Τελεστικοί Ενισχυτές και Βασικά Ενεργά Κυκλώµατα

Τελεστικοί Ενισχυτές και Βασικά Ενεργά Κυκλώµατα Κεφάλαιο 4 4. Εισαγωγή Philbricks Κ2-W (c) Doug Coward Με την εµφάνιση των ηµιαγωγών και των ολοκληρωµένων κυκλωµάτων, έγινε δυνατή η υλοποίηση των µονολιθικών τελεστικών ενισχυτών (operational amplifier, OpAmp), οι οποίοι, ως συσκευές µε λυχνίες υπήρχαν από το τέλος της δεκαετίας του 40. Το 952 κυκλοφόρησε ο πρώτος εµπορικός τελεστικός ενισχυτής K2-W µε λυχνίες από την G.A.Philbrick esearches Inc. ενώ στο προϊόν αυτό οι λυχνίες αντικατεστάθησαν από transistors το 962. Το 963 η Fairchild Semiconductor κυκλοφόρησε στην αγορά τον πρώτο µονολιθικό τελεστικό ενισχυτή σε µορφή ολοκληρωµένου κυκλώµατος, τον µa702, ο οποίος παρά τις σχεδιαστικές του αδυναµίες, κόστιζε γύρω στα $300 και χρησιµοποιήθηκε κυρίως γιά στρατιωτικές και αεροδιαστηµικές εφαρµογές. Το 965, η ίδια εταιρία εισήγαγε τον µα709, ο οποίος αν και είχε πολύ βελτιωµένα χαρακτηριστικά σε σχέση µε τον πρόγονό του, πουλιόταν αρχικά µόνον $70, ενώ πολύ γρήγορα έπεσε στα 5 δολλάρια. Τον Μάϊο 968 η Fairchild εισήγαγε τον περίφηµο µa74 µε εσωτερική αντιστάθµιση και τον µα748 µε εξωτερική αντιστάθµιση. Η National Semiconductor, απάνησε µε τον LM0, ο οποίος απαιτούσε έναν εξωτερικό πυκνωτή αντιστάθµισης και λίγο αργότερα µε τους LΗ0 και LM07 µε εσωτερική αντιστάθµιση, ενώ το 974 πρωτοκυκλοφόρησε τον LΜ324 µε µονή τροφοδοσία. Τον ίδιο χρόνο η aytheon Semiconductor παρουσίασε το πρώτο chip µε δύο τελεστικούς, το C4558. Το 975 η CA παρουσίασε τον τελεστικό CA330 µε τεχνολογία FET, ενώ η National εισήγαγε τον LF355 µε J-FET και η Texas Instruments χρησιµοποίησε την τεχνολογία αυτή για να βγάλλει τον πρώτο τετραπλό (quad) τελεστικό, τον TL084 το 976. Ολοι αυτοί οι τελεστικοί ενισχυτές στηρίζονται στην διαχείριση τάσεων και χαρακτηρίζονται τύπου voltage-mode (ή voltage feedback). Πολλά από τα µοντέλα που αναφέρθηκαν σ αυτή τη σύντοµη ιστορική αναδροµή κυκλοφορούν ακόµα, µε πολύ καλύτερα βέβαια χαρακτηριστικά λόγω της βελτίωσης της τεχνολογίας κατασκευής ολοκληρωµένων, ενώ έχουν εισαχθεί και πολλά νέα chip µε τελεστικούς πολύ υψηλών προδιαγραφών. Το κόστος ενός καλού τελεστικού ενισχυτή είναι πλέον κάτω του µισού ευρώ, ενώ µε κάτι παραπάνω µπορεί κανείς να βρεί τελεστικούς ενισχυτές µε πολύ υψηλές προδιαγραφές. Η εισαγωγή στις αρχές της δεκαετίας του 80 των τελεστικών ενισχυτών current-mode (ή current feedback) από την Comlinear (σήµερα αγορασµένη από την National), έφερε σηµαντικές βελτιώσεις κυρίως στην αύξηση του εύρους των συχνοτήτων που µπορούν να λειτουργήσουν οι τελεστικοί ενισχυτές. Οι σχεδιαστές φίλτρων εκµεταλλεύτηκαν τις εκπληκτικές ιδιότητες των τελεστικών ενισχυτών από τα πρώτα στάδια της εξέλιξής τους και από την δεκαετία 70 µέχρι σήµερα, τα αναλογικά ενεργά φίλτρα αποτελούν τοµέα τεχνολογικής αιχµής. Με την χρήση των σύγχρονων τελεστικών ενισχυτών, αλλά και άλλων συναφών λειτουργικών µονάδων όπως οι ΟΤΑ (Operational Transconductance Amplifiers) και τεχνολογιών MOS/CMOS, σχεδιάζονται αναλογικά ενεργά κυκλώµατα ακόµα και σε πολύ υψηλές συχνότητες, που ξεπερνούν τα ανεπιθύµητα χαρακτηριστικά των παθητικών υλοποιήσεων. 4.2 Μοντέλα τελεστικών ενισχυτών Οι τελεστικοί ενισχυτές αποτελούν το βασικό δοµικό στοιχείο των ενεργών φίλτρων και για το λόγο αυτό είναι απαραίτητη η κατανόηση της λειτουργίας τους και των περιορισµών τους, που θα προσπαθήσουµε να παρουσιάσουµε χωρίς να υπεισέλθουµε στις σχεδιαστικές λεπτοµέρειες του σχετικού ηλεκτρονικού κυκλώµατος, πράγµα που γίνεται σε όλα τα καλά βιβλία Ηλεκτρονικών. Οι τελεστικοί ενισχυτές κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες: voltage-mode και current-mode. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι πιό δηµοφιλείς τελεστικοί ενισχυτές, των οποίων τα ηλεκτρονικά κυκλώµατα που 4 -

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ τους υλοποιούν σχεδιάζονται µε βάση σήµατα τάσης, σε αντίθεση µε τους τελεστικούς ενισχυτές current mode, των οποίων η υλοποίηση γίνεται µε κυκλώµατα που διαχειρίζονται ρεύµατα. 4.2. Τελεστικοί ενισχυτές voltage-mode Το σύµβολο του τελεστικού ενισχυτή voltage-mode φαίνεται στο σχήµα 4.α. Έχει συµφωνηθεί να εµφανίζονται µόνον οι λειτουργικοί ακροδέκτες και για τον λόγο αυτό δεν εµφανίζονται στο σύµβολο π.χ. οι ακροδέκτες στους οποίους εφαρµόζεται η dc τροφοδοσία για την πόλωση των transistors. ΣΧΗΜΑ 4. O τελεστικός ενισχυτής έχει δύο εισόδους, την αντιστρεπτική (inverting) και την µη αντιστρεπτική (non inverting) και η τάση στην έξοδό τους εξαρτάται από την διαφορά τάσης των δύο εισόδων τους: v o (t)a v % (t)&v & (t) ή V o A V % &V &. Το Α, το οποίο είναι ή θα θέλαµε να είναι ανεξάρτητο της συχνότητας και πολύ µεγάλο, ονοµάζεται κέρδος ανοικτού βρόχου (open loop gain). Για το κέρδος ανοικτού βρόχου Α, θα µιλήσουµε στη συνέχεια, αφού πρώτα παρουσιαστούν µερικά βασικά για την κατανόηση του τελεστικού ενισχυτή ζητήµατα. Τα κυκλώµατα που υλοποιούν τελεστικούς ενισχυτές, συµπεριλαµβάνουν transistors, αντιστάσεις και πυκνωτές. Συνήθως, για την κατανόηση της λειτουργίας του ΤΕ χρησιµοποιείται το απλοποιηµένο κύκλωµα του σχήµατος 4.2 ΣΧΗΜΑ 4.2: Απλοποιηµένο κύκλωµα ΤΕ voltage-mode Τα κυκλώµατα των ΤΕ, είναι οργανωµένα σε τρεις διακριτές διασυνδεµένες λειτουργικές βαθµίδες. Αναφερόµενοι στο 4.2: Η πρώτη βαθµίδα, που αποτελείται από τα transistors Q -Q 4, εξασφαλίζει µεγάλη αντίσταση εισόδου και λειτουργεί ως διαφορικός ενισχυτής που διαµοιράζει το ρεύµα πόλωσης Ι Α στα Ι και Ι 2, σε αναλογία που εξαρτάται από την διαφορά τάσης των εισόδων. Οταν η διαφορά αυτή είναι πολύ µικρή, τότε ισχύει ότι i (t)&i 2 (t)g m v % (t)&v & (t) ή I &I 2 g m V % &V & Τελικά τα Q 3 και Q 4, υποχρεώνουν το Ι 4 να είναι ίσο µε το Ι 3, µε αποτέλεσµα 4-2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ i ο (t)&g m v % (t)&v & (t) ή I ο &g m V % &V & Η βαθµίδα εποµένως αυτή είναι µια διαγωγιµότητα (transconductance) που δηµιουργεί ένα ρεύµα ανάλογο της διαφοράς τάσης των δύο εισόδων παρουσιάζοντας µεγάλη αντίσταση εξόδου. Η ενδιάµεση βαθµίδα αποτελείται από ένα ζεύγος Darlington Q 5 -Q 6 µε υψηλό κέρδος -Α b και τον πυκνωτή αντιστάθµισης C. Η παρουσία του πυκνωτή δηµιουργεί έναν πόλο στη συχνότητα ω a A b C όπου είναι η ισοδύναµη αντίσταση µεταξύ της εισόδου της βαθµίδας και της γής. Η τρίτη βαθµίδα αποτελείται από τα Q 7 -Q 8 σε συνδεσµολογία push-pull που παρέχει µοναδιαίο κέρδος τάσης αλλά πολύ υψηλό κέρδος ρεύµατος και εποµένως η βαθµίδα αυτή είναι ένας ενισχυτής ισχύος. Σηµειώνεται ότι η βαθµίδα αυτή έχει πολύ µικρή αντίσταση εξόδου πράγµα που σηµαίνει ότι τείνει να προσοµοιώσει µια ιδανική πηγή τάσης. Παρόµοια δοµή έχουν και οι πιό σύγχρονοι τελεστικοί ενισχυτές µε τεχνολογία CMOS ή bicmos. Με την θεώρηση αυτή, µπορεί κανείς να παραστήσει τον τελεστικό ενισχυτή µε το λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος 4.4. Ο πυκνωτής C είναι ο πυκνωτής αντιστάθµισης, ο οποίος είτε είναι εσωτερικός ή εξωτερικός, δηµιουργεί έναν πόλο στη συχνότητα ω a και όπως θα δούµε σοβαρά A b C προβλήµατα. Γράφοντας τον ΝΡΚ στον πρώτο κόµβο έχουµε g m V % &V & % V (4.) % V%A b VsC0 (α) (β) ΣΧΗΜΑ 4.4 Επειδή V o = -A b V, υπολογίζεται τελικά ότι V o %sc % A b A b Γενικά το A b είναι πολύ µεγαλύτερο από την µονάδα και η σχέση 4.2 µπορεί να γραφτεί ως V o g m A b %sc Η συνάρτηση µεταφοράς εποµένως είναι: g m V % &V & V % &V & g m C V % &V & %s CA b (4.2) (4.3) A V o V % &V & g m C s% CA b (4.4) Στον ιδανικό τελεστικό ενισχυτή, το Α b τείνει στο άπειρο, οπότε η σχέση 4.4 δίνει A g m A b sca b %. g m sc (4.5) 4-3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στην περίπτωση αυτή C 0, οπότε η 4.5 δίνει g m Alim A όπου A64 (4.6) C60 sc Στον ιδανικό εποµένως τελεστικό ενισχυτή, έχουµε ότι V o Α V % &V & (4.7) Η σχέση 4.7 αποτελεί το µοντέλο του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή, κατά το οποίο το κέρδος ανοικτού βρόχου Α δεν είναι απλώς άπειρο αλλά και ανεξάρτητο της συχνότητας. Οσο και αν αυτό το µοντέλο φαίνεται απλοϊκό, µπορεί κανείς να το χρησιµοποιεί µε µεγάλη επιτυχία στην ανάλυση πραγµατικών κυκλωµάτων µε τελεστικούς ενισχυτές για την εκτίµηση της λειτουργίας τους. Ο ιδανικός τελεστικός ενισχυτής voltage-mode, µπορεί να παρασταθεί µε ένα ισοδύναµο µοντέλο µε εξαρτηµένες πηγές, σύµφωνα µε το σχήµα. Το µοντέλο αυτό δείχνει παραστατικά τα χαρακτηριστικά του τελεστικού ενισχυτή. Η αντίσταση εισόδου ΙN είναι πολύ µεγάλη ώστε να εξασφαλίζεται ο µηδενισµός των ρευµάτων εισόδου. Αντίθετα, η αντίσταση εξόδου, που εµφανίζεται ως εσωτερική αντίσταση της ελεγχόµενης από τάση πηγής τάσης, είναι πολύ µικρή, ώστε η έξοδος να παραµένει σταθερή, ανεξάρτητη του ρεύµατος i o. Ενα πιό ρεαλιστικό µαθηµατικό µοντέλο συνιστά η αρχική σχέση 4.4: Μοντέλο ενός πόλου: A V o V % &V & g m C s% CA b Το µοντέλο αυτό ονοµάζεται µοντέλο ενός πόλου (one-pole model) για προφανείς λόγους. Ο πόλος είναι s a &. CA b Κατ αρχάς παρατηρεί κανείς ότι το dc κέρδος ανοικτού βρόχου του τελεστικού ενισχυτή (s=0) είναι A(0)A dc g m A 2 (4.8) και ότι στη συχνότητα του πόλου ω a (4.9) CA 2 g m έχουµε A(jω a ) (4.0) j % και A(jω a ) 2 2 g m A b 2 2 A dc A b A b Αυτό σηµαίνει ότι στη συχνότητα ω a, το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατα 3 db από το λογαριθµικό κέρδος Α dc ορίζοντας το εύρος ζώνης ανοικτού βρόχου (open loop bandwidth) του τελεστικού ενισχυτή. Παρατηρήστε επίσης ότι ο αριθµητής του δεξιού µέρους της 4.4 είναι ίσος µε A και συµβολίζεται C dc ω a µε : g m (4.) C A dc ω a Η συχνότητα αποκαλείται "γινόµενο κέρδους εύρους" (Gain-Bandwidth Product, GBP) και είναι από τα πλέον χαρακτηριστικά µεγέθη κάθε τελεστικού ενισχυτή. Εύκολα βρίσκει κανείς ότι το κέρδος ανοικτού βρόχου του τελεστικού ενισχυτή για ω = γίνεται ίσο µε A(j ). (4.2) οπότε το λογαριθµικό κέρδος ανοικτού βρόχου του ΤΕ στη συχνότητα g m ω 2 t %ω2 a είναι ίσο µε µηδέν. Λαµβάνοντας υπόψη τους ορισµούς του εύρους και, το µοντέλο ενός πόλου του τελεστικού ω a ενισχυτή της σχέσης 4.4 γράφεται ως εξής: 4-4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ A V o V % &V & g m C s%ω s% a CA 2 (4.3α) Υπενθυµίζεται ότι µε Α συµβολίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου του τελεστικού ενισχυτή. Χρησιµοποιώντας τα τυπικά χαρακτηριστικά του πολύ κοινού τελεστικού ενισχυτή µα74: = 00KΩ Α b = 0.000 C = 30 pf και g m = 200 µsiemens υπολογίζεται ότι Α dc = 200.000 ω a = 2π rad 5.3 Hz και = 2π rad.06 ΜHz Με αυτά τα δεδοµένα, το σχήµα 4.5 δείχνει την καµπύλη κέρδους ανοικτού βρόχου συναρτήσει της συχνότητος. ΣΧΗΜΑ 4.5 Ξαναγράφοντας την 4.3α ως A s % ω a, επειδή η ω a είναι πολύ µικρή συγκρινόµενη µε την, δηλ. ω a.0, η σχέση 4.3α µπορεί να απλοποιηθεί : A (4.3β) V % &V & s Η απλοποιηµένη σχέση 4.3β ορίζει το µοντέλο ολοκληρωτή του τελεστικού ενισχυτή voltage-mode το οποίο ως απλούστερο χρησιµοποιείται ευρέως. 4.2.2 Τελεστικοί ενισχυτές current-mode Οι τελεστικοί ενισχυτές current mode λειτουργούν µε ρευµατική λογική και το σχήµα 4.6 δείχνει το απλοποιηµένο τους ηλεκτρονικό κύκλωµα, στο οποίο διακρίνονται τρεις βαθµίδες,: Η πρώτη βαθµίδα (Q - Q 4 ) προσπαθεί ρυθµίζοντας το ρεύµα της αντιστρεπτικής εισόδου I I &I 2 να εξισώνει τις τάσεις των εισόδων V + και V -. Το κύκλωµα εξασφαλίζει µικρές αντιστάσεις εισόδου σε αντίθεση µε την περίπτωση ΤΕ voltage-mode όπου οι αντιστάσεις εισόδου είναι πολύ µεγάλες. Η δεύτερη βαθµίδα (Q 5 - Q 8 ) δηµιουργεί "είδωλα" των ρευµάτων Ι και Ι 2 και σχηµατίζει την διαφορά τους I I &I 2, στον κόµβο α. Λόγω της δηµιουργίας των είδώλων, οι συνδεσµολογίες Q 5 - Q 6 και Q 7 - Q 8 ονοµάζονται κάτοπτρα ρεύµατος (current mirrors). Η διαφορά I I &I 2 τροφοδοτεί την επόµενη βαθµίδα της οποίας η ισοδύναµη αντίσταση και χωρητικότητ εισόδου ως προς τη γή είναι και C αντίστοιχα µε αποτέλεσµα η τάση του κόµβου α να είναι V α V o sc% I /C s% I C 4-5

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H τρίτη βαθµίδα, η οποία απλώς αποµονώνει την τάση του κόµβου a και την βγάζει µε κέρδος στην έξοδο µε πολύ χαµηλή αντίσταση εξόδου. Εποµένως. V ο V α sc% I /C s% I C (4.4) ΣΧΗΜΑ 4.6: ΤΕ Current-mode Οι τρεις βαθµίδες φαίνονται στο λειτουργικό διάγραµµα του σχήµατος 4.7. ΣΧΗΜΑ 4.7 Η σχέση 4.4 αποτελεί και το µοντέλο του τελεστικού ενισχυτή current-mode. Η ποσότητα Z ο V o I sc% /C s% C (4.5α) ονοµάζεται διαντίσταση (transimpedance) ανοικτού βρόχου του ΤΕ. Στο συνεχές (ω=0) έχουµε ότι Z dc Z ο (j0) και η Z o έχει έναν πόλο s p &, οπότε και στη C συχνότητα ω a f (4.5β) C a 2πC Hz Το µέτρο της διαντίστασης πέφτει κατά 3 db από το επίπεδο για ω=0, δηλ. Z ο (j. C ) 2 2 Τυπικές τιµές πραγµατικών ολοκληρωµένων όπως το CLC40 της Comlinear είναι =70 kω και f a.350 KHz που δίνουν C=0.64 pf. 4-6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στον ΤΕ current-mode δεν έχει νόηµα ο υπολογισµός της συνάρτησης µεταφοράς τάσης. η οποία υπολογίζεται µόνο όταν ο τελεστικός αυτός ενισχυτής είναι σε µια διάταξη µε ανάδραση. Ας µελετήσουµε για παράδειγµα το κύκλωµα του µη αντιστρεπτικού ενισχυτή τάσης του σχήµατος 4.8, στο οποίο ένα σήµα τάσης συνδέεται στην χαµηλής αντίστασης εισόδου µη αντιστρεπτική είσοδο και ένα ποσοστό της εξόδου ανατροφοδοτείται στην αντιστρεπτική είσοδο µέσω του διαιρέτη τάσης, 2. Το εσωτερικό κύκλωµα του ΤΕ καθορίζει το ρεύµα Ι έτσι που να εξισώνει τις τάσεις των εισόδων (και εποµένως V - = E). Από τον ΝΡΚ έχουµε ΣΧΗΜΑ 4.8 Από την 4.4 όµως έχουµε ότι I E % E&V o 2 V ο Z o I Y I V ο Z o όπου Ζ ο είναι η διαντίσταση Z ο /C του τελεστικού ενισχυτή της σχέσης 4.5α. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις s% C παίρνουµε για την συνάρτηση µεταφοράς τάσης της διάταξης: H V o E % 2 % 2 Z o (4.6) Σε έναν ιδανικό current-mode τελεστικό ενισχυτή, η διαντίσταση Ζ ο οφείλει να είναι πολύ υψηλή µέχρι τουλάχιστον την συχνότητα του πόλου f a από την οποία αρχίζει η µείωση της. Τυπικές τιµές της 2πC f a ξεπερνούν τα 300 KHz και εποµένως το µέτρο της διαντίστασης παραµένει υψηλό για πολύ µεγαλύτερες συχνότητες. Η 2 διατηρείται συνήθως σε τέτοια επίπεδα ώστε ο λόγος 2 στην 4.6, να παραµένει Z o C χαµηλός, Βάζοντας στην 4.6 Z ο s% C Hk, δίνει: 2 C s% % 2 2 C Τα χαρακτηριστικά µιας τέτοιας συνάρτησης µεταφοράς είναι G dc H(j0) µε k% 2 k % 2 και ω 3dB % 2 2 C % 2 2 C (4.7) (4.8) Ενδιαφέρον όµως παρουσιάζει το γεγονός ότι το εύρος ζώνης ω 3dB της διάταξης εξαρτάται ισχυρά από την τιµή της αντίστασης 2, πράγµα που σηµαίνει ότι µπορεί να υπολογιστεί από το επιθυµητό εύρος και η ρύθµιση του κέρδους % 2 να γίνει ανεξάρτητα µέσω της. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4. Θα σχεδιάσουµε το µη αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης για να υλοποιεί κέρδος k o =4 µε το ολοκληρωµένο CLC40 που έχει =70 kω και f a.350 KHz άρα C=0.64 pf. 4-7

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Από την 4.8 έχουµε ότι G dc % 2 % 2 και αυτό θέλουµε να είναι ίσο µε k o =4 (δηλ. το λογαριθµικό κέρδος να είναι 20log(4).2 db), οπότε υπολογίζοντας βρίσκουµε ότι οποιοδήποτε και αν είναι το 2, το θα δίνεται από την σχέση. k o % 2 & Μπορούµε εποµένως να πάρουµε οποιαδήποτε τιµή για το 2 και να υπολογίσουµε το από την παραπάνω σχέση εξασφαλίζοντας κέρδος k o για τις χαµηλές συχνότητες. Το κέρδος µειώνεται µε την συχνότητα και το κύκλωµα αυτό δίνει την δυνατότητα να επιλέξουµε σε ποιά συχνότητα το κέρδος θα πέφτει στην τιµή 2. Η συχνότητα αυτή δίνεται από την σχέση 4.8 2 k o ω 3dB % % 2 2 2 C 2 C ή f 3dB 2 % 2 2π@ 2 C Y 2 2π@f 3dB @C& Στο παρακάτω σχήµα φαίνετα η γρφική παράσταση της 2 συναρτήσει του εύρους. Παρατηρούµε ότι µεγάλες αντιστάσεις αντιστοιχούν σε µικρό εύρος. Το εύρος της διάταξης είναι Για 2 60ΚΩ f 3dB % 2 2π@ 2 C % 60@03 70@0 3.4.5MHz 2π@60@0 3 &2 @0.64@0 Για 2 0ΚΩ f 3dB % 2 2π@ 2 C % 0@03 70@0 3.25MHz 2π@0@0 3 &2 @0.64@0 Από την 2 βρίσκουµε ότι k o % 2 & Για 2 60ΚΩ 7.97KΩ Για 2 0ΚΩ 3272Ω Το επόµενο σχήµα δείχνει την καµπύλη λογαριθµικού κέρδους για τις δύο τιµές του 2, στο οποίο µπορεί κανείς να παρατηρήσει την εξάρτηση του εύρους της διάταξης από την την τιµή της 2, και ότι το κέρδος µειώνεται µε ρυθµό 6 db/octave µετά την συχνότητα f 3dB. 4-8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οι τελεστικοί ενισχυτές current-mode παρουσιάζουν µερικά πλεονεκτήµατα έναντι των voltage-mode, που ως προς την λειτουργία τους σε υψηλές συχνότητες. Παρουσιάζουν όµως και σηµαντικά µειονεκτή- µατα, όπως φτωχά χαρακτηριστικά input offset voltage και input bias current µε αποτέλεσµα ο σχεδιαστής να πρέπει να είναι ιδιαίτερα προσεκτικός ως προς το τι τύπου ενισχυτή θα χρησιµοποιήσει. 4.3 Απλά Κυκλώµατα µε Τελεστικούς Ενισχυτές Θα παρουσιάσουµε εδώ µερικά βασικά κυκλώµατα µε τελεστικό ενισχυτή που είναι πολύ χρήσιµα αλλά µπορούν να χρησιµοποιηθούν και ως παραδείγµατα ανάλυσης σχετικών κυκλωµάτων. Οι τελεστικοί ενισχυτές που εµφανίζοναι είναι όλοι voltage-mode εκτός αν δηλώνεται ότι χρησιµοποιείται ενισχυτής current mode. 4.3. Ο ακολουθητής τάσης (voltage follower ή buffer) Το σχήµα 4.9 δείχνει τον ακολουθητή τάσης, που είναι ένας ενισχυτής τάσης µοναδιαίου κέρδους. ΣΧΗΜΑ 4.9 Γιά την ανάλυσή του, παρατηρούµε ότι V + =E και V! =V o. Με τον τρόπο αυτό η εξίσωση 4.4 που είναι το γενικό µαθηµατικό µοντέλο του τελεστικού ενισχυτή voltage -mode δίνει: V o (t)=a [E - V ο ] από την οποία τελικά προκύπτει ότι V o % E και H V o E A % A Στην περίπτωση ιδανικού ΤΕ, A = A 4, πράγµα που επιτρέπει την απλοποίηση της παραπάνω σχέσης σε H δηλ. V o E ή v o (t)e(t) Η τάση εξόδου δηλ. του ακολουθητή τάσης είναι ίση µε την τάση εισόδου του πράγµα που δικαιολογεί και την ονοµασία του. Η χρησιµότητα του κυκλώµατος αυτού έγκειται στο ότι παρεµβαλλόµενο µεταξύ δύο βαθµίδων, τις αποµονώνει ώστε η δεύτερη βαθµίδα να µην τραβάει ρεύµα από την πρώτη. 4-9

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στην περίπτωση που ο τελεστικός ενισχυτής δεν είναι ιδανικός, τότε φυσικά, σύµφωνα µε την 4.3α, A, οπότε η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης γίνεται s%ω a H V o ω E % t s%ω a % A Για να δούµε την εξάρτηση του κέρδους της διάταξης από την συχνότητα θα µελετήσουµε το µέτρο της H(jω): ω G(ω) H(jω) t ω jω%ω a % G t ω 2 %( %ω a ) 2 db (ω)20log(g(ω)) db Για ω=0 (συνεχές), έχουµε ότι G dc G(0), αφού >>ω a (τυπικές τιµές ω a = 2π 5 Hz και = % ω. a 2π 0 6 Hz). 2 Η συχνότητα ω 3dB, στην οποία το G(ω) γίνεται ίσο µε, υπολογίζεται από την σχέση 2 G dc G(ω 3dB ) 2 2 G dc 2 Y ω 2 %ω 3dB %ω a a Μετά από αυτή τη συχνότητα, το λογαριθµικό κέρδος της διάταξης 20logG(ω) µειώνεται µε ρυθµό 6 db/octave. Ο σχεδιαστής εποµένως καλείται να αποφασίσει τις ανοχές του κέρδους για να προσδιορίσει την µέγιστη συχνότητα µέχρι την οποία το κύκλωµα συµπεριφέρεται καλά. Αν 2 G dc 2 είναι ικανοποιητικό, τότε η χρησιµότητα της διάταξης περιορίζεται για συχνότητες µέχρι. Για µικρότερες ανοχές, π.χ. κέρδος 0.9G dc, µειώνεται και το εύρος της ζώνης συχνοτήτων στην οποία η διάταξη έχει κέρδος τουλάχιστον. 0.9G dc ΣΧΗΜΑ 4.0 4.3.2 Κυκλώµατα µε αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης (Inverting Amplifier) Γιά να υπολογίσουµε την έξοδο του αντιστρεπτικού ενισχυτή του σχήµατος 4., ξεκινάµε από την βασική σχέση του τελεστικού ενισχυτή voltage-mode V o = A [ V + - V - ], η οποία επειδή V + =0 γίνεται V o = -A V -. Στον κόµβο της αντιστρεπτικής εισόδου, τα δύο ρεύµατα είναι ίσα, αφού το ρεύµα προς την αντιστρεπτική είσοδο είναι µηδέν ή αµελητέο ακόµα και στους πραγµατικούς ΤΕ, λόγω της πολύ µεγάλης αντίστασης εισόδου. Εκφράζοντας τα ρεύµατα i και i 2 από τις αντίστοιχες σχέσεις ρεύµατος τάσεως των δύο αντιστάσεων, έχουµε: 4-0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 4. E&V & V & &V o 2 Λαµβάνοντας υπόψη ότι V o = -A V -, επιλύουµε την παραπάνω σχέση και βρίσκουµε: V o &E 2 A @ A % 2 % Αν θεωρήσουµε ιδανικό ΤΕ voltage-mode µε άπειρο κέρδος ανοικτού βρόχου Α, η έξοδος είναι τελικά V o & 2 E ή v o (t) & 2 e(t) (4.20) Η χρησιµότητα του κυκλώµατος του αντιστρεπτικού ενισχυτή, είναι προφανής αφού ο λόγος των δύο αντιστάσεων µπορεί να πάρει οποιαδήποτε επιθυµητή τιµή. Η πρώτη σηµαντική παρατήρηση είναι ότι η φάση της απόκρισης του αντιστρεπτικού ενισχυτή διαφέρει από αυτή της διέγερσης κατά 80 ο (αυτό σηµαίνει το αρνητικό πρόσηµο), ενώ ενισχύεται το πλάτος ανάλογα µε τον λόγο των δύο αντιστάσεων. Η δεύτερη παρατήρηση αφορά την τάση της αντιστρεπτικής εισόδου του τελεστικού ενισχυτή, η οποία υπολογίζεται εύκολα ότι είναι V & 2 @ A % 2 % και τείνει στο µηδέν λόγω της άπειρης (ή πολύ µεγάλης) τιµής του Α στην περίπτωση του ιδανικού ΤΕ. Καταφέρνει δηλ. τελικά ο τελεστικός ενισχυτής να εξισώσει τις τάσεις των δύο εισόδων του, γεγονός που µπορεί να θεωρηθεί ως δεδοµένη λειτουργία του, όταν ο ΤΕ δουλεύει στην γραµµική του περιοχή. Ας θεωρήσουµε τώρα την περίπτωση του µη ιδανικού ΤΕ voltage-mode στον οποίο φυσικά ισχύει η E 4.3α, δηλ. A. Εισάγοντας την σχέση αυτή στην 4.20 παίρνουµε: s%ω a H V o E & 2 @ β s % β %ω a Για ω=0 (συνεχές) έχουµε H(j0) G dc 2 @ %β ω a µε β% 2 Το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από την τιµή αυτή για ω 3dB, το εύρος δηλ. της διάταξης β %ω a είναι ίσο µε ω 3dB και εξαρτάται από το β. Αυτό σηµαίνει ότι η µέγιστη συχνότητα µέχρι την οποία είναι χρήσιµη η διάταξη µειώνεται όσο µεγαλώνει ο λόγος 2 4 -, δηλ. το κέρδος της για ω=0. Το σχήµα 4.2 είναι ενδεικτικό. Γιά 2 έχουµε f Hz ενώ γιά έχουµε Hz και 3dB 5@0 5 2 0 f 3dB 0 5

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ στιε δύο περιπτώσεις το κέρδος µειώνεται µε ρυθµό 6dB/octave µετά την συχνότητα f 3dB. ΣΧΗΜΑ 4.2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.2 Θα σχεδιάσοµε τον αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης για να υλοποιεί κέρδος ίσο µε -4, δηλ. G dc = k o = 4 (λογαριθµικό κέρδος=20log(4).2 db) µε τον µονολιθικό ΤΕ voltage-mode µα74, που έχει =2π 0 6 Ηz και ω a =2π 5.3 Hz. Έχουµε ότι k o G dc 2 @ % % 2 ω a από την οποία παίρνουµε 2 k o &k o ω a % ω a Μπορούµε εποµένως να πάρουµε οποιαδήποτε τιµή για το 2 και να υπολογίσουµε το από την παραπάνω σχέση εξασφαλίζοντας κέρδος G dc = k o για τις χαµηλές συχνότητες. Το κέρδος µειώνεται µε την συχνότητα και το κύκλωµα αυτό δεν δίνει την δυνατότητα να επιλέξουµε, µε εξωτέρικές ρυθµίσεις, σε ποιά συχνότητα το λογαριθµικό κέρδος θα πέφτει κατά 3 db, δηλ. το κέρδος θα γίνεται δίνεται από την σχέση ω 3dB &k o k o % ω a 2 k o 2 αφού η συχνότητα αυτή %ω a, στην οποία δεν µπορούµε να αλλάξουµε τίποτα, αφού τα µεν ω a και είναι χαρακτηριστικά του ΤΕ και το k ο σταθερό από τις προδιαγραφές της σχεδίασης. Για τα δεδοµένα της εφαρµογής k o = 4 (2 db) =2π 0 6 Ηz και ω a =2π 5.3 Hz βρίσκουµε ότι f 3dB ω 3dB 2π 2π ω &k a o k o % % ω a 2π.2.0@05 Hz ΣΧΗΜΑ 4.3 4-2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Το σχήµα 4.3 δείχνει την καµπύλη λογαριθµικού κέρδους, που είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της στάθµης των αντιστάσεων, για την επιλογή της οποίας µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνον κριτήρια που αφορούν την καλή λειτουργία της διάταξης, το επίπεδο θορύβου κ.λπ.. Γενικός αντιστρεπτικός ενισχυτής τάσης Γενικεύοντας την ανάλυση του αντιστρεπτικού ενισχυτή τάσης βρίσκουµε ότι το κύκλωµα του σχήµατος 4.4 έχει συνάρτηση µεταφοράς H V o E & Z 2 Z ΣΧΗΜΑ 4.4 Η συνάρτηση µεταφοράς εποµένως του γενικευµένου αντιστρεπτικού ενισχυτή τάσης διαµορφώνεται από το είδος των στοιχείων Ζ και Ζ 2. ΣΧΗΜΑ 4.5 Η αντιστρεπτική είσοδος του κυκλώµατος του αντιστρεπτικού ενισχυτή έχει προσθετική ικανότητα όπως φαίνεται στο κύκλωµα του σχήµατος, 4.5, του οποίου η έξοδος είναι: V o! Z F Z V! Z F Z 2 V 2!...! Z F Z n V n Ο αντιστρεπτικός ολοκληρωτής Στην οικογένεια του αντιστρεπτικού ενισχυτή ανήκει και ο αντιστρεπτικός ολοκληρωτής του σχήµατος 4.6 (ολοκληρωτής Miller). Για να αναλύσουµε το κύκλωµα του αντιστρεπτικού ολοκληρωτή παίρνουµε ως δεδοµένο ότι το ρεύµα που τραβάει η αντιστρεπτική είσοδος του ΤΕ είναι αµελητέο και εποµένως το ρεύµα του στην είναι ίσο µε το ρεύµα στον : E&V x V x &V o s ΣΧΗΜΑ 4.6 (V x είναι η τάση της αντιστρεπτικής εισόδου). Συνδυάζοντας την σχέση αυτή µε το µοντέλο του ΤΕ V o A 0&V x υπολογίζουµε την τάση εξόδου ως: V o & % s A % A E Αν θεωρήσουµε ιδανικό ΤΕ voltage-mode µε άπειρο κέρδος ανοικτού βρόχου Α, η έξοδος θα είναι: V o & E ή v s C o (t)& e(t) dt 2 m και η συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης H V o E & s 0 t (4.2) Στο εδάφιο 4.4 θα ασχοληθούµε ειδικά µε τις επιπτώσεις που έχει στον αντιστρεπτικό ολοκληρωτή η χρήση µη ιδανικού ΤΕ και θα προταθούν εναλλακτικά κυκλώµατα. 4-3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Ολοκληρωτές µε απώλειες (lossy integrators) Το κύκλωµα του σχήµατος 4.7α έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης: H V o E s C % αλλά η αλλάζει αν συνδεθεί σε κάποιο κύκλωµα που δεν θα έχει άπειρη (ή πολύ µεγάλη) αντίσταση εισόδου. ΣΧΗΜΑ 4.7 Γιά παράδειγµα αν συνδεθεί στην έξοδό του φορτίο όπως στο σχήµα 4.7β, τότε η συνάρτηση µεταφοράς θα γίνει: H V 0, που παύει να είναι αυτό που θέλουµε. Ε s C % % Γιά να την διατηρήσουµε H ανεξάρτητα από το που συνδέεται το κύκλωµα, µπορούµε να s C % προσθέσουµε έναν ακολουθητή τάσης όπως στο σχήµα 4.7γ. Της ίδιας µορφής συνάρτηση µεταφοράς όµως, αλλά µε αρνητικό πρόσηµο, έχει και το κύκλωµα του σχήµατος 4.8. Συγκεκριµένα, H V o E & s C % Στο κύκλωµα αυτό, αν ο αντιστάτης θεωρηθεί ως ο αντιστάτης απωλειών του πυκνωτή C, όταν είναι άπειρης τιµής (µηδενικές απώλειες) η συνάρτηση µεταφοράς είναι & s C (ολοκληρωτής) ενώ ΣΧΗΜΑ 4.8 αν η έχει πεπερασµένη τιµή εισάγεται ο όρος και η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται &. s C % Επειδή ο όρος οφείλεται στον αντιστάτη απωλειών, αναφέρεται ως "απώλειες" και τα κυκλώµατα µε συνάρτηση µεταφοράς της γενικής µορφής, σαν αυτά των σχηµάτων 4.7 και 4.8, ονοµάζονται sτ%ψ ολοκληρωτές µε απώλειες. Ο αντιστρεπτικός διαφοριστής Ο βασικός αντιστρεπτικός διαφοριστής βασίζεται στο γενικευµένο κύκλωµα του αντιστρεπτικού ενισχυτή, µε Ζ = sc και Ζ 2 = 2, όπως στο σχήµα 4.9, οπότε η έξοδος γίνεται: V o &s 2 C E ή v o (t) & 2 C d dt e(t) Η διάταξη πάσχει από προβλήµατα θορύβου και για τον λόγο αυτό αποφεύγεται στη σχεδίαση ενεργών φίλτρων. ΣΧΗΜΑ 4.9 4-4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ο αφαιρέτης ΣΧΗΜΑ 4.20 Το κύκλωµα του σχήµατος 4.20 είναι αυτό του αντιστρεπτικού ενισχυτή µε την διαφορά ότι αντί για να γειώνεται η µη αντιστρεπτική είσοδος, δέχεται τάση V % V. r Α % r 2 Β Η έξοδος του κυκλώµατος του σχήµατος υπολογίζεται εύκολα ότι είναι: V o % 2 r Α V r Α % r 2! 2 V Β Γιά r Α =r Β και = 2, η έξοδος είναι V 2!V Αντιστρεπτικά κυκλώµατα ης τάξης Στη σύνθεση ενεργών κυκλωµάτων και φίλτρων, µεγάλο ρόλο παίζουν κυκλώµατα που πραγµατοποιούν συναρτήσεις µεταφοράς ης τάξης. Η γενική περίπτωση συνάρτησης κυκλώµατος ης τάξης είναι: F s % z s % p µε έναν πόλο s = -p και ένα µηδενικό s = -z, τα οποία δεν µπορεί παρά να είναι πραγµατικά, αφού αν ήταν ο πόλος ή το µηδενικό µιγαδικός αριθµός, τότε και ο συζυγής του θα ήταν πόλος ή µηδενικό, οπότε η συνάρτηση θα ήταν 2ης τάξης. Στηριζόµενοι στο κύκλωµα του αντιστρεπτικού ενισχυτή, µπορούµε να παράγουµε µια σειρά κυκλωµάτων ης τάξης µε αρνητικό κέρδος, βάζοντας στις θέσεις των κλάδων Z και Z 2 διάφορους συνδυασµούς απλών κυκλωµάτων C, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. r Α ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ης ΤΑΞΗΣ Z Z 2 H & / s% 2 & 2 s s % C 4-5

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Z Z 2 H & C & 2 s % C s % 2 s % 2 s % C Ενα ολοπερατό φίλτρο ης τάξης Το κύκλωµα µε = 2 έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης H Z 2 & Z, όπως εύκολα µπορείτε να υπολογίσετε. Για Ζ =/sc Z 2 % Z (πυκνωτής) και Z 2 =, η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται s & C H s % C Μια τέτοια συνάρτηση µεταφοράς πρώτης τάξης, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον αφού έχει επίπεδη απόκριση πλάτους ενώ η απόκριση φάσης εξαρτάται από την συχνότητα. Το κύκλωµα ονοµάζεται ολοπερατό φίλτρο (all pass) ης τάξης και µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην ισοστάθµιση φάσης. 4.3.3 Κυκλώµατα µε µη αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης Αν στο κύκλωµα του ακολουθητή τάσης του σχήµατος 4.2α ανατροφοδοτήσουµε µέσω ενός διαιρέτη τάσης ένα κλάσµα της εξόδου στην αντιστρεπτική είσοδο, προκύπτει ο µη αντιστρεπτικός ενισχυσχυτής (non inverting amplifier) του σχήµατος 4.2β. ΣΧΗΜΑ 4.2 Ο διαιρέτης τάσεως, επιβάλλει στην αντιστρεπτική είσοδο τάση V & Α V A % o V o µε k% B > Β k A Χρησιµοποιώντας το µοντέλο ενός πόλου για τον ΤΕ voltage-mode βρίσκουµε ότι V o V o A V % &V & µε A s%ω a k k A % E και H V o E Στην περίπτωση του ιδανικού ΤΕ έχουµε ότι A=A 64 οπότε k k A % (4.25) 4-6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ V o ke % B A E και H V o E k% B A Στην περίπτωση του µη ιδανικού ΤΕ η συνάρτηση κέρδους ανοικτού βρόχου είναι συνάρτηση µεταφοράς της διάταξης γίνεται H V o E s% k %ω a A s%ω a οπότε η Για dc (ω=0) έχουµε G dc H(j0) k %kω a ενώ η συχνότητα στην οποία το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατα 3 db από το 20logG dc είναι ω 3dB. Είναι προφανές ότι το εύρος ζώνης της διάταξης µειώνεται k %ω a όσο µεγαλώνει το k, δηλ.όσο αυξάνεται ο λόγος των αντιστάσεων B. A ΣΧΗΜΑ 4.22 Χαρακτηριστικό είναι το διάγραµµα του σχήµατος 4.22, στο οποίο φαίνεται το κέρδος της διάταξης για B (k2) και B 0 (k). A A kω Οταν είναι δεδοµένο το G dc H(j0) t, από την σχέση αυτή υπολογίζεται ότι %kω a k% B G dc A ω &G a dc Από τη σχέση αυτή υπολογίζονται οι τιµές των αντιστάσεων για δεδοµένο H dc και ΤΕ. Το εύρος εποµένως της διάταξης γίνεται ω 3dB k %ω a &G dc ω a Η σχέση αυτή δείχνει την εξάρτηση του εύρους της συγκεκριµένης διάταξης από το dc κέρδος της. Η επόµενη εφαρµογή είναι ενδεικτική. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.3 Θα σχεδιάσουµε τον µη αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης για να υλοποιεί κέρδος ίσο µε 4, δηλ. G dc = k o = 4 (λογαριθµικό κέρδος=20log(4).2 db) µε τον µονολιθικό ΤΕ voltage-mode µα74, που έχει =2π 0 6 Ηz και ω a =2π 5.3 Hz. G dc %ω a 4-7

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Έχουµε ότι G dc % B A % % B A ω a &k o k o από την οποία παίρνουµε A B ω a k o &%k o ω a Μπορούµε εποµένως να πάρουµε οποιαδήποτε τιµή για το Β και να υπολογίσουµε το Α από την παραπάνω σχέση εξασφαλίζοντας κέρδος k o για τις χαµηλές συχνότητες. Το κέρδος µειώνεται µε την συχνότητα και το κύκλωµα αυτό δεν δίνει την δυνατότητα να επιλέξουµε σε ποιά συχνότητα το λογαριθµικό κέρδος θα πέφτει κατά 3 db, δηλ. το κέρδος θα γίνεται ω 3dB k %ω a &k o ω a k o 2 k o 2 αφού η συχνότητα αυτή δίνεται από την σχέση %ω a στην οποία δεν µπορούµε να αλλάξουµε τίποτα, αφού τα µεν ω a και είναι χαρακτηριστικά του ΤΕ και το k ο σταθερό από τις προδιαγραφές της σχεδίασης. Για τα δεδοµένα της εφαρµογής k o = 4 (2 db) =2π 0 6 Ηz και ω a =2π 5.3 Hz βρίσκουµε ότι f 3dB ω 3dB 2π 2π &k o ω a k o % ω a 2π 2.5@05 Hz Το σχήµα 4.23 δείχνει την καµπύλη λογαριθµικού κέρδους, που είναι ανεξάρτητο από την επιλογή της στάθµης των αντιστάσεων, για την επιλογή της οποίας µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνον κριτήρια που αφορούν την καλή λειτουργία της διάταξης, το επίπεδο θορύβου κ.λπ.. ΣΧΗΜΑ 4.23 Ο αρνητικός γραµµικός αντιστάτης ΣΧΗΜΑ 4.24 Το κύκλωµα του σχήµατος 4.24, παρουσιάζει ως προς την γή αντίσταση - o. Γιά να το υπολογίσουµε, θα πρέπει να υπολογίσουµε την αντίσταση εισόδου ως Z IN E, όπου I είναι το ρεύµα εισόδου. Ας I σηµειωθεί όµως ότι ο τελεστικός ενισχυτής χρησιµοποιείται εδώ ως µη αντιστρεπτικός ενισχυτής µε κέρδος 2, δηλ. V o 2E, οπότε 4-8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ I E!V o o E!2E o! E Y Z ΙΝ E o I! o Η αρνητική αντίσταση κάνει ακριβώς το αντίθετο από την θετική. Αν η θετική καταναλώνει ισχύ, η αρνητική παράγει ισχύ όπως ακριβώς ένας ενισχυτής ισχύος. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.4: Ενας Μη Αντιστρεπτικός Ολοκληρωτής Στό σχήµα 4.25, έχουµε ένα παθητικό κύκλωµα C και παράλληλα προς τον πυκνωτή, έχει τοποθετηθεί ένας αρνητικός αντιστάτης -. ΣΧΗΜΑ 4.25 Με ιδανικό ΤΕ, η τάση της αντιστρεπτικής εισόδου, λόγω του διαιρέτη τάσεως r-r, είναι ίση µε το µισό της τάσης εξόδου. Την ίδια τιµή παίρνει και η µη αντιστρεπτική είσοδος του τελεστικού. Το ρεύµα της αντίστασης εισόδου, µοιράζεται προς τον πυκνωτή και την αντίσταση της ανάδρασης, αφού ο τελεστικός δεν τραβάει ρεύµα. Εκφράζοντας την ισορροπία των ρευµάτων στον κόµβο της µη αντιστρεπτικής εισόδου έχουµε: E &0.5V o sc[0.5v o ] % 0.5V o &V o από την οποία βρίσκουµε ότι E sc 2 V o Y H V o E s 2 C Το κύκλωµα εποµένως είναι ένας µη αντιστρεπτικός ολοκληρωτής µε σταθερά ολοκλήρωσης C/2. Το κύκλωµα αυτό είναι γνωστό ως ολοκληρωτής του Deboo και την συµπεριφορά του αν ο ΤΕ δεν είναι ιδανικός θα µελετήσουµε στο επόµενο εδάφιο. Το κύκλωµα του σχήµατος 4.24, είδαµε ότι παρουσιάζει ως προς την γή αντίσταση ίση µε - o. Το κύκλωµα αυτό µπορεί άνετα να χρησιµοποιηθεί γιά την πραγµατοποίηση και άλλων αρνητικών στοιχείων, σύµφωνα µε το σχήµα 4.26. ΣΧΗΜΑ 4.26 Στην ουσία πρόκειται γιά ένα ενεργό κύκλωµα του οποίου η αντίσταση στους ακροδέκτες - είναι ίση µε την αρνητική αντίσταση του στοιχείου που συνδέεται στους ακροδέκτες 2-2. Τέτοια κυκλώµατα ονοµάζονται αρνητικοί µετατροπείς αντίστασης (NIC). Στην περίπτωση του σχήµατος, έχουµε έναν γειωµένο αρνητικό µετατροπέα. Αν στους ακροδέκτες 2-2 συνδεθεί ένας πυκνωτής µε Ζ = sc o, η αντίσταση του κυκλώµατος θα είναι ίση µε -sc o, που είναι ένας αρνητικός πυκνωτής χωρητικότητος -C o. Τέτοια στοιχεία είναι πολύ χρήσιµα στη σύνθεση και πραγµατοποίηση ενεργών κυκλωµάτων. Κυκλώµατα ης τάξης µε µη αντιστρεπτικό ενισχυτή Στηριζόµενοι στο κύκλωµα του µη αντιστρεπτικού ενισχυτή, που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2, 4-9

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µπορούµε να παράγουµε µια σειρά ενερών-c κυκλωµάτων ης τάξης µε θετικό κέρδος, βάζοντας στις θέσεις των αντιστάσεων Z και Z 2 διάφορους συνδυασµούς απλών κυκλωµάτων C, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΜΗ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΙΚΟ ΕΝΙΣΧΥΤΗ Z Z 2 H s % % 2 s % 2 % 2 s% C ( % 2 ) s% C % C s % (C % ) s % 2 % 2 2 s % 2 s % C Παθητικά κυκλώµατα ης τάξης Το σχήµα 4.27 δείχνει µερικά παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν και αυτά συναρτήσεις ης τάξης. Γιά παράδειγµα, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z και η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H του κυκλώµατος του σχήµατος 4.27α είναι: Z V ΙΝ I ΙΝ % H V OUT V ΙN 2 s 2 C % s % % 2 2 C s % 2 C C s % % 2 2 C µε πραγµατικούς πόλους και µηδενικά. Χαρακτηριστικό των παθητικών κυκλωµάτων ης τάξης είναι ότι έχουν ένα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας. 4-20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 4.27: Παθητικά κυκλώµατα ης τάξης Ολα τα κυκλώµατα πρώτης τάξης του σχήµατος 4.27, µπορούν µε την τοποθέτηση ενός ακολουθητή τάσης στην έξοδο να αποκτήσουν το χαρακτηριστικό της µικρής αντίστασης εξόδου ώστε να µπορούν να συνδεθούν αλυσωτά, χωρίς να µεταβάλλεται η συνάρτηση µεταφοράς τους. Ως παράδειγµα, τα κυκλώµατα C του σχήµατος 4.28 έχουν συναρτήσεις µεταφοράς H α V o E C s % C s και s % C τις οποίες διατηρούν, λόγω του αποµονωτή στην έξοδο, ανεξάρτητα από το που συνδέονται. H β V o E ΣΧΗΜΑ 4.28 4.4 Ολοκληρωτές Οι ολοκληρωτές αποτελούν βασικό δοµικό στοιχείο στα ενεργά φίλτρα. Η ιδανική πράξη της ολοκλήρωσης εκφράζεται στο πεδίο συχνοτήτων ως. Η σταθερά τ ονοµάζεται σταθερά ολοκλήρωσης. sτ Μια τέτοια ιδανική ολοκλήρωση κάνει για παράδειγµα ο πυκνωτής στο ρεύµα για να δώσει την τάση 4-2

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ V c. Οταν ο πυκνωτής δεν είναι ιδανικός αλλά έχει απώλειες, που εκφράζονται στο σχετικό sc I µοντέλο ως µια παράλληλη προς τον πυκνωτή αντίσταση d, η πράξη που γίνεται στο ρεύµα είναι πλέον: V c sc % I ή V c (jω) jωc% I(jω) d d Η ποσότητα που προστίθεται στο sc ή στο jωc του παρονοµαστή, στην περίπτωση αυτή απώλειες. d, εκφράζει τις Μιλώντας για συναρτήσεις µεταφοράς τάσης, η συνάρτηση µεταφοράς του ολοκληρωτή τάσης είναι sτ ενώ του ολοκληρωτή µε απώλειες όπου η σταθερά ολοκλήρωσης έχει διαστάσεις χρόνου και η sτ%ψ ποσότητα ψ, που εκφράζει τις απώλειες, είναι καθαρός αριθµός. Ο συντελεστής ποιότητας ενός ολοκληρωτή ορίζεται ως Q ωτ µε αποτέλεσµα µε τον όρο "ολοκληρωτής" τάσης να εννοούµε κυκλώµατα των οποίων ψ η συνάρτηση µεταφοράς τάσης είναι H V out V in sτ%ψ sτ% ωτ Q µε το ψ να τείνει στο µηδέν, ή ισοδύναµα, το Q να τείνει στο άπειρο. Η αξιολόγηση κυκλωµάτων που υλοποιούν ολοκληρωτές τάσης, µπορεί να γίνει εκτιµώντας τις απώλειες ψ ή τον συντελεστή ποιότητος Q. Για έναν καθαρό ολοκληρωτή µε συνάρτηση µεταφοράς, απαιτείται ψ=0. Οπως θα δούµε, ο µηδενισµός sτ αυτός των απωλειών ψ (απειρισµός του Q), αν και είναι πολλές φορές επιθυµητός, αποτελεί µη πραγµατοποιήσιµη κατάσταση, στις υψηλές τουλάχιστον συχνότητες. 4.4. Αντιστρεπτικοί ολοκληρωτές Είδαµε ότι ο ολοκληρωτής Miller του σχήµατος 4.29 έχει στην περίπτωση ιδανικού ΤΕ συνάρτηση µεταφοράς τάσης H&, ενώ αν s ο ΤΕ δεν είναι ιδανικός και έχει κέρδος ανοικτού βρόχου A, η συνάρτηση µεταφοράς είναι V o & (4.26) % s A % E A ΣΧΗΜΑ 4.29 Χρησιµοποιώντας για τον ΤΕ το µοντέλο ολοκληρωτή πόλου µε ω a =0, η σχέση 4.26 γίνεται A, το οποίο είναι απλά το µοντέλο ενός s Στον jω-άξονα έχουµε H& s 2 %s % & H(jω)& jω % & ω2 και εποµένως για την σταθερά ολοκλήρωσης και τις απώλειες έχουµε: s s % % (4.27) 4-22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ τ % και ψ& ω2 & ω A(jω) Για το κύκλωµα αυτό, ο συντελεστής ποιότητας θα είναι: % Q& & A(jω) &.& A(jω) ω ω Η σχέση 4.27 αφ ενός καταδεικνύει το γεγονός ότι υπάρχει σηµαντική απόκλιση της πραγµατικής συµπεριφοράς του κυκλώµατος από αυτή του ολοκληρωτή µε συνάρτηση µεταφοράς H&, s υπαγορεύει όµως και µια απλή µέθοδο βελτίωσης του κυκλώµατος του ολοκληρωτή. Συγκεκριµένα, αν στην ανατροφοδότηση αντί για πυκνωτή µε αντίσταση βάλλουµε, όπως στο σχήµα 4.30, τον πυκνωτή στη s σειρά µε µια αντίσταση x, τότε ο κλάδος ανατροφοδότης θα έχει αντίσταση x % x s% x s s και η συνάρτηση µεταφοράς του ολοκληρωτή, η 4.27, γίνεται H& x s% x s s % % & x s% x s s % % (4.28) Για να γίνει ακύρωση πόλου-µηδενικού (απλοποίηση των πρωτοβάθ- µιων δυωνύµων αριθµητή και παρονοµαστή) πρέπει ω (4.29) x C t % ή 2 C x 2 % οπότε η 4.28 γίνεται H& 4-23 ΣΧΗΜΑ 4.30 s % που είναι ένας καθαρός, χωρίς αποκλίσεις από τον ιδανικό, αντιστρεπτικός ολοκληρωτής µε σταθερά ολοκλήρωσης τ % % (4.30). Ο όρος << µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως διορθωτικός παράγων. Αυτό σηµαίνει ότι για να σχεδιάσουµε ολοκληρωτή µε δεδοµένη σταθερά ολοκλήρωσης τ, επιλέγουµε ελεύθερα την τιµή του πυκνωτή, οπότε προσδιορίζεται η από την 4.30 και η x από την 4.29. Με τις τιµές αυτές, ο ολοκληρωτής του σχ. 4.30, θα υλοποιεί συνάρτηση µεταφοράς H& sτ Τα µη ιδανικά εποµένως χαρακτηριστικά του ΤΕ, µπορούν να ληφθούν υπόψη δηµιουργώντας ένα πιό πολύπλοκο µοντέλο του πραγµατικού ολοκληρωτή Miller µε πραγµατικό ΤΕ. Η µέθοδος αυτή αντιστάθ- µισης των επιδράσεων του µη άπειρου κέρδους ανοικτού βρόχου του ολοκληρωτή, στηρίζεται σε υπολογισµούς που χρησιµοποιούν τα χαρακτηριστικά του ΤΕ (την ), που δεν είναι σταθερά και πρέπει να µετρούνται σε κάθε έναν ΤΕ για να προσδιοριστούν οι υπόλοιπες τιµές. Κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό, ιδίως όταν πρόκειται για µαζική παραγωγή φίλτρων και η µέθοδος αυτή έχει µάλλον µόνον θεωρητική αξία. Στο φύλλο εργασίας Mathcad που ακολουθεί γίνεται σχεδίαση ενόε ολοκληρωτή Miller και υπολογίζεται η απόκρισή για ιδανικό και µη ιδανικό ΤΕ.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στο επόµενο φύλλο εργασίας Mathcad, σχεδιάζεται ένας παθητικά αντισταθµισµένος αντιστρεπτικός ολοκληρωτής βάσει των σχέσεων 4.29 και 4.30. Η απόκρισή του στις υψηλές συχνότητες, όπου υπάρχει συνήθως πρόβληµα, ταυτίζεται µε την ιδανική περίπτωση. 4-24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Επειδή οι ολοκληρωτές είναι οι βασικότερες βαθµίδες για την υλοποίηση ενεργών φίλτρων, έχουν γίνει πολλές προσπάθειες ελαχιστοποίησης των επιδράσεων των ατελειών των ΤΕ, όχι µόνον µε υπολογισµούς και διορθώσεις αλλά µε την δοµική παρέµβαση στο βασικό κύκλωµα. Μια τέτοια προσπάθεια είναι η εισαγωγή ενός ακολουθητή τάσης στον βρόχο ανάδρασης όπως στο σχήµα 4.3 µε σκοπό την εισαγωγή ενός πραγµατικού µηδενικού στη συνάρτηση µεταφοράς, το οποίο θα ακυρώσει τον πραγµατικό πόλο που δηµιουργείται λόγω του πεπερασµένου κέρδους (βλέπε σχέση 4.27). ΣΧΗΜΑ 4.3 Αν θεωρήσουµε ιδανικούς ΤΕ, η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος είναι H& s Θεωρώντας όµως µη ιδανικούς ΤΕ, υπολογίζεται µε την χρήση του µοντέλου ολοκληρωτή για το κέρδος ανοικτού βρόχου των ΤΕ, ότι οι απώλειες υπολογίζεται ότι είναι ω 2 ψ 2 & ω2 & ω ω & A t2 2 (jω) A 2 (jω) & 2 2 ω 2 ω t2 t Αν οι δύο ΤΕ είναι ίδιοι ( A A 2 Α και 2 ), τότε ψ& ω και Q A(jω) 3 A(jω) 3 Αυτό αποτελεί µια σηµαντική βελτίωση, αφού οι απώλειες µειώνονται µε τον κύβο του κέρδους ανοικτού βρόχου. Υπενθυµίζαται ότι χωρίς τον ακολουθητή στην ανατροφοδοσία οι απώλειες ήταν ψ& ω A(jω) και Q A(jω) 4.4.2 Μη αντιστρεπτικοί ολοκληρωτές Για την σχεδίαση ενός µη αντιστρεπτικό ολοκληρωτή µε βάση την δοµή του αντιστρεπτικού ενισχυτή, αρκεί η αλυσωτή σύνδεση του αντιστρεπτικού ολοκληρωτή µε µια βαθµίδας αντιστροφής όπως στο σχήµα 4.32α, το οποίο, µε ιδανικούς ΤΕ έχει συνάρτηση µεταφοράς: H s ΣΧΗΜΑ 4.32α: Αλυσωτή σύνδση Μiller-αντιστροφέα Ο συντελεστής ποιότητος του ολοκληρωτή αυτού αποδεικνύεται ότι είναι χαµηλότερος από αυτόν του αντιστρεπτικού ολοκληρωτή Miller. Μια µικρή βελτίωση στη συµπεριφορά του κυκλώµατος στις υψηλές συχνότητες όταν οι ΤΕ είναι πραγµατικοί, γίνεται µε την σύνδεση της µη αντιστρεπτικής εισόδου του δεύτερου ΤΕ στην εικονική γή της αντιστρεπτικής είσοδο του πρώτου ΤΕ, αντί για την γη (σχήµα 4.32β). ΣΧΗΜΑ 4.32β: Τροποποιηµένη αλυσωτή σύνδεση Miller-αντιστροφέα 4-25

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Και πάλι όµως το Q του ολοκληρωτή παραµένει χαµηλότερο από αυτό του αντιστρεπτικού ολοκληρωτή Miller. Εναλλακτικά, ο αντιστρεπτικός ενισχυτής µπορεί να τοποθετηθεί µέσα στον κλάδο ανάδρασης, όπως στο σχήµα 4.32γ και για λόγους ευστάθειας, να αντιστραφούν οι είσοδοι του ΤΕ του ολοκληρωτή. ΣΧΗΜΑ 4.32γ: Ολοκληρωτής θετικών απωλειών Με ιδανικούς ΤΕ, η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος αυτού είναι : H ενώ µε s πραγµατικούς ΤΕ ταυτόσηµων χαρακτηριστικών γίνεται H s % 2 % s % A A Αναλύοντας το συντελεστή σε σειρά Taylor παίρνουµε % 2 A H s & 2 A % 4 A & 8 6 2 A 3% A... % s % 4 A Βάζοντας A s Οι απώλειες στην περίπτωση αυτή είναι και υπολογίζοντας την Η(jω), βρίσκουµε H(jω) ποιοτικά είναι συγκρίσιµο προς τον αντιστρεπτικό ολοκληρωτή Miller. jω % ω2 % ψ. ω2 ω, πράγµα που σηµαίνει ότι το κύκλωµα A(jω) > 0 ΣΧΗΜΑ 4.32δ: Ολοκηρωτής υψηλού Q µε 3 ΤΕ Χρησιµοποιώντας τον αντιστρεπτικό ολοκληρωτή µε τον ακολουθητή τάσης στον βρόχο ανάδρασης (σχήµα 4.3) µε µια βαθµίδα αντιστροφής µε την µη αντιστρεπτική της είσοδο συνδεµένη στην µη αντιστρεπτική είσοδο του πρώτου ΤΕ, προκύπτει το κύκλωµα του σχήµατος 4.32δ. Το κύκλωµα είναι ένας µη αντιστρεπτικός ολοκληρωτής, στο οποίο αποδεικνύεται ότι οι απώλειες είναι της µορφής ψ& ω, πράγµα που A(jω) 3 αποτελεί σηµαντική βελτίωση µε κόστος βέβαια έναν πρόσθετο ΤΕ. Ενας δηµοφιλής µη αντιστρεπτικός ολοκληρωτής, µε έναν µάλιστα ΤΕ, είναι ο ολοκληρωτής Deboo του σχήµατος 4.33. Το κύκλωµα είδαµε αρχικά στην εφαρµογή 4.4. Με ιδανικό ΤΕ, η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµτος είναι H % B A s C %& @ B A 4-26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ που µε επιλογή, το κύκλωµα είναι ένας µη αντιστρεπτικός ολοκληρωτής. @ B A ΣΧΗΜΑ 4.33 Στην περίπτωση που ο ΤΕ δεν είναι ιδανικός και χρησιµοποιώντας k H s C & % w t &% k & &w k 2 C w t Για την ελαχιστοποίηση των απωλειών επιλέγεται οπότε @ B A A, βρίσκουµε: s όπου k% b A H s 2 C % & w t &w2 C w t µε τ 2 C % & w t. 2 % C και ψ&w 2 C & w C w t A(jω) Οι απώλειες είναι ακριβώς ισες µε αυτές του αντιστρεπτικού ολοκληρωτή Miller χωρίς αντιστάθµιση και εποµένως τα δύο κυκλώµατα είναι ποιοτικά συγκρίσιµα. 4.5 Ενεργά κυκλώµατα προσοµοίωσης επαγωγέων Με ενεργά κυκλώµατα-c έχουµε την δυνατότητα να υλοποιήσουµε κυκλώµατα, µε οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου της µορφής Z in sl. Τα κυκλώµατα αυτά υλοποιούν στην ουσία επαγωγείς, όπως ακριβώς και τα πηνία και είναι πολύ χρήσιµα στην σχεδίαση ενεργών φίλτρων χωρίς πηνία. Στο εδάφιο αυτό θα παρουσιαστούν µερικά ενεργά κυκλώµατα που προσοµοιώνουν επαγωγείς. 4.5. Κύκλωµα iordan ΣΧΗΜΑ 4.34 Το κύκλωµα του σχήµατος 4.34, υπολογίζεται ότι έχει αντίσταση εισόδου: Z ΙΝ Z Z 3 Z 5 Z 2 Z 4 και έχει κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όταν σε έναν ή περισσότερους κλάδους του βάλλουµε πυκνωτές. 4-27

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Γιά να αποδείξουµε την παραπάνω σχέση, γράφουµε τις εξισώσεις ΝΡΚ για τις αντιστρεπτικές εισόδους των ΤΕ και θεωρώντας ότι τραβάνε µηδενικό ή αµελητέο ρεύµα: V m Z V V (4.3) Z %Z &V n V n &V 2 2 Z 3 Z 4 Με ίδιους ΤΕ voltage-mode, γράφουµε και τις εξισώσεις τους: A E&V m V A E&V n V 2 Οι τέσσερις παραπάνω εξισώσεις αποτελούν σύστηµα τεσσάρων εξισώσεων µε τέσσερις αγνώστους V, V 2, V m, και V n, από το οποίο υπολογίζεται ότι Z Z 3 &Z 2 Z 4 % K A V 2 E Z Z 3 % Λ (4.32) A % K A 2 όπου K(Z %Z 2 )(Z 3 %Z 4 ) και ΛZ 3 (Z %Z 2 )%Z (Z 3 %Z 4 ) Επειδή το ρεύµα εισόδου I περνάει όλο από την Ζ 5, στην οποία αντικαθιστώντας τη 4.32 δίνει I E&V 2 Z 5 Z Z 3 Z 5 % ΛZ 5 A % KZ 5 A 2 Z ΙΝ E I Z 2 Z 4 % Z 3 Z &Z 4 Z 2 % K A A 2 Αν θεωρήσουµε ιδανικό τελεστικό ενισχυτή µε A=A 4, τότε είναι προφανές ότι Z ΙΝ E I Z Z 3 Z 5 Z 2 Z 4 (4.33) (4.34) Στο παραπάνω συµπέρασµα, όταν θεωρούµε ιδανικό ΤΕ, µπορούµε να καταλήξουµε απ ευθείας από τις εξισώσεις (4.3) βάζοντας V m E και V n E επειδή στην γραµµική τους λειτουργία οι ιδανικοί ΤΕ εξισώνουν τις τάσεις των εισόδων τους. 4.5.2 Προσοµοιωµένος επαγωγέας iordan ΣΧΗΜΑ 4.35 Το κύκλωµα του iordan χρησιµοποιείται κυρίως γιά να εξοµοιώσει την επαγωγική συµπεριφορά των πηνίων. Πράγµατι, αν στο κύκλωµα του σχήµατος 2.34 βάλλουµε σε όλους τους κλάδους αντιστάσεις πλην της Ζ 2 που επιλέγεται να είναι πυκνωτής (σχήµα 4.35), η σχέση 4.29 δίνει Ζ ΙΝ s 3 5 και 4 εποµένως το κύκλωµα συµπεριφέρεται ως προς τους ακροδέκτες του ως γειωµένος επαγωγέας µε επαγωγή L 3 5. 4 4-28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 4.5.3 Κύκλωµα Antoniou Το κύκλωµα του σχήµατος 4.36 προτάθηκε το από τον Αντρέα Αντωνίου (Κυπριακής καταγωγής, σήµερα καθηγητής στον Καναδά), γιά την υλοποίηση προσοµοιωµένων γειωµένων επαγωγέων. Το κύκλωµα αποδεικνύεται ότι έχει και αυτό οδηγούσα αντίσταση εισόδου Z ΙΝ E Z Z 3 Z 5 (4.35) I Z 2 Z 4 Για την απόδειξη, θεωρούµε ότι οι δύο ΤΕ voltage-mode είναι ίδιοι και εποµένως ισχύει A E&V x V A E&V y V 2 (4.36) Στον κοινό κόµβο που συνδέονται οι αντιστρεπτικές είσοδοι, αφού δεν τραβάνε ρεύµα, ο ΝΡΚ δίνει V 2 &V x V x &V Z 2 Z 3 (4.37) ΣΧΗΜΑ 4.36 Στον κοινό κόµβο Ζ 4 και Ζ 5, έχουµε: V &V y V y (4.38) Z 4 Z 5 Λύνοντας τις παραπάνω τέσσερις εξισώσεις ως προς V 2 βρίσκουµε την έκφρασή του και την αντικαθιστού- µε στην I E&V 2 (4.39) Z που εκφράζει το ρεύµα του κυκλώµατος Ι, το οποίο περνάει όλο από την Ζ. Z 2 Z 4 & Z 4 %Z 5 A Από το αποτέλεσµα προκύπτει ότι: Y IN (4.40) Z Z 3 Z 5 & Z 2 (Z 4 %Z 5 ) & (Z 2 %Z 3 )(Z 4 %Z 5 ) A A 2 Αν θεωρήσουµε ιδανικό τελεστικό ενισχυτή µε A=A 4, τότε είναι προφανές ότι Z ΙΝ E Z Z 3 Z 5 (4.4) I Z 2 Z 4 Στο παραπάνω συµπέρασµα, όταν θεωρούµε ιδανικό ΤΕ, µπορούµε να καταλήξουµε απ ευθείας από τις εξισώσεις 4.36 και 4.37 βάζοντας V x E και V y E, επειδή στην γραµµική τους λειτουργία οι ιδανικοί ΤΕ εξισώνουν τις τάσεις των εισόδων τους. Το κύκλωµα του Antoniou χρησιµοποιείται και αυτό γιά να εξοµοιώσει την επαγωγική συµπεριφορά των πηνίων. Πράγµατι, αν στο κύκλωµα βάλλουµε σε όλους τους κλάδους αντιστάσεις πλην της Ζ 2 που επιλέγεται να είναι πυκνωτής (σχήµα 4.37), η σχέση 4.4 δίνει Ζ ΙΝ s 3 5 και εποµένως το 4 κύκλωµα συµπεριφέρεται ως προς τους ακροδέκτες του ως γειωµένος επαγωγέας µε επαγωγή L 3 5. 4 4-29

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 4.37 Παρατηρήστε ότι τόσο για το κύκλωµα αυτό όσο και γιά το κύκλωµα iordan, µιλάµε για γειωµένο επαγωγέα. Αυτό οφείλεται στο ότι τα συγκεκριµένα κυκλώµατα χρησιµοποιούν τη γή. Οταν κανένας από τους ακροδέκτες ενός επαγωγέα δεν είναι γειωµένος, ονοµάζεται ελεύθερος ή επιπλέων (floating) επαγωγέας και η αντικατάστασή του µε προσοµοιωµένο κύκλωµα παρουσιάζει λίγο µεγαλύτερη δυσκολία. Γιά την δηµιουργία ενός επιπλέοντος επαγωγέα, συνδέονται δύο κυκλώµατα προσοµοίωσης π.χ. Αντωνίου back-to-back όπως στο σχήµα 4.38. Στην διάταξη αυτή θα πρέπει να αποδείξουµε ότι τα ρεύµατα Ι και Ι 2 είναι ίσα και ότι ισχύει µια σχέση του τύπου Ι. Για την απλούστευση των sl E &E 2 υπολογισµών, θεωρούµε ιδανικούς ΤΕ µε άπειρη αντίσταση εισόδου. Επειδή οι ΤΕ είναι ιδανικοί, στον καθένα οι τάσεις στην αντιστρεπτική και µηαντιστρεπτική είσοδο είναι ίσες, γεγονός που έχει σηµειωθεί στο σχήµα. ΣΧΗΜΑ 4.38 Γράφουµε τιε εξισώσεις ΝΡΚ στους κόµβους που συνδέεται ο 2ος και ο 3ος ΤΕ: (V 2 &E )s E &V 3 V &E 4 E &E 2 2 5 (E 2 &V 4 )s V 3 &E 2 3 E 2 &V 3 4 E &E 2 2 5 Από τις παραπάνω εξισώσεις υπολογίζεται ότι V 2 (2s 3 5 & 4 )E % 4 E 2 2s 3 5 V 4 4 E %(2s 3 5 & 4 )E 2 2s 3 5 Εχοντας τις εκφράσεις αυτές, εύκολα διαπιστώνεται ότι τα ρεύµατα Ι και Ι 2 είναι ίσα και µάλιστα 4-30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ I I 2 4 2s 3 5 E &E 2, πράγµα που σηµαίνει ότι Z IN E &E 2 I s 2 3 5 Η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος του σχήµατος 4.38, είναι ίση µε την αντίσταση ενός επιπλέοντος επαγωγέα επαγωγής L 2 3 5 (4.42) 4 Αντίστοιχο συµπέρασµα βγαίνει και αν συνδεθούν back-to-back δύο κυκλώµατα iordan. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.5 Στο σχήµα 4.33, το επιπλέον πηνίο στο κύκλωµα (α), που είναι ένα βαθυπερατό φίλτρο 3ης τάξης έχει αντικατασταθεί στο κύκλωµα (β) µε προσοµοιωµένο επιπλέοντα επαγωγέα. 4 S L KΩ C C 3 3.847nF L 2 63.6942mH 3 4 5 ΚΩ 3.847nF ΣΧΗΜΑ 4.39 Τα δύο κυκλώµατα προσοµοιώθηκαν στο PSpice και το επόµενο σχήµα δείχνει τις καµπύλες απόκρισης πλάτους. Οι πολύ µικρές αποκλίσεις µεταξύ των αποκρίσεων παθητικού και ενεργού φίλτρου στο πρώτο σχήµα, παρά το ότι ο ΤΕ µα74 που χρησιµοποιήθηκε δεν είναι ιδανικός και το πρόγραµµα χρησιµοποιεί το πραγµατικό του µοντέλο, οφείλονται στο ότι το φίλτρο λειτουργεί µε χαµηλή συχνότητα αποκοπής 5 KHz. Οι αποκλίσεις γίνονται πολύ αισθητές όταν το κύκλωµα λειτουργήσει σε υψηλότερες συχνότητες (υποδεκαπλασιάζοντας τις τιµές επαγωγέων και πυκνωτών), όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήµα που η συχνότητα αποκοπής είναι 50 KHz. 4-3

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 4.5.4 Μια γενική θεώρηση για την προσοµοίωση επαγωγέων Αναφερόµενοι στο σχήµα 4.40, θεωρούµε ότι το κύκλω- µα µε συνάρτηση µεταφοράς H έχει άπειρη αντίσταση εισόδου και µηδενική αντίσταση εξόδου. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η οδηγούσα συνάρτηση σγωγιµότητος εισόδου της διάταξης είναι Y I. E &H Οταν η H&, τότε η οδηγούσα συνάρτηση st d σγωγιµότητος εισόδου της διάταξης είναι Y st d o o ΣΧΗΜΑ 4.40 και υλοποιεί γειωµένο επαγωγέα µε L = Τ d o Το σχήµα 4.4 δείχνει µερικά κυκλώµατα που υλοποιούν συνάρτηση µεταφοράς µπορούν να χρησιµοποιηθούν στη διάταξη του σχ. 4.40. H& sc και ΣΧΗΜΑ 4.4 Τα κυκλώµατα (α) και (β) του σχήµατος 4.4, χρησιµοποιούµενα στην διάταξη του σχήµατος 4.40, οδηγούν στα κυκλώµατα προσοµοίωσης επαγωγέων iordan (σχήµα 4.42). ΣΧΗΜΑ 4.42 Οταν στην διάταξη του σχ. 4.40 χρησιµοποιηθούν τα κυκλώµατα (γ) και (δ), προκύπτει το κύκλωµα Antoniou µε Ζ = s o C (σχήµα 4.43). 4-32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 4.43 Χρησιµοποιώντας το κύκλωµα (ε) του σχ. 4.4 στην διάταξη του σχήµατος 4.40, προκύπτει ένας νέος προσοµοιωµένος επαγωγέας (σχήµα 4.44) που εµφανίζει έναν αρνητικό αντιστάτη µεταξύ κόµβου a και γης. ΣΧΗΜΑ 4.44 Γενικεύοντας την θεώρηση αυτή, η διάταξη του σχήµατος 4.45α µε Hk&, υλοποιεί οδηγούσα T d συνάρτηση αγωγιµότητος Y &H &k % o o st d o ΣΧΗΜΑ 4.45 Στην περίπτωση αυτή, η διάταξη υλοποιεί έναν γειωµένο επαγωγέα µε L=Τ d o παράλληλα µε έναν αντιστάτη µε p o, όπως φαίνεται στο σχήµα 4.45β. &k Το κύκλωµα του σχήµατος 4.46α έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης H λ(µ%) (λ%) & sk(λ%) o C Οταν στο κύκλωµα του σχ. 4.46α προστίθεται η αντίσταση o (σχ. 4.46β), τότε η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος εισόδου γίνεται: Y &λµ % (λ%) o sk(λ%) 2 o C 4-33

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 4.46 Γιά λµ=, το κύκλωµα του σχ. 4.46β υλοποιεί γειωµένο επαγωγέα µε Lk(λ%) 2 o C. Ιδιαίτερα ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι η παράµετρος µ δεν εµπλέκεται στην τιµή του προσοµοιωµένου επαγωγέα και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον µηδενισµό της παρασιτικής αντίστασης. Μια δεύτερη παρατήρηση αφορά τον πρώτο ΤΕ, ο οποίος είναι ένας ακολουθητής τάσης. Αν αυτός αφαιρεθεί, η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος εισόδου του κυκλώµατος γίνεται Y (λ%) % % &λµ % k o o sk(λ%) 2 o C (4.43) Το γινόµενο λµ µπορεί πάντα να υπολογίζεται ώστε ο όρος µέσα στις αγκύλες να µηδενίζεται και η Y να είναι καθαρά επαγωγική. Το κύκλωµα χωρίς τον ακολουθητή τάσης σχεδιασµένο κάπως διαφορετικά φαίνεται στο σχήµα 4.47. 4.5.5 Ο προσοµοιωµένος επαγωγέας µε έναν ΤΕ ΣΧΗΜΑ 4.47 Το κύκλωµα του σχήµατος 4.47 προτάθηκε το 992. Κύριο χαρακτηριστικό του είναι η χρήση ενός µόνον τελεστικού ενισχυτή και η ρυθµισιµότητα του συντελεστή ποιότητος. Η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητας του κυκλώµατος δίνεται από την σχέση 4.43, η οποία µπορεί να γραφτεί και ως: Y IN I %k%k ο (4.44) E &kλµ % k(λ%) ο sk(λ%) 2 ο C ΑΠΟ ΕΙΞΗ Θα θεωρήσουµε ιδανικό ΤΕ voltage-mode. Ο διαιρέτης τάσεως /λ επιβάλλει στην µη αντιστρεπτική λ είσοδο του ΤΕ την τάση, η οποία µεταφέρεται και στην αντιστρεπτική είσοδο. Για τον υπολογισµό λ% Ε του ρεύµατος του κυκλώµατος παρατηρούµε ότι αυτό είναι το άθροισµα των ρευµάτων που τραβάνε οι τρεις αντιστάσεις που συνδέονται στον ακροδέκτη της εισόδου: E& λ E I (4.45) (λ%) % λ% Ε % E&V o k ο ο Εφαρµόζοντας τον ΝΡΚ στον κόµβο της αντιστρεπτικής εισόδου όπου συνδέονται οι δύο πυκνωτές C και η αντίσταση k παίρνουµε: 4-34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ E % E&V o λε k ο ο λ% sµc Από την παραπάνω σχέση, εύκολα υπολογίζεται ότι V o skλ(µ%) ο C& λ(µ%) E sk(λ%) ο C (λ%) E& sk(λ%) ο C E Την τιµή αυτή βάζουµε στην σχέση 4.45 και βρίσκουµε τελικά: Y IN I %k%k ο E &kλµ % k(λ%) ο sk(λ%) 2 ο C Η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος του κυκλώµατος παριστάνει προφανώς έναν αντιστάτη k(λ%) p ο %k%k ο &kλµ παράλληλα µε έναν επαγωγέα L k(λ%) 2 ο C Ο παρασιτικός αντιστάτης µπορεί να µηδενιστεί αν το κύκλωµα ρυθµιστεί ώστε να έχει (4.46) (4.47) (4.45) %k%k k % ο ο % &kλµ0 δηλ. µ (4.46) kλ Σηµαντικό στοιχείο του κυκλώµατος είναι ότι η επαγωγή του προσοµοιωµένου επαγωγέα της σχέσης 4.45, δεν εξαρτάται από την τιµή του και του µ, πράγµα που σηµαίνει ότι επιλέγονται πρώτα τα k, λ, ο και C ώστε να υλοποιούν στγκεκριµένη τιµή L και τα και µ χρησιµοποιούνται για την ρύθµιση του µηδενισµού της παρασιτικής αντίστασης p µέσω της 4.46. Ο υπολογισµός των παραµέτρων σχεδίασης του κυκλώµατος µπορεί να γίνει µε τρόπο που να βελτιστοποιείται η συνπεριφορά του. Το πρόβληµα αυτό γίνεται ακόµα πιό ενδιαφέρον, όταν χρησιµοποιηθεί το µοντέλο ολοκληρωτή του ΤΕ, οπότε Y IN % ο C k ο &kλµ%k% X s%s sk(λ%) 2 ο C % s(µ%)k ο C% k ο C µε X kb%s(k%)(λ%) (µ%) C% ο %(λ%) (4.47) Είναι προφανές ότι η 4.47 γίνεται ίδια µε την 4.43 όταν το τείνει στο άπειρο οπότε ο ΤΕ είναι ιδανικός. Στην αντίθετη περίπτωση, µπορεί κανείς να µελετήσει τον τρόπο υπολογισµού των παραµέτρων σχεδίασης έτσι που η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος του κυκλώµατος να έχει την ελάχιστη απόκλιση από την αντίστοιχη συνάρτηση ενός γειωµένου επαγωγέα. Σχεδίαση ίσων αντιστάσεων Ας θεωρήσουµε τώρα ότι o = και k=. Η σχεδίαση αυτή ονοµάζεται των ίσων αντιστάσεων και φαίνεται στο σχήµα 4.48. ΣΧΗΜΑ 4.48 4-35

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Στην περίπτωση αυτή η 4.47 γίνεται Y IN %C 3&λµ s%s (2λ%3)(µ%)Cs%λ%2 s (λ%) 2 C % s(µ%)c% C (4.48) και για να τείνει στο άπειρο (ιδανικός ΤΕ) %C 3&λµ s Y IN s (λ%) 2 C 3&λµ (λ%) % s (λ%) 2 C (4.49) Η διαδικασία της σχεδίασης του κυκλώµατος για να υλοποιεί συγκεκριµένη επαγωγή L, είναι η εξής:. Επιλέγουµε τα λ και µ ώστε λµ - 3 = 0 2. Επιλέγουµε την τιµή της αντίστασης ή του C. 3. Από την L (λ%) 2 L L C υπολογίζουµε ότι C ή (λ%) 2 (λ%)c ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.6 Για να προσοµοιώσουµε ένα γειωµένο πηνίο L=6.506mH µε την σχεδίαση ίσων αντιστάσεων:. Επιλέγουµε αυθαίρετα λ=3 και µ= (ώστε λµ=3) 2. Επιλέγουµε αυθαίρετα, C = nf 3. Από την L (λ%) 2 C υπολογίζουµε ότι L (λ%)c 6.5060@0&3 (3%)@0 203Ω &9 Η σχεδίαση της παραπάνω εφαρµογής δεν λαµβάνει υπόψη της το ότι ο ΤΕ δεν είναι ιδανικός. Η δυνατότητα αυθαίρετων επιλογών, δηµιουργεί δυνατότητες βελτιστοποίησης. Συγκεκριµένα, υπολογίζοντας το πραγµατικό µέρος της Z IN (jω) της 4.48 στην περίπτωση της σχεδίασης ίσων αντιστάσεων, βρίσκουµε ότι πλησιάζει στο µηδέν όταν το λ ικανοποιεί την προσεγγιστική σχέση λ 3 2 % (4.50) C % λ2 &3λ%27 C 0 Η διαδικασία της σχεδίασης του κυκλώµατος για να υλοποιεί συγκεκριµένη επαγωγή L, είναι πλέον η εξής:. Επιλέγουµε την τιµή του C (ή του ). 2. Από την L (λ%) 2 L L C παίρνουµε (ή C ) (λ%)c (λ%) 2 3. Τις τιµές και C βάζουµε στην 4.50, η οποία µας δίνει την βέλτιστη τιµή του λ. Φυσικά η επίλυση της 4.50 απαιτεί χρήση µαθηµατικού λογισµικού. 4. Υπολογίζουµε την L L (ή C ) (λ%)c (λ%) 2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.7 Για να προσοµοιώσουµε ένα γειωµένο πηνίο L=6.506 mh µε την σχεδίαση ίσων αντιστάσεων µε βελτιστοποίηση του λ:. Επιλέγουµε την τιµή C = nf. 2. Από την L (λ%) 2 L C υπολογίζουµε ότι µε C= nf. (λ%)c 3. Τις τιµές και C βάζουµε στην 4.50, η οποία µας δίνει την βέλτιστη τιµή του λ=.2609 οπότε µ 3 (Χρησιµοποιήθηκε =2π 0 6, τυπική τιµή για µα74) λ 2.3789 4. Υπολογίζουµε ότι L (λ%)c 6.5060@0 &3 2702Ω &9 (.2609%)@0 4-36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.8 Ο γειωµένος επαγωγέας µε L =6.506 mh, προσοµοιώθηκε µε την σχεδίαση ίσων αντιστάσεων µε δύο τρόπους Στην εφαρµογή 4.6 µε αυθαίρετες επιλογές: C= nf, λ=3, οπότε µ= και =203 Ω Στην εφαρµογή 4.7 µε βελτιστοποίηση του λ µε: =2π 0 6 C= nf, βέλτιστο λ=.2609, µ=2.3789, =2702 Ω Με την ίδια διαδικασία µπορούµε να προσοµοιώσουµε έναν γειωµένο επαγωγέα µε L 2 =22.566 mh Με αυθαίρετες επιλογές: C= nf, λ=3, οπότε µ= και =2375 Ω Με βελτιστοποίηση του λ µε: =2π 0 6 C= nf, βέλτιστο λ=.26697, µ=2.36786, =355 Ω Μπορούµε εποµένως να αντικαταστήσουµε τους γειωµένους επαγωγείς του παθητικού υψιπερατού φίλτρου του σχήµατος 4.49α µε τους προσοµοιωµένους αυτούς επαγωγείς, πράγµα που κάναµε στο σχήµα 4.49β. ΣΧΗΜΑ 4.49 Για να δούµε πόσο καλά κάνει την δουλειά του το χωρίς πηνία ενεργό φίλτρο, το προσοµοιώνουµε στο PSpice αρχικά µε την χωρίς βελτιστοποίηση του λ σχεδίαση: L : C= nf, λ =3, οπότε µ = και =203 Ω L 2 : C= nf, λ 2 =3, οπότε µ 2 = και 2 =2375 Ω ΣΧΗΜΑ 4.49β: Πλήρης απόκριση πλάτου παθητικού ΥΠ φίλτρου Το σχήµα 4.49γ, δείχνει την καµπύλη απόκρισης του ενεργού κυκλώµατος στη ζώνη διέλευσης f > KHz µαζί µε την απόκριση του παθητικού για σύγκριση. Οι αποκλίσεις οφείλονται στο γεγονός ότι οι ΤΕ µα74, που χρησιµοποιούνται στην προσοµοίωση, δεν είναι ιδανικοί και η συγκεκριµένη σχεδίαση δεν το λαµβάνει αυτό υπόψη. 4-37

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 4.49γ Το σχήµα 4.49δ δείχνει την καµπύλη απόκρισης του ενεργού κυκλώµατος στη ζώνη διέλευσης f > KHz, αυτή τη φορά όµως µε το βελτιστοποιηµένο λ ( =2π 0 6 ). L : C= nf, βέλτιστο λ =.2609, µ =2.3789, =2702 Ω L 2 : C= nf, βέλτιστο λ 2 =.26697, µ 2 =2.3679, 2 =355 Ω Παρατηρήστε ότι οι αποκλίσεις από την απόκριση του παθητικού φίλτρου έχουν µειωθεί αισθητά. ΣΧΗΜΑ 4.49δ Το παράδειγµα είναι ενδεικτικό του ότι η σχεδίαση, ο τρόπος δηλ. υπολογισµού των παραµέτρων, επηρεάζει σηµαντικά την τελική συµπεριφορά του κυκλώµατος. Φυσικά η συγκεκριµένη σχεδίαση ίσων αντιστάσεων δεν είναι η καλύτερη και άλλες σχεδιάσεις µε µεγάλες αντιστάσεις στον κλάδο του διαιρέτη τάσης /λ, που υπολογίζουν βέλτιστες τιµές για τα k, λ και µ, µπορούν και ελαχιστοποιούν ακόµα περισσότερο τις αποκλίσεις από την ιδανική συµπεριφορά. Με την back-to-back σύνδεση δύο πανοµοιότυπων κυκλωµάτων όπως στο σχήµα 4.50, είναι δυνατόν να προσοµοιωθούν επιπλέοντες επαγωγείς. ΣΧΗΜΑ 4.50 Εύκολα αποδεικνύεται ότι η αγωγιµότητα του κυκλώµατος είναι Y IN I E %k%k ο &kλµ % 2k(λ%) ο 2sk(λ%) 2 ο C η οποία γιά %k%k ο, προσοµοιώνει επιπλέοντα επαγωγέα kλµ L2k(λ%) 2 ο C ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.9 Στο παθητικό ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο του σχήµατος 4.5, µπορούµε να αντικαταστήσουµε το επιπλέον πηνίο µε το κύκλωµα του σχήµατος 4.50. Η σχεδίαση του κυκλώµατος προσοµοίωσης έγινε µε ίσες αντιστάσεις και µε βελτιστοποίηση του λ. Το σχήµα 4.52 δείχνει τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης. 4-38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 4.5 ΣΧΗΜΑ 4.52 4.6 Ατέλειες των Πραγµατικών Τελεστικών Ενισχυτών Οπως και στα παθητικά στοιχεία, έτσι και στα ενεργά, υπάρχουν αποκλίσεις της συµπεριφοράς του πραγµατικού στοιχείου από αυτήν του ιδανικού. Ιδιαίτερα στους τελεστικούς ενισχυτές σε ολοκληρωµένη µορφή, οι αποκλίσεις είναι σηµαντικές, όχι όµως τόσο που να µην επιτρέπουν την σχεδίαση ενεργών φίλτρων πού υψηλής ακρίβειας. Αν και οι αποκλίσεις και οι ατέλειες ευρίσκονται υπό πλήρη έλεγχο, αποτελούν φραγµό στην χρήση των τελεστικών ενισχυτών σε πολύ υψηλές συχνότητες. Μερικές από αυτές τις ατέλειες αναφέρουµε σε εγκυκλοπαιδικό επίπεδο παρακάτω. Η πλήρης ανάλυσή τους υπάρχει σε όλα τα καλά βιβλία ηλεκτρονικής καθώς και στα ειδικά για τελεστικούς ενισχυτές βιβλία, που ασχολούνται περισσότερο µε την σχεδίαση και 4-39

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ πραγµατοποίηση ολοκληρωµένων ΤΕ. 4.6. Το πεπερασµένο κέρδος Στους ιδανικούς τελεστικούς ενισχυτές, το κέρδος ανοιχτού βρόχου είναι άπειρο και ανεξάρτητο της συχνότητος. Στους πραγµατικούς τελεστικούς ενισχυτές, είδαµε ότι το κέρδος ανοικτού βρόχου εξαρτάται από την συχνότητα και το µοντέλο ενός πόλου της σχέσης 4.3α καθώς και το µοντέλο ολοκληρωτή της σχέσης 4.3β είναι συνήθως αρκετά γιά την µελέτη της επίδρασης του µη σταθερού κέρδους στα ενεργά κυκλώµατα. 4.6.2 Αλλες ατέλειες Ενα τυπικό κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή φαίνεται στο σχήµα 4.2. Η διαφορική βαθµίδα εισόδου εξασφαλίζει την µεγάλη αντίσταση εισόδου, περίπου 2ΜΩ (στον ιδανικό άπειρη) καθώς και την προενίσχυση του σήµατος. Οι είσοδοι του τελεστικού ενισχυτή είναι οι βάσεις δύο transistors και είναι φυσικό ότι πρέπει να υπάρχει ένα ρεύµα πολώσεως. Ετσι το ρεύµα των εισόδων δεν είναι µηδενικό, όπως στον ιδανικό, αλλά έχει µια πολύ µικρή τιµή, της τάξεως των 00nA. Το ρεύµα αυτό είναι απαραίτητο γιά την λειτουργία του τελεστικού και αυτός είναι ο λόγος που φροντίζουµε να υπάρχει πάντα µια διόδευση συνεχούς (dc path) προς τις εισόδους, χωρίς δηλαδή την αποκοπή του dc από πυκνωτές. Πριν το σήµα οδηγηθεί στην έξοδο του τελεστικού ενισχυτή, αντισταθµίζεται µε ένα κύκλωµα C ώστε να εξασφαλιστεί η ευστάθεια του ενισχυτή. Ο χρησιµοποιούµενος εκεί πυκνωτής είναι συνήθως της τάξεως των 30pF. Πολλοί ενισχυτές απαιτούν και εξωτερική αντιστάθµιση και διαθέτουν τους σχετικούς ακροδέκτες. Ενας από τους λόγους της δηµοτικότητος του 74 είναι και ότι δεν απαιτεί εξωτερική αντιστάθµιση. Η βαθµίδα της εξόδου εξασφαλίζει την πολύ µικρή αντίσταση εξόδου, µε τυπική τιµή κάτω από τα 00Ω (στον ιδανικό είναι µηδενική). Σηµαντικό χαρακτηριστικό κάθε τελεστικού ενισχυτή είναι ο ρυθµός ανόδου (slew rate), ο οποίος είναι η ταχύτητα µε την οποία µπορεί και αλλάζει τιµές το σήµα. Μετριέται σε V/µsec και τυπική τιµή είναι κάτω από. Ως παράδειγµα ας αναφερθούµε σε έναν τελεστικό ενισχυτή µε slew rate 0.5V/µsec. Ενα ηµιτονικό σήµα πλάτους V, αλλάζει µε ρυθµό V στο τέταρτο της περιόδου του, δηλ. 4 V στην περίοδο και αντιστοιχεί σε slew rate 4V/T. Εξισώνοντας την ποσότητα αυτή µε το slew rate του ενισχυτή, βρίσκουµε ότι η µικρότερη περίοδος γιά το συγκεκριµένο slew rate είναι 8 µsec, δηλ. σήµα µε συχνότητα µέχρι 25 KHz µπορεί να εξυπηρετηθεί από τον ενισχυτή. Αν χρησιµοποιήσουµε 2V πλάτος, τότε µε τον συλλογισµό αυτό η µέγιστη συχνότητα που επιτρέπει το slew rate του τελεστικού είναι 62.5KHz. Είναι φανερό ότι οι τελεστικοί ενισχυτές χειρίζονται καλύτερα τα σήµατα µικρού πλάτους και σηµαντικό ρόλο σαυτό παίζει το χαρακτηριστικό του ρυθµού ανόδου. Το χαρακτηριστικό αυτό θέτει στην ουσία σηµαντικότερους περιορισµούς στην λειτουργία του τελεστικού στις υψηλές συχνότητες απ ότι το εξαρτηµένο από την συχνότητα κέρδος ανοιχτού βρόχου. Οι τάσεις που µπορεί να χειριστεί κάθε τελεστικός ενισχυτής πρέπει να έχουν τιµές που είναι µεταξύ των τάσεων τροφοδοσίας του. Αν γιά παράδειγµα ένας τελεστικός πολώνεται µε +5 και -5V, τότε η έξοδός του δεν µπορεί να ξεπεράσει τα όρια αυτά. Συνήθως δίνονται οι µέγιστες τιµές, που είναι λίγο µικρότερες από αυτές της τροφοδοσίας. Αν δηλ. βάλλουµε είσοδο 5V σε έναν αντιστρεπτικό ενισχυτή κέρδους 4, η έξοδος θα έπρεπε να είναι 20V αλλά ο τελεστικός δεν µπορεί να την χειριστεί. Αυτό που θα κάνει είναι να ψαλιδίσει την έξοδο στα 4 περίπου V. Ως συµπέρασµα εποµένως προκύπτει ότι οι τάσεις πρέπει να είναι µικρές κυρίως γιά να έχουµε καλύτερη συµπεριφορά του ΤΕ στις υψηλές συχνότητες λόγω του slew rate και οπωσδήποτε µικρότερες της τροφοδοσίας. Πολύ µικρά βέβαια σήµατα επηρεάζονται περισσότερο από τον θόρυβο του τελεστικού, που είναι της τάξεως των 0µV. Στον ιδανικό τελεστικό ενισχυτή, αν γειώσουµε τις εισόδους του, η έξοδος θα είναι µηδενική. εν είναι όµως αυτή η κατάσταση στους πραγµατικούς τελεστικούς ενισχυτές. Γειώνοντας και τις δύο εισόδους, είναι δυνατόν να µετρήσουµε στην έξοδο µια αρκετά σηµαντική τάση, η οποία φυσικά οφείλεται σε διαφορά τάσης των εισόδων. Η τάση αυτή ονοµάζεται τάση offset των εισόδων. Γιά παράδειγµα µπορεί µε γειωµένες εισόδους να µετρήσουµε στην έξοδο τάση 5V. Aν το κέρδος ανοιχτού βρόχου είναι 0 4, αυτό σηµαίνει ότι η διαφορά τάσης των εισόδων είναι 5/0 4 =0.5mV. Η τάση αυτή µπορεί να ισοσταθµιστεί στην είσοδο µε την σύνδεση µιας αντίστασης κατάλληλου µεγέθους, που εξαρτάται από το ρεύµα πόλωσης που δίνει ο κατασκευαστής. Τέλος ένα χαρακτηριστικό των πραγµατικών τελεστικών ενισχυτών, το οποίο όµως δεν επηρεάζει σηµαντικά την λειτουργία των ενεργών κυκλωµάτων και φίλτρων, είναι ο λόγος απόρριψης κοινού σήµατος (Common Mode ejection atio, CM) µετρούµενος σε db. Στην ιδανική περίπτωση ο λόγος απόρριψης κοινού σήµατος είναι άπειρος ενώ στους πραγµατικούς ΤΕ είναι της τάξεως των 80-00 db. Οταν οι είσοδοι 4-40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΕ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ενός τελεστικού ενισχυτή τροφοδοτηθούν µε ταυτόσηµες τάσεις, τότε περιµένει κανείς µηδενική έξοδο. Αυτό όµως δεν συµβαίνει στους πραγµατικούς τελεστικούς µε αποτέλεσµα να µπορεί να οριστεί το κέρδος κοινού σήµατος (Common-Mode Gain, CMG) ως ο λόγος της εξόδου προς την είσοδο. O CM ορίζεται ως: CM 20log G dc, όπου Gdc είναι το κέρδος ανοικτού βρόχου για ω=0 (συνεχές). CMG db Πολλές από τις αποκλίσεις των πραγµατικών τελεστικών από την ιδανική κατάσταση, εξαρτώνται έντονα από την θερµοκρασία και είναι εποµένως δύσκολο να ληφθούν υπόψη σε βαθµό που να αντισταθµιστούν πλήρως. 4.6.3 Γραµµική και µη γραµµική λειτουργία ΤΕ Η λειτουργία του τελεστικού ενισχυτή εξαρτάται από το µέγεθος της διαφοράς των τάσεων στην αντιστρεπτική και µη αντιστρεπτική είσοδο. Η διαφορά αυτή είναι το καθοριστικό για την λειτουργία του τελεστικού µέγεθος. Το επόµενο σχήµα δείχνει την έξοδο του ΤΕ συναρτήσει της διαφοράς αυτής. Η περιοχή για την οποία ισχύει η γραµµική σχέση v o =A(v + - v - ) είναι πολύ µικρή και συγκεκριµένα 2V cc /A, ενώ έξω από την περιοχή αυτή, ο τελεστικός περνάει σε µη γραµµική λειτουργία και η έξοδός του γίνεται το πολύ ίση µε την τάση τροφοδοσίας. Γίνεται εποµένως σαφές ότι για γραµµική λειτουργία πρέπει να εξασφαλίζεται η πολύ µικρή διαφορά των τάσεω των δύο εισόδων, πράγµα που όταν υπάρχει σωστή ανατροφοδότηση (feedback) εξασφαλίζεται αυτόµατα. ΣΧΗΜΑ 4.53 Οι περιοχές λειτουργίας των τελεστικών ενισχυτών είναι, σύµφωνα µε το σχήµα 4.53, τρεις: Αρνητικός κόρος, όταν Α(v + - v - )<-V cc οπότε V o = -V cc Γραµµική λειτουργία όταν Α*(v + - v - )*<V cc οπότε v o =A(v + - v - ) Θετικός κόρος, όταν Α(v + - v - )>V cc οπότε V o =V cc Σε µερικές εφαρµογές χρησιµοποιείται η µη γραµµικό τητα της λειτουργίας του τελεστικού ενισχυτή, όπως για παράδειγµα στον συγκριτή (comparator) του σχήµατος 4.54. Ο συγκριτής µπορεί και ξεχωρίζει δύο διαφορετικές στάθµες τάσης, δίνοντας διαφορετική έξοδο για κάθε µια. Οταν η τάση στην είσοδο είναι θετική ο τελεστικός περνάει σε θετικό κόρο και δίνει έξοδο V o = V cc. Οταν η τάση στην είσοδο είναι αρνητική, ο ΤΕ περνάει σε αρνητικό κόρο και δίνει V o = -V cc. Η έξοδος δηλ. αλλάζει τιµή κάθε φορά που η τάση εισόδου αλλάζει πρόσηµο περνώντας από το µηδέν. Για τον λόγο αυτό το κύκλωµα ονοµάζεται και ανιχνευτής µηδενισµού (zero crossing detector). Το σχήµα δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο χειρίζεται µια µεταβαλλόµενη είσοδο αυτός ο συγκριτής. ΣΧΗΜΑ 4.54 4-4