Σχεδίαση Ενεργών-RC Φίλτρων (Μέρος Ι) (Σύνθεση της συνάρτησης µεταφοράς)

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση Ενεργών-RC Φίλτρων (Μέρος Ι) (Σύνθεση της συνάρτησης µεταφοράς) 6. Εισαγωγή Η σύνθεση ενός φίλτρου ξεκινάει από τις προδιαγραφές, οι οποίες περιγράφουν την συµπεριφορά πλάτους του φίλτρου στο πεδίο συχνοτήτων µε τις σχετικές ανοχές. Οσο πιο µικρές είναι οι ανοχές αυτές, τόσο πιο πολύπλοκη και µεγαλύτερης τάξης θα είναι η συνάρτηση µεταφοράς και το κύκλωµα του φίλτρου. Φίλτρα βέβαια µπορούν να συντεθούν και από προδιαγραφές φάσης ή ακόµα και από προδιαγραφές στο πεδίο του χρόνου, κάτι όµως που είναι ιδιαίτερα δύσκολο και εξεζητηµένο. Ο συνήθης τρόπος περιγραφής των προδιαγραφών ενός φίλτρου είναι µε τα χαρακτηριστικά πλάτους στο πεδίο συχνοτήτων που εκφράζονται όπως στο σχήµα 6. µε την καµπύλη κέρδους ή λογαριθµικού κέρδους. ΣΧΗΜΑ 6. Τις προδιαγραφές αυτές κανονικοποιούµε µε ω c οπότε η κανονικοποιηµένη συχνότητα αποκοπής γίνεται ίση µε και η κανονικοποιηµένη συχνότητα στην οποία αρχίζει η ζώνη αποκοπής γίνεται Ω ω > ω C Από τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, πλάτους, µε µια από τις γνωστές προσεγγίσεις (Butterworth, Chebyhev, Cauer κ.λπ.), προσδιορίζονται οι πόλοι και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς του κανονικοποιηµένου φίλτρου και εποµένως η ίδια η συνάρτηση. Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς που προσδιορίζεται από την προσέγγιση, ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένε προδιαγραφές. Όλες οι προσεγγίσεις αλλά και οι σχετικοί πίνακες σχεδίασης φίλτρων, αναφέρονται αποκλειστικά και µόνον σε κανονικοποιηµένα βαθυπερατά φίλτρα, µε αποτέλεσµα να αναδεικνύονται δύο πρακτικά προβλήµατα:. Τι κάνουµε όταν το υπό σχεδίαση φίλτρο δεν είναι βαθυπερατό αλλά υψιπερατό, ζωνοδιαβατό ή αποκοπής ζώνης;. Πως τελικά υλοποιούµε την συνάρτηση µεταφοράς µε ενργό-rc κύκλωµα; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι οι µετασχηµατισµοί συχνότητος, βάσει των οποίων η σχεδίαση ενός π.χ. ζωνοδιαβατού φίλτρου ανάγεται στον υπολογισµό της συνάρτησης µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου βαθυπερατού και στον µετασχηµατισµό της σε συνάρτηση µεταφοράς ζωνοδιαβατού. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτηµα, της υλοποίησης µιας συνάρτησης µεταφοράς µε ενεργά κυκλώµατα, αντιµετωπίζεται µε διάφορους τρόπους, όπως π.χ. µε αλυσωτή σύνδεση βαθµίδων ης και ης τάξης. Η σύνθεση ενός φίλτρου απευθείας από την συνάρτηση µεταφοράς Η() H() K ( & z )( & z )( & z 3 )...( & z m ) ( & p )( & p )( & p 3 )...( & p n ) που έχει υπολογιστεί από την προσέγγιση, στηρίζεται στην ανάλυσή της σε γινόµενο όρων ης και ης τάξης, H() H ()H ()...H k () που ο καθένας µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα αντίστοιχο ενεργό κύκλωµα. 6 -

2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Οι όροι ης τάξης προκύπτουν συνήθως από τον συνδυασµό των όρων που αντιστοιχούν σε δύο συζυγείς πόλους. Οι επιµέρους βαθµίδες ης και ης τάξης, συνδέονται αλυσωτά και η σύνδεσή τους είναι το κύκλωµα που υλοποιεί την συνάρτηση Η() του φίλτρου. Οι πρωτοβάθµιες και δευτεροβάθµιες επιµέρους συναρτήσεις, µπορούν να πραγµατοποιηθούν µε τα κυκλώµατα που ήδη παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια.φυσικά τα κυκλώµατα που υλοποιούν τους επιµέρους όρους του γινοµένου, θα πρέπει να έχουν τα απαιτούµενα χαρακτηριστικά ώστε όταν συνδεθούν να µην αλοιώνεται η συνάρτηση µεταφοράς τους λόγω φόρτωσης (loading) της εξόδου. Αυτό επιτυγχάνεται είτε εξασφαλίζοντας την έξοδο του επιµέρους κυκλώµατος από έξοδο τελεστικού ή εξασφαλίζοντας ότι η έξοδος θα συνδεθεί σε κύκλωµα άπειρης αντίστασης εισόδου (π.χ. απευθείας σε είσοδο ΤΕ). Αν τίποτα από τα παραπάνω δεν είναι δυνατό, τοποθετείται στη σύνδεση ένας ακολουθητής τάσης. Μια τελείως διαφορετική αντιµετώπιση της σχεδίασης ενός ενεργού-rc φίλτρου είναι να σχεδιάσει κανείς από τις προδιαγραφές ένα παθητικό φίλτρο και να το προσοµοιώσει µε ενεργό-rc κύκλωµα µε µια από τις πολλές γνωστές µεθόδους που έχουν προταθεί. Η µέθοδος αυτή, η οποία παρουσιάζει µεγάλα πλεονεκτήµατα έναντι της απευθείας σύνθεσης της συνάρτησης µεταφοράς, θα παρουσιαστεί µετά από τα κεφάλαια που αφορούν την σύνθεση παθητικών φίλτρων. Προς στιγµή µένουµε στην απευθείας από τις προδιαγραφές σχεδίαση ενεργού φίλτρου µε µοναδικό εργαλείο τις προσεγγίσεις του κεφαλαίου 3 και την ανάλυση της συνάρτησης µεταφοράς σε γινόµενο όρων ης και ης τάξης. 6. Σχεδίαση ενεργών-rc βαθυπερατών φίλτρων Η σχεδίαση των ΒΠ φίλτρων ξεκινάει από τις προδιαγραφές πλάτους στο πεδίο συχνοτήτων, όπου περιγράφεται η απόκριση πλάτους (κέρδους) του φίλτρου στη ζώνη διέλευσης και αποκοπής. Οι προδιαγραφές ενός ενεργού βαθυπερατού φίλτρου δίνονται συνήθως όπως στο σχήµα 6.α, µε σαφή ορισµό χαρακτηριστικών σηµείων της συνάρτησης κέρδους G(ω), ή ισοδύναµα, δίνοντας χαρακτηριστικά σηµεία της συνάρτησης λογαριθµικού κέρδους G db (ω), όπως στο σχήµα 6.β. ΣΧΗΜΑ 6. Τα χαρακτηριστικά αυτά σηµεία φαίνονται στο σχήµα 6. και για τον προσδιορισµό τους απαιτούνται πέντε µεγέθη και συγκεκριµένα τα: H o H c H ω c ω ή G o G c G ω c ω τα οποία αποτελούν τις προδιαγραφές του ΒΠ φίλτρου. Παρατηρήστε στο σχήµα 6.α ότι η ζώνη διέλευσης οριοθετείται από την συχνότητα αποκοπής ω C µέχρι την οποία το κέρδος είναι µεταξύ H o και H C, τιµή που είναι συνήθως πολύ κοντά στο H o. Από την συχνότητα ω S και πάνω, το κέρδος πρέπει να είναι µικρότερο από το προδιαγεγραµµένο H S, µια τιµή σηµαντικά µικρότερη από την H C. Αντίστοιχη περιγραφή του ΒΠ φίλτρου γίνεται και στο σχήµα 6.β, µε το λογαριθµικό κέρδος που εκφράζεται σε db. Συγκεκριµένα, αν τα σχήµατα 6.α και 6.β περιγράφουν το ίδιο φίλτρο, ισχύει ότι: 6 -

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι και G o 0log H o, G C 0log H C, και G S 0log H S G o H o 0 0 0, H C 0 και H S 0 Αν οι προδιαγραφές του ΒΠ φίλτρου δεν δίνονται κανονικοποιηµένες ώστε η συχνότητα αποκοπής να είναι Ω C =, κανονικοποιούνται µε κλιµάκωση των προδιαγραφών µε µονάδα κυκλικής συχνότητος ίση µε την συχνότητα αποκοπής ω C και εποµένως η ω S παίρνει κανονικοποιηµένη τιµή Ω S ω S >. Η ω C κλιµάκωση συχνότητος ή/και αντίστασης δεν µεταβάλλει, όπως είδαµε, τα χαρακτηριστικά πλάτους (κέρδους ή εξασθένησης) και εποµένως οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές διατηρούν τα µεγέθη του κατακόρυφου άξονα αµετάβλητα (σχήµα 6.β). G C G S 0 ΣΧΗΜΑ 6. (α) Προδιαγραφές ΒΠ (β) Κανονικοποιηµένες προδιαγραφές Αν ένα φίλτρο σχεδιαστεί µε κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, µπορεί µετά να αποκανονικοποιηθεί, κλιµακώνοντας κατάλληλα τα στοιχεία του. Με την σχηµατοποίηση αυτή των προδιαγραφών του βαθυπερατού φίλτρου, όταν συντεθεί το κύκλωµα, η γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησής του θα πρέπει να ευρίσκεται ολόκληρη στην επιτρεπόµενη περιοχή και να µην µπαίνει στις γραµµοσκιασµένες περιοχές. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6. Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth µε τις προδιαγραφές του σήµατος 6.3α. ΣΧΗΜΑ 6.3 Κανονικοποιούµε τις προδιαγραφές (σχήµα 6.3β) και υπολογίζουµε το β της προσέγγισης Butterworth από την σχέση 3. του κεφαλαίου 3: β H o H C & Από την σχέση 3.3 υπολογίζουµε την τάξη της προσέγγισης: &

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H BUT () H o & 4 H S 0.7 & log log n$n MIN β 0.79 logω S log3.98 Πρέπει εποµένως να πάρουµε n=3. Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου θα είναι, σύµφωνα µε την σχέση 3.7 του κεφαλαίου 3: H 0 β 3 µε k% 3 k (& k% ) k Οι πόλοι υπολογίζεται ότι είναι και ±.478, οπότε η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι β e j k%3& για k,, H() (%.6373)( %.66373%.680) %3.743 %5.3604% Εναλλακτικά, έχοντας την τάξη n=3, µπορούµε να υπολογίσουµε την συνάρτηση µεταφοράς από τον πίνακα 3.I του κεφαλαίου 3, που δίνει την συνάρτηση µεταφοράς πρότυπων ΒΠ φίλτρων Butterworth. Από τον πίνακα αυτό, για το πρότυπο ΒΠ φίλτρο 3ης τάξης παίρνουµε H nbut H o (%)( %%) H o 3 % %% µε H o 4 Επειδή στα πρότυπα φίλτρα G() H nbut (j), η συνάρτηση µεταφοράς για H o και όχι G()H C τις προδιαγραφές µας µε G()H C θα είναι H()Η nbut Ω 3dB Ω 3dB 3 % H o Ω 3dB % Ω 3dB % όπου Ω 3dB β n και τελικά H() 3 %3.743 %5.3604% (%.6373)( %.66373%.680) Με όποιον τρόπο και αν υπολογιστεί, η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί τώρα να αναλυθεί σε γινόµενο παραγόντων: H() (%.6373)( %.66373%.680) A %.6373 A %.66373%.680 όπου Α Α Ο πρώτος όρος µπορεί να υλοποιηθεί µε µια βαθµίδα ης τάξης όπως αυτή του σχήµατος 6.4α. Ο αποµονωτής (buffer) στην έξοδο της πρώτης βαθµίδας, προστίθεται για να την αποµονώσει από την επόµενη, η οποία δεν παρουσιάζει άπειρη αντίσταση εισόδου. ΣΧΗΜΑ 6.4 Το κύκλωµα R ο C ο της πρώτης βαθµίδας έχει R H () o C o % µε R o C o και A.6373 R o C o (6.) 6-4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι Επιλέγοντας R o = παίρνουµε C o = Αυτό δεν είναι δεσµευτικό και οποιεσδήποτε τιµές ικανοποιούν την R o C o =0.608 είναι αποδεκτές. A Ο δεύτερος όρος είναι µια ΒΠ συνάρτηση ης τάξης µε %.66373%.680 ω o και Q και µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα ΒΠ κύκλωµα Sallen-Key µοναδιαίου κέρδους (σχήµα 6.4β), που έχει R C συνάρτηση µεταφοράς H() C % % RC R C C από την οποία µε δεδοµένα Q και ω ο βρίσκουµε C Q ω o R και C ω o RQ Σηµειώνεται ότι στη βαθµίδα αυτή Α ω R ο C C.680 Στο σηµείο αυτό επιλέγουµε µια οποιαδήποτε τιµή για το R, π.χ. R= οπότε C Q ω o R και Τα δύο κυκλώµατα όταν συνδεθούν αλυσωτά θα έχουν A A ω ο R o C o που δεν εξαρτάται από τις επιλογές µας. Αν επιθυµούµε εποµένως Α Α =7.554, θα πρέπει να προσθέσουµε µια βαθµίδα κέρδους Α και το συνολικό κύκλωµα να είναι αυτό του σχήµατος 6.5. Το κέρδος Α=4 έχει υλοποιηθεί µε έναν µη αντιστρεπτικό ενισχυτή τάσης, ο οποίος αντικατέστησε τον buffer. ΣΧΗΜΑ 6.5 Το φίλτρο αυτό ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές και πρέπει να αποκανονικοποιηθεί. Η αποκανονικοποίηση έγκειται στον πολλαπλασιασµό των αντιστάσεων επί έναν παράγοντα R n και των πυκνωτών επί. Η αποκανονικοποίηση αυτή πάει την συχνότητα αποκοπής από Ω C = που είναι στο ω C R n κανονικοποιηµένο στη ω C. Στην περίπτωσή µας ω C =π 000 και επιλέγουµε R n =0 4, οπότε οι αποκανονικοποιηµένες τιµές είναι R 4 Ω0ΚΩ C o π@0 9.76nF 4 R@0 4 Ω0KΩ C.65 π@ nF C π@ nF 4 Οι τιµές των αντιστάσεων R x και 3R x δεν είναι σηµαντικές, αρκει η µια να είναι 3-πλάσια της άλλης για να επιτυγχάνεται κέρδος 4. Συνήθως επιλέγουµε αντιστάσεις της τάξεως των 0 ΚΩ και µια καλή επιλογή θα ήταν R x =0 ΚΩ. Το σχήµα 6.6 δείχνει το τελικό φίλτρο. 6-5

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 6.6 Φυσικά η διάταξη των βαθµίδων δεν είναι δεσµευτική και το κύκλωµα µπορεί να είναι και αυτό του σχήµατος 6.7 ΣΧΗΜΑ 6.7 Προτιµούµε όµως το κύκλωµα του σχήµατος 6.6 ακολουθώντας µια γενική αρχή βάσει της οποίας προηγούνται οι βαθµίδες µε χαµηλότερα Q, δηλ. οι βαθµίδες που υλοποιούν πόλους που απέχουν περισσότερο από τον jω-άξονα. Η επιβεβαίωση της σχεδίασης θα γίνει µε την προσοµοίωση του φίλτρου στο PSpice. Το σχήµα 6.8 δείχνει την καµπύλη κέρδους του κυκλώµατος. Στο σχήµα έχουν προστεθεί οι γραµµές των προδιαγραφών. ΣΧΗΜΑ 6.8 ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ Η βαθµίδα ης τάξης µπορεί να υλοποιηθεί µε έναν αντιστρεπτικό ενισχυτή σε διάταξη ολοκληρωτή µε απώλειες, όπως αυτός του σχήµατος 6.9, του οποίου η συνάρτηση µεταφοράς είναι: H()& R C o % R o C o Η αντιστροφή φάσης που εισάγει το αρνητικό πρόσηµο, δεν αξιολογείται ως σηµαντική. Στην περίπτωση αυτή επιλέγονται τα R o και C o ΣΧΗΜΑ 6.9 ώστε να δηµιουργούν τον πραγµατικό πόλο και µε την αντίσταση R έχουµε απεριόριστη ρύθµιση του κέρδους αφού δεν επιδρά στην συχνότητα του πραγµατικού πόλου. Για την βαθµίδα ης τάξης, µπορεί να χρησιµοποιηθεί ξανά Sallen-Key αλλά µε σχεδίαση Saraga (βλέπε κεφάλαιο 5). Μπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί ένα βαθυπερατό φίλτρο ης τάξης πολλαπλής 6-6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι ανάδρασης (βλέπε κεφάλαιο 5) σαν αυτό του σχήµατος 6.0. ΣΧΗΜΑ 6.0 Το κύκλωµα αυτό έχει συνάρτηση µεταφοράς H()! % R R 3 C C % % % R R R 3 C R R 3 C C C µε ω o R R 3 C C Q R 3 R % C R R 3 % R R 3 R Στο κύκλωµα αυτό η ρύθµιση του Q γίνεται µε την αντίσταση R, η οποία δεν επηρεάζει την συχνότητα των πόλων, όπως µπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε από τους παραπάνω τύπους. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6. Σχεδιάστε το φίλτρο της εφαρµογής 6. µε απόκριση Chebyhev. ΣΧΗΜΑ 6. Κανονικοποιούµε τις προδιαγραφές (σχήµα 6.β) και υπολογίζουµε τον συντελεστή κυµάτωσης ε της προσέγγισης Chebyhev από την σχέση 3. του κεφαλαίου 3: ε H o H C & Από την σχέση 3.3 υπολογίζουµε την τάξη της προσέγγισης: coh & & & & n$n MIN.9 coh & 3 Πρέπει εποµένως να πάρουµε n=3. Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου θα είναι, σύµφωνα µε την σχέση 3.0 του κεφαλαίου 3: 6-7

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ H CH () H o 3 εc 3k (& k ) k µε k σ k %jω k σ k in (n%k&)π n Ω k co (n%k&)π n inh n inh& ε coh n inh& ε µε k..3 Το c 3 είναι ο συντελεστής του όρου 3ης τάξης του C 3 (Ω)coh(3coh & Ω) και αν δεν τον ξέρουµε C υπολογίζεται ως c 3 lim 3 (Ω). Στην περίπτωσή µας είναι c 3 =4. Οι πόλοι υπολογίζονται από την Ω64 Ω 3 παραπάνω σχέση ότι είναι και ± οπότε η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι H CH () (% )( % % ) % %.0947% Η H() µπορεί τώρα να αναλυθεί σε γινόµενο παραγόντων: A H CH () % A % % όπου Α Α ΣΧΗΜΑ 6. Η πρώτη βαθµίδα είναι ένας ολοκληρωτής µε απώλειες (σχήµα 6.α), όπως και στην εφαρµογή 6. και η δεύτερη βαθµίδα ένα ΒΠ φίλτρο ης τάξης µε ω o και Q Παρατηρήστε ότι η προσέγγιση Chebyhev απαιτεί κύκλωµα µε µεγαλύτερο Q. Η βαθµίδα ης τάξης µπορεί να υλοποιηθεί µε ΒΠ Sallen-Key µε k=, όπως και στην εφαρµογή 6.. Το κέρδος των βαθµίδων αν συνδεθούν θα είναι και θα χρειαστεί να πάει στο µε ένα πρόσθετο κέρδος. Ανάλογοι µε την εφαρµογή 6. υπολογισµοί, επιλέγοντας R o = και R= δίνουν τελικά R o C o.589 R C C Τις τιµές αυτές αποκανονικοποιούµε µε R n =0 4 Ω (για να γίνουν οι µοναδιαίες αντιστάσεις 0ΚΩ) και ω C =π 0 3 (για να γίνει G(π 0 3 )=3.9) και βρίσκουµε: R o 0ΚΩ C o 0.04nF R0ΚΩ C 40nF C nF Το φίλτρο φαίνεται στο σχήµα 6.3 και η απόκρισή του από την προσοµοίωσή του στο PSpice, στο σχήµα 6-8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι 6.4. ΣΧΗΜΑ 6.3 ΣΧΗΜΑ 6.4 Παρατηρήστε ότι το φίλτρο µε απόκριση Chebyhev ικανοποιεί µε πολύ µεγαλύτερη άνεση τις προδιαγραφές για ω=ω. Φυσικά και στην περίπτωση αυτή µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει εναλλακτικές υλοποιήσεις για τις βαθµίδες ης και ης τάξης παράγοντας διαφορετικά ενεργά φίλτρα. Αν χρησιµοποιηθεί η αντίστροφη Chebyhev προσέγγιση ή η προσέγγιση Cauer (ελλειπτική), τότε θα υπάρξει ανάγκη υλοποίησης βαθµίδων ης τάξης µε µηδενικά. Στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιούνται τα αντίστοιχα κυκλώµατα µε µηδενικά του προηγουµένου κεφαλαίου. 6.3 Σχεδίαση ενεργών-rc υψιπερατών (ΥΠ) φίλτρων Εστω ότι έχουµε ένα υψιπερατό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς H ΥΠ () που ικανοποιεί τις προδιαγραφές ΥΠ φίλτρου όπως στο σχήµα 6.5. ΣΧΗΜΑ 6.5 Κλιµακώνοντας την συχνότητα µε ω CΥΠ, η συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου υψιπερατού θα είναι H ΥΠΝ ()H ΥΠ ω CΥΠ και θα ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µε ανεξάρτητη µεταβλητή την κανονικοποιηµένη συχνότητα Ω ω, όπως στο σχήµα 6.6 ω CΥΠ 6-9

10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 6.6 Παρατηρήστε ότι λόγω της κλιµάκωσης συχνότητος µε ω CΥΠ, το όριο της ζώνης διέλευσης είναι πλέον ίσο µε την µονάδα. Σηµαντικό είναι επίσης ότι η διαδικασία είναι αντιστρέψιµη, δηλ. µπορούµε από την Η ΥΠΝ () να ανακτήσουµε την Η ΥΠ () ως H ΥΠ ()H YΠΝ. ω CΥΠ Στην συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου υψιπερατού φίλτρου, εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό συχνότητος : βάζουµε δηλ. όπου το / µε αποτέλεσµα η συνάρτηση µεταφοράς Η ΥΠΝ () να γίνει H ΥΠΝ H YΠ ω CΥΠ, την οποία συµβολίζουµε µε H ΒΠn (), δηλ. H ΒΠn ()H ΥΠΝ H YΠ ω CΥΠ Ο µετασχηµατισµός αυτός στο πεδίο των πραγµατικών συχνοτήτων Ω ω ω CΥΠ κάνει τα εξής: Αντιστοιχεί την συχνότητα Ω στην /Ω Αντιστοιχεί την συχνότητα Ω= στην Ω= Αντιστοιχεί το Ω=0 στο Ω=4 και αντίστροφα Αντιστοιχεί τις συχνότητες >Ω >0 της ζώνης αποκοπής του ΥΠ στις <Ω<4 Αντιστοιχεί τις συχνότητες < Ω < 4 της ζώνης διέλευσης του ΥΠ στις 0 < Ω < Ο µετασχηµατισµός αυτός ονοµάζεται ΥΠ-ΒΠ και δεν επιδρά στα µεγέθη του κατακόρυφου άξονα µε αποτέλεσµα η συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠn () που προκύπτει, να ικανοποιεί τις προδιαγραφές πλάτους µε τον τρόπο που δείχνει το σχήµα 6.7, δηλ. σαν ένα κανονικοποιηµένο βαθυπερατό φίλτρο. ΣΧΗΜΑ 6.7 Σηµαντικό είναι επίσης ότι η διαδικασία είναι αντιστρέψιµη, δηλ. µπορούµε από την Η ΒΠ () να ω ανακτήσουµε την Η ΥΠ () ως H ΥΠ ()H CΥΠ ΒΠn Μπορεί βέβαια κανείς να εφαρµόσει τον µετασχηµατισµό πάνω στην συνάρτηση µεταφοράς του ΥΠ φίλτρου ως εξής: 6-0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι : ω CΥΠ Ο µετασχηµατισµός αυτός µετασχηµατίζει απευθείας µια συνάρτηση υψιπερατού φίλτρου σε συνάρτηση κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου, δηλ. µε ζώνη διέλευσης από 0 έως και φαίνεται στο σχήµα 6.8 Ω S ω CΥΠ. Αυτό ω SΥΠ ΣΧΗΜΑ 6.8 Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός συχνότητος ΥΠ-ΒΠ, ο µετασχηµατισµός ΒΠ-ΥΠ, µετατρέπει την συνάρτηση ενός κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου σε συνάρτηση υψιπερατού φίλτρου µε όριο ζώνης διέλευσης ω CYΠ. Αν δηλ. στην συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε ω οριακή συχνότητα ζώνης αποκοπής Ω S αντικαταστήσουµε το µε CΥΠ, παίρνουµε συνάρτηση υψι- περατού φίλτρου µε συχνότητα αποκοπής ω CYΠ και ω SΥΠ ω CΥΠ. Ω S Ο µετασχηµατισµός αυτός µας δίνει έναν τρόπο σχεδίασης υψιπερατών φίλτρων. Συγκεκριµένα, αν δίνονται οι προδιαγραφές ενός ΥΠ φίλτρου (σχήµα 6.9α), αντί γι αυτό σχεδιάζουµε πρώτα ένα κανονικοποιηµένο ΒΠ µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.9β και βρίσκουµε την συνάρτηση µεταφοράς του Η ΒΠn (). ΣΧΗΜΑ

12 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Αν θέλουµε την συνάρτηση µεταφοράς ενός ΥΠ µε οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης ω CΥΠ, βάζουµε στην Η ΒΠn () όπου το ω CΥΠ /. Αν θέλουµε την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΥΠ, βάζουµε στην Η ΒΠn () όπου το /, σχεδιάζουµε το κανονικοποιηµένο ΥΠ και τέλος κάνουµε τις απαραίτητες κλιµακώσεις ώστε η οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης να είναι ω CΥΠ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.3 Να σχεδιαστεί ενεργό-rc υψιπερατό φίλτρο µε απόκριση Chebyhev, µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.0α. ΣΧΗΜΑ 6.0 Προκειµένου να σχεδιάσουµε το υψιπερατό φίλτρο, πρέπει να υπολογίσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του. Σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν, αντί να βρούµε την συνάρτηση µεταφοράς του υψιπερατού µε προδιαγραφές του σχ. 60α, θα βρούµε την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.0β και σε αυτή θα βάλλουµε όπου το / για να πάρουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου υψιπερατού, το οποίο µετά θα κλιµακώσουµε ώστε να αποκτήσει οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης ίση µε 6π0 3. Στην εφαρµογή 6. έχουµε υπολογίσει αναλυτικά την BΠ συνάρτηση µεταφοράς Chebyhev µε τις συγκεκριµένες προδιαγραφές και έχουµε βρεί H ΒΠch () (% )( % % ) Στην συνάρτηση αυτή εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΥΠ βάζοντας όπου το / και παίρνουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΥΠ: H ΥΠch () ( % )( % % ) % H ΥΠch () % % %.589 %@0.575% % %@0.575% Ο πρώτος όρος µπορεί να υλοποιηθεί µε µια βαθµίδα ης τάξης όπως αυτή του σχήµατος 6.α. Ο µη αντιστρεπτικός ενισχυτής κέρδους Α προστίθεται για να αποµονώσει τις βαθµίδες και να δώσει πρόσθετο κέρδος αν χρειαστεί. Η συνάρτηση µεταφοράς της βαθµίδας ης τάξης που υλοποιεί τον πραγµατικό πόλο, Α έχει κέρδος H () (6.) % µε R o C o R o C o 6 -

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι ΣΧΗΜΑ 6. Επιλέγουµε R o = οπότε C o = ή οποιεσδήποτε τιµές ικανοποιούν την R o C o = Ο όρος Η () είναι ΥΠ συνάρτηση ης τάξης µε %@0.575% ω o και Q , µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα ΥΠ κύκλωµα Sallen-Key µοναδιαίου κέρδους (σχήµα 6.β), που γιά C =C =C, έχει συνάρτηση µεταφοράς H () V 0 () E() % R C % R R C Με δεδοµένα Q και ω ο βρίσκουµε R ω o QC και R Q ω o C Στο σηµείο αυτό επιλέγουµε (αυθαίρετα αλλά µε κάποια λογική!) το C να είναι ίσο µε τον πυκνωτή της βαθµίδας ης τάξης, δηλ. C=C o = , οπότε R QC 0.5 R Q ω o C Οι δύο βαθµίδες όταν συνδεθούν αλυσωτά, υλοποιούν τον παρονοµαστή και ο αριθµητής θα είναι Α 3, οπότε το Α της βαθµίδας ης τάξης πρέπει να είναι 4. Το ενεργό υψιπερατό που µόλις σχεδιάσαµε είναι κανονικοποιηµένο, δηλ. έχει οριακή συχνότητα ζώνης διέλευσης ίση µε και πρέπει να αποκανονικοποιηθεί. ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει ω CΥΠ. Η αποκανονικοποίηση έγκειται στον πολλαπλασιασµό των αντιστάσεων επί έναν παράγοντα R n και των πυκνωτών επί. Στην περίπτωσή µας ω CΥΠ =π 3000 και επιλέγουµε R n =0 4, οπότε οι ω CΥΠ R n αποκανονικοποιηµένες τιµές είναι: R 4 Ω0ΚΩ C o C π@3@0 4.6nF 4 R 0.5@0 4 Ω5KΩ R @0 4 Ω43773Ω ΣΧΗΜΑ 6. Οι τιµές των αντιστάσεων R x και 3R x δεν είναι σηµαντικές, αρκει η µια να είναι 3-πλάσια της άλλης για να επιτυγχάνεται κέρδος 4. Συνήθως για την R x επιλέγουµε αντιστάσεις της τάξεως των 0 ΚΩ. Φυσικά η διάταξη των βαθµίδων δεν είναι δεσµευτική και το κύκλωµα µπορεί να είναι και αυτό του σχήµατος 6.3, αν και καλή πρακτική είναι να προηγούνται οι βαθµίδες που υλοποιούν τους πιο αποµεµακρυσµένους πόλους. 6-3

14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 6.3 ΣΧΗΜΑ 6.4 Η επιβεβαίωση της σχεδίασης θα γίνει µε την προσοµοίωση του φίλτρου στο PSpice. Το σχήµα 6.4 δείχνει την καµπύλη κέρδους του κυκλώµατος. Στο σχήµα έχουν προστεθεί οι γραµµές των προδιαγραφών. Η υλοποίηση των βαθµίδων µπορεί να γίνει µε πολλούς τρόπους, π.χ η βαθµίδα ης τάξης µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα κύκλωµα σαν αυτό του σχήµατος 6.5 που έχει συνάρτηση µεταφοράς R F R H ()& o. Στην περίπτωση µάλιστα αυτή το κέρδος ρυθµίζεται από την R F και δεν χρειάζεται % R o C o πρόσθετος µη αντιστρεπτικός ενισχυτής. ΣΧΗΜΑ 6.5 Η βαθµίδα ης τάξης µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα ενεργό ΥΠ φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης ή µε οποιοδήποτε άλλο ΥΠ φίλτρο ης τάξης. 6.4 Σχεδίαση ενεργών-rc ζωνοδιαβατών (Ζ ) φίλτρων Ο µετασχηµατισµός συχνότητος 6-4

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι : BW % ω µετατρέπει τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ΒΠ φίλτρου σε προδιαγραφές Ζ φίλτρου και την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου σε συνάρτηση µεταφοράς Ζ φίλτρου. Συγκεκριµένα, αν το ΒΠ φίλτρο έχει τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.6α, ο µετασχηµατισµός θα οδηγήσει στις προδιαγραφές του Ζ φίλτρου, του σχήµατος 6.6β. o ΣΧΗΜΑ 6.6 Η µορφή του µετασχηµατισµού επιβάλλει τις εξής σχέσεις: ω C ω C ω S ω S ω ο ω C &ω C BW ω S &ω S Ω S BWBW S Η ω ο δηλ. είναι ο γεωµετρικός µέσος των ω C, ω C και των ω S, ω S. To BW ονοµάζεται εύρος ζώνης διέλευσης και η ω ο κεντρική συχνότητα του Ζ φίλτρου. Οι προδιαγραφές Ζ φίλτρου που προκύπτουν µε τον µετασχηµατισµό είναι κατά την έννοια αυτή συµµετρικές µε ίσο µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος H S στις δύο ζώνες αποκοπής. Ο µετασχηµατισµός αυτός ΒΠ-Ζ, υποδεικνύει την µέθοδο σχεδίασης ενός Ζ φίλτρου αν δίνονται οι προδιαγραφές του:. Με δεδοµένες τις προδιαγραφές του Ζ φίλτρου, τις συµµετρικοποιούµε ως εξής: Αν στις δύο ζώνες αποκοπής δεν προβλέπονται ίσα µέγιστα επιτρεπόµενα κέρδη, τα εξισώνουµε προς το µικρότερο. Από τις ω C, ω C υπολογίζουµε το ω ο ω C ω C Αν το δεδοµένο ω S > ω o τότε παίρνουµε τοδεδοµένο ω ω S και ω S ω o S ω S Αν το δεδοµένο ω S < ω o τότε παίρνουµε τοω ω S και ω S ω o S ω S Η συµµετρικοποίηση κάνει τις προδιαγραφές αυστηρότερες.. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠ ()ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.6α, δηλ. τα ίδια χαρακτηριστικά πλάτους H o, H C, H S και Ω S ω S &ω S > ω C &ω C 3. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς του ζωνοδιαβατού φίλτρου ως 4. Υλοποιούµε την Η Z (). H Ζ ()H BΠ BW % ω Το τελευταίο βήµα είναι φυσικά το σηµαντικότερο και διευκολύνεται αν µελετήσουµε την επίδραση του µετασχηµατισµού πάνω στους πόλους και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς του κανονικοποιηµένου 6-5

16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ βαθυπερατού. Συγκεκριµένα, ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ επιδρά ως εξής στους πόλους και τα µηδενικά: 6.4. Μετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ πραγµατικού πόλου = -ω R Ο παράγοντας +ω R µέσα σε µια συνάρτηση ΒΠ φίλτρου εµφανίζεται ως πόλος στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι περιττής τάξης και µετασχηµατίζεται ως εξής BΠ&Ζ %ω R : BW % ω %ω %@ω R BW%ω % ω ο Q R %ω o µε Q R ω o ω R BW Αυτό σηµαίνει ότι ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ, µετασχηµατίζει έναν πραγµατικό πόλο σε ένα ζεύγος πόλων και ένα µηδενικό =0. Ο συντελεστής ποιότητος του ζεύγους αυτού των πόλων είναι ανάλογος του ω ο χαρακτηριστικού µεγέθους του Ζ φίλτρου. BW Για την υλοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς του Ζ, θα απαιτηθεί εποµένως ένα Ζ φίλτρο ης τάξης µε χαρακτηριστικά ω o, Q R ω o ω R BW 6.4. Μετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ φανταστικού ζεύγους µηδενικών = ±jω z %ω BΠ&Ζ z : BW % ω o %ω 4 %(ω o %ω z BW ) %ω 4 o ( %ω )( Τα τέσσερα µηδενικά της παραπάνω συνάρτησης που προέκυψε από τον µετασχηµατισµό είναι φανταστικά πάνω στον άξονα-jω: ± jω και ±jω µε και ω BW 4 ω o BW %ω z & ω z 4 ω o BW %ω z %ω z % ω z 4 ω o BW %ω z ω BW 4 ω o BW Προέκυψε φυσικά και ένας διπλός πόλος =0 µε αποτέλεσµα ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ να απεικονίζει ένα ζεύγος φανταστικών µηδενικών σε δύο ζεύγη φανταστικών µηδενικών και ένα διπλό πόλο =0. Αξίζει να σηµειωθεί ότι εύκολα αποδεικνύεται ότι ω &ω ω z BW και ω ω ω ο Στην περίπτωση που ο όρος %ω z είναι στον παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς του ΒΠ, ισχύουν τα αντίστοιχα συµπεράσµατα και παρατηρήσεις Μετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ ζεύγους συζυγών µιγαδικών πόλων -σ p ± jω p Ενα τέτοιο συζυγές ζεύγος πόλων, συµµετέχει στη ΒΠ συνάρτηση µεταφοράς µε έναν όρο (%σ p ) %ω p % ω q Q q %ω q µε ω q σ p %ω p και Q q σ p %ω p σ p 6-6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι % ω q Q q %ω q (%σ p ) %ω p BΠ&Ζ : BW % ω %σ p %ω p H B () H B 4 %σ p BW 3 %(σ p BW %ω o %ω p BW ) %σ p ω o BW%ω4 o BW ( % ω Q %ω ) ( % ω Q %ω ) Στην περίπτωση αυτή αρκεί να υπολογιστούν οι συχνότητες και οι συντελεστές ποιότητας των πόλων, πράγµα που δεν είναι µαθηµατικά δύσκολο αλλά έχει πολλές πράξεις. Τελικά, ορίζοντας βρίσκουµε ότι: α ω o BW bω q %4α Q c b% b &4α c c ω q Q q και ω BW cq% ω q & α ω Q ω o ω Ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ ενός συζυγούς ζεύγους πόλων κάνει τελικά το εξής: BΠ&Ζ : BW % ω q %ω q ( % ω Q q Q %ω ) ( % ω Q %ω ) απεικονίζει δηλ. ένα ζεύγος συζυγών πόλων (ω q, Q q ) σε δύο ζεύγη συζυγών πόλων (ω, Q) και (ω,, Q) µε το ίδιο Q και συχνότητες πόλων ω και ω, που συνδέονται µε την σχέση ω ω ω ο και ω &ω ω p BW & ω o Q Στην υλοποίηση εποµένως, ένα ζεύγος συζυγών πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ, θα προκαλέσει δύο Ζ κυκλώµατα ης τάξης µε (ω, Q) και (ω,, Q) που υπολογίζονται από την 6.3. Τα Q των Ζ αυτών βαθµίδων είναι σηµαντικά υψηλότερα από το Q q του ΒΠ αφού εξαρτώνται άµεσα ω o από τον λόγο, ο οποίος είναι µεγάλος όσο πιο στενής ζώνης είναι το Ζ φίλτρο. BW Στο σηµείο αυτό επαναλαµβάνουµε την διαδικασία σχεδίασης ενός ενεργού-rc Ζ φίλτρου από τις προδιαγραφές του:. Συµµετρικοποιούµε τις προδιαγραφές.. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠ ()ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.6α, δηλ. τα ίδια χαρακτηριστικά πλάτους H o, H C, H S και Ω S ω S &ω S > ω C &ω C 3. Αναλύουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ σε γινόµενα πραγµατοποιήσιµων όρων ης και ης τάξης και εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-Ζ σε κάθε ένα από αυτά, σύµφωνα µε τα παραπάνω. 4. Υλοποιούµε τις βαθµίδες µε ενεργά κυκλώµατα. (6.3) 6-7

18 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.4 Να σχεδιαστεί Ζ φίλτρο µε απόκριση Chebyhev µε κεντρική συχνότητα 67 Hz, εύρος ζώνης διέλευσης 800 Ηz, στο οποίο στη ζώνη διέλευσης το κέρδος να είναι µεταξύ και ενώ για συχνότητες µικρότερες των 476 Hz και µεγαλυτερες των 5876 Hz το κέρδος να είναι το πολύ Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές ως ω ο =π67 ω S =π476 ω S =π5876 που ικανοποιούν την ω S ω S ω o BW=π800 BW S =π5400 Αν θέλουµε να βρούµε και τις ω C και ω C χρησιµοποιούµε τις σχέσεις ω C ω C ω o 4π (67) και ω C &ω C BWπ800 από τις οποίες βρίσκουµε ω C =π000 και ω=π800. Οι προδιαγραφές αποτυπώνονται στο σχήµα 6.7α ΣΧΗΜΑ 6.7 Οι προδιαγραφές του κανονικοποιηµένου ΒΠ φαίνονται στο σχήµα 6.7β. Θα υπολογίσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου αυτού ΒΠ φίλτρου µε προσέγγιση Chebyhev. Υπολογίζουµε το ε της προσέγγισης Chebyhev από την σχέση 3. του κεφαλαίου 3: ε H o H C & Από την σχέση 3.3 υπολογίζουµε την τάξη της προσέγγισης: coh & 0.75 & & & n$n MIN.9 coh & 3 Πρέπει εποµένως να πάρουµε n=3. Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου θα είναι, σύµφωνα µε την σχέση 3.0 του κεφαλαίου 3: όπου H CH () σ k in (n%k&)π n Ω k co (n%k&)π n H o 3 εc 3k (& k ) k inh n inh& ε coh n inh& ε µε k σ k %jω k µε k

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι Το c 3 είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C 3 (Ω) και υπολογίζεται ως c 3 lim Ω64 C 3 (Ω). Στην περίπτωσή µας είναι c 3 =4. Οι πόλοι υπολογίζονται από την παραπάνω σχέση ότι είναι και ± οπότε η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι H CH () (% )( % % ) % %.0947% Η H() µπορεί τώρα να αναλυθεί σε γινόµενο παραγόντων: H CH () % % % Ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ θα εφαρµοστεί στους παραπάνω όρους µε ω ο =π67 και BW=π800 και σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν, από τον πραγµατικό πόλο θα προκύψει ένα Ζ φίλτρο ης τάξης και από το ζεύγος των µιγαδικών πόλων θα προκύψουν άλλα δύο τέτοια κυκλώµατα. Αποφασίζουµε να χρησιµοποιήσουµε και για τις 3 βαθµίδες Ζ κυκλώµατα εληγιάννη όπως αυτό του σχήµατος 6.8 Ω 3 ΣΧΗΜΑ 6.8 Το κύκλωµα έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης (σχέση 5.3α): H() V ο () R C (& E()! k ) % % & R C R C και οι παράµετροι σχεδίασης δίνονται από την 5.3β: ω o R R C C (k&)r C % R R C C R Q R C C % & R C R C (k&)r C R R C % C & R C C C (k&) R C Με C =C =C και R R β, είδαµε στο κεφάλαιο 5 ότι: R ω 0 C β R β ω 0 C k Q(β%)& β Q& β. Μετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ στον όρο % µε ω R Σύµφωνα µε την ανάλυση που προηγήθηκε, 6-9

20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ BΠ&Ζ : %ω R BW % ω %ω %@ω R BW%ω % ω ο Q R %ω o µ ε ω o π67 και Q R ω o ω R BW π @π Ο πρωτοβάθµιος δηλ. όρος του ΒΠ µετασχηµατίστηκε σε µια Ζ συνάρτηση ης τάξης µε συχνότητα πόλων ω ο =π67 και συντελεστή ποιότητας Q R = Γνωρίζοντας την συχνότητα και τον συντελεστή ποιότητας, η βαθµίδα αυτή µπορεί να υλοποιηθεί µε ένα Ζ φίλτρο εληγιάννη. Στο επόµενο σχήµα φαίνονται οι σχετικοί υπολογισµοί στο Mathcad για την σχεδίαση του κυκλώµατος εληγιάννη της πρώτης βαθµίδας που προέκυψε από τον πραγµατικό πόλο.. Μετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ στον όρο που έχει % % ω q και Q q Για την περίπτωση αυτή γνωρίζουµε ότι µε τον µετασχηµατισµό θα προκύψουν δύο ζωνοδιαβατά ης τάξης µε ίσα Q ως εξής: BW ( % ω Q %ω ) ( % ω Q %ω ) των οποίων πρέπει να υπολογίσουµε τις συχνότητες ω και ω και τον κοινό συντελεστή ποιότητας Q, πράγµα που κάνουµε παρακάτω. 6-0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι Οι τρεις βαθµίδες έχουν πλέον προσδιοριστεί πλήρως και για να ελέγξουµε τους υπολογισµούς µας, ας δούµε τι θα γίνει όταν διασυνδεθούν. Φυσικά οι τρεις βαθµίδες έδωσαν στον αριθµητή 3 συντελεστή Α Α Α 3 που καθορίζεται από τις υλοποιήσεις, ενώ εµείς θέλουµε ο συντελεστής του αριθµητή να είναι.09696bw 3. Στην τελική εποµένως υλοποίηση θα πρέπει να υπάρξει µια βαθµίδα εξασθένησης µε κέρδος k o =0.09. Φαίνεται ότι τα τρία ζωνοδιαβατά εληγιάννη µε τις συχνότητες και τους συντελεστές ποιότητας των πόλων που υπολογίστηκαν, όταν συνδεθούν αλυσωτά, υλοποιούν το αναµενόµενο Ζ φίλτρο. 6 -

22 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΧΗΜΑ 6.9 Η σχεδίαση ολοκληρώνεται µε την προσοµοίωση στο PSpice, τα αποτελέσµατα της οποίας φαίνονται στα σχήµατα 6.30 και 6.3. ΣΧΗΜΑ 6.30: Ζ Φίλτρο, πλήρης απόκριση Σχηµα 6.3: Ζ Φίλτρο, απόκριση στη ζώνη διέλευσης Στην προσοµοίωση χρησιµοποιήθηκαν ΤΕ µα74. Οι πολύ µικρές αποκλίσεις που φαίνονται στην ζώνη διέλευσης οφείλονται κυρίως στους τελεστικούς ενισχυτές, αφού το PSpice, χρησιµοποιεί το πραγµατικό τους µοντέλο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.5 Να επαναληφθεί η εφαρµογή 6.4 µε µόνη διαφορά στο εύρος ζώνης του φίλτρου που θέλουµε να είναι τώρα το ένα τρίτο, δηλ. BW=π600 Στους υπολογισµούς δεν αλλάζει απολύτως τίποτε και αν δηµιουργήσατε το φύλλο εργασίας του Mathcad της προηγούµενης εφαρµογής, απλά αλλάζουµε την τιµή του BW. Οι νέοι υπολογισµοί δίνουν η βαθµίδα: ω R Q R β C0nF R R 959Ω k.583 η βαθµίδα: 6 -

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι ω π37 Q7.538 β C0nF R R 599Ω k η βαθµίδα: ω π037 Q7.538 β C0nF R R 78Ω k Επειδή τώρα έχουµε µικρότερο εύρος, απαιτούνται βαθµίδες µε υψηλότερα Q. k o =0.08 ΣΧΗΜΑ 6.3 Το φίλτρο προσοµοιώθηκε στο PSpice χρησιµοποιώντας ΤΕ µα74 και τα σχήµατα 6.33 και 6.34 δείχνουν τα αποτελέσµατα. Παρατηρήστε ότι τώρα οι αποκλίσεις στη ζώνη διέλευσης είναι λίγο µεγαλύτερες, λόγω των υψηλών Q. ΣΧΗΜΑ 6.34 ΣΧΗΜΑ Σχεδίαση ενεργών-rc φίλτρων αποκοπής ζώνης (ΑΖ) 6-3

24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Ο µετασχηµατισµός συχνότητος : BW %ω o µετατρέπει τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ΒΠ φίλτρου σε προδιαγραφές φίλτρου αποκοπής ζώνης (ΑΖ) και την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου σε συνάρτηση µεταφοράς ΑΖ. Συγκεκριµένα, αν το ΒΠ φίλτρο έχει τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.35α, ο µετασχηµατισµός θα οδηγήσει στις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ, του σχήµατο 6.35β. ΣΧΗΜΑ 6.35 Η µορφή του µετασχηµατισµού επιβάλλει τις εξής σχέσεις: ω C ω C ω S ω S ω ο ω S &ω S BW Ω S ω C &ω C BW Η ω ο δηλ. είναι και στην περίπτωση αυτή ο γεωµετρικός µέσος των ω C, ω C και των ω S, ω S. To BW S ονοµάζεται εύρος ζώνης αποκοπής και η ω ο, κεντρική συχνότητα του φίλτρου ΑΖ. Οι προδιαγραφές φίλτρου ΑΖ που προκύπτουν µε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΑΖ είναι κατά την έννοια αυτή συµµετρικές αλλά έχουν συµµετρία και στα χαρακτηριστικά πλάτους αφού διατηρούν τα Η ο και Η C στις δύο ζώνες διέλευσης. Ο µετασχηµατισµός αυτός ΒΠ-ΑΖ, υποδεικνύει την µέθοδο σχεδίασης ενός φίλτρου ΑΖ από τις προδιαγραφές του:. Με δεδοµένες τις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ, τις συµµετρικοποιούµε µε τρόπο ανάλογο προς αυτόν που χρησιµοποιήσαµε στα Ζ φίλτρα. Η συµµετρικοποίηση κάνει τις προδιαγραφές αυστηρότερες. Προσοχή απαιτείται στον προσδιορισµό του εύρους BWω C &ω C βάσει του οποίου γίνεται ο µετασχηµατισµός. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠ ()ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.6α, δηλ. τα ίδια χαρακτηριστικά πλάτους H o, H C, H S και Ω S ω C &ω C BW > ω S &ω S BW S BW 3. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου ΑΖ ως H ΑΖ ()H BΠ %ω o 4. Υλοποιούµε την Η AZ (). Το τελευταίο βήµα είναι φυσικά το σηµαντικότερο και διευκολύνεται αν µελετήσουµε την επίδραση του µετασχηµατισµού πάνω στους πόλους και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς του κανονικοποιηµένου βαθυπερατού. Συγκεκριµένα, ο µετασχηµατισµός ΒΠ-AΖ επιδρά ως εξής στους πόλους και τα µηδενικά: 6.5. Μετασχηµατισµός ΒΠ-ΑΖ πραγµατικού πόλου = -ω R Ο παράγοντας +ω R µέσα σε µια συνάρτηση ΒΠ φίλτρου εµφανίζεται ως πόλος στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι περιττής τάξης και µετασχηµατίζεται ως εξής: 6-4

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι ( %ω BΠ&AΖ o ω ) : R %ω R BW %ω %@ BW %ω %ω o R ω R o Αυτό σηµαίνει ότι ο µετασχηµατισµός ΒΠ-Ζ, µετασχηµατίζει έναν πραγµατικό πόλο σε ένα ζεύγος πόλων και ένα ζεύγος φανταστικών µηδενικό =±jω ο. Ο συντελεστής ποιότητος του ζεύγους των πόλων είναι ω ο ω ανάλογος του χαρακτηριστικού µεγέθους του Ζ φίλτρου: Q. BW R ω ο R BW Για την υλοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς του AΖ, θα απαιτηθεί εποµένως ένα φίλτρο AZ ης τάξης ω o µε χαρακτηριστικά πόλων ω o, Q R ω R. BW 6.5. Μετασχηµατισµός ΒΠ-ΑΖ ζεύγους συζυγών µιγαδικών πόλων -σ q ± jω q Ενα τέτοιο συζυγές ζεύγος πόλων, συµµετέχει στη συνάρτηση µεταφοράς µε έναν όρο (%σ q ) %ω q % ω p Q p %ω p µε ω p σ q %ω q και Q p σ q %ω q σ q % ω p Q p %ω p BΠ&ΑΖ : BW %ω o % ω p Q p BW %ω o %ω p H E () H E () ω p ( %ω o ) 4 % BW Q p 3 % BW %ω ω p ω o % ω o BW %ω 4 o ω p p Q p ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) Στην περίπτωση αυτή αρκεί να υπολογιστούν οι συχνότητες και οι συντελεστές ποιότητας των πόλων, πράγµα που δεν είναι µαθηµατικά δύσκολο αλλά έχει πολλές πράξεις. Τελικά, ορίζοντας βρίσκουµε ότι: α ω o BW QQ p %aω p % 4 %a ω p %4a 4 ω 4 p &a ω p Q p (6.45) ω BW Q Q w p Ο µετασχηµατισµός ΒΠ-ΑΖ κάνει το εξής &a % Q &a %4Q a w p ω ω ο ω 6-5

26 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ % ω q Q q %ω q BΠ&AZ : ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) απεικονίζει δηλ. ένα ζεύγος συζυγών πόλων (ω p, Q p ) σε ένα διπλό ζεύγος φανταστικών µηδενικών ±jω ο και σε δύο ζεύγη συζυγών πόλων (ω, Q) και (ω,, Q) µε το ίδιο Q και συχνότητες πόλων ω και ω, που συνδέονται µε την σχέση ω ω ω ο Στην υλοποίηση εποµένως, ένα ζεύγος συζυγών πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ, θα προκαλέσει δύο κυκλώµατα ΑΖ ης τάξης µε (ω, Q) και (ω,, Q) που υπολογίζονται από την Τα Q των βαθµίδων αυτών είναι σηµαντικά υψηλότερα από το Q q του ΒΠ αφού εξαρτώνται άµεσα από ω o τον λόγο, ο οποίος είναι τόσο µεγαλύτερος όσο πιο στενής ζώνης είναι το φίλτρο ΑΖ. BW Στο σηµείο αυτό επαναλαµβάνουµε την διαδικασία σχεδίασης ενός ενεργού-rc φίλτρου ΑΖ από τις προδιαγραφές του:. Συµµετρικοποιούµε τις προδιαγραφές.. Υπολογίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠ ()ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.35α, δηλ. τα ίδια χαρακτηριστικά πλάτους H o, H C, H S και Ω S ω C &ω C BW > ω S &ω S BW 3. Αναλύουµε την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ σε γινόµενα πραγµατοποιήσιµων όρων ης και ης τάξης και εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-Ζ σε κάθε ένα από αυτoύς, σύµφωνα µε τα παραπάνω. 4. Υλοποιούµε τις βαθµίδες µε ενεργά κυκλώµατα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.6 Να σχεδιαστεί φίλτρο AZ µε απόκριση Chebyhev µε κεντρική συχνότητα 63 Hz, εύρος ζώνης αποκοπής 600 Ηz, στο οποίο στις ζώνες διέλευσης (0-49 Ηz και f >59), το κέρδος να είναι µεταξύ και To κέρδος στη ζώνη αποκοπής δεν πρέπει να υπερβαίνει το Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές ως ω ο =π63, ω C =π49 ω C =π59 που ικανοποιούν την ω S ω S ω o. Επιπροσθέτως, BW=π4800 BW S =π600 Αν θέλουµε να βρούµε και τις ω S και ω S χρησιµοποιούµε τις σχέσεις ω S ω S ω o 4π (63) και ω S &ω S BW S π600 από τις οποίες βρίσκουµε ω S =π000 και ω=π600. Οι προδιαγραφές αποτυπώνονται στο σχήµα 6.36α ΣΧΗΜΑ 6.36 Για να σχεδιάσουµε το φίλτρο ΑΖ θα υπολογίσουµε πρώτα την συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 6.36β, χρησιµοποιώντας προσέγγιση Chebyhev. Για το κανονικοποιηµένο αυτό ΒΠ έχουµε βρεί στην εφαρµογή 6.5 ότι έχει συνάρτηση µεταφοράς 6-6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι H CH () % % % Ο µετασχηµατισµός ΒΠ-ΑΖ θα εφαρµοστεί στους παραπάνω όρους µε ω ο =π63 και BW=π600 και σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν, από τον πραγµατικό πόλο θα προκύψει µια συνάρτηση µεταφοράς ΑΖ ης τάξης και από το ζεύγος των µιγαδικών πόλων θα προκύψουν άλλες δύο τέτοιες συναρτήσεις. Ας τις υπολογίσουµε πρώτα και µετά βλέπουµε πως θα τις υλοποιήσουµε. Πραγµατικός πόλος % ( %ω BΠ&AΖ o ω ) Σύµφωνα µε όσα εκτέθηκαν: : R %ω R %@ BW %ω o ω R ω Η συνάρτηση αυτή ΑΖ έχει Q R ω o π63 R BW π Το µιγαδικό ζεύγος πόλων % % µε ω p και Q p µε τον µετασχηµατισµό του θα δώσει µε % ω q Q q %ω q BΠ&AZ : ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) ω p ( %ω o ) ( % ω Q %ω ) QQ p %aω p % 4 %a ω p %4a 4 ω 4 p &a ω p Q p ω BW Q Q w p &a % Q &a %4Q a w p ω ω ο ω όπου a ω o. Οι σχετικοί υπολογισµοί δίνουν: BW π63 π

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου ΑΖ, σύµφωνα µε τους παραπάνω υπολογισµούς θα είναι: ( %ω o ω ) ( %ω o H ΑΖ () R ω ) ( %ω o p ω ) p % ω o %ω o % ω Q R Q %ω % ω Q %ω Το µέτρο της συνάρτησης αυτής παριστάνουµε γραφικά στο σχήµα και διαπιστώνουµε ότι ικανοποιούνται οι προδιαγραφές και µένει µόνον η υλοποίηση µε ενεργά κυκλώµατα. Είναι προφανές ότι για την υλοποίηση του πρώτου όρου απαιτείται ένα κύκλωµα µε συνάρτηση µεταφοράς ΑΖ τύπου notch, µε συχνότητα δηλ. µηδενικού ίση µε την συχνότητα των πόλων. Για τους άλλους δύο όρους θα απαιτηθεί ένα κύκλωµα ΑΖ τύπυ notch-υπ (συχνότητα µηδενικού µικρότερη από τη συχνότητα πόλου) και ένα ΑΖ τύπου notch-bπ (η συχνότητα του µηδενικού µεγαλύτερη από του πόλου). ΣΧΗΜΑ 6.37 Για την εφαρµογή αυτή θα χρησιµοποιήσουµε το κύκλωµα GIC (εδάφιο 5.7.), το οποίο µπορεί και 6-8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι υλοποιεί και τους τρείς τύπους συναρτήσεων ΑΖ. (k&µ) % Με λ µ k µ & C R η συνάρτηση µεταφοράς είναι: H() % QRC % R C Το κύκλωµα αυτό είναι ικανό να υλοποιεί συναρτήσεις ΑΖ και των τριών τύπων (notch, notch-bπ, notch- ΥΠ). Για την σχεδίαση του κυκλώµατος µε δεδοµένα ω ο και Q των πόλων, επιλέγεται η τιµή του πυκνωτή C και εποµένως R. Με δεδοµένο το ω οz των µηδενικών, τα k και µ επιλέγονται ώστε : ω ο C k µε k > µ (λ=0.5µ) µ ω % ω oz Στην εφαρµογή αυτή χρειαζόµαστε 3 κυκλώµατα ΑΖ σαν αυτό ως εξής: η βαθµίδα (ΑΖ τύπου notch) ( %ω o ω ) ( %ω o R ω ) R Η () ο %@ BW ω R %ω o % ω o Q R %ω o ω ω R ω o π63 Q R ω o π63 R BW π Αναφερόµενοι στο κύκλωµα του σχήµατος 6.37 και τις αντίστοιχες εξισώσεις σχεδίασής του, πρέπει k. Μπορούµε εποµένως να πάρουµε k=µ=0.8 οπότε λ=0.5µ=0.4. Επιλέγοντας C=0nF, µ ω ο % ω oz R. ω ο C Ω &9 π@63@0@0 η βαθµίδα (ΑΖ τύπου notch-yπ) H () ω p ( %ω o ) η Βαθµίδα ( % ω Q %ω ) ω p ω o π63 ω 3.584@0 3 π570.7 Q Χρησιµοποιούµε ξανά το κύκλωµα του σχήµατος 6.37 και τις αντίστοιχες εξισώσεις σχεδίασής, σύµφωνα 6-9

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ k µε τις οποίες πρέπει λ=0.5µ και. Μπορούµε εποµένως να πάρουµε µ ω %0.506%.506 ω o µ=0.8 και k= οπότε λ=0.5µ=0.4. Επιλέγοντας C=0nF, η αντίσταση R υπολογίζεται ότι είναι R. ω C 395Ω &9 3584@0@0 η Βαθµίδα 3η βαθµίδα (ΑΖ τύπου notch-βπ) ( %ω o ω ) H 3 () p ( % ω Q %ω ) ω p ω o π63 ω 8.66@0 3 π Q Χρησιµοποιούµε το κύκλωµα του σχήµατος 6.37 και τις αντίστοιχες εξισώσεις σχεδίασής, σύµφωνα µε k τις οποίες πρέπει λ=0.5µ και. Μπορούµε εποµένως να πάρουµε µ=0. µ ω % % ω o και k= οπότε λ=0.5µ=0.. Επιλέγοντας C=0 nf, η αντίσταση R υπολογίζεται ότι είναι R. ω C Ω &9 8660@0@0 3η Βαθµίδα Σύνδεση των βαθµίδων Με την αλυσωτή σύνδεση των τριων βαθµίδων, υλοποιείται η συνολική συνάρτησης µεταφοράς µε 6-30

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΝΕΡΓΩΝ-RC ΦΙΛΤΡΩΝ Ι συντελεστή (k &µ )(k &µ )(k 3 &µ 3 )0.8, όπου οι δείκτες αντιστοιχούν στον αριθµό της βαθµίδας. Ο αντίστοιχος συντελεστής της συνάρτησης µεταφοράς που υπολογίστηκε από την προσέγγιση και τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΑΖ είναι. Γιά την ακριβή εποµένως υλοποίηση της συνάρτησης ω R ω p µεταφοράς απαιτείται και µια βαθµίδα µε σταθερό κέρδος τάσης A. Η αλυσωτή σύνδεση των τριών βαθµίδων όπως σχεδιάστηκαν µαζί µε τον ενισχυτή τάσης κέρδους 7.85, προσοµοιώνονται στο PSpice και επιβεβαιώνεται ότι ικανοποιούν τις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ µε τον τρόπο που δείχνει το επόµενο σχήµα. 6-3