Ο αριθμός στην προσχολική ηλικία: Απαρίθμηση & πληθικότητα συνόλου

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Ο αριθμός στην προσχολική ηλικία: Απαρίθμηση & πληθικότητα συνόλου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

βασικές έννοιες για τον αριθμό Οι βασικές έννοιες/δεξιότητες που συνδέονται άμεσα με την Αίσθηση του Αριθμού (Number Sense) - την κατανόηση της έννοιας του αριθμού: απαρίθμηση (counting) αίσθηση των πράξεων με αριθμούς ποσότητα (quantity) σχέσεις (relationships) αναπαραστάσεις (representation) οι παραπάνω είναι αλληλένδετες, εξίσου σημαντικές και επικαλυπτόμενες 2

μια ερώτηση τι είναι το 8; τι θα θέλατε να ξέρει ένας μαθητής ότι είναι το 8; 3

αίσθηση του αριθμού (Number Sense) Ορισμός Υπάρχει ποικιλία ορισμών και πραγμάτων που εννοεί κανείς με τον όρο Αίσθηση του Αριθμού Όλες οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στο να δέχονται ότι ως Αίσθηση του Αριθμού εννοούμε την κατανόηση του είναι οι αριθμοί και των σχέσεων μεταξύ τους π.χ., ότι το 6 είναι μετά το 5, πριν το 8, μισό του 12, διπλάσιο του 3, 2 πάνω από 4, 1 χέρι κι ένα δάχτυλο, μια λέξη πριν το εφτά, το 6ο κουτάκι του πίνακα των αριθμών, ο αριθμός που είναι σαν ανάποδο 9 κι ακούει στο όνομα έξι, ανάμεσα σε άλλα πράγματα 4

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών απαρίθμηση Μια πλήρης κατανόηση της καταμέτρησης απαιτεί τη γνώση του συμβολικού συστήματος, δυνατότητα διαχείρισης ενός πολύπλοκου συνόλου διαδικασιών που απαιτεί υπόδειξη των αντικειμένων και χαρακτηρισμό τους με τα σύμβολα, και η κατανόηση ότι ορισμένες πτυχές της καταμέτρηση είναι απλώς προϊόν σύμβασης, ενώ οι άλλες βρίσκονται στην καρδιά της μαθηματικής αναγκαιότητας. (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001, p. 159) 5

κάποιες επισημάνσεις για την απαρίθμηση Η απαρίθμηση περιλαμβάνει την απαγγελία μιας σειράς αριθμών και την εννοιολόγηση ότι ένα σύμβολο μπορεί να αναπαραστήσει μια ποσότητα Κατά τις πρώτες εμπειρίες των παιδιών με την απαρίθμηση, τα παιδιά δεν καταλαβαίνουν άμεσα τη σύνδεση ανάμεσα στην ποσότητα και στο όνομα του αριθμού (αριθμολέξη) και του συμβόλου που τον αναπαριστά. Η απαρίθμηση είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο που συνδέεται άμεσα με την μελλοντική ανάπτυξη της εννοιολογικής κατανόησης της ποσότητας, της αξίας θέσης, των πράξεων, και της δομής του συνόλου των (φυσικών) αριθμών. 6

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Απαρίθµηση/καταµέτρηση counting

σύµφωνα µε τον Piaget H κατανόηση του φυσικού αριθμού προϋποθέτει την ανάπτυξη της λογικής σκέψης δηλ. τα παιδιά θα πρέπει να μπορούν να επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες που αφορούν συμπερίληψη σε ομάδα κατανόηση μέρους/όλου υπάρχουν περισσότερα κόκκινα τριαντάφυλλα ή τριαντάφυλλα; διατήρηση του αριθμού αν αλλάξουμε την έκταση του αριθμού αλλάζει και το πλήθος του; Αυτό δεν επιτυγχάνεται πριν το στάδιο των συγκεκριμένων λογικών ενεργειών, 5/6-12 ετών

οι τρέχουσες αντιλήψεις η απαρίθμηση: παίζει καθοριστικό ρόλο στην οικοδόμηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού αποτελεί τη βάση στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από την απαρίθμηση θα κατανοήσει το παιδί ότι π.χ., το 7: είναι μια αριθμητική αυτόνομη οντότητα που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου (πληθικότητα) ταυτόχρονα αποτελείται από (7) επιμέρους μονάδες (μετρικότητα του αριθμού) είναι μετά το 6, και πριν το 8 (διατακτικότητα του αριθµού) και κάπως έτσι θα οικοδομηθούν και οι πράξεις

τι υπάρχει πριν την απαρίθµηση; τι κάνουν τα παιδιά πριν μάθουν να καταμετρούν; κατανοούν την πληθικότητα ενός συνόλου; πληθικότητα: το απόλυτο αριθμητικό μέγεθος η κοινή ιδιότητα του αριθμού που έχουν διάφορα σύνολα διακριτών αντικειμένων (π.χ., τα 2 πόδια µε τα 2 χέρια) καταλαβαίνουν τα παιδιά τις διαφορές δύο συνόλων ως προς το πλήθος; κάνουν προσθέσεις; Ναι...αλλά μόνο για 1 έως 3 (4;) αντικείμενα

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άµεση εκτίµηση subigzing

SubiYzing: η άµεση εκτίµηση Έρευνες έδειξαν ότι οι άνθρωποι από πολύ μικροί είναι ικανοί να εκτιμήσουν αστραπιαία την ποσότητα αντικειμένων που είναι λιγότερα από τέσσερα ενώ χρειάζεται περισσότερο χρόνο για τέσσερα και πάνω αντικείμενα. Η ικανότητα αυτή του ανθρώπου ονομάστηκε subitizing, από το λατινικό 'subitus', που σημαίνει 'άμεσα'. αποτελεί βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση καθώς εκεί ενυπάρχει η ικανότητα αναγνώρισης αριθμήσιμων μονάδων κάποιοι λένε ότι είναι γρήγορη απαρίθμηση, π.χ., Clements, 1999 βλ. Kaufman, Lord, Reese, & Volkman, 1949; Klein & Starkey, 1988

Subitizing: η άµεση εκτίµηση Η άμεση εκτίμηση λειτουργεί και με κινήσεις ή και ήχους πειράματα με εξοικείωση/ανάκτηση ενδιαφέροντος βλ. Wynn, (1995) Με άμεση εκτίμηση οι μαθητές μπορούν να προβλέψουν τα αποτελέσματα των πράξεων Πειράματα με τη μέθοδο του 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης βλ. Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). + =

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών τι γίνεται για αντικείµενα περισσότερα από 3; απαρίθμηση

απαρίθµηση: σαν ορισμός: απαρίθµηση είναι η δραστηριότητα η οποία περιλαµβάνει την απαγγελία µιας σειράς αριθµολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθµολέξη να συνδέεται µε µια αριθµητική µονάδα (Steffe & Cobb, 1988) περιλαμβάνει: την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική σειρά (ένα, δύο, τρία,...) την ικανότητα αναγνώρισης ενός πλήθους διακριτών μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμητική μονάδα

αριθµολέξεις μέχρι 3 ετών, συνήθως τα παιδιά έχουν μάθει το «ένα» και το «δύο» και η εκμάθηση των υπολοίπων γίνεται σε συνδυασμό με την άμεση εκτίμηση

λίγα λόγια για τις αριθµολέξεις 5 επίπεδα ανάπτυξης της προφοράς των αριθμολέξεων: 1 ο : απαγγελία της σειράς 1-20, ξεκινώντας πάντα από το 1, χωρίς όμως να μπορούν να πουν ποιος αριθμός είναι μετά από κάποιον συγκεκριμένο 2 ο : μπορούν να πουν ποιος είναι μετά από κάποιον αριθμό (από 1-10), ξεκινώντας όμως την απαγγελία από το 1, π.χ., ποιος είναι μετά το 7; 1,2,3,4,5,6,7,8...το 8 3 ο : μπορούν να πουν ποιος είναι μετά από έναν αριθμό από 1 έως 10 χωρίς να ξανά- απαγγείλουν, αλλά όχι για τους μεγαλύτερους 4 ο : μπορούν να το κάνουν για κάθε αριθμό 1-30 5 ο : μπορούν για κάθε αριθμό 1-100 Wright 1996 παραπλήσια και τα μοντέλα άλλων ερευνητών, π.χ., στο 5 ο επίπεδο τα παιδιά μπορούν να μετρούν σε ευθεία ή αντίστροφα ξεκινώντας από οποιονδήποτε αριθμό (Λεµονίδης, 1999)

απαγγελία και γλώσσα Διαφορετικές γλώσσες υποστηρίζουν ή και δυσκολεύουν τη μάθηση τέτοιων λέξεων ανάλογα αν ακολουθούν κανονικότητες ή όχι και από ποιον αριθμό και πάνω π.χ., Ελληνικά: δώδεκα, δεκατρία... Αγγλικά: twelve, thirteen,. Κινέζικα, Γιαπωνέζικα, Κορεάτικα: 12= δεκαδύο, 22=δύο δέκα δύο αυτές οι διαφορές επιδρούν στις επιδόσεις των μαθητών με τη χρήση των αριθμών

Αρχές της απαρίθµησης

η ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθµηση Τα παιδιά μαθαίνουν γρήγορα να καταμετρούν (σε ηλικία 3 ή 4 χρόνων) γιατί έχουν μια μη- συνειδητή γνώση των αρχών της απαρίθμησης πάνω στις οποίες οργανώνεται η κατανόηση της μέτρησης ως τρόπο αναγνώρισης της πληθικότητας ενός συνόλου: Αρχές της απαρίθμησης: Την αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο Την αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά Την αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου Την αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Την αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά απαρίθμησης δεν έχει σημασία Gelman & Gallistel, 1978

που στηρίζεται η υπόθεση της ύπαρξης αρχών απαρίθµησης; Τα παιδιά κάνουν λάθος στο μέτρημα αλλά αποδίδουν έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο μπορούν να παραβλέψουν ένα ή να μετρήσουν το ίδιο δύο φορές αρχή του ένα προς ένα Λένε πάντα αριθμούς με μία σταθερή σειρά ακόμα και αν χρησιμοποιούν μια ιδιοσυγκρασιακή σειρά και όχι τη συμβατική (1, 2, 3,...) π.χ., 1, 3, 6...1, 3, 6 αρχή της σταθερής σειράς Λένε τον τελευταίο αριθμό με εξαιρετική έμφαση αρχή της πληθικότητας Μπορεί και να αρχίσουν από τη μέση αλλά ολοκληρώνουν τη μέτρηση της ανεξαρτησίας της σειράς Μετρούν χρώματα, ήχους, κτλ. με τον ίδιο τρόπο αρχή της αφαίρεσης Οι αρχές τηρούντα αλλά κάποια λάθη εμφανίζονται λόγο δυσκολιών να συνδυαστούν σωστά οι αρχές ειδικά για μεγαλύτερα σύνολα και σε πιο πολύπλοκες καταστάσεις Gelman & Gallistel, 1978

συµπέρασµα από τα προηγούµενα Τα παιδιά χρησιμοποιούν με συστηματικότητα της αρχές της απαρίθμησης Μπορούν να κρίνουν όταν μία κούκλα απαριθμεί άλλοτε σωστά κι άλλοτε λάθος και επισημαίνουν αν παραβίασε κάποια από τις αρχές Ειδικά σε ολιγομελή σύνολα σε μεγαλύτερο πλήθος μπερδεύονται Gelman & Gallistel, 1978

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών οι αρχές της απαρίθμησης πιο αναλυτικά 23

αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας Τα παιδιά πρέπει να συγχρονίζουν δύο διαδικασίες: διαχωρισμός: διάκριση σε δύο κατηγορίες: αυτά που έχουν ήδη μετρηθεί και αυτά που μένουν να μετρηθούν επονομασία κάθε στοιχείο παίρνει ένα όνομα Στρατηγική: άγγιγμα, μετακίνηση, προσήλωση του βλέμματος Λάθη: λάθη στο διαχωρισμό: αντιστοίχιση του ίδιου όρου σε παραπάνω αντικείμενα, ή η υπερπήδηση ενός αντικειμένου λάθη μη- συντονισμού: συνεχίζουν την απαρίθμηση ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα ή να σταματούν την απαρίθμηση πριν τελειώσουν τα αντικείμενα

αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας 2 πως καταλβαίνουμε αν και πότε έχει γίνει κατανοητή η αρχή; αν τα παιδιά αυτόματα υιοθετήσουν μία στρατηγική με ορόσημα (από που ξεκίνησα να μετρώ) ή μια στρατηγική διαχωρισμού των μετρημένων από αυτά που μένουν να μετρηθούν, τότε σίγουρα έχουν κατανοήσει την ένα- προς- ένα αντιστοιχία η τυχαία διάταξη μπορεί να δώσει πιο σωστά δεδομένα για τη δυνατότητα απαρίθμησης ενός παιδιού (βλ. Fuson) δηλαδή βάζουμε τα παιδιά να μετρήσουν σύνολα που δεν είναι διατεταγμένα σε σειρά, αλλά είναι μπερδεμένα 25

αρχή της πληθικότητας Το να μπορείς να πεις τον αριθμό που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου Οι Gelman & Galistel υποστηρίζουν ότι εφόσον οι μαθητές δίνουν έμφαση στην τελευταία λέξη, έχουν κατανοήσει την αρχή της πληθικότητα 1 2 3 4 5 6... 6!! κουκκίδες H Fuson, 1988, υποστήριξε ότι αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι έχουν κατανοήσει την πληθικότητα καθώς τα παιδιά μπορεί να δώσουν έμφαση στην τελευταία λέξη αλλά να μην μπορούν να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα;». Μπορεί τα παιδιά να έχουν καταλάβει ότι πρέπει να καταλήγει η μέτρησή τους σε έμφαση της τελευταίας λέξης Στην ερώτηση «πόσα είναι;» τα παιδιά μπορεί να δίνουν μια μηχανική απάντηση που υποδηλώνει μια ημιτελής, διαδικαστική και μηχανική Αν αλλάξεις την ερώτηση «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» δεν μπορούν να το κάνουν

αρχή της πληθικότητας 2 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Κάνε την ερώτηση «πόσα;» αν επαναλάβει την τελευταία λέξη τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αρχή της πληθικότητας π.χ., το παιδί λέει «ένα, δύο, τρία, τέσσερα, είναι τέσσερα αν δεν την επαναλάβει, ξανακάνουμε την ερώτηση «πόσα;» αν ξαναμετρήσει τότε νομίζει ότι στο «πόσα» πρέπει να επαναλάβει τη διαδικασία και όχι να δώσει το αποτέλεσμα της προηγούμενης απαρίθμησης άλλαξε την ερώτηση και δες τι κάνουν: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Συνήθως αναπτύσσεται μέχρι την ηλικία των 4 1/2 (Fuson & Hall, 1983)

αρχή της πληθικότητας 3 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα για την πλήρη κατανόηση της πληθικότητας θα πρέπει και να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: παιδιά 3 1/2-4 1/2 μπορούν να κατασκευάσουν ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, με την ένα προς ένα αντιστοιχία (Sophian, 1992) χωρίς δοσμένο σύνολο τα παιδιά φτιάχνουν το ζητούμενο σύνολο κάνοντας χρήση διαφόρων στρατηγικών όπως της άμεσης εκτίμησης (για 1-3 αντικείμενα) ή της απαρίθμησης

αρχή της αφαίρεσης Αφορά το τι είναι απαριθµήσιµο Φαίνεται πως τα παιδιά αντιλαμβάνονται ακόμα και αφηρημένες ιδιότητες ως πράγματα και τα καταμετρούν Gelman & Gallistel Έτσι, μπορούν να μετρούν χρώματα, ήχους, κινήσεις, νοητικά αντικείμενα όπως το κάνουν για τα αντικείμενα.

αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς H κατανόηση ότι δεν έχει σημασία ποια λέξη αποδίδεται σε ποιο αντικείμενο Aποτελεί άμεση αναγνώριση των τριών άλλων αρχών της απαρίθμησης πως γίνεται να καταλάβουν αν κάποιος έχει κατανοήσει την αρχή της ανεξαρτησίας της σειρά; με μέτρηση με συνθήκες Μέτρηση με συνθήκες: Mετά τα 5 έτη μπορούν τα παιδιά να «απαριθμούν με συνθήκες» (βλ. Λεµονίδης, 1999) π.χ να ξεκινάει από διαφορετικό αντικείμενο, ή με διαφορετική λέξη στο ίδιο αντικείμενο Ακόμα κι αν μπορούν να απαριθμούν με διαφορετικές διαδοχές δεν είναι πάντα ικανά να προβλέψουν το πλήθος του συνόλου άρα δεν έχουν καταλάβει ότι η διαφορετική σειρά θα επιφέρει το ίδιο συμπέρασμα π.χ., δεν μπορούν να απαντήσουν πόσα θα βρουν πριν επαναλάβουν τη μέτρηση

άλλοι ερευνητές βρίσκουν λάθη Συνηθισμένα λάθη στα μικρά παιδιά (μέχρι 3.5 ετών) είναι ότι: χρησιμοποιούν την ίδια αριθμολέξη για περισσότερα από ένα αντικείμενα περισσότερες αριθμολέξεις για λιγότερα αντικείμενα παραλείπουν κάποιο αντικείμενο σταματούν την αρίθμηση πριν την εφαρμόσουν σε όλα τα αντικείμενα συνεχίζουν την απαγγελία αριθμολέξεων ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα Τα παραπάνω δείχνουν μια ασταθή γνώση των αρχών της απαρίθμησης (βλ. π.χ., Nunes & Bryant, 2007)

Αρχές ή δεξιότητες; Άλλη μια διχογνωμία: Οι μηχανισμοί της απαρίθμησης (οι δεξιότητες) είναι σύνθετοι και στηρίζονται, καθοδηγούνται και ελέγχονται από τις αρχές απαρίθμησης που υπάρχουν εκ των προτέρων Gelman & Gallistel Τα παιδιά αρχικά κάνουν απαρίθμηση μηχανικά, διαδικαστικά, με απομίμηση και διαρκείς δοκιμές χωρίς απαραίτητα να έχουν κατακτήσει τις αρχές της απαρίθμησης αυτές κατασκευάζονται εκ των υστέρων από τη διόρθωση και την εξάσκηση Siegler (1984)

κριτική στη Gelman παιδιά απαριθμούν ως μια ρυθμική διαδικασία που αρχίζει και τελειώνει όταν η σειρά με τα αντικείμενα τελειώνει αν τα αντικείμενα δεν είναι σε σειρά, τα παιδιά κάνουν λάθη και δεν τηρούν τις αρχές της απαρίθμησης ειδικά της ένα- προς- ένα αντιστοιχίας μετρούν ξανά το ίδιο αντικείμενο ή δεν μετρούν κάποια αντικείμενα

απαρίθµηση ως δεξιότητα τα παιδιά συχνά μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει ότι η απαρίθμηση είναι ένα εργαλείο που μπορεί να χρησιμεύσει στη σύγκριση συνόλων, ή στις πράξεις, ή στη δημιουργία ίσων συνόλων π.χ., παιδιά που απαριθμούν σωστά δεν μπορούν να φτιάξουν ένα σύνολο, π.χ., με 5 αντικείμενα, αν δεν υπάρχει ένα δοσμένο τέτοιο που θα μπορούσαν να αντιγράψουν παιδιά ενώ έχουν καταμετρήσει δύο σύνολα και βρήκαν το ίδιο πλήθος παρόλα αυτά δεν μπορούν να απαντήσουν αν είναι ίσα και ξανά- απαριθμούν παιδιά που ξέρουν να απαριθμούν σωστά μπερδεύονται με έργα όπως τα έργα διατήρησης και λένε ότι μια πιο αραιή σειρά έχει περισσότερα αντικείμενα (βλ. έργα διατήρησης Piaget)

απαρίθµηση ως δεξιότητα παράδειγμα σε ένα πείραμα οι Frydman & Bryant (1988) ζήτησαν από παιδιά 4 ετών να μοιράσουν σε δύο κούκλες ένα σύνολο από ζαχαρωτά. ξεκίνησε μία διαδικασία «ένα για μένα ένα για σένα» κι αφού ολοκληρώθηκε ο ερευνητής απαρίθμηση δυνατά το σύνολο της μίας κούκλας και ρώτησε πόσα έχει η άλλη πολλά παιδιά δεν μπορούσαν να συνάγουν το αριθμό με τη λογική και έπρεπε να απαριθμήσουν το πλήθος της δεύτερης κούκλας

σηµασία της απαρίθµησης έστω κι αν η ύπαρξη δεξιοτήτων απαρίθμησης δεν σημαίνει απαραίτητα και πλήρη κατανόησης της διαδικασίας ως ένα χρήσιμο εργαλείο για την κατανόηση και χρήση του αριθμού παρόλα αυτά τα παιδιά μπορούν να ενισχυθούν στη χρήση της ως εργαλείο σιγά σιγά θα κατανοήσουν ότι μπορούν να τη χρησιμοποιούν για να βγάζουν συμπεράσματα όσον αφορά τον πλήθος και τον ίδιο τον αριθμό πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε ποικιλία περιστάσεων και να τονίζεται το νόημα της διαδικασίας

το σύνολο των αρχών της απαρίθµηση (οι βασικές:) Η αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο Η αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά Η αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου Η αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Η αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά των αντικειμένων που απαρίθμούνται δεν έχει σημασία και (κάποιες ακόμα) Η κίνηση είναι ποσότητα: αν πάμε κατά ένα (ή άλλον αριθμό) επάνω αυτό σημαίνει αύξηση της ποσότητας κατά ένα (ή άλλον αριθμό) και αν κινηθούμε κάποιους προς τα κάτω, αυτό σημαίνει μείωση της ποσότητας των αντικειμένων ομαδοποίηση σε δεκάδες: στο δεκαδικό σύστημα οι αριθμοί ομαδοποιούνται σε δεκάδες που συμβολίζονται με ένα ακόμα ψηφίο αριστερά του μονοψήφιου αριθμού (στη θέση της δεκάδας) και αντίστοιχα σε δεκάδες των δεκάδων (εκατοντάδες) κτλ. π.χ., στην απαρίθμηση ανά 10 (13, 23, 33,...) η ποσότητα αυξάνει κατά 10

η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο τα παιδιά ενώ αρχικά δεν κατανοούν τη σταθερότητα της σειράς των αριθμών γρήγορα την αναπτύσσουν δυσκολεύονται να κατανοήσουν ότι μπορούν να απαριθμήσουν διαφορετικά σύνολα που όμως να είναι ισόποσα, π.χ., εκπλήσσονται όταν 5 μπορεί να είναι τα 5 μολύβια και τα 5 πουλιά, κι ότι 5 μπορεί είναι τα 2 μολύβια και τα 3 στυλό αν απαριθμείς τα πράγματα στην κασετίνα. Δυσκολεύονται να κατακτήσουν την ένα προς ένα αντιστοιχία ειδικά για μικρές ποσότητες και τη σημασία της στη δημιουργία ισόποσων συνόλων Δυσκολεύονται να καταλάβουν ότι κάθε αντικείμενο που καταμετρήθηκε απέκτησε έναν αριθμό/ταμπέλα 38

η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο θεωρούν ότι αν μετρήσεις γρήγορα ή αργά έχει επίπτωση στην πληθικότητα κι ότι δισύλλαβες αριθμολέξεις αντιστοιχούν σε περισσότερα αντικείμενα, π.χ., sev- en represents two items; μόνο αργότερα κατακτούν την αρχή της πληθικότητας και την αρχή της αφαίρεσης (αν ρωτήσεις πόσα; δεν αισθάνονται την ανάγκη να ξαναμετρήσουν και ξέρουν ότι ο τελευταίος αριθμός δηλώνει ο πλήθος του συνόλου έχουν δυσκολία να απαριθμήσουν μεγάλα σύνολα γιατί είναι περιορισμένες οι στρατηγικές τους να ξεχωρίζουν τα αντικείμενα που έχουν ήδη καταμετρηθεί από τα άλλα και ταυτόχρονα να διατηρούν τη σταθερή σειρά της απαρίθμησης 39

η μάθηση της απαρίθμησης στο Νηπιαγωγείο Τα Νήπια: αναγνωρίζουν τη διαδικασία της απαρίθμησης ως τρόπο σύγκρισης ποσοτήτων και τη δυνατότητα που προσφέρει στο να αποφασίζουν αν μια ποσότητα είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με κάποια άλλη. η απαρίθμηση μέχρι το 30 πριν το τέλος του Νηπιαγωγείου μπορεί να έχει κάποιες δυσκολίες ειδικά στο πέρασμα 19-20, 29-30. μπορεί να λένε δεκαένα, δεκαδύο κτλ λόγω της γενίκευσης που κάνουν στον κανόνα της παραγωγής αριθμολέξεων της δεκάδας - ενώ έχουν λιγότερες δυσκολίες στους αριθμούς 20-30 μπορούν να απαριθμούν μέχρι το 30 αλλά δεν μπορούν όλα τα παιδιά να ξεκινήσουν από οποιονδήποτε αριθμό παρά μόνο από την αρχή. π.χ., δυσκολεύονται να μετρήσουν από το 10-30, να πουν ποιος αριθμός είναι μετά το 17 ή πριν από έναν αριθμό, ενώ μπορούν να απαριθμήσουν ανάποδα 40

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών πρακτικές συµβουλές και οδηγίες για τη διδασκαλία της απαρίθμησης στο νηπιαγωγείο

τι ξέρουν οι µαθητές του νηπιαγωγείου; Ανάλογα με το κοινωνικό- πολιτικό υπόβαθρο του παιδιού και την ανάπτυξή του: υπάρχουν παιδιά που έρχονται στο νηπιαγωγείο γνωρίζοντας να καταμετρούν μέχρι και το 10 άλλα παιδιά δεν γνωρίζουν, κάνουν λάθη και μπερδεύονται δεν ξέρουν ούτε τη συμβατική σειρά των αριθμολέξεων ούτε την εφαρμόζουν σωστά στα αντικείμενα

κάποιες επισηµάνσεις Οι μαθητές αρχικά καταμετρούν δείχνοντας ή μετακινώντας τα αντικείμενα Πιο εύκολα μετρούν τρισδιάστατα αντικείμενα και μετά δισδιάστατα Υπάρχει μεγαλύτερη δυσκολία στην απαρίθμηση συνόλου σε τυχαία διάταξη από την απαρίθμηση συνόλου με συγκεκριμένη δομή Πιο εύκολη είναι η διάταξη σε γραμμή Δεν υπάρχει κανείς λόγος να το κάνουμε πιο δύσκολο για τους μαθητές που δεν τα καταφέρνουν Άρα: μέχρι να κατανοήσουν τις αρχές της απαρίθμησης καλό είναι: Χρήση δαχτύλων και απόδοσή τους αριθμούς Να γίνεται διαρκώς η σύνδεση ανάμεσα στην αύξηση του αριθμού που σημαίνει αύξηση της ποσότητας Να χρησιμοποιούνται αντικείμενα χειροπιαστά που να μετακινούνται Αρχικά τρισδιάστατα και ύστερα δισδιάστατα Σύνολα με συγκεκριμένη και καθαρή διάταξη στο χώρο

κατανόηση της σειράς των αριθµολέξεων Χρησιμοποιείστε τα δάκτυλα σαν εξωτερικά αντικείμενα προς απαρίθμηση. Δείξτε το διαχωρισμός σε μετρημένα (κλειστά) δάχτυλα και μη- μετρημένα (ανοιχτά) Ομαδοποίηση της πεντάδας: το ένα χέρι είναι 5 χωρίς να τα μετράω και μετρά από κει και πάνω χέρι και 3 =8, χέρι και χέρι 10 44

διδακτικές πρακτικές Εργασία απαρίθμησης διαφόρων συνόλων αντικειμένων δυνατά και καθαρά σημασία της οικειοποίησης του μαθηματικού λόγου ως διαδικασία ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών (βλ. Sfard) σημασία της συμμετοχής του σώματος Ατομικές και ομαδικές δραστηριότητες απαρίθμησης χρήση ιστοριών/λογοτεχνία για εφόρμηση Μέτρηση ήχων π.χ., κέρματα που πέφτουν ένα σε τενεκεδάκι Βιωματικές δραστηριότητες: φτιάξτε δύο ομάδες με ίδιο αριθμό μαθητών - μετρήστε αν είναι ίδιοι μπείτε σε μία ομάδα και ξαναμετρήστε - βγάλτε δύο παιδιά και ξαναμετρήστε Παιχνίδια: ντόμινο, ζάρι, γκρινιάρης sesame street

κατανόηση της αρχής της ανεξαρτησίας της σειράς Βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν ένα σύνολο αντικειμένων για να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα είναι;» Μπερδέψτε τα αντικείμενα αλλάξτε τη διάταξή τους και ξαναρωτήστε «πόσα είναι;» ή ξεκινήστε την αρίθμηση από άλλο αντικείμενο Αν ξανά- καταμετρήσουν σημαίνει ότι δεν έχουν κατανοήσει την αρχή της διαφορετικής διάταξης Ζητήστε τους να εκτιμήσουν «πόσα είναι;» αν τα ξαναμετρήσουμε ξεκινώντας από άλλο αντικείμενο κάθε φορά Κουβεντιάστε γιατί ο αριθμός βγαίνει πάντα ίδιος

κατανόηση της αρχή της αφαίρεσης Δώστε στους μαθητές να απαριθμήσουν σύνολα με ίδιο πλήθος στοιχείων αλλά διαφορετικά σε επιφανειακά χαρακτηριστικά της μορφής: πιο μεγάλα αντικείμενα πιο μικρά ήχους, χρώματα, κινήσεις να μετρήσουν νοητικά αντικείμενα (π.χ., τα παράθυρα του σπιτιού τους, τους μαρκαδόρους στην κασετίνα τους) κάντε μια κουβέντα για τις ομοιότητες και τις διαφορές «σας φάνηκε περίεργο που ο αριθμός είναι ίδιος για τόσο διαφορετικά πράγματα;» σκεφτείτε πράγματα που έχουν ίδιο αριθμό αλλά είναι διαφορετικά π.χ., έχω 5 δάχτυλα, 5 μολύβια, στην οικογένειά μου είμαστε 5, έχω 5 διαφορετικά καπέλα

κατανόηση της αρχής της πληθικότητας Δώσε σύνολα αντικειμένων Κάνε την ερώτηση «πόσα;» θα πρέπει να επαναλαμβάνουν την τελευταία λέξη χωρίς να επαναλαμβάνουν την απαρίθμηση Άλλαξε την ερώτηση: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα Κρύψτε έναν αριθμό αντικειμένων (π.χ., 4 αντικείμενα) και συνεχίστε την απαρίθμηση από τον κρυμμένο αριθμό Ζητείστε να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: αρχικά ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, στη συνέχεια χωρίς δοσμένο σύνολο εργασίες: εποχιακές συλλογές αντικειμένων με ίδιο πλήθος (φύλλα, χελιδόνια, κόκκινα αυγά, ψάρια)

κατανόηση της σειράς των αριθμολέξεων χρησιμοποιήστε τραγουδάκια ώστε τα παιδιά να μάθουν την σειρά των αριθμών σύνδεση των λέξεων της πρώτης δεκάδας δέκα-... με τα ονόματα των μονοψήφιων αριθμών (1-9), με ιδιαίτερη προσοχή στη σχέση του έντεκα με το δέκα- ένα, και του δώδεκα, και μετά το ίδιο για τα είκοσι-... και μετά για τα - άντα (τριάντα, σαράντα,...) ο αριθμός 9 πάντα τερματίζει τη δεκάδα (π.χ., 29, 39, 49). το μοτίβο 10, 20, 30,... ακολουθεί το ίδιο μοτίβο με το 1, 2, 3,.... το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται με τις εκατοντάδες (110, 200, 300,...) το μοτίβο της απαρίθμησης 1-10, θα ακολουθηθεί στους 101-110 και το μοτίβο της σειράς των αριθμών 1-100 θα ακολουθηθεί στους 200-300, 300-400, κοκ

αυθεντικές καταστάσεις με νόημα παίξτε το παιχνίδι της εκτόξευσης: μετρήστε ανάποδα από 10 μέχρι το 1 και στο μηδέν φωνάξτε εκτόξευση ή απογείωση ή νίκη σε αγώνα πυγμαχίας τραγούδια, ιστορίες και παραμύθια όπου επαναλαμβάνεται η σειρά των αριθμολέξεων, ίσα ή ανάποδα και από διαφορετικές ενάρξεις, και ακόμα καλύτερα να εστιάζουν στους μη- κανονικούς αριθμούς (έντεκα, δώδεκα) π.χ., το παιχνίδι τράπεζα που μετρά χαρτονομίσματα, 50

...προς το τέλος χρησιμοποιείστε το αριθμητήριο εισάγετε το μοντέλο της αριθμογραμμής που θα χρησιμοποιηθεί αργότερα για πράξεις και περαιτέρω ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν τις χαράξεις μιας αριθμογραμμής σε πυκνή χάραξη σε αραιή χάραξη

...προς το τέλος Εισάγετε στις αριθμητικές πράξεις υπό μέσα από την απαρίθμηση Μετρήστε 6 αντικείμενα Μετρήστε 3+3 αντικείμενα Μετρήστε 2+4 αντικείμενα 4+2 1+5

τι καταφέραµε; Θεμελιώσαμε την έννοια του αριθμού με βάση τις αρχές και τις δεξιότητες της απαρίθμησης τις αριθμολέξεις (ένας αριθμός μία λέξη) την διακριτότητα των αντικειμένων και των αριθμών που τα χαρακτηρίζουν τις σχέσεις των αριθμών (επόμενος προηγούμενος) πράξεις με αριθμούς (προσθέτω και μεγαλώνει) Θεμελιώθηκε ο αριθμός: Στο επίπεδο των διαφόρων αντικειμένων και αναπαραστάσεων Στο επίπεδο του λόγου (βλ. οικειοποίηση του μαθηματικού λόγου, Sfard, 2007) Στο ενσώματο επίπεδο

βρείτε εκπαιδευτικό υλικό εδώ h p://www.sesamestreet.org/el h p://www.kidport.com h p://www.educagon.com h p://www.mathwire.com h ps://www.teachingchannel.org/videos/ mingle- count- a- game- of- number- sense

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Σχέδιο Μαθήµατος & Διδακτικοί στόχοι

βασικά στοιχεία ενός πλάνου μαθήματος 1. Σκοπός του µαθήµατος:... 1. Διδακτικός/οί στόχος/οι:................... 2. Διδακτική προσέγγιση:.................. 3. Μέσα διδασκαλίας/υλικά:.................................. 4. Δοµή µαθήµατος - πλάνο ροής: Περιγραφή επιµέρους βηµάτων διδασκαλίας:........... Δράσεις των µαθητών:................................. 5. Τρόπος (αυτο-)αξιολόγησης επίτευξης στόχου:..................................................................... 6.Βιβλιογραφία/πηγές:................................................ 7. Διάρκεια:.. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Σχέδιο µαθήµατος Βασικά βήματα: Στόχοι του μαθήματος, περιεχόμενο του μαθήματος, γνώση των μαθητών Διδακτικές μέθοδοι, υλικά, μέσα, πηγές, ασκήσεις, δραστηριότητες Αξιολόγηση που πηγαίνω και γιατί πως θα πάω πως θα καταλάβω ότι έφτασα Mager Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Σχέδιο µαθήµατος Καθορισμός των στόχων του μαθήματος } Ρητά εκφρασμένος, λεπτομερής περιγραφή των αλλαγών που αναμένονται στη συμπεριφορά/ικανότητα των μαθητών kαι τη νόησή τους, του τρόπου με τους οποίους θα εμφανιστούν Εισήγηση για το θέμα της ενότητας } Πρόκληση ενδιαφέροντος, κίνητρα, εφόρμηση Προσδιορισμός των βασικών εννοιών ορισμός, παραδείγματα, συνδέσεις Δραστηριότητες Τρόποι, τεχνικές, μέθοδοι διδασκαλίας, χρήση υλικού, εργασίες, συνεργασίες, κτλ Αξιολόγηση από μια ερώτηση μέχρι ειδικά κατασκευασμένα ερωτηματολόγια, ασκήσεις, test αξιολόγησης Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

σκοπός της αυτο-αξιολόγησης τα σχέδια διδασκαλίας αρχειοθετούνται για την επόμενη χρονιά η αξιολόγηση βοηθάει να θυμηθούμε τι κάναμε τότε, τι δεν πήγε καλά οπότε να κάνουμε τις απαραίτητες αλλαγές βοηθάει στη μεταγνώση μας σε σχέση με τη διδακτική πράξη και στην αυτοδιόρθωση Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών στόχοι και στοχοθεσίες

Σκοποί και στόχοι Σκοποί (Goals): Γενικές και μη σαφώς καθορισμένες επιδιώξεις για μακροπρόθεσμα αποτελέσματα Όταν οι σκοποί αναλυθούν με λεπτομέρεια, και αν αναφέρονται σε συγκεκριμένες συμπεριφορές/ ικανότητες/δεξιότητες που μπορούν να παρατηρηθούν ή/και να μετρηθούν, τότε έχουμε στόχους (ObjecYves) Στους εκπαιδευτικούς στόχους προτιμούμε να δηλώνεται η αναμενόμενη συμπεριφορά/ικανότητα του μαθητή αυτή που θα μπορέσουμε στο τέλος να αξιολογήσουμε Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Διδακτικοί στόχοι Ο διδακτικός στόχος δηλώνει τη συμπεριφορά/ικανότητα που αναμένουμε να έχει ο μαθητής στο τέλος μιας διδακτικής ενότητας ως αποτέλεσμα της διδασκαλίας- μάθησης Συμφωνεί με τους ευρύτερους στόχους που θέτει το αναλυτικό πρόγραμμα Περιέχει τα βασικά σημεία της διδακτικής ενότητας Ανταποκρίνεται στις ικανότητες και εμπειρίες των μαθητών Βοηθά στην επιλογή της διδακτέας ύλης, στον προγραμματισμό της διδασκαλίας, και στην αξιολόγηση του βαθμού επιτυχίας της διδασκαλίας Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Αντικειµενικοί διδακτικοί στόχοι Ένας αντικειμενικός στόχος αποσαφηνίζει την αλλαγή που επιδιώκεται να επέλθει στο μαθητή μετά το τέλος του μαθήματος Ο όρος «αλλαγή συμπεριφοράς» χρησιμοποιείται γενικά στη θεωρία των αντικειμενικών στόχων καθώς έχει επηρεαστεί πολύ από τις θέσεις της ψυχολογίας της συμπεριφοράς βλ. μάθηση = αλλαγή συμπεριφοράς Ο Mager διαπιστώνει πως οι μαθητές που γνωρίζουν από την αρχή τους στόχους του μαθήματος διαθέτουν 65 % λιγότερο χρόνο για διάβασμα από αυτούς που τους αγνοούν από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Γιατί χρησιµοποιούµε αντικειµενικούς στόχους (1/2) 1. Καθοδηγούν τις προσπάθειες του μαθητή για μελέτη: ακριβής διατύπωση του τι περιμένουμε από τους μαθητές. Οι προσεκτικά διατυπωμένοι στόχοι βοηθούν τους μαθητές να μην σπαταλούν πολύτιμο χρόνο και ενέργεια μελετώντας λάθος πράγματα 2. Καθοδηγούν τις προσπάθειες του καθηγητή για διδασκαλία: εξασφαλίζουν έναν επαρκή τρόπο σχεδιασμού των δραστηριοτήτων της διδασκαλίας από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Γιατί χρησιµοποιούµε αντικειµενικούς στόχους (2/2) 3. Καθοδήγηση των προσπαθειών του μαθητών και των καθηγητών για αξιολόγηση: τα τεστ που σκοπεύουν σε καθαρά εξειδικευμένους στόχους δίνουν στον μαθητή την ευκαιρία να δείξει πως έχει πετύχει ό,τι αναμενόταν από αυτόν Επίσης τα αποτελέσματά τους εξασφαλίζουν στον καθηγητή έναν εύχρηστο τρόπο για να εξακριβώσει αν οι διδακτικές του προσπάθειες είναι αποτελεσματικές ή όχι από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ο καθορισµός των διδακτικών στόχων αποτελεί το επίκεντρο ενός αποτελεσματικού σχεδιασμού της διδασκαλίας έχει ρόλο κατευθυντήριας γραμμής οργάνωσης της ύλης επιλογής της μεθόδου διδασκαλίας κριτήριο αξιολόγησης Προηγείται όλων των άλλων στοιχείων της διδασκαλίας από: Μητροπούλου, Β Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ο καθορισµός των διδακτικών στόχων Ο διδακτικός στόχος θα πρέπει να διατυπώνει ή να περιγράφει με σαφήνεια, ακρίβεια, πληρότητα και συνοπτικά την ικανότητα ή τη δραστηριότητα για την οποία θα είναι ικανοί οι μαθητές μετά το τέλος του μαθήματος. Ο στόχος προσδιορίζει ένα επιδιωκόμενο αποτέλεσμα διδασκαλίας δεν περιγράφει την πορεία της διδασκαλίας ούτε το περιεχόμενο της διδακτικής ενότητας και έχει ρηματική διατύπωση. Κατά τη σύνταξη ενός διδακτικού στόχου ο εκπαιδευτικός θέτει τα παρακάτω ερωτήματα : Τι θέλω να πετύχουν οι μαθητές; Πώς θα το κατορθώσω (με ποια μέσα); Πώς θα ελέγξω ότι το πέτυχαν; από: Μητροπούλου, Β Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Πλεονεκτήµατα σαφώς καθορισµένων στόχων: Ο καθορισμός των στόχων διδασκαλίας αποτελεί τη βάση για το σχεδιασμό και τη διεξαγωγή ενός αποτελεσματικού μαθήματος Οι στόχοι διδασκαλίας αποτελούν ασφαλές και αντικειμενικό κριτήριο ελέγχου (αξιολόγηση εκπαιδευτικού μαθητή) Η σαφής διατύπωση σκοπών διδασκαλίας συμβάλλει στη δραστηριοποίηση των μαθητών & στη ρύθμιση των προσπαθειών τους για να κατακτήσουν το στόχο. π.χ.: να μπορεί κι ο πιο αδύναμος μαθητής να πει πιο είναι μεγαλύτερο και πιο μικρότερο από δύο κλάσματα με ίδιο παρονομαστή από: Μητροπούλου, Β Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Διατύπωση αντικειµενικών στόχων Παρά την χρησιμότητα των αντικειμενικών στόχων οι περισσότεροι καθηγητές δυσκολεύονται να διατυπώσουν αντικειμενικούς στόχους Κανόνες: Πρέπει να επικεντρώσουμε την προσοχή μας στα γνωστικά επιτεύγματα των μαθητών και όχι στην διαδικασία της μάθησης Πρέπει να επικεντρώσουμε την προσοχή μας στη συμπεριφορά του μαθητή και όχι του καθηγητή Πρέπει να διατυπώνουμε τους αντικειμενικούς στόχους με τρόπο σαφή και συγκεκριμένο. από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Μια σαφής διατύπωση στόχου: περιγράφει με τον καλύτερο τρόπο αυτό που θέλουμε να μπορούν να κάνουν οι μαθητές στους οποίους αναφέρεται ο στόχος και δηλώνει την επιδιωκόμενη συμπεριφορά, με τόση σαφήνεια ώστε να αποκλείονται οι παρεξηγήσεις και να μπορεί να αξιολογηθεί Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Τα βασικά στοιχεία που απαιτούνται να περιλαµβάνει µια σωστή διατύπωση στόχων διδασκαλίας είναι: Δραστηριότητα : τι πρέπει να μπορεί να κάνει ο μαθητής Συνθήκες : κάτω από ποιες συνθήκες θέλουμε να μπορεί να το κάνει ο μαθητής Κριτήρια : πόσο καλά πρέπει να μπορεί να το κάνει από: Μητροπούλου, Β Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Καλοί Διδακτικοί στόχοι στη διδασκαλία των μαθηματικών

Στοιχεία ενός καλά διατυπωµένου στόχου (Mager, 1975) 1. Το υποκείμενο: να είναι ξεκάθαρο ποιο πρόσωπο αναμένεται να επιδείξει μια συμπεριφορά/ικανότητα Η ενέργεια: η απάντηση στην ερώτηση «τι θα κάνει το υποκείμενο για να επιδείξει την αναμενόμενη συμπεριφορά/ικανότητα» Να χρησιμοποιούνται σαφή ρήματα που δηλώνουν δράση/ενέργεια, όχι αφηρημένα και γενικά Το αποτέλεσμα: το παράγωγο της ενέργειας Οι συνθήκες: οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες θα εμφανιστεί η συμπεριφορά/ικανότητα Π.χ. Ο χώρος, τα μέσα, ο τρόπος εργασίας κλπ. Ο βαθμός επίτευξης: το κριτήριο για να θεωρηθεί το αποτέλεσμα ικανοποιητικό Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Παράδειγµα 1 a) Ποιος θα εμφανίσει την επιδιωκόμενη συμπεριφορά/ ικανότητα b) Ποια παρατηρήσιμη συμπεριφορά/ικανότητα δείχνει ότι ο επιδιωκόμενος στόχος επιτεύχθηκε c) Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα της συμπεριφοράς/ικανότητας d) Μέσα σε ποιες συνθήκες θα εμφανισθεί αυτή η συμπεριφορά/ικανότητα e) Με ποια κριτήρια θα θεωρηθεί ότι το αποτέλεσμα της συμπεριφοράς/ικανότητας αυτής θα είναι ικανοποιητικό Ο μαθητής πρέπει να είναι ικανός να εφαρμόζει τις διαδικασίες σε γλώσσα Pascal όταν του δοθεί μια άσκηση αμέσως μετά την αντίστοιχη διδασκαλία στην τάξη και το 80% των μαθητών να απαντήσει χωρίς κανένα λάθος από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Παράδειγµα 2 a) Ποιος θα εμφανίσει την επιδιωκόμενη συμπεριφορά b) Ποια παρατηρήσιμη συμπεριφορά δείχνει ότι ο επιδιωκόμενος στόχος επιτεύχθηκε c) Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα της συμπεριφοράς d) Μέσα σε ποιες συνθήκες θα εμφανισθεί αυτή η συμπεριφορά e) Με ποια κριτήρια θα θεωρηθεί ότι το αποτέλεσμα της συμπεριφοράς αυτής θα είναι ικανοποιητικό Ο υποψήφιος εκπαιδευτικός οφείλει να είναι σε θέση μετά την διδασκαλία περί αντικειμενικών σκοπών να διατυπώνει αντικειμενικούς σκοπούς της διδασκαλίας του μαθήματος της ειδικότητας του έχοντας υπόψη του τον γενικό σκοπό του μαθήματος, όπως ορίζεται στο Αναλυτικό Πρόγραμμα, τη διδακτέα ύλη και γενικά τους συγκεκριμένους περιορισμούς του μαθήματος και οι στόχοι αυτοί να είναι πλήρεις και σαφείς και να μπορούν να εφαρμοστούν στην πράξη από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Διατύπωση αντικειµενικών στόχων Συνίσταται η χρήση ρημάτων με ακριβές νόημα Τα ρήματα «ξέρω καλά», «γνωρίζω», «κατανοώ», είναι λιγότερο ακριβή από τα «εξακριβώνω», «διατυπώνω», «απαριθμώ» Η θεωρία προτείνει να χρησιμοποιούμε, όταν διατυπώνουμε αντικειμενικούς στόχους, ρήματα με το ακριβέστερο δυνατό νόημα Οι εκπαιδευτές θα πρέπει να προσδιορίσουν με σαφή τρόπο την αλλαγή που επιθυμούν στη συμπεριφορά του μαθητή στο τέλος της εκπαιδευτικής διαδικασίας από: Αμπαλάκης, Σ Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κατά τη διατύπωση του στόχου χρησιµοποιούµε ρήµατα που δηλώνουν δραστηριότητα (του µαθητή) : Ο μαθητής (να μπορεί) DO να γράφει να απαγγέλλει να εντοπίζει να αναφέρει να επιλέγει να επισημαίνει να διηγείται να περιγράφει να κατασκευάζει να διακρίνει να συγκρίνει να αντιπαραθέτει να διαπιστώνει να κατονομάζει να απαριθμεί να σχεδιάζει, να υπογραμμίζει]. Ρήµατα που δηλώνουν αφηρηµένες καταστάσεις DON T Καταλαβαίνω Πιστεύω Συνειδητοποιώ Κατανοώ Προσέχω Εμπιστεύομαι Εκτιμώ Γνωρίζω Αντιλαμβάνομαι Εσωτερικεύω Ευαισθητοποιούμαι Κωνσταντίνος Π. Χρήστου από: Μητροπούλου, Β

Μερικά ακόµη παραδείγµατα π.χ.: να μπορεί κι ο πιο αδύναμος μαθητής να πει πιο είναι μεγαλύτερο και πιο μικρότερο από δύο κλάσματα με ίδιο παρονομαστή Ο μαθητής, αφού θα έχει παρακολουθήσει το σχετικό μάθημα κι αν του ζητηθεί, θα πρέπει να μπορεί να φτιάξει ένα πρόβλημα που να λύνεται με πρόσθεση δύο αριθμών που αυτός θα επιλέξει Ο μαθητής, θα πρέπει να είναι ικανός να στρογγυλοποιήσει στο εκατοστό, έναν δεκαδικό αριθμό με τέσσερα δεκαδικά ψηφία Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Μερικά ακόµη παραδείγµατα Να είναι ικανό το 80 % των μαθητών να ξεχωρίζει, και να αναφέρει τουλάχιστον μία ιδιότητα των τεσσάρων κατηγοριών τριγώνων (ισόπλευρο, ισοσκελές, ορθογώνιο, σκαληνό), όταν του δοθούν σε διαφορετικά μεγέθη και κλίσεις Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ταξινοµία Blοom & Krathwohl για τους γνωστικούς στόχους...κι άλλα ρήµατα Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ταξινοµία Blοom & Krathwohl για τους γνωστικούς στόχους...κι άλλα ρήµατα Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Διδακτικοί στόχοι για τα μαθηματικά στο νηπιαγωγείο 82

κάποιοι διδακτικοί στόχοι για τα μαθηματικά στο νηπιαγωγείο Math Objecgves The following is a list of the Mathemagcs objecgves covered in the kindergarten curriculum. This is not what a child needs to know upon entering kindergarten. Rather, it is what a child should be introduced to and master during the year to prepare him or her for first grade. Some concepts are more difficult than others, but if you begin to introduce these objecgves to your child in the preschool years, it will be much easier for your child to master them in kindergarten. 1. classify, sort objects by size, color, and shape 2. place/move: to le and right 3. place/move: over, under, on 4. place/move: above, below, between 5. place/move: inside and outside 6. place/move: first to tenth place 7. place/move: beginning or last/end 8. follow a 2- step direcgon 9. follow a 4- step direcgon 10. sequence smallest to largest 11. sequence events in a story 12. contrast size as same/different 13. contrast size as smaller/larger 14. contrast distance: near/far 15. contrast quangty: all/some/none 16. contrast quangty: one more than, one less than...... 83

Διδακτικοί στόχοι Κριτική Στόχοι συμπεριφορικού τύπου Αξιολογείται ότι μπορεί να παρατηρηθεί σε συγκεκριμένες συνθήκες πολύ περιορισμένο Το απρόβλεπτο; Μάθηση ως ανάπτυξη μη αξιολογήσιμων γνωστικών ικανοτήτων Τεχνοκρατική αντίληψη δεν προσφέρονται όλα τα αντικείμενα για έκφραση δομημένων στόχων. π.χ., τα μαθηματικά προσφέρονται αλλά η λογοτεχνία όχι τόσο οι μαθητές μαθαίνουν σαν στρατηγικές να προσαρμόζονται στην παραγωγή των στόχων και να ανταποκρίνονται στο μάθημα που έχει στηθεί έτσι και δεν αναπτύσσουν εσωτερικές διαδικασίες αυτορύθμισης της μάθησής τους. οι στόχοι αναπαράγουν αξίες μιας κοινωνίας άκριτα και επιβάλλονται στους μαθητές ασυνείδητα Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Μια κριτική Το κλασικό έργο του Τyler «Βασικές αρχές του αναλυτικού προγράµµατος και της διδασκαλίας» στηρίζεται στον συµπεριφορισµό. Εδώ, το αναλυτικό πρόγραµµα είναι µέσο για να επιτευχθούν κάποιοι στόχοι, οι οποίοι πρέπει να είναι σαφείς. Μετά τη διδασκαλία, θα γίνει αξιολόγηση µε κριτήριο το κατά πόσο αυτοί οι στόχοι επετεύχθησαν. Δεν είναι τυχαίο ότι ο συµπεριφορισµός αναπτύχθηκε στις ΗΠΑ µετά το τέλος του Β Παγκοσµίου Πολέµου και ιδιαίτερα την εποχή του µακαρθισµού. Οι κυβερνήσεις των ΗΠΑ προκειµένου να ελέγξουν και να περιορίσουν τους αριστερούς εκπαιδευτικούς προχώρησαν σε έναν λεπτοµερή προσδιορισµό της σχολικής γνώσης και του τρόπου αξιολόγησής της. Οι παρεκκλίσεις από τη σχολική ύλη, το άνοιγµα θεµάτων για συζήτηση και έρευνα, κοντολογίς όλες οι ερευνητικές και βιωµατικές πρακτικές που αποτελούσαν το ρεπερτόριο του κινήµατος της Νέας Αγωγής εξοβελίσθηκαν σταδιακά από τα σχολεία. h p://www.tanea.gr/default.asp Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Διδακτικοί στόχοι-κριτική Απάντηση Στόχοι ως απάντηση στους αφηρημένους βερμπαλισμούς Η κριτική στους στόχους μπορεί να γίνει και στις παραδοσιακές προσεγγίσεις Οι στόχοι μπορεί να είναι τεχνοκρατικοί, μπορεί και όχι Συμπέρασμα Ευελιξία, αλλαγή, προσαρμοστικότητα στους στόχους στοχοθεσία ως διαδικασία στοχασμού του δασκάλου για το μάθημα που θα κάνει, και αναστοχασμού για το τι έγινε και τι δεν έγινε κάθε προσκόλληση και ιεροποίηση είναι προς το κακό αλλά είναι καλή η διαδικασία στοχοθεσίας χωρίς τη φετιχοποίησή τους Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

µέθοδοι διδασκαλίας Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

µέθοδο διδασκαλίας στο σχέδιο διδασκαλίας αναφέρονται επίσης: επιγραμματικά οι μέθοδοι διδασκαλίας που θα χρησιμοποιηθούν (π.χ, ερωταποκρίσεις, μετωπική, ομαδοσυνεργατική, κτλ.) τα υλικά που θα χρησιμοποιηθούν: π.χ., προτζέκτορας, χαρτόνια, ψεύτικα χαρτονομίσματα, κτκ. οι δραστηριότητες των μαθητών: οι δράσεις των μαθητών π.χ., θα ζωγραφίσουν τα χαρτόνια, θα συμπληρώσουν τα κενά, θα κάνουν την άσκηση του βιβλίου, κτλ. το πλάνο ροής: η σειρά των δράσεών μας π..χ, α) ερώτηση αφόρμησης, β) δραστηριότητα με χαρτόνια, γ)...στ) ερώτηση αξιολόγησης Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

(αυτο-) αξιολόγηση Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

(αυτο-) αξιολόγηση είναι το τελευταίο αλλά πολύ σημαντικό βήματα μιας διδασκαλίας που έχει σχέδιο ορίζεται με βάση και σε άμεση σχέση με το στόχο και είναι τρόπος να ελεγχθεί αν ο στόχος επιτεύχθηκε ή όχι μπορεί να είναι μια ερώτηση, ένα σύντομο τεστ, ένα παιχνίδι, κτλ παράδειγμα: στόχος: να μπορούν όλοι οι μαθητές να διατάξουν από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο αριθμούς με δύο δεκαδικά ψηφία αξιολόγηση: ερώτηση: βάλτε σε σειρά από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο τους παρακάτω αριθμούς: 9,45 23,34 0.67 1,11 Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κωνσταντίνος Π. Χρήστου