ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο Ρόδος, Σεπτέμβριος 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθημα : ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" Διδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΟΔΟΥ #1 φυλλάδιο 1 από 3 Δίνονται Ομάδες προβλημάτων ερωτήσεων και ασκήσεων, οι ακόλουθες: Ομάδα Α: Προβλήματα από 1 έως και 6 Ομάδα Β: Προβλήματα από 1 έως και 9 Ομάδα Γ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ από 1 έως και 6 Ομάδα Δ: Ασκήσεις από 1 έως και 14 Προβλήματα Ποσοστών Παρακαλούμε να απαντήσετε με προσοχή δίνοντας έμφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του μαθήματος, αλλά και σε όσα μπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραμμάτων της προτεινόμενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητές τα Προβλήματα Ποσοστών και τα προβλήματα Β και οι φοιτητές με άρτιο αριθμό μητρώου σε δεκα από τις άρτια αριθμημένες Ασκήσεις Προβληματα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας των Ομάδων Α, Γ,Δ και οι φοιτητές με περιττό αριθμό μητρώου σε δεκα από τις περιττά αριθμημένες Ασκήσεις Προβληματα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας των Ομάδων Α, Γ,Δ Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #1 (φυλλάδιο 1 από 3) θα πρέπει να παραδοθεί μέχρι και την Τετάρτη 11 Νοεμβρίου 2015 και ώρες 09.00-11.00 στο Εργαστήριο Μαθηματικών. Ρόδος, Δευτέρα 26 Οκτωβρίου 2015 Για το Εργαστήριο Μαθηματικών, Διδακτικής και Πολυμέσων Ευγένιος Αυγερινός Δήμητρα Ρεμουνδου Ελένη Χρυσαφινα 1
OMAΔΑ A ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ που λύνονται με τη λογική. 1. Ο κ. Μιχαηλίδης μοιράζεται ένα ιατρείο με τρεις κυρίες Γεωργίου, Μάνου και Ρωμανού. Καρδιολογία, Γαστρεντερολογία, Ενδοκρινολογία και Αιματολογία είναι οι ειδικότητες των τεσσάρων γιατρών. Από φήμες που άκουσα ως ασθενής στο νοσοκομείο, Καρδιολόγος, Γαστρεντερολόγος και η Δρ. Γεωργίου ήταν όλες στο σύλλογο φοιτητριών στο κολέγιο. Καρδιολόγος και Γαστρεντερολόγος κάποτε αποτελούσαν παντρεμένο ζεύγος. Αιματολόγος και Δρ. Μάνου έχουν δώσει αμοιβαία υπόσχεση γάμου. Ο κ. Μιχαηλίδης και η φίλη του κάθε εβδομάδα παίζουν χαρτιά με την γαστρεντερολόγο και τον σύζυγό της. Αν τρεις μόνο δηλώσεις είναι αληθείς τι ειδικότητα έχει κάθε γιατρός; 2. Οι Ανδρέας, Βασίλης, Γιάννης, Δημήτρης και Ελευθέριος είναι οι παίκτες σε ομάδα μπάσκετ. Δύο από αυτούς είναι αριστερόχειρες και τρεις είναι δεξιόχειρες. Δύο από αυτούς είναι ψηλότεροι από 2 μέτρα και τρεις είναι χαμηλότεροι των 2 μέτρων. Ο Ανδρέας και ο Γιάννης χρησιμοποιούν το ίδιο χέρι, ενώ ο Δημήτρης και ο Ελευθέριος χρησιμοποιούν διαφορετικά χέρια. Ο Βασίλης και ο Ελευθέριος έχουν το ίδιο ύψος, ενώ ο Γιάννης και ο Δημήτρης ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες όσο αφορά το ύψος τους. Ο παίκτης που παίζει στο κέντρο έχει ύψος μεγαλύτερο από 2 μέτρα και είναι αριστερόχειρας. Ποιος είναι αυτός; 3. Όταν ο κύριος Μοσχόπουλος μπήκε σε μια αίθουσα του γυμνασίου, βρήκε τους τρεις μεγαλύτερους ταραχοποιούς του σχολείου, το Ευτύχιο, το Χρήστο και το Στάθη να κάθονται σαν αγγελούδια στα καθίσματά τους, με πλατειά χαμόγελα στα πρόσωπά τους. Στον πίνακα ήταν ζωγραφισμένη μια καθόλου κολακευτική εικόνα του κυρίου Μοσχόπουλου. «Λοιπόν, ποιος είναι ο καλλιτέχνης;» μούγκρισε ο καθηγητής. «Δεν το έκανα εγώ» απάντησε ο Ευτύχιος, «ήμουν έξω από την τάξη όταν συνέβηκε αυτό, ο Χρήστος το έκανε». «Είμαι αθώος» διαμαρτυρήθηκε ο Χρήστος, «η εικόνα βρισκόταν ήδη στον πίνακα όταν έφθασα εγώ. Ο Ευτύχιος είπε ψέματα ότι το έκανα εγώ.» «Ένας από εμάς το έκανε» παραδέχθηκε ο Στάθης, «εγώ όμως δεν έχω καμιά σχέση με αυτό, και ο Ευτύχιος είναι επίσης αθώος.» Εάν ο καθένας από τους μαθητές έκανε δυο αληθείς δηλώσεις και μόνο μια ψευδή, τότε ποιος ήταν ο ένοχος και ποιος ήταν παρών όταν ζωγραφιζόταν η εικόνα; 4. Το φθινόπωρο, τα μέλη μιας μικρής και κλειστής ανθοκομικής λέσχης έκαναν σχέδια για τα φυτά της επόμενης σαιζόν. Μετά από πολλές συναντήσεις τα πέντε μέλη (ο κύριος Γαριφαλιάς, ο Δρ. Τριανταφυλλίδης, η κυρία Αζαλέα, η δεσποινίς Δάφνη και ο Δρ. Γεράνης) αποφάσισαν να στείλει ο κάθε ένας ένα φυτό σε έναν από τους υπόλοιπους πέντε. Τα πέντε φυτά που εστάλησαν αντιστοιχούσαν στα ονόματα των πέντε αυτών ανθρώπων. Κάθε ένας από τους πέντε παρέλαβε ακριβώς ένα φυτό. Σε καμιά περίπτωση, ούτε ο αποστολέας ούτε ο παραλήπτης είχαν το ίδιο όνομα με το φυτό. Ο Δρ. Τριανταφυλλίδης απέστειλε ένα γεράνι στη δεσποινίδα Δάφνη. Ο αποδέκτης του φυτού που απέστειλε η δεσποινίς Δάφνη, απέστειλε μια τριανταφυλλιά. Ο φίλος των λουλουδιών που είχε το ίδιο όνομα με το φυτό που έστειλε η κυρία Αζαλέα παρέλαβε μια δάφνη από αυτόν που είχε το ίδιο όνομα με το φυτό που παρέλαβε η κυρία Αζαλέα. Ποιος έστειλε τι και σε ποιον; 5. Έξι παίκτες, ο Πέτρος, ο Κώστας, ο Φίλιππος, ο Σπύρος, ο Βασίλης και ο Παναγιώτης συναγωνίζονται σε αγώνες σκάκι για μια περίοδο πέντε ημερών. Κάθε παίκτης παίζει μια φορά με κάθε έναν από τους υπόλοιπους. Τρία παιχνίδια παίζονται συγχρόνως σε κάθε μια από τις πέντε μέρες. Την πρώτη μέρα ο Κώστας νίκησε τον Πέτρο μετά από 36 κινήσεις. Τη δεύτερη μέρα ο Κώστας νίκησε και πάλι όταν ο Φίλιππος απέτυχε να συμπληρώσει 40 κινήσεις στο απαιτούμενο χρονικό όριο. Την Τρίτη μέρα έλαβε χώρα ο πιο συναρπαστικός αγώνας, όταν ο Φίλιππος δήλωσε ότι θα θέσει σε ματ τον Βασίλη σε 8 κινήσεις, πράγμα που πέτυχε. Την τέταρτη μέρα ο Πέτρος νίκησε τον Σπύρο. Ποιος αγωνίστηκε με τον Παναγιώτη την Πέμπτη μέρα; 2
OMAΔΑ Β ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ. 1. Ας υποθέσουμε ότι οι προτάσεις p: Ο Κώστας κερδίζει 8.500 δρχ. την ώρα, q: Ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, είναι και οι δυο αληθείς. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι αληθείς; α) Αν ο Κώστας κερδίζει 7.000 δρχ. την ώρα, τότε δεν κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη. β) Αν ο Κώστας κερδίζει 8.500 δρχ. την ώρα, τότε ο Τάκης κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Κώστα. γ) Αν ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, τότε ο Κώστας κερδίζει 8.500 δρχ. την ώρα. δ) Αν ο Κώστας κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Τάκη, τότε ο Κώστας κερδίζει 9.000 δρχ. την ώρα. ε) Αν ο Τάκης κερδίζει εβδομαδιαίως περισσότερα από τον Κώστα, τότε ο Κώστας κερδίζει 9.000 δρχ. την ώρα. 2. Αν p, q είναι οι προτάσεις p: Η Αλίκη πέρασε στα μαθηματικά, q: Ο Βασίλης πέρασε στα μαθηματικά, να μεταφράσετε τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους, και να δείξετε σε ποιες περιπτώσεις κάθε μια από αυτές είναι αληθής. α) Αν η Αλίκη πέρασε στα μαθηματικά, τότε πέρασε και ο Βασίλης. β) Αν ο Βασίλης πέρασε στα μαθηματικά, τότε πέρασε και η Αλίκη. γ) Η Αλίκη και ο Βασίλης πέρασαν και οι δύο στα μαθηματικά. 3. Ο Στέλιος Δαμασκηνός, ο Γιώργος Κερασάς και ο Ανδρέας Πεπονής αποφάσισαν να σχηματίσουν ένα μουσικό συγκρότημα. Τα Τρία Φρούτα Δεν διαθέτουν μόνο όλοι τους υπέροχες φωνές, αλλά κάθ ένας από αυτούς παίζει είτε κιθάρα είτε μπάντζο. Αν ο Στέλιος και ο Ανδρέας μπορούν και οι δυο να παίζουν κιθάρα, τότε μπορεί και ο Γιώργος. Αν ο Γιώργος δεν μπορεί να παίξει κιθάρα, τότε μπορεί ο Ανδρέας. Αλλά αν ο Ανδρέας μπορεί να παίζει μπάντζο, τότε ο Στέλιος δεν μπορεί. Είτε ο Στέλιος είτε ο Ανδρέας μπορεί να παίξει κιθάρα, όχι όμως και οι δύο. Μόνο ένας από τους τρεις μπορεί να παίξει και τα δύο, μπάντζο και κιθάρα. Ποιος; 4. Αν r και q είναι οι προτάσεις r: Η Αλίκη πέρασε στην ιστορία, q: Ο Κάρολος πέρασε στην ιστορία, να μεταφράσετε τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους και να δείξετε σε ποιες περιπτώσεις η κάθε μια από αυτές είναι αληθής. α) Είτε πέρασε η Αλίκη στην ιστορία είτε ο Κάρολος δεν πέρασε. β) Η Αλίκη δεν πέρασε στην ιστορία. γ) Η Αλίκη δεν πέρασε στην ιστορία εκτός αν πέρασε ο Κάρολος. 5. Αν p, q, r, και s είναι οι προτάσεις p: Τα ρόδα είναι κόκκινα, q: Οι βιολέτες είναι μπλε, r: Η ζάχαρη είναι γλυκιά, s: Εσύ είσαι γλυκιά, να μεταφράσετε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις σε λογικούς τύπους: α) Αν τα ρόδα είναι κόκκινα και οι βιολέτες μπλε, τότε η ζάχαρη είναι γλυκιά και έτσι είσαι κι εσύ. β) Είσαι γλυκιά και η ζάχαρη είναι επίσης, εκτός και αν τα ρόδα δεν είναι κόκκινα και οι βιολέτες δεν είναι μπλε. γ) Τα ρόδα είναι κόκκινα μόνο αν οι βιολέτες είναι μπλε, αλλά αν η ζάχαρη είναι γλυκιά τότε εσύ δεν είσαι γλυκιά. 6. Αν p, q, r και s είναι οι προτάσεις p: Ο ποιητής ονειρεύεται, q: Ο ποιητής αστειεύεται, r: Η Τιτάνια είναι η βασίλισσα των νεράιδων, s: Ο Oberon είναι ο βασιλιάς των νεράιδων, να μεταφράσετε κάθε έναν από τους ακόλουθους λογικούς τύπους στα ελληνικά. α) p ( r) γ) ( p r) β) ( p) ( r) δ) [ (p q)] (s r) 3
7. Τέσσερις άνδρες ρωτήθηκαν για τις ετήσιες αποδοχές τους. Τα ονόματά τους είναι Γιάννης, Μιχάλης, Λεωνίδας, και Ρένος και τα επαγγέλματά τους αρχιτέκτων, ξυλουργός, υδραυλικός και οικοδόμος (όχι αναγκαστικά στη σειρά αυτή). Κάθ ένας από αυτούς έκανε δύο δηλώσεις. Όμως οι μόνες δηλώσεις στην ορθότητα των οποίων μπορούμε να βασιστούμε, είναι οι δηλώσεις, στις οποίες ο δηλών κατονομάζει ειδικά το δικό του επάγγελμα. Άλλες δηλώσεις μπορεί, μπορεί όμως και να μην είναι αληθείς. Γιάννης: Ο υδραυλικός έχει τριπλάσιες αποδοχές από τον ξυλουργό. Ο αρχιτέκτονας κερδίζει περισσότερα από εμένα. Μιχάλης : Ο ξυλουργός κερδίζει περισσότερα από τον υδραυλικό. Ο Λεωνίδας είναι είτε οικοδόμος, είτε αρχιτέκτονας. Λεωνίδας: Εγώ κερδίζω περισσότερα από τον αρχιτέκτονα. Ο ξυλουργός κερδίζει λιγότερα από ό,τι έκαστος των άλλων. Ρένος: Ο υδραυλικός έχει διπλάσιες αποδοχές από τον ξυλουργό. Εγώ κερδίζω περισσότερα από τον οικοδόμο. Συνδυάστε κάθε πρόσωπο με το επάγγελμά του. 8. Όταν ο πρώτος αστροναύτης που επισκέφθηκε τον πλανήτη Άρη, επέστρεψε στη Γη, του ζητήθηκε να περιγράψει τους κατοίκους του κόκκινου πλανήτη. Αυτός που υπέφερε ακόμη από τις επιδράσεις του διαπλανητικού ταξιδιού, απάντησε με τον ακόλουθο ορθό, αλλά μπερδεμένο τρόπο. Δεν είναι αληθές ότι εάν οι Αρειανοί είναι πράσινοι, τότε είτε έχουν τρεις κεφαλές ειδάλλως δεν μπορούν να πετάξουν, εκτός και αν είναι επίσης αληθές ότι είναι πράσινοι τότε και μόνο τότε εάν μπορούν να πετάξουν και ότι δεν έχουν τρεις κεφαλές. Υποθέτοντας ότι όλοι οι Αρειανοί μοιάζουν και ότι φέρουν τουλάχιστον ένα από τα τρία χαρακτηριστικά που τους αποδίδονται: Έχουν οι Αρειανοί τρεις κεφαλές; Είναι πράσινοι; Μπορούν να πετάξουν; 9. Αν p και q είναι οι προτάσεις p: O Γιώργος είναι καλός παίκτης του γκολφ, q: Ο Γιώργος δεν είναι καλός παίκτης του τένις, να μεταφράσετε τους ακόλουθους λογικούς τύπους στα ελληνικά: α) p q β) p q γ) q δ) p ε) q p ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Γ 1. Τι ονομάζομε λογικό τύπο; Τι είναι προτασιακος τυπος μιας μεταβλητης ψ; Αναφέρατε σχετικά παράδειγματα. 2. Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος είναι ταυτολογία; Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος Ρ είναι αντίφαση; 3. Ποιες είναι οι σπουδαιότερες ιδιότητες της ταυτολογικής ισοδυναμίας ; 4. Πότε λέμε ότι ένας λογικός τύπος Ρ συνεπάγεται ταυτολογικά ένα άλλο λογικό τύπο Τ ; 5. Πότε λέμε ότι δύο λογικοί τύποι Ρ και Q είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι; 6. Πότε λέμε ότι ένας συλλογισμός; Ρ1, Ρ2,, Ρν Q είναι ορθός ή ισχυρός συλλογισμός; ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δ 1. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω λογικοί τύποι είναι ταυτολογίες: 1) [(p q) q ] p 2) [(p q) p ] q { (p q) p } 2. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες: 1) (p q) [ p (p q)] 2) (p q) [( p q ) q ] 3. Να αποδείξετε τις ταυτολογίες : 1) (p q) p q 2) p q p q 4
5
Ε ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΣΟΣΤΩΝ 1. Μια επιχείρηση πρόκειται ν αγοράσει ταμειακές μηχανές συνολικής αξίας 1.216.000 δρχ. Για την μεταφορά των μηχανών ο αγοραστής πληρώνει 5% επί της τιμής αγοράς, ενώ υπάρχει και υποχρεωτική ασφάλιση η οποία 0,6% της τιμής αγοράς α) Να υπολογιστεί το κόστος μεταφοράς. β) Να υπολογιστεί το κόστος ασφάλισης. γ) Να υπολογιστεί το συνολικό κόστος και να εκφραστεί ως ποσοστό της συνολικής αξίας. Τι παρατηρείτε; 2. Ο αριθμός των εργαζομένων που είναι ασφαλισμένοι στο ΙΚΑ το 1980 ήταν 1.431.000 ενώ το 1990 έγιναν 1.812.000. Τα εργατικά ατυχήματα που αναγγέλθηκαν στο ΙΚΑ το 1980 ήταν 44.950 και το 1990 μειώθηκε σε 27.846. α) Να βρείτε τα ποσοστά των ατυχημάτων σε σχέση με τον αριθμόν των εργαζομένων για τα έτη 1980 και 1990. β) Να βρείτε τους δείκτες εξέλιξης στις μεταβολές του αριθμού των εργαζομένων και του πλήθους των ατυχημάτων για τη δεκαετία αυτή. 3. Σε μια ομάδα 240 φοιτητών το 60% είναι αγόρια. Από τους 240 φοιτητές, το 40% είναι του δεύτερου έτους. Να βρεθεί ο αριθμός των αγοριών του β έτους αυτής της ομάδας στις περιπτώσεις που: α) Το 25% των φοιτητών του β έτους είναι αγόρια. β) Το 25% των αγοριών είναι φοιτητές του β έτους. 4. Το 65% των φοιτητών του α έτους είναι κορίτσια από τα οποία το 20% είναι ξανθές. Η τάξη αποτελείται σε ποσοστό 17,2% από ξανθούς. Να βρείτε το ποσοστό των ξανθών αγοριών στη τάξη αυτή; 5. Η επιφάνεια ενός αγρού έχει μετρηθεί σε m 2. Τα 2 του αγρού είναι ακαλλιέργητα. 7 Από το καλλιεργημένο μέρος στο 20% έχουν σπείρει κριθάρι, στο 75% έχουν σπείρει σιτάρι και στο υπόλοιπο που είναι 2 στρέμματα καλλιεργείται βαμβάκι. Να βρείτε την επιφάνεια του αγρού. 6. Κατά την διάρκεια μιας προσφοράς οι τιμές ενός καταστήματος έχουν μειωθεί κατά 32%. Αν η μείωση της τιμής ενός συγκεκριμένου προϊόντος είναι 2.000 ευρω να βρεθεί: α) Η αρχική του τιμή. β) Η τιμή αγοράς κατά την διάρκεια της προσφοράς. 7. Μια εταιρεία κάνει έκπτωση σε όλα τα προϊόντα της 8% επί της τιμής του καταλόγου. Αν το ύψος της έκπτωσης ενός προϊόντος είναι 1.356 δρχ. να βρεθεί η τιμή καταλόγου του προϊόντος. 8. Ένας έμπορος αγόρασε χονδρικώς εμπορεύματα και πλήρωσε συνολικά 1.200.000 δρχ. Ο Φ.Π.Α είναι 18% ενώ τα έξοδα μεταφοράς ανέρχονται σε 5% επί της καθαρής τιμής αγοράς των εμπορευμάτων. Ο έμπορος επιβαρύνεται επίσης με έξοδα πώλησης (προμήθεια πωλητών κ.λ.π.) τα οποία ανέρχονται σε 12% επί της τιμής κόστους εκτός των φόρων (τιμή κόστους = τιμή αγοράς + έξοδα μεταφοράς). Να βρείτε : α) Την καθαρή τιμή αγοράς των εμπορευμάτων. β) Το Φ.Π.Α. καθώς και το κόστος με Φ.Π.Α. των εμπορευμάτων (μη συμπεριλαμβανομένων εξόδων μεταφοράς και πώλησης). 6