Ασκήσεις υναµικής 6 η ενότητα: Eπίπεδη κίνηση στερεών σωµάτων: υνάµεις και επιταχύνσεις 1. Η ράβδος µάζας 7-kg ΒC ενώνει ένα δίσκο (µε κέντρο το Α) µε στρόφαλο CD όπως δείχνει το σχήµα. Γνωρίζοτας ότι ο δίσκος περιστρέφεται µε µια σταθερή ταχύτητα 180 rpm, καθορίστε για τη θέση που φαίνεται στο σχήµα, τις κατακόρυφες συνιστώσες των δυνάµεων που ασκούνται στη ράβδο BC από τους πείρους Β και C. 2. Το τύµπανο του φρένου ακτίνας 250 mm που φαίνεται στο σχήµα, εφάπτεται σε ένα µεγαλύτερο σφόνδυλο ο οποίος δεν φαίνεται στο σχήµα. Η ολική ροπή αδράνειας σφονδύλου και τυµπάνου, είναι 20 kgm 2 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του τυµπάνου και του φρένου είναι 0,40. Γνωρίζοντας ότι η αρχική γωνιακή ταχύτητα είναι 240 rpm δεξιόστροφα, καθορίστε τη δύναµη που πρέπει να ασκηθεί από το φρένο, αν το σύστηµα πρέπει να σταµατήσει σε 60 περιστροφές.
3. Ιµάντας αµελητέας µάζας, περνά µεταξύ δυο κυλίνδρων Α και Β και τραβιέται προς τα δεξιά µε µια δύναµη Ρ. Οι κύλινδροι Α και Β έχουν µάζες, 2 και 8 kg αντίστοιχα. Ο άξονας του κυλίνδρου Α είναι ελεύθερος να κινείται στο κατακόρυφο αυλάκι του σχήµατος, και οι συντελεστές τριβής µεταξύ ιµάντα και κάθε κυλίνδρου είναι µ s =0,50 και µ k =0,40. Για Ρ=18 Ν καθορίστε, α) εάν εµφανίζεται ολίσθηση µεταξύ του ιµάντα και κάθε κυλίνδρου, και β) τη γωνιακή επιτάχυνση του κάθε κυλίνδρου. 4. Ένας δίσκος µάζας 7 kg και διαµέτρου 250 mm παραµένει ακίνητος σε µια λεία επιφάνεια. Μια δύναµη Ρ µεγέθους 4 Ν εφαρµόζεται σε ταινία που τυλίγεται γύρω από το δίσκο, όπως δείχνει το σχήµα. Καθορίστε α) την γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, β) την επιτάχυνση του κέντρου C του δίσκου, c) το µήκος της ταινίας που δεν έχει ξετυλιχθεί µετά από 2 sec.
5. Το κιβώτιο 240-kg του σχήµατος κατεβαίνει µε τη βοήθεια δυο γερανών, που δένονται πάνω από αυτό (σηµεία Α και Β). Kαθώς το κιβώτιο προσεγγίζει το έδαφος, οι χειριστές των γερανών ενεργοποιούν τα φρένα για να ελαττώσουν την ταχύτητα. Καθορίστε την επιτάχυνση κάθε καλωδίου τη στιγµή αυτή, γνωρίζοντας ότι Τ Α =1900 Ν και Τ Β =1600 Ν. 6. Μια οµογενής λεπτή δοκός ΑΒ µάζας m αναρτάται από δυο ελατήρια όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν το ελατήριο 2 σπάσει, καθορίστε για αυτή τη χρονική στιγµή, α) τη γωνιακή επιτάχυνση της δοκού, β) την επιτάχυνση του σηµείου Α, c) την επιτάχυνση του σηµείου Β.
7. Ένας οµογενής δίσκος µάζας 10 kg προσδένεται σε µια λεπτή ράβδο ΑΒ µάζας 6 kg µέσω των πείρων Β και C, οι οποίοι θεωρούνται άτριβοι. Ο µηχανισµός περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, κάτω από τη συνδυασµένη επιρροή της βαρύτητας και ενός ζεύγους ροπής Μ που εφαρµόζεται στη ράβδο ΑΒ. Γνωρίζοντας ότι τη στιγµή που φαίνεται ο µηχανισµός έχει µια γωνιακή ταχύτητα 6 rad/s και µια γωνιακή επιτάχυνση 25 rad/s 2 και οι δυο αριστερόστροφες, καθορίστε, α) το ζεύγος ροπής Μ, και β) τη δύναµη που ασκείται από τον πείρο C στο µέλος ΑΒ. 8. Το γρανάζι C έχει µάζα 5 kg και ακτίνα αδρανείας 75 mm. Η οµογενής ράβδος ΑΒ έχει µάζα 3 kg και το γρανάζι D είναι ακίνητο. Αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο από την ακινησία στη θέση που φαίνεται στο σχήµα, καθορίστε α) τη γωνιακή επιτάχυνση του γραναζιού C και β) την επιτάχυνση του σηµείου Β.
9. Οι δύο ρόδες του οχήµατος συνδέονται µε τη ράβδο ΑΒ µάζας 20 kg µε κέντρο µάζας στο σηµείο G. Η ράβδος είναι συνδεδεµένη µε την ρόδα Β µε πείρο και µε την ρόδα Α µε λείο σφηνόδροµο (κύλιση). Εάν το όχηµα έχει σταθερή ταχύτητα 4 m/s, βρείτε το µέγεθος της δύναµης που ασκείται στον πείρο Β για τη θέση θ = 30 ο. 10. Υπολογίστε το µέτρο P και την διεύθυνση θ της δύναµης που απαιτείται για να προσδώσει επιτάχυνση α = 1.5 m/s 2 µε φορά προς τα πίσω στο φορτωµένο καροτσάκι χωρίς περιστροφή. Η συνολική µάζα του καροτσιού µε το φορτίο του είναι 190 kg µε το κέντρο µάζας να είναι στο σηµείο G. Συγκρίνετε την κάθετη δύναµη στο σηµείο Β για την περίπτωση της επιταχυνόµενης κίνησης µε την περίπτωση που έχουµε στατική ισσοροπία όπως φαίνεται στο σχήµα. Η µάζα της ρόδας και η τριβή θεωρούνται αµελητέες.
11. Το αεροπλάνο προσγειώνεται µε ταχύτητα 200 km/h και επιβραδύνει µε σταθερό ρυθµό στα 60 km/h µε αρνητική ώση που παράγουν οι αναστρωφείς ώσης σε διάστηµα 425 µέτρων. Η συνολική µάζα του αεροσκάφους είναι 140 Mg µε το κέντρο µάζας στο G. Βρείτε την αντίδραση Ν στον τροχό Β. Τα αεροδυναµικά φορτία θεωρούνται αµελητέα στις χαµηλές ταχύτητες. 12. Πάνω από την ατµόσφαιρα της γης και σε ύψος 400 km., η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 8.69 m/s 2. O πύραυλος του σχήµατος έχει εναποµένουσα µάζα 300 kg και κατευθύνεται σε διεύθυνση 30 ο από τον κατακόρυφο άξονα. Εάν η ώση Τ από την µηχανή του πυραύλου είναι 4 κν και το ακροφύσιο έχει απόκλιση 1 ο, όπως φαίνεται στο σχήµα υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση α του πυραύλου καθώς και τις συνιστώσες της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας G στους άξονες x και y. Ο πύραυλος έχει ακτίνα αδρανείας 1.5 m.
13. H κίνηση της οµογενούς ράβδου ΑCΒ µάζας 4 kg οδηγείται από τα δύο αβαρή µπλοκ τα οποία ολισθαίνουν άνευ τριβών όπως φαίνεται στο σχήµα. Μια οριζόντια δύναµη P ασκείται στο µπλοκ Α, αναγκάζοντας την ράβδο να αφήσει την κατάσταση ηρεµίας και να επιταχύνει µε γωνιακή ανθωρολογιακή επιτάχυνση 12 rad/s 2. Υπολογίστε α) την απαιτούµενη δύναµη P και β) την αντίδραση στο Α. 14. Η οµογενής ράβδος BD µήκους 250 mm και µάζας 5 kg συνδέεται µε τον δίσκο Α όπως φαίνεται στο σχήµα και µε το κολλάρο αµελητέας µάζας το οποίο ολισθαίνει ελεύθερα στην κάθετη ράβδο. Εάν ο δίσκος Α περιστρέφεται ανθωρολογιακά µε σταθερό ρυθµό 500 rpm, υπολογίστε την αντίδραση στο D όταν θ = 0.
15. Η οµογενής ράβδος ΑΒ έχει µάζα 15 kg, µήκος 0.9 µέτρα και συνδέεται µε το βαγόνι C µάζας 20 κιλών. Αµελώντας την την τριβή προσδιορίστε α) την επιτάχυνση του βαγονίου και β) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου αµέσως µόλις ξεκινάει το σύστηµα από την κατάσταση ηρεµίας. 16. Κάθε µία από τις ράβδους ΑΒ και ΒC έχει µήκος 0.5 µέτρα και µάζα 2 kg. Μία οριζόντια δύναµη P µεγέθους 15 Ν ασκείται όπως φαίνεται στο σχήµα. Υπολογίστε την γωνιακή επιτάχυνση της κάθε ράβδου.
17. Αµέσως µετά την εκτόξευση η ρουκέτα του σχήµατος, µάζας 11340 kg, κινείται προς τα πάνω µε επιτάχυνση 13.5 m/s 2. Εάν αυτή τη χρονική στιγµή η µηχανή Α σταµατήσει να λειτουργεί και η Β συνεχίζει κανονικά βρείτε α) την επιτάχυνση του κέντρου µάζας G της ρουκέτας β) την γωνιακή επιτάχυνση της ρουκέτας. Υποθέστε ότι η ρουκέτα είναι µία οµοιόµορφη λεπτή ράβδος µήκους 14.4 µέτρων.