Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. 1 / 22
Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Πατρών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. 2 / 22
Σκοπός Ενότητας Η έννοια του Γραµµικού Μετασχηµατισµού Το µητρώο Γραµµικού Μετασχηµατισµού Αλλαγή ϐάσης ιαγωνοποίηση και Ψευδοαντίστροφος 3 / 22
Περιεχόµενα 1 4 / 22
Θέµατα 1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί 2 Μητρώα γραµµικών µετασχηµατισµών 3 Αλλαγή ϐάσης 4 ιαγωνιοποίηση και Ψευδοαντίστροφος 5 / 22
Μητρώα και Γραµµικοί µετασχηµατισµοί (Strang, κεφ. 7) Ορισµός Ενας µετασχηµατισµός T : V W µεταξύ δ.χ. V και W για τον οποίο ισχύει ότι T (αv + βw) = αt (v) + βt (w) καλείται γραµµικός µετασχηµατισµός (ΓΜ). Από τη γραµµικότητα έπεται ότι T (0) = 0. 6 / 22
Παραδείγµατα T : R 2 R 2 τ.ώ. για κάθε x R 2, ( ξ 2 ) ( ξ 2 + 3ξ 1 ) Τότε ( ) ( ) ( ) ψ1 α + βψ α ξ + β 2 ψ = 1 2 αξ 2 + βψ 2 ( ) αξ 1 + βψ 1 (αξ 2 + βψ 2 ) + 3(αξ 1 + βψ 1 ) ( ) ( ) ψ1 α ξ 2 + 3ξ + β 1 ψ 2 + 3ψ 1 άρα T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) 7 / 22
Παραδείγµατα I T : R 2 R 2 τ.ώ. για κάθε x R 2, ( ) ( ) cos φ ξ 2 sin φ ξ 1 cos φ + ξ 2 sin φ ξ 2 Τότε ( ) ( ) ψ1 α ξ + β 2 ψ = 2 ( ) (α + βψ 1) cos φ (αξ 2 + βψ 2) sin φ (αξ 1 + βψ 1) cos φ + (αξ 2 + βψ 2) sin φ ( ) ( ) cos φ ξ α 2 sin φ ψ1 cos φ ψ ξ 1 cos φ + ξ 2 sin φ + β 2 sin φ ψ 1 cos φ + ψ 2 sin φ (1) άρα T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) Παρατήρηση: Ο εν λόγω ΓΜ T επιτελεί αριστερόστροφη περιστροφή του ορίσµατος κατά γωνία φ. 8 / 22
Παραδείγµατα T : R 2 R 2 όπου για κάποιο a 1 = x R 2, ( ξ 2 ) ( ξ 2 ( ) α 0, ισχύει ότι για κάθε β ) + ( ) α β 9 / 22
Παραδείγµατα T : R 2 R 2 όπου για κάποιο a 1 = x R 2, ( ξ 2 ) ( ξ 2 ( ) α 0, ισχύει ότι για κάθε β ) + ( ) α β T : R 2 R 2 όπου για κάθε x R 2, ( ) 2 + ξ2 2 ξ 2 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αποδείξτε ότι οι παραπάνω µετασχηµατισµοί δεν είναι γραµµικοί. 9 / 22
Παραδείγµατα T : R 2 R 2 όπου για κάθε x R 2, ( ) ξ 2 ( ξ2 ξ 1 ) Τότε ( ) ( ) ψ1 α + β ξ 2 ψ 2 ( ) αξ2 + βψ 2 αξ 1 + βψ 1 ( ) ( ) ξ2 ψ2 α + β ψ 1 ξ 1 άρα T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) 10 / 22
Παραδείγµατα T : R 2 R 2 όπου για κάθε x R 2, επιτελεί προβολή: ( ) ( ) 0 ξ 2 Τότε α ( ξ 2 ) + β ( ψ1 ψ 2 ) ( ) α + βψ 1 0 ( ) ( ) ψ1 α + β 0 0 άρα T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) 11 / 22
Μητρώα που συνδέονται µε γραµµικούς µετασχηµατισµούς Για οποιονδήποτε γραµµικό µετασχηµατισµό T : R n R υπάρχει διάνυσµα a R n τ.ώ, T (x) = a x, x R n. Αντίστοιχα, αν T : R n R m υπάρχει µητρώο A R m n τ.ώ, T (x) = Ax, x R n. 13 / 22
Παραδείγµατα γραµµικών µετασχηµατισµών Στο χώρο R 2 Είδαµε ήδη ότι η προβολή και η περιστροφή είναι ΓΜ. Στον R 2 2, ως προς την τυπική ϐάση ( ) cos(θ) sin(θ) Ανάκλαση A = sin(θ) cos(θ) ( ) α 0 Κλιµάκωση A = 0 β ( ) 1 0 ιάτµηση A = (η γραµµή x = ζ µετακινείται κατά κατά αζ α 1 ως προς το y). Προσοχή: Αξίζει να εξετάσετε την εφαρµογή των παραπάνω σε ένα µοναδιαίο διάνυσµα, x = (cos φ, sin φ). 14 / 22
Παραδείγµατα ΓΜ I Προβολή V = R 3, W = R 2, και T τ.ώ. T A = (( )) ( ) ξ 2 = ξ ξ Τότε µπορούµε να γράψουµε 2 3 ( ) 1 0 0 0 1 0
Παραδείγµατα ΓΜ II Κλιµάκωση και προβολή: V = R 3, W = R 2, και T τ.ώ. T να γράψουµε A = ( ) γ1 0 0 0 γ 2 0 Κλιµάκωση και εξύψωση: V = R 2, W = R 3, και T τ.ώ. T A = ( ) γ1 0 0 γ 2 0 0 (( )) ( ) ξ γ1ξ 2 = 1 Τότε µπορούµε ξ γ 3 2ξ 2 (( ξ 2 )) = ( ) γ1ξ 1 γ 2ξ 2 0
Θεµελιώδης Γραµµικός Μετασχηµατισµός Αν A R m n και ορίσουµε το µετασχηµατισµό T : R n R m ως T (v) = Av αυτός ϑα είναι οπωσδήποτε γραµµικός. Απόδειξη. T (αv 1 +βv 2 ) = A(αv 1 +βv 2 ) = αav 1 +βav 2 = αt (v 1 )+βt (v 2 ). ΠΡΟΣΟΧΗ Αυτό είναι το πιο σηµαντικό και γενικό είδος ΓΜ. κάθε ΓΜ µπορεί να αναπαρασταθεί ως µητρώο Στη συνέχεια ϑα δούµε ορισµένες έννοιες που ήδη ορίσαµε για τα µητρώα στην περίπτωση των ΓΜ. Η ορολογία είναι κάπως διαφορετική. 18 / 22
ΓΜ και Μητρώα Βασική ιδέα Κάθε ΓΜ µπορεί να αναπαρασταθεί µε µητρώο Βασικά ερωτήµατα Ποιό είναι το µητρώο; Είναι µοναδικό; Πώς το κατασκευάζουµε; 19 / 22
Βιβλιογραφία I G. Strang. Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Εκδόσεις Πανεπιστηµιου Πατρών, 2006. 20 / 22
Σηµείωµα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήµιο Πατρών - Ευστράτιος Γαλλόπουλος 2015 Γραµµική Αλγεβρα, Εκδοση: 1.0, Πάτρα 2014-2015. ιαθέσιµο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ceid1097/ 21 / 22
Τέλος Ενότητας 22 / 22