Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:, ΑΜ: Να ληφθεί υπόψη η πρόοδος της 5ης Δεκεμβρίου 6: ΝΑΙ ΟΧΙ αν ΝΑΙ μην απαντήσετε τα θέματα και Εχω παραδώσει εργασίες: ΝΑΙ ΟΧΙ Θέμα ο : Η αντίσταση από ένα ρευστό σε μια κινούμενη σφαίρα είναι C DρSv, όπου ρ η πυκνότητα του ( ) L ρευστού, v η ταχύτητα της σφαίρας, S = π η επιφάνειά της με L τη διάμετρό της. Ο συντελεστής C D =. + είναι συνάρτηση του αριθμού Reynolds Re = ρlv, όπου η το ιξώδες του Re η ρευστού. Ετσι η αντίσταση προκύπτει ανάλογη της ταχύτητας F = 3πηLv για μικρούς αριθμούς Reynolds και ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας F =.5πρL v για μεγάλους αριθμούς Reynolds. Θέλουμε να βρούμε σε πόση απόσταση σταματά μια σφαίρα από πιστόλι μέσα στο νερό, για το οποίο ρ = 3 g/ 3 και η = 3 N s/. Η σφαίρα έχει μάζα = 5.6 g, διάμετρο L =.9 και αρχική ταχύτητα v 36 /s. (α) Βρείτε τον αριθμό Reynolds και επιλέξτε την κατάλληλη μορφή δύναμης αντίστασης μεταξύ των F = 3πηLv και F =.5πρL v. (β) Βρείτε την ταχύτητα συναρτήσει της απόστασης από την αρχική θέση θεωρώντας αμελητέο το βάρος. (γ) Σε πόση απόσταση η ταχύτητα υποδιπλασιάζεται; (δ) Πόσος χρόνος έχει περάσει μέχρι να υποδιπλασιαστεί η ταχύτητα; (ε) Θα περάσει η σφαίρα τα γεμάτα με νερό μπαλόνια; (http://www.natgeotv.co/u/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) Θέμα ο : Σώμα μάζας κινείται δεμένο σε μη-ιδανικό ελατήριο. Η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι η δύναμη επαναφοράς από το ελατήριο, η οποία όταν το σώμα απέχει απόσταση x από τη θέση φυσικού μήκους είναι F = x λx 3, όπου και λ θετικές σταθερές. (α) Βρείτε και σχεδιάστε την δυναμική ενέργεια V (x), θεωρώντας ότι V () =. (β) Ποια η ενέργεια αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι D; Ποια είναι η αντίστοιχη τροχιά στο διάγραμμα φάσης; (γ) Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι D και η σταθερά λ είναι «μικρή», ποια η διαφορά της περιόδου από την περίοδο σε ιδανικό ελατήριο T = π /; Υπόδειξη: Στο σχετικό ολοκλήρωμα θα βοηθήσει η αντικατάσταση x = D cos u. Δίνεται το ανάπτυγμα ( + ɛ) ν + νɛ για ɛ. (δ) Γράψτε την περίοδο για οποιαδήποτε τιμή της λ (όχι απαραίτητα «μικρής») χρησιμοποιώντας το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους K(ξ) = π/, το οποίο σε μορφή ξ sin u [ ] (n )!! ξ n = σειράς γράφεται K(ξ) = π [ ( ) ( ) π 3 + ξ + ξ + Θέμα 3 ο : n= (n)!! ) ξ 6 +...] ( 3 5 6 Θεωρείστε το σύστημα Γης Σελήνης, όπου η Σελήνη μάζας κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r γύρω από τη Γη με τροχιακή στροφορμή L και συχνότητα περιφοράς γύρω από τη Γη Ω. Η Γη έχει ιδιοπεριστροφή (spin) S = Iω όπου I = MR /5 είναι η ροπή αδράνειας της Γης, R η ακτίνα της, η μάζα της είναι M = 6.5 και ω είναι η συχνότητα περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της. Η ιδιοπεριστροφική ενέργεια της Γης είναι ίση με Iω / ενώ.
η ιδιοπεριστροφική ενέργεια της Σελήνης είναι αμελητέα. (α) Η ολική στροφορμή του συστήματος J = L + S διατηρείται καθώς το σύστημα εξελίσσεται στο χρόνο λόγω των παλιρροιακών δυνάμεων της Σελήνης στη Γη. Με δεδομένο ότι η ιδιοπεριστροφή της Γης επιβραδύνεται λόγω των παλιρροιακών δυνάμεων της Σελήνης, εξηγείστε τι αυτό συνεπάγεται για την απόσταση Γης - Σελήνης και την τροχιακή στροφορμή της Σελήνης γύρω από τη Γη. (β) Γράψτε τη συνολική ενέργεια του συστήματος Γης - Σελήνης σαν συνάρτηση της συχνότητας Ω περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη, E = E(Ω) λαμβάνοντας υπόψη και τον 3ο νόμο του Kepler. (γ) Υπολογίστε την ποσότητα de(ω)/dω και βρείτε αν η συνολική ενέργεια Ε έχει ακρότατο και για ποιά σχέση των συχνοτήτων Ω και ω αυτό συμβαίνει. (δ) Βρείτε αν αυτό το ακρότατο της ενέργειας είναι ελάχιστο ή μέγιστο, λαμβάνοντας υπόψη ότι η σημερινή απόσταση της Σελήνης είναι 38. και η ακτίνα της Γης 637. (ε) Βρείτε τον ρυθμό αύξησης της απόστασης Γης Σελήνης συναρτήσει της επιβράδυνσης της Γης ω και των ω, S και L. Θέμα ο : Ενα σωματίδιο μάζας κινείται υπό την επίδραση της δύναμης F = r όπου > είναι μια θετική σταθερά και r είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου. (α) Δείξτε ότι η κίνηση του σωματιδίου είναι επίπεδη. (β) Βρείτε τη θέση του σωματιδίου συναρτήσει του χρόνου για τις αρχικές (t = ) συνθήκες : x = a, y =, V x =, V y = V. (γ) Δείξτε ότι η τροχιά είναι ελλειπτική. (δ) Βρείτε την περίοδο της τροχιάς. (ε) Η κίνηση του σωματιδίου υπακούει στον 3ο νόμο του Kepler;
ΛΥΣΕΙΣ: Θέμα ο : (α) Αρχικά Re = ρlv 6 και παραμένει η πρακτικά σε όλη την κίνηση. Άρα C D =. και F =.5πρL v. (β) v =.5πρL v. Με v = v έχουμε v, ή αντικαθιστώντας τις αριθ- =.5πρL μητικές τιμές στο σύστημα SI, v 36 v =.96 x =.96v v 36 e.96x (SI). (γ) v = v e.96x = x = ln =.58..96 x.58 (δ) t = = v 36 e.96x = ( e.96.58 ) =.9 3 SI, δηλ. 36.96.9 χιλιοστά του δευτερολέπτου. Θα μπορούσαμε να βρούμε την v(t) κατευθείαν από το νόμο Νεύτωνα v =.5πρL v v =.96 dt και ολοκληρώνοντας v + 36 =.96t. Θέτοντας v 36/ βρίσκουμε το χρόνο υποδιπλασιασμού t = 36.96 =.9 3 s. (ε) Θέμα ο : x (α) V (x) = F (x) = x + λx Είναι άρτια, έχει μηδενικό ελάχιστο στο x = και είναι αύξουσα στο x > με V (x) = +. x li x + (β) E = V (D) = D + λd V(x) Η εξίσωση που περιγράφει την καμπύλη φάσης είναι ẋ + x + λx = D + λd x (γ) Η περίοδος T ẋ ( D + λd ) x λx /dt (E V ) [ (D x ) + λ ( D + x )]. Η αντικατάσταση x = D cos u, = D sin u π/ δίνει T + λd ( + cos u ). Χρησιμοποιώντας το δοσμένο ανάπτυγμα για ɛ = λd ( + cos u ) και ν = /, είναι π/ T [ λd ( + cos u )] ( )] π/ [u λd 3u + sin u cos u ) T = π ( 3λD. Άρα η περίοδος είναι 8 3λD μικρότερη από την T = π κατά 8 T. π/ (δ) Η T + λd ( sin u ) = π/ γράφεται T K + λd λd + λd sin u λd = + λd + λd [ ] ( ) (n )!! λd n π. + λd (n)!! + λd n=
Θέμα 3 ο : (α) Στο σύστημα Γης - Σελήνης, η παλιρροιακή τριβή προκαλεί μιά επιβράδυνση της ιδιοπεριστροφής της Γης. Επειδή όμως η συνολική στροφορμή J = L+S του συστήματος Γης - Σελήνης διατηρείται, εάν υποθέσουμε ότι η αλληλεπίδραση των σωμάτων αυτών με άλλα ουράνια σώματα είναι αμελητέα, θα έχουμε αύξηση της τροχιακής στροφορμής L της Σελήνης γύρω από τη Γη, με αποτέλεσμα να αυξάνει η απόσταση των δύο σωμάτων. Συγκεκριμένα, επειδή η βαρυτική δύναμη είναι και η κεντρομόλος της κυκλικής κίνησης: Ω r = GM GM Ω =, r r 3 όπου, M οι μάζες Σελήνης, Γης, r η απόστασή τους και Ω η γωνιακή ταχύτητα γύρω από το κοινό ΚΜ του συστήματος. Ετσι η τροχιακή στροφορμή της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι: L = r Ω = r GM r 3 = GMr. Επομένως, καθώς η L αυξάνει και η απόσταση r Γης - Σελήνης αυξάνει. (β) Εστω S το σπιν της Γης, S = Iω όπου I η ροπή αδράνειάς της και ω η ιδιοσυχνότητα περιστροφής της. Παράλληλα η Σελήνη έχει τροχιακή στροφορμή L = Ωr, όπου Ω είναι η συχνότητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη. Λόγω όμως της μικρότερης μάζας της, η ενέργεια ιδιοπεριστροφής της Σελήνης είναι αμελητέα έτσι ώστε η συνολική ενέργεια του συστήματος Γης - Σελήνης να είναι, E = Ω r GM r + Iω. Επειδή λόγω του νόμου του Κέπλερ έχουμε (GMΩ) /3 = Ω r, E(Ω, ω) = (GMΩ)/3 + Iω. Λόγω απουσίας εξωτερικών ροπών, η ολική στροφορμή του συστήματος J = L + S διατηρείται, Δλδ, Επομένως, J = Iω + (GM) /3 Ω /3. dj =, Idω = 3 (GM)/3 Ω /3 dω. de dω = 3 (GM)/3 Ω /3 ( ω Ω ) = 3 r (ω Ω). Θεωρώντας την ενέργεια E σαν συνάρτηση μόνον του Ω, ένα ακρότατο της E επιτυγχάνεται όταν ω = Ω, δηλαδή όταν, Ω = L r = S I = ω. (γ) Για να δούμε αν το ακρότατο είναι ελάχιστο υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο της E(Ω), Αλλά, d E dω = dr r(ω Ω) 3 dω + 3 r ( dω dω ). r = (GM) /3 Ω /3, dr dω = r 3 Ω d E [( dω = r ω ] 9 Ω ) + r 3. I Για ω = Ω, θα επιτευχθεί η ελαχιστοποίηση της ενέργειας E, εφόσον, d E dω >, όταν r I = 5 r MR > 3. 5 r 6 M R >, r R > 5 8.5 r,. 6 R Η απαίτηση αυτή ήδη ικανοποιείται σήμερα και πολύ περισσότερο όταν θα έχει απομακρυνθεί η Σελήνη σε περίπου.5 φορές τη σημερινή απόσταση όταν ω = Ω. (ε) Για τον υπολογισμό της αύξησης της απόστασης της Σελήνης γύρω από τη Γη, επειδή ισχύει ο 3 ος νόμος του Kepler, Ω r 3 = GM έχουμε, Αρα, 3ṙ r = Ω Ω, ṙ r = ω ω S L, Αντικαθιστώντας ω =. sec και τις υπόλοιπες σταθερές, προκύπτει ṙ. c/μήνα. Θέμα ο : (α) Σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων F = r, r F = r r =, και επειδή F = d V dt έχουμε r d V dt =,
ή, d( r V ) = V dt V + r d V dt =. Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξίσωση παίρνουμε, r V L, όπου το L είναι ένα σταθερό διάνυσμα. Ετσι, r L = r r V =, δλδ το διάνυσμα r είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσμα L, δλδ το r ευρίσκεται πάνω σε ένα σταθερό επίπεδο που είναι κάθετο στο διάνυσμα L. Ετσι, αποδεικνύεται ότι η κίνηση του σωματιδίου είναι επίπεδη. (β) Η εξίσωση της κίνησης του σωματιδίου r = F = r σε Καρτεσιανές συντεταγμένες δίνει, ẍ + ω x =, ÿ + ω y =, με ω = / και με γενική λύση, x = C sin(ωt) + C cos(ωt), y = C 3 sin(ωt) + C cos(ωt). Για τις δεδομένες αρχικές συνθήκες οι σταθερές C, C, C 3 και C προσδιορίζονται και η λύση είναι, x = a cos(ωt), y = V ω sin(ωt). (γ) Οι προηγούμενες εξισώσεις συνδυάζονται και απαλείφοντας τον χρόνο δίνουν την γνωστή εξίσωση μιας έλλειψης με b = V ω = V. x a + y b =, (δ) Οταν ο χρόνος t αυξάνει κατά Τ όπου T = π, το σωματίδιο επιστρέφει στο ίδιο σημείο της τροχιάς του. Επομένως η περίοδος της τροχιάς Τ είναι, T = π. (ε) Ο 3ος νόμος του Κέπλερ απαιτεί ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου προς τον κύβο του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς να είναι σταθερός και ανεξάρτητος της μάζας του σωματιδίου ή των αρχικών συνθηκών. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο λόγος αυτός είναι, (περίοδος) (μεγάλος ημιάξονας) 3 π a 3 αν a > b και (περίοδος) (μεγάλος ημιάξονας) 3 π V 3 αν a < b. δλδ, ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου προς τον κύβο του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς εξαρτάται από τη μάζα και το a, ή τα και V και δεν είναι σταθερός. Επομένως, ο 3ος νόμος του Κέπλερ δεν ισχύει.