Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ

Σχετικά έγγραφα
Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

Tm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Anagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2

JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων. Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Χημικών Μηχανικών

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I

L mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata

thlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

Mègisth ro - elˆqisth tom

Farkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k

11 OktwbrÐou S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

ErgasÐa Statistik c. Mìsqoglou Stulianìc. 1 Πρόλογος 2

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Ανάλυση ις. συστήματα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

στο Αριστοτέλειο υλικού.

GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA

Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1)

9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA

Å Ó Ó ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ. ÁóêÞóåéò. ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:

AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB

5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)

KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.

Eisagwg sthn KosmologÐa

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

στο Αριστοτέλειο υλικού.

f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

X = = 81 9 = 9

KATASTATIKO 3. XRHSIMOPOIHSH TVN OIKONOMIKVN MESVN, KOINH VFELEIA

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE

Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript:

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012

'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh H 0 : θ = θ 0 enallaktik upìjesh H 1 : 1 H 1 : θ θ 0, dðpleuroc èlegqoc 2 H 1 : θ < θ 0, monìpleuroc èlegqoc SÔnolo dunat n tim n thc θ: θ 0 kai < θ 0 Swstìtera H 0 : θ θ 0 kai H 1 : θ < θ 0 3 H 1 : θ > θ 0, ìpwc (2)

Statistik elègqou, perioq apìrriyhc Dunatèc timèc thc θ qwrðzontai: Perioq apodoq c thc H 0 Perioq apìrriyhc R thc H 0 EpÐpedo empistosônhc (1 α) gia thn apìfash elègqou α: epðpedo shmantikìthtac H perioq apodoq c kai apìrriyhc allˆzei me to α Katanom gia thn ektim tria ˆθ thc θ? parametrikìc èlegqoc: upojètoume katanom gia ˆθ m parametrikìc èlegqoc: den upojètoume katanom gia ˆθ

Parametrikìc èlegqoc ˆθ q statistik elègqou q èqei gnwst katanom (eðnai z, t χ 2 ) α krðsimh(ec) tim (èc) thc q R

Apìfash elègqou UpologÐzoume apì to deðgma ˆθ q q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim tou elègqou Gia q (γνωστή κατανομή της q όταν ισχύει η Η 0 ) 1 p = P(q < q q > q ) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q) H p-tim dhl nei to mikrìtero epðpedo shmantikìthtac gia to opoðo mporoôme na aporrðyoume thn H 0 me bˆsh to deðgma.

DiadikasÐa statistikoô elègqou 1 Epilog epipèdou shmantikìthtac α 2 Kajorismìc statistik c elègqou q 3 Upologismìc krðsimhc (-wn) tim c (- n) thc q apì ton antðstoiqo statistikì pðnaka kai kajorismìc thc perioq c apìrriyhc R 4 Upologismìc thc statistik c elègqou q apì to deðgma 5 Apìrriyh thc H 0 an q an kei sthn R. Mh apìrriyh thc H 0 an q den an kei sthn R.

DiadikasÐa statistikoô elègqou Genikˆ ìtan θ eðnai µ, p, µ 1 µ 2, p 1 p 2 : H 0 : θ = θ 0 Statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ { Tupik kanonik N(0, 1) Katanom thc q: student me ν bajmoôc eleujerðac t ν Perioq apìrriyhc (epðpedo shmantikìthtac α): 1 H 1 : θ θ 0 : R = {q q < q α/2 q > q 1 α/2 } 2 H 1 : θ < θ 0 : R = {q q < q α } 3 H 1 : θ > θ 0 : R = {q q > q 1 α }

DiadikasÐa statistikoô elègqou (sunèqeia) Deigmatik statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim : 1 p = P(q < q q > q) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q)

Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 αν η μέση αντοχή θραύσης σκυροδέματος µ είναι 6 ksi. Η διασπορά είναι γνωστή, σ 2 = 0.4 ksi 2. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 σ 2 gnwst, X N(µ, σ 2 ) q = z = x µ 0 σ/ n [δίπλευρος έλεγχος] N(0, 1) KrÐsimh tim : z 0.975 = 1.96 R = {z z > 1.96}

Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25) z = 5.67 6 0.4/25 = 2.61 z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 2.61 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(2.61)) = 2(1 0.9955) = 0.009

Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwstì σ 2 Άγνωστη διασπορά αντοχής θραύσης σκυροδέματος. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 [δίπλευρος έλεγχος] σ 2 ˆgnwsto, n = 25 < 30, X N(µ, σ 2 ) KrÐsimh tim : t 24,0.975 = 2.06 q = t = x µ 0 s/ n t n 1 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.06}

Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25, s 2 = 0.375) t = 5.67 6 0.375/25 = 2.69 t R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05. Diˆsthma empistosônhc [5.42, 5.92] p-tim gia t = 2.69 p = 2(1 P(t t )) = 2(1 P(t 2.69)) = 2(1 0.994) = 0.012

'Elegqoc upìjeshc H 0 : µ = µ 0 stic diˆforec peript seic diasporˆ katanom thc X n katanom statistik c q gnwst kanonik z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik megˆlo z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik mikrì ˆgnwsth megˆlo z = x µ 0 s/ n N(0, 1) ˆgnwsth kanonik mikrì t = x µ 0 s/ n t n 1 ˆgnwsth mh kanonik mikrì

Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc Θέλουμε να ελέγξουμε αν θα μπορούσαμε να πούμε με μεγάλη σιγουριά (επίπεδο εμπιστοσύνης 99%) πως η τυπική απόκλιση σ της αντοχής θραύσης σκυροδέματος μπορεί να ξεπεράσει το επίπεδο του 0.5 ksi. 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 : H 0 : σ 2 0.25, H 1 : σ 2 > 0.25, [monìpleuroc èlegqoc] q = χ 2 (n 1)s2 σ 2 0 X 2 n 1, KrÐsimh tim : χ 2 24,0.99 = 42.98 Perioq apìrriyhc thc H 0 : R = {χ 2 χ 2 > 42.98}

Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (n = 25, s 2 = 0.375 (ksi) 2 ) χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 = 24 0.375 0.25 = 36.0 χ 2 / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.01 p-tim gia χ 2 = 36.0 p = 1 P(χ 2 < χ 2 ) = 1 P(χ 2 36.0) = 1 0.945 = 0.055!!!

Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να ελέγξει σε σημαντικότητα 0.05 αν η αναλογία των σκουριασμένων ραβδών χάλυβα στην αποθήκη της είναι 0.19. Δείγμα: 12 σκουριασμένες σε σύνολο 100 ραβδών. H 0 : p = 0.19 H 1 : p 0.19 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo KrÐsimh tim z 0.975 = 1.96 q = z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} N(0, 1)

Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (ˆp = 0.12) z = 0.12 0.19 0.19 0.81 100 = 1.784. z / R mh apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [0.056, 0.184]? ˆp(1 ˆp) UpologÐsthke apì ˆp ± z α/2 n

Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Η εταιρεία γνωρίζει ότι είναι απίθανο το ποσοστό να κυμαίνεται σε επίπεδα μεγαλύτερα του 19% H 0 : p 0.19, H 1 : p < 0.19 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = 1.784 (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.784) = Φ( 1.784) = 1 Φ(1.784) = 1 0.963 = 0.037 An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 0.19 eðnai perðpou 96%.

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε αν δύο τύποι Α και Β σκυροδέματος έχουν την ίδια μέση αντοχή θραύσης. Θεωρούμε γνωστή και κοινή διασπορά σ 2 = 0.4 (ksi) 2. H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] γνωστή και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές KrÐsimh tim : z 0.975 = 1.96 q = z = x 1 x 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1) Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {z z > 1.96}

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20) z = 5.67 5.38 0.4 25 + 0.4 20 = 1.53 z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 1.53 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.53)) = 2(1 0.937) = 0.126

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 Διασπορά αντοχής θραύσης κοινή αλλά άγνωστη H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] άγνωστη και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές q = t = x 1 x 2 s 1 + 1 n1 n2 KrÐsimh tim : t 43,0.975 = 2.02 t n1 +n 2 2 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.02}

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20 s 2 1 = 0.375, s2 2 = 0.326 s2 = 0.353, s = 0.594) 5.67 5.38 t = 0.594 1 25 + 1 20 = 1.63 t / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.07, 0.65] p-tim gia t = 1.63 p = 2(1 P(t < t )) = 2(1 P(t 1.63)) = 2(1 0.945) = 0.11

Jèma 13 Kajorismìc megèjouc deðgmatoc gia èlegqo diaforˆc mèswn tim n apì anexˆrthta deðgmata.

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι αναλογίες σκουριασμένων ραβδών χάλυβα είναι ίδιες σε δύο αποθήκες. Δεδομένα: πρώτη αποθήκη, 12 στις 100 ράβδους σκουριασμένες, δεύτερη αποθήκη, 26 στις 120 ράβδους σκουριασμένες. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo ˆp 1 ˆp 2 q = z = p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 N(0, 1) SÔmfwna me th mhdenik upìjesh eðnai p 1 = p 2 = p H statistik elègqou gðnetai ˆp 1 ˆp 2 q = z = ( ) N(0, 1) p(1 p) 1 + 1 n1 n2

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) KrÐsimh tim z 0.975 = 1.96 Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} ˆp 1 = 0.12, ˆp 2 = 0.217 koin analogða ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp 2 100 0.12 + 120 0.217 = = 0.173 n 1 + n 2 100 + 120 Statistik elègqou apì to deðgma ˆp 1 ˆp 2 z = ( ) = 1 ˆp(1 ˆp) n 1 + 1 n 2 0.12 0.217 1 0.173 (1 0.173) ( 100 + 1 120 ) = 1.89

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.198, 0.004] p-tim gia z = 1.89 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.89)) = 2(1 0.97) = 0.06

Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) Εστω ότι γνωρίζουμε πως η δεύτερη αποθήκη έχει κατά κανόνα πιο παλιές ράβδους από την πρώτη H 0 : p 1 p 2, H 1 : p 1 < p 2 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = 1.89 (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.89) = Φ( 1.89) = 1 Φ(1.89) = 1 0.97 = 0.03 An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 1 p 2 eðnai perðpou 97%.

1 Swst apìfash (swst H 0 ) me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 swst ) = 1 α 2 Sfˆlma tôpou I me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 swst ) = α. 3 Sfˆlma tôpou II me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 lanjasmènh) = β. 4 Swst apìfash (swst H 1 ) me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 lanjasmènh) = 1 β [dônamh elègqou]

(sunèqeia)