ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΒΑΡΗΣ ΡΑΒΔΟΥΣ Κυκλικός δίσκος ακτίνας R και μάζας m, περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 0 (η τριβή στον άξονα περιστροφής θεωρείται αμελητέα). Προκειμένου να επιβραδύνουμε το κυκλικό δίσκο, χρησιμοποιούμε αβαρής ράβδους μήκους l, όπου στο άκρο της καθεμίας, τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται δύναμη F. Οι δυνάμεις αυτές ασκούνται μέσω δύο όμοιων ελατηρίων, σταθεράς k και φυσικού μήκους l 0, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (τα ελατήρια έχουν την ίδια συσπείρωση x). F F Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ ράβδου (ρ 1 ) και κυκλικού δίσκου είναι μ 1, ενώ μεταξύ ράβδου (ρ 2 ) και δίσκου είναι μ 2, με μ 1 >μ 2, και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στο άκρο Β της ράβδου (ρ 2 ) είναι Ν y, να υπολογιστούν: α) η συσπείρωση x των ελατήριων και οι κάθετες αντιδράσεις που δέχονται οι ράβδοι από τον κυκλικό δίσκο, στα σημεία Κ και Μ. Επίσης να δείξετε Τ 1 (2d)>Τ 2 (3Rσυνφ). β) η γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) του κυκλικού δίσκου. γ) η χρονική στιγμή, κατά την οποία ο κυκλικός δίσκος σταματάει να κινείται. δ) ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος, μέχρι να μηδενιστεί η γωνιακή του ταχύτητα. ε) το έργο των ροπών των δυνάμεων που επιβραδύνουν το δίσκο, μέχρι να σταματήσει να κινείται. στ) το πόσο της θερμικής ενέργειας που εκλύεται, όταν ο δίσκος
έχει εκτελέσει n 1 περιστροφές. ζ) ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου, κατά τη χρονική στιγμή που ω=ω 0 /4. η) ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου. θ) η συνολική στιγμιαία ισχύς των ροπών των δυνάμεων που επιβραδύνουν το κυκλικό δίσκο, τη χρονική στιγμή κατά την οποία γίνεται ω=ω 0 /3. ι) η μέση συνολική ισχύς των ροπών των δυνάμεων που επιβραδύνουν το κυκλικό δίσκο. κ) το ρυθμό με τον οποίο πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο δίσκο, ώστε η ταχύτητα του να παραμένει αμετάβλητη. Δίνεται I C =(1/2)mR 2, α=d/3 Απάντηση: 1T1NT22NFFNNyT 1FN 1 2T 2NF y
Ερώτημα α): Ράβδος (ρ 1 ) Η ράβδος (ρ 1 ), στο σημείο Κ, δέχεται τη δύναμη Ν 1 από τον κυκλικό δίσκο και την Τριβή Τ 1. Όμως η ράβδος (ρ 1 ) ισορροπεί άρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων, ως προς το Α θα είναι μηδέν, δηλαδή: Σχόλιο! N A είναι η δύναμη που ασκεί η άρθρωση, στο άκρο Α της ράβδου (ρ 1 ). Ράβδος (ρ 2 ) Η τριβή Τ 1 θα είναι: Η ράβδος (ρ 2 ), στο σημείο M, δέχεται τη δύναμη Ν 2 από τον κυκλικό δίσκο και την Τριβή Τ 2. Όμως η ράβδος (ρ 2 ) ισορροπεί άρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων, ως προς το B θα είναι μηδέν, δηλαδή: Σχόλιο! N Β είναι η δύναμη που ασκεί η άρθρωση, στο άκρο Β της ράβδου (ρ 2 ). Η τριβή Τ 2 θα είναι: Επιπλέον λόγω της ισορροπίας θα ισχύει και ΣF=0 ύ ί ί
Κυκλικός Δίσκος Ο κυκλικός δίσκος στο σημείο Κ, δέχεται την αντίδραση Ν 1 από την ράβδο, η οποία είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την Ν 1 λόγω «δράσηςαντίδρασης». Επιπλέον ο δίσκος δέχεται την τριβή Τ 1, η οποία πάλι λόγω «δράση-αντίδρασης» είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την τριβή Τ 1. Με βάση τη προηγούμενη ανάλυση στο σημείο Μ, η αντίδραση Ν 2 θα είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την Ν 2, ενώ η Τ 2 θα είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη με την Τ 2. Τελικά:,,,, Από την διαίρεση των σχέσεων (8) και (9) θα έχουμε: 1 Ερώτημα β): Για το κυκλικό δίσκο, από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, θα έχουμε:., ά,,,, Σχόλιο! N άξονα είναι η δύναμη που ασκεί ο άξονας περιστροφής στον δίσκο.
ά......,... έ Ερώτημα γ): Η κίνηση που εκτελεί ο δίσκος είναι ομαλά επιβραδυνόμενη, αφού α γων. =σταθ.. Οπότε η κίνηση του δίσκου θα περιγράφεται από τις εξής σχέσεις (αρχικά ο κύλινδρος κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω=ω 0 ) :.. Έστω ότι η ταχύτητα του δίσκου, μηδενίζεται (ω=0) τη χρονική t ολ.. Τότε από την σχέση (11) προκύπτει:,...... Ερώτημα δ): Ο αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος, μέχρι να μηδενιστεί η γωνιακή του ταχύτητα, προσδιορίζεται ως εξής: Σε 1 περιστροφή ο κύλινδρος διαγράφει γωνία 2π Σε n περιστροφές ο κύλινδρος διαγράφει γωνία Δθ ολ.
.. Στην σχέση (12), εάν θέσουμε Δθ=Δθ ολ. και t=t ολ., προσδιορίζουμε τη συνολική γωνία Δθ ολ. που διαγράφει ο δίσκος, μέχρι να σταματήσει. Άρα:....,.............. Από τις σχέσεις (14) και (15), προσδιορίζουμε τον αριθμο n των περιστροφών: Παρατήρηση! Η συνολική γωνία Δθ ολ., μπορεί να υπολογιστεί και μέσω του Θεωρήματος Έργου Ενέργειας. Δηλαδή:..... Κατά την περιστροφή του δίσκου μόνο οι ροπές των τριβών Τ 1 και Τ 2, παρουσιάζουν (καταναλώνουν ενέργεια) έργο. Άρα:......... Ερώτημα ε): Οι δυνάμεις που προκαλούν την επιβράδυνση του δίσκου είναι οι τριβές Τ 1 και Τ 2, οι οποίες αντιτίθενται στη κινησή του. Το έργο της ροπής της κάθε τριβής είναι:..,,..
Ερώτημα στ): Το πόσο της παραγόμενης θερμότητας Q, σε κάθε χρονική στιγμή, είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του συνολικού έργου των ροπών των τριβών, μέχρι εκείνη τη στιγμή. Οπότε ζητάμε το ποσό θερμότητας Q 1 πού αναπτύχθηκε, ως την χρονική στιγμή κατά την οποία n(αριθμός περιστροφών) = n 1. Σε 1 περιστροφή ο κύλινδρος διαγράφει γωνία 2π Σε n 1 περιστροφές ο κύλινδρος διαγράφει γωνία Δθ 1,, Ερώτημα ζ): Ρυθμός μεταβολής στροφικής κινητικής ενέργειας:..,.
. Παρατήρηση! Το μείον (-) δηλώνει, ότι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου ελαττώνεται, γεγονός το οποίο είναι προφανές, αφού η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου συνεχώς μειώνεται. Ερώτημα η): Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου:.. Παρατήρηση! Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής θα μπορούσε να υπολογιστεί και ως εξής (με το τρόπο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε και τον ολικό χρόνο κίνησης):.. Ερώτημα θ): Η συνολική στιγμιαία ισχύς των ροπών των τριβών, που επιβραδύνουν το δίσκο, κατά τη χρονική στιγμή που ω=ω 0 /2 είναι:,,.. Σχόλιο! Η συνολική στιγμιαία ισχύς των ροπών των τριβών, που επιβραδύνουν το δίσκο είναι ίση με το ρυθμό μείωσης της κινητικής ενέργειας σε κάθε χρονική στιγμή. Ερώτημα ι): Η συνολική μέση ισχύς των ροπών των τριβών θα είναι:
..,..,.................., Σχόλιο! Η στιγμιαία ισχύς μέση ισχύ (σχέσεις (23) & (24), η στιγμιαία ισχύς δεν είναι σταθερή). Ερώτημα ι): Ρυθμός με τον οποίο πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο δίσκο, ώστε η ταχύτητα του να παραμένει αμετάβλητη. Για να παραμένει η ταχύτητα του δίσκου αμετάβλητη, πρέπει να εφαρμόσουμε μια δύναμη, της οποία η ροπή ( να αντιτίθεται στην συνιστάμενη ροπή των τριβών, η οποία επιβραδύνει το δίσκο. Δηλαδή πρέπει: ώ έ. Οπότε ο ρυθμός με τον οποίο πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο δίσκο είναι:.. Επιμέλεια Θεμάτων: