Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 4: Δειγματοληψία Σήματος Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα ΙΙ, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Μελέτη Aliasing Σκοπός Θεώρημα Δειγματοληψίας Κριτήρια Νyquist Θεώρημα Shannon Ανακατασκευή σήματος Κβάντιση - Κωδικοποίηση 4

Σύντομη Ιστορία της Δειγματοληψίας 1915 - Ε.Τ. Whitaker επινόησε μια απόδειξη δείχνοντας ότι μια περιορισμένης ζώνης συνάρτηση μπορεί να ανακατασκευαστεί από δείγματα. 1920 - Κ. Ogura απέδειξε ότι εάν μια συνάρτηση δειγματίζεται σε συχνότητα τουλάχιστον διπλάσια από την υψηλότερη συχνότητα λειτουργίας, θα μπορούσε να ανακατασκευαστεί από εκείνα τα δείγματα. 1928 - μηχανικός Bell Labs Harry Nyquist δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. Σε αυτό το άρθρο απέδειξε ότι για την πλήρη ανακατασκευή του σήματος, το εύρος ζώνης συχνοτήτων είναι ανάλογο με την ταχύτητα σηματοδότησης και ότι η υψηλότερη συχνότητα είναι ίση με το μισό του αριθμού των κωδικοποιημένων στοιχείων ανά δευτερόλεπτο. 1949 - Claude Shannon ενοποίησε πολλές πτυχές της δειγματοληψίας (sampling), θεσπίζοντας την ως τη μεγαλύτερη επιστήμη στη θεωρία της πληροφορίας. Harry Nyquist (1889 1976) 5

Κάνοντας δειγματοληψία στο ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου με συχνότητα F s = 1 / T, παίρνουμε το σήμα διακριτού χρόνου x(n): x n x t x nt Acos2FnT a tnt a F Acos 2n F S Acos 2fn Acosn όπου f F F S ή T 7

ALIASING Συνεχής Χρόνος Δειγματοληψία Διακριτός Χρόνος t Acos2F t xn Acos2f n 0 x a 0 x t A F t a 2 cos όπου s k f 0 F0 F όπου F F kf, k 1, 2,... k 0 s 8

9 Οι συχνότητες F k = F 0 + kf s δεν μπορούν να διακριθούν από την F 0 μετά τη δειγματοληψία. Με άλλα λόγια, πρόκειται για ψευδοσυχνότητες της F 0. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται aliasing ή φασματική επικάλυψη. n x n f A kn n n F kf F A nt x n x s s a 2 cos 2 F F 2 cos A 2 cos 0 s 0 0 Απόδειξη:

Θεώρημα Δειγματοληψίας Κριτήρια Νyquist Θεώρημα Shannon Εάν ένα σήμα δεν περιέχει συνιστώσες συχνότητας μεγαλύτερες από μια συχνότητα F 0 το σήμα μπορεί να αντιπροσωπευθεί με μοναδικό τρόπο από ισαπέχοντα δείγματα εφόσον η συχνότητα δειγματοληψίας Fs είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της F 0, δηλαδή F s > 2F 0 10

Aliasing 11

Aliasing 12

Aliasing 13

Aliasing 14

Παράδειγμα Aliasing 1. 2. 3. 4. Τα τέσσερα στιγμιότυπα δείχνουν 3 οχήματα που κινούνται στην ίδια κατεύθυνση με διαφορετική ταχύτητα. Το όχημα 2 κινείται με διπλάσια ταχύτητα από το όχημα 1 και το όχημα 3 επτά φορές πιο γρήγορα από το όχημα 1. Αιτία του φαινομένου είναι να φαίνεται πως οι ρόδες του οχήματος 3 κινούνται το ίδιο γρήγορα με το όχημα 1 αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση. 15

Παράδειγμα Aliasing 16

Παράδειγμα Aliasing Όμοια με ένα μονοδιάστατο σήμα διακριτού χρόνου, στις εικόνες μπορώ να έχω aliasing αν η ανάλυση δειγματοληψίας ή η πυκνότητα των pixel, είναι ανεπαρκής. (Moiré pattern) 17

Παράδειγμα Aliasing 18

Δείγμα Aliasing Ημιτονοειδές σήμα Δειγματοληψία στα 11.025 khz 19

Δείγμα Aliasing Ημιτονοειδές σήμα Δειγματοληψία στα 44.1 khz 20

Δείγμα Aliasing 21

Ημιτονοειδές σήμα Συνεχούς Χρόνου Είναι περιοδικό για κάθε σταθερή τιμή του F, δηλ. Χ α (t + T P ) = x α (t), όπου T p = 1/F. Για διαφορετικές συχνότητες τα σήματα είναι διαφορετικά. Αύξηση της συχνότητας F συνεπάγεται και αύξηση του ρυθμό της ταλάντωσης. 24

Ημιτονοειδές σήμα Διακριτού Χρόνου Είναι περιοδική μόνο αν η f είναι ένας ρητός αριθμός Διακριτού χρόνου ημιτονοειδή σήματα των οποίων οι συχνότητες είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π είναι ταυτόσημα Η μεγαλύτερη ταλάντωση επιτυγχάνεται όταν ω = π (ή ω =-π) ή f = 1/2 (ή f = -1/2) 25

x a Ημιτονοειδές σήμα Συνεχούς χρόνου t Acost, t όπου A είναι το πλάτος x Ω η συχνότητα σε rad/sec (Ω=2πF) θ η φάση σε rad Ημιτονοειδές σήμα Διακριτού χρόνου n Acosn, n όπου n ακέραια μεταβλητή A πλάτος ω η συχνότητα σε rad/sample (ω=2πf) θ η φάση σε rad 26

Ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου των οποίων οι συχνότητες διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π είναι πανομοιότυπα. Απόδειξη: Έστω Τότε το σήμα x 1 (n) συχνότητας ω+2π είναι ίσο με x 1 n Acos 2k Acosn 2 x n Acosn xn Acos n n kn 27

Παράδειγμα Aliasing Απόδειξη x1t sin 2 x t 1 8 t 7 sin 2 t 8 2 28

29 n f A kn F F n A n F kf F A nt x n x s s s a 0 0 0 2 cos 2 2 cos 2 cos 2,... 1, k, 0 S k kf F F

Aliased Συχνότητες F 0 F k F s 2 Αν F k > F s /2 τότε η συχνότητα δίνεται από τον τύπο: F 0 0 F k F s 2 k F s όπου k είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος τέτοιος ώστε F 2 F s s F F s 0 2 k 30

Aliasing στο πεδίο της Συχνότητας 31

Aliasing στο πεδίο της Συχνότητας Sampling revisited (από άποψη συχνότητας) 33

Ανακατασκευή Σήματος 37

Ανακατασκευή Σήματος 38

Αναλογικό Anti-Aliasing Φίλτρο (Κατωπερατό φίλτρο) Στο αναλογικό σήμα θα πρέπει να περιορίζουμε το εύρος του σε μια κατάλληλη συχνότητα πριν από τη δειγματοληψία, επειδή: Το σήμα εισόδου είναι περιορισμένης χρονικής διάρκειας και δεν μπορεί, επομένως, να είναι περιορισμένου εύρους ζώνης. Ακόμη και αν το σήμα είναι από τη φύση του έχει περιορισμένο εύρος, προσθετικός θόρυβος έχει πολύ ευρύτερο φάσμα από το σήμα. 39

Κβάντιση-Κωδικοποίηση 40

Κβάντιση-Κωδικοποίηση H Κβάντιση εισάγει ένα σφάλμα που δεν μπορεί να απαληφθεί! Το επίπεδο του σφάλματος είναι μια συνάρτηση του αριθμού των δυαδικών ψηφίων ADC, όντας περίπου ίση με το ½ του LSB. Παράδειγμα: Ένας ADC 12-bit με τάση εισόδου ±10V θα έχει ένα LSB των 20/2 12 V=4,9mV και σφάλμα κβάντισης 2.45mV. Για ADC και με b bits ο αριθμός των επιπέδων κβάντισης είναι 2b, και το διάστημα μεταξύ των επιπέδων, είναι το βήμα κβάντισης q: q V fs V b 2 1 2 όπου V fs είναι η περιοχή σε πλήρη κλίμακα του ADC με διπολική εισόδους σήματος. fs b 42

Κβάντιση-Κωδικοποίηση Το μέγιστο σφάλμα κβάντισης είναι: q 2 Για ένα ημιτονοειδές σήμα εισόδου πλάτους Α, το βήμα κβάντισης είναι: 2A q b 2 Το σφάλμα κβάντισης για κάθε δείγμα e θεωρείται τυχαίο με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα q 2με μηδενική μέση τιμή. Έτσι η διακύμανση της ισχύος του θορύβου κβάντισης δίνεται από τη σχέση: 2 q e 12 43

Κβάντιση-Κωδικοποίηση Για ένα ημιτονοειδές σήμα, η μέση ισχύς του σήματος είναι Α 2 /2. Ο λόγος σήματος προς την ισχύ του θόρυβου κβαντισμού(sqnr), σε decibels είναι SQNR 10log 10 signal power noise power 2 A 2 10log 10 2 12 q 6.02b 1.76 db Άρα το SQNR αυξάνεται κατά 6 dβ για κάθε επιπλέον bit του μήκους λέξης. 44

Παράρτημα FREQUENCY RANCES OF SOME BIOLOGICAL SIGNALS Type of Signal Electrororetinogram a Electronystagmogram b Pneumogram c Electrocardiogram (ECG) Electroencephalogram (EEG) Electromyogram d Sphygmomanogram e Speech Frequency Range (Hz) 0-20 0-20 0-40 0-100 0-100 10-200 0-200 100-4000 a A graphic recording of retina characteristics. b A graphic recording of involuntary movement of the eyes. c A graphic recording of respiratory activity. d A graphic recording of muscular action, such as muscular contraction. e A recording of blood pressure. 47

Παράρτημα FREQUENCY RANCES OF SOME SEISMIC SIGNALS Type of Signal Wind noise Seismic exploration signals Earthquake and nuclear explosion signals Seismic noise Frequency Range (Hz) 100-1000 10-100 0.01-10 0.1-1 FREQUENCY RANCES OF SOME ELECTROMAGNETIC SIGNALS Type of Signal Radio broadcast Shortwave radio signals Radar, satellite communications, space communications, common-carrier microwave Infrared Visible light Ultraviolet Gamma rays and x-rays W avelength (m) 10 4-10 2 10 2-10 -2 1-10 -2 10-3 -10-6 3.9 x 10-7 -8.1 x 10-7 10-7 -10-8 10-9 -10-10 Frequency Range (Hz) 3 x 10 4-3 x 10 6 3 x 10 6-3 x 10 10 3 x 10 8-3 x 10 10 3 x 10 11-3 x 10 14 3.7 x 10 14-7.7 x 10 14 3 x 10 15-3 x 10 16 3 x 10 17-3 x 10 18 48

Η ανάγκη για Decibels Παράρτημα Δεδομένου ότι μια από τις σημαντικότερες χρήσεις του πεδίου των συχνοτήτων είναι να αναλύουμε μικρά σήματα υπό την παρουσία μεγάλων σημάτων, ας δούμε τώρα το πρόβλημα του πώς μπορούμε να δούμε τόσο μεγάλα όσο και μικρά σήματα στην οθόνη μας ταυτόχρονα. Ας υποθέσουμε ότι επιθυμούμε να μετρήσουμε μια συνιστώσα παραμόρφωσης που είναι 0,1% του σήματος. Αν θέσουμε το θεμελιώδες σήμα σε πλήρη κλίμακα σε μια οθόνη τεσσάρων ιντσών (10cm), η αρμονική θα είναι μόνο τέσσερα χιλιοστά της ίντσας (0,1 χιλιοστά) σε πλάτος. Μόλις που μπορούμε να διακρίνουμε ένα τέτοιο σήμα, πόσω μάλλον να το μετρήσουμε με ακρίβεια. Ωστόσο, πολλοί αναλυτές μπορούν να μετρήσουν σήματα ακόμη μικρότερα από αυτό. Επειδή θέλουμε να είμαστε σε θέση να δούμε όλες τις συνιστώσες εύκολα την ίδια στιγμή, η μόνη λύση είναι να αλλάξουμε την κλίμακα πλάτους μας. Μια λογαριθμική κλίμακα θα συμπιέσει το πλάτος μεγάλων σημάτων και θα μεγαλώσει το πλάτος των μικρών, επιτρέποντας έτσι όλα τα σήματα να εμφανίζονται ταυτόχρονα. 49

Παράρτημα Ο Alexander Graham Bell ανακάλυψε ότι το ανθρώπινο αυτί ανταποκρίνεται λογαριθμικά στη διαφορά ισχύος. Εφηύρε μια μονάδα, το Bel, για να μετρήσει την ικανότητα των ανθρώπων να ακούσουν. Ένα δέκατο του Bel, το decibel (db) είναι η πιο κοινή μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται στο πεδίο των συχνοτήτων σήμερα. Ένας πίνακας της σχέσης μεταξύ τάσης, ισχύος και db δίδεται στο Σχήμα Α. Από τον πίνακα μπορούμε να δούμε ότι το 0,1% της παραμόρφωσης αντιστοιχεί στο 60 db κάτω από το θεμελιώδες. Για 80 db όπως στο Σχήμα Β, η παραμόρφωση καταλάμβανει το ¼ της απεικόνισης και όχι το 1/1000 όπως σε μια γραμμική απεικόνιση. 50

20 10 3 0 3 10 20 100 10 2 1 1/ 2 1/10 1/100 40 20 6 0 6 20 40 Παράρτημα db Power Ratio db Voltage Ratio 100 10 2 1 1/ 2 1/10 1/100 db=10 log (Power Ratio)=20 log (Voltage Ratio) 1 Figure A The relationship between decibels, power and voltage 5 0-20 -40-60 0 Linear Amplitude Scale -80 Figure B Small signals can be measured with a logarithmic amplitude scale 51

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 7, 33, 40: Α. Σκόδρας, Β. Αναστασόπουλος: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων, ΕΑΠ, 2003. Διαφάνεια 21: http://en.pudn.com/downloads182/sourcecode/others/detail85 1955_en.html Διαφάνεια 28: R.W. Ramirez: The FFT: Fundamentals and Concepts, Tektronix, 1975. 52

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα ΙΙ, Δειγματοληψία Σήματος». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/ opencourses.php 53