x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκν : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3η Σειρά Ασκήσεν 03/05/0 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 Ασκηση.. (i) Εστ x(t) = e (t ) u(t ). Χρησιµοποιώντας την εξίσση της ανάλυσης X() = έχουµε : X() = x(t)e jt dt = e (t ) u(t )e jt dt x(t)e jt dt, Οµς το e (t ) u(t ) είναι διάφορο του µηδενός για t, και από τον ορισµό της ϐηµατικής συνάρτησης, e (t ) u(t ) = e (t ) για t, οπότε : X() = = e e (t ) u(t )e jt dt = e (t ) e jt dt = e ( j)t dt = e j e( j)t = e j + j e (t ) jt dt = e e ( j)t dt (ii) Αν x(t) = e t, τότε x(t) = e (t ) για t και x(t) = e ( t) x(t) = e (t ) για t. Οπότε χρησιµοποιώντας την εξίσση της ανάλυσης : X() = = x(t)e jt dt = e e ( j)t dt + e t e jt dt = e (t ) e jt dt + e e ( j)t dt = e j e( j)t e (t ) e jt dt + e j e( j)t = e e j j + e e j + j = e j j + e j + j = [e j ( + j)] + [e j ( j)] = 4e j ( j)( + j) 4 + (iii) Από την εξίσση της ανάλυσης : X() = [δ(t + ) + δ(t )]e jt dt = δ(t + )e jt dt + δ(t )e jt dt = e jt t= + e jt t= = e j + e j = cos() + j sin() + cos() j sin() = cos()

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 (iv) Γνρίζουµε ότι d dt u(t) = δ(t), οπότε d dt (u( t) + u(t )) = d dt u( t) + d dtu(t ) = δ(t + ) + δ(t ). Οπότε από την εξίσση της ανάλυσης : X() = [δ(t ) δ(t + )]e jt dt = δ(t )e jt dt δ(t + )e jt dt = e jt t= e jt t= = e j e j = cos() j sin() cos() j sin() = j sin() (v) ( Χρησιµοποιώντας τη σχέση του Euler, µπορούµε να γράψουµε e αt cos o t ) u(t) = e αt ejot + e jot u(t) = e( α+jo)t u(t)+ e( α jo)t u(t). Και από ιδιότητα γραµµικότητας και από το Ϲεύγος e at u(t) a + j, Re{a} > 0 µε a = α j o για τον πρώτο όρο του αθροίσµατος και a = α + j o για τον δεύτερο, έχουµε e( α+jo)t u(t) + e( α jo)t u(t) (α j o + j) + (α + j o + j) (vi) Από την εξίσση της ανάλυσης και χρησιµοποιώντας τη σχέση του Euler, έχουµε : X() = ( + cos πt)e jt dt = = j e jt + = e j e j j e jπt + e jπt + e(jπ+j)t ( + cos πt)e jt dt = e jt dt = e j e j j j(π + ) + e( jπ+j)t j( π) = sin() + e j(π+) e j(π+) π + j = sin() sin( + π) sin( π) π π e jt dt e j( π) e j( π) π j == sin() cos πte jt dt e (jπ+j)t dt + sin() + π sin() π e ( jπ+j)t dt (vii) Το x(t) ϐάσει του σχήµατος είναι :, t x(t) = t, t, t Μπορώ να γράψ το x(t) ς άθροισµα : x(t) = x (t)+x (t)+x 3 (t), όπου το x (t) είναι τετραγνικός παλµός, διάρκειας, πλάτους µετατοπισµένος κατά 3 και ανεστραµµένος. Επίσης ο x 3(t) είναι

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 3 είναι τετραγνικός παλµός, διάρκειας, πλάτους και µετατοπισµένος επίσης κατά 3. Τέλος το, t T x (t) = t, για t. Άρα από το Ϲεύγος : y(t) = y() = sin(t ), 0, t > T την ιδιότητα της γραµµικότητας και την ιδιότητα της χρονικής µετατόπισης έχουµε : X () = e j 3 sin( ) και X 3 () = e j 3 sin( ) και για το x (t) από την εξίσση της ανάλυσης έχουµε : X () = = j = j x (t)e jt dt = te jt dt = t ( e jt) dt = (te jt ) j j e jt dt [ e j + e j + ] j e jt = [ e j + e j + j j e j ] j ej [ ej + e j e j e j ] = ( cos ) j j sin Άρα για το X() έχουµε : X() = X () + X () + X 3 () X() = e j 3 sin( ) = sin( ) j ( e j 3 e j 3 ( cos ) sin + e j 3 sin( ) ( cos ) sin ) j = sin( ) ( j) ej/3 e j/3 j j = 4 sin( ) j sin(3/) cos j ( cos sin ) + sin j =...

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 4 Χρησιµοποιώντας την τριγνοµετρική ταυτότητα : sin θ sin φ = cos(θ φ) cos(θ+φ), έχουµε :... = 4 cos(/ 3/) cos(/ + 3/3) cos j j + sin j = cos [cos( ) cos()] j j + sin j = cos() j cos() j = j sin [cos() ] cos j + sin j (viii) Παρατηρώ ότι το σήµα x(t) απαρτίζεται από παλµούς Dirac πλάτους στα περιττά πολλαπλάσια της χρονικής µονάδας και από παλµούς Dirac πλάτους στα άρτια πολλαπλάσια. Άρα αν εκφράσουµε ς : x o (t) = δ(t n) n= ένα τρένο παλµών µε περίοδο T = τότε το σήµα στο Σχήµα µπορεί να γραφτεί ς : x(t) = x o (t) + x o (t ) Άρα χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της γραµµικότητας, την ιδιότητα της χρονικής µετατόπισης και το Ϲέυγος FT x(t) = δ(t nt ) X() = π δ( k π ), έχουµε : T T n= k= X() = π δ( k π ) + π e j k= X() = π( + e j ) δ( kπ) k= X() = π δ( kπ)( + e jkπ ) X() = π k= δ( kπ)( + ( ) k ) k= δ( k π ) k=. (i) Εχ X() = e j + j X() = e j + j = e j + j = j 4 + = + j 4 + = 4 +. Το πλάτος του µετασχηµατισµού Fourier ϕαίνεται στο σχήµα..i (ii) Εχ X() = 4e j 4 + X() = 4e j 4 + = 4. Το πλάτος του µετασχηµατισµού Fourier 4 +

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 5 X() / 0 Σχήµα..i ϕαίνεται στο σχήµα..ii (iii) Εχ X() = cos X() = cos = cos. Το πλάτος του µετασχηµατισµού Fourier ϕαίνεται στο σχήµα..iii (iv) Εχ X() = j sin() X() = j sin() = sin() Το πλάτος του µετασχηµατισµού Fourier ϕαίνεται στο σχήµα..iv

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 6 X() 0 Σχήµα..ii Ασκηση.. (α ) Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες της γραµµικότητας, της κλιµάκσης και της χρονικής µετατόπισης, οπότε : x(t) x( t) x( t ) x( t) x (t) = x( t) + x( t) x (t) x (t) X() X( ) e j( )() X( ) e j( )( ) X( ) e j( )( ) X( ) + e j( )() X( ) e j X( ) + e j X( ) = X( )(e j + e j ) X( ) cos

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 7 X() -3π\ -π/ π/ π 3π/ Σχήµα..iii X() -π/ π/ Σχήµα..iv (ϐ ) Χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες της κλιµάκσης και της χρονικής µετατόπισης, οπότε : x(t) x(3t) x(3t 6) x(3t 6) X() 3 X( 3 ) 3 e j 3 6 X( 3 ) 3 e j X( 3 ) (γ ) Χρησιµοποιούµε ιδιότητες χρονικής µετατόπισης και παραγώγισης στο χρόνο, την οποία εκτελούµε

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 8 ϕορές, άρα x(t) x(t ) d F x(t ) dt d F x(t ) dt x 3 (t) X() e j X() T je j X() T (j) e j X() e j X(). (α ) (i)x () = u() u( ), άρα αφού ο FT δεν έχει συζυγή συµµετρία, δηλαδή X () X ( ), το x (t) δεν είναι πραγµατικό σήµα. Επίσης X () X( ), άρα το x (t) δεν είναι ούτε ϕανταστικό σήµα. (ii) Το X () = u() u( ) είναι µεν πραγµατικό σήµα άλλα δεν είναι ούτε περιττό ούτε άρτιο, άρα το x (t) δεν είναι ούτε περιττό, ούτε άρτιο. (ϐ ) X () = cos() sin( π ). Παρατηρώ ότι το σήµα X () = cos() sin( π ) είναι πραγµατικό και περιττό σήµα (για να το δείξετε ϐρείτε τι συµµετρία έχει το cos(), τι συµµετρία έχει το sin( π ) και συνεπώς τι συµµετρία ϑα έχει το γινόµενό τους). Ξέρ ότι αν το σήµα στο πεδίο του χρόνου είναι πραγµατικό και περιττό, τότε στο πεδίο τν συχνοτήτν ϑα είναι ϕανταστικό και περιττό. Άρα έξαγ το συµπέρασµα ότι αν το σήµα στο πεδίο του χρόνου είναι ϕανταστικό και περιττό, τότε στο πεδίο τν συχνοτήτν ϑα είναι πραγµατικό και περιττό (µπορείτε να το αποδείξετε ;). Άρα το x (t) είναι ϕανταστικό και περιττό σήµα. (γ ) X 3 () = A()e jb() όπου A() = sin X 3 () = ej(+ π ) sin = ej e π Εστ το Ϲεύγος y 3 (t) Y 3 (), όπου Y 3 (t) = sin και B() = + π, οπότε : sin ej. Από το Y 3 (t) = sin ej sin() cos() = + sin() sin() j εξάγ το συµπέρασµα ότι το y 3 (t) είναι πραγµατικό σήµα (δείχν ότι Y () = Y ( )). Άρα από ιδιότητα γραµµικότητας : y 3 (t) jy 3 (t) Y 3 () jy 3 () Αλλά το jy 3 () = e j π Y 3 () = X 3 (). Άρα έχ ϐρεί το Ϲεύγος : x 3 (t) = jy 3 (t) jy 3 () = X 3 ()

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 9 Συνεπώς επειδή το y 3 (t) είναι πραγµατικό, το jy 3 (t) είναι ϕανταστικό, άρα το x 3 (t) είναι ϕανταστικό. Επείδη το X 3 () είναι µιγαδικό σήµα (ούτε πραγµατικό, ούτε ϕανταστικό), το x 3 (t) δεν είναι ούτε περιττό, ούτε άρτιο. ( ) k (δ ) X 4 () = δ( kπ 4 ). Το X 4(t) είναι πραγµατικό και άρτιο σήµα (γιατί είναι τρένο k= παλµών που το πλάτος τους καθορίζεται από το k που εξασφαλίζει άρτια συµµετρία), άρα το x 4 (t) είναι πραγµατικό και άρτιο σήµα επίσης. Ασκηση 3.. Γνρίζουµε το Ϲεύγος µετασχηµατισµού Fourier x(t) =, W sin(w t) X() = πt 0, > W Για ευκολία στην ανάγνση ϑα χρησιµοποιήσουµε τον συµβολισµό rect( t ) =, t /. ηλαδή 0, t > / το rect(t/ ) είναι τετραγνικός παλµός διάρκειας µε κέντρο το 0 (σηµ. το rect((t C)/ ) είναι τετραγνικός παλµός διάρκειας µε κέντρο το C) Άρα από το ώς άν Ϲεύγος και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα του πολλαπλάσιασµού στο πεδίο του χρόνου, έχουµε : ( ) sin(t) = πt ( πt sin(t) πt sin(t) ) ( ) πt sin(t) rect(/) rect(/) rect(/) π Η συνέλιξη τετραγνικών παλµών διάρκειας µε κέντρο το 0 είναι ένας τριγνικός παλµός διάρκειας 4 µε κέντρο το 0 και ύψους. ίνεται ο συµβολισµός : tri( t ) = t /, t Άρα : 0, t > ( sin(t) πt ) π tri(/)

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 0 Συνεχίζουµε χρησιµοποιώντας την ιδιότητα παραγώγισης στο πεδίο τν συχνοτήτν : Άρα : jtx(t) tx(t) d d X() j d d X() ( ) sin(t) t j d πt d π tri(/) ( sin(t) t πt ) j π, t 0 j π, 0 t 0, t >. A = ( ) sin t 4 0 t dt = πt j π d + 0 j π d = π 3 Ασκηση 4. (i) Χρησιµοποιώ την ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο της συχνότητας και έχ : jte t te t te t d ( ) d + j d ( ) d + 4 j ( + ) (ii) Η ιδιότητα της δυικότητας ορίζει ότι : αν x(t) X() τότε X(t) πx( )

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 4 Άρα από το ερώτηµα (i) µε X() = j ( + και ϐάζοντας όπου το t, έχ : ) 4t X(t) = j ( + t ) πx( ) = π( )e 4t j ( + t ) πe 4t ( + t ) jπe Ασκηση 5. Γνρίζουµε ότι : Y () = X()H() X() = Y () H() Γνρίζουµε το H(). Άρα µένει να ϐρούµε το Y (). Οπότε χρησιµοποιώντας το Ϲεύγος e at u(t) έχουµε : y(t) = e 3t u(t) e 4t u(t) Y () = 3 + j 4 + j a + j Οπότε : X() = 3+j 4+j 3+j X() = 4 + j Χρησιµοποιώντας το ίδιο Ϲεύγος FT µε πρίν έχουµε τελικά : x(t) = e 4t u(t)

12 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 Ασκηση 6. (i) Παρατηρώ ότι αν µετατοπίσ το x(t) κατά προς τα αριστερά, παίρν το y(t) = x(t + ), που είναι ένα άρτιο και πραγµατικό σήµα. Άρα ξέρ ότι το Y () ϑα είναι ένα άρτιο και πραγµατικό σήµα. Άλλα αν x(t) X(), τότε από την ιδιότητα της χρονικής µετατόπισης έχ : y(t) = x(t + ) e j X(). Επείδη το Y () είναι πραγµατικό : Y () = arg{y ()} = 0 arg{e j X()} = 0 arg{e j }+arg{x()} = 0 +arg{x()} = 0 arg{x()} = (ii) Από εξίσση ανάλυσης : X() = x(t)e jt dt === =0 X(0) = x(t)dt και από τη γραφική παράσταση του x(t): X(0) = x(t)dt = X(0) = 3 x(t)dt = 7 Παρατήρηση : δεν είναι ανάγκη να υπολογίσουµε το ολοκλήρµα αναλυτικά γιατί αυτό ισούται µε το εµβαδόν µεταξύ της γραφικής παράστασης του x(t) και του άξονα t. (iii) Από την εξίσση της σύνθεσης έχ : x(t) = X()e jt d == t=0 x(0) = X()d πx(0) = X()d X()d = 4π π π (iv) Εστ H() = sin ej. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της µετατόπισης στο χρόνο και το Ϲεύγος µετασχηµατισµού Fourier:, t T x(t) = = X() = sin(t ) 0, t > T, 3 t ϐρίσκ h(t) =, δηλαδή το h(t) είναι ένας τετραγνικός πλαµός µετατοπισµένος κατά 0, otherwise προς τα αριστερά. Αν y(t) = x(t) h(t), τότε Y () = X()H() και χρησιµοποιώντας την εξίσση της

13 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 3 σύνθεσης έχουµε : y(t)=x(t) h(t) ========= [x(t) h(t)] t=0 =3.5 ========== y(t) = π Y ()=X()H() =========== y(t) = π H()= sin =========== ej y(t) = π t=0 == y(0) = π X() sin ej d = πy(0) X() sin Y ()e jt d ej d = π [x(t) h(t)] X() sin ej d = 7π X()H()e jt d X() sin ej e jt d X() sin ej d t=0 (v) Από τη σχέση του Parseval έχουµε : x(t) dt = X() dt π X() dt = π x(t) dt = π 0 4dt + 0 t dt + 3 t dt + 4dt = 6π (vi) Γνρίζουµε ότι κάθε πραγµατικό σήµα µπορεί να γραφτεί ς άθροισµα ενός άρτιου σήµατος και ενός περιττού σήµατος. Άρα αν x(t) = x e (t) + x o (t), όπου x e (t) είναι ένα πραγµατικό και άρτιο σήµα και x o (t) είναι ένα πραγµατικό και περιττό σήµα, τότε εφαρµόζοντας ιδιότητα γραµµικότητας, έχουµε : x(t) = x e (t) + x o (t) X() = X e () + X o () Ο µετασχηµατισµός X e () ϑα είναι συνεπώς ένα πραγµατικό σήµα και ο µετασχηµατισµός X o () ϑα είναι ένα ϕανταστικό σήµα. Άρα αν γράψ το X() στην καρτεσιανή του µορφή, δηλαδή X() = Re{X()} + jim{x()}, τότε µε σύγκριση τν δύο εκφράσεν καταλήγ σε : Re{X()} = X e (), συνεπώς έχ το Ϲεύγος µετασχηµατισµού FT: x e (t) Re{X()} Το x e (t) ισούται µε [x(t) + x( t)]. Άρα το Ϲητούµενο ϕαίνεται στο Σχήµα (6.iv) που ακολουθεί.

14 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 4 3/ / x e (t) t Σχήµα 6.iv Παρατήρηση : Αν x(t) κάποιο πραγµατικό σήµα, τότε x(t) = x e (t) + x o (t), όπου x e (t) = [x(t) + x( t)] και προφανώς είναι άρτιο σήµα και x o (t) = [x(t) x( t)] το οποίο είναι περιττό σήµα. Ασκηση 7.. (i) Βρίσκουµε το µετασχηµατισµό Fourier της διαφορικής εξίσσης, στη συνέχεια ϐρίσκουµε την απόκριση συχνότητας του συστήµατος και εφαρµόζοντας αντίστροφο FT ϐρίσκουµε την κρουστική απόκριση που Ϲητείται : d y(t) dt + 6 dy(t) dt + 8y(t) = x(t) (j) Y () + 6(j)Y () + 8Y () = X() Y () X() = (j) + 6j + 8 H() = (j) + 6j + 8

15 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 5 Προχράµε µε ανάλυση σε µερικά κλάσµατα, οπότε : H() = H() = (j) + 6j + 8 (j + 4)(j + ) = A (j + 4) + B (j + ) A = B = H() = (j + 4) + (j + ) h(t) = e 4t u(t) + e t u(t) (ii) Βρίσκουµε τον FT της εισόδου, οπότε : x(t) = te t u(t) X() = ( + j) Οπότε η απόκριση του συστήµατος στο πεδίο τν συχνοτήτν είναι : Y () = X()H() Y () = Y () = ( + j) (j + 4)(j + ) (j + 4)( + j) 3 και µε ανάλυση σε µερικά κλάσµατα : Y () = (j + 4)( + j) 3 = A (j + 4) + B + j + C ( + j) + D ( + j) 3 A = B = C = D = 4 4 Y () = /4 j /4 + j / ( + j) + ( + j) 3 οπότε : y(t) = 4 e 4t u(t) + 4 e t u(t) te t u(t) + t e t u(t) Παρατήρηση :Για τον τελευταίο όρο του παραπάν αθροίσµατος εφαρµόζ την ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο της συχνότητας στο γνστό Ϲεύγος x(t) = te at u(t) X() = (a + j)

16 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 6 (iii) Οπς και για το ερώτηµα i: d y(t) dt + dy(t) dt + y(t) = d x(t) dt x(t) (j) Y () + (j)y () + Y () = (j) X() X() Y () X() = (j) (j) + j + (j) H() = (j) + j + Προχράµε µε ανάλυση σε µερικά κλάσµατα, παρατηρώντας ότι αριθµητής και παρονοµαστής είναι του ιδίου ϐαθµού οπότε : H() = j + j h(t) = δ(t) e ( j )t u(t) + je ( + j j + (j) H() = (j) + j + H() = (j) + j j + (j) + j + H() = (j) + j + (j) + j + + j 4 (j) + j + j )t H() = + H() = + H() = + j j + u(t) e ( H() = + j 4 (j) + j + j 4 (j +j )(j j A + Bj A Bj j +j + j j +j +j )t + ) j j A = B = +j + j j j j j + u(t) je ( +j +j )t u(t)

17 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 7. (i) Από τα δεδοµένα : j + 4 H() = 6 + 5j Y ( X() = j j Y () [ 6 + 5j ] = X() [j + 4] 6Y () + (j) Y () + 5jY () = jx() + 4X() I === 6y(t) + d y(t) dt + 5 dy(t) = dx(t) + 4x(t) dt dt d y(t) dt + 5 dy(t) dt + 6y(t) = dx(t) dt + 4x(t) (ii) Από τα δεδοµένα και εφαρµόζοντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα και αντίστροφο µετασχηµατισµό FT, έχουµε : j + 4 H() = 6 + 5j j + 4 H() = 6 + (j) + 5j j + 4 H() = (j + )(j + 3) H() = A = B = j + j + 3 h(t) = e t u(t) e 3t u(t) (iii) Ξεκινώντας από το πεδίο τν συχνοτήτν, έχουµε : x(t) = e 4t u(t) te 4t u(t) X() = j + 4 (j + 4)

18 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν 03/05/0 8 Άρα : Y () = X()H() ( ) ( ) Y () = j + 4 j + 4 (j + 4) (j + )(j + 3) (j + 3)(j + 4) Y () = (j + 4) (j + 3)(j + ) Y () = (j + 4)(j + ) = A (j + 4) + B (j + ) A = B = Y () = j j + y(t) = e 4t u(t) + e t u(t)