ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

Transcript

1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο του Χρόνου Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σήματα ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ( t) 0 t ( t) dt 1 0 Κρουστική Προσέγγιση Κρουστικής ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 4

5 Σήματα Σήμα ως ολοκληρωτικό άθροισμα κρουστικών x(t) lim x(n ) ( n ) 0 r f(t) f( ) (t )d Οποιοδήποτε σήμα μπορεί να εκφραστεί ως ολοκλήρωμα σταθμισμένων (scaled) ολισθημένων (shifted) κρουστικών (impulses). ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 5

6 Σήματα Παλμός ως διαφορά βηματικών ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 6

7 Σήματα Άρτια-Περιττή Μια πραγματική συνάρτηση αν: x e (t) λέγεται άρτια συνάρτηση του t x e (t) x ( t) e Μια πραγματική συνάρτηση t αν: x (t) x ( t) (t) x λέγεται περιττή συνάρτηση του ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 7

8 Σήματα Άρτια-Περιττή o Ιδιότητες: Άρτια x Περιττή= Περιττή Περιττή x Περιττή= Άρτια Άρτια x Άρτια= Περιττή o Κάθε σήμα x(t) μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα μιας περιττής και μιας άρτιας συνάρτησης αφού: 1 1 x(t) [x(t) x( t)] [x(t) x( t)] 2 2 Άρτια Περιττή ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 8

9 Σήματα Άρτια-Περιττή at Έστω η εκθετική συνάρτηση: x(t) e u(t) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 9

10 x(t) Σήματα Άρτια-Περιττή x (t) [x(t) x( t)] / 2 e x( t) x (t) [x(t) x( t)] / 2 o ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 10

11 Συστήματα x(t) Είσοδος S1 Έξοδος y(t) Παράδειγμα: S1 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 11

12 Συστήματα Σύνδεση Συστημάτων S1 ίσοδος S1 S2 Έξοδος Είσοδος + Έξοδος S2 S1 Είσοδος + S1 Έξοδος Είσοδος + S3 Έξοδος S2 S2 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 12

13 Γραμμικότητα Συστήματα Σύνδεση Συστημάτων x 1 (t) Γραμμικό Σύστημα y 1 (t)=s{x 1 (t)} x 2 (t) Γραμμικό Σύστημα y 2 (t)=s{x 2 (t)} α*x 1 (t)+ b*x 2 (t) Γραμμικό Σύστημα y(t)=α*y 1 (t)+by 2 (t) =α*s{x 1 (t)}+b*s{x 2 (t)} ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 13

14 Γραμμικότητα Συστήματα Σύνδεση Συστημάτων Δηλαδή, η απόκριση του συστήματος σε μια είσοδο, που είναι γραμμικός συνδυασμός δυο σημάτων, ισούται με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό των αποκρίσεων του συστήματος στο καθένα από τα σήματα αυτά. y(t)=s{α*x 1 (t)+b*x 2 (t)}=α*s{x 1 (t)}+b*s{x 2 (t)}=α*y 1 (t)+by 2 (t) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 14

15 Συστήματα Χρονική Αμεταβλητότητα Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήματα Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ) (αμετάβλητο) αν και μόνο αν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. Χρονικά Αναλλoίωτο Σύστημα Χρονικά Αναλλoίωτο Σύστημα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 15

16 Συστήματα Ευστάθεια Ένα σύστημα λέγεται ΦΕΦΕ ευσταθές (Φραγμένης Εισόδου- Φραγμένης Εξόδου)- (ΒIBO- Bounded Input- Bounded Output) αν και μόνο αν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδος παραμένει φραγμένη. Φραγμένη Είσοδος x(t) M1 Ευσταθές Σύστημα Φραγμένη Έξοδος y(t) M2 Φραγμένη Είσοδος x(t) M1 Μη ευσταθές Σύστημα Μη Φραγμένη Έξοδος ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 16

17 Συστήματα Συνέλιξη Είσοδος Έξοδος ( ) h( ) ( n ) h(t n ) [x(n ) ] (t n ) [x(n ) ]h(t n ) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 17

18 Συστήματα Συνέλιξη ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 18

19 Συστήματα Συνέλιξη x(t) y(t) x( )*h( ) x( ) h(t )d y(t) x( ) h(t )d ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 19

20 Συστήματα Ιδιότητες Συνέλιξης Αντιμεταθετική ιδιότητα h ( t)* h ( t) h ( t)* h ( t) x(t) h1(t) h2(t) y(t) x(t) h2(t) h1(t) y(t) Προσεταιριστική ιδιότητα h ( t)*[ h ( t)*x(t)] [ h ( t)* h ( t)]*x(t) x(t) y(t) x(t) y(t) h1(t) h2(t) h1(t)*h2(t) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 20

21 Συστήματα Ιδιότητες Συνέλιξης Επιμεριστική ιδιότητα [ h ( t) h ( t)]*x(t) h ( t)*x(t) h ( t)*x(t) x(t) h1(t) + y(t) x(t) h1(t)+h2(t) y(t) h2(t) Ταυτοτική ιδιότητα (t)* h ( t) h( t) δ(t) h(t) h(t) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 21

22 Συστήματα Παράδειγμα Συνέλιξης Βηματικών Υπολογίστε y(t) u(t)* u(t) y(t) u( ) u(t )d Σχεδιασμός u(τ): Σχεδιασμός u(-τ): Σχεδιασμός u(t-τ): Πηγή: Adam Panagos ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 22

23 Συστήματα Παράδειγμα Συνέλιξης Βηματικών Περίπτωση 1: t<0 Περίπτωση 2: t 0 u( ) u(t ) 0 u( ) u(t ) d 0d 0 u( ) u(t ) t u( ) u(t ) d 1d t Πηγή: Adam Panagos ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 23 0

24 Συστήματα Παράδειγμα Συνέλιξης Βηματικών Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις y(t) u(t)* u(t) 0 t<0 t t 0 u(t)* u(t) tu(t) Πηγή: Adam Panagos ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 24

25 Συστήματα Παράδειγμα Συνέλιξης Εκθετικών t x(t) e u(t) h 2t (t) e u(t) t 2(t ) y(t) e e d, t 0 0 t t 2( ) 2 (t) (t)*h(t) ( ) h(t )d t t t ( ) (t) y x x e e d e e u 0 0 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 25

26 Συνέλιξη Πίνακας Ζευγών Συνέλιξης x (t) 1 x(t) t e u(t) e u(t) 1 t u(t) t e u(t) t te u(t) x (t) 2 x1 (t)* x2(t) x2(t)* x1 (t) (t T ) u(t) u(t) e 2 t u(t) t e u(t) t e u(t) 1t 2 e e x(t T) t 1 e u (t) tu(t) t 1 2 u(t), t te u(t) 1 2 t t e u(t) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 26

27 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 5, 6, 7, 9, 17, 18, 25: "Linear Systems and Signals", B. P. Lathi, Oxford University Press, 2005 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 27

28 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα Ι, Στο Πεδίο του Χρόνου». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι -Στο Πεδίο του Χρόνου 28