Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις

Κεφάλαιο 8 Ορμή, ώθηση, κρούσεις

Στόχοι 8 ου Κεφαλαίου Ορμή και ώθηση. Διατήρηση της ορμής. Μη ελαστικές κρούσεις. Ελαστικές κρούσεις. Κέντρο μάζας.

Η μεταβολή της ορμής ενός σωματίου κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος είναι ίση με την ώθηση της ολικής δύναμης που δρα πάνω στο σώμα στο χρονικό αυτό διάστημα. Ορμή και ώθηση. Η ορμή είναι διανυσματική ποσότητα και ορίζεται ως: p = mυ p x = mυ x, p y = mυ y, p z = mυ z Έτσι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γίνεται: F = dp dt Για μια ολική δύναμη ΣF που δρα σ ένα σώμα για χρόνο Δt ορίζουμε ώθηση το γινόμενο: J = F t 2 t 1 t = F t Αν η ολική δύναμη F στο διάστημα tείναι σταθερή τότε dp επομένως η παράγωγος dp dt = p 2 p 1 t 2 t 1 dt και η ώθηση παίρνει τη μορφή: J = p 2 p 1 σταθερό και

Σε μερικές περιπτώσεις μπορούμε να πάρουμε τις συνιστώσες της ώθησης: t 2 J x = F x dt = F av x t 2 t 1 = p 2x p 1x = mυ 2x mυ 1x t 1 t 2 J y = F y dt = F av y t 2 t 1 = p 2y p 1y = mυ 2y mυ 1y t 1 Παράδειγμα. Πετάτε μια μπάλα μάζας 0,40 kg προς τον τοίχο. Η μπάλα κτυπά στον τοίχο ενώ κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 30 m/s και αναπηδά επίσης οριζόντια προς τα δεξιά με ταχύτητα 20 m/s. α) Βρείτε την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στην μπάλα από τον τοίχο. β) Αν η μπάλα βρίσκεται σε επαφή με τον τοίχο για 0,010 s, βρείτε τη μέση δύναμη που ασκείται πάνω στη μπάλα κατά την πρόσκρουση. a) J x = p 2x p 1x = mυ 2x mυ 1x = 20 N s b) F av x = J x t = 20 N 0,010 s

Παράδειγμα. Μια μπάλα ποδοσφαίρου έχει μάζα 0,40 kg. Αρχικά κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 20 m/s, αλλά μια κλωτσιά της δίνει ταχύτητα 30 m/s με διεύθυνση 45 ο προς τα πάνω και δεξιά. Βρείτε την ώθηση της δύναμης και τη μέση τιμή της δύναμης, υποθέτοντας ότι ο χρόνος κρούσης είναι Δt=0,010 s. υ 1x = 20 m/s υ 1y = 0 υ 2x = υ 2y = 0,707 30 m/s = 21,2 m/s Σημειώνεται ότι cos45 o =sin45 o =0,707 J x = p 2x p 1x = mυ 2x mυ 1x = 16,5 kg m s J y = p 2y p 1y = mυ 2y mυ 1y = 8,5 kg m s F av x = J x t = 1650 N F av y = J y t = 850 N F av = 1650 N 2 + 850 N 2 = 1,9 10 3 N 850 N θ = arc tan 1650 N = 27o

Διατήρηση της ορμής. Σ ένα σύστημα, οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωματίων που το αποτελούν ονομάζονται εσωτερικές δυνάμεις. Δυνάμεις που ασκούνται σε κάποιο μέρος του συστήματος από κάποιο σώμα εκτός του συστήματος ονομάζονται εξωτερικές. Αν για παράδειγμα το σώμα Α ασκεί στο Β μια δύναμη F AB τότε το Β ασκεί στο Α μια ίση και αντίθετη F ΒΑ. Τα Α και Β αποτελούν ένα σύστημα, και οι δυνάμεις αυτές είναι εσωτερικές για το σύστημα.τότε F AB + F BA = dp A dx + dp B dx = 0 Δηλαδή η ολική ορμή υπό την επίδραση των εσωτερικών δυνάμεων, δηλ. σε απομονωμένο σύστημα είναι σταθερή. Στην περίπτωση που υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα αυτές προστίθενται στο αριστερό μέλος της παραπάνω εξίσωσης και τότε η ολική ορμή δεν είναι σταθερή. Όμως θα μπορούσαμε να εκφράσουμε την παραπάνω αρχή της διατήρησης της ορμής με το γενικότερο αποτέλεσμα: Αν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται πάνω σ ένα σύστημα είναι μηδέν, η ολική ορμή του συστήματος είναι σταθερή.

Παράδειγμα: Ανάκρουση καραμπίνας Ένας σκοπευτής κρατά χαλαρά μια καραμπίνα μάζας m K =3,00 kg, ώστε να την αφήσει να αναπηδήσει ελεύθερα όταν εκπυρσοκροτήσει. Ρίχνει μια σφαίρα μάζας m Σ =5,00 g η οποία κινείται οριζοντίως με ταχύτητα ως προς το έδαφος υ Σx =300 m/s. Ποια είναι η ταχύτητα ανάκρουσης υ Κx της καραμπίνας; Ποια είναι η τελική ορμή και η τελική κινητική ενέργεια της σφαίρας; Ποια είναι η τελική ορμή και η τελική κινητική ενέργεια της καραμπίνας; Ολική ορμή παραμένει σταθερή σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ορμής. Επομένως m Σ υ Σx + m K υ Κx = 0 υ Κx = 0,500 m s Τελική ορμή και κινητική ενέργεια για την σφαίρα: P Σx = m Σ υ Σx = 1,50 kg m/s K Σ = 1 2 m Συ Σx 2 = 225 J

Τελική ορμή και κινητική ενέργεια για τη καραμπίνα: P Κx = m Κ υ Κx = 1,50 kg m/s K K = 1 2 m Kυ Kx 2 = 0,375 J Παράδειγμα: Σύγκρουση πάνω σε ευθεία Δύο βαγόνια κινούνται το ένα προς το άλλο, χωρίς τριβές, πάνω σε μια ευθύγραμμη αεροτροχιά. Αφού συγκρουστούν, το Β απομακρύνεται με μια τελική ταχύτητα +2,0 m/s. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του Α; Ποια σχέση έχουν οι μεταβολές στις ορμές και στις ταχύτητες των δύο βαγονιών; Πριν P x = m A υ A1x + m B υ B1x = 0,50 kg 2,0 m/s + 0,30 kg 2,0 m/s = 0,40 kg m s Μετά P x = m A υ A2x + m B υ B2x = 0,40 kg m s υ Α2x = 0,040 m/s Μεταβολή στην ορμή του Α και του B: m A υ A2x m A υ A1x = 1,2 kg m/s m B υ B2x m B υ B1x = +1,2 kg m/s

Παράδειγμα: Σύγκρουση πάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται δύο ρομπότ που μονομαχούν. Το ρομπότ Α έχει μάζα 20 kg και αρχικά κινείται με ταχύτητα 2,0 m/s παράλληλα προς τον άξονα x. Συγκρούεται με το ρομπότ Β που έχει μάζα 12 kg και είναι αρχικά ακίνητο. Μετά τη σύγκρουση το ρομπότ Α κινείται με ταχύτητα 1,0 m/s σε κατεύθυνση που σχηματίζει γωνία α=30 ο με την αρχική κατεύθυνση κίνησης. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του ρομπότ B; Η συνιστώσα της ταχύτητας του Β στον άξονα x είναι: m A υ A1x + m B υ B1x = m A υ A2x + m B υ B2x υ B1x = 0 υ A2x = 1,0 m/s cos a Βρίσκουμε υ 2Bx = 1,89 m/s Η συνιστώσα της ταχύτητας του Β στον άξονα x είναι: m A υ A1y + m B υ B1y = m A υ A2y + m B υ B2y υ B1y = 0 υ A2y = 1,0 m/s sin a β = arc tan 0,83 m/s 1,89 m/s = 24o Βρίσκουμε υ 2By = 0,83 m/s υ B2 = 1,89 m/s 2 + 0,83 m/s 2 = 2,1 m/s

Μη ελαστικές κρούσεις. Όταν κατά την κρούση οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης ανάμεσα στα σώματα είναι διατηρητικές ώστε να μην υπάρχει μεταβολή της μηχανικής ενέργειας, η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι ίδια πριν και μετά την κρούση. Τότε η κρούση είναι ελαστική. Όταν η ολική κινητική ενέργεια μετά την κρούση μειώνεται τότε η κρούση ονομάζεται μη ελαστική. Στην περίπτωση της μη ελαστική κρούσης που τα συγκρουόμενα σώματα κολλάνε το ένα στο άλλο η κρούση ονομάζεται πλαστική ή τελείως μη ελαστική. Τελείως μη ελαστικές κρούσεις. Στην περίπτωση αυτή τα δύο σώματα μετά την κρούση κινούνται σαν ένα άρα: υ A2 = υ B2 = υ 2 m A υ A1 + m B υ B1 = m A + m B υ 2 Όταν υ B1 = 0, τότε m A υ 1 = m A + m B υ 2, υ 2 = m A m A +m B υ 1 Ενώ για τις κινητικές ενέργειες ισχύει: K 1 = 1 2 m Aυ 1 2, K 2 = 1 2 m A + m B υ 2 2 K 2 K 1 = m A m A + m B

Παράδειγμα: Μια τελείως μη ελαστική κρούση. Υποθέστε ότι στο παράδειγμα με τη σύγκρουση των δυο βαγονιών, τα δύο βαγόνια κολλάνε μετά την κρούση. Να βρεθεί η τελική ταχύτητα υ 2x και να συγκριθούν οι κινητικές ενέργειες πριν και μετά την κρούση. m A υ A1x + m B υ B1x = m A + m B υ 2x υ 2x = m Aυ A1x + m B υ B1x m A + m B = 0,50 m/s Πριν την κρούση: K A = 1 2 m Aυ A1x 2 = 1,0 J K B = 1 2 m Bυ B1x 2 = 0,60 J Μετά την κρούση: 1 2 m A + m B υ 2x 2 = 0,10 J

Παράδειγμα: Το βαλλιστικό εκκρεμές. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται ένα βαλλιστικό εκκρεμές, ένα σύστημα για τη μέτρηση της ταχύτητας μιας σφαίρας. Η σφαίρα, που έχει μάζα m, πυροβολείται προς ένα κομμάτι ξύλο μάζας Μ, το οποίο είναι αναρτημένο σαν εκκρεμές. Η σφαίρα σφηνώνεται στο ξύλο, κάνοντας μια τελείως μη ελαστική (πλαστική) κρούση με αυτό. Μετά την πρόσκρουση της σφαίρας το ξύλο μετακινείται και ακολουθώντας κυκλική τροχιά, ανυψώνεται και μετατοπίζεται κατά διάστημα y. Με δεδομένες τις τιμές των y, m και Μ, ποια είναι η αρχική ταχύτητα της σφαίρας; Πριν: mυ x = m + M V x, υ x = m+m V m x Μόλις μετά την κρούση η σφαίρα σφηνώνεται στο ξύλο και το σύστημα σφαίρας-ξύλου αποκτά στιγμιαία ταχύτητα V x και ανυψώνεται στο ύψος y όπου στο ανώτερο σημείο σταματά στιγμιαία άρα η κινητική του ενέργεια στο σημείο αυτό μετατρέπεται πλήρως σε δυναμική: 1 m + M V 2 x 2 = m + M gy, V x = 2gy m + M υ x = 2gy m

Παράδειγμα: Ανάλυση μιας σύγκρουσης αυτοκινήτων. Σ ένα σταυροδρόμι ένα αυτοκίνητο μάζας 1000 kg που κινείται προς βορρά με ταχύτητα 15 m/s συγκρούεται με φορτηγό μάζας 2000 kg που κινείται ανατολικά με ταχύτητα 10 m/s. Α) Βρείτε την ολική ορμή λίγο πριν την σύγκρουση. Β) θεωρώντας πλαστική την κρούση βρείτε την ταχύτητα μετά την σύγκρουση (μέτρο και κατεύθυνση).

Θεωρούμε Α το αυτοκίνητο που κινείται προς τα θετικά του άξονα y. (υ Ax = 0, υ Ay = 10 m/s). Θεωρούμε B το φορτηγό που κινείται προς τα θετικά του άξονα x. (υ Bx = 15 m/s, υ By = 0). Οι συνιστώσες της ορμής είναι: P x = m A υ Ax + m B υ Bx = 2,0 10 4 kg m/s P y == m A υ Ay + m B υ By = 1,5 10 4 kg m/s P = P x 2 + P y 2 = 2,5 10 4 kg m/s, tan θ = P y = 0,75, θ=37 ο P x Τα δύο αυτοκίνητα μετά την σύγκρουση αποτελούν ένα σώμα μάζας M=3000 kg. Άρα λόγω της διατήρησης της ορμής η ολική ορμή μετά την κρούση θα είναι: P = MV. Επομένως η ταχύτητα θα έχει τη διεύθυνση της ορμής P και μέτρο: V = P = 8,3 m/s M

Ελαστικές κρούσεις. Στις ελαστικές κρούσεις διατηρείται η ορμή και η κινητική ενέργεια. Θεωρούμε δύο σώματα Α και Β που κινούνται στον άξονα x με ταχύτητες υ Α1x και υ Β1x τα οποία συγκρούονται ελαστικά και αποκτούν μετά την κρούση ταχύτητες υ Α2x και υ Β2x. Τότε ισχύει: 1 2 m Aυ A1x 2 + 1 2 m Bυ B1x 2 = 1 2 m Aυ A2x 2 + 1 2 m Bυ B2x 2 m A υ A1x + m B υ B1x = m A υ A2x + m B υ B2x Για ευκολία θεωρούμε ότι το σώμα Β αρχικά είναι ακίνητο, δηλ. υ B1x = 0. Τότε 1 2 m Aυ A1x 2 = 1 2 m Aυ A2x 2 + 1 2 m Bυ B2x 2 Επομένως: m A υ A1x = m A υ A2x + m B υ B2x υ A2x = m A m B m A + m B υ A1x, υ B2x = 2m A m A + m B υ A1x Στην ειδική περίπτωση όπου m A = m B και υ B1x = 0 τότε υ A2x =0 και υ B2x = υ A1x υ A1x = υ B2x υ A2x

Γενικά υ B2x υ A2x = υ B1x υ A1x, σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων πάνω σε ευθεία οι σχετικές τους ταχύτητες έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετα πρόσημα. Παράδειγμα: Ελαστική κρούση σε ευθεία. Δύο βαγόνια κινούνται το ένα προς το άλλο, χωρίς τριβές, πάνω σε μια ευθύγραμμη αεροτροχιά. Αφού συγκρουστούν, το Β απομακρύνεται με μια τελική ταχύτητα +2,0 m/s. Ποιες είναι οι ταχύτητες των Α και Β μετά την κρούση; Η κρούση είναι ελαστική. m A υ A1 + m B υ B1 = m A υ A2 + m B υ B2 0,50υ A2 + 0,30υ B2 = 0,40 m/s επίσης από την ισότητα των σχετικών ταχυτήτων των δύο σωμάτων που συγκρούονται ελαστικά ισχύει: υ B2x υ A2x = υ B1x υ A1x υ A2x = 1,0 m/s, υ B2x = 3,0 m/s = 4,0 m/s

Παράδειγμα: Ελαστική κρούση σε δύο διαστάσεις. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται μια ελαστική κρούση μεταξύ δύο λαστιχένιων δίσκων πάνω σε αεροτράπεζα χωρίς τριβές. Ο δίσκος Α έχει μάζα m A =0,500 kg και ο δίσκος Β μάζα m Β =0,300 kg. Ο δίσκος Α έχει αρχική ταχύτητα 4,00 m/s στη διεύθυνση των θετικών x και τελική ταχύτητα 2,00 m/s σε άγνωστη διεύθυνση. Ο δίσκος Β είναι αρχικά ακίνητος. Βρείτε την τελική ταχύτητα του δίσκου Β και τις γωνίες α και β του σχήματος. Ελαστική κρούση επομένως: 1 2 m Aυ A1 2 = 1 2 m Aυ A2 2 + 1 2 m Bυ B2 2 υ B2 = 4,47 m/s Για την εύρεση των γωνιών παίρνουμε τη διατήρηση των ορμών στους άξονες x και y: m A υ A1x + m B υ B1x = m A υ A2x + m B υ B2x

Άξονας x: 0,500 kg 4,00 m/s = 0,500 kg 2,00 m/s cos α + 0,300 kg 4,47 m/s cos β Άξονας y: 0 = m A υ A2y + m B υ B2y = 0,500 kg 2,00 m/s sin α 0,300 kg 4,47 m/s sin β λύνουμε τις εξισώσεις ως προς sinβ και cosβ, ισχύει sin β 2 + cos β 2 = 1, οπότε βρίσκουμε το α από την άλλη εξίσωση. Αφού βρούμε το α αντικαθιστούμε και βρίσκουμε το β. α=36,9 ο και β=26,6 ο.

Κέντρο μάζας. Έστω ένα σύστημα με μια κατανομή μαζών στο χώρο. Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας ορίζονται ως: x cm = m ix i i i m i Γενικότερα ισχύει: r cm = m ir i i i m i Το κέντρο μάζας είναι η σταθμισμένη μέση θέση των σωματίων, με στατιστικό βάρος τη μάζα τους.

Παράδειγμα: Κέντρο μάζας ενός μορίου νερού. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται ένα μόριο νερού. Η απόσταση μεταξύ των ατόμων είναι d=9,57 x 10-11 m. Κάθε άτομο έχει μάζα 16,0 u. Να βρείτε το κέντρο μάζας του μορίου. Το άτομο του οξυγόνου έχει συντεταγμένες (x,y)=(0,0) x cm = y cm = m ix i i i m i = 1,0u d cos 52,5o + 1,0u d cos 52,5 o + 16,0u 0 1,0u + 1,0u + 16u = 0,068 d = 6,5 10 12 m m ix i i i m i = 1,0u d sin 52,5o 1,0u d sin 52,5 o + 16,0u 0 1,0u + 1,0u + 16u = 0

Κίνηση του κέντρου μάζας. Οι συνιστώσες της ταχύτητας του κέντρου μάζας υ cm-x και υ cm-y είναι οι παράγωγοι ως προς το χρόνο των x cm και y cm. Άρα: υ cm x = υ cm y = i i m iυ ix i m i m iυ iy i m i Γενικότερα: υ cm = m iυ i i i m i Ολική ορμή του συστήματος των μαζών: Mυ cm = i m i υ i = P Υπενθυμίζουμε ότι όταν η ολική εξωτερική δύναμη είναι μηδέν, τότε η ολική ορμή P παραμένει σταθερή και επομένως σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση η ταχύτητα του κέντρου μάζας παραμένει σταθερή.

Διελκυστίνδα πάνω στον πάγο. Ο Α στέκεται σε απόσταση 20,0 m από τον Β, πάνω στην λεία επιφάνεια παγωμένης λίμνης. Ο Β έχει μάζα 60,0 kg και ο Α 90 kg. Στο μέσο της απόστασης ανάμεσά τους υπάρχει ένα κύπελλο καφέ. Κρατάνε τη μια και την άλλη άκρη σκοινιού αμελητέας μάζας που είναι τεντωμένο. Όταν ο Α κινηθεί κατά 6,00 m προς το κύπελλο, κατά πόσο και σε ποια κατεύθυνση έχει κινηθεί ο Β; Στο σύστημα των Α και Β δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις αφού η επιφάνεια της λίμνης δεν έχει τριβές και είναι οριζόντια. Επομένως η ολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή και άρα και η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι σταθερή. Αρχικά οι Α και Β είναι ακίνητοι άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας του συστήματος είναι μηδέν. Επομένως και μετά θα παραμείνει η ταχύτητα του κέντρου μάζας μηδέν παρ ολο που οι Α και Β μετακινήθηκαν. Άρα το κέντρο μάζας παραμένει το ίδιο. Οι αρχικές συντεταγμένες του Α και Β είναι αντίστοιχα -10,0 m και +10 m.

Άρα: x cm = 90 kg 10,0 m + 60 kg 10,0 m 90,0 kg+60,0 kg = 2,0 m Αφού ο Α μετακινήθηκε κατά 6,00 m προς το κύπελλο, η νέα συντεταγμένη του θα είναι -4,00 m. Άρα: x cm = 90 kg 4,0 m + 60 kg x 2 90,0 kg+60,0 kg Εξωτερικές δυνάμεις και κίνηση του κέντρου μάζας. = 2,0 m, x 2 = 1,0 m. Όταν πάνω σε ένα σώμα ή σύστημα σωμάτων ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, το κέντρο μάζας του σώματος ή του συστήματος κινείται σαν να ήταν όλη η μάζα συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και πάνω της δρούσε μια δύναμη ίση με το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων. Όλες οι εσωτερικές δυνάμεις στο σύστημα λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα αλληλοαναιρούνται και η ολική δύναμη στο σύστημα είναι το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων. Ma cm = m i a i = F iεξωτ i i

Μια οβίδα διασπάται στα δύο εν πτήσει. Αν αγνοηθεί η αντίσταση του αέρα, τότε το κέντρο μάζας των δύο θραυσμάτων θα ακολουθήσει την τροχιά που θα ακολουθούσε η οβίδα πριν διασπαστεί.