ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο Λύνω προβλήµατα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά Παίρνοντας αποφάσεις! Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να εξασκηθείς στην αναγνώριση δύο ποσών που είναι αντιστρόφως ανάλογα. 2. Να θυµηθείς πώς λύνουµε προβλήµατα µε τη µέθοδο της αναγωγής στη µονάδα. 3. Να µάθεις να λύνεις προβλήµατα µε τη µέθοδο των ίσων γινοµένων. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 69
ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ραστηριιότητα 1η Το πρόγραµµα της παιδικής κατασκήνωσης προβλέπει ότι τα παιδιά θα τρώνε ένα παγωτό την ηµέρα. Ο υπεύθυνος για το πρόγραµµα διατροφής της κατασκήνωσης, προµηθεύτηκε τόσα παγωτά, ώστε να επαρκέσουν για 20 ηµέρες για τους 15 µαθητές που θα φιλοξενούσε η κατασκήνωση. Αν έρθουν 25 µαθητές για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό; Μπορώ να βρω εύκολα για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό τα 25 παιδιά;....... Αν στην κατασκήνωση, αντί για 15 παιδιά, πήγαινε µόνο ένα παιδί, µπορώ να υπολογίσω για πόσες µέρες θα είχε παγωτά (αν έτρωγε ένα την ηµέρα); Με τον τρόπο αυτό βρίσκω πόσα είναι τα παγωτά. Στη συνέχεια µπορώ να βρω για πόσες ηµέρες θα επαρκέσουν για τους 25 µαθητές. Κάνω τις πράξεις: Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για..... µέρες. Άρα τα παγωτά είναι...... Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για.... µέρες. Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Πώς θα εργαστείς στη δραστηριότητα αυτή; - Θα ακολουθήσω τις ερωτήσεις και θα δώσω προσεκτικά τις απαντήσεις. 70 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Μπορώ να βρω εύκολα για πόσες ηµέρες θα έχουν παγωτό τα 25 παιδιά; Απάντηση εν φαίνεται να είναι και τόσο εύκολος ο υπολογισµός. Αν στην κατασκήνωση, αντί για 15 παιδιά, πήγαινε µόνο ένα παιδί, µπορώ να υπολογίσω για πόσες µέρες θα είχε παγωτά (αν έτρωγε ένα την ηµέρα); Απάντηση Όταν ξέρω ότι για τους 15 µαθητές τα παγωτά επαρκούν για 20 µέρες, για να βρω πόσες µέρες θα είχε παγωτά το 1 παιδί, θα κάνω πολλαπλασιασµό: 15 20 = 300 µέρες. ηλαδή, για 300 µέρες το 1 παιδί θα έτρωγε 1 παγωτό την ηµέρα. Άρα τα παγωτά ήταν 300. Με τον τρόπο αυτό βρίσκω πόσα είναι τα παγωτά. Στη συνέχεια µπορώ να βρω για πόσες ηµέρες θα επαρκέσουν για τους 25 µαθητές. Κάνω τις πράξεις: Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για..... µέρες. Άρα τα παγωτά είναι...... Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για.... µέρες. Απάντηση Αφού προβλεπόταν 15 παιδιά να έχουν παγωτά για 20 µέρες, 1 παιδί θα έχει παγωτά για 15 20 = 300 µέρες. Άρα τα παγωτά είναι 300. Όµως τα παιδιά είναι 25 και θα µοιραστούν τα παγωτά. Έτσι, θα έχουν παγωτά για 300 : 25 = 12 µέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 71
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος µε την οποία λύσαµε το προηγούµενο πρόβληµα είναι η µέθοδος της αναγωγής στη µονάδα: Οι 15 µαθητές έχουν παγωτό για 20 µέρες. Ο 1 µαθητής έχει παγωτό για 15 20 = 300 µέρες. Οι 25 µαθητές θα έχουν παγωτό για 300 : 25 = 12 µέρες. ραστηριιότητα 2 η η Στο ίδιο πρόβληµα εργάζοµαι µε άλλο τρόπο: Βρίσκω τα ποσά. Μπορείς να τα ονοµάσεις; Συµπλήρωσε τα ποσά και τις αντίστοιχες τιµές που µας δίνει το πρόβληµα. Την άγνωστη τιµή τη συµβολίζω µε x. ΠΟΣΑ Εξετάζω τη σχέση ανάµεσα στα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών»... ( ηλαδή όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για περισσότερες ή για λιγότερες ηµέρες;) ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» είναι µεταξύ τους......... Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι................ ηλαδή:......... =......... Μπορείς τώρα να βρεις τον άγνωστο όρο αυτής της ισότητας; 72 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Πώς θα αντιµετωπίσω αποτελεσµατικά τη δραστηριότητα αυτή; - Πώς θα συµπληρώσεις τον πίνακα; - Στην πρώτη γραµµή θα βάλω το ποσό: «αριθµός µαθητών». Στη δεύτερη γραµµή θα βάλω το ποσό: «αριθµός ηµερών». Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα γιατί για διπλάσιο αριθµό µαθητών, τα παγωτά θα επαρκέσουν µόνο για τις µισές µέρες. Στη συνέχεια, θα απαντήσω στις ερωτήσεις της δραστηριότητας, που είναι πολύ εύκολες. Απαντώ στις ερωτήσεις της δραστηριότητας Βρίσκω τα ποσά. Μπορείς να τα ονοµάσεις; Απάντηση Τα ποσά είναι «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών». Συµπλήρωσε τα ποσά και τις αντίστοιχες τιµές που µας δίνει το πρόβληµα. Την άγνωστη τιµή τη συµβολίζω µε x. Απάντηση Συµπληρώνουµε τον πίνακα: ΠΟΣΑ Αριθµός µαθητών 15 25 Αριθµός ηµερών 20 x Εξετάζω τη σχέση ανάµεσα στα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών». ( ηλαδή όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για περισσότερες ή για λιγότερες ηµέρες;) ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» είναι µεταξύ τους......... Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 73
Απάντηση Όταν οι µαθητές γίνουν περισσότεροι, τα παγωτά επαρκούν για λιγότερες, φυσικά, µέρες. Και µάλιστα, όταν διπλασιάζονται οι µαθητές, τα παγωτά επαρκούν για τις µισές µέρες. ιακρίνω, ότι τα ποσά «αριθµός µαθητών» και «αριθµός ηµερών» για τις οποίες επαρκούν τα παγωτά, είναι µεταξύ τους αντιστρόφως ανάλογα. Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι................ ηλαδή:......... =......... Μπορείς τώρα να βρεις τον άγνωστο όρο αυτής της ισότητας; Απάντηση Τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών τους είναι: 15 20 και 25 x ηλαδή: 25 x = 15 20 [κάνω τον πολλαπλασιασµό] Οπότε: 25 x = 300 [για να βρω τον παράγοντα x κάνω διαίρεση] Άρα: x = 300 : 25 ηλαδή: x = 12 Εποµένως, τα 25 παιδιά θα έχουν παγωτά για 12 µέρες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος µε την οποία λύσαµε αυτή τη φορά το ίδιο πρόβληµα είναι η µέθοδος των ίσων γινοµένων. 74 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Τι µάθαµε µέχρι τώρα; Μέχρι τώρα µάθαµε ότι: Μπορούµε να βρούµε την άγνωστη τιµή σε ένα πρόβληµα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά, µε δύο τρόπους: Με τη µέθοδο της αναγωγής στη µονάδα: Ξέρουµε την τιµή των πολλών µονάδων. Βρίσκουµε πρώτα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό. Βρίσκουµε στη συνέχεια την άγνωστη τιµή µε διαίρεση. Παράδειγµα: Οι 5 εργάτες, µαζεύουν τις ελιές ενός χωραφιού σε 6 µέρες. Σε πόσες µέρες θα µαζέψουν τις ελιές οι 3 εργάτες; Λύση: Οι 5 εργάτες µαζεύουν τις ελιές σε 6 µέρες Ο 1 εργάτης τις µαζεύει σε 5 6 = 30 µέρες Οι 3 εργάτες τις µαζεύουν σε 30 : 3 = 10 µέρες. Με τη µέθοδο των ίσων γινοµένων: Κάνω τον πίνακα ποσών και τιµών, χρησιµοποιώντας µεταβλητή για την άγνωστη τιµή (συνήθως το x). Εξετάζω αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Σχηµατίζω τα ίσα γινόµενα. Λύνω την εξίσωση και βρίσκω το x. Για το προηγούµενο πρόβληµα, ο πίνακας ποσών και τιµών θα είναι ο παρακάτω: ΠΟΣΑ Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αριθµός εργατών 5 3 Αριθµός ηµερών 6 x Σχηµατίζω τα ίσα γινόµενα. 3 x = 5 6 Λύνω την εξίσωση: 3 x = 30, οπότε: x = 30 : 3, άρα x = 10 µέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 75
Εφαρµογές Εφαρµογή Τα 12 λεωφορεία για τη µεταφορά των µαθητών κάνουν 2 δροµολόγια. Τα 4 λεωφορεία χάλασαν. Πόσα δροµολόγια θα κάνουν τα 8 λεωφορεία που έµειναν; Απαντώ στην εφαρµογή Με αναγωγή στη µονάδα: Τα 12 λεωφορεία κάνουν 2 δροµολόγια για να µεταφέρουν όλους τους µαθητές. Βρίσκω τώρα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό: Το 1 λεωφορείο θα έκανε 12 2 = 24 δροµολόγια για να τους µεταφέρει. Βρίσκω τώρα την τιµή των πολλών µονάδων µε διαίρεση: Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν 24 : 8 = 3 δροµολόγια. Με πίνακα ποσών και τιµών (µέθοδος ίσων γινοµένων): Κάνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός λεωφορείων 12 8 ροµολόγια 2 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα (διπλάσιος αριθµός αυτοκινήτων θα έκανε τα µισά δροµολόγια). Άρα τα γινόµενα των αντίστοιχων τιµών είναι ίσα. Σχηµατίζουµε τα γινόµενα 8 x = 12 2 Λύνω την εξίσωση: 8 x = 24, οπότε: x = 24 : 8 άρα x = 3 Απάντηση: Τα 8 λεωφορεία θα κάνουν 3 δροµολόγια. 76 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Ερωτήσειις γιια αυτοέλεγχο καιι συζήτηση Στο κεφάλαιο αυτό συναντήσαµε τον όρο αναγωγή στη µονάδα σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. Μπορείς να τον εξηγήσεις µε δικά σου παραδείγµατα; Απάντηση Η αναγωγή στη µονάδα είναι µια µέθοδος για να λύνω προβλήµατα και σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα, όπως έκανα στα ανάλογα ποσά. Βρίσκω πρώτα την τιµή της µιας µονάδας µε πολλαπλασιασµό. Στη συνέχεια βρίσκω την τιµή των πολλών µονάδων µε διαίρεση. Παραδείγµατα: 1ο Παράδειγµα: Με τα χρήµατα που έχω µπορώ να αγοράσω 9 τετράδια αξίας 2 το καθένα. Πόσα τετράδια αξίας 3 µπορώ να αγοράσω µε τα ίδια χρήµατα; Με τα χρήµατα που έχω αγοράζω 9 τετράδια αξίας 2 το καθένα. Το 1 τετράδιο θα κόστιζε 9 2 = 18 (τόσα είναι τα χρήµατα που διαθέτω). Άρα, µε 3 το καθένα, θα µπορούσα να αγοράσω 18 : 3 = 6 τετράδια. 2ο Παράδειγµα: Οι 5 γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε 8 ώρες. Σε πόσες ώρες θα το ξεφορτώσουν οι 4 γερανοί; Λύση: Οι 5 γερανοί ξεφορτώνουν το πλοίο σε 8 ώρες. Ο 1 γερανός το ξεφορτώνει σε 5 8 = 40 ώρες. Οι 4 γερανοί το ξεφορτώνουν σε 40 : 4 = 10 ώρες Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 77
Σηµειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός». Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους. Απάντηση Η έκφραση «Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός»» είναι Σωστή. Η έκφραση «Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα» είναι Λάθος. Στα ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενα είναι ίσα. Η έκφραση «Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους» είναι Λάθος. Τα ανάλογα ποσά έχουν ίσους λόγους. Συµπληρώνουµε λοιπόν: Σωστό Λάθος Αναγωγή στη µονάδα σηµαίνει «βρίσκω την τιµή του ενός». Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα σταυρωτά γινόµενο είναι ίσα. Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν πάντα ίσους λόγους. 78 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
ΤΕΤΡΑ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο Στο τέλος της εβδοµάδας το κυλικείο του σχολείου συγκέντρωσε στο ταµείο του 460 χαρτονοµίσµατα των 5 και θέλει να τα ανταλλάξει στην τράπεζα µε χαρτονοµίσµατα των 20. Πόσα χαρτονοµίσµατα των 20 θα πάρει; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι τα χαρτονοµίσµατα των 5 είναι 460. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα είναι τα χαρτονοµίσµατα των 20. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αξία χαρτονοµίσµατος - Αριθµός χαρτονοµισµάτων» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί πρέπει πάντα το γινόµενο να είναι σταθερό και να µας δίνει το συνολικό ποσό των χρηµάτων. Λύση 1 ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Αν η αξία του χαρτονοµίσµατος είναι 5, τότε τα χαρτονοµίσµατα είναι 460. Αν η αξία του νοµίσµατος είναι 1, τότε τα νοµίσµατα είναι (κάνω πολλαπλασιασµό): 5 460 = 2.300 (τόσες ήταν όλες οι εισπράξεις σε ). Αν η αξία είναι 20, τότε τα χαρτονοµίσµατα θα είναι (διαιρώ): 2.300 : 200 = 115 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 79
2 ος τρόπος (Με πίνακα ποσών και τιµών): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αξία χαρτονοµίσµατος σε 5 20 Αριθµός χαρτονοµισµάτων 460 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 20 x = 5 460 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 20 x = 2.300 ιαιρώ µε το 20 και βρίσκω: x = 2.300 : 20, άρα x = 115. Απάντηση Τα χαρτονοµίσµατα των 5 θα τα ανταλλάξει µε 115 χαρτονοµίσµατα των 20. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2ο Τα παιδιά της Στ τάξης του ηµοτικού Σχολείου Λίνδου συγκεντρώνουν χρήµατα για να εµπλουτίσουν τη σχολική τους βιβλιοθήκη. Υπολόγισαν πως για να συγκεντρώσουν το ποσό που θέλουν πρέπει να αποταµιεύουν για 15 ηµέρες 45 κάθε µέρα. Τι ποσό πρέπει να αποταµιεύουν κάθε µέρα για να συγκεντρώσουν το ποσό σε 30 ηµέρες; Σηµείωση: Η Λίνδος βρίσκεται στο νησί της Ρόδου και υπάρχει εκεί ένας σηµαντικός αρχαιολογικός χώρος: Η Ακρόπολη της Λίνδου). Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι το ποσό που χρειάζονται για τη βιβλιοθήκη, µπορούν να το συγκεντρώσουν αν αποταµιεύουν 45 κάθε µέρα και επί 15 ηµέρες. Το ζητούµενο είναι 80 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
να βρούµε πόσα χρήµατα πρέπει να αποταµιεύουν κάθε ηµέρα ώστε να συγκεντρωθεί το ποσό σε 30 ηµέρες, δηλαδή σε διπλάσιο χρόνο από τον αρχικό; - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός ηµερών» και «ποσόν ηµερήσιας αποταµίευσης» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί σε διπλάσιες ηµέρες αποταµίευσης, αρκεί να αποταµιεύουν το µισό ποσό κάθε µέρα, ώστε να συγκεντρώσουν ένα σταθερό ποσό. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε δύο τρόπους. Λύση 1 ος τρόπος (Με τα αντίστροφα ποσά) Σε 15 ηµέρες αποταµιεύουν 45 την ηµέρα για να συγκεντρώσουν το ποσό που χρειάζονται (45 15 = 675 ) Σε διπλάσιες ηµέρες (30) πρέπει να αποταµιεύουν το µισό ποσό 45 : 2 = 22,50. 2 ος τρόπος (Με πίνακα ποσών και τιµών): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών 15 30 Ποσό ηµερήσιας αποταµίευσης ( ) 45 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 30 x = 15 45 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 30 x = 675 ιαιρώ µε το 30 και βρίσκω: x = 675 : 30, άρα x = 22,50. Απάντηση Για να συγκεντρώσουν το ποσό σε 30 ηµέρες πρέπει να αποταµιεύουν 22,50 την ηµέρα. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 81
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3ο Η ενορία των Αγίων Πάντων Θεσσαλονίκης αποφάσισε να βοηθήσει 15 άπορες οικογένειες δίνοντας 750 στην καθεµία για να περάσουν τις γιορτές του Πάσχα. Λίγο πριν από τις γιορτές όµως στην ενορία έµαθαν πως υπάρχουν άλλες 10 οικογένειες που χρειάζονται βοήθεια. Αν τα χρήµατα µοιραστούν σε όλες τις άπορες οικογένειες, τι ποσό θα πάρει η καθεµία; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι 15 οικογένειες θα πάρουν από 750 η καθεµία. Το ζητούµενο είναι να βρούµε από πόσα χρήµατα θα πάρουν 25 οικογένειες (15 αρχικά και 10 στη συνέχεια) αν µοιραστούν το ίδιο ποσό χρηµάτων. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός οικογενειών» και «ποσό που παίρνει σε» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί οι διπλάσιες οικογένειες, αν µοιραστούν το ίδιο ποσό, θα πάρουν τα µισά χρήµατα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Οι 15 οικογένειες παίρνουν από 750. Αν ήταν 1 οικογένεια θα έπαιρνε όλο το ποσό, δηλαδή 15 750 = 11.250 (τόσο ήταν όλο το ποσό που θα µοιράζονταν). Αν το µοιραστούν οι 25 οικογένειες, θα πάρει η καθεµία από 11.250 : 25 = 450. 2ος τρόπος (Με πίνακα): 82 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός οικογενειών 15 25 Ποσό που µοιράζεται σε 750 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 25 x = 15 750 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 25 x = 11.250 ιαιρώ µε το 25 και βρίσκω: x = 11.250 : 25, άρα x = 450. Απάντηση Οι 25 οικογένειες θα πάρουν από 450 η καθεµία. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4ο Στην καλοκαιρινή κατασκήνωση των 20 ηµερών το πρόγραµµα διατροφής προβλέπει για 15 ηµέρες τα παιδιά µετά το φαγητό τους να τρώνε 160 γραµµάρια γλυκό το καθένα. Πόσα γραµµάρια γλυκού θα πρέπει να καταναλώνει κάθε παιδί ώστε να έχουν γλυκό για όλες τις ηµέρες της κατασκήνωσης; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι επί 15 ηµέρες τα παιδιά θα τρώνε από 160 γραµµάρια γλυκό. Το ζητούµενο είναι να βρούµε από πόσα γραµµάρια γλυκό θα τρώει το κάθε παιδί, αν θέλουν να έχουν γλυκό για 20 ηµέρες. Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 83
- Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός ηµερών» και «βάρος γλυκού» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε τις προµήθειες τροφίµων που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να καταναλώνει τη µισή ποσότητα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Επί 15 ηµέρες καταναλώνουν από 160 γραµµάρια. Σε 1 ηµέρα θα κατανάλωναν 15 160 = 2.400 γραµµάρια (τόσο ήταν όλο το γλυκό που θα µοιράζονταν). Επί 20 ηµέρες θα καταναλώνουν 2.400 : 20 = 120 γραµµάρια. 2ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών 15 20 Βάρος γλυκού σε γρ. 160 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 20 x = 15 160 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 20 x = 2.400 ιαιρώ µε το 20 και βρίσκω: x = 2.400 : 20, άρα x = 120. Απάντηση Για 20 ηµέρες, κάθε παιδί πρέπει να καταναλώνει 120 γρ. γλυκού. 84 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5ο Με τα χρήµατα που είχε ένας φοιτητής µπορούσε να περάσει 30 ηµέρες αν ξόδευε 15 την ηµέρα. Πόσο πρέπει να ξοδεύει την ηµέρα, ώστε να επαρκέσουν τα χρήµατά του για 45 ηµέρες; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι αν ο φοιτητής ξοδεύει 15 την ηµέρα, θα περάσει 30 ηµέρες µε τα χρήµατά του. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσα πρέπει να ξοδεύει αν θέλει να περάσει 45 ηµέρες. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «αριθµός ηµερών» και «ποσό που ξοδεύω», όταν το συνολικό ποσό που έχω για να ξοδέψω είναι σταθερό, είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε τα χρήµατα που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να ξοδεύει τα µισά χρήµατα. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (µε αναγωγή στη µονάδα): Επί 30 ηµέρες ξοδεύει από 15. Σε 1 ηµέρα θα ξόδευε 30 15 = 450 (τόσο ήταν όλα τα χρήµατα που είχε). Επί 45 ηµέρες θα ξοδεύει 450 : 45 = 10. 2ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός ηµερών 30 45 Ποσό χρηµάτων την ηµέρα ( ) 15 x Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 85
Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 45 x = 30 15 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 45 x = 450 ιαιρώ µε το 45 και βρίσκω: x = 450 : 45, άρα x = 10. Απάντηση Για να επαρκέσουν τα χρήµατα για 45 ηµέρες, πρέπει να ξοδεύει 10 την ηµέρα. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6ο Γράψε ένα δικό σου πρόβληµα χρησιµοποιώντας το Α ή το Β Α) υο γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε τρεις ώρες Β) Ένας ποδηλάτης τρέχοντας µε 15 χµ. την ώρα χρειάζεται µισή ώρα για να διανύσει µια απόσταση. Ένας πεζός Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το πρόβληµα; - Πρέπει να γράψεις ένα µόνο πρόβληµα από τα δύο που προτείνει το βιβλίο. Μπορείς να επιλέξεις όποιο θέλεις. Λύση Α) Πρόβληµα «ύο γερανοί ξεφορτώνουν ένα πλοίο σε τρεις ώρες. Οι 6 γερανοί σε πόσες ώρες θα το ξεφορτώσουν;» Β) Πρόβληµα «Ένας ποδηλάτης τρέχοντας µε 15 χµ. την ώρα χρειάζεται µισή ώρα για να διανύσει µια απόσταση. Ένας πεζός βαδίζει µε ταχύτητα 5 χµ. την ώρα. Πόση ώρα χρειάζεται για να διανύσει την ίδια απόσταση;» 86 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 37ο ΑΣΚΗΣΗ 1ηη Σε µια πολυκατοικία έχουν γεµίσει τη δεξαµενή πετρελαίου και έχουν παρατηρήσει ότι, όταν λειτουργούν τα καλοριφέρ επί 9 ώρες την ηµέρα, το πετρέλαιο φτάνει για 20 ηµέρες. Πόσες ώρες πρέπει να τα λειτουργούν, αν θέλουν το πετρέλαιο να τους φτάσει για 30 ηµέρες; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Ποια είναι τα δεδοµένα και ποια είναι τα ζητούµενα στο πρόβληµα αυτό; - Τα δεδοµένα είναι ότι αν τα καλοριφέρ λειτουργούν 9 ώρες την ηµέρα, το πετρέλαιο φτάνει για 20 ηµέρες. Το ζητούµενο είναι να βρούµε πόσες ώρες πρέπει να λειτουργούν αν θέλουν να τους φτάσει το πετρέλαιο για 30 ηµέρες. - Πώς θα λύσεις το πρόβληµα; - Κατ αρχήν παρατηρώ ότι τα ποσά: «ώρες λειτουργίας» και «αριθµός ηµερών», είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί, για να περάσει κανείς µε το πετρέλαιο που έχει διπλάσιες ηµέρες, πρέπει να µειώσει τη λειτουργία των καλοριφέρ στο µισό. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα ποσών και τιµών (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 87
ΠΟΣΑ Ώρες λειτουργίας 9 x Αριθµός ηµερών 20 30 Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 30 x = 9 20 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 30 x = 180 ιαιρώ µε το 30 και βρίσκω: x = 180 : 30, άρα x = 6 ηµέρες. Απάντηση Για να επαρκέσει το πετρέλαιο για 30 ηµέρες πρέπει να λειτουργούν τα καλοριφέρ 6 ώρες την ηµέρα. 2ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Μπορείς µόνος/η σου να λύσεις το πρόβληµα µε αναγωγή στη µονάδα; ΑΣΚΗΣΗ 2ηη Η Ερµιόνη θέλει να αγοράσει αθλητικές κάλτσες. Με τα χρήµατα που έχει µπορεί να αγοράσει 10 ζευγάρια που το καθένα κοστίζει 2. Αν όµως θέλει να αγοράσει κάλτσες καλύτερης ποιότητας που το κάθε ζευγάρι κοστίζει 5, πόσα ζευγάρια µπορεί να αγοράσει; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός ζευγαριών από κάλτσες» και «ποσότητα ζευγαριών» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιάσουµε τις κάλτσες, θα αγοράσουµε τη µισή ποσότητα ζευγαριών µε τα χρήµατα που έχουµε. Μπορώ λοιπόν να 88 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς
το λύσω µε πίνακα (αλλά και µε αναγωγή στη µονάδα). Λύση 1ος τρόπος (Με πίνακα): Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αξία σε 2 5 Αριθµός καλτσών (ζευγάρια) 10 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 5 x = 2 10 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 5 x = 20 (τόσα ήταν τα χρήµατα που είχε σε ). ιαιρώ µε το 5 και βρίσκω: x = 20 : 5, άρα x = 4 ζευγάρια. Απάντηση Μπορεί να αγοράσει 4 ζευγάρια κάλτσες αξίας 5 το καθένα. 2ος τρόπος (Με αναγωγή στη µονάδα): Μπορείς µόνος/η σου να λύσεις το πρόβληµα µε αναγωγή στη µονάδα; ΑΣΚΗΣΗ 3ηη Ο κυρ-θωµάς έχει στο χωριό ένα µεγάλο χωράφι που το σπέρνει κάθε χρόνο µε βαµβάκι. Το Σεπτέµβριο που έρχεται ο καιρός για να µαζευτεί, χρησιµοποιεί µια βαµβακοσυλλεκτική µηχανή η οποία µαζεύει το βαµβάκι σε 5 ώρες. Αν βάλει 2 µηχανές στο χωράφι σε πόσες ώρες θα το µαζέψει; Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 89
Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση; - Παρατηρώ ότι τα ποσά: «Αριθµός µηχανών» και «ώρες συλλογής του βαµβακιού» είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιάσω τον αριθµό των µηχανών, θα χρειαστούν τις µισές ώρες για να µαζέψουν το βαµβάκι. Μπορώ λοιπόν να το λύσω µε πίνακα. Λύση Φτιάχνω τον πίνακα ποσών και τιµών: ΠΟΣΑ Αριθµός µηχανών 1 2 Ώρες συλλογής του βαµβακιού 5 x Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα τα γινόµενα είναι ίσα. Πολλαπλασιάζω και βρίσκω: 2 x = 1 5 Λύνω την εξίσωση, κάνοντας τον πολλαπλασιασµό: 2 x = 5 ιαιρώ µε το 2 και βρίσκω: x = 5 : 2, άρα x = 2,5. Απάντηση Οι 2 µηχανές µαζεύουν το βαµβάκι σε 2,5 ώρες (2 ώρες και 30 λεπτά). 90 Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς