υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 4. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγοεύεται η χήση, αντιγαφή, αποθήκευση και διανοµή της παούσης εγασίας, εξ ολοκλήου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµποικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κεδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή εευνητικής φύσεως, υπό την ποϋπόθεση να αναφέεται η πηγή ποέλευσης και να διατηείται το παόν µήνυµα. - 4. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Εκπαιδευτική Ενότητα4 η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων µε την Ενεγειακή Αχή Lagrange Εφαµογή Γενικά Σε ποηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0 & 07), παουσιάσθηκε η χήση της Ενεγειακής Αχής Lagrange στη µοντελοποίηση µηχανικών δυναµικών συστηµάτων. Ειδικότεα, στην πείπτωση ενός µονοβάθµιου µηχανικού συστήµατος διαπιστώσαµε ότι η έννοια της ενέγειας, λόγω της τεταγωνικής της µοφής, αποτελεί ένα εξαιετικά απλό, στη χήση, εγαλείο, µε το οποίο, γήγοα και εύκολα, καταλήγουµε στην εξίσωση κίνησης του συστήµατος. Στη συνέχεια, είδαµε ότι σε ένα πολυβάθµιο µηχανικό σύστηµα, η χήση της Ενεγειακής Αχής Lagrange είναι εξίσου απλή και εύκολη, διότι, η ενέγεια, ως βαθµωτό µέγεθος, χαακτηίζεται από την ποσθετική ιδιότητα, συνεπώς η αντιµετώπιση ενός πολυβάθµιου µηχανικού συστήµατος ανάγεται σε απλή άθοιση οµοίων ενεγειακών όων. Στη συνέχεια (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 3), είδαµε ότι η χήση της εν λόγω ενεγειακής αχής δεν πειοίζεται µόνον στα µηχανικά δυναµικά συστήµατα, αλλά είναι εφαµόσιµη σε κάθε είδος δυναµικού συστήµατος (π.χ. ηλεκτικό, υδαυλικό, θεµικό, κοκ). Στην παούσα Εκπαιδευτική Ενότητα θα γνωίσουµε τον τόπο µε τον οποίο είναι δυνατόν να χησιµοποιήσουµε την Ενεγειακή Αχή Lagrange στη µοντελοποίηση σύνθετων (ή, ισοδύναµα, συζευγµένων) δυναµικών συστηµάτων, δηλαδή δυναµικών συστηµάτων τα οποία πειλαµβάνουν υποσυστήµατα διαφοετικής φύσης. Για παάδειγµα, ένα ευστοµηχανικό σύστηµα αποτελείται από (τουλάχιστον) ένα υδαυλικό και ένα µηχανικό υποσύστηµα, ενώ ένα ηλεκτοµηχανικό σύστηµα αποτελείται από (τουλάχιστον) ένα ηλεκτικό και ένα µηχανικό υποσύστηµα. Είναι ποφανές ότι στη σχεδίαση ενός σύνθετου συστήµατος δεν υπάχει πειοισµός ούτε ως πος το πλήθος των υποσυστηµάτων ούτε ως πος τη φύση των υποσυστηµάτων, τα οποία είναι δυνατόν να χησιµοποιηθούν. Συνεπώς, η διατύπωση ενός συστηµατικού τόπου για την κατάστωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου συστήµατος είναι εξαιετικής σηµασίας για την πεαιτέω ανάλυση του συστήµατος και τον υπολογισµό της απόκισής του. Βασικό στοιχείο στη διαµόφωση αυτού του συστηµατικού τόπου αποτελεί η σύζευξη µεταξύ δύο, διαφοετικής φύσεως, υποσυστηµάτων. Η σύζευξη αυτή επιτυγχάνεται διότι τα υποσυστήµατα διαθέτουν συγκεκιµένα τεχνολογικά στοιχεία, τα οποία καλούνται µετασχηµατιστές, µέσω των οποίων επιτέπεται η ανταλλαγή ενέγειας (και ειδικότεα ισχύος) µεταξύ των υποσυστηµάτων. Μετασχηµατιστές (Ενισχυτές και αναστοφείς) Οι µετασχηµατιστές διακίνονται σε ενισχυτές και αναστοφείς. Ένας τυπικός ενισχυτής απεικονίζεται στο Σχήµα α. Η αιστεή πλευά του ενισχυτή θεωείται ως η είσοδος του ενισχυτή και σε αυτήν σηµειώνεται ένα ζεύγος µεταβλητών ισχύος (, ) F υ, οι οποίες ονοµάζονται µεταβλητές ισχύος εισόδου. Κατ αντιστοιχία, η δεξιά πλευά του ενισχυτή - 4.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών θεωείται ως η έξοδος του ενισχυτή και σε αυτήν σηµειώνεται πάλι ένα ζεύγος µεταβλητών ισχύος (, ) F υ, οι οποίες ονοµάζονται µεταβλητές ισχύος εξόδου. (α) Σχήµα : Μετασχηµατιστές: (α) ενισχυτής και (β) αναστοφέας Επειδή η ισχύς διατηείται, έπεται ότι ισχύει: (β) Fυ = Fυ = P () Σε ένα µηχανικό σύστηµα, τα σύµβολα F και F, εκφάζουν δύναµη. Πιο γενικά όπως είδαµε στην Εκπαιδευτική Ενότητα 3, τα σύµβολα αυτά αντιστοιχούν σε σθένος. Επίσης, σε ένα µηχανικό σύστηµα, τα σύµβολα υ και υ εκφάζουν ταχύτητα, ενώ, γενικότεα, εκφάζουν οή. Σε έναν ενισχυτή, µεταξύ των σθενών F και F, ισχύει: F =Τ F () Η σταθεά Τ καλείται σταθεά του ενισχυτή. Ο συνδυασµός των Εξ.(,) δίδει: Fυ = Fυ Fυ =Τ F υ υ = υ T (3) Στην κατηγοία των ενισχυτών ανήκουν διάφοα τεχνολογικά συστήµατα, όπως: Σύστηµα µοχλού Στο Σχήµα απεικονίζεται ένα σύστηµα µοχλού πώτου είδους (δηλαδή, το υποµόχλιο βίσκεται µεταξύ των σηµείων εφαµογής των δυνάµεων F και F ). Ως l και l συµβολίζονται οι µοχλοβαχίονες των δυνάµεων F και F, αντίστοιχα. Σχήµα : Σύστηµα µοχλού (πώτου είδους) Σε αυτήν την πείπτωση, από την ισοοπία των οπών πεί το υποµόχλιο Y ποκύπτει: l Fl = Fl F = F l Τ (4) - 4.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Από τον συνδυασµό των Εξ.(,4), ποκύπτει ότι η σταθεά Τ του ενισχυτή, σε αυτήν την πείπτωση, ισούται µε: l Τ= l (5) Ως εκ τούτου, ο συνδυασµός των Εξ.(3,5) δίδει: l l = = υ υ Τ= l υ υ T l (6) Το ποιοτικό συµπέασµα των Εξ.(4,6) είναι ο γνωστός κανόνας: ό,τι κεδίζεται σε δύναµη, χάνεται σε ταχύτητα. Σύστηµα ατέµονα κοχλία κοώνας Στο Σχήµα 3 απεικονίζεται ένα σύστηµα ατέµονα κοχλία κοώνας, µέσω του οποίου η πειστοφική κίνηση της κοώνας µετατέπεται σε γαµµική κίνηση του κοχλία. (α) Σχήµα 3: Σύστηµα ατέµονα κοχλία κοώνας: (α) 3 απεικόνιση και (β) σχηµατική αναπαάσταση Σε αυτήν την πείπτωση, ισχύει: (β) M = r F και ω= υ r (7) Συνεπώς, ο συντελεστής του ενισχυτή ισούται µε: Τ= r (8) Ζεύγος οδοντωτών τοχών Στο Σχήµα 4 απεικονίζεται ένα ζεύγος οδοντωτών τοχών, µέσω του οποίου η πειστοφική κίνηση του κινητηίου τοχού µεταδίδεται στον κινούµενο τοχό και ποκαλεί την πειστοφή του, µη την ίδια ή διαφοετική ταχύτητα πειστοφής (ανάλογα µε τη σχέση µετάδοσης). Πηγή: http://www.indiastudychannel.com/resources/736-mechanical-gears.aspx - 4.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών (α) Σχήµα 4: Σύστηµα ζεύγους οδοντωτών τοχών: (α) 3 απεικόνιση και (β) σχηµατική αναπαάσταση Σε αυτήν την πείπτωση, ισχύει: (β) M M r F = = M = M r r r και r ωr = ωr = υ ω = ω r (9) Συνεπώς, ο συντελεστής του ενισχυτή ισούται µε: r Τ= r (0) Υδαυλικό έµβολο Στο Σχήµα 5 απεικονίζεται ένα υδαυλικό έµβολο. Πιο συγκεκιµένα, στο Σχήµα 5β απεικονίζεται ένα έµβολο µε εµβαδόν επιφάνειας A, το οποίο ωθείται πος τα δεξιά λόγω διοχέτευσης ευστού πος την εν λόγω επιφάνεια µε παοχή Q και υπό πίεση P. Το έµβολο θα κινηθεί µε ταχύτητα υ, ενώ το ελεύθεο άκο του είναι ικανό να ασκήσει δύναµη F. (α) Σχήµα 5: Υδαυλικό έµβολο απλής ενέγειας: (α) 3 απεικόνιση 3 και (β) σχηµατική αναπαάσταση Σε αυτήν την πείπτωση, ισχύει: (β) F = A P και υ = Q A () Πηγή: http://www.indiamart.com/taherengineering/gears.html 3 Πηγή: http://www.allsealsinc.com/hydraulicseals.html - 4.6 -
Συνεπώς, ο συντελεστής του ενισχυτή ισούται µε: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Τ= A () Τυπική εφαµογή αυτού του ενισχυτή αποτελεί ο υδαυλικός γύλος, ο οποίος χησιµοποιείται στα συνεγεία αυτοκινήτων για την ανύψωση των οχηµάτων. Ηλεκτικός µετασχηµατιστής Πόκειται για µια συσκευή, µέσω της οποίας επιτυγχάνεται η µεταφοά ηλεκτικής ενέγειας µεταξύ δύο κυκλωµάτων. Λειτουγεί σύµφωνα µε το νόµο επαγωγής Faraday. Σχήµα 6: Σχηµατική απεικόνιση ηλεκτικού µετασχηµατιστή Ειδικότεα, για τον ηλεκτικό µετασχηµατιστή του Σχήµατος 6, µία µεταβολή της τάσης U έχει ως αποτέλεσµα την επαγωγή τάσης U, σύµφωνα µε τη σχέση: U N N = U = U U N N (3) όπου µε το σύµβολο N συµβολίζεται το πλήθος των πειελίξεων. Από την Εξ.() έπεται ότι η σταθεά του ενισχυτή ισούται µε: T N = N (4) Με άλλα λόγια, η σταθεά του ηλεκτικού µετασχηµατιστή ισούται µε το λόγο των τυλιγµάτων του µετασχηµατιστή. Συνοψίζοντας: Οι ενισχυτές είναι τεχνολογικά στοιχεία, τα οποία µετατέπουν Σθένος σε Σθένος και Ροή σε Ροή. Εκτός των ενισχυτών, υπάχει και η αντίθετη (ανάστοφη) δυνατότητα: Οι αναστοφείς είναι τεχνολογικά στοιχεία, τα οποία µετατέπουν Σθένος σε Ροή και Ροή σε Σθένος. - 4.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Ένας τυπικός αναστοφέας απεικονίζεται στο Σχήµα β. Επειδή και στην πείπτωση του αναστοφέα, η ισχύς διατηείται, έπεται ότι ισχύει: Fυ = Fυ = P (5) Σύµφωνα µε τον συµβολισµό που υιοθετήθηκε ποηγουµένως, οι µεταβλητές υ και υ εκφάζουν οή και οι µεταβλητές F και F εκφάζουν σθένος. Σε έναν αναστοφέα ισχύει: F Gυ = (6) Η σταθεά G καλείται σταθεά του αναστοφέα. Ο συνδυασµός των Εξ.(5,6) δίδει: Fυ = Fυ Fυ = Gυυ υ = F G (7) Το πλέον κλασσικό παάδειγµα αναστοφέα είναι η ηλεκτοµηχανική µετατοπή ενέγειας. Σχήµα 7: Σχηµατική απεικόνιση ηλεκτοµηχανικής µετατοπής ενέγειας Πιο συγκεκιµένα, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 7, έστω ότι µέσα σε ένα µαγνητικό πεδίο έντασης B βίσκεται ηλεκτικός αγωγός µήκους L, ο οποίος διαέεται από εύµα έντασης i και κινείται µε ταχύτητα υ. Θεωώντας ότι η διεύθυνση του αγωγού, η διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου B και η διεύθυνση της ταχύτητας υ είναι µεταξύ τους κάθετες, έπεται ότι η δύναµη Laplace, η οποία θα αναπτυχθεί στον αγωγό αυτό, είναι ίση πος: F = BLi (8) Η διεύθυνση της ανωτέω δύναµης βίσκεται σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιόστοφου κοχλία (κανόνας της δεξιάς χειός). Επιποσθέτως, στα άκα του αγωγού θα εµφανισθεί ηλεκτεγετική δύναµη U µέτου: U Bυ L = (9) G Από την Εξ.(9) ποκύπτει: υ = U BL (0) - 4.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Στο αιστεό µέος των Εξ.(8,0) διακίνουµε µηχανικά µεγέθη, ενώ στο δεξί µέος των ίδιων εξισώσεων διακίνουµε ηλεκτικά µεγέθη. Συνεπώς, διαπιστώνουµε ότι οι Εξ.(8,0) πειγάφουν µια ηλεκτοµηχανική µετατοπή ενέγειας, στην οποία: Η δύναµη F, η οποία σε ένα µηχανικό σύστηµα εκφάζει σθένος, µετατέπεται σε ένταση εύµατος i, η οποία σε ένα ηλεκτικό σύστηµα εκφάζει οή. Η, δε, σταθεά αναλογίας ισούται µε το γινόµενο της έντασης B του µαγνητικού πεδίου επί το µήκος L του αγωγού. Η ταχύτητα υ, η οποία σε ένα µηχανικό σύστηµα εκφάζει οή, µετατέπεται σε διαφοά δυναµικού (τάση) U, η οποία σε ένα ηλεκτικό σύστηµα εκφάζει σθένος. Η, δε, σταθεά αναλογίας είναι αντιστόφως ανάλογη του γινοµένου της έντασης B του µαγνητικού πεδίου επί το µήκος L του αγωγού. Με βάση τα ανωτέω, ποκύπτει ότι ο ηλεκτοκινητήας, στη βασική του σύλληψη, δεν είναι τίποτε άλλο παά ένας ηλεκτοµηχανικός µετατοπέας ενέγειας, στον υπολογισµό του οποίου λογίζεται το συνολικό µήκος του αγωγού που χησιµοποιείται στον ηλεκτοκινητήα. Η, δε, ένταση του µαγνητικού πεδίου σχετίζεται µε την ικανότητα ανάπτυξης µαγνητικού πεδίου µέσα στον ηλεκτοκινητήα. ιευκινίζεται ότι η τιµή της σταθεάς G του ηλεκτοκινητήα (βλ. Εξ.9) δίδεται από τον εκάστοτε κατασκευαστή. Αντίστοιχα λειτουγεί µία ηλεκτογεννήτια, στην πείπτωση της οποίας, αντί δύναµης F και ταχύτητας υ, εµφανίζεται οπή M και γωνιακή ταχύτητα ω. Σε αυτό το σηµείο πέπει να τονισθεί ότι η µέχι στιγµής ποσέγγιση των ενισχυτών και των αναστοφέων στηίζεται σε δύο απλοποιητικές πααδοχές: Στα ποαναφεθέντα τεχνολογικά συστήµατα διατηείται η ισχύς (ισοδύναµα, οι απώλειες ισχύος είναι µηδενικές). Για παάδειγµα, στην πείπτωση του µοχλού (βλ. Σχήµα ) δεν υπάχουν απώλειες λόγω συνεγασίας µοχλού-υποµοχλίου. Τεχνικά, κάτι τέτοιο είναι δυνατόν να επιτευχθεί σε ακετά µεγάλο βαθµό χησιµοποιώντας κάποια άθωση µε πειστοφικό αποσβεστήα χαµηλής απόσβεσης. Στα ποαναφεθέντα τεχνολογικά συστήµατα ισχύει η πααδοχή της γαµµικότητας. Ειδικότεα, στην απλούστεη πείπτωση δυναµικού συστήµατος (δηλαδή στο µονοβάθµιο δυναµικό σύστηµα) καταλήξαµε στην ακόλουθη εξίσωση κίνησης: mx + cx + kx= f () Στην Εξ.(), δεχόµαστε ότι τα δυναµικά στοιχεία m, c και k λαµβάνουν σταθεές τιµές. Αυτό, ωστόσο, δεν είναι πάντοτε αληθές. (α) (β) Σχήµα 8: Συµπειφοά µηχανικού ελατηίου: (α) γαµµική και (β) µη-γαµµική - 4.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Για παάδειγµα, υπάχουν µηχανικά ελατήια, τα οποία εµφανίζουν γαµµική συµπειφοά (βλ. Σχήµα 8α). Ωστόσο, υπάχουν και ελατήια µε µη-γαµµική συµπειφοά (βλ. Σχήµα 8β). Στη δεύτεη πείπτωση, η σταθεά k του ελατηίου είναι συνάτηση της µετατόπισης ( k k( x) = ), άα δεν έχει σταθεή τιµή. Οι ποωθητικοί πύαυλοι αποτελούν ένα άλλο χαακτηιστικό παάδειγµα µη-σταθεής τιµής της µάζας m. εδοµένης της κατανάλωσης του καυσίµου που φέουν, η µάζα αυτών των πυαύλων είναι συνάτηση του χόνου ( m m( t) = ), άα δεν έχει σταθεή τιµή. Αντίστοιχα πααδείγµατα υπάχουν και για τους αποσβεστήες. Συνεπώς, η διατήηση σταθεής τιµής για τα δυναµικά στοιχεία m, c και k αποτελεί πααδοχή. Στην παγµατικότητα, η πλειοψηφία των δυναµικών συστηµάτων, τα οποία εµπίπτουν στο πεδίο µελέτης του Μηχανικού, είναι µη-γαµµικά. Ωστόσο, µελετάµε τα γαµµικά συστήµατα για τεις σηµαντικούς λόγους: Αποτελούν την απλούστεη µοφή δυναµικών συστηµάτων. Για τα γαµµικά συστήµατα, έχουν αναπτυχθεί τεχνικοί τόποι επίλυσής τους, οι οποίοι καταλήγουν σε αποτελέσµατα µε µεγάλη ακίβεια. Με την τεχνική της γαµµικοποίησης, οποιαδήποτε µη-γαµµική συµπειφοά είναι δυνατόν να ποσεγγισθεί ως µια ακολουθία γαµµικών συµπειφοών. Πεί της αδανείας ευστού Έστω τµήµα σωλήνα σταθεής διατοµής A σ και µήκους L, εντός του οποίου κινείται ευστό σταθεής πυκνότητας και µε σταθεή ταχύτητα υ (βλ. Σχήµα 9). Σχήµα 9: Ροή εντός σωλήνα σταθεής διαµέτου Η στοιχειώδης µάζα dm του ευστού ισούται µε: dv= Aσ dx dm dv dm Aσ dx = = () Η κινητική ενέγεια της στοιχειώδους µάζας dm του ευστού, ισούται µε: = = Ekin dmυ dt (3) Η ταχύτητα της στοιχειώδους µάζας dm του ευστού, ισούται µε: - 4.0 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Q Q= υ Aσ υ = Aσ (4) όπου Q είναι η παοχή όγκου του ευστού. Η συνολική κινητική ενέγεια του ευστού στο µήκος L του σωλήνα ισούται µε: T l = dt (5) 0 Ο συνδυασµός των Εξ.(,3,4,5) δίδει: l L L Q L υ 0 0 0 σ A A 0 σ σ T = dt = dm = A dx= Q dx L T = Q L T = Q Aσ Aσ I (6) Από την Εξ.(6) ποκύπτει ότι ο όος I L = Aσ (7) λειτουγεί ως στοιχείο αδανείας στην εξίσωση της κινητικής ενέγειας. Με άλλα λόγια, εκκινώντας από τον οισµό της κινητικής ενέγειας σε ένα γαµµικό µηχανικό σύστηµα, και χησιµοποιώντας την έννοια της µάζας ενός ευστού, καταλήξαµε στην Εξ.(7), η οποία εκφάζει την ισοδύναµη αδάνεια ενός υδαυλικού συστήµατος. Όπως θα γνωίσουµε σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα, κάτι τέτοιο είναι δυνατόν να εφαµοσθεί και σε άλλα δυναµικά συστήµατα καθώς και για άλλα δυναµικά στοιχεία (π.χ. ελατήιο) µε τη βοήθεια της Ισοδύναµης Ενεγειακής Αχής. Εφαµογή Έστω το σύστηµα του Σχήµατος (υδαυλικός επενεγητής). Ζητείται η εξίσωση κίνησης του συστήµατος. Σχήµα 0: Υδαυλικός επενεγητής - 4. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Λύση Το σύστηµα αποτελείται από ένα υδαυλικό υποσύστηµα και ένα µηχανικό υποσύστηµα. Το υδαυλικό υποσύστηµα αποτελείται από µία αντλία, η οποία παέχει γνωστή εξωτεική πίεση p ( ) S t, και από έναν αγωγό (σωλήνα) µήκους L σ και διατοµής A σ, µέσα από τον οποίο διέχεται το εγαζόµενο µέσο. Θεωείται ότι το εγαζόµενο µέσο είναι ασυµπίεστο ευστό. Κατά την κίνησή του µέσα στο σωλήνα, το ευστό εµφανίζει αδάνεια I και αντιµετωπίζει αντίσταση R. Ο αγωγός καταλήγει σε έναν υδαυλικό κύλινδο, στον οποίο το ευστό διοχετεύεται µε παοχή Q. Το µηχανικό υποσύστηµα αποτελείται από ένα έµβολο µε επιφάνεια διατοµής A, στο άκο του οποίου είναι σταθεά ποσαµοσµένη µία µάζα m. Η µάζα µετακινείται οιζόντια κατά x( t ). Το έµβολο στηίζεται στα τοιχώµατα του κυλίνδου µε τη βοήθεια ενός γαµµικού ελατηίου σταθεάς k και ενός εδάνου, το οποίο δα ως αποσβεστήας µε σταθεά απόσβεσης c. Πιο συγκεκιµένα, το έδανο φέει στεγανοποιητική διάταξη (στεγανοποιητικό δακτύλιο), ενώ λόγω της κίνησης (ταλάντωσης) του εµβόλου αναπτύσσονται σε αυτήν υδοδυναµικές τιβές. Μοντελοποιούµε, λοιπόν, τη συγκεκιµένη διάταξη ως αποσβεστήα µε σταθεά απόσβεσης c. Η εφαµογή της Ενεγειακής Αχής Lagrange για κάθε ένα από τα ποαναφεθέντα υποσυστήµατα παγµατοποιείται κατά τα γνωστά (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0, 07), χησιµοποιώντας και τον Πίνακα της Εκπαιδευτικής Ενότητας 3, σχετικά µε την αντιστοιχία µεταξύ των φυσικών συστηµάτων. Η σύζευξη των ποαναφεθέντων υποσυστηµάτων επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια της έννοιας του ενισχυτή (βλ. παούσα Εκπαιδευτική Ενότητας, παάγαφο για υδαυλικό έµβολο σελ. 4.6). Ειδικότεα: Για το υδαυλικό υποσύστηµα, υπολογίζονται οι ενεγειακοί όοι: Η κινητική ενέγεια T του υποσυστήµατος συσσωεύεται στο στοιχείο αδανείας I του ευστού και ισούται µε: T = I Q (8) Η δυναµική ενέγεια U του υποσυστήµατος είναι µηδενική για δύο λόγους: πώτον διότι υποθέσαµε ασυµπίεστο ευστό και δεύτεον διότι, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 0, η οή του ευστού είναι οιζόντια, άα δεν µεταβάλλεται καθ ύψος η στάθµη του ευστού. Συνεπώς, ισχύει: U = 0 (9) Η ενέγεια P, του υποσυστήµατος διαχέεται στην αντίσταση R του σωλήνα και ισούται µε: P, = R Q (30) - 4. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Η ισχύς Pt, του υποσυστήµατος ποσφέεται εξωτεικά από την αντλία πίεσης ισούται µε: P t, p Q Για το µηχανικό υποσύστηµα, υπολογίζονται οι ενεγειακοί όοι: Η κινητική ενέγεια υποσυστήµατος και ισούται µε: Η δυναµική ενέγεια και ισχύει: S p S και = (3) T e του υποσυστήµατος συσσωεύεται στη µάζα m του Te = m x (3) U e του υποσυστήµατος συσσωεύεται στο ελατήιο σταθεάς k Ue = k x (33) Η ενέγεια P, e του υποσυστήµατος διαχέεται στην αντίσταση c του εδάνου και ισούται µε: P, e = c x (34) Στο υποσύστηµα δεν ποσφέεται εξωτεικά ισχύς P t, e, συνεπώς ισχύει: P t, e = 0 (35) Συνολικά για το εξεταζόµενο σύστηµα, οι ενεγειακοί όοι ποκύπτουν από την άθοιση των επί µέους όων. Πιο συγκεκιµένα, ισχύει: Η κινητική ενέγεια T του συστήµατος ισούται µε: T T T T I Q m x Η δυναµική ενέγεια U του συστήµατος ισούται µε: = + e = + (36) U U U 0 k x U k x = + e = + = (37) Η ενέγεια P του συστήµατος, η οποία διαχέεται, ισούται µε: P P P P R Q c x =, +, e = + (38) Η, εξωτεικά ποσφεόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t ισούται µε: P = P + P = p Q+ P = p Q (39) t t, t, e S 0 t S - 4.3 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Έχοντας καταγάψει τους ενεγειακούς όους (βλ. Εξ.(36,37,38,39)), το επόµενο βήµα είναι η επιλογή των Βαθµών Ελευθείας του συστήµατος. Για την επιλογή τους θα εφαµόσουµε την τυπική διαδικασία επιλογής. Πιο συγκεκιµένα, παατηώντας τις Εξ.(36,37,38,39) διαπιστώνουµε ότι οι εµπλεκόµενες κινηµατικές µεταβλητές είναι δύο: η µετατόπιση x του εµβόλου και η παοχή όγκου Q του ευστού. Με βάση όσα αναφέθηκαν στην παούσα Εκπαιδευτική Ενότητα για το υδαυλικό έµβολο (βλ. σελ. 4.6), ποκύπτει ότι οι κινηµατικές µεταβλητές x και Q συνδέονται µεταξύ τους µέσω της Εξ.(). Επειδή, λοιπόν, για δύο κινηµατικές µεταβλητές διαθέτουµε µία εξίσωση, η οποία τις συνδέει µεταξύ τους, έπεται ότι το εξεταζόµενο συζευγµένο ευστοµηχανικό σύστηµα (υδαυλικός επενεγητής) διαθέτει έναν Βαθµό Ελευθείας. Συνεπώς, είναι δυνατόν να επιλέξουµε ως Βαθµό Ελευθείας είτε τη µετατόπιση x του εµβόλου είτε την παοχή όγκου Q του ευστού. Αντί, δε, της παοχής όγκου Q είναι δυνατόν να επιλέξουµε, ισοδύναµα, την µεταβολή όγκου V του ευστού. Επιλογή της µετατόπισης x του εµβόλου ως Βαθµό Ελευθείας Από την Εξ.(), ισχύει: υ= x υ = Q x = Q Q= Ax (40) A A Αντικαθιστώντας την εξατηµένη µεταβλητή Q στις Εξ.(36,37,38,39), ποκύπτει: Η κινητική ενέγεια T του συστήµατος ισούται µε: T = I Q + m x T = I ( Ax ) + m x T = ( I A + m) x T = M x M (4) Η ποσότητα Mκαλείται Ισοδύναµη Μάζα Συστήµατος. Οι εξισώσεις Εξ.(7,4) δίδουν: L σ T = A + m x T = M x A σ M (4) ιευκινίζεται ότι η αδάνεια του ευστού I αφοά στον αγωγό που συνδέει την αντλία µε τον υδαυλικό κύλινδο (βλ. Σχήµα 0) και δεν θα πέπει να συγχέεται µε την κίνηση του ευστού µέσα στον υδαυλικό κύλινδο. Η δυναµική ενέγεια U του συστήµατος ισούται µε: U k x U K x Η ποσότητα Kκαλείται Ισοδύναµο Ελατήιο Συστήµατος. Η διαχεόµενη ισχύς P του συστήµατος ισούται µε: K= k = = (43) P R ( Ax) c x P ( R A c) x P x = + = + = (44) - 4.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Η ποσότητα καλείται Ισοδύναµη Απόσβεση Συστήµατος. Η, εξωτεικά ποσφεόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t ισούται µε: Pt = ps Q Pt = p S A x Pt = FS x (45) Η ποσότητα FSκαλείται Ισοδύναµη ιέγεση Συστήµατος. F S Εφαµόζοντας την Ενεγειακή Αχή Lagrange κατά τα γνωστά (αναλυτικός υπολογισµός των επί µέους όων παατίθεται στο Παάτηµα Α ), τελικά ποκύπτει ότι η εξίσωση της κίνησης του συστήµατος είναι: M x+ x + K x= F S (46) όπου τα Ισοδύναµα υναµικά Στοιχεία M, και K έχουν οισθεί στις Εξ.(4,43,44,45). Επιλογή της µεταβολής όγκου V του ευστού ως Βαθµό Ελευθείας Εξ οισµού, η παοχή Q του ευστού ισούται µε: όπου V R είναι η µεταβολή όγκου του ευστού και οίζεται ως εξής: Q = V (47) V = A x x= V A (48) Από την Εξ.(), ισχύει: Q= V υ = Q x = Q x = V (49) A A A Αντικαθιστώντας την εξατηµένη µεταβλητή x στις Εξ.(36,37,38,39), ποκύπτει: Η κινητική ενέγεια T του συστήµατος ισούται µε: Q= V m x= V A A A T= I Q + m x T= I V + m V T= I + V I (50) Η ποσότητα Iκαλείται Ισοδύναµη Αδάνεια Συστήµατος. Από την Εξ.(50), ποκύπτει: m T = I + V T = I V A I (5) Η δυναµική ενέγεια U του συστήµατος ισούται µε: - 4.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Η ποσότητα V x= A V k U= k x U= k = V A A εκφάζει τη συµπιεστότητα του ευστού. Η διαχεόµενη ισχύς P του συστήµατος ισούται µε: V x = A V V P = R ( Ax ) + c x P V R A c = + x= A A A c P = R + V P = R V A R (5) (53) Η ποσότητα R καλείται Ισοδύναµη Αντίσταση Συστήµατος. Η, εξωτεικά ποσφεόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t ισούται µε: Q= V t= S t= S P p Q P p V (54) Η ποσότητα psκαλείται Ισοδύναµη ιέγεση Συστήµατος. Και πάλι, εφαµόζοντας την Ενεγειακή Αχή Lagrange κατά τα γνωστά (αναλυτικός υπολογισµός των επί µέους όων παατίθεται στο Παάτηµα Β ), τελικά ποκύπτει ότι η εξίσωση της κίνησης του συστήµατος είναι: I V + R V + V = p S (55) όπου τα Ισοδύναµα υναµικά Στοιχεία I, R και Εξ.(5,5,53,54). έχουν οισθεί στις Με βάση όλα τα πααπάνω, έπεται ότι, ανάλογα µε την επιλογή του Βαθµού Ελευθείας, το εξεταζόµενο συζευγµένο δυναµικό σύστηµα είναι δυνατόν να αναχθεί είτε σε ένα ισοδύναµο γαµµικό µηχανικό σύστηµα είτε σε ένα ισοδύναµο υδαυλικό κύκλωµα. Ειδικότεα, ποέκυψε ότι: Για την αναγωγή σε ισοδύναµο γαµµικό µηχανικό σύστηµα: Το ευστό εµφανίζεται στη συνολική ισοδύναµη µάζα του συστήµατος (σε αυτόν τον όο έχουµε ποσθέσει την αδάνεια του ευστού, βλ. Εξ.(4)) καθώς και στη συνολική ισοδύναµη απόσβεση του συστήµατος (σε αυτόν τον όο, έχουµε ποσθέσει την απόσβεση του ευστού, η οποία οφείλεται στις υδοδυναµικές τιβές, βλ. Εξ.(44)). - 4.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών Για την αναγωγή σε ισοδύναµο υδαυλικό κύκλωµα: Η µάζα του µηχανικού συστήµατος εµφανίζεται ως µία πόσθετη δύναµη αδανείας στο υδαυλικό σύστηµα (βλ. Εξ.(5). Το ελατήιο του µηχανικού συστήµατος εµφανίζεται ως µία πόσθετη δύναµη ελαστικότητας στο υδαυλικό σύστηµα (βλ. Εξ.(5)). ηλαδή, λόγω ελαστικότητας του εµβόλου, το ευστό αποκτά µία ισοδύναµη ελαστικότητα. Από φυσική άποψη, η ποσότητα ( ) εκφάζει τη συµπιεστότητα του ευστού. Τέλος, ο αποσβεστήας του µηχανικού συστήµατος εµφανίζεται ως µία πόσθετη δύναµη αντίστασης στο υδαυλικό σύστηµα (βλ. Εξ.(53)). Στον Πίνακα παουσιάζονται, µε συνοπτικό τόπο, οι σχετικές εξισώσεις για την εφαµογή της Ενεγειακής Αχής Lagrange στις δύο ποαναφεθείσες αναγωγές (αναγωγή σε ισοδύναµο µηχανικό σύστηµα και αναγωγή σε ισοδύναµο υδαυλικό σύστηµα). Πίνακας : Συνοπτική παουσίαση εξισώσεων της εξεταζόµενης εφαµογής Μέγεθος T U P P t Αναγωγή σε µηχανικό σύστηµα Εξίσωση υπολογισµού M ẋ Οισµός δυναµικών µεγεθών M = I A + m I L σ = Aσ Αναγωγή σε υδαυλικό σύστηµα Εξίσωση υπολογισµού I V K x K = k ẋ = ( R A + c) Οισµός δυναµικών µεγεθών m = + A I I V R V FS ẋ FS = ps A S M x+ x + K x= F S k = A c = + A R R p V Εξίσωση κίνησης συστήµατος p S : πίεση αντλίας I V + R V + V = p S Σχόλιο Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου c σε ένα ευστό εξατάται από την πυκνότητα του ευστού και το µέτο διόγκωσης K του ευστού σύµφωνα µε την εξίσωση: c = K (56) Υπενθυµίζεται ότι το µέτο διόγκωσης ενός σώµατος εκφάζει την αντίσταση του σώµατος σε οµοιόµοφη συµπίεση. Όσο, δε, πεισσότεο ασυµπίεστο είναι ένα σώµα, τόσο υψηλότεη τιµή K διαθέτει. Όταν ένα ευστό έει εντός σωλήνα µε ελαστικά τοιχώµατα, - 4.7 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών τότε η ελαστικότητα του τοιχώµατος επηεάζει τη διόγκωση του ευστού (ισοδύναµα, εισάγει στο ευστό πόσθετη συµπιεστότητα), άα επηεάζει το µέτο διόγκωσης K του ευστού, µε αποτέλεσµα τη µεταβολή της ταχύτητας διάδοσης του ήχου µέσα στον σωλήνα. Το ίδιο ισχύει και για τη διάδοση του ήχου µέσα σε ακουστικές κοιλότητες. Τυπικό παάδειγµα αποτελεί η καµπίνα των επιβατών ενός οχήµατος: οι υαλοπίνακες (τζάµια) εµφανίζουν ελαστική συµπειφοά και ως εκ τούτου επηεάζουν τη διάδοση του ήχου µέσα στην καµπίνα των επιβατών. Συνεπώς, η φυσική εµηνεία του όου ( ) στην Εξ.(55) είναι ότι το ευστό, το οποίο αχικά θεωήθηκε ως ασυµπίεστο, αποκτά µία συµπιεστότητα (ισοδύναµη ελαστικότητα) εξ αιτίας της ελαστικότητας του εµβόλου. - 4.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Αναλυτική εφαµογή της Ενεγειακής Αχής Lagrange για την ανεξάτητη κινηµατική µεταβλητή q= x Για τον αδανειακό όο: ( T U) L q= x L L = = q x ( M x K x ) M x = = q x x x x Πααγωγίζοντας την Εξ.(Α.) ως πος το χόνο, ποκύπτει: d L d = ( Mx ) = Mx dt x dt (Α.) (Α.) Για τον όο ελαστικότητας: ( ) L q= x L T U L = = ( Mx Kx ) = ( Kx) = Kx q x x x q Για τον όο διάχυσης: P q= x P P = x x q= x = q x x x Για τον όο διέγεσης: (Α.3) (Α.4) Pt q= x Pt Pt = q x { FS x } = F = q x x x S (Α.5) Εφαµόζοντας την Ενεγειακή Αχή Lagrange, ισχύει: L L P Pt q= x L L P Pt + = + = q = x t q q q q t x x x x (Α.6) Με αντικατάσταση στην Εξ.(Α.6), ποκύπτει: L L P P t x x x x + = t Mx + Kx + x = FS Mx + x + Kx= F S (Α.7) - 4.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εγαστήιο υναµικής και Κατασκευών ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Αναλυτική εφαµογή της Ενεγειακής Αχής Lagrange για την ανεξάτητη κινηµατική µεταβλητή q = V Για τον αδανειακό όο: ( T U) L q= V L L = = I V V I V q V = = q V V V V Πααγωγίζοντας την Εξ.(Β.) ως πος το χόνο, ποκύπτει: Για τον όο ελαστικότητας: d L d d L = ( I V ) = I V dt V dt dt V ( ) L q= V L T U = = I V V q V V V L L = V = V V V Για τον όο διάχυσης: Για τον όο διέγεσης: P P P = = R V q= V R V q = V q V V V P P P = ( ps V ) = p q V V V t q= V t t q = V S (Β.) (Β.) (Β.3) (Β.4) (Β.5) Εφαµόζοντας την Ενεγειακή Αχή Lagrange, ισχύει: L L P P L L P P + = + = t q q q q t V V V V t q= V t q = V (Β.6) Με αντικατάσταση στην Εξ.(Β.6), ποκύπτει: L L P P t + = I V + V + R V = ps t V V V V I V + R V + V = p S (Β.7) - 4.0 -