Σελίδα 1 από 15 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν και γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 2012 122 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, με (ΑΒ = ΑΓ) Α =100 Στην πρέκταση της πλευράς ΑΒ, πρς τ Β, παίρνυμε σημεί Δ τέτι, ώστε ΑΔ = ΒΓ Να απδειχθεί ότι ΒΓΔ =10 (ΗΠΑ 1990) Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΑΔΕ Πρφανώς: ΕΑΓ 100 60 40 ΑΒ ΑΓ γ, ΑΔ ΑΕ ΔΕ ΒΓ α Τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΑΒΓ είναι ίσα, διότι ΑΓ κινή, ΑΕ ΓΒ Επμένως και ΓΑΕ ΑΓΒ 40 Τώρα, τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΕΔΓ είναι ίσα, διότι έχυν τις πλευρές τυς ίσες, μία πρς μία Άρα: ΓΕ ΓΑ γ 180 240 ΔΓΑ ΔΓΕ 50 2 αφύ στ ισσκελές τρίγων ΑΓΕ (ΓΑ ΓΕ γ) είναι: ΑΓΕ 180 240 100 Επμένως: ΒΓΔ ΑΓΔ ΑΓΒ 50 40 10 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 2 από 15 123 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ φέρνυμε τη διχτόμ ΓΔ Αν τ περίκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΔΓ, να απδειχθεί ότι Β = Γ =72 Επειδή τ Ο είναι τ περίκεντρ τυ Δ ΑΒΓ, είναι ΟΑ ΟΒ ΟΓ Αν θέσυμε ΟΑΓ ω, τότε είναι: ΟΓΑ ΟΑΓ ω, διότι ΟΑ ΟΓ, ΟΓΔ ΟΓΑ ω, διότι τ Ο είναι έγκεντρ τυ Δ ΑΔΓ και έτσι ι ΓΟ, ΑΟ διχτμύν τις γωνίες ΑΓΔ, ΓΑΔ, αντίστιχα, ΒΓΔ ΔΓΑ 2ω, διότι η ΓΔ είναι διχτόμς της ΒΓΑ, ΟΑΒ ΟΑΓ ω, διότι η ΑΟ διχτμεί τη ΔΑΓ, ΟΒΑ ΟΑΒ ω, διότι ΟΑ ΟΒ, ΟΒΓ ΟΓΒ 3ω, διότι ΟΒ ΟΓ Στ τρίγων Δ ΑΒΓ είναι: ΑΒΓ 180 2ω 4ω 4ω 180 10ω 180 ω 18 Α 36 Α 36 Άρα ΒΓ4ω 418 72 και 124 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) με γωνία Α =20 Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρύμε σημεί Δ τέτι, ώστε ΔΒΓ =70 τέτι, ώστε ΕΓΒ =60 Να βρεθεί η γωνία ΕΔΒ και πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρύμε σημεί Ε Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 3 από 15 Παίρνυμε σημεί Ζ με ΒΑΖ 80 και ΑΖ ΒΓ α Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΖ είναι ίσα (ΑΒ κινή, ΑΒΓ ΒΑ Ζ 80 και ΒΓ ΑΖ α) Άρα ΑΒΖ 20, πότε ΔΒΖ 10 ΔΒΑ Στ ισσκελές τρίγων ΒΑΖ, η ΒΔ διχτμεί τη γωνία Β Άρα είναι μεσκάθετς της ΑΖ Έτσι: ΔΑ ΔΖ και τ τρίγων ΔΑΖ είναι ισόπλευρ, πλευράς α (είναι και ΖΑΔ 60 ) Ίσ τυ είναι και τ ισόπλευρ τρίγων ΚΒΓ (διότι δύ γωνίες τυ είναι ίσες με 60 ) Ακόμη ΒΔΓ 30, από τ αντίστιχ τρίγων Τα τρίγωνα ΕΚΒ, ΔΝΖ είναι ίσα (ΕΒΚ ΔΖΝ 20, ΚΒ ΖΔ α, ΕΚΒ ΖΔΝ 120 ) Άρα: ΕΚ ΔΝ Οι ΕΝ, ΒΓ είναι παράλληλες, πότε τ τρίγων ΕΚΝ είναι ισόπλευρ Άρα τελικά είναι: Δ ΔΝ ΕΚ ΕΝ Τ ΔΕΝ είναι επμένως ισσκελές τρίγων, με γωνία κρυφής ΕΝΔ 80 Θα είναι λιπόν ΕΔΝ 50, πότε ΕΔΒ 50 30 20 Σημείωση Από τα ίσα τρίγωνα ΑΕΓ, ΑΝΒ είναι ΑΕ = ΑΝ, πότε τ ΑΝΕ είναι ισσκελές, με: ΑΕΝ =80 =ΑΒΓ Άλλς τρόπς Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 4 από 15 Επειδή 20 180 : 9, θεωρύμε καννικό 9-γων, τυ πίυ μια κρυφή είναι τ Α και μια πλευρά η ΒΓ Έστω Θ, Η, Α, Ζ μερικές διαδχικές κρυφές τυ 9-γώνυ αυτύ Από τη σχέση: ΑΒΔ 80 70 10 πρκύπτει ότι η ευθεία ΒΔ διχτμεί τ τόξ ΑΖ και είναι μεσκάθετη στην πλευρά ΑΖ τυ καννικύ 9-γώνυ Έτσι τ τρίγων ΑΔΖ είναι ισόπλευρ (γιατί ΓΑΖ 60 ), πότε έχυμε: ΑΔ ΑΖ (1) Έστω Κ τ σημεί τμής των ΓΕΗ και ΑΘ Επειδή και ΗΑΘ 20 ΑΗΚ 80 και άρα, από τ ισσκελές τρίγων ΑΗΚ, έχυμε ΑΗ ΑΚ ΑΚΗ 80 (2) Από τις (1) και (2) και από τη σχέση ΑΖ ΑΗ, παίρνυμε ΑΚ ΑΔ (3) Από την (3) και επειδή ΚΑΔ 80 20 60 Επμένως έχυμε ΚΑ ΚΔ (4) πρκύπτει ότι, πρκύπτει ότι τ τρίγων ΑΚΔ είναι ισόπλευρ Τ τρίγων ΚΑΕ είναι ισσκελές, διότι ΚΕΑ 40 ΒΑΘ ΕΑΚ, πότε: ΚΑ ΚΕ (5) Από (4), (5), συμπεραίνυμε ότι τα σημεία Α, Δ, Ε ανήκυν στν κύκλ (Κ), με κέντρ τ Κ, και έτσι παίρνυμε: ΑΚΔ ΑΕΔ 30 2 (6) Από τη σχέση (6) και επειδή ΔΒΕ 10, από τ τρίγων ΒΔΕ πρκύπτει ότι ΕΔΒ 20 125 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ, με Β =75, φέρνυμε τ ύψς ΑΔ Αν ΒΓ =2ΑΔ, να απδειχθεί ότι Γ =30 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 5 από 15 Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΕ Έστω Μ τ μέσ της πλευράς ΒΓ Επειδή: ΑΒ ΒΕ, ΒΓ ΑΔ ΒΜ 2 και ΒΑΔ ΕΒΜ 15 τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΜΕ είναι ίσα Επμένως: ΕΜΒ ΑΔΒ 90 Η ΕΜ είναι λιπόν κάθετη στη ΒΓ και επειδή τ Μ είναι μέσ της ΒΓ, θα είναι: ΕΓ ΕΒ ΕΑ Άρα τ Ε είναι τ περίκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ Επμένως: 1 1 Γ ΑΕΒ 60 30 2 2 και η απόδειξη λκληρώθηκε 126 Δίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ, σημεί Δ της πλευράς ΒΓ και σημεί Ε της πλευράς ΑΓ, ώστε ΓΕ =2ΒΔ Αν ΑΔΕ =30, να απδειχθεί ότι ΔΑΕ =45 Η κάθετη πρς τη ΒΓ στ σημεί Δ τέμνει την ΑΒ στ σημεί Ζ Επειδή και έτσι: Β 60, είναι ΒΖΔ 30 ΒΖ 2ΒΔ ΕΓ Επειδή ΒΖ ΓΕ, θα είναι και ΑΖ ΑΕ Άρα τ τρίγων ΑΖΕ είναι ισόπλευρ Επειδή: ΖΑ ΖΕ ΑΖΕ 60 2ΑΔΕ και τ Ζ είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΑΔΕ Έτσι: Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 6 από 15 1 1 ΔΑΕ ΔΖΕ 90 45 2 2 διότι, πότε ΔΖ ΒΓ ΔΖ ΖΕ, αφύ ΖΕ // ΒΓ 127 Στ εσωτερικό ενός τριγώνυ ΑΒΓ υπάρχει σημεί Δ, με ΔΑΓ = ΔΓΑ =30 και ΔΒΑ =60 Αν Ε είναι σημεί στην πλευρά ΑΓ, με ΑΕ =2ΕΓ, να απδειχθεί ότι ΔΕΑ =60 Φέρυμε τη διχτόμ ΒΖ της γωνίας ΑΒΔ Τ ΑΒΔΖ είναι εγγράψιμ, πότε ΔΖΕ 60 Τ ΖΔΓ είναι ρθγώνι και ΔΓΖ 30, πότε: ΓΖ 2ΔΖ 2ΑΖ Δ Επειδή και ΓΖ 2ΑΖ ΑΕ 2ΕΓ, είναι: ΑΖ ΖΕ ΕΓ Δ Τ ΔΖΕ είναι λιπόν ισόπλευρ, πότε ΔΕΑ 60 128 Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυμε τ ύψς ΑΗ και τη διχτόμ ΒΕ Αν ΒΕΑ =45, να απδειχθεί ότι ΓΗΕ =45 Αν ΑΖ ΒΕ, τότε ΖΕ ΖΑ ΖΘ, πότε: ΑΕΘ 90 ΑΗΓ Τ ΑΗΘΕ είναι επμένως εγγράψιμ, πότε ΕΗΘ ΕΑΘ 45 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 7 από 15 Άλλς τρόπς Αν ΑΝ ΒΕ, τ ΑΝΗΒ είναι εγγράψιμ Άρα ΝΑ ΝΗ ΝΗ ΝΑ Ν 1 ΑΗΕ ΑΝΕ 45 2 ΓΗΕ 45 ΑΗΓ 90 (αφύ ΝΒΑ φ ΝΒΗ ) Επειδή Ε, τ Ν είναι περίκεντρ στ τρίγων ΑΗΕ, πότε: Και άρα, αφύ 129 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ είναι Α =40, Β =60 και Γ =80 Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ θεωρύμε σημεί Μ τέτι, ώστε MAΓ =MΓΑ =10 Να απδειχθεί ότι ΜΒΑ =20 Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΑΜΝ Τότε: ΜΝ ΜΑ ΜΓ και έτσι τ τρίγων ΜΝΓ είναι ισσκελές Άρα: 180 (360 60 160 ) ΜΓΝ ΜΝΓ 2 Είναι όμως ΑΔ ΜΝ 180 140 20 2, πότε: ΑΔΜ ΑΔΝ 90 20 70 ΜΓΒ και έτσι τ τετράπλευρ ΜΔΒΓ είναι εγγράψιμ Άρα ΜΒΔ ΜΓΔ 20 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 8 από 15 130 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ είναι Α =30 και Β =80 Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ θεωρύμε σημεί Μ τέτι, ώστε ΜΑ 0 και ΜΓΑ =30 Να απδειχθεί ότι ΜΒΓ =30 Γ =1 Πρφανώς πί είναι Γ 70 ΓΒΟ 60 Στην ΑΜ θεωρύμε τ σημεί Ο, για τ Τότε: ΑΒΟ 20 ΒΑΟ ΑΟΒ 180 20 20 140 2Γ Επειδή ΟΑ ΟΒ και ΑΟΒ 2Γ, τ Ο είναι τ περίκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ Επμένως: x ΟAΓ o o o, y30 10 20 BOΓ 2Α 60 και επειδή ΟΒ ΟΓ, τ τρίγων ΒΟΓ είναι ισόπλευρ και η ΒΜ είναι διχτόμς της γωνίας διότι ΜΟΓ ΟΓ Άρα ΟΒΓ, ΜΓΟ 20, πότε ΜΟ ΜΓ, δηλαδή τα Β, Μ βρίσκνται στη μεσκάθετ τυ o ω 30 Α =20 131 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ και Αν Δ και Ε είναι σημεία των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα, ώστε ΓΒΔ =70 και ΕΓΒ =50, να απδειχθεί ότι EΔB=10 Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΟΒΓ Επειδή: ΟΒ ΟΓ, ΒΔΓ 30 και ΒΟΓ 60 2ΒΔΓ τ Ο είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΔΒΓ Άρα: ΟΒ ΟΓ ΟΔ Επειδή ΒΕΓ 50 ΒΓΕ, τ τρίγων ΒΕΓ είναι ισσκελές Έτσι: δηλαδή ΒΕ ΟΔ ΒΟ ΒΕ ΒΓ ΟΒ ΟΔ Είναι όμως και ΒΕ // ΟΔ, διότι: Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 9 από 15 ΕΒΔ ΒΔΟ 10 Άρα τ ΒΕΔΟ είναι τελικά ρόμβς Επειδή στν ρόμβ ι διαγώνιι διχτμύν τις γωνίες, θα είναι: ΕΔΒ ΒΔΟ 10 o 132 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ και A=40 Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ o o θεωρύμε σημεί Ο τέτι, ώστε OAB = και OBA = 30 Να απδειχθεί ότι ΓΟ ΑΒ 10 Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΔ Φέρνυμε τις ΟΓ, ΟΔ και ΓΔ Εύκλα πρκύπτυν τα μέτρα των γωνιών πυ είναι σημειωμένες στ διπλανό σχήμα Τ τρίγων ΑΓΔ είναι ισσκελές με πότε:, ΓΑΔ 20 ΑΓΔ ΑΔΓ 80 και ΓΔΒ 20 Είναι και ΟΒΑ 30 ΑΒΔ 60, πότε η ΒΟ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΒΔ, δηλαδή μεσκάθετς της ΑΔ Άρα ΟΑ ΟΔ πυ σημαίνει ότι: ΟΔΑ ΟΑΔ 50 ΟΔΒ 60 50 10 και Τ τετράπλευρ ΟΑΔΓ είναι εγγράψιμ, διότι ΟΑΓ ΟΔΓ 30 Άρα: ΟΓΑ ΟΔΑ 50 Β 70 ΓΟ ΑΒ Επμένως ΟΓΒ 70 50 20 και επειδή, θα είναι 133 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ, με Α =80, Β =60 και Γ =40, και σημεί Ο στ εσωτερικό τυ τριγώνυ τέτι, ώστε ΟΑΓ = ΟΓΑ =10 Να απδειχθεί ότι: ΟΒ = ΑΒ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 10 από 15 Έστω Δ τ συμμετρικό τυ Ο ως πρς την ευθεία ΒΓ Επειδή τελικά ισόπλευρ, πότε Έτσι τ Ο είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΑΓΔ και επειδή ΑΟΓ 160, θα είναι: ΟΔ ΟΓ ΓΔ ΟΓΒ 30, τ τρίγων ΟΓΔ είναι 1 1 ΑΔΓ ΑΟΓ 160 80 2 2 Έτσι: ΟΑΔ ΟΔΑ ΑΔΓ ΟΔΓ 80 60 20 ΟΣΓ ΔΣΓ 70 ΒΑΟ πυ σημαίνει ότι τ τετράπλευρ ΑΟΣΒ είναι εγγράψιμ Επμένως: ΣΒΟ ΣΑΟ 20 Αλλά τότε ΟΒΑ 60 20 40 και επειδή ΒΑΟ 70, θα είναι: Άρα ΑΟΒ 180 70 40 70 ΒΟΑ ΒΑΟ 70 και τ τρίγων ΒΟΑ είναι ισσκελές, δηλαδή ΟΒ ΑΒ 134 Δίνεται τετράγων ΑΒΓΔ και σημεί Μ εσωτερικό τυ τριγώνυ ΒΓΔ τέτι, ώστε ΜΔΒ =15 και ΜΒΔ =30 Να απδειχθεί ότι ΜΑΔ =60 Πρεκτείνυμε τη ΒΑ κατά Ε 45 Επειδή: ΑΕ ΑΒ Τότε ΒΜΔ 135 και Ε ΒΜΔ 180 τ τετράπλευρ ΕΒΜΔ είναι εγγράψιμ Όμως: ΕΔΒ 45 45 90 πότε περιγεγραμμένς κύκλς τυ τετραπλεύρυ ΕΒΜΔ έχει κέντρ τ Α Είναι έτσι: ΔΑΜ 2ΔΒΜ 60 αφύ η ΔΑΜ είναι επίκεντρη και η ΔΒΜ είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ ίδι τόξ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 11 από 15 135 Σε ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι Α =20 Στην πλευρά ΑΓ παίρνυμε σημεί Δ, ώστε ΔΒΓ =60 και στην ΑΒ σημεί Ε τέτι, ώστε ΕΓΒ =30 Να απδειχθεί ότι ΕΔΒ =10 Έστω ότι η διχτόμς της γωνίας τέμνει τη ΒΔ στ Ο Τ τρίγων ΟΒΓ είναι ισόπλευρ, πότε η ΕΓ είναι μεσκάθετς της ΟΒ (αφύ η ευθεία ΓΕ διχτμεί τη γωνία Α ΒΓ Ο) ΕΟ ΕΒ Άρα ΕΟΒ ΕΒΟ 80 60 20 και έτσι έχυμε: Επειδή ΕΟΒ Α 20, τ τετράπλευρ ΑΔΟΕ είναι εγγράψιμ, πότε: Επμένως είναι ΕΔΒ 10 ΕΔΟ ΕΑΟ 10 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 12 από 15 136 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ είναι Β =20 και Γ =30 Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ θεωρύμε σημεί Μ τέτι, ώστε ΜΒ Γ = ΜΓΒ =10 Να απδειχθεί ότι ΑΜΓ =60 Θεωρύμε τν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ Τότε: ΑΟΒ 2Γ 230 60 και έτσι τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισόπλευρ ΒΟΓ ΒΟΑ ΑΟΓ 60 2Β 60 40 100 180 40 ΟΑΓ ΟΓΑ 70 2 Επειδή ΜΒ ΜΓ, η ΟΜ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΟΓ Άρα ΜΟΑ 10 και έτσι ΜΟΓ 50 Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΜΑΟ είναι ίσα, διότι ΑΒ ΑΟ, η ΜΑ είναι κινή και ΜΒ ΜΟ Επμένως: πότε: ΒΑΟ 60 ΒΑΜ ΜΑΟ 30 2 2 ΑΜΓ 180 ΜΑΓ ΑΓΜ 180 (30 70 ) (30 10 ) 180 100 20 60 Έτσι η απόδειξη λκληρώθηκε Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 13 από 15 137 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), με Α =20 Στην πλευρά ΑΓ παίρνυμε σημεί Δ τέτι, ώστε ΔΒΓ =60 και στην πλευρά ΑΒ σημεί Ε τέτι, ώστε ΕΓΒ =70 Να =3 απδειχθεί ότι ΕΔΑ 0 (Διαγωνισμός, ΗΠΑ) Φέρυμε ΔΖ // ΒΓ και Ο τ σημεί τμής της ΖΓ με τη ΒΔ Τότε: ΒΟΓ 60, ΒΕΓ 30 και ΟΒ ΟΓ Επμένως τ Ο είναι περίκεντρ τυ τριγώνυ ΕΒΓ Άρα: και ΟΒ ΟΕ ΟΕ ΟΓ Έτσι ΟΕΒ ΟΒΖ 20 και ΟΕΓ ΟΓΕ 10 Συνεπώς: διότι: και έτσι ΖΟΕ ΖΕΟ 20 ΒΖΓ 40 ΖΕΟ ΖΟΕ 40 20 ΖΟΕ 40 ΖΟΕ 20 ΖΟ ΖΕ Επμένως ΟΖ ΖΔ ΖΔ ΖΕ είναι ισσκελές, δηλαδή: Τ τρίγων ΟΔΖ είναι ισόπλευρ, πότε, πυ σημαίνει ότι τ τρίγων ΖΔΕ 180 80 ΖΕΔ ΖΔΕ 50 2 Άρα o ΖΕΔ 50 20 10 y 50 y 20 o Από τ τρίγων ΔΕΓ παίρνυμε τώρα ότι: o o o ΕΔΑ ΔΕΓ ΔΓΕ x y 10 x 20 10 x 30 o Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 14 από 15 Σχόλι Τ πρόβλημα παρυσιάστηκε στ Crux, τόμς 1 ς και 2 ς, 1975 1976 Είχε τεθεί ως θέμα τ 1976 στ Carleton University Mathematics Competition Στ Crux παρυσιαζόταν μια τριγωνμετρική λύση και υπεύθυνς της στήλης εξέφρασε την απρία αν θα μπρύσε άραγε να δθεί μια καθαρά γεωμετρική λύση Άλλς τρόπς Θεωρύμε στην πλευρά ΑΒ τ σημεί Ζ έτσι, ώστε ΒΓΖ 50 Σύμφωνα με γνωστό πρόβλημα είναι τότε: ΖΔΒ 30 ΖΕΓ Αυτό σημαίνει ότι τ τετράπλευρ ΕΔΙΖ είναι εγγράψιμ και έτσι: ΕΔΖ ΕΙΖ Αλλά ΒΖΓ ΒΙΓ 50, πότε και τ τετράπλευρ ΒΖΙΓ είναι εγγράψιμ Άρα: ΖΙΕ ΖΒΓ 80 Έτσι, αφύ EΔΖ ΕΙΖ ΖΒΓ 80, παίρνυμε: ΕΔΑ ΑΔΓ ΕΔΖ ΖΔΒ ΒΔΓ 180 80 30 40 30 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!
Σελίδα 15 από 15 Σημείωση Τ γεγνός ότι η γωνία ΒΔΖ είναι ίση με 30 απδεικνύεται ως εξής: Έστω Η σημεί της πλευράς ΑΓ τέτι, ώστε ΓΒΗ =20 Τότε: Τ τρίγων ΒΗΓ είναι ισσκελές (αφύ ΒΓΗ = ΒΗΓ = =80 ) Έτσι ΒΓ = ΒΗ (1) Τ τρίγων ΒΓΖ είναι ισσκελές (αφύ = ΒΖΓ ) Έτσι ΒΓ = ΒΖ (2) ΒΓΖ =50 = Οι σχέσεις (1) και (2) δίνυν ΒΗΖ είναι ισόπλευρ, δηλαδή: ΒΗ = ΒΖ Επμένως τ τρίγων ΒΗ = ΗΖ (3) Τ τρίγων ΗΒΔ είναι επίσης ισσκελές, πότε: (3) ΗΔ= ΗΒ ΗΔ= ΗΖ Επμένως: 180 - ω 180 -(180-60 - 80 ) HΔΖ = ΗΖΔ= = = 70 2 2 Είναι λιπόν: o o ΖΔΗ =70 x+40 =70 x = 30 o Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς και στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!