0 2j e jπt e j2πkt dt (3)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /3/8 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /3/8, 6: Οι ασκήσεις µε [ ] είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι /8 σε αυτή τη σειρά. Χρησιµοποιήστε τα ολοκληρώµατα των πινάκων του Κεφαλαίου Υποβάθρου, όπου χρειάζεται. [ ] Ασκηση - Σειρά Fourier Ι αʹ Προφανώς από το Σχήµα, η περίοδός του είναι T s. Σχήµα : Περιοδικό σήµα άσκησης. ϐʹ Είναι X T T xtdt X k T T xte jπkf t dt sinπtdt π cosπt ] π sinπte jπkt dt j ejπt e jπkt dt j e jπt e jπkt dt 3 e jπt e jπkt dt e jπt e jπkt dt j e jπk πt dt e jπk+πt dt j e jπk t dt e jπk+t dt 6 j j jπk e jπk t] jπk + e jπk+t] 7 j e jπk πk j e jπk+ 8 πk + e jπk e jπk+ 9 πk πk +

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις e jπ k e jπ k+ πk πk + Ο αριθµός k ± είναι περιττός για κάθε k Z. Ετσι X k e jπ k πk πk + k πk πk + πk πk + πk πk + πk + πk πk πk πk k + πk π k e jπ k+ k+ 3 6 γʹ Τα ϕάσµατα ϕαίνονται στο Σχήµα. Σχήµα : Φάσµατα άσκησης. Ασκηση - Σειρά Fourier ΙΙ αʹ Η παράγωγος του σήµατος xt ϕαίνεται στο Σχήµα 3. Αυτό το σήµα είναι γνωστό σήµα από τις διαλέξεις και έχει συντελεστές Fourier X d k πk k e jπ/ 7 Οι συντελεστές του αρχικού σήµατος δίνονται από την ιδιότητα της ολοκλήρωσης, και είναι X k jπkf X d k jπkf πk k e jπ/ 8

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 3 Σχήµα 3: Παράγωγος σήµατος άσκησης. κι επίσης X T jπk πk k e jπ/ jπ k ejπ/ 9 e jπ/ π k k e jπ/ π k k T xtdt t dt t 3 3 ] 3 6 ϐʹ Τα ϕάσµατα ϕαίνονται στο Σχήµα. Σχήµα : Φάσµατα άσκησης. Ασκηση 3 - Σειρές Fourier ΙΙΙ αʹ Για τα ϕάσµατα α έχουµε xt e jπ/ e jπ t + e jπ/ e jπ3 t + e jπ/ e jπ3 t + e jπ/ e jπ t cos πt + π + cos π 3 t π 3

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ϐʹ Για τα ϕάσµατα ϐ έχουµε ότι X k και φ k πk, για k. Οπότε, γνωρίζοντας ότι ϑα έχουµε xt k N X k e jπkf t a k an an+ a kn k e jπk e jπkt k e jπkt e j8πt e jπt e jπt e j8πt e jπt e jπt 6 ejπt e j9πt e j9πt e jπt e jπt e jπt sin9πt sinπt j sin9πt j sinπt 7 8 Ασκηση - Σειρές Fourier - Ιδιότητες Ι Αφού το σήµα είναι πραγµατικό και έχει συντελεστές X k µόνο για k, ϑα είναι της µορφής xt X e jπ t + X + X e jπ t 9 Επιπλέον, αφού είναι περιττό, τότε οι συντελεστές X k ϑα είναι καθαρά ϕανταστικοί αριθµοί και περιττοί, δηλ. X k X k 3 όπως επίσης και X. Από τη σχέση του ολοκληρώµατος - που αποτελεί το ϑεώρηµα του Parseval - ϑα έχουµε xt dt k X k X + X 3 X 3 X 33 X ±j 3 Ετσι, αν X j, τότε X X j, και αν X j, τότε X X j. Τα δυο σήµατα που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι τα 3 x t j ejπt j e jπt sinπt 36 x t j ejπt + j e jπt sinπt 37

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση - Σειρές Fourier - Ιδιότητες ΙΙ αʹ Για να είναι πραγµατικό, ϑα πρέπει X k X k, οπότε { {, k, k X k k j, k j k, X k 38 k και άρα δεν είναι πραγµατικό. ϐʹ Για να είναι άρτιο, ϑα πρέπει X k X k, από ιδιότητες. Προφανώς ισχύει, οπότε είναι άρτιο. γʹ Για να είναι το dxt/dt άρτιο, ϑα πρέπει οι συντελεστές Fourier του να είναι άρτιοι, δηλ. X d k Xd k, οπότε { jπkf, k Xk d jπkf j k, k που προφανώς δεν είναι άρτιοι, άρα η παράγωγος δεν είναι άρτιο σήµα. { jπkf, k πkf k, 39 k Ασκηση 6 - Σειρές Fourier - Ιδιότητες ΙΙΙ Από την άσκηση, έχουµε το Ϲεύγος {, t tc xt, t c < t T / X k sinπkf t c, X t c πk T Από το ϑεώρηµα του Parseval, ϑα έχουµε k X k k sin πkf t c π k x tdt T T Για t c T 6, έχουµε σχεδόν το Ϲητούµενο άθροισµα. Από την τελευταία σχέση ϑα έχουµε x tdt tc dt ] T /6 t T T T t c T T /6 8 δηλ. Οπότε για αυτήν την τιµή του t c έχουµε k sin πk/8 π k 8 3 k sin πk/8 k π 8 Ασκηση 7 - Συντελεστές Fourier Ι Εχουµε X k T xte jπkft dt T / xte jπkft dt + T xt T /e jπkft dt T T T T /

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 T / xte jπkft dt T / xue jπkf u+t / du 6 T T T / xte jπkft dt T / xue jπkfu e jπkf T / du 7 T T T / xte jπkft dt T / xue jπkfu e jπk du 8 T T T / xte jπkft dt T / xue jπkfu du 9 T T Ασκηση 8 - Σειρές Fourier - Ιδιότητες IV Για το σήµα της εκφώνησης έχουµε P x π t dt t ] π π π π π π π π Από το ϑεώρηµα του Parseval ϑα έχουµε X + k,k X k π και X π t dt t 3 ] π π π π 3 π 3 π π 3 π 3 ενώ για τους συντελεστές του περιοδικού σήµατος, παρατηρούµε ότι αν το παραγωγίσουµε παίρνου- µε το σήµα d xt t, π < t < π dt του οποίου γνωρίζουµε τους συντελεστές Fourier ως Άρα οι συντελεστές του αρχικού σήµατος ϑα είναι Οπότε X k 3 X d k π πk k e jπ/, k k k e jπ/, k Xk d jπkf jπkf k k e jπ/ k k, k 6 X + k,k π k,k k,k k,k X k π X k π X k π π 9 k π π

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 7 Η ακολουθία /k είναι άρτια, οπότε k,k 8 k k k k k π π 9 k π k π k π 36 k π που είναι και το Ϲητούµενο. [ ] Ασκηση 9 - Συντελεστές Fourier ΙΙ Αφού είναι άρτιο, ϑα ισχύει xt x t, οπότε Θα είναι X k T και άρα ισχύει το Ϲητούµενο. xte jπ kft dt xte jπkft dt 66 T T T x te jπkft dt xue jπkf u du 67 T T T T xue jπkfu du X k 68 T T Ασκηση - Σειρές Fourier στο MATLAB Κώδικας MATLAB.