HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Transcript

1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb

2 Προτασιακός λογισμός, προηγούμενη φορά Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προτασιακό λογισμό για να αποδείξουμε την αλήθεια συγκεκριμένων συλλογισμών. Πχ: Από τις υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα Δεν έχουμε ατυχήματα μπορώ να οδηγηθώ στο συμπέρασμα: Δεν έχει κρύο Πως; 15-Feb

3 Προτασιακός λογισμός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουμε ατυχήματα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα Χ Α Δεν έχουμε ατυχήματα Α Το συμπέρασμα: Δεν έχει κρύο K 15-Feb

4 Προτασιακός λογισμός Με αυτά τα δεδομένα, αρκεί να δείξουμε ότι στον προτασιακό λογισμό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ αποτελεί ταυτολογία! ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 15-Feb

5 Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 15-Feb

6 Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb

7 Απόδειξη με άλλο τρόπο Αλλιώς 1. Δεν έχουμε ατυχήματα ( Α) 2. Εάν χιονίζει έχουμε ατυχήματα (Χ Α) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουμε ατυχήματα δεν χιονίζει ( Α Χ) (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει ( Χ) 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (Κ Χ) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο ( Χ Κ) (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Δεν έχει κρύο ( Κ) [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb

8 Πιο συνοπτικά Αλλιώς 1. Δεν έχουμε ατυχήματα (δεδομένο) 2. Εάν χιονίζει έχουμε ατυχήματα (δεδομένο) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουμε ατυχήματα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδομένο) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Δεν έχει κρύο [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb

9 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Όμως, άλλα λογικά συμπεράσματα δεν μπορούν να αποδειχτούν με τον προτασιακό λογισμό Όλοι θαυμάζουν την Μαρία Επομένως: Κάποιος θαυμάζει την Μαρία Όλοι θαυμάζουν κάποιον Για τέτοιου είδους συμπεράσματα, χρειαζόμαστε ένα λογικό οικοδόμημα με μεγαλύτερη εκφραστικότητα Ανάγκη χειρισμού των όρων «κάποιος» και «καθένας» 15-Feb

10 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Αποτελεί έναν από τους πιο πολύ χρησιμοποιούμενους τυπικούς συμβολισμούς για να γράφουμε ορισμούς, αξιώματα, και θεωρήματα. 15-Feb

11 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Η βάση πολλών συστημάτων τεχνητής νοημοσύνης... Προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού υποστηρίζονται από μερικές από τις πιό πολύπλοκες μηχανές αναζήτησης σε βάσεις δεδομένων, παγκόσμιο ιστό, κλπ Υπάρχουν βέβαια και περιορισμοί σχετιζόμενοι με τη χρήση κατηγορηματικού λογισμού, που θα τα δούμε αργότερα 15-Feb

12 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Ο κατηγορηματικός λογισμός είναι μία επέκταση του προτασιακού λογισμού που επιτρέπει ποσοτικοποίηση σε κλάσεις οντοτήτων. Στον προτασιακό λογισμό (θυμηθείτε) κάθε ατομική πρόταση αποτελεί μία ατομική οντότητα. Σε αντίθεση, ο κατηγορηματικός λογισμός διαφοροποιεί το υποκείμενο μιας πρότασης από το κατηγόρημα. 15-Feb

13 Topic #3 Predicate Logic Λίγη γραμματική Στην πρόταση: Ο Κώστας είναι στεναχωρημένος : ο Κώστας αποτελεί το υποκείμενο της πρότασης αυτόν για τον οποίο γίνεται λόγος στην πρόταση. Το στεναχωρημένος αποτελεί το κατηγόρημα μία ιδιότητα που χαρακτηρίζει το υποκείμενο. Ο κατηγορηματικός λογισμός στηρίζεται σε αυτή τη διάκριση. 15-Feb

14 Topic #3 Predicate Logic Συμβολισμοί στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Θα χρησιμοποιήσουμε διάφορους τύπους σταθερών που συμβολίζουν αντικείμενα: a,b,c, Μεταβλητές πάνω σε αντικείμενα: x, y, z, Το αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός κατηγορήματος P πάνω σε μία σταθερά a είναι η πρόταση P(a) ΕΝΝΟΙΑ: Το αντικείμενο που συμβολίζεται με a έχει την ιδιότητα που συμβολίζεται με P. 15-Feb

15 Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κατηγορήματος P σε μία σταθερά a είναι η πρόταση P(a). Π.χ., εάν P = είναι άρτιος αριθμός, και a=7 τότε το P(a), δηλαδή το P(7) είναι η πρόταση Το 7 είναι άρτιος αριθμός. 15-Feb

16 Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κατηγορήματος P σε μία μεταβλητή x είναι η προτασιακή μορφή P(x). Π.χ., εάν P = είναι πρώτος αριθμός, και x μία μεταβλητή, τότε το P(x) είναι η προτασιακή μορφή ο x είναι πρώτος αριθμός. Γιατί δεν είναι πρόταση; Γιατί χωρίς να ξέρουμε τίποτε για το x, δεν μπορούμε να απαντήσουμε το αν είναι αληθής ή ψευδής 15-Feb

17 Topic #3 Predicate Logic Πεδίο ορισμού Είναι η προτασιακή μορφή πρόταση; Όχι! Δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το κατά πόσο είναι αληθής ή όχι! χρειάζεται ένας προσδιορισμός/οριοθέτηση των τιμών των μεταβλητών! Η συλλογή τιμών τις οποίες μία μεταβλητή x μπορεί να πάρει λέγεται πεδίο ορισμού της x. 15-Feb

18 Topic #3 Predicate Logic Παράδειγμα Εστω η προτασιακή μορφή P(x)= 2x x. Δεν είναι πρόταση γιατί αν δεν ξέρουμε τίποτε για το x, δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την αλήθεια της. Πχ, αν το x είναι φυσικός αριθμός τότε η P(x) γίνεται πρόταση και είναι αληθής Αν το x είναι ακέραιος, τότε η η P(x) πάλι γίνεται πρόταση και είναι ψευδής 15-Feb

19 Πίσω στον προτασιακό λογισμό Στον προτασιακό λογισμό, μπορούμε να πούμε αν μία σύνθετη πρόταση είναι αληθής, αν γνωρίζουμε τις τιμές αληθείας των επιμέρους ατομικών προτάσεων Π.χ., η p q είναι F εάν ξέρουμε ότι p=t, q=f 15-Feb

20 Κατηγορηματικός λογισμός Στον κατηγορηματικό λογισμό, λέμε ότι μία πρόταση είναι αληθής ή ψευδής σε σχέση με ένα μοντέλο Μοντέλο = 1. Απόδoση του νοήματος του κατηγορήματος 2. Περιγραφή των αντικειμένων (= προσδιορισμός του πεδίου ορισμού των μεταβλητών) για τα οποία ισχύει το κατηγόρημα 15-Feb

21 Topic #3 Predicate Logic Module #1 - Logic Κατηγορήματα με n ορίσματα Ο κατηγορηματικός λογισμός γενικεύει την έννοια του κατηγορήματος ώστε αυτή να συμπεριλαμβάνει προτασιακές μορφές οποιουδήποτε πλήθους ορισμάτων χρησιμοποιώντας μεταβλητές Έστω προτασιακή μορφή R(x, y)= ο x θαυμάζει τον y τότε αν x= Νίκος, y = Κώστας, R(Νίκος, Κώστας) = Ο Νίκος θαυμάζει τον Κώστα Έστω προτασιακή μορφή P(x, y, z) = Ο x έβαλε στον y το βαθμό z τότε αν x= Αργυρός, y = Νίκος, z= 10, P(Αργυρός, Νίκος, 10) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθμό Feb

22 Topic #3 Predicate Logic Κατηγορήματα με n ορίσματα Τι νόημα έχει το P(Αργυρός, Νίκος, z); Είναι προτασιακή μορφή, όχι πρόταση! P(Αργυρός, Νίκος, z) = Q(z) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθμό z 15-Feb

23 Topic #3 Predicate Logic Ποσοδείκτες Οι ποσοδείκτες παρέχουν ένα συμβολισμό που μας δίνει τη δυνατότητα να ποσοτικοποιήσουμε (μετρήσουμε) πόσα αντικείμενα στο πεδίο ορισμού ικανοποιούν ένα συγκεκριμένο κατηγόρημα. : καθολικός ποσοδείκτης (FOR LL). : υπαρξιακός ποσοδείκτης ( XISTS). Για παράδειγμα, οι x P(x) και x P(x) αποτελούν προτάσεις 15-Feb

24 Η έννοια των ποσοτικοποιημένων εκφράσεων Πρώτα, άτυπα: x P(x) σημαίνει ότι για κάθε x στο π.ο. της x, η P ισχύει. x P(x) σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x στο π.ο. της x (δηλ. ένα ή και περισσότερα) για το οποίο η P(x) ισχύει. 15-Feb

25 Topic #3 Predicate Logic Παράδειγμα: Πως μπορούμε να πούμε με βάση τον κατηγορηματικό λογισμό ότι Όλοι θαυμάζουν την Μαρία ; Έστω A το σύνολο των ανθρώπων Έστω x, y μεταβλητές με π.ο. το σύνολο Α Έστω προτασιακή μορφή Θ(x, y) = o/η x θαυμάζει τον/την y Έστω a = Μαρία (στοιχείο του Α) Τότε η πρότασή μας γράφεται: x Θ(x, a) 15-Feb

26 Θυμηθείτε Στον προτασιακό λογισμό, μπορούμε να φτιάξουμε εκφράσεις πεπερασμένου μεγέθους. Π.χ., μπορούμε να γράψουμε P(a) P(b) P(a) P(b) P(c) P(a) P(b) P(c) P(d), κλπ. Αλλά με αυτόν τον τρόπο, δεν μπορούμε ποτέ να περιγράψουμε μία ιδιότητα P για π.χ. όλους τους φυσικούς αριθμούς Στον κατηγορηματικό λογισμό, μπορούμε να το κάνουμε αυτό με πολύ απλό τρόπο: xp(x) όπου η μεταβλητή x έχει πεδίο ορισμού το Ν 15-Feb

27 Topic #3 Predicate Logic Πάλι για το πεδίο ορισμού Όπως είπαμε, ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού των μεταβλητών έχει ουσιώδη σημασία! Π.χ., έστω η προτασιακή μορφή P(x)= 2x x. Η πρόταση x P(x) είναι αληθής όταν το πεδίο ορισμού της x είναι το N Η πρόταση x P(x) είναι ψευδής όταν το πεδίο ορισμού της x είναι το Z 15-Feb

28 Παράδειγμα: Έστω ότι το π.ο. της μεταβλητής x είναι οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σημαίνει η x είναι κατειλλημένη Τότε η καθολική ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση: Για κάθε θέση παρκαρίσματος στο Π.Κ., ισχύει ότι είναι κατειλημμένη. ή αλλιώς, Όλες οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλλημένες 15-Feb

29 Παράδειγμα: Έστω ότι το π.ο. της μεταβλητής x είναι οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σημαίνει η x είναι κατειλλημένη Τότε, η υπαρξιακή ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση που μας λέει ότι: Υπάρχει θέση παρκαρίσματος στο ΠΚ που είναι κατειλημμένη. Τουλάχιστον μία θέση παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλημμένη. Κάποια(ες) θέση(εις) παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλλημένη(ες). 15-Feb

30 Ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές Πριν προχωρήσουμε, πρέπει να διακρίνουμε δύο είδη μεταβλητών, τις ελεύθερες και τις δεσμευμένες 15-Feb

31 Ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές Μία προτασιακή μορφή όπως η P(x) λέγεται ότι έχει μία ελεύθερη μεταβλητή x. Ένας ποσοδείκτης (είτε το είτε το ) λειτουργεί σε μία έκφραση που έχει μία ή περισσότερες ελεύθερες μεταβλητές, και δεσμεύει μία ή περισσότερες από αυτές τις μεταβλητές, για να παράξει μία ή περισσότερες δεσμευμένες μεταβλητές. 15-Feb

32 Παράδειγμα δέσμευσης (binding) H P(x,y) έχει 2 ελεύθερες μεταβλητές, τις x και y. x P(x,y) έχει 1 ελεύθερη μεταβλητή και μία δεσμευμένη μεταβλητή. [Ποιά είναι ποιά;] Μία προτασιακή μορφή με καμία ελεύθερη μεταβλητή αποτελεί μία πρόταση. Μία προτασιακή μορφή με μία ή περισσότερες ελεύθερες μεταβλητές είναι παρόμοια με ένα κατηγόρημα: π.χ. έστω Q(y) = x Θαυμάζει(x, y) 15-Feb

33 Εμφανίσεις μεταβλητών που δεν είναι ελεύθερες, είναι δεσμευμένες. Ας ελέγξουμε τι καταλάβαμε: Ποιές μεταβλητές (αν υπάρχουν) είναι ελεύθερες στις παρακάτω εκφράσεις; 1. x P(x) 2. x P(x) 3. yq(x) 4. xp(b) (η b είναι σταθερά) 5. x( y R(x,y)) ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ H x ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ 15-Feb

34 Ελεύθερες μεταβλητές, τυπικός ορισμός Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην ( τελεστής ) είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην συν τις εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών της Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην x είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην εκτός από όλες/κάθε εμφάνιση της x. Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην x είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην εκτός από όλες/κάθε εμφάνιση της x. 15-Feb

35 Ένας πιό τυπικός ορισμός της αλήθειας ποσοτικοποιημένων εκφράσεων Συμβολισμός: (x:=a) είναι το αποτέλεσμα της αντικατάστασης όλων των ελεύθερων εμφανίσεων της μεταβλητής x στην, με τη σταθερά a 15-Feb

36 Παράδειγμα Ας δούμε τι σημαίνει (x:=a), εάν = 1. P(x) 2. R(x, y) 3. P(b) 4. x P(x) 5. y Q(x) P(a) R(a, y) P(b) x P(x) y Q(a) 15-Feb

37 Ένας πιο ακριβής ορισμός... Έστω =P(x) μία προτασιακή μορφή με τη x ορισμένη στο D. Τότε η x είναι αληθής στo D εάν τουλάχιστον μία έκφραση (x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η x είναι ψευδής. Δηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D αν τουλάχιστον μία πρόταση της μορφής P(a) για κάποιο a στο D είναι αληθής, και ψευδής αλλιώς. 15-Feb

38 Όμοια για το Έστω =P(x) μία προτασιακή μορφή με τη x ορισμένη στο D. Τότε η x είναι αληθής στo D εάν κάθε έκφραση (x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η x είναι ψευδής. Δηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D άν όλες οι προτάσεις της μορφής P(a) για όλα τα a στο D είναι αληθείς, και ψευδής αλλιώς. 15-Feb

39 Topic #3 Predicate Logic Τι συμβαίνει όταν το π.ο. είναι το κενό σύνολο (δεν έχει στοιχεία); Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει σύμβαση που καθορίζει τη σημασιολογία των προτάσεων. Όσοι ενδιαφέρονται, ας κοιτάξουν το Πιο συγκεκριμένα: Κάθε πρόταση της μορφής x Φ είναι ψευδής. Κάθε πρόταση της μορφής x Φ είναι αληθής. Ο κατηγορηματικός λογισμός στον οποίο επιτρέπονται κενά π.ο. χωρίς κανένα αντικείμενο ονομάζεται «Ελεύθερη Λογική» (Free Logic): Γενικά, υποθέτουμε ότι τα πεδία ορισμού των μεταβλητών δεν είναι κενά. 15-Feb (c) , Michael

40 Ένα παράδειγμα... Έστω η πρόταση P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω M το σύνολο των μαθημάτων που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; 15-Feb

41 Ακόμα ένα παράδειγμα... P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω M το σύνολο των μαθημάτων που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 15-Feb

42 Πως μπορούμε να χειριστούμε την ίδια περίπτωση χωρίς να εμπλέξουμε κενό πεδίo ορισμού; P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω Σ το σύνολο όλων των μαθημάτων (μη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 15-Feb