουστικής απόκρισης. Hf F {1} F {e t 1 ut} jπf 1 + jπf 1 + jπf 1 + jπf 1 + jπf 33 ϐʹ ος τροπος : Η συνάρτηση µεταφοράς δίνεται ως Hs L{1} L{e t ut} 1 1 s + 1 s + 1 s + 1 s 1, R{s} > 1 34 s + 1 Ο ϕανταστικός άξονας περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης άρα µπορούµε να ϐρούµε Hf Hs jπf 1 sjπf jπf ϐʹ αʹ 1ος τρόπος : Η απόκριση πλάτους είναι Hf 1 + jπf 1 + jπf 1 jπf 1 + jπf 1 jπf 1 + jπf 1 36 αφού 1 jπf 1 + jπf και zf z f. Η απόκριση πλάτους ϕαίνεται στο Σχήµα. ϐʹ ος τρόπος - δε συνίσταται : Εχουµε Hf 1 + jπf1 jπf 1 + jπf 1 jπf 1 + 4π f 37 1 j4πf 4π f 4π f π f 1 + 4π f + j 4πf 1 + 4π f 38 X R f + jx I f 39 Hf X R f + X I f 4π f 1 4πf + 4π f 4π f π f 4πf π f 1 + 4π f π f 1 + 4π f 1 41 Η απόκριση πλάτους ϕαίνεται στο Σχήµα.

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 5 H f 1 0 f Σχήµα : Απόκριση Πλάτους Θέµατος 3. γʹ αʹ 1ος τρόπος : Η είσοδος είναι περιοδική, ξέρουµε ότι η έξοδος ϑα είναι της µορφής yt Hf 0 cosπf 0 t + Hf 0 4 µε f 0 1 π. Ξέρουµε ότι Hf 1, για κάθε f, µένει να ϐρούµε τη ϕάση H 1. π Είναι 1 H j 1 j 11 j j π j + 1 j + 1 j ejπ/ 43 Ετσι, η έξοδος ϑα είναι 1 H π/ 44 π yt cos t + π ϐʹ ος τρόπος : Η είσοδος έχει µετασχ. Fourier Xf δ f 1 π + δ f + 1 π και ξέρουµε ότι η έξοδος του συστήµατος στο χώρο της συχνότητας σχετίζεται µε την είσοδο ως [ Y f XfHf δ f 1 + δ f + 1 ] [ 1 + jπf ] 47 π π 1 + jπf και από τη σχέση ϑα έχουµε [ 1 + jπf ] Y f 1 + jπf 1 + j 1 + j δ f 1 π Εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι Xfδf f 0 Xf 0 δf f 0 48 f1/π δ f 1 + π + 1 j 1 j δ f + 1 π [ 1 + jπf ] 1 + jπf f 1/π δ f + 1 π j j ejπ/ 51 1 j e jπ/ 1 j 5

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 6 Y f e jπ/ δ f 1 π και γυρίζοντας πίσω στο χρόνο + e jπ/ δ f + 1 π Y f e jπ/ e jt + e jπ/ e jt cos t + π Θέµα 4ο - 0 µονάδες Εστω το ΓΧΑ σύστηµα της µορφής Hs s s + 1 s + s αʹ 5 µ. Για ποιό πεδίο σύγκλισης είναι το σύστηµα ευσταθές και αιτιατό ; ϐʹ 7.5 µ. Εχει το σύστηµα αυτό ευσταθές και αιτιατό αντίστροφο σύστηµα ; Αν όχι, εξηγήστε. Αν ναι, ϐρείτε το. γʹ 7.5 µ. Γράψτε µια διαφορική εξίσωση που περιγράφει το σύστηµα αυτό. αʹ Οι πόλοι του συστήµατος ϐρίσκονται στις ϑέσεις s, s 1. Για να είναι ευσταθές το σύστηµα 4 πρέπει το πεδίο σύγκλισης να περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. Για να είναι αιτιατό πρέπει το πεδίο σύγκλισης να είναι δεξιόπλευρο. Οι δυο αυτές ιδιότητες ικανοποιούνται για Re{s} > ϐʹ Το αντίστροφο σύστηµα δίνεται ως H inv s s + s s s και έχει πόλους στις ϑέσεις s, s 1. Αφού υπάρχει πόλος στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο s το σύστηµα αυτό δεν µπορεί να είναι ευσταθές και αιτιατό. γʹ Εχουµε Hs s s + 1 s + s s + s s s s + s + 1 Hs Y s Xs s s s s + 1 και επιστρέφοντας στο χρόνο s s s s s s + 1 Y s s s Xs 59 d dt yt + 9 d 4 dt yt + 1 d yt dt xt d xt xt 60 dt Θέµα 5ο - 5 µονάδες Βρείτε το ϱυθµό Nyquist για το σήµα xt sinc 3 4 t 61

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τελική Εξέταση 7 Χρειαζόµαστε τη µέγιστη συχνότητα του σήµατος. Το σήµα xt µπορεί να γραφεί ως xt sinc 3 4 t sinc4 tsinc4 tsinc4 t 6 Η µετατόπιση κατά t 0 4 δεν παίζει ϱόλο στη µέγιστη συχνότητα, το σήµα xt ϑα έχει την ίδια µέγιστη συχνότητα µε το xt sinc 3 t sinc tsinc tsinc t 63 Επειδή f asincat rect a 64 και η χρονική αντιστροφή δεν παίζει ϱόλο το σήµα στη συχνότητα είναι άρτιο. Ετσι, Ϲητάµε τη µέγιστη συχνότητα του σήµατος xt sinc 3 t sinctsinctsinct 65 που στο χώρο του Fourier γράφεται ως Xf 1 rectf/ rectf/ rectf/ 66 8 Από την ιδιότητα του εύρους της συνέλιξης γνωρίζουµε ότι ένα σήµα που είναι µη µηδενικό στο [a, b] και γίνεται συνέλιξη µε ένα άλλο µη µηδενικό στο [c, d], το αποτέλεσµα είναι µη µηδενικό στο [a + c, b + d]. Εφαρµόζοντας αυτήν την ιδιότητα δυο ϕορές στο χώρο του Fourier, έχουµε ότι το Xf είναι µη µηδενικό στο [ 3, 3]. Οπότε η µέγιστη συχνότητα είναι f max 3 Hz, και άρα ο ϱυθµός Nyquist ϑα είναι f max 3 6 Hz 67 Συνολικές Μονάδες : 10 - Άριστα : 100 Καλή Επιτυχία!