Κίνηση ράβδου (rigid bod) σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή. Ευθύγραμμη ράβδος μήκους με μάζα m και μεταβλητή γραμμική πυκνότητα r, κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Να μελετηθεί η κίνηση της ράβδου. Δίνεται το g και ο συντελεστής τριβής m (μεταβλητός). Λύση Έστω O το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο οποίο κινείται η ράβδος. d της ράβδου, κινείται με ταχύτητα u Το στοιχειώδες τμήμα δέχεται από το O τριβή αντίρροπη της ταχύτητάς του: Tv uv =d ^h uv ή αλλιώς σε συνιστώσες: Tv Tv =d =d + o o + o ^h ^3h v και 0 d M j ^h = ^h = ^h = ^Mh = Το εικονικό έργο πάνω στο d (virtua work) είναι: = T d + T d ^h και άρα το συνολικό εικονικό έργο πάνω στη ράβδο (virtua work) είναι: = _ T d+ T di = ' _ d + o did ^5h + o Αν τυχαίο σημείο της ράβδου με συντεταγμένες ^, h τότε ισχύουν: = + cos j = + sin j ^6h άρα = sin j o = o + cos j ^7h και d = d sin j dj d = d + cos j dj ^8h
Η σχέση ^5h λόγω των ^7h και ^8h γίνεται: ' = + o + _ sinjo cos ji 7_ sinji_ d sin j dji+ _ o + cosji_ d + cos j dji d ^9h Θέτω = + o = + o + _ sinjo cos ji οπότε η ^9h γίνεται: = % 7_ sinji d + _ o + cos ji d + _ sinj+ o cos j+ i djd Η ολοκλήρωση αφορά στο ^ M h =, το οποίο μετράται πάνω στη ράβδο, σε σχέση με το τυχαίο σημείο. Το έχει συνεπώς = 0 και άρα = + % _ sin jid d = + % _ o + cos jid d = + % _ sinj+ o cos j+ i d dj ^0h Από την ^0h προκύπτει ότι οι γενικευμένες δυνάμεις είναι F F = % _ sin jid = % _ o + cos jid Fj = % _ sinj+ o cos j+ i d ^h ^h ^3h
Η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι: K = r_ + o id = r d = r7+ o+ _ sinjo cos jid οπότε K = m_ + oi + r d _ sinjo cos ji r d ^h όπου m η μάζα της ράβδου. Η κίνηση της ράβδου θα προσδιοριστεί από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων όπως αυτό προκύπτει από τις εξισώσεις Lagrange σε μη συντηρητικά πεδία δυνάμεων (σε πεδία γενικευμένων δυνάμεων): d d d t K o n K = F d d d t K o n K = F ^5h ^6h d d t d K K n j = F j ^7h Το παραπάνω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων μετά από τις αντικαταστάσεις των σχέσεων και ^h γίνεται: ^ h, ^h, ^3h mp _ jpsinj+ cos ji r d =% _ sin jid ^8h mp + _ jpcosj sin ji r d = % _ o + cos jid ^9h jp r d 7_ p sinj p cos ji+ _ cosj+ o sin ji r d = % _ sinj+ o cos j+ j o i d ^0h ^ h, ^9h και ^0h περιγράφει την κίνηση της ράβδου. Τα r και m γε Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων 8 νικά είναι μεταβλητά. 3
Ειδική περίπτωση Αν r = σταθερό, m = σταθερό και το σημείο είναι το τότε το σύστημα γίνεται mp = sin j d ^h mp = o + cos j d ^h sin cos j o j+ o j+ o m jp = d ^3h Μεταξύ των υποπεριπτώσεων που εντάσσονται στην ειδική περίπτωση ας σταθούμε ως παράδειγμα στις παρακάτω δύο. Υποπερίπτωση Α Αν η ράβδος μόνο περιστρέφεται γύρω από το τότε = σταθ. και = σταθ. και συνεπώς οι ^h, ^h και ^3 h δίνουν αντίστοιχα 0 = 0 0 = 0 m jp = ^h Η τελευταία σχέση είναι η γνωστή μας (σε αλγεβρική μορφή) I a gù n = t o όπου I m = και t o = Από την ^h προκύπτει 3mg jp = ^5h Η ^5 h λέει απλά ότι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου είναι αντίρροπη της γωνιακής ταχύτητας, μιας και το είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης είναι 3m g.
Υποπερίπτωση Β Αν η ράβδος δεν περιστρέφεται τότε: j = σταθ. και οι εξισώσεις ^h, ^h και ^3 p =mg h δίνουν αντίστοιχα + o ^6h p =mg o + o ^7h 0 = 0 Oι εξισώσεις 6 ^ h και ^7h λένε ότι η ράβδος θα κινηθεί με τρόπο που το θα βρίσκεται σε ευθεία (μετα m g. φορική κίνηση μόνο) και το μέτρο της ταχύτητάς του θα μειώνεται με ρυθμό Παρατήρηση Είναι καταπληκτική η συνέπεια των μαθηματικών, ας πούμε στην σχέση ^h σε συνδιασμό με την ^5h όπου χωρίς να έχουν οριστεί ούτε η έννοια της ροπής αδράνειας, ούτε η έννοια της γωνιακής επιτάχυνσης, ούτε η έννοια της ροπής, όλα ταυτίζονται με τους μετέπειτα ορισμούς που δόθηκαν στα παραπάνω μεγέθη: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας είναι: I = m Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου που περιστρέφεται γύρω από το ακίνητο κέντρο μάζας της έχει μέτρο: 3m g Η ροπή έχει μέτρο: Παρατήρηση Ανάμεσα στις άλλες υποπεριπτώσεις υπάρχει και η 0, o 0 και j = 0 άσκηση της Α Λυκείου!!!! = o η οποία αντιστοιχεί σε 5
Το κρίσιμο ερώτημα. «Μπορεί το του σώματος να κινηθεί σε ευθεία γραμμή;» Για να συμβεί αυτό πρέπει το σύστημα των εξισώσεων ^h, ^h και ^3 ^ h και ^ Οι = a + b όπου a και b σταθερές τότε o = a και p = ap h γίνονται αντίστοιχα: h να δέχεται ως λύση την mp = sin j d ^8h mp = a + cos j a d ^9h Η επεξεργασία των 8 ^ h και ^9 h οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για να ισχύουν θα πρέπει: tanj = a = σταθ. ^30h Αυτό με τη σειρά του σημαίνει j = σταθερό και άρα η ράβδος δεν περιστρέφεται. Συμπέρασμα: Κατά την ολίσθηση ράβδου σε οριζόντιο επίπεδο με τριβή το είναι ΑΔΥΝΑΤΟ να κινηθεί σε ευθεία γραμμή εκτός αν η ράβδος δεν περιστρέφεται. Πέμπτη 7/6/0 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας 6