ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΥΛΙΚΑ Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η µελέτη της συµπεριφοράς ηλεκτροµαγνητικών κυµάτν στο εστερικό υλικών (διηλεκτρικών και αγγών και η επεξήγηση τν φαινοµένν της ανάκλασης και της διάθλασης. Προσδοκώµενα αποτελέσµατα Με την ολοκλήρση της µελέτης του κεφαλαίου, θα µπορείτε να: προσδιορίσετε πώς σχετίζεται η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε το διάνυσµα Poynting προσδιορίσετε σε τι διαφέρει η ταχύτητα φάσης από την ταχύτητα οµάδας ηλεκτροµαγνητικού κύµατος αναφέρετε τον ορισµό της σχέσης διασποράς αποδείξετε το νόµο του Snell και να προσδιορίσετε αν ισχύει ο νόµος όταν υπάρχουν πηγές στις διαχριστικές επιφάνειες αναφέρετε τη συνθήκη που απαιτείται για το µηδενισµό του συντελεστή ανάκλασης ή διάδοσης στην κάθετη πρόσπτση εξηγήσετε τη µεγάλη ανακλαστικότητα τν µεταλλικών επιφανειών αναφέρετε τον ορισµό της γνίας Brewster. Έννοιες κλειδιά µετασχηµατισµός Lorentz χώρος Minowsi τετραδιάνυσµα τανυστής
σύστηµα αναφοράς δύναµη Minowsi ηλεκτροµαγνητικός τανυστής συναλλοίτη µορφή ταχύτητα φάσης ταχύτητα οµάδας κυµατάνυσµα πόλση ανάκλαση διάθλαση πρόσπτση ΕΝΟΤΗΤΑ.: Πόλση, ανάκλαση και διάθλαση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτν Οι εξισώσεις του Maxwell σε διηλεκτρικά χρίς πηγές ( ρ, J : ε, B B, B ε t µ t f f (. (. ταυτίζονται µε τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό (9.63-(9.66 µε αντικατάσταση ε ε και µ µ. Άρα οδηγούν σε παρόµοιες εξισώσεις ηλεκτροµαγνητικού κύµατος όπς στο κενό [(9.7 και (9.73], µε τη διαφορά ότι η ταχύτητα διάδοσης ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε διηλεκτρικό είναι µικρότερη και ισούται µε: v < c (.3 εµ ε µ Ο δείκτης διάθλασης ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε διηλεκτρικό ορίζεται ς ο λόγος ταχυτήτν κυµάτν: c εµ n > (.4 v ε µ
Τα πεδία επίπεδου πολµένου κύµατος σε διηλεκτρικά περιγράφονται από το πραγµατικό µέρος τν σχέσεν: ( x, t B( x, t B i( x vt e i( x vt e (.5 (.6 Αντικαθιστώντας τις (.5, (.6 στις εξισώσεις Maxwell (., βρίσκουµε εύκολα ότι, B (.7 Άρα, τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα έχουν πόλση κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης και λέγονται εγκάρσια. Όµοια, αντικαθιστώντας τις (.5, (.6 στις (., βρίσκουµε: B, B (.8 µε Από τις (.8 είναι προφανές ότι B, και εποµένς τα, B, αποτελούν ορθογώνια τριάδα. Ακόµα, αντικαθιστώντας τις (.5, (.6 στις εξισώσεις κύµατος, προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος ισούται µε, δηλαδή: εµ v εµ (.9 που είναι η σχέση διασποράς του κύµατος. Σε διηλεκτρικά η ηλεκτρική διαπερατότητα ε εξαρτάται από τη γνιακή συχνότητα ( ε ε για µεγάλα, λόγ υστέρησης αλλαγής προσανατολισµού τν στοιχειδών διπόλν. Όταν ε ε ( [οπότε και v v( ], η ταχύτητα φάσης v ά φ σης (ταχύτητα µετακίνησης ενός σηµείου µε σταθερή φάση στο κύµα διαφέρει από την ταχύτητα d οµάδας vοµ. (ταχύτητα µετακίνησης της περιβάλλουσας ενός κυµατικού παλµού. d Η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος Ι ταυτίζεται µε τη µέση ενεργειακή ροή, δηλαδή τη µέση τιµή της προβολής του ρεύµατος ενέργειας στη διεύθυνση διάδοσης, που είναι το διάνυσµα Poynting S επί Άρα: Η ταχύτητα οµάδας είναι η ταχύτητα µεταφοράς της πληροφορίας σε ένα κυµατικό σήµα.
I S B µ cos ( x t (. Χρησιµοποιώντας την καθετότητα µεταξύ ˆ, B, και τη σχέση B, που προκύπτει από το νόµο του Faraday, η (. γράφεται: I εv (. µ όπου το προέκυψε από τη µέση τιµή του cos ( x t. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Ως ένα παράδειγµα της ταχύτητας οµάδας θερήστε ένα Γκαουσιανό κυµατοπακέτο µιας συνάρτησης ( x, t φ που διαδίδεται ς κύµα και δίνεται από τη σχέση: όπου φ (, + i ( x t d ( x t e f ( f f e ( a π Το εύρος του είναι (, +, αλλά η ποσότητα στο ολοκλήρµα εµφανίζει µέγιστο για µε εύρος της τάξης του / a. Υποθέστε ότι στην περιοχή του µεγίστου το ( προσεγγίζεται από τη σχέση ( ( ( ( +. α Υπολογίστε το ολοκλήρµα και βρείτε τη συνάρτηση ( x, t φ. β είξτε ότι η ταχύτητα φάσης είναι ( / και η ταχύτητα οµάδας (. Άσκηση αυτοαξιολόγησης. Για ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα σε αραιό πλάσµα βρείτε την ταχύτητα φάσης και την ταχύτητα οµάδας ς συνάρτηση του. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.3 Αποδείξτε ότι σε πλάσµα µικής αγγιµότητας σ και µαγνητικής διαπερατότητας µ το µαγνητικό πεδίο B ικανοποιεί την εξίσση
t B D B όπου D c / 4πσ. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.4 Θερήστε ένα µοντέλο αγγιµότητας πλάσµατος στο οποίο η αγγιµότητα είναι φανταστική, δηλαδή J iσ στη µιγαδική αναπαράσταση του κύµατος. α Από τις εξισώσεις του Maxwell βρείτε τη σχέση µεταξύ και για ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται στο πλάσµα µε πεδία που δίνονται ς: j e i( x t, B B e i( x t β είξτε ότι το J υπολείπεται σε φάση του κατά 9 µοίρες. ΕΝΟΤΗΤΑ.: Ανάκλαση και διάθλαση σε διαχριστική επιφάνεια διηλεκτρικών Έστ ότι το επίπεδο yz ( x αποτελεί διαχριστική επιφάνεια µεταξύ δύο γραµµικών διηλεκτρικών µε παραµέτρους ε µ, n ( x καιε, µ, n ( x >. Έστ ότι επίπεδο κύµα, µε κυµατάνυσµα ˆ προσπίπτει από την πλευρά x. Λόγ του προσπίπτοντος κύµατος, εµφανίζεται ένα ανακλώµενο επίπεδο κύµα µε κυµατάνυσµα στην περιοχή x και ένα διαθλώµενο επίπεδο κύµα µε κυµατάνυσµα στην περιοχή x >. Το ηλεκτρικό πεδίο, λόγ τν κυµάτν αυτών, γράφεται ς: i( x t( x t i( x t x ( x, t e + e i( x t x e (. και αντίστοιχα για το µαγνητικό πεδίο. Οι συνοριακές συνθήκες για τα πεδία στη διαχριστική επιφάνεια προκύπτουν εύκολα από τις (9.46-(9.49 µε µηδενισµό τν πηγών: ε ε, B B (.3 B B // // // //, (.4 µ µ
Οι συνοριακές αυτές συνθήκες θα πρέπει να ισχύουν για κάθε χρονική στιγµή t και για κάθε τιµή τν y και z πάν στη διαχριστική επιφάνεια. Η παρατήρηση αυτή σε συνδυασµό µε την (. οδηγεί στις συνθήκες: (.5 (.6 y y y (.7 z z z Η (.5 σε συνδυασµό µε τη σχέση διασποράς v οδηγεί στις σχέσεις για τους κυµατάριθµους (µέτρα κυµατανυσµάτν στις δύο πλευρές της διαχριστικής επιφάνειας: n (.8 v c n (.9 v c Μπορούµε να επιλέξουµε το επίπεδο xy έτσι ώστε το προσπίπτον κυµατάνυσµα να έχει. Τότε, λόγ της (.7, θα έχουµε, και εποµένς, λόγ τν (.8 z και (.9, τα κυµατανύσµατα, και µπορεί να γραφτούν ς: z z n ˆ ˆ ( i cosθ + j sin θ (. c n ˆ ˆ ( i cosθ + j sin θ (. c n ˆ ˆ 3 ( i cosθ + j sin θ (. c όπου θ η γνία πρόσπτσης, θ η γνία ανάκλασης και θ η γνία διάθλασης (δείτε Σχήµα 3. τν PS. Χρησιµοποιώντας τώρα την (.6 σε συνδυασµό µε τις (.-(., προκύπτουν οι παρακάτ σχέσεις µεταξύ τν γνιών θ, θ και θ : sin θ sinθ (.3 n sinθ n sinθ (.4
Η σχέση (.3, που εκφράζει την ισότητα µεταξύ γνιών πρόσπτσης και ανάκλασης, είναι ο γνστός νόµος της ανάκλασης. Η σχέση (.4 µεταξύ γνιών πρόσπτσης και διάθλασης είναι γνστή ς νόµος της διάθλασης ή νόµος του Snell. Όταν n > n, δηλαδή το διηλεκτρικό διάθλασης (υλικό είναι οπτικώς αραιότερο από το διηλεκτρικό πρόσπτσης (υλικό, οπότε και v > v, τότε θ > θ και υπάρχει µια κρίσιµη γνία π θ θc <, για την οποία διάθλαση αλλά ολική ανάκλαση. Για θ θc έχουµε: και εποµένς: π θ, και για γνίες θ > θc δεν υπάρχει π n sinθ c n,sin n n θ arcsin c (.5 n ΕΝΟΤΗΤΑ.3: Συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε κάθετη πρόσπτση Σε κάθετη πρόσπτση έχουµε θ θ θ. Χρίς βλάβη της γενικότητας, µπορούµε να υποθέσουµε πόλση του ηλεκτρικού πεδίου στη διεύθυνση ĵ : x t (, ˆ i( x t ˆ i( x t je + je x ˆ i( x t je x > Από τον νόµο του Faraday και την (.6 έχουµε: B x t (, i( x t i( x t ze ˆ ze ˆ x i( x t ze ˆ x > (.6 (.7 Εφαρµόζοντας τώρα τις συνοριακές συνθήκες (.4 για τις παράλληλες συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στις (.6 και (.7, έχουµε: + (.8
όπου v και v. (.9 µ v µ v Λύνοντας τώρα τις (.8, (.9 ς προς τα διαθλώµενα ( Ε και ανακλώµενα ( Ε πλάτη πεδίν, βρίσκουµε: Ε µ n µ n + µ n Ε (.3 µ n µ n Ε µ n + µ n Ε (.3 Στα περισσότερα διηλεκτρικά ισχύει µ µ, οπότε, αν το κύµα περνάει από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο υλικό ( n n <, τότε, λόγ της (.3, τα Ε και Ε έχουν αντίθετο πρόσηµο. Κατά την ανάκλαση αυτή, το παλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο παίρνει µια επιπλέον φάση κατά 8. Το ανακλώµενο όµς µαγνητικό πεδίο ˆ Β z έχει ένα επιπλέον πρόσηµο (, όπς φαίνεται στην (.7, άρα η φάση του δεν αλλάζει σε σχέση µε το προσπίπτον πεδίο. Το αντίθετο συµβαίνει αν n > n. Ο συντελεστής ανάκλασης του κύµατος ορίζεται ς: S I < > R (.3 I < S > και εποµένς από τις (. και (.3 έχουµε: µ n µ n R µ n + µ n (.33 Όµοια, για το συντελεστή διάδοσης Τ έχουµε: T I ε µ µ I ε v µ n µ n v 4 nn ( + (.34
όπου χρησιµοποιήσαµε τις (., (.3 και τον ορισµό του δείκτη διάθλασης c µε n. Προφανώς ισχύει T + R, όπς αναµένεται, λόγ διατήρησης της v µ ε ενέργειας. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.5 Βρείτε τους συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ για ΑΜ ραδιοκύµατα συχνότητας MHz που πέφτουν σε επιφάνεια λίµνης (για το νερό υποθέστε ε ε 8. ΕΝΟΤΗΤΑ.4: Πρόσπτση υπό αυθαίρετη γνία: ξισώσεις Fresnel Θα βρούµε τα πλάτη ανάκλασης και διάδοσης ηλεκτρικού πεδίου για αυθαίρετη γνία πρόσπτσης θ. Θα διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: α του ηλεκτρικού πεδίου κάθετου στο επίπεδο πρόσπτσης (TΕ: Transverse lectric β πόλση του µαγνητικού πεδίου κάθετου στο επίπεδο πρόσπτσης (ΤΜ: Transverse Magnetic..4. Πόλση ΤΕ Στην περίπτση αυτή, αν το επίπεδο πρόσπτσης είναι το x, y, το ηλεκτρικό πεδίο είναι: i( x t ˆ i( x t ze + z ˆ e x ( x, t i ˆ ( x t z e x > (.35 Aπό τη σχέση διασποράς τα πλάτη τν κυµατανυσµάτν είναι:, v v Η µοναδική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι παράλληλη µε τη διαχριστική επιφάνεια και, εποµένς, η σχετική συνοριακή συνθήκη είναι η, που δίνει, λόγ της (.35: + (.36
Για να βρούµε τα πεδία και συναρτήσει του, χρειαζόµαστε άλλη µια σχέση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις συνοριακές συνθήκες για το µαγνητικό πεδίο. Σε αντιστοιχία µε τη (.34, το µαγνητικό πεδίο είναι: B x t (, i( x t i( x t Be + B e x i( x t B e x > (.37 Θα εκφράσουµε το πλάτος του µαγνητικού πεδίου συναρτήσει του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου χρησιµοποιώντας το νόµο του Faraday: B t Το προσπίπτον κυµατάνυσµα γράφεται ς: iˆ cosθ + ˆj sinθ v Άρα, το πλάτος του προσπίπτοντος κύµατος µαγνητικού πεδίου γράφεται: B ˆ ˆ j cosθ + i sinθ v (.38 (.39 όπου χρησιµοποιήσαµε και την (.35 για το προσπίπτον κύµα ηλεκτρικού πεδίου και το νόµο του Faraday. Για να βρούµε το πλάτος του ανακλώµενου κύµατος µαγνητικού πεδίου µέσ του νόµου του Faraday, πρώτα γράφουµε το κυµατάνυσµα του ανακλώµενου κύµατος ς: iˆ cosθ + ˆj sinθ v (.4 όπου χρησιµοποιήσαµε το νόµο της ανάκλασης, σύµφνα µε τον οποίο απλώς αντιστρέφουµε τη x συνιστώσα του προσπίπτοντος για να βρούµε το ανακλώµενο. Χρησιµοποιώντας τώρα το νόµο του Faraday, την (.39 και την (.35 για το ανακλώµενο ηλεκτρικό κύµα, βρίσκουµε το ανακλώµενο µαγνητικό κύµα ς: B ˆ ˆ j cosθ + i sinθ v (.4 Τέλος, για το διαθλώµενο µαγνητικό κύµα έχουµε: iˆ cosθ + ˆj sinθ v (.4
από την οποία προκύπτει: ˆ ˆsinθ B j cosθ i υ + Οι συνοριακές συνθήκες για το µαγνητικό πεδίο είναι: B B B B x B B x, µ µ (.43 (.44 Χρησιµοποιώντας τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας του µαγνητικού πεδίου και την (.37 [µε αντικατάσταση από τις (.39, (.4 και (.43], παίρνουµε: Η (.45 µε χρήση της (.36 γίνεται: που είναι ο νόµος του Snell. sinθ + sinθ sinθ (.45 v v v n sinθ n sinθ (.46 Χρησιµοποιώντας τη συνέχεια της παράλληλης συνιστώσας του B H µ και την (.37, παίρνουµε: θ θ θ µ v µ v µ v cos + cos cos (.47 Οι (.47 και (.36 αποτελούν τις ζητούµενες δύο εξισώσεις από τις οποίες µπορούµε να βρούµε το διαθλώµενο πλάτος και το ανακλώµενο πλάτος συναρτήσει του προσπίπτοντος πλάτους. Η λύση του συστήµατος (.47 και (.36 προκύπτει εύκολα ς: µ n cosθ µ n cosθ + µ n cosθ n cos n cos µ θ µ θ µ n cosθ + µ n cosθ (.48 (.49 Στην προσέγγιση µ µ µ, που ισχύει στα περισσότερα διηλεκτρικά, η (.49 γίνεται µε τη χρήση του νόµου του Snell:
sin sin ( θ θ ( θ + θ που είναι η εξίσση του Fresnel για πόλση ΤΕ. (.5.4. Πόλση ΤΜ Στην περίπτση πόλσης ΤΜ, το µαγνητικό πεδίο γράφεται ς: B x t (, i( x t i ˆ ˆ ( x t z e + z e x v v i ˆ ( x t z e x > v (.5 όπου χρησιµοποιήσαµε το νόµο του Faraday για τη συσχέτιση του πλάτους B µε το. Από τη συνθήκη Β Β µ µ έχουµε: ( + (.5 µ µ v v B Από τις σχέσεις (.38, (.4, (.4 και το νόµο του Faraday (π.χ. zˆ προκύπτουν τα πλάτη τν ηλεκτρικών κυµάτν (προσπίπτον, διαθλώµενο και ανακλώµενο ς: + j ( ˆsin ι θ ˆ cosθ i + j και το ηλεκτρικό πεδίο έχει τη µορφή: x t (, ( ˆsinθ ˆ cosθ j ( ˆsin ι θ ˆ cosθ i( x t i( x t e + e x i( x t e x > (.53 (.54 (.55 (.56 Από τη συνέχεια της παράλληλης συνιστώσας ĵ του ηλεκτρικού πεδίου έχουµε, λόγ τν (.53-(.56:
( cosθ cosθ (.57 v n Οι (.57 και (.5 µε αποτελούν τις δύο βασικές σχέσεις από τις οποίες v n βρίσκουµε τα και συναρτήσει του. Το αποτέλεσµα είναι: µ n cosθ µ n cosθ + µ n cosθ µ n cosθ µ n cosθ µ n cosθ + µ n cosθ (.58 (.59 Στην προσέγγιση µ µ µ η (.59 γίνεται (µε χρήση του νόµου του Snell: tan tan που είναι η εξίσση Fresnel για πόλση ΤΜ. ( θ θ ( θ + θ (.6 π Όταν θ θ +, έχουµε από την (.6 και όλο το ΤΜ κύµα διαθλάται χρίς π καθόλου ανάκλαση. Θέτοντας στο νόµο του Snell θ + θ, έχουµε: ή n sinθ n sinθ n cosθ (.6 n tanθ tanθ B (.6 n Η γνία θ B, για την οποία έχουµε ολική διάθλαση του κύµατος ΤΜ, λέγεται γνία Brewster. Για θ θ B, το µόνο ανακλώµενο κύµα είναι πόλσης ΤΕ και είναι % πολµένο.
ΕΝΟΤΗΤΑ.5: Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα σε αγγούς Θα θερήσουµε αγγούς ς γραµµικά υλικά µε αγγιµότητα σ και ελεύθερα ρεύµατα: J x, t σ ( x, t (.63 χρίς ελεύθερα φορτία ( f f ( ρ (τυχόν ελεύθερα φορτία απθούνται προς την επιφάνεια του αγγού και µε γραµµικές διηλεκτρικές και µαγνητικές ιδιότητες. Λόγ της (.63, οι εξισώσεις Maxwell στο εστερικό αγγού γράφονται ς:, B B, B t µσ µε + t (.64 (.65 Ο νέος όρος µελετήσουµε. µσ προκαλεί αλλαγές στη µορφή της κυµατικής εξίσσης, τις οποίες θα Για να βρούµε τη µορφή της κυµατικής εξίσσης, παίρνουµε την περιστροφή και στα δύο ισούται µε, αφού µέλη του νόµου του Faraday (.65. Η ( (λόγ.64. Η περιστροφή του δεξιού µέλους του νόµου του Faraday οδηγεί σε B, που µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του µε χρήση του νόµου Ampere- t Maxwell (.65. Έτσι, προκύπτει η γενικευµένη κυµατική εξίσση για το ηλεκτρικό πεδίο στο εστερικό αγγού ς: µσ µε t t + (.66 Η αντίστοιχη εξίσση για το B προκύπτει αν πάρουµε την περιστροφή και στα δύο µέλη της εξίσσης Ampere-Maxwell και µετά χρησιµοποιήσουµε το νόµο του Faraday και το νόµο του Gauss B. Βρίσκουµε: B B B µσ + µε (.67 t t Θερούµε τώρα δοκιµαστική λύση για την (.66 της µορφής: i x t x, t e ( ( (.68 όπου υποθέσαµε, χρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το επίπεδο κύµα διαδίδεται στη διεύθυνση x.
Επειδή B, έχουµε i, και εποµένς το κύµα είναι αναγκαστικά εγκάρσιο. Για να βρούµε τη σχέση διασποράς, αντικαθιστούµε την (.68 στην (.66 και βρίσκουµε: iµσ + µε (.69 Για σ, βρίσκουµε τη γνστή σχέση διασποράς που ισχύει σε διηλεκτρικά. Για σ όµς, ο κυµατάριθµος είναι µιγαδικός και γράφεται ς: + i (.7 Με αντικατάσταση της (.7 στην (.69, εύκολα βρίσκουµε τα, ς: εµ σ + ± ε και εποµένς το ηλεκτρικό πεδίο είναι το πραγµατικό µέρος του: x i( x t x, t e e ( (.7 (.7 Η εκθετική πτώση του πλάτους του κύµατος µε το x οφείλεται στην απορρόφηση ενέργειας από την ηλεκτρική αντίσταση του αγγού. Η ταχύτητα φάσης του κύµατος είναι: v ph (.73 ( και εξαρτάται από τη συχνότητα. Σε υλικά που συµβαίνει αυτό, οι διαφορετικές συνιστώσες µε καθορισµένο που συνθέτουν παλµό κύµατος έχουν διαφορετική ταχύτητα φάσης κι ο παλµός αλλάζει µορφή κατά τη διάδοσή του. Η ταχύτητα διάδοσης του παλµού είναι η ταχύτητα οµάδας: v gr d d Το µαγνητικό πεδίο που αντιστοιχεί στην (.7 βρίσκεται από την (.68 και το νόµο του Faraday ς: ib i i (.74 ή B i e i( x ϖ t (.75
Η µιγαδική µορφή του εισάγει µια διαφορά φάσης µεταξύ και B που ισούται µε τη φάση του. Ο συντελεστής ανάκλασης ηλεκτροµαγνητικού κύµατος που προσπίπτει κάθετα από το κενό σε αγγό µπορεί να βρεθεί µε χρήση της (.3, θέτοντας µ µ µ, n και n c [το n στην (.3 προέκυψε ς c, όπου το προέκυψε µετά από χρική / παραγώγιση. Η ίδια χρική παραγώγιση οδηγεί στο µιγαδικό στην περίπτση του c c αγγού, αν και για τον αγγό έχουµε κανονικά n ]. v ph Με τις αντικαταστάσεις αυτές, η (.3 γίνεται: n c + n + c και εποµένς: I ( c + c R c I + c + c ( (.76 (.77 Για καλό αγγό, όµς, έχουµε σ >> ε, που, λόγ της (.7, οδηγεί σε c >>. Με τη συνθήκη αυτή η (.77 δίνει R και, εποµένς, αναµένουµε µεγάλη ανακλαστικότητα του φτός από καλούς αγγούς. Έτσι εξηγείται η µεγάλη ανακλαστικότητα (λάµψη τν µεταλλικών επιφανειών. Άσκηση αυτοαξιολόγησης.6 Βρείτε την πίεση ακτινοβολίας που ασκείται στην επιφάνεια αγγού λόγ κάθετης πρόσπτσης φτός δεδοµένης έντασης. Λύσεις Ασκήσεν αυτοαξιολόγησης Λύση. α Υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Fourier: φ (, + i ( x t d ( x t e f π
f e e e dq π ( ( i x t + i qx q ' t q a Θέτουµε q : f ( ( x ' e e π a i x t 4 a όπου είναι το υπολογισµένο στο και σηµαίνει d υπολογισµένο στο d. Παραπάν προσεγγίσαµε το ( ς: ( + ( ' και αλλάξαµε τη µεταβλητή ολοκλήρσης σε q. Έπειτα εφαρµόσαµε το γενικό τύπο ολοκλήρσης: + αq βq e e dq π exp α β 4 β φ έχει β Φασική ταχύτητα: Ένα σηµείο µε σταθερή φάση ( x, t x t ct δηλαδή: dx dt και έτσι dx dt η οποία εκφράζει τη φασική ταχύτητα. Ταχύτητα οµάδας: Το κέντρο του κυµατοπακέτου είναι στο x ' t. Εποµένς: dx d dt ' d η οποία εκφράζει την ταχύτητα της οµάδας. Λύση. Η διασπορά για ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα σε πλήρς ιονισµένο αέριο πολύ υψηλής θερµοκρασίας (δηλαδή κατάσταση πλάσµατος είναι: p + c
όπου ph είναι η συχνότητα του πλάσµατος (γνιακή συχνότητα. Η φασική ταχύτητα είναι: υ ph c p µε τον περιορισµό ότι > p, για να έχουµε διάδοση του κύµατος. Η ταχύτητα της οµάδας είναι: υ gr d c c d υ ph c p Λύση.3 Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µέσα στο πλάσµα ικανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις του Maxwell (σε Γκαουσιανές µονάδες: B D 4πρ f c t 4π B B j f σ και αν το πλάσµα είναι µικό, εµείς έχουµε επίσης: j σ f Άρα: 4π B σ c ή B D B ( c µε D. 4πσ Η εξίσση ( είναι εξίσση διάχυσης.
Λύση.4 Στο πλάσµα που ισχύει J iσ, το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο είναι j e i( x t και B B e i( x t αντίστοιχα. α Από το νόµο του Faraday, B t B (, έχουµε ότι Από το νόµο του Ampere, B µ J + µ ε t, έχουµε ότι ib µ iσ µ ε i ( µ σ µ ε B ( Συνδυάζοντας τις ( και (, καταλήγουµε στην ισότητα B µ ε µ σ Εποµένς, η σχέση διασποράς είναι: µ ε µ σ β Η πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύµατος στο πλάσµα είναι: J iσ j e i x t π + σ Παρατηρούµε ότι υπάρχει µια διαφορά φάσης κατά π και το προηγείται του J. Για ένα τυχαίο σταθερό σηµείο x, το είναι µέγιστο για x t, δηλαδή για χρόνο t x. Το J είναι µέγιστο για x t + π, δηλαδή τη µεταγενέστερη χρονική +. στιγµή t x π ( Λύση.5 Η ανακλαστικότητα από ένα διηλεκτρικό υλικό για κάθετη πρόσπτση δίνεται από τη σχέση: µ n µ n n n R µ n + µ n n + n όπου η δεύτερη ισότητα είναι για την περίπτση όπου ισχύει µ µ. Για ραδιοκύµατα τα οποία προσκρούουν στην επιφάνεια µιας λίµνης, R.64, λαµβάνοντας υπόψη ότι ο
δείκτης διάθλασης για τον αέρα είναι n, ενώ ο αντίστοιχος για το νερό είναι n 8 9. Από τη διατήρηση της ενέργειας, ο συντελεστής διέλευσης είναι T.36. Λύση.6 Θερούµε µια δέσµη φτός που προσπίπτει κάθετα πάν σε µια µεταλλική επιφάνεια. Η ορµή της ροής του προσπίπτοντος ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι: du dp c Ι Adt Adt c όπου I η ένταση (ροή της ενέργειας. Επιπλέον, θα πρέπει να διευκρινίσουµε ότι, για την παραπάν εξίσση, dp είναι η ορµή στον όγκο όπου διαδίδεται το κύµα που διέρχεται από µια µικρή περιοχή A κατά τη διάρκεια χρόνου dt, du είναι η ενέργεια στον ίδιο όγκο, που είναι ίση µε ( dp c. Από το ο Νόµο του Νεύτνα, η δύναµη στην περιοχή A είναι: F dp dt µε τον παράγοντα να εκφράζει την τέλεια ανάκλαση. Επιπλέον, η τάση είναι: F Ι A c Η παραπάν πίεση µπορεί να θερηθεί ότι προκύπτει και από τη δύναµη Lorentz ς εξής: Θερήστε ένα οδεύον κύµα κατά τη διεύθυνση του άξονα τν x, πολµένο κατά τον y άξονα και το οποίο προσπίπτει κανονικά πάν σε µεταλλική επιφάνεια. Το ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται κατά τη διεύθυνση ± j, ενώ το µαγνητικό πεδίο ταλαντώνεται κατά τη διεύθυνση ±. Θερήστε τη στιγµή στην οποία έχουµε j και B στην επιφάνεια. Η δύναµη Lorentz για ένα ελεύθερο φορτίο q σε µέταλλο είναι F qv B, όπου B είναι κατά τη διεύθυνση και qv είναι κατά τη διεύθυνση του, δηλαδή κατά τη διεύθυνση του µοναδιαίου j, επειδή J σ. Επιπλέον, η δύναµη που
i ασκείται στο φορτίο q είναι κατά τη διεύθυνση του j, το οποίο είναι κάθετο στην επιφάνεια. Ερτήσεις. Πώς σχετίζεται η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε το διάνυσµα Poynting;. Σε τι διαφέρει η ταχύτητα φάσης από την ταχύτητα οµάδας ηλεκτροµαγνητικού κύµατος; 3. Πώς ορίζεται η σχέση διασποράς; 4. Περιγράψτε την απόδειξη του νόµου του Snell. Ισχύει ο νόµος αν υπάρχουν πηγές στις διαχριστικές επιφάνειες; 5. Ποια συνθήκη απαιτείται για το µηδενισµό του συντελεστή ανάκλασης στην κάθετη πρόσπτση; Για το µηδενισµό του συντελεστή διάδοσης; 6. Πώς εξηγείται η µεγάλη ανακλαστικότητα τν µεταλλικών επιφανειών; 7. Τι είναι η γνία Brewster; Άλυτες ασκήσεις είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου 3, µε έµφαση στις: 3., 3.5, 3.7, 3.8, 3., 3.3, 3.9.