ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΤΡΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 1

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις των εργαστηριακών ασκήσεων φυσικής έχουν διαμορφωθεί σύμφωνα με το Πρόγραμμα Σπουδών του Τμήματος Χημικών Μηχανικών. Η συγγραφή των σημειώσεων έγινε με την συνεργασία των Στυλιανή Κέννου, Καθηγήτρια Δημήτριος Κουζούδης, Επίκουρος Καθηγητής Σουζάννε Μρόσντα, ΕΕΔΙΠ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ 2. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 2.1. Συγκρότηση ομάδων φοιτητών και κατάρτιση του προγράμματος εκτέλεσης εργαστηριακών ασκήσεων. 2.2. Bασικοί κανόνες ασφάλειας στο εργαστηρίο. 2.3. Διεξαγωγή πειραματικών μετρήσεων. 2.4. Προετοιμασία εργαστηριακής έκθεσης. 2.5. Βαθμολογία. 3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ 3.1. Εισαγωγή. 3.2. Σημαντικά ψηφία. 3.3. Ταξινόμηση των σφαλμάτων. 3.4. Μέση τιμή. 3.5. Εκτίμηση σφάλματος. 3.6. Μετάδοση σφάλματος. 3.7. Εκτίμηση παραμέτρων. 3.8. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για γραμμικές εξισώσεις. 3.9. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για μη-γραμμικές εξισώσεις. 4. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Α1 Μετρήσεις και υπολογισμοί βασικών μεγεθών της μηχανικής (A) Μέτρηση πυκνότητας στερεού (Β) Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας (Γ) Μέτρηση μεγεθών σε περιστροφή ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Α2 Προσδιορισμός του ρυθμού θέρμανσης- Ηλιακοί συλλέκτες ΟΠΤΙΚΗ Α3 Α4 Συγκλίνοντες και αποκλίνοντες φακοί Περίθλαση από απλή σχισμή. ΗΛΕΚΤΡΟ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Α5 Φωτοβολταïκό κύτταρο Α6 Φόρτιση και εκφόρτιση πυκνωτή Α7 Κύκλωμα R-L-C, Συντονισμός Α8 Χρήση του παλμογράφου σε κύκλωμα εναλλασσόμενης τάσης (AC) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οργάνα και συσκευές του Εργαστηρίου Φυσικής 3

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗΣ Σκοπός του Εργαστηρίου Φυσικής είναι η πρακτική άσκηση των φοιτητών σε κλασσικά πειράματα φυσικής που του διδάσκουν τεχνικές οι οποίες απαντώνται σε διάφορα άλλα φοιτητικά εργαστήρια ή και επαγγελματικά εργαστήρια που τυχόν θα συναντήσει ένας απόφοιτος Χημικός Μηχανικός κατά την διάρκεια της καριέρας του. Επιδιώκεται η κατανόηση των βασικών φυσικών φαινομένων που οι φοιτητές διδάχθηκαν στα μαθήματα Φυσική Ι, ΙΙ και η ανάπτυξη της κριτικής επιστημονικής σκέψης. Δυο δίωρες εισαγωγικές διαλέξεις έχουν προγραμματιστεί με σκόπο την κατανόηση βασικών ενοιών του εργαστηρίου όπως η καταγραφή μετρήσεων, η εύρεσης της μέσης τιμής και του σφάλματος ενός συνόλου δεδομένων, ο προσδιορισμός μαθηματικών σχέσεων μεταξύ μετρούμενων μεγεθών και η χάραξη γραφικών παραστάσεων. Στα πλαίσια του εργαστηρίου έχουν προγραμματιστεί 8 εργαστηριακές ασκήσεις. Μία άσκηση αναφέρεται στην περιοχή της Μηχανικής, μία στην Θερμότητα, δύο στην Οπτική και τέσσερεις στις περιοχές του Ηλεκτρo-Μαγνητισμού. Οι ασκήσεις που θα πραγματοποιηθούν είναι οι εξής: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μετρήσεις και υπολογισμοί βασικών μεγεθών της μηχανικής (Α) Μέτρηση πυκνότητας στερεού (Β) Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας (Γ) Μέτρηση γωνιακών μεγέθων ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Προσδιορισμός του ρυθμού θέρμανσης - Ηλιακοί συλλέκτες ΟΠΤΙΚΗ Συγκλίνοντες και αποκλίνοντες φακοί Περίθλαση από απλή σχισμή ΗΛΕΚΤΡΟ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Φωτοβολταϊκό κύτταρο Φόρτιση και εκφόρτιση πυκνωτή Κύκλωμα R-L-C, Συντονισμός Χρήση του παλμογράφου σε κύκλωμα εναλλασσόμενης τάσης (AC). Τα πειράματα διεξάγονται στο Εργαστήριο Φυσικής που βρίσκεται στο ισόγειο του κτιρίου Χημικών Μηχανικών. Υπεύθυνοι για το εργαστήριο είναι οι εξής: Στυλιανή Κέννου, Καθηγήτρια (kennou@chemeng.upatras.gr) Δημήτριος Κουζούδης, Επίκουρος Καθηγητής (kouzoudis@chemeng.upatras.gr) και Σουζάννε Μρόσντα, ΕΔΙΠ (brosda@chemeng.upatras.gr) 2 ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ 2.1 Συγκρότιση ομάδων φοιτητών και κατάρτιση του προγράμματος εκτέλεσης εργαστηριακών ασκήσεων. Οι ασκήσεις εκτελούνται από ομάδες των 2-3 ατόμων. Η σύνθεση των ομάδων αυτών δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια του εξαμήνου. 4

Οι φοιτητές/φοιτήτριες που έχουν δηλώσει το Εργαστήριο Φυσικής πρέπει να εγγραφούν ηλεκτρονικά μέσω του eclass και μέσω της παρακάτω διαδικασίας: [1] Πηγαίνετε στη διεύθυνση https://eclass.upatras.gr και κάνετε login χρησιμοποιώντας τα στοιχεία σύνδεσης σας [2] Εγγραφή στο μάθημα: Από το μενού Κατάλογος μαθημάτων βρίσκετε το Εργαστήριο Φυσικής και ενεργοποιείτε το αντίστοιχο check box εγγραφής. [3] Εγγραφή σε ομάδα: click πάνω στο Εργαστήριο Φυσικής Μενού Επιλογές Μαθήματος Ομάδες Χρηστών Εγγράφεστε στη ομάδα που επιθυμείτε (μέγιστος αριθμός ομάδας: 24 άτομα). Το πρόγραμμα εκτέλεσης των εργαστηριακών ασκήσεων ανακοινώνεται εγκαίρως. Λόγω του μεγάλου αριθμού φοιτητών που ασκούνται και των περιορισμένων μέσων του εργαστηρίου, δεν είναι δυνατή η επανάληψη της άσκησης για οποιοδήποτε λόγο. Συμπληρωματικά εργαστήρια δεν πρόκειται να γίνουν, παρά μόνο σε βεβαιωμένα δικαιολογημένες απουσίες. Το εργαστήριο διαρκεί 2 ½ ώρες και οι φοιτητές/τριες αξιοποιούν όλο τον χρόνο τους. Μετά το πέρας της άσκησης ο επιβλέπων υπογράφει τις μετρήσεις. Αν ο φοιτητής/τρια χρεωθεί περισσότερες από μία απουσίες επαναλαμβάνει όλο το εργαστήριο στο επόμενο έτος. 2.2 Βασικοί κανόνες ασφάλειας στο εργαστήριο Εκτός από το καθήκον των φοιτητών να εκπαιδευτούν στο εργαστήριο, έχουν καθήκον και την αποφυγή πρόκλησης ατυχήματος εντός του εργαστηρίου. 1. Απαγορεύεται το κάπνισμα και η χρήση κινητού. 2. Απαγορεύεται αυστηρά η κατανάλωση τροφίμων και ποτών στο χώρο του εργαστηρίου. 3. Απαγορεύεται η άσκοπη παραμονή στο χώρο του εργαστηρίου καθώς και η επίσκεψη από άτομα που δεν σχετίζονται με αυτό. 4. Κατά την εργασία στο εργαστήριο θα πρέπει να αποφεύγονται τα φαρδιά ή κρεμαστά ρούχα, καθώς και τα ελεύθερα μακριά μαλλιά. Επίσης, πρέπει να αποφεύγονται τα "κρεμαστά" κοσμήματα, καθώς μπορεί να παρασύρουν κάποια συσκευή ή να έρθουν σε επαφή με κάποια συσκευή και να προκληθεί ατύχημα. 5. Απαγορεύεται οι πειραματισμοί που δεν προβλέπονται από το πρόγραμμα χρησιμοποιώντας τον εξοπλισμό του εργαστηρίου. 6. Ο πάγκος εργασίας σας πρέπει να διατηρείται πάντα καθαρός. Στους πάγκους εργασίας πρέπει να υπάρχουν μόνο τα απαραίτητα για την αντίστοιχη εργαστηριακή άσκηση: όργανα, υλικά, και βιβλία. 7. Οι συσκευές και τα όργανα πρέπει να παραδίνονται καθαρά και σε καλή κατάσταση. 8. Το εργαστήριο διαθέτει συσκευή για πλύση ματιών και καταιωνιστήρα σώματος. 9. Εντοπίστε την πυροσβεστική φωλιά και το κουτί με τις πρώτες βοήθειες εντός του εργαστηριακού χώρου. 10. Μεριμνήστε για τη ασφάλεια των συναδέλφων σας που εργάζονται κοντά σας και μην πανικοβάλλεστε σε περίπτωση πυρκαγιάς ή τραυματισμού. 11. Το εργαστήριο έχει ηλεκτρική εγκατάσταση με μονωμένους διακόπτες, πρίζες στερεής κατασκευής και διακόπτη (ρελέ) διαφυγής. Οι ηλεκτρικές συσκευές που χρησιμοποιούνται είναι γειωμένες και τα καλώδια είναι μονωμένα και έχουν πιστοποίηση κατασκευής και καταλληλότητας κατά ISO. 5

12. Στα κυκλώματα των ασκήσεων του εργαστηρίου (ασκήσεις 4-8) χρησιμοποιούνται χαμηλές τάσεις. Παρόλο που ο κίνδυνος ηλεκτροπληξίας είναι σαφώς μικρός είναι απαραίτητη η προσοχή μας ιδίως στην σύνδεση οργάνων στο δίκτυο ηλεκτροδότης. Ποτέ δεν βάζουμε στη πρίζα ένα κύκλωμα πριν ο επιβλέπων το ελέγξει. 13. Σε περίπτωση ηλεκτροπληξίας θα πρέπει πρώτα να αποκόπτεται το ρεύμα από τους ασφαλειοδιακόπτες που είναι κατανεμημένοι κοντά στις παροχές (ή κατεβάζοντας το γενικό διακόπτη εργασίας). 14. Ακτινοβολίες Laser (Χρήση συσκευών παραγωγής Laser στην άσκηση 4): Απαγορεύεται να κατευθύνετε την δέσμη τους στα μάτια σας είτε στα μάτια κάποιου συνάδελφου. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε να μη συμβεί αυτό και από ισχυρή ανάκλαση της δέσμης από ιδιαίτερα στιλπνή επιφάνεια ή καθρέπτη. 15. H λυχνία (λάμπα αλογόνου), άσκηση 8, δεν πρέπει να αφήνεται αναμμένη όταν δε χρειάζεται και πρέπει να σβήνεται μετά τη χρήση του. 2.3 Διεξαγωγή πειραματικών μετρήσεων Πριν την εκτέλεση των πειραμάτων γίνεται μια συζήτηση με το βοηθό που επιβλέπει το πείραμα ή τον υπεύθυνο του εργαστηρίου με σκοπό την αποσαφήνιση αποριών-προβλημάτων σχετικά με την άσκηση. Η συζήτηση θα καλύπτει τη βασική θεωρία της άσκησης, τη μεθοδολογία και τις πειραματικές συσκευές που χρησιμοποιούνται. Είναι αυτονόητη η προετοιμασία των φοιτητών για την άσκηση και η προσέλευση όλων των μελών της ομάδας πριν την έναρξη της προφορικής εξέτασης και του πειράματος. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η μη έγκαιρη προσέλευση στο εργαστήριο σημαίνει απουσία και απόρριψη από το μάθημα. Οι μετρήσεις κατά τη διεξαγωγή των πειραμάτων πρέπει να καταγραφούν από την ομάδα. Ο επιβλέπων του πειράματος θα σημειώσει την ημερομηνία και θα υπογράψει το χαρτί με τις μετρήσεις. Το έντυπο με τις μετρήσεις θα επισυναφθεί στη γραπτή έκθεση. Αν προκύψουν προβλήματα κατά την επεξεργασία των μετρήσεων, οι αντίστοιχοι βοηθοί και ο υπεύθυνος διδάσκων είναι πρόθυμοι να βοηθήσουν. Αλλοίωση των πρωτογενών πειραματικών αποτελεσμάτων ή αντιγραφή από παλιότερες εργαστηριακές εκθέσεις θα έχει σαν συνέπεια τον ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ ολόκληρης της άσκησης. 2.4 Προετοιμασία εργαστηριακής έκθεσης Η έκθεση κάθε εργαστηριακής άσκησης γράφεται στο σπίτι σε τετράδια από κάθε φοιτητή χωριστά. Όλες οι γραφικές παραστάσεις θα σχεδιάζονται σε μιλλιμετρέ χαρτί, είτε θα τυπώνονται με χρήση υπολογιστή. Οι γραφικές παραστάσεις θα είναι επικολλημένες στο εργαστηριακό τετράδιο. Απαιτούνται 2 τετράδια με στοιχεία στο εξώφυλλο το ονοματεπώνυμο, αριθμό μητρώου και τίτλο εργαστηρίου, η έκθεση θα υποβάλλεται ατομικά από κάθε φοιτητή / φοιτήτρια και θα παραδίδεται κατά τη διεξαγωγή του επομένου εργαστηρίου. Κατά την προσέλευση των φοιτητών στην επόμενη άσκηση, πρέπει απαραιτήτως να προσκομίζεται η προηγούμενη άσκηση καθαρογραμμένη μαζί με το έντυπο των μετρήσεων που υπέγραψε ο υπεύθυνος. Η έκθεση παρέχει όλες τις λεπτομέρειες της πειραματικής δουλειάς, της ανάλυσης των δεδομένων και των αποτελεσμάτων, τα συμπεράσματα και άλλες χρήσιμες πληροφορίες. Αποτελείται από διάφορα μέρη και το καθένα έχει ξεχωριστό και εξίσου σημαντικό σκοπό. Κάθε τμήμα πρέπει να έχει τον ανάλογο τίτλο. Στη συνέχεια παρατίθενται οδηγίες για τη συγγραφή κάθε τμήματος ξεχωριστά. 6

Γενικός τίτλος Ο τίτλος της εργαστηριακής άσκησης αναγράφεται στο επάνω μέρος της σελίδας και η ημερομηνία διεξαγωγής της άσκησης στο άνω δεξί άκρο της σελίδας. Σκοπός Δώστε πολύ σύντομα (1-2 γραμμές) το σκοπό της άσκησης όπως εσείς τον καταλάβατε. Εισαγωγή Γράψτε 5-6 γραμμές ώστε να περιγράψετε ακόμα και στον ανίδεο αναγνώστη, τι ακριβώς πραγματοποιήσατε στο εργαστήριο. Περιγράψτε πως μπορεί να είναι ωφέλιμα τα αποτελέσματα του πειράματός σας και ποια μπορεί να είναι η χρήση τους στην πράξη, τόσο στην καθημερινότητά σας όσο και στην έρευνα και την παραγωγή. Η εισαγωγή πρέπει να είναι σύντομη και περιεκτική. Θεωρία Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις ερωτήσεις, οι οποίες βρίσκονται στις αντίστοιχες σημειώσεις των εργαστηριακών ασκήσεων. Πειραματική διάταξη Στο σημείο αυτό γίνεται περιγραφή όλων των συσκευών. Επιπλέον παρουσιάζεται σχηματικό διάγραμμα της συσκευής που χρησιμοποιήθηκε, το οποίο συνοδεύεται από την αντίστοιχη λεζάντα. Αν υπάρχουν παραπάνω από ένα σχήματα πρέπει να αριθμούνται με αύξουσα σειρά. Μην εκτυπώνετε σχήματα από τις οδηγίες του εργαστηρίου αλλά προσπαθήστε να σχεδιάσετε τα δικά σας. Πειραματική διαδικασία Παρουσιάζεται περιγραφή της διαδικασίας και των χειρισμών που έγιναν για να ληφθούν τα πειραματικά αποτελέσματα. Αναφέρονται οι μετρήσεις οι οποίες έγιναν και τα όργανα που χρησιμοποιήθηκαν. Ο βασικός σκοπός κατά την περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας είναι να δίνει αρκετές πληροφορίες, ώστε να μπορεί ο τυχών αναγνώστης της αναφοράς σας να επαναλάβει την πειραματική εργασία όπως ακριβώς έγινε στην αρχική μελέτη. Γενικές οδηγίες για τους πίνακες: Κάθε πίνακας πρέπει να συνοδεύεται από αριθμό και περιγραφικό τίτλο τοποθετημένους στο επάνω μέρος του. Οι μονάδες των παραμέτρων πρέπει να αναγράφονται στην πρώτη γραμμή. Η οργάνωση των πινάκων πρέπει να γίνεται με κάποια λογική σειρά. Για παράδειγμα, πίνακας οργανωμένος με αύξουσα σειρά των τιμών της μελετούμενης ανεξάρτητης μεταβλητής. Γενικές οδηγίες για τις γραφικές παραστάσεις: Κάθε γραφική παράσταση πρέπει να σχεδιάζεται ξεχωριστά, και πρέπει να έχει αριθμό και περιγραφικό τίτλο στο κάτω μέρος της. Επιλέγεται η κλίμακα έτσι ώστε το διάγραμμα να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο τετράγωνο. Γύρω από το διάγραμμα θα πρέπει να υπάρχει περιθώριο και να μην κολλάνε οι άξονες στα περιθώρια της σελίδας (σχήμα 1 και 2). Βαθμονομούνται οι άξονες. Ποτέ δεν σημειώνονται πάνω στους άξονες οι τιμές των πειραματικών μετρήσεων. Γράφονται στους άξονες τα μεγέθη που αναπαριστούν, η τάξη μεγέθους με δύναμη του 10 και σε παρένθεση οι μονάδες. Δηλαδή αν στον άξονα είναι σημειωμένο Τ 10 2 (Κ) τότε το σημείο με συντεταγμένη π.χ. 4,5 θα αντιστοιχεί σε Τ = 450 Κ. Τοποθετούμε τα πειραματικά σημεία στο διάγραμμα. Σύμβολα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι κυκλάκια, τετραγωνάκια, ρόμβοι, τρίγωνα κ.α. (και όχι απλές κουκίδες που είναι δυσδιάκριτες). Αν 7

υπάρχουν περισσότερα από ένα σύμβολα, θα πρέπει να επεξηγούνται στη λεζάντα. Χαράσουμε τις ευθείες ή τις καμπύλες του διαγράμματος οι οποίες μπορούν να έχουν διάφορες μορφές (συνεχής γραμμή, στικτή γραμμή κ.α.) Η γραφική παράσταση πρέπει να επικολληθεί στο σχετικό σημείο του τετραδίου εργαστηρίου. Όλοι οι τίτλοι που αφορούν σχήματα/γραφικές παραστάσεις πρέπει να παρέχουν ουσιαστικές πληροφορίες ως προς το σχήμα. Σχήμα 1: Απόσταση s, σαν συνάρτηση του χρόνου t. Βάρος δρομέα m 1 = 200,54 g, βάρος της δύναμης m 2 = 25 g (σειρά 1), m 2 = 15 g (σειρά 2), αντλία του αέρα στο 3. Συνολικός ύψος πτώσης της μάζας m 2, h = 1,4 m. 8

x 2, y 1 x 1, y 1 Σχήμα 2: Απόσταση s, σαν συνάρτηση του χρόνου t. Βάρος δρομέα m 1 = 200,54 g, βάρος της δύναμης m 2 = 25 g (σειρά 1), m 2 = 15 g (σειρά 2), αντλία του αέρα στο 3. Συνολικός ύψος πτώσης της μάζας m 2, h = 1,4 m. Γραμμικές εξισώσεις - κλίση Μιά γραμμική εξίσωση έχει τη γενική μορφή y = a + b x (1) όπου a και b είναι σταθερές. Η γραφική παράσταση y σε συνάρτηση με το x είναι ευθεία γραμμή (σχήμα 2). Η σταθερά b παριστάνει την τιμή του y, όπου η ευθεία γραμμή τέμνει τον άξονα y. Η σταθερά a είναι ίση με την κλίση της ευθείας γραμμής. Αν δυο τυχαία σημεία πάνω στηv ευθεία έχουν συντεταμένες (x 1, y 1 ) και (x 2, y 2 ), αντίστοιχα, όπως στο σχήμα 2, η κλίση της ευθείας θα έιναι: b = (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 ) (2) Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τα δυο σημεία (μάυρες κουκίδες) στην γραφική παράσταση s(t 2 ) του Σχήματος 2 παραπάνω, η κλίση ισούται αριθμητικά με: b = 0.75 m 0.3 m 0.93 s 2 0.38 s 2 = 0.82 m/s2 (3) Προσέξτε τις μονάδες, η κλίση σχεδόν πάντα στο εργαστήριο έχει μονάδες. Από τη θεωρία της ευθύγραμμης ομαλά επιταγχυνόμενης κίνησης, αυτή η κλίση πρέπει να ισούται με την επιτάχυνση της κίνησης. 9

Η κλίση γενικά δεν είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας (tan φ) όπως στα Μαθηματικά επειδή τα y και x είναι ποσότητες με μονάδες που σημαίνει ότι οι αποστάσεις τους στη γραφική παράσταση πολλαπλασιάζονται με διαφορετικές κλίμακες. Αποτελέσματα και ανάλυση Τα τελικά αποτελέσματα της μελέτης και οι μετρήσεις πρέπει να παρουσιάζονται σε γραφικές παραστάσεις και πίνακες, όπου αυτό είναι δυνατό. Πρέπει να γίνεται παρουσίαση των γραφικών παραστάσεων και των πινάκων που να παρατίθενται εντός του κειμένου. Να γίνεται σύγκριση των πειραματικών αποτελεσμάτων με τα βιβλιογραφικά θεωρητικά ή /και πειραματικά δεδομένα, αν αυτά είναι διαθέσιμα. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων αποτελεί το σημαντικότερο μέρος της έκθεσης. Η σημασία, η σπουδαιότητα και η ορθότητα των αποτελεσμάτων πρέπει να αναλυθεί σε βάθος. Ιδιαίτερα πρέπει να εστιάσει κανείς στη σύγκριση των αποτελεσμάτων με τη βιβλιογραφία και να ερμηνεύσει τις διαφορές όταν αυτές υπάρχουν. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στις μονάδες, οι οποίες θα αναφέρονται πάντα και ιδιαίτερα στο τελικό αποτέλεσμα. Η έλλειψη μονάδων είναι σημαντική παράλειψη. Οι αντικαταστάσεις των τιμών στις κατάλληλες εξισώσεις πρέπει να φαίνονται παντού στην έκθεση, π.χ. F = m g = 24,32 g 9,81 cm/s 2 = 238,58 dynes. Αν όμως οι υπολογισμοί αναφέρονται σε διάφορες μετρήσεις του ίδιου μεγέθους, τότε θα πρέπει να αναφέρονται υπό μορφή πίνακα. Συμπεράσματα - Υποδείξεις Διατυπώνονται με σαφήνεια τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την ανάλυση των αποτελεσμάτων. Τα συμπεράσματα πρέπει να ακολουθούν λογικά την ανάλυση των αποτελεσμάτων και να παρουσιάζονται σε ξεχωριστή παράγραφο το καθένα. Οι υποδείξεις αποτελούν το τμήμα που περιλαμβάνει ερωτήματα που δημιουργήθηκαν από την άσκηση και χρήζουν περαιτέρω διερεύνησης. Αναφέρονται υποδείξεις ή προτάσεις για τη βελτίωση της πειραματικής τεχνικής, ώστε να βελτιωθεί η ακρίβεια και η ευκολία λήψης των μετρήσεων. Σύμβολα Ορίζονται τα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν στην έκθεση και αναφέρονται οι μονάδες τους. Βιβλιογραφία Καταγράφονται σε λίστα κατά αύξουσα σειρά όλες οι βιβλιογραφικές αναφορές που χρησιμοποιήθηκαν στη συγγραφή της εργαστηριακής έκθεσης. Είναι αυτονόητο ότι εντός του κειμένου θα υπάρχουν στα σχετικά σημεία οι αριθμοί που θα αντιστοιχούν στις χρησιμοποιούμενες αναφορές. Οι αναφορές συντάσσονται στη λίστα υπό τη μορφή: Περιοδικό: J. E. Shelby and L.K. Downie, Phys. Chem. Glasses 30 (1989), p. 151. Βιβλίο: R. S. Drago, Physical Methods in Inorganic Chemistry, Reinhold Publishing Coorporation, New York, 1965. 10

Παραρτήματα Τοποθετείται όλο το υλικό που είναι πολύ λεπτομερές για να ενσωματωθεί στο κύριο σώμα της έκθεσης, αλλά αρκετά χρήσιμο ώστε να παραληφθεί. Για παράδειγμα, στο παράρτημα μπαίνουν το δελτίο των πειραματικών μετρήσεων, βαθμονόμηση συσκευής, υπολογισμοί σχετικά με την εκτίμηση της ακρίβειας των μετρήσεων κ.λ.π. 2.5 Βαθμολογία Οι φοιτητές/τριες βαθμολογούνται σε κάθε άσκηση. Στην τελική βαθμολογία του εργαστηρίου λαμβάνονται υπόψη τα ακόλουθα: Η επαρκής γνώση της θεωρίας και της πειραματικής διαδικασίας, η σωστή και προσεκτική εκτέλεση του πειράματος καθώς και η προθυμία για συνεργασία με τα υπόλοιπα μέλη της ομάδας, τον επιβλέποντα βοηθό και τον υπεύθυνο του εργαστηρίου (30% του τελικού βαθμού). Η καλογραμμένη έκθεση των πειραματικών αποτελεσμάτων, η οποία θα πρέπει να ακολουθεί τις οδηγίες που αναφέρθηκαν (30% του τελικού βαθμού). Η επαρκής γνώση της θεωρίας και της πειραματικής διαδικασίας κατά την τελική γραπτή/προφορική εξέταση (40% του τελικού βαθμού). Η βαθμολογία στην τελική εξέταση πρέπει να είναι 5 για να περάσει κανείς επιτυχώς το εργαστήριο. Αν φοιτητής/τρια δεν παραδώσει εγκαίρως την γραπτή εργασία, λαμβάνει μηδενικό βαθμό στην έκθεση. Αν φοιτητής/τρια δεν παραδώσει καμία έκθεση, επαναλαμβάνει το εργαστήριο σε επόμενο έτος. Βασική υπενθύμιση: Η θεωρία που περιέχεται σε αυτό το φυλλάδιο είναι μια μικρή περίληψη των απαραίτητων γνώσεων για την αντίστοιχη άσκηση. Περισσότερα στοιχεία για τη θεωρία που αναφέρεται σε κάθε εργαστήριο μπορούν να αναζητηθούν σε βιβλία Γενικής Φυσικής. 3 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή Η γνώση που έχουμε για το φυσικό κόσμο έχει προκύψει μέσω της διεξαγωγής πειραματικών μετρήσεων και πειραμάτων. Η επεξεργασία πειραματικών δεδομένων δεν έχει πάντα σαν σκοπό την εύρεση της αριθμητικής τιμής ενός μετρούμενου μεγέθους με απλή ή σύνθετη μέτρηση. Τις περισσότερες φορές ο σκοπός ενός πειράματος είναι η εύρεση ή επαλήθευση μιας μαθηματικής σχέσης που να συνδέει τα μετρούμενα μεγέθη. Είναι σημαντικό να ξέρει κανείς να εκφράζει αυτά τα δεδομένα (data), πως να τα αναλύει και πως να οδηγείται σε συμπεράσματα από αυτά. Κατά τη διαδικασία αυτή, είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι όλες οι μετρήσεις φυσικών μεγεθών εμπεριέχεται κάποια αβεβαιότητα (πειραματικό σφάλμα). Δεν είναι ποτέ δυνατή η μέτρηση ενός μεγέθους με 100% ακρίβεια. Είναι καλό βεβαίως το σφάλμα που επιβαρύνει τη μέτρηση να είναι όσο το δυνατό μικρότερο. Προκειμένου να οδηγηθούμε σε συμπεράσματα που ισχύουν, τα σφάλματα πρέπει να προσδιορίζονται και να αντιμετωπίζονται με σοβαρότητα. Έτσι, μια μέτρηση για να έχει νόημα θα πρέπει να συνοδεύεται από την ακριβειά της. Σε πολλές περιπτώσεις, πιο πολύ προσπάθεια απαιτείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος ή της αβεβαιότητας μιας μέτρησης παρά για τη διεξαγωγή της ίδιας της μέτρησης. Το αποτέλεσμα λοιπόν μιας πειραματικής μέτρησης αποτελείται από δύο στοιχεία: (1) Την αριθμητική τιμή (σε καθορισμένο σύστημα μονάδων) μετρημένη με τον καλύτερο δυνατό τρόπο και 11

(2) το βαθμό της αβεβαιότητας που σχετίζεται με την αριθμητική τιμή. Δηλαδή: x = x b ± δx. Για παράδειγμα, η μέτρηση του μήκους ενός αντικειμένου που παρουσιάζεται ως εξής: 95.3 ± 0.1 cm. Το αποτέλεσμα της μέτρησης δεν είναι μόνο η τιμή x b, αλλά και το σφάλμα δx. Μια πειραματική τιμή είναι εντελώς άχρηστη αν δεν είναι γνωστή η αβεβαιότητα που τη βαρύνει. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι με τον όρο «σφάλμα» (error) εννοούμε την αβεβαιότητα που βαρύνει το αποτέλεσμα μιας μέτρησης και την οποία δεν είναι δυνατό να εκμηδενίσουμε. Οι αποκλίσεις από το σωστό αποτέλεσμα που οφείλονται σε λανθασμένη ανάγνωση της ένδειξης ενός οργάνου ή σε λανθασμένες αριθμητικές πράξεις χαρακτηρίζονται με τον όρο «λάθη» (mistakes). 3.2 Σημαντικά ψηφία Το σφάλμα που βαρύνει την τιμή ενός φυσικού μεγέθους, θέτει όριο στο πλήθος των ψηφίων, με τα οποία αυτή γράφεται. Σημαντικό ψηφίο ονομάζεται εκείνο το ψηφίο, το οποίο δίνει αξιόπιστη πληροφορία σχετικά με την τιμή του φυσικού μεγέθους. Έτσι, στην περίπτωση που μετράμε κάποιο φυσικό μέγεθος με το τελευταίο ψηφίο «κατ εκτίμηση», αυτό ακριβώς το ψηφίο είναι το τελευταίο σημαντικό. Ακολουθούν μερικοί απλοί κανόνες για τον προσδιορισμό των σημαντικών ψηφίων: Κάθε ψηφίο που δεν είναι μηδέν είναι σημαντικό. Για παράδειγμα η τιμή 549 έχει τρία σημαντικά ψηφία, ενώ η τιμή 1,892 έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία. Τα μηδενικά μεταξύ μη-μηδενικών ψηφίων είναι σημαντικά ψηφία. Άρα η τιμή 4023 έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία. Τα μηδενικά του πρώτου μη-μηδενικού ψηφίου δεν είναι σημαντικά. Άρα η τιμή 0,000034 έχει μόνο δύο σημαντικά ψηφία. Αυτό είναι πιο εύκολα φανερό εάν γραφεί με τη μορφή 3,4 10 5. Για αριθμούς με δεκαδικά ψηφία, τα μηδενικά στα δεξιά του μη-μηδενικού ψηφίου είναι σημαντικά. Άρα ο αριθμός 2,00 έχει τρία σημαντικά ψηφία ενώ ο αριθμός 0,050 έχει δύο σημαντικά ψηφία. Για αυτό το λόγο, είναι σημαντικό να κρατάει κανείς στις τιμές το απαιτούμενο πλήθος μηδενικών μετά την υποδιαστολή για να δείξει τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων. Για αριθμούς χωρίς δεκαδικά ψηφία, τα μηδενικά μπορεί να είναι ή να μην είναι σημαντικά. Για παράδειγμα, ο αριθμός 400 έχει ένα σημαντικό ψηφίο, ενώ ο αριθμός 400,0 (προσέξτε την υποδιαστολή) έχει τρία σημαντικά ψηφία. Ακόμα, ο αριθμός 4 10 2 έχει ένα σημαντικό ψηφίο. Η αβεβαιότητα πρέπει να περιορίζεται σε ένα ή το πολύ δύο σημαντικά ψηφία. Πάντα πρέπει να προσδιορίζεται το σφάλμα, αφού έχει προσδιοριστεί το πλήθος των σημαντικών ψηφίων. Οι παρακάτω εκφράσεις είναι σωστές: 9,82 ± 0,02 10,0 ± 1,5 4 ± 1 Οι παρακάτω εκφράσεις είναι λάθος: 9,82 ± 0,02385 ( 9,82 ± 0,02 είναι το σωστό) 10,0 ± 2 (10,0 ± 2,0 είναι το σωστό) 4 ± 0,5 (4,0 ± 0,5 είναι το σωστό) Όταν γίνονται μαθηματικοί υπολογισμοί, πρέπει να διατηρούνται περισσότερα σημαντικά ψηφία για να περιοριστεί το σφάλμα κατά τον υπολογισμό. Τελικά όμως η απάντηση πρέπει να εκφραστεί με το σωστό αριθμό σημαντικών ψηφίων. 12

Κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση, το αποτέλεσμα είναι σημαντικό στη θέση που προσδιορίζεται από τα αρχικά νούμερα, όπως φαίνεται στο παραδείγματα: 89,332 + 1,1 = 90,432 Πρέπει να γίνει στρογγυλοποίηση στο 90,4 (το 1,1 καθορίζει τα σημαντικά ψηφία). Κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση, ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων προσδιορίζεται όπως φαίνεται στο παράδειγμα: (2,80) (4,5039) = 12,61092 Πρέπει να γίνει στρογγυλοποίηση στο 12,61 (το 2,80 καθορίζει τα σημαντικά ψηφία). 3.3 Ταξινόμηση των σφαλμάτων Απόλυτο και σχετικό σφάλμα Στο αποτέλεσμα του πειραματικού προσδιορισμού μιας ποσότητας x = x b ± δx, το σφάλμα αποτελεί μέτρο της αξιοπιστίας των μετρήσεων. Όταν η αβεβαιότητα εκφράζεται κατά τον τρόπο αυτό, ονομάζεται απόλυτο σφάλμα και έχει τις ίδιες μονάδες με το μετρούμενο μέγεθος. Η αβεβαιότητα δx, όμως αν δεν έχει θεωρηθεί σε σχέση με την τιμή x b του μετρούμενου μεγέθους, δεν δίνει το μέτρο της αξιοπιστίας. Επομένως, η ποιότητα της μέτρησης δεν εκφράζεται τόσο άμεσα από το σφάλμα δx, όσο από το λόγο δx/ x b. Η ποσότητα αυτή ονομάζεται σχετικό σφάλμα. Το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα δεν αποτελούν δύο διαφορετικά είδη σφαλμάτων, αλλά εκφράζουν την ίδια ακριβώς αβεβαιότητα με διαφορετικούς τρόπους. Συστηματικό και τυχαίο σφάλμα Συστηματικά σφάλματα ονομάζονται εκείνα τα σφάλματα, τα οποία επηρεάζουν πάντα κατά την ίδια φορά ένα πειραματικό αποτέλεσμα, δηλαδή κάνουν το αποτέλεσμα να προκύπτει ή πάντοτε μεγαλύτερο ή πάντοτε μικρότερο από την «ορθή» τιμή. Τα συστηματικά σφάλματα μπορεί να οφείλονται ή στις προσεγγιστικές σχέσεις που χρησιμοποιούμε ή στον ίδιο τον παρατηρητή. Ο χαρακτηρισμός «συστηματικό» σφάλμα αναφέρεται στο ότι κάποιο σφάλμα εκτρέπει συστηματικά προς την ίδια φορά ένα πειραματικό αποτέλεσμα και δεν αφορά την αιτία που το προκαλεί. Για να μπορέσουμε να εντοπίσουμε και να εξουδετερώσουμε τα συστηματικά σφάλματα, χρειάζεται να εξετάσουμε με μεγάλη προσοχή τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύουν οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιούμε και να ελέγχουμε τα όργανα που μεταχειριζόμαστε συγκρίνοντας τα με άλλα μεγαλύτερης ακρίβειας. Τα τυχαία σφάλματα οφείλονται σε τυχαίους παράγοντες, οι οποίοι κάνουν το αποτέλεσμα μιας μέτρησης να προκύπτει πότε μεγαλύτερο και πότε μικρότερο από την «ακριβή» τιμή. 3.4 Μέση τιμή Αν υποθέσουμε ότι ένα φυσικό μέγεθος μετράται Ν φορές, δηλαδή x 1, x 2, x 3,, x k, και εάν τα σφάλματα είναι τυχαία, τότε τα σφάλματα στα αποτελέσματα θα είναι διαφορετικά σε πρόσημο και μέγεθος. Η μέση τιμή των μετρήσεων μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση: x = x 1 + x 2 + x 3 + +x k N = N k=1 x k N (4) Μερικά από τα τυχαία σφάλματα θα αναιρεθούν μεταξύ τους. Αυτό είναι το καλύτερο που μπορεί να γίνει με τα τυχαία σφάλματα, δηλαδή να επαναληφθεί η μέτρηση πολλές φορές και να υπολογιστεί η μέση τιμή. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εκτίμηση για δεδομένο Ν θα διαφέρει από μια άλλη εκτίμηση όπου Ν. Τότε η μέση τιμή, για μεγαλύτερο Ν, θα είναι πιο κοντά στην «ακριβή» τιμή. 13

Εκτελώντας την παραπάνω διαδικασία, το αποτέλεσμα θα βαρύνεται από μικρότερο σφάλμα σε σχέση με τις επιμέρους τιμές. Αυτό βέβαια είναι δεν είναι εφικτό πάντα για διαφόρους λόγους, όπως ο περιορισμός του χρόνου λήψης μετρήσεων στο εργαστήριο. Έτσι, πρέπει να επιλεχθεί ο αριθμός των επαναλήψεων της μέτρησης με βάση τις ανάγκες του συγκεκριμένου πειράματος και της ακρίβειας που αυτό απαιτεί. Συμπερασματικά, επαναλαμβάνοντας το πείραμα είναι ο μόνος τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια σε ένα πείραμα. 3.5 Εκτίμηση του σφάλματος Το συνολικό σφάλμα (u total ) εκτιμάται ως το άθροισμα δύο συνεισφορών, του συστηματικού σφάλματος (u systematic ) και του τυχαίου σφάλματος (u random ). Αν u αναπαριστά την αβεβαιότητα σε μια μέτρηση, η οποία εκφράζεται μέσω του σφάλματος, 2 2 u total (u random + u systematic ) 1/2 (5) Τα τυχαία σφάλματα συχνά εκφράζονται με τη μορφή της τυπικής απόκλισης (standard deviation, SD) της μέσης τιμής, η οποία μπορεί να βασίζεται σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Για ένα πλήθος μετρήσεων ενός μεγέθους με την ίδια συσκευή, ισχύει: Διακύμανση = Ν i=1 (x i x ) 2 Ν(Ν 1) N, όπου x = 1 N x i i=1 (6) SD (σ) = Ν i=1 (x i x ) 2 Ν(Ν 1) = (Διακύμανση ) 1/2 (7) Μέγιστο τυχαίο σφάλμα (u random ) = 2 (8) Σημειώνεται ότι απαιτούνται πολλά πειραματικά δεδομένα για τη σωστή εφαρμογή της στατιστικής. Επιπλέον, οι στατιστικές αναλύσεις βασίζονται σε Gaussian κατανομή των μετρήσεων γύρω από τη μέση τιμή. Για μια σειρά επαναλαμβανόμενων μετρήσεων x i (της ίδιας ποσότητας) σε διαφορετικά πειραματικά συστήματα, όλα με διαφορετικές αβεβαιότητες i, μια κοινή διαδικασία είναι να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων διαιρεμένων με παράγοντες βάρους. Οι παράγοντες βάρους είναι οι αβεβαιότητες των επιμέρους μετρήσεων. Αυτό οδηγεί στην παρακάτω εξίσωση: Weighted Mean = x WM = x i σ i 2 (9) 1 σ i 2 Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται τότε από την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης κατά το συνηθισμένο τρόπο. Σημειώνεται ότι η τυπική απόκλιση θα είναι μεγαλύτερη από την υπολογιζόμενη απόκλιση, όπου έχει θεωρηθεί ότι όλα τα δεδομένα έχουν ίδια αβεβαιότητα, αλλά θα είναι μια καλύτερη αναπαράσταση των δεδομένων. 14

3.6 Μετάδοση σφάλματος Οι περισσότερες φυσικές ποσότητες δεν μετριούνται άμεσα, αλλά έμμεσα. Δηλαδή, μετρά κανείς ένα ή περισσότερα μεγέθη και κατόπιν από αυτά υπολογίζει την ποσότητα που θέλει. Είναι φανερό ότι οι άμεσα μετρούμενες ποσότητες βαρύνονται από κάποια αβεβαιότητα και αυτό συνεπάγεται την επιβάρυνση της υπολογιζόμενης ποσότητας με κάποια αβεβαιότητα επίσης. Στη συνέχεια θα αναφερθεί ο τρόπος με τον οποίο οι αβεβαιότητες των μετρουμένων μεγεθών μεταδίδονται με τους υπολογισμούς στα τελικά αποτελέσματα. Σημείωση: Όλες οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η γενική εξίσωση μετάδοσης σφάλματος είναι: y = f(x 1, x 2, ) σ 2 y ( f 2 ) σ 2 x x1 + ( f 2 ) σ 2 1 x x2 + (10) a 2 a σ 2 y ( f 2 ) σ 2 x x1 + ( f 2 ) σ 2 1 x x2 + a 2 a Όπου "a" είναι το σημείο που μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε το σφάλμα (x 1 (a), x 2 (a) ). Σημείωση: Αν το x i αναπαριστά μια παράγωγο, μπορεί το σφάλμα να είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερο από τα σφάλματα των μετρούμενων μεταβλητών που περιέχονται στην παράγωγο.αν το x i αναπαριστά ένα ολοκλήρωμα, τότε το τυχαίο σφάλμα θα είναι σημαντικά μικρότερο από αυτό που βαρύνουν τις μεταβλητές που εμπλέκονται στο ολοκλήρωμα. 3.7 Εκτίμηση παραμέτρων Ένα συνηθισμένο πρόβλημα που παρουσιάζεται αφορά τον προσδιορισμό παραμέτρων (σταθερών) μιας εξίσωσης που χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τα πειραματικά δεδομένα. Το πρόβλημα εστιάζεται στην εύρεση της καλύτερης προσαρμογής ( best fit ) της εξίσωσης στα δεδομένα. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθούν οι αποκλίσεις μεταξύ των δεδομένων και της εξίσωσης της προσαρμογής. Αφού ορισμένες αποκλίσεις είναι θετικές και άλλες είναι αρνητικές, το άθροισμα των αποκλίσεων δεν είναι δείκτης της απόδοσης της προσαρμογής (goodness of fit) λόγω των αλληλοαναιρέσεων θετικών και αρνητικών αποκλίσεων. Η ποιότητα της προσαρμογής εκφράζεται από το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων, χρησιμοποιώντας δηλαδή τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων ( method of least squares ). Το πρόβλημα έγκειται δηλαδή, στην εύρεση των σταθερών που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ των μετρούμενων τιμών και των υπολογιζόμενων τιμών. Σημείωση: Έχει υποτεθεί ότι οι εκτιμώμενες αβεβαιότητες σε όλα τα δεδομένα είναι οι ίδιες. Αν δεν είναι, τότε μια πιο πολύπλοκη προσέγγιση πρέπει να χρησιμοποιηθεί, η οποία λαμβάνει υπόψη την εκτιμώμενη αβεβαιότητα κάθε δεδομένου. Αυτό γίνεται στις μεθόδους x-τετράγωνο ( chi-square fitting procedures). 15

3.8 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για γραμμικές εξισώσεις Η γραφική μέθοδος είναι ίσως η καλύτερη μέθοδος που γνωρίζουμε για τον προσδιορισμό μιας σχέσης. Έτσι, για να βρούμε τη ζητούμενη σχέση σχεδιάζουμε την καμπύλη των μεταβλητών (π.χ. y και x). Η μαθηματική σχέση που περιγράφει την καμπύλη είναι ουσιαστικά η μαθηματική σχέση των y και x. Για την εύρεση της καλύτερης καμπύλης χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή υποθέτει ότι διαθέτουμε Ν δεδομένα δύο μεταβλητών (y και x). Αυτά είναι δυνατόν να αναπαρασταθούν σε πίνακα με Ν γραμμές των μεταβλητών y και x. Το επόμενο στάδιο είναι να γίνει μια υπόθεση για το είδος της εξίσωσης που μπορεί να προσαρμοστεί στα δεδομένα. y calc = f(x, a, b, ) γενική μορφή y calc = a + bx γραμμική y calc = a + bx + cx 2 δευτεροβάθμια y calc = ax b πολυωνυμική y calc = ae bx Εκθετική Η μορφή της εξίσωσης που επιλέγεται μπορεί να στηρίζεται στη θεωρία ή να έχει επιλεχθεί εμπειρικά σαν λογική επιλογή για προσαρμογή των δεδομένων. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων θεωρεί ότι πρέπει να προσδιοριστούν οι τιμές των σταθερών της εξίσωσης, οι οποίες ελαχιστοποιούν το άθροισμα των αποκλίσεων μεταξύ των υπολογισμένων τιμών από την εξίσωση και των πειραματικών y τιμών: (y calc y) 2 = min (11) Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει εύκολα χρησιμοποιώντας προγράμματα επεξεργασίας δεδομένων (π.χ. Excel, Origin, κ.λ.π.) Η προσέγγιση των πειραματικών δεδομένων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση της ευθείας γραμμής γίνεται με χρήση των παρακάτω τύπων: Ευθεία γραμμή: y = a + bx, όπου b = Ν i=1 (x i x )(y i y ) (x i x ) 2 Ν i=1 (12a) και a = y bx (12b) 3.9 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για μη-γραμμικές εξισώσεις Αν η σχέση μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής y και της ανεξάρτητης μεταβλητής x (ή με περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές x 1,, x k ) είναι μη-γραμμική, μπορούν να χρησιμοποιηθούν 16

λογισμικά πακέτα (π.χ. Origin, Excel, Mathcad) για να βρεθούν οι σταθερές και η τυπική απόκλιση της προσαρμογής, αλλά δεν θα δώσουν τις αβεβαιότητες των συντελεστών. Υπάρχουν κατάλληλα λογισμικά πακέτα που το κάνουν (SAS). 3.10 Βιβλιογραφία [1] Δ. Κουζούδης «Εργαστήριο Φυσικής, Μηχανική-Θερμοδυναμική-Κυματική», Γενικό τμήμα Πολυτεχνικής Σχολής, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2011 (e-class, έγγραφα) [2] Μ. Πηλακούτα «Μετρήσεις-Αβεβαιότητα Μετρήσεων, Εργαστήριο Φυσικής (http://ikaros.teipir.gr/phyche/subjects/varsamis/ergastiria/askisi_1.pdf ) [3] Taylor, John R. An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties if Physical Measurements. University Science Books, 1982. [4] P.V. Bork, H. Grote, D. Notz, M. Regler. Data Analysis Techniques in High Energy Physics Experiments. Cambridge University Press, 1993. 17