Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Transcript

1 Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 2: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα ΙΙ, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοπός Μελέτη Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου-Ιδιότητές 4

5 Ανάλυση & Σύνθεση Συχνοτήτων Ανάλυση λευκού φωτός Σύνθεση λευκού φωτός 5

6 Τι είδαμε;; Στις προηγούμενες διαλέξεις είδαμε ότι οποιαδήποτε ακολουθία μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο του χρόνου ως ένας σταθμισμένος γραμμικός συνδυασμός μοναδιαίων κρουσικών {δ(n-k) }. Τι θα δούμε;; Στη διάλεξη αυτή θα γνωρίσουμε μια εναλλακτική περιγραφή ως σταθμισμένου γραμμικού συνδιασμού μιγαδικών εκθετικών ακολουθιών της μορφής {e -jωn }. 6

7 Χρόνος & Συχνότητα: δύο βάσεις περιγραφής! Πλάτος Πεδίο Χρόνου Χρόνος Πεδίο Συχνότητας Πλάτος Φάση 7

8 Μη ημιτονοειδείς κυματομορφές συντίθενται από ημιτονοειδείς 8

9 Το διάγραμμα φάσης για ένα ημίτονο μπορεί να οριστεί κοιτώντας το πρώτο πλησιέστερο στο μηδέν θετικό μέγιστο. Θ= t Τ 360 Αν το πλησιέστερο θετικό μέγιστο βρίσκεται μετά το t=0, έχω καθυστέρηση και αρνητική φάση. Αν το πλησιέστερο θετικό μέγιστο βρίσκεται πριν το t=0, το σήμα προπορεύεται και έχω θετική φάση. 9

10 Η Φάση είναι απλά ένας δείκτης θέσης και όχι ένας δείκτης ενέργειας Χρόνος Συχνότητα 10

11 H μετατόπιση του χρόνου επηρεάζει μόνο τη φάση!! 11

12 Ο σημαντικός ρόλος της Φάσης α β γ δ 1 x(t) 1 cos(2 t1) 2 2 cos(4 t2) cos(6 t3) 3 Το σήμα x(t) δίνεται στα σχήματα για διαφορετικές τιμές στις γωνίες φ1, φ2, φ3. α. φ1=φ2=φ3=0 β. φ1=4rad, φ2=8rad, φ3=12rad γ. φ1=6rad, φ2= -2.7rad, φ3=0.93rad δ. φ1=1.2rad, φ2=4.1rad, φ3= -7.02rad 12

13 Jean Baptiste Joseph Fourier and his Fourier transform Το φάσμα πλάτους καθορίζει το ποσό κάθε ημιτονοειδούς συνιστώσας που παρουσιάζεται στην εικόνα. Η φάση καθορίζει το που ακριβώς βρίσκεται κάθε συνιστώσα στην εικόνα. 13

14 Εικόνα Μέτρο Fourier Φάση Fourier #1 #2 14

15 Μέτρο #2 + Φάση #1 Μέτρο #1 + Φάση #2 15

16 Ανακατασκευή του x(t) ως γραμμικού συνδυασμού αρμονικών ημιτονοειδών σημάτων. 16

17 Καθώς η περίοδος T του σήματος τείνει στο άπειρο, οι γραμμές του διακριτού φάσματος πλησιάζουν. Όταν η περίοδος T γίνει άπειρη, η απόσταση μεταξύ των γραμμών μηδενίζεται και το φάσμα γίνεται συνεχές. α. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.05 β. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.1 Περιοδικό Σήμα Σειρά Fourier Γραμμικό Φάσμα γ. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.2 Μη Περιοδικό Σήμα Μετασχηματισμός Fourier Συνεχές Φάσμα δ. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος Τ 17

18 Δυικότητα στο Πεδίο του Χρόνου και της Συχνότητας 18

19 Κατηγορίες Σημάτων & Μετασχηματισμών Fourier Μετασχηματισμός Fourier Σήματα συνεχή και μη περιoδικά Σειρές Fourier Σήματα συνεχή και περιoδικά Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Σήματα διακριτά και μη περιoδικά Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Σήματα διακριτά και περιoδικά 19

20 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου- Discrete Time Fourier Transform (DTFT) Ανάλυση (Ευθύς Μετασχηματισμός) Σύνθεση (Αντίστροφος Μετασχηματισμός) 20

21 Το X(e jω ) είναι περιοδικό με περίοδο 2π. Απόδειξη: 21

22 Παράδειγμα: 22

23 Παράδειγμα: x(n) = δ(n) ALL frequencies have to equally contribute to get the unit pulse, i.e. ALL frequencies are present! 23

24 Παράδειγμα: Ίδιο πλάτος διαφορετική φάση!!! 24

25 Παράδειγμα: 25

26 Γενικά: 26

27 Χρήσιμα Ζεύγη Μετασχηματισμού Fourier 27

28 Ιδιότητες DTFT Γραμμικότητα Μετατόπιση Χρόνου Απόδειξη: 28

29 Παράδειγμα: Η μετατόπιση στον χρόνο επηρεάζει μόνο τη φάση! 29

30 Ιδιότητες DTFT Μετατόπιση Συχνότητας Συνέλιξη Απόδειξη: 30

31 Ιδιότητες DTFT Θεώρημα Parseval Απόδειξη 31

32 Ιδιότητες DTFT 32

33 Ιδιότητες DTFT 33

34 Ζεύγη Μετασχηματισμ ού DTFT διακριτών μη περιοδικών σημάτων 34

35 Κατηγορίες Σημάτων & Μετασχηματισμών Fourier Μετασχηματισμός Fourier Σήματα συνεχή και μη περιoδικά Σειρές Fourier Σήματα συνεχή και περιoδικά ΣΥΝΟΨΗ Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Σήματα διακριτά και μη περιoδικά Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Σήματα διακριτά και περιoδικά 35

36 ΣΥΝΟΨΗ Σχέσεις ανάλυσης και Σύνθεσης Σημάτων Ο πίνακας αυτός είναι από το βιβλίο: Introduction to Digital Signal Processing, J.G. Proakis, D.G. Manolakis, Macmillan Publishing,

37 Μη περιοδικά Περιοδικά ΣΥΝΟΨΗ x(t) k Συνεχούς Χρόνου 1 k 2 k e jk t jkot x(t) e dt o 1 x(n) 1 n0 1 k 0 j2 N X(k) W X (k) x(n) W W N Διακριτού Χρόνου e nk N nk N 1 jt x(t) ( ) e d 2 jt ( ) x(t) e dt 1 j jn x(n) ( e ) e d 2 j ( e ) x(n) e n jn 37

38 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 5,34: J.G. Proakis, D. G. Manolakis: Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications, Prentice- Hall, Διαφάνεια 7, 8, 9, 10, 11, 17: R.W. Ramirez: The FFT: Fundamentals and Concepts, Tektronix, Διαφάνεια 12, 18: V. Oppenheim, A. S. Willsky, S.Hamid Nawab: "Σήματα και Συστήματα", 2η έκδοση, Εκδόσεις Φούντας,

39 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα ΙΙ, Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: opencourses.php 39