ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I- και V-γράφος, τροποποιηµένη µέθοδος κόµβων, εξισώσεις κατάστασης, συνάρτηση µεταφοράς, αποκρίσεις δικτύου, διάγραµµa Bode) C i i 8 C C - 9 i i - i E s 9 - v o i - Σχήµα - (α) Να σχεδιαστεί ο I- και ο V-γράφος, και να γραφούν οι εξισώσεις της τροποποιη- µένης µεθόδου κόµβων µε δύο γράφους. 8,C,,C,C, 9, 9,,T i,,,t o,t i,t o,e s, Στο παραπάνω Σχήµα εικονίζεται ο πλήρης γράφος του κυκλώµατος, ο οποίος περιέχει οκτώ (8) κόµβους (από τον κόµβο αναφοράς γείωση έως τον κόµβο ), και δεκαπέντε () κλάδους. Σε κάθε κλάδο, στον παραπάνω πλήρη γράφο του κυκλώµατος, σηµειώνουµε την αρίθµησή του (από έως ), τη θετική φορά αναφοράς αυτού, Σελίδα από 8

2 καθώς και το στοιχείο κυκλώµατος στο οποίο αντιστοιχεί (µε T ki, T ko σηµειώνουµε τον κλάδο του γράφου που αντιστοιχεί στη θύρα εισόδου και στη θύρα εξόδου, αντίστοιχα, για τον k τελεστικό ενισχυτή, µε k=, για το κύκλωµα της άσκησης). Απλοποιώντας κατάλληλα τον πλήρη γράφο του κυκλώµατος µπορούµε να πάρουµε τον I- και V-γράφο αυτού, απαλείφοντας κατά τα γνωστά κάποιους κλάδους, και σχεδιάζοντας κατά περίπτωση τους κόµβους αυτών είτε να ταυτίζονται είτε να παραµένουν διαχωρισµένοι. Στο συγκεκριµένο κύκλωµα της άσκησης έχουµε: Ι-γράφος Τελεστικός ενισχυτής Τ Κλάδοι και παραλείπονται ως εξής: Κλάδος -Τ i : κόµβοι και διαχωρισµένοι Κλάδος - Τ o : κόµβοι και ταυτίζονται () Τελεστικός ενισχυτής Τ Κλάδοι και παραλείπονται ως εξής: Κλάδος -Τ i : κόµβοι και διαχωρισµένοι Κλάδος -Τ o : κόµβοι και ταυτίζονται () Ανεξάρτητη πηγή τάσης E s Κλάδος παραλείπεται, κόµβοι και ταυτίζονται. () Άρα ο I-γράφος θα έχει κόµβους και κλάδους λιγότερους από τον πλήρη γράφο (δηλαδή n I =, και b I =). Ο I-γράφος φαίνεται στο παρακάτω Σχήµα -α: V-γράφος Τελεστικός ενισχυτής Τ Κλάδοι και παραλείπονται ως εξής: Κλάδος -Τ i : κόµβοι και ταυτίζονται () Κλάδος - Τ o : κόµβοι και διαχωρισµένοι Τελεστικός ενισχυτής Τ Κλάδοι και παραλείπονται ως εξής: Κλάδος -Τ i : κόµβοι και ταυτίζονται () Κλάδος -Τ o : κόµβοι και διαχωρισµένοι Ανεξάρτητη πηγή τάσης E s Κλάδος παραµένει ως έχει. Άρα ο V-γράφος θα έχει κόµβους και κλάδους λιγότερους από τον πλήρη γράφο (δηλαδή n V =, και b V =). Ο V-γράφος φαίνεται στο παρακάτω Σχήµα -β:,c,,c,,c,,,,c,, 8,C 9, 9,,E s,,, 9, 9 8,C, Σχήµα -α: Ο I-γράφος του κυκλώµατος Σχήµα -β: Ο V-γράφος του κυκλώµατος Γράφουµε στη συνέχεια τις εξισώσεις της τροποποιηµένης µεθόδου των κόµβων κατά τα γνωστά. ηλαδή ακολουθούµε τα εξής βήµατα: (i) γράφουµε τους νόµους ρευµάτων Kirchhoff (ΝΡΚ) για τους n I κόµβους του I-γράφου, (ii) κάθε ρεύµα κλάδου που αντιστοιχεί σε v-ελεγχόµενο στοιχείο κυκλώµατος γράφεται, χρησιµοποιώντας την αντίστοιχη περιγραφική σχέση κλάδου, στη µορφή: (σύνθετη αγωγιµότητα κλάδου) x (τάση κλάδου), ενώ όλα τα ρεύµατα κλάδων που αντιστοιχούν σε µη v-ελεγχόµενα στοιχεία κυκλώµατος παραµένουν στις εξισώσεις ως άγνωστες µεταβλητές, και (iii) περνώντας στο V-γράφο, κάθε εµφανιζόµενη µεταβλητή τάση κλάδου αντικαθίσταται ως διαφορά τάσεων κόµβων του V-γράφου, ώστε να εµφανιστούν τελικά ώς άγνωστες µεταβλητές οι τάσεις των κόµβων του V-γράφου, και τα ρεύµατα των µη v-ελεγχόµενων κλάδων του I-γράφου. Στο σύστηµα αυτό (n I x n v ) προστίθενται κατάλληλα και οι Σελίδα από 8

3 εξισώσεις (περιγραφικές σχέσεις κλάδων) που αντιστοιχούν στα µη v-ελεγχόµενα στοιχεία (π.χ. πηγές τάσεις κλπ.). Έχουµε εποµένως (θεωρώντας για την ώρα µηδενικές αρχικές συνθήκες): : -i i i i = - v (sc )v (sc )v v = - (e -e ) (sc )(e -e ) (sc )(e -e ) (e ) = : -i i = -(sc )v v = -(sc )(e -e ) (e -e ) = : i i = v v = (e ) (e -e ) = : i 8 -i 9 i = (sc )v 8 9 v 9 v = (sc ) (-e ) 9 (e ) (-e ) = ηλαδή παίρνουµε τέσσερεις αλγεβρικές εξισώσεις (από τους ΝΡΚ για τους κόµβους του I-γράφου), µε πέντε αγνώστους τις τάσεις e i (i=,,) που αναφέρονται στους πέντε κόµβους του V-γράφου. Χρειαζόµαστε άλλη µια σχέση, την οποία παίρνουµε από την περιγραφική σχέση της ανεξάρτητης πηγής τάσης (κλάδος, v =E s ), και το νόµο τάσεων Kirchhoff στο V-γράφο για τον κλάδο αυτό: Πηγή τάσης Es : e = E s Οι εξισώσεις της τροποποιηµένης µεθόδου κόµβων µε δύο γράφους µπορούν εποµένως να γραφούν σε αλγεβρική µορφή ως εξής: E s sc sc sc sc e sc sc e e = 9 sc e e Es P(s) e(s) U(s) () ηλαδή: P(s) e(s) = U(s), όπου P(s) η x µήτρα αγωγιµοτήτων κόµβων, στην παραπάνω σχέση (), e(s) = [e, e, e, e, e ] T, και U(s) = [,,,, E s (s)] T. (β) Να ευρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς: H(s)=V o /E s Έχουµε: e(s) = P - (s) U(s) = (/ (s)) Adj(P(s)) U(s) όπου: (s) = det(p(s)) (η ορίζουσα της µήτρας αγωγιµοτήτων κόµβων P(s)), Adj(P(s)) = [cofactor ij (P(s))] T = [(-) (ij) ij (s)] T, και ij (s) = (µερική ορίζουσα της µήτρας P(s) που προκύπτει από διαγραφή της i γραµµής και j στήλης). Αλλά: V = e οπότε: V (s) = ( (s) / (s)) E s (s) H(s) = ( (s) / (s) ) () Έχουµε από τη σχέση (): { ( ) ( ) sc[ sc sc( ) ]} () s = sc sc sc ( sc ) ( ) Σελίδα από 8

4 { ( ) ( ) ( ) ( ) sc ( C C) sc C C( ) } () s = sc s C C sc { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () s = sc CC s s C C C και ( )( )( )( ) ( ) () s = sc = s C 9 9 Άρα, η ζητούµενη συνάρτηση µεταφοράς είναι: H() s = s C ( 9 ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) { } sc CC s C C C s Παρατήρηση: Εαν ζητείται να µελετηθεί η ευστάθεια του κυκλώµατος, µπορούµε να αποφανθούµε σχετικά µελετώντας το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος (δηλ. τον παρανο- µαστή) της συνάρτησης µεταφοράς): ψ(s) = (s), το οποίο έχει τρείς ρίζες (φυσικές συχνότητες του κυκλώµατος): p = -( /C ), η οποία είναι ασυµπτωτικά ευσταθής (αρνητικός πραγµατικός αριθµός, άρα στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο), και p, δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες του πολυωνύµου: ( ) ( ) ( ) ( ) CC s C C C s Εφαρµόζοντας για παράδειγµα τη µέθοδο Routh παίρνουµε: s ( CC ) ( ) s ( C C ) C ( ) s ( ) Το κύκλωµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές όταν: ( C C ) > C ( ) ενώ εκτελεί ταλαντώσεις (λειτουργεί ως ταλαντωτής, είναι δηλαδή οριακά ευσταθές) όταν: ( C C ) = C ( ) µε συχνότητα ταλαντώσεων που προκύπτει από τη σχέση: ( ) ( ) CC s = ω = ( ) CC (γ) Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώµατος, λαµβάνοντας σαν µεταβλητές κατάστασης τις τάσεις v c, v c, v c των τριών πυκνωτών. Εφαρµόζουµε τη µέθοδο του κανονικού δέντρου (proper tree) (µε δύο γράφους), γράφοντας, στην προκειµένη περίπτωση, νόµο ρευµάτων στις θεµελιώδεις οµάδες διαχωρισµού του I-γράφου για τους βλαστούς του κανονικού δέντρου που αντιστοιχούν σε πυκνωτές. Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται ένα κανονικό δέντρο πάνω στο I- και στο V-γράφο: () Σελίδα από 8

5 ,C ΘΟ -C ΘΟ -C,,C,, ΘΟ -,, ΘΟ -C 8,C 9, 9,,,E s,c,c,,,, 9, 9 8,C, Σχήµα -γ: Κανονικό δέντρο πάνω στο I-γράφο του κυκλώµατος Σχήµα -δ: Κανονικό δέντρο πάνω στο V-γράφο του κυκλώµατος Οι εξισώσεις ρευµάτων (ΝΡΚ) στο I-γράφο για τις θεµελιώδεις οµάδες διαχωρισµού (ΘΟ ) που αντιστοιχούν στους κλάδους C, C, C, είναι: Θ.Ο.. - C: c ( ) Θ.Ο.. - C: i i ( sc) vc ( v) Cvc() Θ.Ο.. - C: i i i sc v ( v v ) C v i i i i = ( sc ) v = v v v Cv () (α) c = = (β) = ( ) = () (γ) 8 9 c 9 9 c Πρέπει εποµένως τώρα να εκφράσουµε τις τάσεις κλάδων v, v, v, v 9, και v, συναρτήσει των τάσεων v c, v c, v c, ώστε να πάρουµε τις σχέσεις στη µορφή των εξισώσεων κατάστασης. Αυτό θα γίνει γράφοντας τις εξισώσεις τάσεων για τους αντίστοιχους θεµελιώδεις βρόχους στο V-γράφο, ως εξής: Θ.Β.( -C - -E s ): v vc v Es = v = vc v Es (α) Θ.Β.( - -C ): v v vc = v = vc v (β) Θ.Β.( -C -C ): v vc vc = v = vc vc (γ) Θ.Β.( -C -C ): v vc vc = v = vc vc (δηλ. v = v) (δ) Θ.Β.( 9 - -C -C ): v9 v vc vc = v9 = vc vc v (ε) Θ.Β.( -C ): v vc = v = vc (στ) Επιπλέον, από το ΝΡΚ για τη ΘΟ - στο Ι-γράφο παίρνουµε: i i = i = i v = v ( δ ) v = ( vc vc) () Αντικαθιστώντας την () στις (α)-(στ) και εν συνεχεία στις (α)-(γ) παίρνουµε τις τελευταίες στη µορφή των εξισώσεων κατάστασης: ( sc ) v v ( v v ) E v ( v v ) ( v v ) C v () c c c c s c c c c c c sv = ( ) v ( ) v E v () c c c s c C C (α) Σελίδα από 8

6 ( sc) vc = ( vc vc) Cvc() s vc = ( vc vc) Cvc() C (β) ( ) c 9 C v () c c c c c c και: sc v = v v ( v v ) ( v ) sv = v v v v () c 9 c 9 c c c C (γ) Άρα οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώµατος είναι: ( ) ( ) C C svc sv c = C C sv c v v v 9 9 C C C C v () c E v () s c v () c δηλαδή: s v c = A v c B E s v c () όπου: c c c (8) (8α) ( ) ( ) C C C A = και B = C C 9 9 C C C και y = v o = e = -v c = [ -] v c, δηλαδή y = C v c D E s, µε C = [ -] και D= (8β) (δ) Έστω: C =C =C =F, = =.Ω -, = = = 9 = =Ω - (i) Αν E s (t) είναι η βηµατική συνάρτηση (t) και v c ()=v c ()=v c ()=, να ευρεθεί η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος. Για την απόκριση µηδενικής κατάστασης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το αποτέλεσµα του ερωτήµατος (β) (συνάρτηση µεταφοράς H(s)) και να γράψουµε: Σελίδα από 8

7 V o (s) = H(s) E s (s), όπου E s (s) = L{(t)} = (/s), οπότε έχουµε (αντικαθιστώντας τις δοσµένες τιµές για τα στοιχεία του κυκλώµατος στη σχέση ()): () { () k k s k Vo s = L vo t } = = (9) s s s s s s ( ){ } ( ) ( ) Αναπτύσσοντας τον αριθµητή της () βρίσκουµε τους (πραγµατικούς) συντελεστές των µερικών κλασµάτων: (αριθµητής της ()) = (k k )s (k k k )s (k k ) = s s οπότε: k k =, k k k = (άρα k =) και k k = Εποµένως: k =, k =-, και k = Η (9) συνεπώς γράφεται: s s ( s ) Vo () s = = = ( ) ( ) ( ) = s s s ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) = ( ) ( s ) ( s ) ( s ) Άρα, η ζητούµενη βηµατική απόκριση του κυκλώµατος είναι: t t { Vo() s } = e ( ) t v () t = L e cos( t) e sin( t) o t t = e k e cos( t φ) ( ) όπου: k = ( ) = = και φ = atan = o () (ii) Αν E s (t)=, να ευρεθεί η απόκριση µηδενικής εισόδου του κυκλώµατος µε: v c ()=v c ()=, και v c ()= v =V Από τη σχέση (8β), για την ελεύθερη απόκριση του κυκλώµατος εκφρασµένη στο χώρο κατάστασης, παίρνουµε (θεωρώντας E s (t)=, δηλαδή απόκριση µηδενικής εισόδου y zi - zero input response): y [ ][ s ] = C v = I A v () µε v c () = [ ] T () zi c c Θέτοντας τις δοσµένες τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος παίρνουµε, από τη σχέση (8), για τη µήτρα Α του χώρου κατάστασης: s A = [ si A ] = s s [ s ] s( s ) ( s ) ( s )( s s ) = det I A = = (δηλαδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο στο οποίο είχαµε καταλήξει και στο ερώτηµα δ(i). Επίσης: [ si A] ij [ si A ] Adj( ) = = ( ) ij det( si A) όπου = (-) (ij) ji = (-) (ij) (µερική ορίζουσα της µήτρας [ si ] διαγραφή της j γραµµής και i στήλης αυτής) A που προκύπτει από Σελίδα από 8

8 Από τη σχέση () εποµένως παίρνουµε για τη ζητούµενη απόκριση µηδενικής εισόδου: ij [ ss ( ) ] yzi = C v c = [ ] = = = ( s )( s s ) ( s )( s s ) ( s ) Άρα η ζητούµενη ελεύθερη απόκριση είναι: y zi (t) = -e -t (ε) Για τις παραπάνω τιµές στοιχείων, να σχεδιαστεί το διάγραµµα Bode κέρδους της H(s). Από το ερώτηµα δ(i), έχουµε υπολογίσει τη συνάρτηση µεταφοράς H(s) για τις δοσµένες τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος: s jω H() s = H( jω ) = ( s )( s s ) ( jω )(( jω) jω ) s: κλίση ασυµπτωτικής (ω ): db/dec (s): σηµείο θλάσης για ω=, κλίση ασυµπτωτικής (ω ): -db/dec (s s): ζ=/, ω =, σηµείο θλάσης για ω =, κλίση ασυµπτωτικής (ω ): -db/dec Το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους φαίνεται στο ακόλυθο σχήµα: log H(jω) (db). db/dec ω (rad/sec) -db -db/dec -db -db συνολικό -db/dec Σελίδα 8 από 8