ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί µε στον Σύµβουλο Καθηγητή σας το αργότερο µέχρι την ευτέρα 26 Απριλίου 2004, ώρα 3:00. Οδηγίες προς τους φοιτητές:. Μην αφαιρείτε ΚΑΜΙΑ σελίδα από την αρχική µορφή της εργασίας, ούτε την εισαγωγική. 2. Συµπληρώστε πρώτα τα στοιχεία σας στο ΕΝΤΥΠΟ Α της τελευταίας σελίδας. Για να συµπληρώστε π.χ. το όνοµα κάντε διπλό κλικ στο σκιασµένο µέρος <Όνοµα> (προσοχή, µην το σβήσετε) και στη φόρµα που θα εµφανιστεί, στη θέση του προεπιλεγµένου κειµένου, συµπληρώστε το όνοµά σας. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για κάθε σκιασµένο µέρος. 3. Τα άλλα πεδία στην σελίδα 2 ενηµερώνονται αυτόµατα. 4. Σε κάθε ερώτηµα, αµέσως µετά την εκφώνηση, γράψτε τον τίτλο Απάντηση σβήστε τη φράση και γράψτε την απάντησή σας. Μπορείτε να διαµορφώσετε το χώρο όπως επιθυµείτε, και δεν υπάρχει περιορισµός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας. 5. Αφήστε όπως είναι το πλαίσιο. Θα συµπληρωθεί από τον Σύµβουλο- Καθηγητή κατά την αξιολόγηση.

2 ΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το έντυπο αυτό που συµπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή σύµβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή µαζί µε α) αντίγραφο της διορθωµένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο µε Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του ελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωµένη εργασία και β) το φύλλο µε τα Σχόλια. Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση µεγαλύτερη των 7 ηµερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σηµείωµα του Συντονιστή της Θ.Ε. Ονοµατεπώνυµο Φοιτητή <Όνοµα> <Επώνυµο> Προσωπικός Αριθµός Φοιτητή <ΑΜ> Ηµεροµηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή Ηµεροµηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή Βαθµολογία 0 Υπογραφή Καθηγητή Ονοµατεπώνυµο Καθηγητή Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Θεµατική Ενότητα ιακριτα Μαθηµατικα και Μαθηµατικη Λογική Κωδικός Θεµατικής Ενότητας ΠΛΗ 20 Άυξων Αριθµός Γραπτής Εργασίας 5η Ακαδηµαϊκό έτος

3 Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ Ερώτηµα Μέγιστος βαθµός Βαθµός Συνολικός Βαθµός: 00 0 Γενικά Σχόλια: <γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύµβουλο-Καθηγητή>

4 Ερώτηµα. Ε ρ ω τ ή µ α τ α Εξηγήστε αν είναι προτασιακοί τύποι ή όχι οι εκφράσεις α) (( )) ( β) ( ( 2 2 ( )) 2 γ) ((( )) ) ( ( ))) δ) ( )) ( ) 2 3 ε) (( 2 ) 3) Σε περίπτωση που είναι να κάνετε το αντίστοιχο δεντροδιάγραµµα και να γράψετε τον τύπο χωρίς τις περιττές παρενθέσεις (σύµφωνα µε τους κανόνες της σελίδας 2 του βιβλίου). Ερώτηµα 2. Εξετάστε αν ο καθένας από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους είναι ταυτολογία, αντίφαση ή τίποτα από τα δύο. α) ) ( 2 β) ( ) γ) ( ( ( ) ) 2 ) 3 2 Η εξέταση να γίνει µε δύο τρόπους: πρώτα µε πίνακες αλήθειας και κατόπιν µε το σκεπτικό των παραδειγµάτων της σελίδας 30 του βιβλίου. <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ]

5 Ερώτηµα 3. Εξετάστε αν είναι ικανοποιήσιµα τα σύνολα α) {(, ( ), } 2 ) β) {, }, 2 2 γ) { + : i } (δηλ. το {,, }) i i N 0, Κ Η εξέταση να γίνει µε πίνακα αλήθειας (όπου είναι δυνατόν) αλλά και χωρίς πίνακα αλήθειας, αναλύοντας τους τύπους (δείτε την άσκηση αυτοαξιολόγησης 2.4). <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 2

6 Ερώτηµα 4. ίνονται οι προτασιακοί τύποι ( 2 ) ( ( 3 2 ) ) ( 2 ) Να βρεθούν ταυτολογικά ισοδύναµοι προτασιακοί τύποι σε Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Κ Μ) α) µε χρήση πίνακα αλήθειας β) µε εφαρµογή των νόµων της σελίδας 3 του βιβλίου. 2 Ερώτηµα 5. α) Να δείξετε ότι { 2, 2 3} = 3 β) Εξετάστε αν κάποιος από τους παρακάτω προτασιακούς τύπους συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλον q και q Εάν τα σύµβολα και σηµαίνουν «συνεπαγωγή» και «ισοδυναµία» αντίστοιχα ερµηνεύστε το αποτέλεσµα. γ) Εξετάστε αν { 2, 2 } = <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 3

7 Ερώτηµα 6. Να δείξετε ότι α) το σύνολο {, } είναι πλήρες. β) το σύνολο { } δεν είναι πλήρες <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 4

8 Ερώτηµα 7. Έστω G T ( Γ ) Τ( ) η συνάρτηση που ορίζεται επαγωγικά στο σύνολο : 0 Γ0 των προτασιακών τύπων ως εξής G( ) = και G ( φ) = G( φ) G( φ ψ ) = ( G( φ)) ( G( ψ )) για οποιονδήποτε διµελή σύνδεσµο m το πλήθος των εµφανίσεων προτασιακών µεταβλητών στον φ (µαζί µε φ τις επαναλήψεις). α) Αν φ = ) ( ( ) ), να υπολογιστεί ο προτασιακός τύπος G(φ ) ( και ο αριθµός mφ. β) Να δείξετε µε επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων ότι ο προτασιακός τύπος G(φ ) και ισχύει m G 2 δεν περιέχει κανένα σύµβολο άρνησης ( φ ) = mφ (δηλ στον (φ ) προτασιακές µεταβλητές από όσες στον φ ). G εµφανίζονται διπλάσιες <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 5

9 Ερώτηµα 8. α) Με βάση τα αξιωµατικά σχήµατα ΑΣ-ΑΣ2-ΑΣ3 (σελ 44 του βιβλίου) πείτε αν προκύπτει άµεσα (εξηγήστε γιατί) ως θεώρηµα καθένα από τα παρακάτω: φ φ από το ΑΣ χ ( χ χ) από το ΑΣ φ ( ψ χ) από το ΑΣ ( φ ψ ) (( φ ψ ) φ) από το ΑΣ3 β) Με βάση το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής (σελ του βιβλίου) πείτε αν ισχύει καθεµία από τις 4 παρακάτω δηλώσεις: Αν T { φ} ψ τότε T { ψ } φ Αν T { φ } ( ψ ) τότε T { ψ } φ Αν φ ψ τότε ψ φ Αν φ ψ τότε ψ ( φ) <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 6

10 Ερώτηµα 9. Να δείξετε µε τυπικές αποδείξεις ότι α) ( φ φ) φ β) { φ ( χ ψ ), φ χ} φ ψ Επίσης, πως µπορείτε να συµπεράνετε το α) αν δοθεί ότι φ φ = φ ; Ερώτηµα 0. Ένας προτασιακός τύπος φ µοιάζει µε ηλεκτρικό κύκλωµα όπου οι προτασιακές του µεταβλητές είναι είτε κλειστός («περνάει ρεύµα»= αλήθεια) είτε ανοιχτός («δεν περνάει ρεύµα»=ψεύδος). i είναι διακόπτες. Κάθε διακόπτης µπορεί να Έτσι οι προτασιακοί τύποι στοιχειώδη κυκλώµατα q και q αναπαριστούν αντίστοιχα τα q q <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 7

11 α) Ποιοι προτασιακοί τύποι αντιστοιχούν στα κυκλώµατα q q r q q Αφού απλοποιήσετε τον δεύτερο προτασιακό τύπο να δείξετε ότι το αντίστοιχο κύκλωµα µπορεί να αντικατασταθεί από έναν µόνο διακόπτη. β) Κατασκευάστε τα κυκλώµατα των προτασιακών τύπων ( q) r, ( q) ( q ) <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 8

12 ΕΝΤΥΠΟ Α ΣΥΝΟ ΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Το έντυπο αυτό το συµπληρώνετε και το στέλνετε µαζί µε τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή Σύµβουλο. Θυµηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας. < Συµπληρώστε τα στοιχεία σας µέσα στα σκιασµένα µέρη > Συµπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια) Στοιχεία Φοιτητή (-τριας) Όνοµα: <Όνοµα> Επώνυµο: <Επώνυµο> Αριθµός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ> ιεύθυνση Επικοινωνίας: Οδός / Αριθµός: Περιοχή: Πόλη: Ταχ. Κώδικας: Νοµός: Τηλέφωνο: Fax: ΣΧΟΛΗ Πληροφορικής ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική (ΠΛΗ20) ΚΩ ΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 5η Ακαδηµαϊκό έτος: Ηµεροµηνία Αποστολής: <Όνοµα> <Επώνυµο>, 5η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 9