Χρήση απλοποιηµένων µοντέλων προσοµοίωσης στη βελτιστοποίηση διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων

Χρήση απλοποιηµένων µοντέλων προσοµοίωσης στη βελτιστοποίηση διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων Κ.Λ. ΚΑΤΣΙΦΑΡΑΚΗΣ Κ. ΤΣΕΛΕΠΙ ΟΥ Β. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ Πολιτικός Μηχανικός Πολιτικός Μηχανικός Περίληψη Ο σχεδιασµός της διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων απαιτεί συχνά τη συνδυασµένη χρήση υπολογιστικών εργαλείων προσοµοίωσης και βελτιστοποίησης. Μια µέθοδος, που έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία σε σύνθετα προβλήµατα βελτιστοποίησης, είναι οι γενετικοί αλγόριθµοι. Σε πολλές εφαρµογές η αντικειµενική συνάρτηση (συνάρτηση αποτίµησης) περιλαµβάνει µοντέλο προσοµοίωσης της αντίστοιχης υπόγειας ροής. Στις περιπτώσεις αυτές ο συνολικός υπολογιστικός όγκος εξαρτάται κυρίως από το µοντέλο προσοµοίωσης. Στην παρούσα εργασία µελετάται, µέσω παραδείγµατος, η δυνατότητα συνδυασµού της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων µε απλοποιηµένη αναλυτική προσοµοίωση της υπόγειας ροής και χρήση κατάλληλης ποινής. Η µελέτη αυτή δείχνει ότι µπορεί να υπάρξει σηµαντική µείωση του υπολογιστικού όγκου χωρίς αισθητή υποβάθµιση της ποιότητας των αποτελεσµάτων. Abstract Planning of groundwater resources management requires combined use of optimization and flow simulation tools. The method of genetic algorithms has been used successfully in many complex optimization problems. In many cases the objective function (evaluation function) includes a simulation model of the respective groundwater flow. In these cases, total computational volume depends mainly on the simulation model. In this paper we study the possibility to combine genetic algorithms with a simplified analytical simulation of groundwater flow and a suitable penalty function. We have concluded, based on application examples, that one may achieve substantial reduction of computational volume, without seriously compromising the quality of the results.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασική προϋπόθεση για τη βιώσιµη ανάπτυξη σε τοπικό και περιφερειακό επίπεδο είναι η ορθολογική διαχείριση των αντίστοιχων υδατικών πόρων. Αυτή µε τη σειρά της προϋποθέτει κατάλληλο σχεδιασµό, που κατά κανόνα αντιµετωπίζεται ως πρόβληµα βελτιστοποίησης. Η επίλυση του προβλήµατος, όταν αφορά στην αξιoποίηση των υδατικών πόρων, απαιτεί συχνά συνδυασµό ενός υπολογιστικού εργαλείου βελτιστοποίησης µε ένα µοντέλο προσοµοίωσης της ροής. Μία µέθοδος βελτιστοποίησης που έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία τα τελευταία χρόνια σε προβλήµατα διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων είναι οι γενετικοί αλγόριθµοι π.χ. [,, 3, 4]. Στον υπολογιστικό κώδικα ενσωµατώνεται συχνά ένα µοντέλο προσοµοίωσης της υπόγειας ροής. Όπως εξηγείται στο επόµενο κεφάλαιο, ο συνολικός υπολογιστικός όγκος εξαρτάται κυρίως από το µοντέλο αυτό. Για τον λόγο αυτό στην παρούσα εργασία διερευνάται η δυνατότητα απλοποίησης του µοντέλου προσοµοίωσης, χωρίς ουσιαστική υποβάθµιση της ποιότητας των τελικών αποτελεσµάτων.. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Οι γενετικοί αλγόριθµοι είναι ένα µαθηµατικό εργαλείο µε ευρύ πεδίο εφαρµογής. Είναι ιδιαίτερα χρήσιµοι σε δύσκολα προβλήµατα βελτιστοποίησης, ιδίως όταν οι σχετικές συναρτήσεις παρουσιάζουν πολλά ακρότατα ή ασυνεχείς παραγώγους. Για το θεωρητικό υπόβαθρο και τις εφαρµογές των γενετικών αλγορίθµων υπάρχουν εκτεταµένα ειδικά συγγράµµατα, π.χ. [5, 6, 7]. Στη συνέχεια σκιαγραφούνται τα βασικότερά τους χαρακτηριστικά.. Βασικά χαρακτηριστικά Οι γενετικοί αλγόριθµοι (Γ.Α.) είναι µια µαθηµατική αποµίµηση της βιολογικής διαδικασίας εξέλιξης των ειδών. Ξεκινούν µε έναν αριθµό από τυχαίες δυνατές λύσεις του εξεταζόµενου προβλήµατος. Οι λύσεις αυτές, που αποκαλούνται χρωµοσώµατα, αποτελούν τον πληθυσµό της πρώτης γενιάς. Στους κλασικούς δυαδικούς Γ.Α. τα χρωµοσώµατα είναι δυαδικές συµβολοσειρές (binary strings), π.χ. []. Ο πληθυσµός της πρώτης γενεάς υφίσταται αξιολόγηση, µε βάση µια διαδικασία ή συνάρτηση αποτίµησης (evaluation function). Η διαδικασία αυτή εξαρτάται από το εξεταζόµενο πρόβληµα και µπορεί να περιλαµβάνει ένα µοντέλο προσοµοίωσης της ροής. Κατόπιν, από τα χρωµοσώµατα της πρώτης γενιάς παράγονται αυτά της δεύτερης γενιάς, µε τη βοήθεια τριών βασικών τελεστών, που µιµούνται βιολογικές διαδικασίες. Αυτοί είναι: α) η επιλογή (selection) β) η διασταύρωση (crossover) και γ) η µετάλλαξη (mutation). Πολλές φορές, χρησιµοποιούνται επιπροσθέτως και άλλοι τελεστές. Η διαδικασία της επιλογής είναι µια µαθηµατική απο-

µίµηση της θεωρίας του αρβίνου περί επικράτησης του ισχυροτέρου. Γίνεται µε προκαθορισµένο «τυχαίο» τρόπο, και συµµετέχουν σε αυτήν όλα τα χρωµοσώµατα, µε ξεχωριστή πιθανότητα «επιβίωσης» το καθένα. Αυτή η πιθανότητα αντιστοιχεί στην καταλληλότητα (fitness) του χρωµοσώµατος, που προέκυψε από την διαδικασία αξιολόγησης. Έτσι τα συγκριτικώς καλύτερα χρωµοσώµατα έχουν περισσότερες πιθανότητες να περάσουν στην επό- µενη γενεά του Γ.Α.. Οι πιο κοινές διαδικασίες επιλογής είναι α) ο τροχός ρουλέτας µε άνισα διαστήµατα και β) ο διαγωνισµός (tournament). Η διαδικασία του διαγωνισµού είναι η ακόλουθη: Πρώτα ορίζεται η σταθερά διαγωνισµού ΚΚ (που συνήθως έχει τιµές από 3 ως 5). Κατόπιν επιλέγονται µε τυχαίο τρόπο ΚΚ χρωµοσώµατα και συγκρίνονται ως προς την καταλληλότητά τους. Αντίγραφο του πλέον κατάλληλου περνά στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Αυτό επαναλαµβάνεται PS φορές. Έτσι σχηµατίζεται ο ενδιάµεσος πληθυσµός, στον οποίο και πάλι τα καλύτερα χρωµοσώµατα της προηγούµενης γενεάς έχουν, στατιστικώς, περισσότερα αντίγραφα. Μάλιστα µε τη διαδικασία αυτή είναι αδύνατη η επιλογή των χειρότερων ΚΚ- χρωµοσωµάτων της προηγούµενης γενεάς (εκτός αν έχουν περισσότερα του ενός αντίγραφα). Από την άλλη µεριά όµως, η διαδικασία επιλογής που αναφέρθηκε, δεν εξασφαλίζει πλήρως ότι θα περάσει το καλύτερο χρωµόσωµα από την προηγούµενη γενεά στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Γι αυτό πολλοί κώδικες, ακολουθώντας τη λεγόµενη επιλεκτική προσέγγιση (elitist approach), περιλαµβάνουν ειδική διαδικασία ενσωµάτωσης ενός τουλάχιστον αντιγράφου του καλύτερου χρωµοσώ- µατος στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Αφού σχηµατισθεί ο ενδιάµεσος πληθυσµός, επιλέγονται τυχαία κάποια από τα µέλη του για να υποστούν τις διαδικασίες της διασταύρωσης και της µετάλλαξης (πιθανώς και άλλων τελεστών), ενώ τα υπόλοιπα περνούν αυτούσια στην επόµενη γενεά. Κατά την διαδικασία της διασταύρωσης γίνεται α- νταλλαγή τµηµάτων µεταξύ ζευγών χρωµοσωµάτων, που επιλέγονται τυχαία από τον ενδιάµεσο πληθυσµό. Τα καλύτερα χρωµοσώµατα της προηγούµενης γενιάς έχουν περισσότερες πιθανότητες συµµετοχής, διότι έχουν περισσότερα αντίγραφα. Οι απόγονοι, δηλ. τα νέα χρωµοσώµατα που παράγονται από τη διασταύρωση, αντικαθιστούν τα παλαιά, που αντιστοίχως αποκαλούνται γονείς. Με την διαδικασία αυτή επιδιώκεται ο συνδυασµός των καλύτερων στοιχείων των γονέων σε κάποιον από τους απογόνους. Η µετάλλαξη τέλος, αφορά στους χαρακτήρες, που απαρτίζουν τις συµβολοσειρές των χρωµοσωµάτων. Στους δυαδικούς Γ.Α. ο χαρακτήρας που επιλέγεται για µετάλλαξη µεταβάλλεται από σε και αντιστρόφως. Η διαδικασία αυτή αποβλέπει: α) στην επέκταση της έρευνας του πεδίου των δυνατών λύσεων σε νέες περιοχές, που είναι χρήσιµη κυρίως στις πρώτες γενιές και β) στην περαιτέρω µικρή βελτίωση καλών λύσεων, που είναι χρήσιµη κυρίως στις τελευταίες γενιές. Η πιθανότητα µετάλλαξης είναι η ίδια για όλους τους χαρακτήρες όλων των συµβολοσειρών. Επειδή όµως αφορά στους χαρακτήρες, είναι πολύ µικρότερη από την πιθανότητα διασταύρωσης, που αφορά σε ολόκληρες συµβολοσειρές. Η διαδικασία που περιγράφηκε (αξιολόγηση-επιλογήδιασταύρωση-µετάλλαξη-άλλοι τελεστές) επαναλαµβάνεται για έναν προκαθορισµένο αριθµό γενεών. Αν η µέθοδος λειτουργήσει σωστά, στην τελευταία γενιά θα έχει ε- πικρατήσει ένα χρωµόσωµα, το οποίο αντιστοιχεί στη ζητούµενη βέλτιστη (ή σε κάποια σχεδόν βέλτιστη) λύση του προβλήµατος.. Αντιµετώπιση περιορισµών Σε πολλές εφαρµογές, η βελτιστοποίηση υπόκειται σε περιορισµούς. Εποµένως, τα χρωµοσώµατα, τα οποία προκύπτουν µε την εφαρµογή των γενετικών τελεστών, µπορεί να αντιστοιχούν σε µη επιτρεπτές λύσεις. Για παράδειγµα, µια κατανοµή της συνολικής απαιτούµενης παροχής σε ένα αριθµό πηγαδιών, µπορεί να οδηγεί σε υ- πέρβαση της επιτρεπόµενης πτώσης στάθµης σε κάποιο πηγάδι. Το πρόβληµα αυτό µπορεί να αντιµετωπιστεί µε διάφορους τρόπους. Ο πιο προφανής είναι η απόρριψη των χρωµοσωµάτων που παραβιάζουν τους περιορισµούς. Η µέθοδος όµως αυτή δεν είναι ικανοποιητική, αν ο αριθµός των παραβατών είναι µεγάλος. Άλλες µέθοδοι αντιµετώπισης είναι η διόρθωση των χρωµοσωµάτων, ώστε να πληρούν τους περιορισµούς και η τροποποίηση των γενετικών τελεστών, ώστε να παράγουν χρωµοσώµατα που αντιστοιχούν σε επιτρεπτές λύσεις µόνον. Η πιο συνηθισµένη όµως µέθοδος είναι η επιβολή ποινής, δηλαδή η µείωση της καταλληλότητας των χρωµοσωµάτων που παραβιάζουν περιορισµούς. Αυτό πρακτικά γίνεται µε εισαγωγή µιας συνάρτησης ποινής στην διαδικασία αποτίµησης. Η ποινή µπορεί να είναι: α) σταθερή β) ανάλογη µε τον αριθµό των περιορισµών που παραβιάζονται και γ) ανάλογη µε τον βαθµό παραβίασης κάθε περιορισµού. Οι ποινές της τελευταίας κατηγορίας είναι, κατά κανόνα, πιο αποτελεσµατικές. Το µέγεθος της ποινής εξαρτάται από τις τιµές που παίρνει η συνάρτηση αποτίµησης και από την ελαστικότητα του περιορισµού. Αν µικρή παραβίασή του είναι α- νεκτή, το µέγεθος της ποινής µπορεί να είναι σχετικά µικρό. Αν ο περιορισµός είναι ανελαστικός, η ποινή πρέπει να εξασφαλίζει οπωσδήποτε ότι το ολικό βέλτιστο αντιστοιχεί σε λύση που τον ικανοποιεί..3 Ο χρησιµοποιούµενος κώδικας Ο κώδικας που χρησιµοποιείται στην παρούσα εργασία κατασκευάσθηκε µε στόχο τη διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων. Η συνάρτηση αποτίµησης έχει ως κύριο τµήµα ένα µοντέλο προσοµοίωσης της υπόγειας ροής. Επειδή η τιµή της συνάρτησης αυτής πρέπει να υπολογισθεί για κάθε χρωµόσωµα κάθε γενιάς, ο συνολικός υπολογιστικός όγκος εξαρτάται σε πολύ µεγάλο βαθµό από την πολυπλοκότητά της. Η επιλογή γίνεται µε τη µέθοδο

του διαγωνισµού, ενώ ακολουθείται και η επιλεκτική προσέγγιση. Τέλος, εκτός από τους κλασικούς τελεστές της διασταύρωσης και της µετάλλαξης, χρησιµοποιείται και η αντιµετάθεση [, 8]. Αυτή εφαρµόζεται εναλλάξ µε τη µετάλλαξη (στις ζυγές και µονές γενιές αντιστοίχως). 3. ΧΡΗΣΗ ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΟΝΤΕ- ΛΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ένα από τα συγκριτικά πλεονεκτήµατα των γενετικών αλγορίθµων σε σύνθετα προβλήµατα βελτιστοποίησης είναι η µεγάλη πιθανότητα εύρεσης του ολικού βελτίστου. Στις περισσότερες περιπτώσεις όµως, δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι εντόπισαν όντως τη συνολικώς βέλτιστη λύση. Η πιθανότητα εύρεσης του ολικού βελτίστου αυξάνεται µε το µέγεθος του πληθυσµού και τον αριθµό των γενεών. Αναλόγως όµως αυξάνεται και ο υπολογιστικός όγκος, που σε πολλές περιπτώσεις αποτελεί τον περιοριστικό παράγοντα. Ο υπολογιστικός όγκος όµως εξαρτάται ουσιαστικά από τη µορφή της συνάρτησης αποτίµησης, που, όπως αναφέρθηκε, υπολογίζεται για κάθε χρωµόσω- µα κάθε γενιάς. Απλοποίηση της συνάρτησης αποτίµησης (εν προκειµένω του µοντέλου προσοµοίωσης της ροής) µειώνει το χρόνο εκτέλεσης του προγράµµατος ή επιτρέπει αύξηση του µεγέθους του πληθυσµού ή/και του αριθ- µού των γενεών. Για να µη µειωθεί όµως η ποιότητα των αποτελεσµάτων, θα πρέπει η χρήση του απλοποιηµένου και του πλήρους µοντέλου να οδηγούν στην ίδια βέλτιστη λύση, να έχουν δηλαδή ίδιο ακρότατο. Στη συνέχεια διερευνάται η δυνατότητα επίτευξης του στόχου αυτού µε ενσωµάτωση µιας ποινής στο απλοποιηµένο µοντέλο. Η διερεύνηση της ιδέας αυτής γίνεται µε την εφαρµογή που περιγράφεται στις επόµενες παραγράφους. 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το πρόβληµα που µελετάται είναι το ακόλουθο: Από έναν υδροφορέα υπό πίεση, που αποτελείται από δύο ο- µογενείς ζώνες διαφορετικής µεταφορικότητας πρέπει να αντληθεί συνολική παροχή TQ = 5 l/s. Για τον σκοπό αυτό θα χρησιµοποιηθούν συνολικά πηγάδια, 4 από τα οποία υπάρχουν ήδη, ενώ τα υπόλοιπα θα κατασκευαστούν µέσα σε µια περιοχή διαστάσεων 3 x 3 m.. Τα όρια της περιοχής αυτής, οι θέσεις των υπαρχόντων πηγαδιών και η ευθύγραµµη διεπιφάνεια µεταξύ των ζωνών του υδροφορέα φαίνονται στο σχήµα. Οι συντεταγµένες των πηγαδιών παραθέτονται στον Πίνακα. Ζητείται η εύρεση των θέσεων κατασκευής των 6 νέων πηγαδιών και η αντίστοιχη κατανοµή της συνολικής παροχής στα πηγάδια, που ελαχιστοποιούν το κόστος ά- ντλησης. ίνονται επιπροσθέτως οι µεταφορικότητες των ζωνών του υδροφορέα και η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών, ενώ η ροή θεωρείται µόνιµη. Το πρώτο βήµα για την επίλυση του προβλήµατος µε τη µέθοδο των γενετικών αλγορίθµων είναι ο καθορισµός του τι εκφράζει κάθε χρωµόσωµα. Στην περίπτωσή µας λοιπόν εκφράζει ένα συνδυασµό των τιµών 6 ζευγών συντεταγµένων (µε µέγιστη δυνατή τιµή 3) και παροχών (µε µέγιστη δυνατή τιµή 5). Εποµένως το µήκος του χρωµοσώµατος προκύπτει ίσο µε 34. 3 5 5 Πίνακας. Συντεταγµένες υπαρχόντων πηγαδιών Πηγάδι ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ 5 5 3 ΠΗΓΑ ΙΑ Συντεταγµένες α/α x y 5 6 6 3 5 9 4 8 Σχήµα. Ο εξεταζόµενος υδροφορέας Κατόπιν ορίζεται η συνάρτηση, η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Το κόστος άντλησης Κ δίνεται από τη σχέση: N K = A H i Q i () i= όπου Α είναι ένας σταθερός συντελεστής, Ν= ο α- ριθµός των πηγαδιών, Q i η παροχή και H i η απόσταση της στάθµης του νερού στο πηγάδι i από µια δεδοµένη επιθυ- µητή στάθµη. Με δεδοµένη την επιθυµητή στάθµη ανύψωσης του νερού, για την ελαχιστοποίηση του Κ αρκεί να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα Κ, που δίνεται από τη σχέση: K s i Q i () = N i= όπου s i η πτώση στάθµης στην παρειά του πηγαδιού i. Εποµένως, για τον υπολογισµό του Κ, πρέπει να υπολογισθούν τα s i. Η πτώση στάθµης σε ένα σηµείο «άπειρου» υδροφο- 4 3 3

ρέα µε δύο ζώνες διαφορετικής µεταφορικότητας, από τον οποίο αντλεί ένα πηγάδι, εξαρτάται από τη ζώνη στην οποία βρίσκονται το πηγάδι και το σηµείο ελέγχου. Αν και τα δύο είναι στη ζώνη ισχύει η σχέση (3), ενώ αν το πηγάδι βρίσκεται στην και το σηµείο ελέγχου στη, ι- σχύει η σχέση (4), όπως προκύπτει από τη µέθοδο των εικόνων [9]. s s Q = w R ln 4πT + (x x w ) (y y w ) C Q w R + ln (3) 4πT (x+ x w ) + (y y w ) C Q w R = ln (4) 4πT (x x w ) + (y y w ) Στις σχέσεις αυτές Q w είναι η παροχή του πηγαδιού, x w, y w οι συντεταγµένες του, x, y οι συντεταγµένες του σηµείου ελέγχου, T η µεταφορικότητα της ζώνης και R η ακτίνα επιρροής του πηγαδιού, ενώ ο άξονας των y ταυτίζεται µε τη διεπιφάνεια των ζωνών. Οι σταθερές C και C δίνονται από τις σχέσεις: γ C = (5) +γ γ C = (6) +γ + αλγόριθµο ήταν οι ακόλουθες: Μέγεθος πληθυσµού PS = 6, αριθµός γενεών NG = 5, πιθανότητα διασταύρωσης =.4, πιθανότητα µετάλλαξης/αντιµετάθεσης MP =.4, σταθερά διαγωνισµού ΚΚ = 3. Από αυτές η MP καθορίσθηκε µε βάση το µήκος του χρωµοσώµατος και η NG µε προκαταρκτικές δοκιµές, ενώ οι υπόλοιπες επιλέχθηκαν µε βάση βιβλιογραφικά δεδοµένα και την εµπειρία από συναφείς εφαρµογές. 4.. Περίπτωση η : Τ /Τ =. 3 5 Πίνακας. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ =. 5 56.95 8.3 6 6 4.8 7.99 3 5 9 8.68 8 4 8 9.8 8.6 5 44 6.8 8 6 3 6.93 8 7 664 6. 7.98 8 44 65. 7.99 9 88 6.5 7.96 7.3 7.99 ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ (T= T) όπου γ = Τ /Τ Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν αν το πηγάδι βρίσκεται στη ζώνη. Αν υπάρχουν πολλά πηγάδια, όπως στην εξεταζόµενη περίπτωση, η τελική σχέση υπολογισµού προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας. Η σχέση αυτή αποτελεί το «πλήρες» µοντέλο προσοµοίωσης της ροής για το συγκεκριµένο πρόβληµα. Η δυνατότητα απλοποίησης που εξετάζεται, είναι η χρήση της σχέσης (7): 5 T T N (x xi ) + (y yi ) s = Qi ln (7) πt R i= που ισχύει για «άπειρο» οµογενή υδροφορέα, σε συνδυασµό µε κατάλληλη ποινή. 4.. Επίλυση µε χρήση του πλήρους µοντέλου Εξετάζονται 3 περιπτώσεις µε διαφορετικούς λόγους µεταφορικοτήτων. Στην πρώτη είναι Τ /Τ =., στη δεύτερη Τ /Τ =. και στην τρίτη Τ /Τ =. Για κάθε περίπτωση το πρόγραµµα εκτελέσθηκε φορές. Τα αποτελέσµατα και στις εκτελέσεις ήταν παρόµοια, δηλαδή ο γενετικός αλγόριθµος συνέκλινε στην ίδια ουσιαστικά λύση. Οι παράµετροι που χρησιµοποιήθηκαν στον γενετικό 5 5 3 ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ VB=49 Σχήµα. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ =. Στην περίπτωση αυτή οι τιµές των µεταφορικοτήτων ήταν Τ =. m /s και Τ =. m /s. Τυπικά αποτελέσµατα παραθέτονται στον πίνακα. Όπως φαίνεται στο σχήµα, όλα τα νέα πηγάδια τοποθετήθηκαν στη ζώνη, που έχει τη µεγαλύτερη µεταφορικότητα, και µάλιστα στο εξωτερικό όριό της, ώστε οι µεταξύ τους αποστάσεις να είναι οι µεγαλύτερες δυνατές. Όµως τα πηγάδια 3 και 4, που υπήρχαν στη ζώνη, διατηρούν κάποια παροχή. Τέ- 4

λος η πτώση στάθµης σε όλα τα πηγάδια είναι περίπου 8m. 4.. Περίπτωση η : Τ /Τ =. Στην περίπτωση αυτή οι τιµές των µεταφορικοτήτων ήταν Τ =. m /s και Τ =. m /s. Τυπικά αποτελέσµατα παραθέτονται στον πίνακα 3, ενώ η διάταξη των πηγαδιών φαίνεται στο σχήµα 3. Πίνακας 3. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ =. 3 5 57. 9.3 6 6 4.68 9.5 3 5 9.86 8.8 4 8.3 8.89 5 45 6.6 9. 6 3 65.87 9.5 7 73.76 9. 8 3 6.44 9. 9 834 65.69 8.95 374 69.3 9. ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ (T= T) Στην περίπτωση αυτή οι τιµές των µεταφορικοτήτων ήταν Τ =. m /s και Τ =. m /s. Τυπικά αποτελέσµατα παραθέτονται στον πίνακα 4, Όπως φαίνεται στο σχήµα 4, όλα τα νέα πηγάδια τοποθετήθηκαν στη ζώνη, που έχει τη µεγαλύτερη µεταφορικότητα, και µάλιστα στο όριό της, ώστε οι µεταξύ τους αποστάσεις να είναι οι µεγαλύτερες δυνατές. Τα πηγάδια και, που υπήρχαν στη ζώνη, διατηρούν µια µικρή παροχή. Τέλος η πτώση στάθµης σε όλα τα πηγάδια είναι της τάξης των m, δηλαδή αισθητά µικρότερη σε σχέση µε τις προηγούµενες περιπτώσεις. Αυτό οφείλεται στη µεγαλύτερη έκταση της ζώνης. Πίνακας 4. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ = 5 7.53.3 6 6 6.88.8 3 5 9 53.33.3 4 8 56.3.8 5 3 3 6.94.37 6 7 3 6.5.8 7 3 3 69.3.7 8 64 3 54.84.69 9 3 68.8.56 3 56 59.35.8 5 3 ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ ( T=T) 5 T T 5 5 5 3 T T ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ VB=49 5 Σχήµα 3. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ =. Όπως και στην προηγούµενη περίπτωση, όλα τα νέα πηγάδια τοποθετήθηκαν στο όριο της ζώνης, που έχει τη µεγαλύτερη µεταφορικότητα. Όµως οι παροχές των πηγαδιών 3 και 4, που υπήρχαν στη ζώνη, έχουν πρακτικά µηδενισθεί. Τέλος η πτώση στάθµης σε όλα τα πηγάδια της ζώνης ξεπερνά τα 9 m, είναι δηλαδή λίγο µεγαλύτερη από ό,τι στην προηγούµενη περίπτωση, όπως αναµενόταν. 4..3 Περίπτωση 3 η : Τ /Τ = 5 5 3 ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ VB=5343 Σχήµα 4. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ = 4. Επίλυση µε χρήση του απλοποιηµένου µοντέλου Στη συνέχεια εξετάζονται οι ίδιες περιπτώσεις χρησι- µοποιώντας γενετικό αλγόριθµο µε απλοποιηµένη συνάρτηση αποτίµησης. Συγκεκριµένα για τον υπολογισµό της πτώσης στάθµης χρησιµοποιείται η σχέση (7), ανεξαρτή- 5

τως ζώνης. Όµως οι τιµές που προκύπτουν για τα πηγάδια της ζώνης µε τη µικρότερη µεταφορικότητα, πολλαπλασιάζονται µε έναν συντελεστή ποινής PEN = (Τmax/Tmin-), όπου Τmax και Tmin η µεγάλη και η µικρή µεταφορικότητα, αντιστοίχως. 4.. Περίπτωση η : Τ /Τ =. Τυπικά αποτελέσµατα για την περίπτωση αυτή παραθέτονται στον πίνακα 5. Όπως φαίνεται στο σχήµα 5, όλα τα νέα πηγάδια τοποθετήθηκαν στη ζώνη, που έχει τη µεγαλύτερη µεταφορικότητα. εν κατανέµονται όµως στο εξωτερικό όριο µόνον, αλλά και στη διεπιφάνεια των ζωνών. Ακόµη η παροχή των πηγαδιών 3 και 4, που υ- πήρχαν στη ζώνη, πρακτικά µηδενίζεται, ενώ οι παροχές των άλλων πηγαδιών είναι παρόµοιες µε αυτές που προκύπτουν από το πλήρες µοντέλο. 3 Πίνακας 5. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ =. 5 57.68 8.84 6 6 55.7 8.53 3 5 9 5.4 4 8 3.9 4.6 5 36 755 6.9 8.49 6 6 95 55. 8.4 7 47 6.9 8.65 8 495 7.6 8.53 9 68.3 8.7 983 68.65 8.5 ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ (T= T) τη σχέση (7) και τον συντελεστή ποινής. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι οι τιµές αυτές είναι περίπου ίσες, µε εξαίρεση αυτές που αντιστοιχούν στα πηγάδια µηδενικής παροχής. Η παρατήρηση αυτή ισχύει και για τους πίνακες 6 και 7. 4.. Περίπτωση η : Τ /Τ =. Τυπικά αποτελέσµατα για την περίπτωση αυτή παραθέτονται στον πίνακα 6, ενώ η διάταξη των πηγαδιών φαίνεται στο σχήµα 6. Η διάταξη αυτή είναι παρόµοια µε εκείνη που προκύπτει από το πλήρες µοντέλο, µε µόνη διαφορά ότι ένα από τα νέα πηγάδια τοποθετείται στο πιο αποµακρυσµένο σηµείο του ορίου της ζώνης. Η παροχή του όµως είναι σχεδόν µηδενική. Η κατανοµή της συνολικής παροχής στα υπόλοιπα πηγάδια είναι παρόµοια µε αυτήν που προκύπτει από το πλήρες µοντέλο, δηλαδή τα πηγάδια 3 και 4, που υπήρχαν στη ζώνη, έχουν µηδενική παροχή, ενώ οι παροχές των υπολοίπων είναι αναλογικά λίγο αυξηµένες. Πίνακας 6. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ =. α/α X y Q s 5 6.85 3.33 6 6 65.97 3.5 3 5 9 4.5 4 8.4 5 983 8.4 3.58 6 47 7.38 3.6 7 3 3.8.4 8 5 68.6 3.75 9 495 76.8 3.6 73.5 3.67 5 3 5 ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ (T= T) 5 T T 5 5 3 ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ VB=35869 Σχήµα 5. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ =. Τέλος οι τιµές που αναφέρονται σαν πτώσεις στάθµης στον Πίνακα 5, είναι αυτές που υπεισέρχονται στον υπολογισµό της συνάρτησης αποτίµησης και προκύπτουν από 5 T T 5 5 3 ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ VB=3856 Σχήµα 6. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ =. 6

4..3 Περίπτωση 3 η : Τ /Τ = Τυπικά αποτελέσµατα για την περίπτωση αυτή παραθέτονται στον πίνακα 7, ενώ η διάταξη των πηγαδιών φαίνεται στο σχήµα 7. Πίνακας 7. Τυπικά αποτελέσµατα για Τ /Τ = 5.38 4.8 6 6 8.87 3 5 9 55.67 4.35 4 8 55.5 3.98 5 684 3 57. 4.74 6 5 584 6.9 4.9 7 48 384 64. 4. 8 3 7.35 4.35 9 3 3 66. 3.98 3 66.8 4.74 Όλα τα νέα πηγάδια τοποθετήθηκαν στη ζώνη, που έχει τη µεγαλύτερη µεταφορικότητα. εν κατανέµονται όµως στο εξωτερικό όριο µόνον, αλλά και στη διεπιφάνεια των ζωνών. Ακόµη η παροχή των πηγαδιών και, που υπήρχαν στη ζώνη, πρακτικά µηδενίζεται, ενώ οι παροχές των άλλων πηγαδιών είναι παρόµοιες µε αυτές που προκύπτουν από το πλήρες µοντέλο. 3 5 5 T ΘΕΣΕΙΣ ΠΗΓΑ ΙΩΝ ( T = T) 5 5 3 ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΑ ΠΗΓΑ ΙΑ T VB=3453 Σχήµα 7. ιάταξη των πηγαδιών για Τ /Τ = 4.3 Συγκριτική αξιολόγηση Η χρήση του απλοποιηµένου µοντέλου µειώνει αισθητά τον υπολογιστικό όγκο. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι υ- πολογισµοί της συνάρτησης αποτίµησης επαναλαµβάνονται 3 φορές για τις παραµέτρους που χρησιµοποιήθηκαν στον Γ.Α. (µέγεθος πληθυσµού 6, αριθµός γενεών 5). Αν και η µορφή της ποινής που χρησιµοποιήθηκε ή- ταν εξαιρετικά απλή, τα αποτελέσµατα που προέκυψαν ήταν αρκετά κοντά σε αυτά που προκύπτουν από το πλήρες µοντέλο. Μόνη σοβαρή διαφορά ήταν η τοποθέτηση κάποιων πηγαδιών πάνω σχεδόν στη διεπιφάνεια των ζωνών. Αυτό το θέµα παραµένει ανοικτό για περαιτέρω διερεύνηση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή εξετάσθηκε η αποδοτικότητα της µεθόδου των γενετικών αλγορίθµων σε προβλήµατα βελτιστοποίησης της διαχείρισης υπόγειων υδατικών πόρων. Μία αδυναµία της µεθόδου είναι ο µεγάλος υπολογιστικός όγκος, όταν η συνάρτηση αποτίµησης περιλαµβάνει µοντέλο προσοµοίωσης της υπόγειας ροής. Για την αντιµετώπιση της αδυναµίας αυτής δοκιµάσθηκε η χρήση συνδυασµού απλοποιηµένων µοντέλων και ποινών. Τα αποτελέσµατα των παραδειγµάτων εφαρ- µογής δείχνουν ότι µε τον τρόπο αυτό είναι δυνατή η µείωση του συνολικού υπολογιστικού όγκου χωρίς ουσιαστική υποβάθµιση της ποιότητας των τελικών αποτελεσµάτων. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. McKinney D.C., Min-Der Lin, (994). Genetic algorithm solution of groundwater management models, Water Resources Research, 3(6), 897-96.. Katsifarakis K.L., Karpouzos D.K., (998), Minimization of pumping cost in zoned aquifers by means of genetic algorithms, Proc. Int. Conf. Protection and Restoration of the Environment ΙV, edited by K.L. Katsifarakis, G.P. Korfiatis, Y.A. Mylopoulos and A.C. Demetracopoulos, Sani, Greece, pp. 6-68. 3. Ouazar D., Cheng A.H.-D, (). Application of genetic algorithms in water resources. In Groundwater Pollution Control, by K.L. Katsifarakis (ed), WIT Press, pp. 93-36. 4. Πεταλά Ζ., (4). Βελτιστοποίηση της διαχείρισης παράκτιων υδροφορέων µε χρήση γενετικών αλγορίθµων, ιδακτορική διατριβή, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. 5. Goldberg D.E., (989). Genetic algorithms in search, optimization and machine learning, Addison-Wesley Publishing Company 6. Michalewicz Z., (994). Genetic algorithms + Data structures = Evolution programs, nd ed., Springer-Verlag. 7. Coley D.A., (999). An Introduction to genetic algorithms for scientists and engineers, World Scientific. 8. Katsifarakis K.L., Karpouzos D.K., Theodossiou N., (999). Combined use of BEM and genetic algorithms in groundwater flow and mass transport problems, Engineering Analysis with Boundary Elements, 3(7), 555-565. 9. Bear J, (979). Hydraulics of Groundwater, McGraw-Hill Κ.Λ. Κατσιφαράκης, Τοµέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., 544 Θεσσαλονίκη. Τηλ.: 3995634. E-mail: klkats@civil.auth.gr Κ. Τσελεπίδου, Πολ. Μηχανικός, Υποψήφια ιδάκτωρ, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., 544, Θεσσαλονίκη, E-mail: kleonik@civil.auth.gr B. Τριανταφύλλου, Πολ. Μηχανικός, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., 544, Θεσσαλονίκη 7