ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ «ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΤΙΡΙΩΝ Ο/Σ ΜΕ ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΕ ΚΑΤΟΨΗ»

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ «ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΤΙΡΙΩΝ Ο/Σ ΜΕ ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΕ ΚΑΤΟΨΗ» ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ Γ.ΠΕΝΕΛΗΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝ ΡΕΑΣ ΚΑΠΠΟΣ, επιβλέπων καθηγητής ΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙ ΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΒΡΑΜΙ ΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝ ΡΕΑΣ ΚΑΠΠΟΣ ΕΥΡΙΠΙ ΗΣ ΜΥΣΤΑΚΙ ΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ ΚΟΣΜΑΣ ΣΤΥΛΙΑΝΙ ΗΣ ΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙ ΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΙΟΣ 27

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Μετά την περαίωση των µεταπτυχιακών σπουδών µου στο Λονδίνο το 1999 αποφάσισα την εκπόνηση της διδακτορικής µου διατριβής στη Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. όπου και διεξήγαγα τις βασικές προπτυχιακές µου σπουδές. Η επιλογή µου αυτή, σε αντίθεση µε την εκπόνηση διδακτορικής διατριβής στο εξωτερικό, ήταν απολύτως συνειδητή και έγινε για δύο σηµαντικούς λόγους. Ο πρώτος εξ αυτών είναι ότι, παρά τις κρατούσες σήµερα αλλά και τότε αντιλήψεις, διαπίστωσα ότι το επίπεδο παρεχόµενης γνώσης σε ένα πολύ καλό Πανεπιστηµιακό Ίδρυµα του εξωτερικού όπως το Imperial College, δεν απείχε αυτού που παρέχονταν στο Α.Π.Θ. Η αίσθηση µου ήταν ότι και στα δύο ιδρύµατα υπήρχε περίπου ο ίδιος, υψηλός, µέσος όρος επιπέδου σπουδών, µε την διαφορά ότι στο Α.Π.Θ. υπήρχε πολύ µεγαλύτερη διασπορά, τόσο στους φοιτητές όσο και στα µέλη.ε.π., γύρω από αυτόν το µέσο όρο σε σχέση µε το I.C. όπου η διασπορά αυτή ήταν πολύ µικρή γύρω από τον µέσο όρο. Αποτελεί πλέον πεποίθηση µου ότι αιτία της µέτριας εικόνας των Ελληνικών Πανεπιστηµίων είναι αυτή ακριβώς η διασπορά (το µειονεκτούν τµήµα της) η οποία είναι αναπόφευκτη λαµβάνοντας υπόψη των τεράστιο αριθµό εισακτέων στις προπτυχιακές σπουδές (35 έναντι των 1 στο Ι.C.) Ο δεύτερος λόγος για την επιλογή µου βασίζεται στην άποψη που είχα τότε και σήµερα αποτελεί πεποίθηση µου, ότι επειδή η επιστήµη του µηχανικού είναι καθαρά εφαρµοσµένη επιστήµη (ειδικά στον τοµέα των κατασκευών) δεν πρέπει ο ερευνητής πολιτικός µηχανικός να αφιερώνεται µόνο στην έρευνα αλλά να έχει εµπειρίες από τον επαγγελµατικό τοµέα τόσο στο σχεδιασµό κατασκευών όσο και στο εργοτάξιο, έτσι ώστε να αντιλαµβάνεται πού στοχεύουν τα αποτελέσµατα της έρευνας του αλλά και να παίρνει ερεθίσµατα για την κατεύθυνση αυτής. Έτσι για να µπορέσω να συνδυάσω αυτές τις δύο δραστηριότητες, την επαγγελµατική και την ερευνητική, προτίµησα να επιστρέψω στη Ελλάδα. Αναφορικά µε το αντικείµενο της διδακτορικής µου διατριβής προβληµατιστήκαµε αρκετά από κοινού µε τον επιβλέποντα καθηγητή µου,

δεδοµένης της προηγούµενης ενασχόλησης µου µε την ανελαστική ανάλυση της Φέρουσας Άοπλης Τοιχοποιίας. Εντούτοις, κρίνοντας ότι σε εκείνο τον τοµέα η βασική ιδέα της προτεινοµένης µεθοδολογίας είχε ήδη αναπτυχθεί στα πλαίσια της διατριβής του µεταπτυχιακού µου, αποφασίσαµε να ασχοληθούµε µε κάποιο άλλο θέµα ανάλυσης, ανοικτό εκείνη την εποχή στην διεθνή βιβλιογραφία, όπως ήταν η διαστασιολόγηση κοίλων βάθρων γεφυρών, η ανάπτυξη λογισµικού ανάλυση κτιρίων Ο/Σ στο χώρο µε διακριτοποίηση των ρηγµατώσεων αλλά και εισαγωγή των οπλισµών, η χωρική ανελαστική ανάλυση πολυωρόφων ασύµµετρων κτιρίων και η ανάπτυξη σεναρίων σεισµικής διακινδύνευσης σύγχρονων οικιστικών συνόλων. Από τα ανωτέρω θέµατα επιλέξαµε την χωρική ανελαστική ανάλυση κτιρίων Ο/Σ µε ασύµµετρη διάταξη των στοιχείων δυσκαµψίας σε κάτοψη. Ως βασικός στόχος της παρούσας διατριβής ορίσθηκε η ανάπτυξη µεθοδολογίας για την στατική ανελαστική ανάλυση πολυωρόφων κτιρίων µε προβλήµατα στρέψης. Βασικό πρόβληµα στην τεκµηρίωση της µεθόδου ήταν η έλλειψη πειραµατικών στοιχείων (πράγµα λογικό δεδοµένων των διαστάσεων του προβλήµατος) η οποία οδήγησε αναγκαστικά στην χρήση των αποτελεσµάτων της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης ως σηµείου αναφοράς. Έτσι κατά την εκπόνηση της διατριβής αντιµετωπίστηκαν πολλά θέµατα που αφορούν στην ανελαστική δυναµική ανάλυση των κτιρίων αυτών, όπως τα θέµατα διεγέρσεων σε δύο διευθύνσεις, χάραξης της δυναµικής καµπύλης αντοχής και προσοµοίωσης της ανελαστικής και υστερητικής συµπεριφοράς των στοιχείων Ο/Σ. Η διάρθρωση της διατριβής περιλαµβάνει, πέραν της επισκόπησης της βιβλιογραφίας, την αντιµετώπιση ανοικτών θεµάτων χωρικής ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης, την ανάπτυξη της µεθοδολογίας για την περίπτωση του µονώροφου ασύµµετρου κτιρίου καθώς και την διεξαγωγή παραµετρικών αναλύσεων τεκµηρίωσης της µεθόδου και την ανάπτυξη της µεθοδολογίας και την διεξαγωγή παραµετρικών αναλύσεων για την περίπτωση πολυώροφων ασύµµετρων σε κάτοψη κτιρίων. Κλείνοντας τον πρόλογο της διατριβής µου θεωρώ υποχρέωση µου να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Ανδρέα Κάππο ο οποίος Γρηγόριος Γ. Πενέλης ΠΡΟΛΟΓΟΣ

συνέβαλε τα µέγιστα στην ολοκλήρωση της παρούσας τόσο σε επιστηµονικό επίπεδο µε τις διορθώσεις και τις επισηµάνσεις του, όσο και σε ψυχολογικό επίπεδο µε την διαρκή προτροπή του για επιτάχυνση και ένταση των προσπαθειών µου, ειδικά στις χρονικές περιόδους που η επαγγελµατική µου απασχόληση απορροφούσε τον χρόνο που απαιτούνταν για την ολοκλήρωση της διατριβής. Σηµαντική ήταν επίσης η συµβουλή των υπολοίπων µελών της εξεταστικής επιτροπής οι οποίοι µε τις ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις τους οδήγησαν στην σαφή βελτίωση της παρούσας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου οι οποίοι επίσης µε υποστήριξαν ψυχολογικά και οικονοµικά έτσι ώστε απροβληµάτιστα (όσον αφορά τον οικονοµικό τοµέα) να αποφασίσω να ασχοληθώ µε την εκπόνηση της παρούσας. Επιπλέον δεν µπορώ να µην ευχαριστήσω ειδικότερα τον πατέρα µου Γεώργιο Γ. Πενέλη ο οποίος συνέβαλε σηµαντικά σε κρίσιµα επιστηµονικά θέµατα κατά την ανάπτυξη του θεωρητικού υποβάθρου της προτεινοµένης µεθοδολογίας. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Πολιτικός Μηχανικός Γρηγόριος Γ. Πενέλης ΠΡΟΛΟΓΟΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Γενικά 2 1.2. Στόχοι της παρούσας διατριβής αναφορικά µε προβλήµατα στρέψης στη χωρική στατική ανελαστική ανάλυση 3 1.3. ιάρθρωση της εργασίας 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 2.1. Γενικά 1 2.2. Στρεπτικά φαινόµενα στην ελαστική ανάλυση 11 2.3. Στατική ανελαστική ανάλυση (pushover) 14 2.4. Επισκόπηση βιβλιογραφίας ανελαστικής στρέψης 32 2.4.1. Σχεδιασµός νέων κατασκευών 32 2.4.2 Ανελαστική ανάλυση κατασκευών (3D στατική και δυναµική) 4 2.4.3 υναµική ανάλυση για αύξουσα σεισµική ένταση (Μικροαυξητική δυναµική ανάλυση) 69 2.5. Συµπεράσµατα 77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 :ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΝΟΙΧΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Γενικά 84 3.2 Επιλογή φορέων και περιγραφή τους 84 3.2.1 Γενικά στοιχεία 84 3.2.2 Γεωµετρική περιγραφή 85 3.2.3 Στατικά χαρακτηριστικά 86 3.2.4 Θέµατα προσοµοίωσης 88 3.3 Έλεγχος µεθόδου προσοµοίωσης 9 3.4 Επιλογή διεγέρσεων 95 3.4.1 Γενικά στοιχεία 95 3.4.2 Επιλεχθείσες διεγέρσεις 95 3.4.3 Συχνοτικό περιεχόµενο διεγέρσεων (ελαστικά φάσµατα) 99

3.4.4 Ανελαστικά φάσµατα 118 3.5 Υπολογισµός «δυναµικών» καµπυλών αντοχής 132 3.5.1 Γενικά 132 3.5.2 Θεωρητικό υπόβαθρο 133 3.5.3 Μέθοδος αναγωγής-κανονικοποίησης διεγέρσεων 137 3.5.4 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q 145 3.5.5 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q1 148 3.5.6 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q2 154 3.5.7 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q3 159 3.5.8 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q4 162 3.5.9 Σχόλια περί των δυναµικών καµπυλών αντοχής 164 3.6 Συµπεράσµατα σχόλια 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΠΡΟΤΕΙΝOΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΕ ΜΟΝΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ 4.1 Γενικά 172 4.2 Προτεινόµενη µέθοδος 172 4.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο 172 4.2.2 ιαδικασία υπολογισµού 176 4.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου 18 4.3 Συσχέτιση της προτεινοµένης µε άλλες προσεγγίσεις στη στατική ανελαστική ανάλυση 182 4.3.1 Μέθοδος ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης 182 4.3.2 Συµβατική στατική ανελαστική ανάλυση 183 4.4 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων συστηµάτων 184 4.4.1 Στατικό προσοµοίωµα 184 4.4.2 ιέγερση σε µία διεύθυνση 187 4.4.3 ιέγερση σε δύο διευθύνσεις 24 4.4.4 Σχόλια επί των καµπυλών αντοχής 21 4.5 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 214

4.5.1 Γενικά 214 4.5.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q 214 4.5.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 224 4.5.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 231 4.5.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 238 4.5.6 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 243 4.5.7 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης 248 4.6 Συµπεράσµατα και σχόλια 252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ: ΠΟΛΥΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ 5.1 Γενικά 256 5.2 Προτεινόµενη µέθοδος 256 5.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο 256 5.2.2 ιαδικασία υπολογισµού 263 5.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου 266 5.3 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων πολυωρόφων συστηµάτων 268 5.3.1 Επιλογή των φορέων 268 5.3.2 Γεωµετρική περιγραφή 269 5.3.3 Στατικά και δυναµικά χαρακτηριστικά 271 5.3.4 υναµικές καµπύλες αντοχής 275 5.3.5 Σχόλια επί των δυναµικών καµπυλών αντοχής 284 5.3.6 Εφαρµογή της µεθόδου Στατικές καµπύλες αντοχής 285 5.3.7 Σχόλια περί των στατικών και «δυναµικών» καµπυλών αντοχής 297 5.4 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 298 5.4.1 Γενικά 298 5.4.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 298 5.4.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 35 5.4.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 312 5.4.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 317

5.4.6 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης 323 5.5 Συµπεράσµατα και σχόλια 328 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 6.1 Γενικά 332 6.2 υναµική ανελαστική ανάλυση 332 6.3 Στατική ανελαστική ανάλυση προτεινόµενη µέθοδος 336 6.3.1 ιάνυσµα φόρτισης 336 6.3.2 Ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής και στοχευόµενη µετακίνηση 338 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ 343 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ 368 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1. Γενικά 2 1.2. Στόχοι της παρούσας διατριβής αναφορικά µε προβλήµατα στρέψης στη χωρική στατική ανελαστική ανάλυση 3 1.3. ιάρθρωση της εργασίας 7

1.1. Γενικά Είναι αρκετές οι περιπτώσεις κατά τις οποίες κτίρια τα οποία έχουν βλάβες από σεισµό φέρουν πολύ έντονα τα σηµάδια στρεπτικής καταπόνησης. Φυσικά αυτό δεν αποτελεί καινούργια παρατήρηση καθώς όλοι οι σύγχρονοι κανονισµοί περιλαµβάνουν ειδικές διατάξεις, όπως θα αναφερθεί και παρακάτω, για την εκτίµηση αυτών των στρεπτικών φαινοµένων και τον κατά το δυνατό περιορισµό τους. Όλες αυτές οι διατάξεις όµως αναφέρονται µόνο στα ελαστικά χαρακτηριστικά του κτιρίου και είναι εφαρµόσιµες στην περίπτωση της ελαστικής ανάλυσης (στατικής ή δυναµικής). Εντούτοις οι ίδιοι σύγχρονοι κανονισµοί επιβάλλουν ή επιτρέπουν τον σχεδιασµό των κατασκευών µε την παραδοχή της ανελαστικής συµπεριφοράς (συντελεστής q, ή R) χωρίς όµως να υπάρχει καµία σαφής πρόνοια για την αντιµετώπιση των στρεπτικών φαινοµένων στον φορέα που βρίσκεται σε ανελαστική κατάσταση. Φυσικά για την εκτίµηση της ανελαστικής συµπεριφοράς ενός κτιρίου απαιτείται και το κατάλληλο λογισµικό, η πλέον προχωρηµένη µορφή του οποίου αφορά στη δυναµική ανελαστική βήµα προς βήµα ανάλυση. Η ανάλυση όµως αυτή, αν και αποτελεί πολύτιµο εργαλείο για τον ερευνητή-µηχανικό, είναι δύσχρηστη και δαπανηρή για τον µελετητή-µηχανικό διότι απαιτεί πολλά δεδοµένα εισαγωγής (επιταχυνσιογραφήµατα, απόσβεση, διαγράµµατα Μ-θ υπό ανακυκλιζόµενη φόρτιση κ.α.) και δίνει αποτελέσµατα, πολλά από τα οποία είναι δύσκολο να αξιοποιηθούν για τους σκοπούς µιας µελέτης (µεταβολή εντατικών µεγεθών µε το χρόνο, µέγιστα ελάχιστα, απορροφώµενη ενέργεια κ.α). Έτσι, επί του παρόντος τουλάχιστον, η µέθοδος ανελαστικής ανάλυσης των κατασκευών που προτιµάται ενγένει και η οποία προωθείται και σε κανονιστικό επίπεδο (FEMA 273, 356 ATC 4) είναι η στατική ανελαστική ανάλυση, γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως pushover analysis. Ως προς την στατική ανελαστική ανάλυση κρίνεται σκόπιµο να αναφερθούν συνοπτικά ποιες είναι οι περιπτώσεις εκείνες στις οποίες η εφαρµογή της µεθόδου της στατικής ανελαστικής ανάλυσης (όπως προτείνεται στα σχετικά εγχειρίδια, πχ FEMA 273 και 356) δεν δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 2

(i) Πολύ υψηλά κτίρια, στα οποία οι ανώτερες ιδιοµορφές έχουν σηµαντική συµµετοχή. (ii) Κτίρια µε «µαλακό όροφο» και γενικά κτίρια µε µη συµµετρική καθ ύψος κατανοµή των στοιχείων δυσκαµψίας, ιδιαίτερα µετά την αστοχία του «µαλακού ορόφου», γεγονός που επηρεάζει σηµαντικά την σχέση µεταξύ των αρχικών (ελαστικών) ιδιοµορφών. (iii) Στην χωρική στατική ανελαστική ανάλυση, προβλήµατα διέγερσης σε δύο διευθύνσεις, ειδικά όταν δεν υπάρχει δυνατότητα απλοποίησης του φέροντος οργανισµού σε επιµέρους επίπεδα (2D) συστήµατα ή οταν υπάρχει σύζευξη των ιδιοµορφών. (iv) Στην χωρική στατική ανελαστική ανάλυση, κτίρια ασύµµετρα σε κάτοψη τα οποία καταπονούνται στρεπτικά λόγω µετακίνησης του ελαστικού κέντρου και του κέντρου αντίστασης. Από τα παραπάνω προβλήµατα τα δύο πρώτα έχουν σε σηµαντικό βαθµό αντιµετωπιστεί µε την διαδικασία της «αναπροσαρµοζόµενης» στατικής ανελαστικής ανάλυσης (adaptive pushover) η οποία λαµβάνει υπόψη όλες τις σηµαντικές ιδιοµορφές αλλά και την µεταβολή τους µε την διαρροή των διαφόρων δοµικών στοιχείων κατά την ανάλυση. Αν και µέχρι σήµερα η εφαρµογή της περιορίζεται σε επίπεδους φορείς, η επέκταση της µεθόδου σε χωρικά συστήµατα φαίνεται να είναι θέµα χρόνου, χωρίς ωστόσο να είναι βέβαιο ότι η µεθοδολογία αυτή θα είναι κατάλληλη για πρακτική εφαρµογή. Αντικείµενο της παρούσας διατριβής αποτελεί η αντιµετώπιση των δύο τελευταίων (δηλαδή προβλήµατα διέγερσης σε δύο διευθύνσεις και, κυρίως, τα στρεπτικά φαινόµενα σε ασύµµετρα- σε κάτοψη- κτίρια). Στο σύντοµο αυτό κεφάλαιο γίνεται µια τοποθέτηση του προβλήµατος της ανελαστικής στρέψης στο γενικότερο πλαίσιο της στατικής ανελαστικής ανάλυσης και παρουσιάζεται η πορεία αντιµετώπισής του, η οποία θα αναπτυχθεί στα επόµενα κεφάλαια. 1.2. Στόχοι της παρούσας διατριβής αναφορικά µε προβλήµατα στρέψης στη χωρική στατική ανελαστική ανάλυση Είναι δεδοµένο ότι στην βιβλιογραφία υπάρχει πλειάδα δηµοσιεύσεων σχετικά µε την στρέψη στην ελαστική ανάλυση, αντιθέτως όσον αφορά την Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 3

ανελαστική απόκριση µη συµµετρικών (σε κάτοψη) κτιρίων, λόγω των πολλών παραµέτρων που την επηρεάζουν, υπάρχει σχετική έλλειψη εργασιών, µε αποτέλεσµα να εκπονούνται, µέχρι σήµερα, αρκετές εργασίες µε στόχο τη διατύπωση οριστικών και αποδεκτών συµπερασµάτων. Πιο συγκεκριµένα η πλειονότητα των µέχρι σήµερα εργασιών αναφέρονται σε µονώροφα προσοµοιώµατα, χάρη στην δυνατότητα που δίνουν στον προσδιορισµό της επιρροής κάθε παραµέτρου και στη διατύπωση κριτηρίων σχεδιασµού. Εντούτοις σήµερα κρίνεται απαραίτητη η χρήση πολυωρόφων προσοµοιωµάτων για τους δύο βασικούς κατωτέρω λόγους: (α) Κατά την ανελαστική στρεπτική απόκριση πολυωρόφων κτιρίων παρατηρούνται αποκλίσεις από τα κριτήρια σχεδιασµού τα οποία έχουν υιοθετηθεί κατά τον ελαστικό σχεδιασµό τους, όπως έχουν δείξει οι Stathopoulos και Anagnostopoulos (22, 23). (β) Η σηµαντική αύξηση της υπολογιστικής ισχύος των Η/Υ και την βελτίωση του διαθέσιµου λογισµικού που επιτρέπουν την ανάλυση πολυωρόφων χωρικών προσοµοιωµάτων Από την επισκόπηση όλης της υφιστάµενης βιβλιογραφίας, η οποία αναπτύσσεται εκτενώς στο κεφάλαιο 2 της παρούσας, καθίσταται σαφές ότι υπάρχει µια αδυναµία της χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης ασύµµετρων κατασκευών να προσοµοιώσει τα στρεπτικά φαινόµενα όπως αυτά εντοπίζονται από την αντίστοιχη ανελαστική δυναµική βήµα προ βήµα ανάλυση. ιάφορες προσπάθειες που έγιναν µε στόχο την χρήση των κανονιστικών εκκεντροτήτων για την εκτίµηση της στρεπτικής ανελαστικής συµπεριφοράς ασύµµετρων κτιρίων, οδήγησε σε αποτελέσµατα όχι πάντοτε αξιόπιστα. Ένα πολύ σηµαντικό σηµείο είναι ότι η στατική εκκεντρότητα, η οποία σε ένα ελαστικό σύστηµα είναι σταθερή, και ορίζεται ως η απόσταση του ελαστικού κέντρου CR από το κέντρο µάζας CM, σε ανελαστικά συστήµατα µεταβάλλεται καθώς το ελαστικό κέντρο µετακινείται στο κέντρο αντοχής CS. ηλαδή η στατική εκκεντρότητα έχει δύο όρια µέσα στα οποία µεταβάλλεται, και αυτά είναι η απόσταση του κέντρου µάζας από το ελαστικό κέντρο (κέντρο δυσκαµψίας), όταν το κτίριο συµπεριφέρεται ελαστικά, και από το κέντρο αντοχής, όταν όλα τα φέροντα στοιχεία έχουν διαρρεύσει. Πολύ σηµαντική παρατήρηση είναι επίσης ότι η καθ ύψος κατανοµή των σεισµικών φορτίων διαφέρει σηµαντικά από την τριγωνική ή την οµοιόµορφη, Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 4

µε αποτέλεσµα η επιλογή των ιδιοµορφικών αυτών φορτίων όπως προκύπτουν από την ελαστική ιδιοµορφική δυναµική ανάλυση να δίνει πολύ ακριβέστερα αποτελέσµατα (Tso και Moghadam (1997), Fajfar et al (25)). Έτσι η παρούσα διατριβή προσπαθεί να αντιµετωπίσει τα προβλήµατα που εµφανίζονται σε στρεπτικά µη δεσµευµένα κτίρια και σε κτίρια στρεπτικά δεσµευµένα µε τη χρήση ενός συνδυασµού των ιδιοµορφικών φασµατικών φορτίων ως διανύσµατος φόρτισης και ενός ισοδύναµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που ενσωµατώνει τόσο τα µεταφορικά ιδιοµορφικά χαρακτηριστικά του πολυβαθµίου συστήµατος, όσο και τα στρεπτικά. Για παρουσίαση των αποτελεσµάτων χρησιµοποιούνται τόσο µονώροφα όσο και πολυώροφα προσοµοιώµατα. υστυχώς, ή ευτυχώς, οι εφηρµοσµένες φυσικές επιστήµες, όπως αυτή του Πολιτικού Μηχανικού, δεν χρησιµοποιούν για την απόδειξη ενός θεωρήµατος αποκλειστικά και µόνο µια διαδοχική αλληλουχία λογικών βηµάτων η οποία ξεκινάει από µια οµάδα αξιωµάτων αλλά και προγενεστέρως αποδεδειγµένων θεωρηµάτων και καταλήγει σε µια ταυτότητα, όπως συµβαίνει στην επιστήµη των Μαθηµατικών από την εποχή της σχολής του Πυθαγόρα και τούδε, αλλά πολύ συχνά καταφεύγουν στην παρατήρηση και το πείραµα ως µέσο επιβεβαίωσης θεωρηµάτων. Το «θεώρηµα» που καλείται να αποδείξει η παρούσα εργασία είναι ότι: «Η χωρική ανελαστική στατική ανάλυση µε την χρήση του κατάλληλου διανύσµατος φόρτισης και του κατάλληλου ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή µπορεί να προσεγγίσει ικανοποιητικά την στρεπτική απόκριση πολυωρόφων κτιρίων όπως αυτή ορίζεται από την δυναµική ανελαστική βήµα προς βήµα ανάλυση.» Για την απόδειξη του «θεωρήµατος» αυτού δεν είναι δυνατόν λοιπόν να χρησιµοποιηθεί µια αλληλουχία λογικών βηµάτων τα οποία ξεκινούν από τα αξιώµατα των µαθηµατικών και της µηχανικής, για τον απλούστατο λόγο ότι δεν αποτελεί µια ταυτότητα, αλλά µια σχετική ταυτότητα δηλαδή µια προσέγγιση. Εποµένως για την υποστήριξη του ανωτέρω «θεωρήµατος», το οποίο στα µαθηµατικά θα λέγονταν απλά «υπόθεση» (conjecture), αρκεί να υπάρξουν αρκετά παραδείγµατα τα οποία να πιστοποιούν την ακρίβεια, ή καλύτερα τον βαθµό ακρίβειας της µεθόδου αλλά και σαφής τεκµηρίωση των περιπτώσεων στις οποίες η «υπόθεση» δεν ισχύει. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 5

Για το σκοπό αυτό θα χρησιµοποιηθεί ως µέτρο σύγκρισης και σηµείο αναφοράς η δυναµική ανελαστική ανάλυση σε δύο εκφάνσεις της: (α) Με την χρήση της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης µε αύξουσα ένταση (incremental dynamic analysis) και την χάραξη της «δυναµικής» καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος και την σύγκριση της µε την αντίστοιχη στατική (β) Με τον υπολογισµό της µέγιστης απόκρισης (στοχευόµενης µετατόπισης και στροφής) και την σύγκριση της µε την απόκριση στην δυναµική ανελαστική ανάλυση καθώς και λοιπών τοπικών µεγεθών όπως σχετικά βέλη ορόφων, απαιτούµενες στροφές στύλων κ.α. Η χρήση ενός τύπου ανάλυσης για την βαθµονόµηση ενός άλλου τύπου είναι ένα επίσης πρόβληµα το οποίο οφείλεται στην έλλειψη πειραµατικών δεδοµένων, εκτός δύο περιπτώσεων, του πειράµατος της Tsakuba και ενός πρόσφατου στο εργαστήριο ELSA (Negro et al (25)) τα οποία όµως δεν συνιστούν επαρκή αριθµό για την τεκµηρίωση µιας µεθόδου. Για την επιβεβαίωση της προτεινοµένης θεωρίας θα χρησιµοποιηθούν περιπτώσεις κτιρίων στρεπτικά ευαίσθητων και στρεπτικά µη ευαίσθητων, µονώροφων και πολυωρόφων και ικανός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων. Φυσικά η πλήρης απόδειξη, όχι µόνο της ακρίβειας, αλλά ακόµη και του βαθµού ακρίβειας, θα απαιτούσε την επαλήθευση για όλους του τύπους κτιρίων και για όλα τα πιθανά επιταχυνσιογραφήµατα, πράγµα αδύνατον. Έτσι η προτεινόµενη µεθοδολογία ακόµη και µε την επιτυχή ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας θα παραµένει µερικώς µόνον επιβεβαιωµένη και όχι πλήρως αποδειγµένη και θα αποτελεί υπόθεση και όχι θεώρηµα όπως συµβαίνει µε τις περισσότερες µεθόδους ανάλυσης και πειραµατικής µηχανικής. Σε αυτό το σηµείο κρίνεται σκόπιµο να παρατεθεί ο ορισµός των στρεπτικά δεσµευµένων (διασφαλισµένων), στρεπτικά µη δεσµευµένων (διασφαλισµένων), στρεπτικά ευαίσθητων και στρεπτικά µη ευαίσθητων κτιρίων, όροι που χρησιµοποιούνται εκτενώς στα επόµενα κεφάλαια. Πιο συγκεκριµένα χρησιµοποιούνται οι ορισµοί «Στρεπτικά µη δεσµευµένο» και «Στρεπτικά εσµευµένο» ως ακρότατες περιπτώσεις ενώ οι ορισµοί «Στρεπτικά ευαίσθητο» και Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 6

«Στρεπτικά µη ευαίσθητο» ως ενδιάµεσες αυτών των ακραίων τιµών περιπτώσεις. Οι ορισµοί αυτοί αναφέρονται προφανώς στην ανελαστική συµπεριφορά του κτιρίου. Σ.µ. Ευστρεπτο υστρεπτο Σ. 1οροφο πολυώροφο 1οροφο Στρεπτικά µη ευαίσθητο χαρακτηρίζεται ένα κτίριο όταν δεν παρουσιάζει εκκεντρότητα ούτε µεταξύ του ελαστικού κέντρου (CR) ούτε µεταξύ του κέντρου αντίστασης (CS) και του κέντρου µάζας (CM). Στρεπτικά ευαίσθητο χαρακτηρίζεται ένα κτίριο όταν παρουσιάζει εκκεντρότητα µεταξύ του ελαστικού κέντρου (CR) αλλά και µεταξύ του κέντρου αντίστασης (CS) ως προς το κέντρο µάζας (CM). Εύστρεπτο χαρακτηρίζεται ένα κτίριο όταν παρουσιάζει εκκεντρότητα µεταξύ του ελαστικού κέντρου (CR) και του κέντρου µάζας (CM). ύστρεπτο χαρακτηρίζεται ένα κτίριο όταν παρουσιάζει εκκεντρότητα µεταξύ του ελαστικού κέντρου (CR) και του κέντρου µάζας (CM). Στρεπτικώς δεσµευµένο χαρακτηρίζεται το στρεπτικά ευαίσθητο κτίριο που έχει όµως σύστηµα παραλαβής της αναπτυσσόµενης κατά την ανελαστική συµπεριφορά στρεπτικής καταπόνησης. Στρεπτικώς µη δεσµευµένο χαρακτηρίζεται το στρεπτικά ευαίσθητο κτίριο που δεν έχει όµως σύστηµα παραλαβής της αναπτυσσόµενης κατά την ανελαστική συµπεριφορά στρεπτικής καταπόνησης. 1.3. ιάρθρωση της εργασίας Η παρουσίαση του κυρίου µέρους της εργασίας που περιλαµβάνεται στα κεφάλαια που έπονται του 2 ου κεφαλαίου στο οποίο γίνεται επισκόπηση της βιβλιογραφίας, ξεκινάει µε την ανάπτυξη του υπόβαθρου των δυναµικών αναλύσεων στο κεφάλαιο 3, όπου αντιµετωπίζονται και διάφορα κρίσιµα επιµέρους θέµατα, όπως η δυναµική ανάλυση µε διέγερση σε δύο διευθύνσεις, η διαδικασία κανονικοποίησης των διεγέρσεων για τη χωρική ανάλυση, η χρήση των ανελαστικών φασµάτων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 7

χρησιµοποιώντας συντελεστές µείωσης ή µε απευθείας υπολογισµό τους και ο τρόπος χάραξης των «δυναµικών» καµπυλών αντοχής. Κατόπιν αναπτύσσεται στο κεφάλαιο 4 το θεωρητικό υπόβαθρο του ισοδύναµου µονοβάθµιου ταλαντωτή και της χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης σε µονώροφα συστήµατα, γίνεται σύγκριση µε µεθόδους που προτείνονται από άλλες ερευνητικές οµάδες και εγχειρίδια και παρουσιάζονται αποτελέσµατα εφαρµογής της µεθόδου για τη χωρική ανελαστική ανάλυση µε διέγερση σε µία ή δύο διευθύνσεις. Στο κεφάλαιο 5 γίνεται επέκταση της προτεινοµένης µεθόδου σε πολυώροφα συστήµατα, τόσο ως προς το θεωρητικό υπόβαθρο του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, όσο και ως προς το διάνυσµα φόρτισης. Γίνεται επίσης παρουσίαση αποτελεσµάτων εφαρµογής της µεθόδου χωρικής ανελαστικής ανάλυσης µε διέγερση σε µία διεύθυνση σε ένα τετραώροφο και ένα οκταώροφο κτίριο. Τα αποτελέσµατα συγκρίνονται τόσο σε επίπεδο γενικών µεγεθών απόκρισης (µετατόπιση, στροφή, τέµνουσα βάσης) όσο και σε τοπικά µεγέθη απόκρισης όπως σχετικά βέλη ορόφων, απαιτούµενες πλαστικές στροφές στύλων κ.α. Τέλος, στο κεφάλαιο 6 γίνεται σύνοψη των αποτελεσµάτων της µεθόδου στο σύνολό της, τόσο για την περίπτωση των µονώροφων όσο και των πολυωρόφων στρεπτικά δεσµευµένων και µη δεσµευµένων κτιρίων, παρουσίαση προβληµάτων κατά την εφαρµογή της και πιθανών περαιτέρω βελτιώσεων στο µέλλον και δίδονται και συνοπτικά τα συµπεράσµατα των επιµέρους κεφαλαίων. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 1 Παρουσίαση του προβλήµατος 8

Περιεχόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 2.1. Γενικά 1 2.2. Στρεπτικά φαινόµενα στην ελαστική ανάλυση 11 2.3. Στατική ανελαστική ανάλυση (pushover) 14 2.4. Επισκόπηση βιβλιογραφίας ανελαστικής στρέψης 32 2.4.1. Σχεδιασµός νέων κατασκευών 32 2.4.2 Ανελαστική ανάλυση κατασκευών (3D στατική και δυναµική) 4 2.4.3 υναµική ανάλυση για αύξουσα σεισµική ένταση (Μικροαυξητική δυναµική ανάλυση) 69 2.5. Συµπεράσµατα 77

2.1. Γενικά Η αποτίµηση της σεισµικής συµπεριφοράς πολυωρόφων κτιρίων σε παρελθόντες σεισµούς έχει καταδείξει την σπουδαιότητα της ασύµµετρης τοποθέτησης των κέντρων δυσκαµψίας (CR), µάζας (CM) και αντίστασης (CS) ως προς την πρόκληση σηµαντικών βλαβών από την στρεπτική καταπόνηση των κτιρίων αυτών. Η παραπάνω διαπίστωση δεν είναι φυσικά καινούργια και για τον λόγο αυτό υπάρχουν πάρα πολλές δηµοσιεύσεις που ασχολούνται µε το θέµα εδώ και αρκετές δεκαετίες µε άξονα όµως την ελαστική απόκριση των κτιρίων, εργασίες που οδήγησαν και στο πλέγµα διατάξεων που διέπουν όλους τους σύγχρονους κανονισµούς. Εντούτοις µε την ανελαστική προσέγγιση που επιτάσσει η σύγχρονη σεισµική µηχανική, πολλά από τα συµπεράσµατα αυτών των εργασιών, και κατ επέκταση πολλές από τις διατάξεις των κανονισµών, τίθενται εν αµφιβόλω. Έτσι από τις αρχές της προηγούµενης δεκαετίας έχουν δραστηριοποιηθεί διάφορες ερευνητικές οµάδες οι οποίες µε διάφορες παραµετρικές αναλύσεις έχουν προσπαθήσει να δείξουν την σχέση των διατάξεων περί στρέψης που υπάρχουν στους σύγχρονους κανονισµούς µε την παρατηρούµενη ανελαστική συµπεριφορά ασύµµετρων κτιρίων. Από τις δηµοσιεύσεις αυτές προκύπτουν αντιφατικά συµπεράσµατα καθότι σε κάποιες περιπτώσεις η ανελαστική συµπεριφορά συµπίπτει µε τα κριτήρια σχεδιασµού αλλά σε άλλες είναι εντελώς διαφορετική (π.χ. παρατηρείται αντίρροπη στρέψη από αυτή που ελήφθη υπόψη κατά τον ελαστικό σχεδιασµό). Όπως αναφέρεται στα παρακάτω κεφάλαια για την αντιµετώπιση αυτού του προβλήµατος έχουν προταθεί διάφορες µεθοδολογίες σχεδιασµού µε τις οποίες αποφεύγεται η ανάπτυξη πρόσθετης επιπόνησης από τα στρεπτικά φαινόµενα όταν ένα κτίριο εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή. Φυσικά ένα γενικότερο θέµα είναι η δυνατότητα προσοµοίωσης της όποιας ανελαστικής συµπεριφοράς από την στατική ανάλυση µε την χρήση διαφόρων διανυσµάτων φόρτισης, ένα θέµα στο οποίο επί του παρόντος η διεθνής βιβλιογραφία δεν δίνει πειστικές απαντήσεις. Το όλο αυτό ζήτηµα αναφέρεται ως Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 1

χωρική στατική ανελαστική ανάλυση και είναι άµεσα συνδεδεµένο µε θέµατα όπως χωρική δυναµική ανελαστική ανάλυση, ανελαστικά φάσµατα, ισοδύναµοι µονοβάθµιοι ταλαντωτές, προσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση κ.α. Οι εργασίες που είχαν δηµοσιευτεί µέχρι τις αρχές της δεκαετίας που διανύουµε αφορούσαν µονώροφα προσοµοιώµατα µε ανελαστική συµπεριφορά (Rutenberg, 22), τα οποία αν και παρέχουν σαφή και µονοσήµαντα συµπεράσµατα, εντούτοις δεν µπορούν απροβληµάτιστα να γενικευθούν στα πολυώροφα κτίρια, την απόκριση των οποίων προσπαθούν να προβλέψουν. Για τον σκοπό αυτό οι πλέον πρόσφατες εργασίες, της παρούσης διατριβής συµπεριλαµβανοµένης, αναφέρονται σε πολυώροφα προσοµοιώµατα 2.2. Στρεπτικά φαινόµενα στην ελαστική ανάλυση Από το τέλος της δεκαετίας του 195 φάνηκε από την πρωτοποριακή εργασία των Housner & Outinen (1958) ότι µε την στατική ελαστική µέθοδο ανάλυσης των κατασκευών, κατά την οποία τα αδρανειακά φορτία εφαρµόζονται στατικά στο κέντρο µάζας υποεκτιµούνται οι µέγιστες εντάσεις σε ορισµένα κατακόρυφα επίπεδα αντίστασης τα οποία συνθέτουν το φέρον σύστηµα ενός τυπικού ασύµµετρου κτιρίου. Έδειξαν επίσης ότι η αύξηση η οποία οφείλεται σε στρεπτική αδράνεια εξαρτάται από τον λόγο της στρεπτικής προς την µεταφορική συχνότητα και την στατική εκκεντρότητα (Απόσταση του κέντρου µάζας CM από το κέντρο δυσκαµψίας - ελαστικό κέντρο CR). Αν και αυτή η εργασία θα έφτανε για να σηµάνει το τέλος της στατικής ανάλυσης των κατασκευών υπό σεισµική φόρτιση, η εργασία του Emilio Rosenblueth και των συνεργατών του (Βustamante & Rosenblueth, 196) την αποκατέστησε εισάγοντας τις έννοιες της δυναµικής εκκεντρότητας και της εκκεντρότητας σχεδιασµού. Η εκκεντρότητα σχεδιασµού e d ορίστηκε ως ο λόγος της ροπής στρέψης σχεδιασµού προς την τέµνουσα βάσης. Βαθµονόµηση της µεθόδου µε ελαστικές φασµατικές αναλύσεις οδήγησε σε αύξηση της στατικής εκκεντρότητας για τα στοιχεία προς την εύκαµπτη πλευρά του κτιρίου και αντίστοιχη µείωση για αυτά προς την δύσκαµπτη πλευρά. Επίσης αποδείχθηκε ότι οι ιδιότητες αυτές του µονώροφου κτιρίου µπορούν να επεκταθούν και σε πολυώροφα κανονικά κτίρια, και κυρίως αυτά που έχουν συµµετρική κατανοµή των στοιχείων δυσκαµψίας καθ ύψος. Για πιο περίπλοκα κτίρια όπως µεικτά συστήµατα τοιχείων πλαισίων η πρόσφατη εργασία των Αναστασιάδη & Μακαρίου για τον Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 11

προσδιορισµό του πλασµατικού ελαστικού άξονα δίνει ένα πολύ χρήσιµο εργαλείο για την προσοµοίωση των στρεπτικών φαινοµένων σε µη κανονικά καθ ύψος κτίρια. Γενικά σε όλους τους σύγχρονους κανονισµούς η σχέση που περιγράφει την εκκεντρότητα σχεδιασµού στην εύκαµπτη πλευρά γράφεται: e max = e f +e a (1a) και στην δύσκαµπτη πλευρά: e min = e r - e a (1b) όπου e f και e r οι ισοδύναµες στατικές εκκεντρότητες (δηλαδή µεγέθη εικονικά που δεν άπτονται της γεωµετρία του φορέα αλλά αποτελούν αποτέλεσµα παραµετρικών προσεγγίσεων που υιοθετεί ο κάθε κανονισµός) και e a η τυχηµατική εκκεντρότητα µε την οποία περιγράφονται αποκλίσεις από τις εκτιµώµενες κατά τον σχεδιασµό τιµές στην κατανοµή των µαζών και των δυσκαµψιών και στρεπτική διέγερση του εδάφους, η οποία είναι της τάξης του 5 1 %. Οι τιµές των ισοδύναµων στατικών εκκεντροτήτων e f και e r που καθορίζουν διάφοροι κανονισµοί, συγκρινόµενες µε την στατική εκκεντρότητα e o (απόσταση του κέντρου µάζας CM από το ελαστικό κέντρο CR) θα µπορούσαν να ενταχθούν σε τρεις κατηγορίες: α) e f =e a +e 2 > e o, e r =e a < e o (EC8, DIN4149, σχήµα 1) β) e f > e o, e r < e o (NBCC 9, Portugal 85) γ) e f = e o, e r = (UBC 88) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 12

Σχ.1: Εκκεντρότητες κατά EC8 Οι διαφορές αυτές εµφανίζονται διότι για τον προσδιορισµό των εκκεντροτήτων αυτών εφαρµόζεται κάποιο κριτήριο ισοδυναµίας µεταξύ δυναµικής και στατικής ελαστικής ανάλυσης. Έτσι στην πρώτη οµάδα κανονισµών εφαρµόζεται το κριτήριο της ισοδυνάµου ροπής στρέψης στο ελαστικό κέντρό (σχήµα 1). Στην δεύτερη οµάδα εφαρµόζεται το κριτήριο των κοινών µετατοπίσεων στην εύκαµπτη και την δύσκαµπτη πλευρά µεταξύ της δυναµικής ανάλυσης και της στατικής ανάλυσης µε εκκεντρότητες e f και e r. Τέλος στην τελευταία οµάδα στην δύσκαµπτη πλευρά δεν επιτρέπεται µείωση της επιπόνησης λόγω στροφής, ενώ στην εύκαµπτη πλευρά θεωρείται ότι τα φαινόµενα σύζευξης µεταφορικών-στρεπτικών ταλαντώσεων ατονούν σε µεγάλο βαθµό. Είναι δεδοµένο ότι στην βιβλιογραφία υπάρχει πλειάδα δηµοσιεύσεων σχετικά µε την στρέψη στην ελαστική ανάλυση, όµως δεδοµένου ότι πλέον έχει αντιµετωπιστεί σε κανονιστικό επίπεδο κρίθηκε σκόπιµη η αναφορά µόνο στις διάφορες κανονιστικές προσεγγίσεις. Αντιθέτως όσον αφορά την ανελαστική απόκριση µη συµµετρικών (σε κάτοψη) κτιρίων, λόγω των πολλών παραµέτρων που την επηρεάζουν, υπάρχει σχετική έλλειψη σε γενικώς αποδεκτά συµπεράσµατα, µε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 13

αποτέλεσµα να εκπονούνται, µέχρι σήµερα, αρκετές εργασίες µε στόχο τον προσδιορισµό οριστικών και αποδεκτών συµπερασµάτων. 2.3. Στατική ανελαστική ανάλυση (pushover) Η στατική ανελαστική ανάλυση έχει ως στόχο την αποτίµηση της συµπεριφοράς µιας κατασκευής µε την εκτίµηση των διαθέσιµων αντοχών και παραµορφώσεων (πλαστιµοτήτων) και την σύγκριση τους µε τα αντίστοιχα απαιτούµενα µεγέθη που προκύπτουν από ένα σεισµό σχεδιασµού. Η αποτίµηση της συµπεριφοράς βασίζεται σε διάφορες παραµέτρους στατικής συµπεριφοράς - µεγέθη απόκρισης όπως το συνολικό βέλος του κτιρίου, τα σχετικά βέλη µεταξύ ορόφων, οι απαιτούµενες σε σχέση µε τις διαθέσιµες πλαστιµότητες, τα εντατικά µεγέθη των δοµικών στοιχείων σε σχέση µε τις διαθέσιµες αντοχές κ.α. Το βασικό πλεονέκτηµα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης είναι ότι παρέχει µία εκτίµηση των αναπτυσσοµένων δυνάµεων και (κυρίως των) παραµορφώσεων λαµβάνοντας υπόψη τις µεταβολές στη δυσκαµψία των επιµέρους στοιχείων που λαµβάνουν χώρα όταν ένας φορέας δεν συµπεριφέρεται ελαστικά. Οι βασικές πληροφορίες που εξάγονται από την εκτέλεση µιας στατικής ανελαστικής ανάλυσης, και οι οποίες δεν παρέχονται από την ελαστική στατική ή δυναµική ανάλυση είναι οι παρακάτω: Εκτίµηση των ανελαστικών παραµορφώσεων που πρέπει να αναπτυχθούν σε κρίσιµα στοιχεία, έτσι ώστε να µπορέσει η κατασκευή να απορροφήσει την σεισµική ενέργεια. Ρεαλιστικές τιµές των αναπτυσσόµενων φορτίων σε ψαθυρά στοιχεία όπως τα κοντά υποστυλώµατα ή οι υψίκορµες δοκοί Ο/Σ, οι πεσσοί στην άοπλη τοιχοποιία κλπ. Η επίδραση της τοπικής διαρροής ή αστοχίας διαφόρων στοιχείων στην συνολική συµπεριφορά της κατασκευής, αλλά και την ανακατανοµή των φορτίων. Επισήµανση των κρισίµων περιοχών στις οποίες οι απαιτήσεις πλαστιµότητας είναι πολύ µεγάλες. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 14

Ανάδειξη στατικών ασυµµετριών σε κάτοψη ή καθ ύψος οι οποίες εµφανίζονται όταν η κατασκευή εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή, µε συνέπεια να αλλάζει η συµπεριφορά της (στρεπτικά φαινόµενα κ.ά.) Επισήµανση πιθανών ασθενών ή και µαλακών ορόφων οι οποίοι µπορεί να οφείλονται σε ασυνεχή αντοχή ή δυσκαµψία καθ ύψος. υνατότητα καλύτερης, από την ελαστική ανάλυση, εκτίµησης της επιρροής των «µη φερόντων» στοιχείων (όπως οι άοπλες τοιχοπληρώσεις) στην συµπεριφορά της κατασκευής. Φυσικά η ακρίβεια και αξία όλων των παραπάνω αποτελεσµάτων εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τις παραδοχές όπου έχει βασιστεί η στατική ανελαστική ανάλυση, ειδικά ως προς την ανελαστική υστερητική συµπεριφορά των επιµέρους κατασκευαστικών στοιχείων, την µορφή της φόρτισης και της αντιστοιχούσας σε αυτήν την φόρτιση µορφή παραµόρφωσης του φορέα κλπ. Για την καλύτερη εκτίµηση όλων αυτών των παραµέτρων, αλλά και την κατανόηση των ορίων και των δυνατοτήτων της ανελαστικής στατικής ανάλυσης κρίνεται σκόπιµο να γίνει µια συνοπτική παρουσίαση της µεθόδου και των αρχών στις οποίες στηρίζεται. Η στατική ανελαστική ανάλυση βασίζεται σε δυο κυρίως παραδοχές, (i) (ιι) ότι η απόκριση ενός πολυβάθµιου συστήµατος µπορεί να συσχετισθεί µε εκείνη ενός ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος, ότι η απόκριση κυριαρχείται από µια ιδιοµορφή η οποία και παραµένει αναλλοίωτη κατά την διάρκεια της διέγερσης. Είναι προφανές ότι και οι δύο αυτές παραδοχές δεν ανταποκρίνονται ενγένει στην πραγµατικότητα, παρόλα αυτά διάφορες παραµετρικές αναλύσεις έχουν αποδείξει ότι η εκτίµηση των µέγιστων σεισµικών αποκρίσεων πολυβαθµίων συστηµάτων είναι αρκετά ικανοποιητική, υπό την προϋπόθεση ότι η συµπεριφορά τους κυριαρχείται από µία ιδιοµορφή (Σχήµα 2) (Fajfar, P. & Dolsek (2), M, Saiidi & Sozen (1981), κλπ). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 15

όπου Σχ.2: Ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής (Fajfar et al, 2) m * = m i Φ i, η γενικευµένη µάζα του ισοδυνάµου µονοβαθµίου k * = F y * /D y *, η γενικευµένη δυσκαµψία του ισοδυνάµου µονοβαθµίου, µε F y * και D * y, την δύναµη και µετατόπιση διαρροής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου Τ * =2π m * / k *, η ιδιοπερίοδος του ισοδυνάµου µονοβαθµίου Ως προς την παρατήρηση (ιι) πολύ πρόσφατα στην εργασία των Elnashai et al (2) παρουσιάστηκε ανανεωµένη, κυρίως από πλευράς διαθέσιµου λογισµικού και παρατιθέµενων παραµετρικών αναλύσεων, η προσέγγιση των Bracci, J.M., Kunnath, S.K. and Reinhorn, A.M. (1997) η οποία βασισόζονταν σε αναπροσαρµοζόµενο διάνυσµα φόρτισης για την στατική ανελαστική ανάλυση (adaptive pushover). Η προσέγγιση αυτή λαµβάνει υπόψη τα εξής στοιχεία: (α) (β) (γ) Την µεταβολή των ιδιοµορφών όπως αυτές προκύπτουν κατά την διαρροή διαφόρων στοιχείων του συστήµατος, οι οποίες προκαλούν αλλαγή στο µητρώο δυσκαµψίας Κ, πραγµατοποιώντας ελαστική φασµατική ανάλυση σε κάθε «σηµαντική» µεταβολή του Κ, Τον συνυπολογισµό των ανωτέρων ιδιοµορφών ανάλογα µε το ποσοστό συµµετοχής τους, όπως αυτό προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση σε κάθε βήµα, Την χρήση του συγκεκριµένου φάσµατος της θεωρούµενης διέγερσης, από το οποίο υπολογίζονται τα παραπάνω ποσοστά συµµετοχής σε κάθε βήµα. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 16

Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µε βάση την µέθοδο αυτή οδηγούν σε πολύ ακριβή πρόβλεψη των αποτελεσµάτων της αντίστοιχης ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης, για διάφορες εντάσεις. Μια αντίστοιχη εργασία είναι αυτή των Αντωνίου, Ροβιθάκη και Pinho (2) στην οποία χρησιµοποιείται το θεωρητικό υπόβαθρο της προαναφερόµενης εργασίας και στην οποία παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα εφαρµογής της µεθόδου σε ένα οκταώροφο µη συµµετρικό πλαίσιο, ένα δωδεκαώροφο συµµετρικό πλαίσιο και ένα οκταώροφο µεικτό σύστηµα πλαισίου τοιχώµατος. Στα σχήµατα που ακολουθούν φαίνεται η ακρίβεια της µεθόδου σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση και µε την τριγωνική και οµοιόµορφη καθ ύψος κατανοµή των φορτίων. (Σχήµατα 3 και 4) Σχ. 3: Aναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική και δυναµική ανελαστική ανάλυση (α) Μη συµµετρικό σύστηµα υψηλής πλαστιµότητας (β) Συµµετρικό σύστηµα χαµηλής πλαστιµότητας (Αντωνίου, Ροβιθάκης και Pinho) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 17

Σχ. 4: Aναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική και δυναµική ανελαστική ανάλυση συµµετρικού συστήµατος υψηλής πλαστιµότητας πλαισίων τοιχωµάτων (Αντωνίου, Ροβιθάκης και Pinho) Στην βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές διαφορετικές τεχνικές για τον προσδιορισµό του ισοδύναµου µονοβαθµίου συστήµατος, αλλά όλες ξεκινούν από την βασική παραδοχή ότι η παραµόρφωση του πολυβαθµίου συστήµατος µπορεί να περιγραφεί από ένα διάνυσµα παραµόρφωσης [Φ] το οποίο παραµένει σταθερό στη διάρκεια της ανάλυσης, ασχέτως από το µέγεθος των επιβαλλόµενων παραµορφώσεων. mn un Pn mi ui Pi m3 u3 P3 m2 u2 P2 m1 u1 P1 Σχ. 5: Ιδιοµορφικές µετακινήσεις και φορτία πολυβαθµίου ταλαντωτή Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 18

Παρακάτω παρουσιάζεται αναλυτικά το θεωρητικό υπόβαθρο προσδιορισµού του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή (για µεταφορική συµπεριφορά), διότι αποτελεί την βάση της µεθόδου που θα αναπτυχθεί στα επόµενα κεφάλαια. Η εξίσωση που περιγράφει την εξαναγκασµένη ταλάντωση (σεισµική διέγερση) του πολυβάθµιου επίπεδου συστήµατος του σχήµατος 5 είναι: [ M ][ u & ( t )] + [ C][ u & ( t )] + [ P( t )] = [ M ][1] u && ( t ) (2) όπου o m [Μ]= 1 m 2 m n n, το µητρώο µάζας u1 u [u]= 2, το µητρώο µετακινήσεων u n P1 P [P]= 2, το µητρώο εσωτερικών δυνάµεων P n Εκ της εξίσωσης (2) αγνοώντας τον όρο της απόσβεσης [ C ][ u& ( t )] προκύπτει η εξίσωση (2α): [ M ][ u & ( t )] + [ P( t )] = [ M ][1] u && ( t ) (2α) o Γίνεται η παραδοχή (Clough & Penzien 1993 [κεφ. 8 και 26], Saiidi & Sozen) ότι η µετατόπιση u και το µητρώο εσωτερικών δυνάµεων Ρ του ελαστικού πολυβαθµίου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 19

ταλαντωτή µπορεί να συσχετισθεί µε τα αντίστοιχα µεγέθη του ισοδύναµου ανελαστικού µονοβαθµίου ταλαντωτή u n και P n χρησιµοποιώντας δύο διανύσµατα [Φ] και [Ψ] : φ1 φ [u(t)]= [Φ]u n (t)= 2 u n (t) (3) φ n ψ 1 ψ [P]=[Ψ]P n (t)= 2 P n (t) (4) ψ n Με βάση αυτή την παραδοχή, η εξίσωση της ταλάντωσης του ελαστικού πολυβαθµίου συστήµατος γράφεται (1a) σε µητρωïκή µορφή: [ M ][ Φ] u& ( t ) + [ ψ ] P ( t ) = [ M ][1] u& ( t ) (5α) n και σε αλγεβρική µορφή n o m 1 φ 1 u& n (t ) +ψ 1 p n =-m 1 u& o (t ) m 2 φ 2 u& n (t ) +ψ 2 p n =-m 2 u& o (t ) (5β) ---------------------------------- m n φ n u& n (t ) +ψ n p n =-m n u& o (t ) Πολλαπλασιάζοντας την (5α) επί [Φ] Τ έχουµε: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 2

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 21 [Φ] Τ [Μ][Φ] ) u n (t & & +[Φ] Τ [Ψ]P n (t)=[φ] Τ [Μ]{1} ) u o (t & & (6) ή τροποποιώντας τον πρώτο όρο ) ( ]{1} [ ] [ ) ( ] [ ] [ ) ( ]{1} [ ] [ ]{1} [ ] [ ] ][ [ ] [ t u t P t u o n n & & & & Μ Φ = Ψ Φ + Μ Φ Μ Φ Φ Μ Φ Τ Τ Τ Τ Τ (7α) ή ) ( ]{1} [ ] [ ) ( ] [ ] [ ) ( ]{1} [ ] [ ] ][ [ ] [ ]{1} [ ] [ t u t P t u o n n & & & & Μ Φ = Ψ Φ + Μ Φ Φ Μ Φ Μ Φ Τ Τ Τ Τ Τ (7β) Τίθεται u * = ) ( ]{1} [ ] [ ] ][ [ ] [ t u n Μ Φ Φ Μ Φ Τ Τ (8α) m * =[Φ] Τ [Μ]{1} (8β) οπότε η (7α) γίνεται: ) ( )] ( ][ [ ] [ ) ( * * * t m u t P t u m o n & & & & = Ψ Φ + Τ (9) Σε αλγεβρική µορφή οι ανωτέρω σχέσεις (8α) και (8β) γράφονται m * =m 1 φ 1 +m 2 φ 2 + ----+ m n φ n = n i m i 1 φ

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 22 [Φ] Τ [Μ][Φ] = m 1 φ 1 2 +m 2 φ 2 2 + ----+ m n φ n 2 = n i m i 1 2 φ [Φ] Τ [Ψ]= n i i 1 φ ψ δηλαδή m * = n i m i 1 φ (1α) u n * (t) = n i i n i i m m 1 1 2 φ φ u n (t) (1β) [Φ] Τ [Ψ]= n i i 1 φ ψ (1γ) Η σχέση (9) γράφεται µε την εισαγωγή των (1α-γ): ) ( ) ( ) ( 1 1 * 1 t u m t P t u m o n i i n n i i n i i & & & & = + φ φ ψ φ (11α) Λαµβάνοντας υπόψη ότι ) ( ) ( ] [ {1} 1 t P t P n n i n = Ψ Τ ψ =V(t) ή = Ψ = n i T n t V t V t P 1 ) ( } [ {1} ) ( ) ( ψ ` (12) όπου V(t) η τέµνουσα βάσης του πολυβαθµίου συστήµατος.

Η εξίσωση (11α) γράφεται: * * m u& ( t ) + n 1 n 1 φ ι ψ i * V ( t ) = m u&& o ( t ) ψ i (11β) ηλαδή για ένα µονοβάθµιο σύστηµα του οποίου είναι γνωστά µάζα m * τέµνουσα βάσης V * από τις σχέσεις (1α) και (12): και m * =[Φ] Τ [Μ]{1}= n 1 m i φ i V * Τ [ Φ] [ Ψ] (t)= V(t)= Τ {1} [ Ψ] n φ ι 1 n 1 ψ ψ i i V(t) Η δυναµική του ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση * * * * m u & ( t ) + V ( t ) = m u && ( t ) (13) o µε u * (t)=c 1 u(t) (14α) V * (t)=c 2 V(t) (14β) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 23

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 24 c 1 = ]{1} [ ] [ ] ][ [ ] [ Μ Φ Φ Μ Φ Τ Τ = n i i n i i m m 1 1 2 φ φ (14γ) c 2 = ] [ {1} ] [ ] [ Ψ Ψ Φ Τ Τ = n i n i 1 1 ψ ψ φ ι (14δ) Εάν τεθεί ψ i =φ i προκύπτει c 2 = n i n i 1 1 2 φ φ (15α) και για m i =m= σταθερό c 1 = n i i n i i m m 1 1 2 φ φ = n i n i m m 1 1 2 φ φ = c 2 (15β) οπότε τελικώς ένας συντελεστής c c= n i n i m m 1 1 2 φ φ (16)

Η ανωτέρω ανάλυση έχει ως στόχο να συσχετίσει τις ιδιότητες του ισοδυνάµου µονοβαθµίου συστήµατος (από το οποίο προκύπτει εύκολα το φάσµα απόκρισης για δεδοµένη διέγερση) µε τα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης ενός πολυβαθµίου συστήµατος. Ως γνωστόν σε όλους τους σύγχρονους κανονισµούς περιλαµβάνονται ελαστικά και ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων ή µετακινήσεων τα οποία και παρέχουν πληροφορίες για µονοβάθµια συστήµατα. Είναι εποµένως απαραίτητο να µπορεί το αποτέλεσµα της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, υπό την µορφή της καµπύλης τέµνουσας βάσης µετατοπίσεων, το οποίο περιγράφει την αντίσταση της (πολυβάθµιας) κατασκευής, να συγκριθεί µε την αντίστοιχη απαίτηση του σεισµού όπως αυτή προκύπτει από τα φάσµατα. Είναι γνωστό επίσης ότι η πλειονότητα των αντισεισµικών κανονισµών διεθνώς προσανατολίζεται σε σχεδιασµό κατασκευών µε βάση τα φάσµατα επιταχύνσεων, δηλαδή µε βάση τις αδρανειακές δυνάµεις που δρούν στην κατασκευή (force based design). Εντούτοις πολλές πρόσφατες δηµοσιεύσεις αλλά και τα πρόσφατα εγχειρίδια της FEMA (273-356) αναφέρονται σε σχεδιασµό µε βάση τα φάσµατα µετατοπίσεων, δηλαδή µε τις µετατοπίσεις που επιβάλλονται σε µια κατασκευή λόγω του σεισµού σχεδιασµού (displacement based design). Η κάθε µια από αυτές τις προσεγγίσεις έχει τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατά της για τον σχεδιασµό νέων ή για την αποτίµηση της συµπεριφοράς υφισταµένων κατασκευών. Οι πιο διαδεδοµένες µέθοδοι-τεχνικές προσδιορισµού της στοχευόµενης µετατόπισης (αναφερόµενης ενγένει στην κορυφή του φορέα) είναι η γραφική µέθοδος και η προσεγγιστική σχέση (µέθοδος των συντελεστών) που δίνεται στα εγχειρίδια της FEMA Για λόγους εποπτείας και ελέγχου των αποτελεσµάτων είναι πολύ χρήσιµη η γραφική µέθοδος κατά την οποία γίνεται απεικόνιση των φασµατικών επιταχύνσεων και φασµατικών µετατοπίσεων σε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων (Freeman, Fajfar et al.), τα λεγόµενα φάσµατα απαίτησης επιταχύνσεων-µετατοπίσεων (ADRS demand spectra), τα οποία συνδυαζόµενα µε την καµπύλη αντίστασης («φάσµα» διαθέσιµης αντίστασης) του ισοδυνάµου µονοβαθµίου (capacity curve) δίνουν εποπτικά και πολύ απλά τα όρια µετατόπισης της κατασκευής και τις αδρανειακές δυνάµεις που επιδρούν σε αυτήν, λαµβάνοντας υπόψη τόσο την ανελαστική συµπεριφορά όσο και την µεταβολή της θεµελιώδους ιδιοπεριόδου (αύξηση) που λαµβάνει χώρα κατά την έναρξη της ανελαστικής αυτής συµπεριφοράς. (Σχήµα 6). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 25

Ως προς τα ανελαστικά φάσµατα µια πρόσφατη εργασία των Miranda & Garcia (22) εξετάζει έξι προσεγγιστικές µεθόδους για τον υπολογισµό της µέγιστης απαιτούµενης ανελαστικής µετατόπισης σε έναν µονοβάθµιο ταλαντωτή. Σε όλες τις µεθόδους η µέγιστη ανελαστική µετατόπιση προκύπτει από την µέγιστη ελαστική µετατόπιση του µονοβαθµίου ταλαντωτή (ελαστικό φάσµα µετατοπίσεων). Σχ. 6: Ελαστικό και ανελαστικό φάσµα επιταχύνσεων-µετατοπίσεων- Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης (Fajfar et al) Τέσσερις από τις µεθόδους βασίζονται στην µετάβαση σε ανελαστικό φάσµα µετατοπίσεων µε την παραδοχή µειωµένης δυσκαµψίας και αυξηµένης ισοδύναµης απόσβεσης του ισοδυνάµου ταλαντωτή ενώ οι άλλες δύο µε την χρήση συντελεστή τροποποίησης της ελαστική µετατόπισης, δηλαδή πλαστιµότητας. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 26

Σχ. 7: Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε ελαστοπλαστική συµπεριφορά (Miranda & Garcia) Οι τέσσερις µέθοδοι µε την χρήση ελαστικών φασµάτων µε ισοδύναµη απόσβεση είναι: Rosenblueth & Herrera Gulkan & Sozen Iwan Kowalsky Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 27

Και οι δύο µέθοδοι µε την χρήση ανελαστικών φασµάτων µε την εισαγωγή της πλαστιµότητας Newmark & Hall Miranda Σχ. 8:Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε τροποποιηµένο υστερητικό µοντέλο Clough (1975) (Miranda & Garcia) Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας των διαφόρων µεθόδων χρησιµοποιήθηκαν η µέση τιµή των µετατοπίσεων από δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις µονοβάθµιων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 28

ταλαντωτών, µε ιδιοπεριόδους από.5 έως 3.sec, µε τρία διαφορετικά µοντέλα υστερητικής συµπεριφοράς, ελαστοπλαστική συµπεριφορά (σχ.7 και 1), τροποποιηµένο µοντέλο Clough (1975) (σχ.8), Takeda (197) (σχ.9) και φθίνουσας δυσκαµψίας (stiffness degrading), υπό 264 διαφορετικά επιταχυνσιογραφήµατα από καταγραφές 12 σεισµών στην Καλιφόρνια. Σχ. 9:Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε υστερητικό µοντέλο Takeda (Miranda & Garcia) Η µέθοδος Rosenblueth & Herrera η οποία βασίζεται σε µετατόπιση της ιδιοπεριόδου µε βάση την επιβατική δυσκαµψία (secant stiffness) στη µέγιστη µετατόπιση και την χρήση ισοδύναµης απόσβεσης δια της εξίσωσης της απόσβεσης Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 29

ενέργειας (εµβαδόν βρόχων υστέρησης) µε αυτή στα ισοδύναµα ελαστικά µονοβάθµια συστήµατα µε απόσβεση (overdamped spectra) υποεκτιµά τις µέγιστες αναµενόµενες ανελαστικές µετατοπίσεις και για τα τρία µοντέλα υστερητικής συµπεριφοράς. Οι µέγιστες εκτιµώµενες µετατοπίσεις µε την χρήση της µεθόδου ισούνται κατά µέσο όρο µε το µισό των αντίστοιχων τιµών της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης. Οι µέθοδοι των Gulkan & Sozen (1974), Iwan & Gates (1979) και Kowalsky et al. (1995) οι οποίες επίσης βασίζονται στη µέθοδο του ισοδυνάµου ελαστικού ταλαντωτή αλλά εισάγουν πολύ χαµηλότερα µεγέθη ισοδύναµης απόσβεσης από αυτή των Rosenblueth & Herrera, παράγουν σαφώς Σχ. 1:Τυπική απόκλιση σχετικού λάθους ελαστοπλαστικών συστηµάτων (Miranda & Garcia) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 3

ακριβέστερα αποτελέσµατα. Πιο συγκεκριµένα στις µεθόδους αυτές το µέσο σφάλµα αυξάνεται µε την αύξηση της πλαστιµότητας και σε χαµηλές ιδιοπεριόδους. ηλαδή παράγουν ακριβέστερα αποτελέσµατα σε µέσες και υψηλές ιδιοπεριόδους ενώ για τις χαµηλές ιδιοπεριόδους υπερεκτιµούν τις µετατοπίσεις σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση. Και οι δύο µέθοδοι που βασίζονται σε συντελεστές τροποποίησης των µετατοπίσεων, Newmark & Hall και Miranda, δίνουν µετατοπίσεις ελαφρώς µεγαλύτερες από την αντίστοιχη ανελαστική δυναµική ανάλυση, ειδικά για περιόδους µεγαλύτερες των.5sec. Συγκριτική παρουσίαση εφαρµογής των µεθόδων των Newmark & Hall χρησιµοποιώντας φάσµατα ισοδύναµης απόσβεσης και σταθερής πλαστιµότητας κάνουν και οι Chopra & Goel (21) οι οποίοι, µε µικρό πάντως αριθµό παραδειγµάτων (2) επιχειρηµατολογούν υπέρ της µεθόδου των ανελαστικών φασµάτων σταθερής πλαστιµότητας. Φυσικά στην βιβλιογραφία υπάρχουν διαθέσιµες αρκετές ακόµη εργασίες σχετικές µε τα ανελαστικά φάσµατα (Krawinkler & Nassar, Hidalgo & Arias, Vidic Fajfar & Fischinger, Elghadamasi & Mohraz (alluvium)) οι οποίες όµως απλά επιβεβαιώνουν τις προαναφερόµενες αβεβαιότητες και την εξάρτηση της αξιοπιστίας τους από το συχνοτικό περιεχόµενο στο οποίο αναφέρονται. Εκτός φυσικά από το ζήτηµα του προσδιορισµού των απαιτήσεων ανελαστικής µετατόπισης µε την χρήση ανελαστικών φασµάτων υπάρχουν ακόµη αρκετά ανοιχτά θέµατα, όπως για παράδειγµα η αναγκαιότητα χρήσης επί µέρους συντελεστών ασφαλείας, υλικού και δράσεων και ο βαθµός ασφάλειας που προκύπτει για µια κατασκευή. Ειδικά το τελευταίο είναι αρκετά σηµαντικό σε επίπεδο σχεδιασµού, διότι επί του παρόντος ο σχεδιασµός γίνεται µε βάση φάσµατα σχεδιασµού (ανελαστικά) και ελαστική ανάλυση, ενώ µε τις προτεινόµενες µεθόδους γίνεται ανελαστική ανάλυση η οποία συγκρίνεται µε ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων και µετακινήσεων. Χαρακτηριστικό είναι ότι στο εγχειρίδιο 356 της FEMA χρησιµοποιείται η έννοια του συντελεστή αξιοπιστίας του υλικού (κ=.75-1.) και εισάγονται οι χαρακτηριστικές τιµές για ελέγχους σε όρους εντατικών µεγεθών και οι µέσες για ελέγχους σε όρους µετακινήσεων χωρίς να εισάγεται συντελεστής ασφαλείας υλικών. Ο συντελεστής αυτός εισάγεται στα µεγέθη διαθέσιµων στροφών Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 31

που προτείνονται (τα οποία είναι σαφώς συντηρητικά) ή και στον έλεγχο διαθέσιµης προς απαιτούµενη πλαστιµότητα όπου εισάγεται ένας συντελεστής ασφαλείας της τάξης του 2.5 (ΑTC 4). 2.4. Επισκόπηση βιβλιογραφίας ανελαστικής στρέψης Η επισκόπηση της βιβλιογραφίας γίνεται κατατάσσοντας τις σχετικές δηµοσιεύσεις σε δύο βασικές κατηγορίες, (ι) αυτές που αναφέρονται στο σχεδιασµό νέων κτιρίων µε στόχο την αποφυγή ανεπιθύµητης στρεπτικής επιπόνησης κατά την µετάβαση σε ανελαστικό στάδιο, και (ιι) αυτές που αναφέρονται στη διερεύνηση της στρεπτικής συµπεριφοράς των κατασκευών και στις προσπάθειες προσοµοίωσης αυτής µε στατικές ανελαστικές µεθόδους ανάλυσης. Αν και η παραπάνω κατηγοριοποίηση είναι αρκετά δύσκολη και ελαφρώς ασαφής µια και πολλές εργασίες ασχολούνται και συνδυάζουν τις δυο παραπάνω θεµατικές ενότητες, εντούτοις κρίνεται χρήσιµη η προσπάθεια εφαρµογής της για να διευκολυνθεί η ανάγνωση της επισκόπησης της βιβλιογραφίας από κάποιον ελαφρώς αποµακρυσµένο από την θεµατική ενότητα της διατριβής. 2.4.1. Σχεδιασµός νέων κατασκευών Σε δύο εργασίες του Paulay (1996, 1997) παρουσιάζεται µια απλή διαδικασία σχεδιασµού κτιρίων η οποία λαµβάνει υπόψη τα φαινόµενα στρέψης που εµφανίζονται κατά την µετάβαση ενός κτιρίου στην ανελαστική περιοχή. Για το σκοπό αυτόν χρησιµοποιούνται απλά µοντέλα συµπεριφοράς για τα διάφορα κατασκευαστικά στοιχεία (τοιχώµατα πλαίσια) και ελέγχονται υπό µονότονη στατική φόρτιση. Μέσα από τα παραδείγµατα που αναλύονται γίνεται σαφές ότι η στρέψη που υπολογίζεται βάσει της στατικής εκκεντρότητας και µιας επιπλέον τυχηµατικής, σε όλους τους σύγχρονους κανονισµούς, δεν έχει µεγάλη σχέση µε τα φαινόµενα στρέψης που εµφανίζονται όταν αρχίσει η διαρροή κάποιων από τα στοιχεία του κτιρίου. Η βασική αιτία για αυτό φαίνεται σχηµατικά στο σχήµα 11 και είναι η µείωση της δυσκαµψίας των διαφόρων στοιχείων καθώς αυτά διαρρέουν, µε αποτέλεσµα το ελαστικό κέντρο CR (κέντρο δυσκαµψίας) να µετακινείται. Σε αντικατάσταση αυτού του ελαστικού κέντρου (CR) προτείνεται το κέντρο αντίστασης (CS) που είναι το σηµείο από το οποίο διέρχεται η συνισταµένη αντοχή Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 32

όλων των κατακόρυφων στοιχείων. Φυσικά σε αυτό το σηµείο τίθεται το αντίστροφο πρόβληµα µε αυτό που παρατηρείται µε το σηµείο CR. Κανονικοποιηµένη Αντοχή Κανονικοποιηµένη µετατόπιση Σχ. 11: Μεταβολή των δυσκαµψιών διαφόρων στοιχείων (Paulay) Έτσι ενώ το CR αρχίζει να µετακινείται µόλις αρχίσει η διαρροή του πρώτου κατακόρυφου στοιχείου, το σηµείο CS σταµατάει να µετακινείται µόλις διαρρεύσει και το τελευταίο κατακόρυφο στοιχείο, οπότε και όλα έχουν φτάσει την αντοχή τους. Στις εργασίες του Paulay δεν περιλαµβάνονται καθόλου παραµετρικές αναλύσεις (δυναµικές / στατικές) οι οποίες να παρέχουν ποσοτικά στοιχεία και να επιβεβαιώνουν την ορθότητα της χρήσης του CS για τον υπολογισµό της επιρροής της στρέψης. Στις εργασίες αυτές γίνεται επίσης ο διαχωρισµός των κτιρίων σε στρεπτικώς δεσµευµένα και στρεπτικώς µη δεσµευµένα (διασφαλισµένα), βάσει του οποίου και αναπτύσσεται όλη η µεθοδολογία σχεδιασµού που προτείνεται. Η ανάλυση αυτής Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 33

της µεθοδολογίας γίνεται διεξοδικά στην εν λόγω εργασία για την περίπτωση των µονώροφων κτιρίων. Επιπλέον είναι σκόπιµο να αναφερθεί ότι από τα διάφορα παραδείγµατα που ελέγχονται το κριτήριο της αλληλεπίδρασης Τέµνουσας Βάσης και Ροπής Στρέψης (BST=Base Shear - Torque) επιβεβαιώνεται πλήρως. Το κριτήριο αυτό καθώς και το σχετικό διάγραµµα αλληλεπίδρασης αποτελεί το θέµα µιας εργασίας που αναφέρεται αµέσως παρακάτω (Chopra et al), και έτσι εδώ αρκεί να αναφερθεί ότι η ανάπτυξη ανελαστικής στρέψης οδηγεί σε µείωση της φέρουσας µεταφορικής ικανότητας της κατασκευής ή και αντίστροφα σε αύξηση της απαιτούµενης πλαστιµότητας της κατασκευής. Κλείνοντας το βασικό συµπέρασµα από τις δύο εργασίες του Paulay (1996, 1997) είναι ότι υπάρχουν δύο εκκεντρότητες σε ένα κτίριο, αυτή που ορίζεται από το ελαστικό κέντρο CR και η οποία είναι σταθερή όσο το κτίριο λειτουργεί σε ελαστικό στάδιο και αυτή που ορίζεται από το κέντρο αντίστασης CS η οποία παραµένει σταθερή αφότου όλα τα κατακόρυφα στοιχεία του κτιρίου διαρρεύσουν. Είναι σκόπιµο να αναφερθεί ότι σε ελαστικό στάδιο το CS συµπίπτει µε το CR στη συνήθη περίπτωση κατά την οποία οι αντοχές είναι ανάλογες των ελαστικών δυσκαµψιών. Στην πρακτική εφαρµογή αυτών των συµπερασµάτων προχώρησε η εργασία των Myslimaj και Τso (25) στην οποία χρησιµοποιώντας µονώροφα προσοµοιώµατα και διαξονική διέγερση διερεύνησαν τον βέλτιστο τρόπο διάταξης των στοιχείων αντίστασης και των ιδιοτήτων τους έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα προβλήµατα ανελαστικής στρέψης. Πιο συγκεκριµένα εξέτασαν την δυνατότητα τα στοιχεία αντίστασης (τοιχώµατα-πλαίσια) να έχουν δυσκαµψία ανάλογη της αντοχής τους έτσι ώστε να προκύπτουν τα κέντρα δυσκαµψίας CR και αντίστασης CS εκατέρωθεν του κέντρου µάζας, µια κατάσταση που ονοµάζουν «εξισορρόπηση CS- CR». Στην ίδια κατεύθυνση κινείται και η εργασία των Aziminejad και Moghadam (25) στη οποία διερευνείται η ανελαστική συµπεριφορά µονώροφων κτιρίων σχεδιασµένων σύµφωνα µε σύγχρονους κανονισµούς µε στόχο την βελτιστοποίηση της θέσης των CM, CS και CR. Από τις αναλύσεις προκύπτει ότι η απόκριση για κάθε επίπεδο επιτελεστικότητας εξαρτάται από την επιλεγόµενη παράµετρο απόκρισης ή από τον αντίστοιχο δείκτη βλάβης. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 34

a b Σχ.12 : Κατασκευή επιφάνειας Ροπής Στρέψης Τέµνουσας Βάσης (ΒST) (Chopra et al) Μια άλλη εργασία η οποία σχετίζεται µε τον σχεδιασµό κατασκευών είναι αυτή των De La Llera και Chopra (1995). Η εργασία αυτή έχει βασικά τρεις στόχους: (1) Την ποιοτική εκτίµηση των ασυµµετριών σε κτίρια µε διαφορετικές κατασκευαστικές διατάξεις, (2) την ανάπτυξη ενός πλαισίου ποιοτικών κριτηρίων που θα επιτρέψουν την εκτίµηση των στρεπτικών ανελαστικών φαινοµένων για διάφορες κατασκευαστικές διατάξεις, (3) την δηµιουργία γενικών κανόνων για την βελτίωση του αντισεισµικού σχεδιασµού των ασύµµετρων κτιρίων. Το βασικό Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 35

εργαλείο µε το οποίο γίνεται η εκτίµηση των ανελαστικών στρεπτικών φαινοµένων σε ασύµµετρα στην κάτοψη κτίρια είναι η απεικόνιση των χρονοϊστοριών των δύο τεµνουσών βάσης (BS) V χ, V y και της ροπής στρέψης Τ σε ένα τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων. Στο ίδιο σύστηµα απεικονίζεται και η οριακή επιφάνεια BST (Τέµνουσες βάσης Ροπή Στρέψης) η οποία προσδιορίζεται από διάφορες τριάδες σηµείων (Vx, Vy, Τ) τα οποία αντιστοιχούν σε διάφορους µηχανισµούς αστοχίας του φέροντος συστήµατος. Στο σχήµα 12 φαίνεται η εφαρµογή της µεθόδου για διέγερση παράλληλη στον άξονα yy se έναν απλό συµµετρικό φορέα. Όπου f η τέµνουσα αντοχής του κάθε πλαισίου στο επίπεδο του, οπότε η συνολική αντοχή σε καθαρή µετατόπιση κατά yy είναι: 3 f - σηµείο P1, η συνολική αντοχή σε καθαρής στρέψη είναι : f a + f b = f ( a + b )- σηµείο P2 Εποµένως αυτή η επιφάνεια χωρίζει το χώρο σε δυο περιοχές. Αυτή που περικλείεται από την επιφάνεια και τα στοιχεία της οποίας αντιστοιχούν σε τριάδες τιµών σε ελαστικό στάδιο και αυτή εκτός η οποία αντιστοιχεί σε αδύνατο συνδυασµό τιµών. Εποµένως όλα τα σηµεία επί της επιφανείας BST αντιστοιχούν σε διάφορες καταστάσεις ανελαστικής συµπεριφοράς. Η επιφάνεια ΒST αποτελεί το αντίστοιχο του οριζοντίου κλάδου ενός ελαστοπλαστικού (χωρίς κράτυνση) µονοβαθµίου συστήµατος. Με τον προσδιορισµό της επιφάνειας αυτής στην εργασία πραγµατοποιούνται παραµετρικές αναλύσεις διαφόρων µονώροφων κτιρίων ως προς την αντοχή των επιπέδων αντίστασης, την αντοχή των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης, ασύµµετρη κατανοµή δυσκαµψιών, ασύµµετρη κατανοµή αντοχών, κατανοµή των αντοχών στην κάτοψη και τον αριθµό των επιπέδων αντίστασης για τον προσδιορισµό της επίδρασης τους επί της επιφάνειας BST (θεωρώντας σεισµική φόρτιση κατά µια µόνο διεύθυνση). Η επιρροή αυτών των παραµέτρων επί της επιφανείας αστοχίας δίνει ένα πολύ καλό ποιοτικό κριτήριο της επιρροής τους στην ανελαστική συµπεριφορά του κτιρίου. Προς επιβεβαίωση των αποτελεσµάτων, ορισµένες από τις παραπάνω παραµέτρους ελέγχθηκαν µε αντίστοιχες ανελαστικές δυναµικές Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 36

αναλύσεις τα αποτελέσµατα των οποίων επιβεβαιώνουν την χρησιµότητα της επιφανείας αστοχίας BST. Πραγµατοποιήθηκαν επίσης ορισµένες αναλύσεις θεωρώντας σεισµική φόρτιση σε δυο διευθύνσεις, τα αποτελέσµατα των οποίων βρίσκονται εντός των ορίων της επιφάνειας αστοχίας BST, και η βασική παρατήρηση η οποία προκύπτει εξ αυτών είναι η ίδια µε αυτή από την εργασία του Paulay, ότι ο συνδυασµός των σεισµικών δράσεων και στις δυο διευθύνσεις µειώνει σηµαντικά την φέρουσα ικανότητα της κατασκευής, ή αντίστροφα αυξάνει σηµαντικά την απαιτούµενη πλαστιµότητα των διαφόρων επιπέδων αντίστασης. Η επιφάνεια αυτή εποµένως, αποτελεί ένα πολύ χρήσιµο οπτικό κριτήριο για την εκτίµηση της επίδρασης της εκκεντρότητας στην συνολική φέρουσα ικανότητα του κτιρίου, ιδίως επειδή η κατασκευή της δεν απαιτεί την πρότερη ανελαστική δυναµική ανάλυση του. Φυσικά η επιφάνεια από µόνη της δεν δίνει πληροφορίες για τις απαιτούµενες πλαστιµότητες ή τις αναπτυσσόµενες ανελαστικές παραµορφώσεις των διαφόρων κατακόρυφων στοιχείων και επιπλέον η χρήση της σε πολυώροφα κτίρια είναι προβληµατική. Θα ήταν ίσως σκόπιµη η αντιµετώπιση και των δύο αυτών προβληµάτων µε την δηµιουργία µιας επιφάνειας µετατοπίσεων στροφών είτε σε επίπεδο ορόφων είτε σε επίπεδο κτιρίου, που σε συνδυασµό µε την BST θα έδινε στοιχεία και για τις απαιτούµενες πλαστιµότητες αλλά και θα αντιµετώπιζε το πρόβληµα των πολυωρόφων κτιρίων. Επίσης µία άλλη εργασία η οποία ασχολείται µε τον σχεδιασµό των κατασκευών είναι η πρόσφατη εργασία των Azuhata et al (2), στην οποία διερευνάται η εφαρµογή της µεθόδου των ικανοτικών φασµάτων (capacity spectrum) σε ασύµµετρα στην κάτοψη κτίρια, έτσι ώστε ο σχεδιασµός και η αποτίµηση των κατασκευών να γίνεται µε βάση την συµπεριφορά τους (performance based design). Για το σκοπό αυτόν εφαρµόζονται δυο συντελεστές διόρθωσης της εκτιµώµενης, από την στατική ανελαστική ανάλυση, αντοχής και µετατόπισης της υπό αποτίµηση πλευράς κάθε ορόφου του κτιρίου. Έτσι η ανελαστική µετατόπιση της περιµέτρου του κτιρίου δίνεται από τη σχέση: δ Νπερι = δ Ε περι δ Ε δ Ν Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 37

όπου ο δείκτης Ν σηµαίνει ανελαστική και ο δείκτης Ε ελαστική και ο δείκτης «περι» σηµαίνει µετατόπιση της περιµέτρου του κτιρίου. ηλαδή η ανελαστική µετατόπιση µιας πλευράς του κτιρίου δίνεται από την αντίστοιχη ανελαστική µετατόπιση του κέντρου βάρους πολλαπλασιασµένη µε τον λόγο των αντίστοιχων µετατοπίσεων που έχουν προκύψει από την ελαστική δυναµική ανάλυση όπως πρoτείνει και το προγενέστερο FEMA 273. Σχ.13:Σύγκριση αποτελεσµάτων ανελαστικής στατικής-δυναµικής ανάλυσης µονοβαθµίου SDOF (Azuhata et al) Η µείωση της αντοχής δίνεται από µία αντίστοιχη σχέση στην οποία συνδυάζονται η τέµνουσα βάσης και η ροπή στρέψης που προκύπτουν από την ελαστική δυναµική ανάλυση. ηλαδή για την εφαρµογή της µεθόδου απαιτείται ελαστική δυναµική ανάλυση του χωρικού µοντέλου του κτιρίου και στατική ανελαστική ανάλυση µε φορτία στο κέντρο βάρους. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 38

Σχ.14: Συγκριτικά αποτελέσµατα ανελαστικής στατικής-δυναµικής ανάλυσης πολυβαθµίου MDOF (Azuhata et al) Για την αξιολόγηση των αποτελεσµάτων της µεθόδου εφαρµόζεται αρχικά ανελαστική δυναµική ανάλυση µε την µέθοδο του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, και όπως φαίνεται στο σχήµα 13 τα αποτελέσµατα δεν είναι ικανοποιητικά. Για το σκοπό αυτόν εφαρµόζεται, για δυο από αυτά, η µέθοδος της χωρικής ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης ενός πιο πλήρους µοντέλου του κτιρίου - µε συγκεντρωµένη τη µάζα στο κέντρο βάρους CM κάθε ορόφου, τα αποτελέσµατα της οποίας είναι πάρα πολύ κοντά µε αυτά της στατικής ανελαστικής ανάλυσης, όπως φαίνεται στο σχήµα 14. Είναι λοιπόν σηµαντική, λαµβανοµένης υπόψη της ευνοϊκής επιλογής µικρού αριθµού ορόφων (3), η παρατήρηση ότι ο ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής εισάγει επιπλέον αβεβαιότητες και είναι συνεπώς σκόπιµο να χρησιµοποιείται ως σηµείο αναφοράς η δυναµική ανάλυση του πλήρους χωρικού µοντέλου. Είναι πολύ σηµαντικό να αναφερθεί ότι όλες οι αναλύσεις, στατικές και δυναµικές, αναφέρονται στο κέντρο βάρους και τα αποτελέσµατα στην περίµετρο υπολογίζονται εφαρµόζοντας την προτεινόµενη µέθοδο. Αυτό φυσικά ενέχει έναν βαθµό αναξιοπιστίας διότι ο έλεγχος της µεθόδου δεν γίνεται βάσει συγκρίσεως µε κάποια ανεξάρτητη από αυτή ανάλυση, όπως µια δυναµική ανελαστική ανάλυση του πλήρους πολυβαθµίου µοντέλου, αλλά απλώς εφαρµόζεται σε δύο διαφορετικούς τύπους ανάλυσης µε αποτέλεσµα να είναι τα αποτελέσµατα ιδιαίτερα ευαίσθητα στο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 39

σηµείο εκκίνησης- δηλαδή την µετατόπιση του κέντρου βάρους - της κάθε περίπτωσης. Οι Sommer και Bachmann (25) παρουσιάζουν µια µεθοδολογία σχεδιασµού πολυωρόφων κτιρίων µε τοιχώµατα βασισµένη στις µετακινήσεις, η οποία λαµβάνει υπόψη τα χαρακτηριστικά της δυναµικής στρεπτικής απόκρισης, την πλαστιµότητα των τοιχωµάτων, την πλαστιµότητα του συστήµατος και τα βέλη ορόφων της εύκαµπτης πλευράς. Πιο συγκεκριµένα προσδιορίζεται µια εκκεντρότητα εφαρµογής του ισοδυνάµου σεισµικού φορτίου, ενώ παρουσιάζεται µια µέθοδος προσδιορισµού της ιδιοπεριόδου και της τέµνουσας βάσης. Τα ανωτέρω παρουσιάζονται στο παράδειγµα σχεδιασµού ενός πολυώροφου ασύµµετρου κτιρίου Ο/Σ µε τοιχώµατα. Πολύ πρόσφατα οι Stathopoulos και Anagnostopoulos (25) παρουσίασαν την διερεύνηση της πολυωρόφων κτιρίων σχεδιασµένων σύµφωνα µε τις διατάξεις του EC8 και του UBC-97. Πιο συγκεκριµένα επέλεξαν τριώροφα και πενταόροφα έκκεντρα κτίρια µε πλαισιακό φορέα Ο/Σ και τα υπέβαλαν σε διέγερση δύο διευθύνσεων. Από τις ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις προέκυψαν αυξηµένες ανελαστικές µετατοπίσεις για την εύκαµπτη πλευρά και µειωµένες γα την δύσκαµπτη σε σχέση µε τις αντίστοιχες των συµµετρικών κτιρίων. Τα συµπεράσµατα αυτά σε συνδυασµό µε αντίστοιχα άλλων εργασιών, οδήγησαν τους συγγραφείς σε σοβαρό προβληµατισµό σε σχέση µε τις υφιστάµενες διατάξεις στους σύγχρονους κανονισµούς, οι οποίες δεν αποτρέπουν αυτή την ανισοβαρή κατανοµή των απαιτήσεων. 2.4.2 Ανελαστική ανάλυση κατασκευών (3D στατική και δυναµική) Η εργασία επισκόπησης της βιβλιογραφίας του A. Rutenberg (1992) αποτελεί ένα καλό σηµείο αναφοράς από το οποίο µπορεί να ξεκινήσει η επισκόπηση της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Το βασικό συµπέρασµα που προκύπτει από αυτήν την επισκόπηση είναι ότι τα αποτελέσµατα διαφόρων εργασιών είναι πολλές φορές αντικρουόµενα µεταξύ τους, χωρίς να είναι σαφής η αιτία, κάτι το οποίο θα γίνει ακόµη πιο έντονα αντιληπτό στις επόµενες παραγράφους. Θεωρώντας ο συγγραφέας ως βασική αιτία των διαφορών αυτών, τον διαφορετικό προσδιορισµό των συγκρίσιµων µεγεθών από εργασία σε εργασία αλλά και τις διαφορές στα µοντέλα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 4

αναφοράς ή αλλιώς τα «αντίστοιχα» συµµετρικά συστήµατα προχωράει στον µονοσήµαντο κατά το δυνατόν προσδιορισµό τους. (α) Λόγος συχνοτήτων Ω Υπάρχουν τρεις δυνατοί ορισµοί του Ω, ως προς το κέντρο µάζας (CM) συµβολιζόµενη ως Ω Μ, ως προς το κέντρο δυσκαµψίας (CR) συµβολιζόµενη ως Ω R και µε βάση τις στρεπτικές και µεταφορικές δυσκαµψίες ως προς το κέντρο µάζας (CM) συµβολιζόµενη ως Ω ο, ήτοι: Ω ο 2 = ω θο 2 /ω y 2 = mk θi / (J m ΣΚ yi ) ω y 2 = ΣΚ yi /m ω θο 2 = Κ θi /J M Ω Μ 2 = Ω ο 2 +e *2 e * = e/ρ ρ=(j Μ /m) 1/2 Ω R 2 = Ω ο 2 / (1+e *2 ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι Ω R Ω ο Ω Μ και ότι η διαφορά µεταξύ Ω 2 R και Ω 2 Μ µεγαλώνει µε τη αύξηση του e *. Από τα ανωτέρω καθίσταται σαφές ότι δυο µοντέλα µε ίδια αριθµητική τιµή Ω R και Ω M δεν συνεπάγεται ότι αποτελούν δύο ίδια συστήµατα. Το πλεονέκτηµα της χρήσης του Ω ο σε παραµετρικές αναλύσεις είναι σαφές διότι επιτρέπει την µεταβολή του e χωρίς να επηρεάζεται η τιµή του. (β) Ποσοστό απόσβεσης Το ποσοστά απόσβεσης στις αναλύσεις που αναφέρονται κυµαίνονται από 2-5%, γεγονός που δεν φαίνεται κρίσιµο για την απόκριση της κατασκευής. Εντούτοις όπως θα αναφερθεί σε άλλα κεφάλαια της εργασίας κατά την χρήση ανελαστικών φασµάτων η ισοδύναµη απόσβεση µπορεί να πάρει µεγάλες τιµές αυξανόµενες συναρτήσει της πλαστιµότητας (γ) Συµµετρικό σύστηµα αναφοράς Είναι το σύστηµα µε το οποίο συγκρίνονται τα µεγέθη απόκρισης του ασύµµετρου συστήµατος που εκάστοτε εξετάζεται, και έχει κατά κανόνα ιδιοπερίοδο ίση µε την ασύζευκτη µεταφορική ιδιοπερίοδο του αντίστοιχου ασύµµετρου µε το ίδιο επίπεδο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 41

απόσβεσης. Παρακάτω, παρουσιάζεται το θέµα του σχεδιασµού του συµµετρικού συστήµατος µε τις εκκεντρότητες σχεδιασµού που επιβάλλονται από τους κανονισµούς, γεγονός όµως που οδηγεί σε αυξηµένη συνολική διαθέσιµη αντοχή και διαφορετική κατανοµή των αντοχών σε κάθε στοιχείο, µε αποτέλεσµα το µοντέλο που προκύπτει να είναι διαφορετικό σε κάθε παραλλαγή και η σύγκριση να µην είναι δυνατή. Προτείνεται, από τον συγγραφέα (Rutenberg), η χρήση του απλού συµµετρικού µοντέλου όταν στόχος είναι η σύγκριση της απόκρισης µεταξύ διαφόρων ασύµµετρων συστηµάτων µεταξύ τους αλλά όχι για την αξιολόγηση τους ως προς το ισοδύναµο συµµετρικό οπότε και θα πρέπει να εισάγονται οι εκκεντρότητες σχεδιασµού στο σχεδιασµό του συµµετρικού, αλλά και οι τυχηµατικές εκκεντρότητες κατά την ανελαστική ανάλυση των µοντέλων. Η συγκεκριµένη πρόταση κατά την άποψη του γράφοντα δεν είναι η πλέον ενδεδειγµένη διότι αλλοιώνει την ακρίβεια των αποτελεσµάτων εισάγοντας παραµέτρους οι οποίες έχουν προκύψει για την βελτίωση της ελαστικής στατικής ανάλυσης σε σχέση µε την ελαστική δυναµική, σε ανελαστικές αναλύσεις. Στην εργασία των Μoghadam και Tso (1996) παρουσιάζεται µια µέθοδος εκτίµησης βλαβών ασύµµετρων σε κάτοψη πολυωρόφων κτιρίων χρησιµοποιώντας τρισδιάστατη στατική ανελαστική ανάλυση (3D pushover). Στόχος της εργασίας είναι η παρουσίαση µίας µεθόδου µέσω της οποίας η ανελαστική στατική ανάλυση θα προσοµοιώνει την µέγιστη µετατόπιση της εύκαµπτης πλευράς ενός κτιρίου, άρα και τη στροφή του. Η βασική αρχή της µεθόδου βρίσκεται στον συνδυασµό της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης ενός µονοβαθµίου ισοδυνάµου συστήµατος και της ανελαστικής στατικής ανάλυσης έτσι ώστε να προσεγγιστεί ικανοποιητικά η µέγιστη µετακίνηση της εύκαµπτης πλευράς του κτιρίου. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 42

Σχ.15: Μέγιστες µετατοπίσεις SDOF και MDOF ανάλυση (A. Rutenberg) Βάσει της προτεινοµένης µεθόδου χρησιµοποιείται αρχικά η τρισδιάστατη στατική ανελαστική ανάλυση του πολυβαθµίου για τον προσδιορισµό της ανελαστικής συµπεριφοράς του ισοδυνάµου µονοβαθµίου συστήµατος το οποίο αντιστοιχεί στο σχήµα παραµόρφωσης που προκύπτει από την στατική ανελαστική ανάλυση και έχει µάζα και δυσκαµψία τις αντίστοιχες γενικευµένες για την ιδιοµορφή αυτή. Στην συνέχεια πραγµατοποιείται δυναµική ανελαστική ανάλυση του µονοβαθµίου ισοδυνάµου συστήµατος εκ της οποίας προκύπτει η µέγιστη µετατόπιση του κέντρου µάζας του κτιρίου. Η µετατόπιση αυτή της κορυφής του κτιρίου στο κέντρο µάζας CM είναι και η στοχευόµενη µετατόπιση της δεύτερης στατικής ανελαστικής ανάλυσης η οποία και δίνει τις µετατοπίσεις της εύκαµπτης πλευράς του κτιρίου. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 43

Σχ.16: Μέγιστη µετατόπιση (αρ.) και σχετικό βέλος ορόφου(δεξ.) στην εύκαµπτη πλευρά (A. Rutenberg) Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας της µεθόδου γίνεται η παραµετρική ανάλυση ενός κανονικού επταώροφου κτιρίου από Ο/Σ χρησιµοποιώντας 13 επιταχυνσιογραφήµατα. ηλαδή για κάθε επιταχυνσιογράφηµα πραγµατοποιείται µια ανάλυση βάσει της προτεινοµένης µεθόδου και µια ανελαστική δυναµική ανάλυση. Συγκριτικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται µόνο ως προς την µέγιστη µετακίνηση του κέντρου µάζας CM (σχήµα 15) και της εύκαµπτης πλευράς (σχήµα 16), και µόνο για τις διεγέρσεις του Northridge και του Whitier. Από τα συγκριτικά αυτά αποτελέσµατα καθίσταται σαφές ότι η ακρίβεια της µεθόδου είναι πολύ ευαίσθητη στην εισαγόµενη εδαφική κίνηση γεγονός που αναφέρεται και από τους συγγραφείς. Για αυτόν το λόγο και επιλέγεται µόνο το παράδειγµα του Whitier για την εκτίµηση της ακρίβειας στην πρόβλεψη ζηµιών που παρουσιάζει η µέθοδος. Γενικά η ευαισθησία των αποτελεσµάτων της µεθόδου κυρίως εµφανίζεται στις µετατοπίσεις της εύκαµπτης πλευράς, µέγεθος που ισοδυναµεί µε την στροφή των ορόφων, κατά συνέπεια καθίσταται σαφές ότι δεν έχει συµπεριληφθεί στην µέθοδο κάποιο από τα δυναµικά χαρακτηριστικά του κτιρίου που σχετίζονται µε την στρέψη. Αυτό είναι και ένα από τα σηµαντικά ζητήµατα προς διερεύνηση διότι όπως Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 44

υπάρχει η δυναµική εκκεντρότητα στην ισοδύναµη στατική ελαστική ανάλυση, είναι προφανές ότι θα υπάρχει µια αντίστοιχη εκκεντρότητα στην στατική ανελαστική ανάλυση. Στα επόµενα κεφάλαια της παρούσας διατριβής θα προταθεί τρόπος εισαγωγής των στρεπτικών δυναµικών χαρακτηριστικών τόσο στο διάνυσµα φόρτισης όσο και στην διαδικασία προσδιορισµού του ισοδύναµου µονοβάθµιου ταλαντωτή. Σε µια µεταγενέστερη εργασία τους οι Τso και Μoghadam (1997) παρουσιάζουν µια διαφοροποιηµένη µέθοδο εκτίµησης της ανελαστικής συµπεριφοράς ενός πολυωρόφου κτιρίου στο χώρο. Στόχος είναι και πάλι ο προσδιορισµός της συµπεριφοράς σε σεισµό και η εκτίµηση των βλαβών ασύµµετρων σε κάτοψη κτιρίων, και κυρίως η εκτίµηση της µέγιστης µετατόπισης των δύο άκρων (κατά συνέπεια της στροφής του κτιρίου) µε την χρήση επίπεδης ανελαστικής στατικής ανάλυσης (2D pushover). Η µέθοδος σε αντίθεση µε την προηγούµενη δεν χρησιµοποιεί το ισοδύναµο µονοβάθµιο σύστηµα, αλλά ένα χωρικό µοντέλο στο οποίο πραγµατοποιείται ελαστική δυναµική φασµατική ανάλυση, εκ της οποίας προσδιορίζονται τόσο η µέγιστη στοχευόµενη µετατόπιση για την στατική ανελαστική ανάλυση, όσο και η καθ ύψος κατανοµή των φορτίων σε κάθε επίπεδο αντίστασης. Σχ.17: Συσχετισµός στοχευόµενης µετακίνησης για συµµετρικό κτίριο (Τso και Μoghadam) Για την τεκµηρίωση της µεθόδου εξετάζονται δύο κτίρια ίδιας αντοχής και δυσκαµψίας ένα εκ των οποίων είναι απολύτως συµµετρικό και ένα έχει την µάζα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 45

έκκεντρα (στατική εκκεντρότητα). Τα κτίρια αναλύονται µε χωρική ανελαστική δυναµική ανάλυση, µε τη µέθοδο του ισοδυνάµου µονοβαθµίου που παρουσιάστηκε σε προηγούµενη παράγραφο και µε την ανωτέρω προτεινόµενη µέθοδο. Οι αναλύσεις έγιναν για 1 διαφορετικά επιταχυνσιογραφήµατα τα οποία έχουν κανονικοποιηθεί (αναχθεί) στην ίδια µέγιστη ταχύτητα (pgv) και η εκτίµηση της µέγιστης µετατόπισης του κέντρου µάζας για το συµµετρικό κτίριο φαίνεται στο σχήµα 17, ενώ για το ασύµµετρο οι µετατοπίσεις των δυο άκρων στο σχήµα 18. Και στα δύο σχήµατα οι εκτιµήσεις για κάθε επιταχυνσιογράφηµα διαφέρουν σηµαντικά δείχνοντας πόσο ευαίσθητη στην εδαφική κίνηση είναι η µέθοδος, κάτι που είχε επισηµανθεί και στην παρουσίαση της µεθόδου του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Σχ.18: Συσχετισµός των µετατοπίσεων για τις δυο πλευρές ασύµµετρου κτιρίου (Τso και Μoghadam) Εντούτοις όταν ελέγχεται η µέση µετατόπιση λόγω όλων των επιταχυνσιογραφηµάτων η ακρίβεια βελτιώνεται σηµαντικά (Τα κενά σύµβολα στα σχήµατα). Με βάση την παρατήρηση αυτή γίνεται η παρουσίαση όλων των υπολοίπων στοιχείων (µετατοπίσεις σε κάθε όροφο, µετατοπίσεις µεταξύ ορόφων, απαιτούµενες πλαστιµότητες), και είναι χαρακτηριστικό ότι τα αποτελέσµατα έχουν µια ακρίβεια της τάξης του 25%. Μια πολύ χρήσιµη παρατήρηση είναι η επιρροή της καθ ύψος κατανοµής των οριζοντίων φορτίων που εισάγονται στην στατική ανελαστική ανάλυση, η οποία φαίνεται συγκρίνοντας την περίπτωση στην οποία αυτή είναι τριγωνική µε αυτή στην οποία η κατανοµή έχει προκύψει από την ελαστική δυναµική φασµατική ανάλυση (σχήµα 19). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 46

Pushover τριγωνική κατανοµή Ανελαστική ανάλυση SDOF Pushover µε κατανοµή φορτίων από την δυναµική ελαστική ανάλυση Σχ.19: Σύγκριση αποκρίσεων εύκαµπτης πλευράς (α)μετατοπίσεις (β)σχετικά βέλη ορόφων (γ)πλαστιµότητα στύλων (δ)πλαστιµότητα δοκών (Τso και Μoghadam) Είναι σαφές ότι η µέθοδος που προτείνεται στην εργασία αυτή φαίνεται να παράγει αποτελέσµατα πιο αξιόπιστα από αυτή του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ειδικά στην περίπτωση των ασύµµετρων κτιρίων όπου η στρέψη κυριαρχεί, λόγω της χρήσης της µέσης απόκρισης από οµάδα διεγέρσεων ως µέτρου σύγκρισης. υστυχώς η µέθοδος συνεχίζει να µην έχει την επιθυµητή ακρίβεια, µια και υπάρχει µεγάλη Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 47

διασπορά των αποτελεσµάτων. Θα ήταν πολύ χρήσιµο εάν µαζί µε τις καµπύλες των µέσων τιµών δίνονταν και αυτές µε συν και πλην µια τυπική απόκλιση, έτσι ώστε αυτή η διασπορά να ποσοτικοποιείται. Γενικά είναι σαφές ότι η ελαστική δυναµική ανάλυση παρέχει πολύ χρήσιµα στοιχεία για την στρεπτική συµπεριφορά του κτιρίου (κατανοµή φορτίων, µέγιστες µετατοπίσεις) και ίσως ο συνδυασµός της µε χωρική στατική ανελαστική ανάλυση στην οποία εισάγεται a-priori η στατική εκκεντρότητα (η οποία µεταβάλλεται) να οδηγεί σε πιο ακριβή αποτελέσµατα. Μια πολύ ενδιαφέρουσα προέκταση της ανωτέρω εργασίας των Moghadam&Tso είναι αυτή που δηµοσιεύθηκε το 2 και στην οποία αποτιµώνται οι διατάξεις περί στρέψης της ισχύουσας, κατά την χρονική εκείνη περίοδο έκδοσής, του EC8, η οποία έχει πλέον αναθεωρηθεί. Έτσι συγκρίνονται τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης στρεπτικώς ευαίσθητων και µη ευαίσθητων κτιρίων µε την αντίστοιχη ελαστική στατική ανάλυση ακολουθώντας τις διατάξεις του κανονισµού. Από αυτές τις αναλύσεις προκύπτει ότι ίδιας κάτοψης κτίρια µε ίδια στατική εκκεντρότητα αναλόγως µε την διαµόρφωση του στατικού τους συστήµατος (στρεπτικά ευαίσθητα ή όχι) παρουσιάζουν για την ίδια διέγερση αντίρροπες στροφές. Πιο συγκεκριµένα ενώ στα στρεπτικώς µη ευαίσθητα κτίρια η εύκαµπτη πλευρά µετατοπίζεται περισσότερο από την δύσκαµπτη, όπως αναµένεται και από την ελαστική θεώρηση του ζητήµατος, στα στρεπτικώς ευαίσθητα συµβαίνει το ακριβώς αντίθετο. Αιτία αυτού του φαινοµένου είναι ότι την στρεπτική συµπεριφορά του κτιρίου στην ανελαστική περιοχή δεν την καθορίζει η θέση του κέντρου µάζας (CM) αλλά του κέντρου αντοχής το οποίο µε τη διαρροή των στοιχείων αντοχής της εύκαµπτης πλευράς µετατοπίζεται απότοµα προς την δύσκαµπτη πλευρά µε αποτέλεσµα να υπάρχει αλλαγή της στρεπτικής συµπεριφοράς του κτιρίου. Αυτό είναι ένα γεγονός που δεν µπορεί να ληφθεί υπόψη από τις διατάξεις του ΕC8 οι οποίες επαυξάνουν την µετατόπιση της εύκαµπτης πλευράς µε αποτέλεσµα να οδηγούν στην προσοµοίωση του κτιρίου στην ανελαστική περιοχή (εισάγοντας το συντελεστή συµπεριφοράς) θεωρώντας εντελώς λαθεµένη απόκριση του κτιρίου, και κατά συνέπεια υπολογίζοντας εντελώς διαφορετικές απαιτήσεις από αυτές που Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 48

πραγµατικά θα εµφανιστούν σε ένα σεισµό. Φυσικά όλα τα παραπάνω δεν ισχύουν µόνο για την στατική ελαστική ανάλυση αλλά και για την δυναµική ελαστική ανάλυση, διότι αίτιό τους όπως προαναφέρθηκε είναι η απότοµη αλλαγή της στρεπτικής συµπεριφοράς των στρεπτικώς ευαίσθητων κτιρίων κατά την µετάβαση τους στην ανελαστική περιοχή, γεγονός που καθιστά ακόµη πιο απαραίτητη την τρισδιάστατη ανελαστική ανάλυση αυτών των κτιρίων, στατική ή δυναµική. Το µεγαλύτερο µέρος της εργασίας των Rutenberg και Destefano (1997) αποτελεί µια συγκέντρωση όλης της διαθέσιµης βιβλιογραφίας σχετικά µε την εκτίµηση της ανελαστικής στρεπτικής συµπεριφοράς ασύµµετρων σε κάτοψη κτιρίων και κυρίως το συσχετισµό της συµπεριφοράς αυτής µε τους διάφορους ισχύοντες κανονισµούς και κώδικες. Από όλες αυτές τις δηµοσιεύσεις το βασικό συµπέρασµα είναι ότι οι µέχρι τώρα προτεινόµενες τεχνικές στατικής ανελαστικής προσοµοίωσης ενός χωρικού ασύµµετρου κτιρίου δεν προσεγγίζουν µε την επιθυµητή ακρίβεια αλλά και οµοιοµορφία την αντίστοιχη δυναµική ανελαστική ανάλυση. Έτσι παρατηρούνται σηµαντικότατες διαφορές στις εκτιµήσεις για την επιρροή των ανελαστικών µοντέλων που επιλέγονται- από τα απλούστερα διγραµµικά στα πιο σύνθετα υστερητικά αλλά και σηµαντικότατη επιρροή της εδαφικής κίνησης που εισάγεται, καθιστώντας όλες τις µεθόδους εξαιρετικά ευαίσθητες σε αυτήν την παράµετρο (case sensitive). Πιο αναλυτικά γίνεται οµαδοποίηση της υφιστάµενης µέχρι το 1997 βιβλιογραφίας σε αυτή που αναφέρεται σε µονώροφα, σε κανονικά καθ ύψος πολυώροφα µε τοιχώµατα, και σε δίδυµα πολυώροφα µε πλαίσια και τοιχώµατα. Για τις δύο πρώτες κατηγορίες υπάρχουν αρκετές δηµοσιεύσεις µε παραµετρικές αναλύσεις που συγκρίνουν τα αποτελέσµατα ανελαστικών στατικών αναλύσεων µε αυτά ανελαστικών δυναµικών, πολλές από τις οποίες έχουν ήδη παρουσιαστεί ανωτέρω, και τα αποτελέσµατα τους έχουν το κοινό χαρακτηριστικό της µεγάλης διασποράς και της ανοµοιοµορφίας. Ειδικά στην περίπτωση του φέροντος οργανισµού µε τοιχώµατα-πλαίσια βρέθηκε µόνο µια εργασία των Sedarat & Bertero (199) η οποία δεν παρέχει κανένα συγκριτικό στοιχείο της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε αντίστοιχη δυναµική ανελαστική ανάλυση, καθιστώντας όλα τα συµπεράσµατα ενδιαφέροντα µεν, πλην όµως ανεπαρκώς τεκµηριωµένα. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 49

Το τελευταίο αυτό κενό συµπληρώνεται ελαφρώς από την παραµετρική ανάλυση ενός επταώροφου κτιρίου Ο/Σ µε φέροντα οργανισµό πλαισίου-τοιχώµατος, η αρχική γεωµετρία του οποίου ανταποκρίνεται σε µια φυσικής κλίµακας ψευδοδυναµική (PSD) δοκιµή που πραγµατοποιήθηκε στην Tsukuba (Ιαπωνία). Η αρχική γεωµετρία ανταποκρίνεται σε συµµετρικό κτίριο και χρησιµοποιήθηκε για την επαλήθευση του χρησιµοποιούµενου µοντέλου για την στατική ανελαστική ανάλυση, το οποίο, όπως φαίνεται από το σχήµα 2, είναι ιδιαίτερα ακριβές. Σχ.2: Τέµνουσα βάσης µετατόπιση οροφής: Πείραµα Tsukuba και διάφορες αναλύσεις µεταξύ των οποίων και η αναπτυσσόµενη µέθοδος (Rutenberg και Destefano) Η φόρτιση που χρησιµοποιήθηκε για όλες τις στατικές ανελαστικές αναλύσεις είναι τριγωνική καθ ύψος. Στη συνέχεια µε την έκκεντρη µετατόπιση ενός τοιχώµατος δηµιουργήθηκε ένα ασύµµετρο κτίριο το οποίο αναλύθηκε ανελαστικά δυναµικά µε το κατάλληλα κανονικοποιηµένο επιταχυνσιογράφηµα του El Centro και ανελαστικά στατικά µε το αντίστοιχο φορτίο και χωρίς επιπλέον εκκεντρότητα. Τα συγκριτικά αποτελέσµατα φαίνονται στο σχήµα 21. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 5

Σχ.21: Παραµορφώσεις: Στατική ανελαστική δυναµική απόκριση στο επιταχυνσιογράφηµα του El Centro χωρίς επιπλέον εκκεντρότητες (Rutenberg &Destefano) Επίσης στα σχήµατα 22 και 23 φαίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσµατα εισάγοντας τις κανονιστικές εκκεντρότητες του UBC και συγκρίνοντας µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση για τα επιταχυνσιογραφήµατα El Centro αλλά και το Newhall Northridge. Σχ.22: Παραµορφώσεις στατικής ανελαστικής υναµικής ανάλυσης στο επιταχυνσιογράφηµα του El Centro, λαµβάνοντας υπόψη εκκεντρότητες σχεδιασµού (Rutenberg &Destefano) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 51

Σχ.23: Παραµορφώσεις Στατικής ανελαστικής υναµικής ανάλυσης στο επιταχυνσιογράφηµα του Newhall, λαµβάνοντας υπόψη εκκεντρότητες σχεδιασµού (Rutenberg &Destefano) Τα βασικά συµπεράσµατα από αυτά τα τρία σχήµατα είναι τα εξής: (ι) Η εισαγωγή των εκκεντροτήτων οδηγεί σε καλή εκτίµηση της µετατόπισης της δύσκαµπτης πλευράς, (ii) Η εισαγωγή τους όµως οδηγεί σε πολύ χειρότερη εκτίµηση της µετατόπισης της εύκαµπτης πλευράς, µε συνέπεια η ακρίβεια εκτίµησης της στροφής του ορόφου να καθίσταται χειρότερη από ό,τι στην περίπτωση χωρίς καθόλου εκκεντρότητες, (ιιι) Η µορφή της παραµόρφωσης καθύψος φαίνεται να εξαρτάται από την εισαγόµενη εδαφική επιτάχυνση, και (iv) όλη η µέθοδος, η οποία είναι από τις πλέον απλές στην εφαρµογή, δεν φαίνεται να παρέχει ουσιαστικά στοιχεία για την πραγµατική στρεπτική ανελαστική συµπεριφορά ενός κτιρίου χρησιµοποιώντας στατική ανελαστική ανάλυση. Η βασική αιτία για την αδυναµία της παρουσιαζόµενης µεθόδου είναι η παντελής έλλειψη εισαγωγής των δυναµικών χαρακτηριστικών του κτιρίου (π.χ. ιδιοµορφικά φορτία αντί για τριγωνική φόρτιση, και ισοδύναµη δυναµική ανελαστική εκκεντρότητα), γεγονός που έχει παρατηρηθεί σε πολλές δηµοσιεύσεις και το οποίο είναι το ζήτηµα που παραµένει προς διερεύνηση. Στην εργασία των Kilar και Fajfar (1997) παρουσιάζεται αναλυτικά η ψευδο-χωρική στατική ανελαστική ανάλυση και ορισµένες εφαρµογές της. Η µέθοδος στηρίζεται στην ελαστική βήµα προ βήµα ανάλυση του χωρικού φορέα, οι Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 52

δυσκαµψίες των διαφόρων επιπέδων αντίστασης του οποίου προσδιορίζονται από την επίπεδη ανελαστική ανάλυση τους. Η αρχή αυτή έχει ενσωµατωθεί στον κώδικα NEAVEK, στον οποίο τα διάφορα επίπεδα αντίστασης πλαίσια, τοιχώµατα, µεικτά συστήµατα προσοµοιώνονται µε υποσυστήµατα (substructures) ενός στοιχείου που ενσωµατώνει τα µακροσκοπικά χαρακτηριστικά του υποσυστήµατος αυτού (µακροστοιχείο). Έτσι για κάθε φέρον υποσύστηµα υπάρχει το αντίστοιχο µακρο-στοιχείο µε το οποίο προσοµοιώνεται. Η µέθοδος της ανάλυσης είναι απλή και περιλαµβάνει βήµα προς βήµα ελαστική ανάλυση η οποία σταµατάει όταν αλλάζει η δυσκαµψία κάποιου µακρο-στοιχείου (διαρρέει), οπότε και επαναπροσδιορίζεται το µητρώο δυσκαµψίας και συνεχίζεται η ελαστική ανάλυση. Τα αποτελέσµατα της µεθόδου περιλαµβάνουν την καµπύλη τέµνουσας βάσης - µετατοπίσεων, τέµνουσας βάσης στροφής ορόφου και τον µηχανισµό πλαστικοποίησης για το κτίριο και τα διαγράµµατα δύναµης µετατόπισης για τα διάφορα µακρο-στοιχεία. Για την επαλήθευση της µεθόδου και του σχετικού κώδικα, προσοµοιώθηκε το πείραµα της Tsukuba, Japan, που προαναφέρθηκε. Πρόκειται για ένα συµµετρικό επταώροφο κτίριο Ο/Σ το οποίο ελέγχθηκε µε τη ψευδοδυναµική µέθοδο. Η προσέγγιση που επιτυγχάνεται µε το προτεινόµενο πρόγραµµα NEAVEK είναι αρκετά ικανοποιητική όπως φαίνεται από το σχήµα 24(α). Έτσι στη συνέχεια αναλύθηκε το ίδιο κτίριο µε µετατοπισµένο ένα τοίχωµα ώστε να υπάρχει στατική εκκεντρότητα και τα αποτελέσµατα της ανάλυσης φαίνονται στο σχήµα 24(β). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 53

Σχ.24: Ανάλυση συµµετρικού (α) και ασύµµετρου (β) κτιρίου και παρουσίαση συγκριτικών αποτελεσµάτων (Kilar και Fajfar) Είναι χρήσιµο να αναφερθεί εδώ ότι δεν συγκρίνονται τα αποτελέσµατα µε δυναµική ανελαστική ανάλυση αλλά µε ένα άλλο πρόγραµµα χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης (CANNY), γεγονός που επαληθεύει µεν την ικανότητα της µεθόδου να προσοµοιώνει την στατική ανελαστική ανάλυση αλλά σε καµία περίπτωση δεν επιβεβαιώνει ότι αυτή ανταποκρίνεται και στα πραγµατικά στρεπτικά φαινόµενα που παρατηρούνται κατά την ανελαστική δυναµική απόκριση ασύµµετρων κτιρίων. Φυσικά η απλότητα της µεθόδου µε την οποία µειώνονται σε µεγάλο βαθµό οι βαθµοί ελευθερίας ενός, πολύπλοκης γεωµετρίας, κτιρίου είναι πολύ σηµαντική ως προς τους απαιτούµενους χρόνους υπολογισµού και αυτό φαίνεται µε το δεύτερο παράδειγµα της ανάλυσης ενός πολύπλοκου κτιρίου Ο/Σ 21 ορόφων, για το οποίο το ΝΕAVEK δίνει πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσµατα, τα οποία φυσικά και δεν είναι διασταυρωµένα µε ανελαστική δυναµική ή άλλου τύπου ανάλυση. Συµπερασµατικά η απλότητα αλλά και η δυνατότητα ελέγχου της µεθόδου σε κάθε της βήµα την καθιστούν ιδιαιτέρως χρήσιµη ως ερευνητικό εργαλείο. Φυσικά µε την ανάπτυξη των µικροεπεξεργαστών οι οποίοι εµφανίζουν διαρκώς και µεγαλύτερες ταχύτητες (=x2μηz) καθίσταται εφικτή η ανάλυση και πολύπλοκων κτιρίων µε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 54

πιο σύνθετα και πλήρη χωρικά µοντέλα (SAP2 inelastic, DRAIN 3D, ZEUS, Seismostruct). Ως εξέλιξη αυτών των πρώτων προσπαθειών της οµάδας του Fajfar µπορεί να εκληφθεί η επέκταση της µεθόδου N2 (Fajfar et al, 22), η αξιοπιστία της οποίας διερευνάται µε την ανάλυση (ανελαστική στατική και δυναµική) πολυωρόφων µεταλλικών κτιρίων και κτιρίων Ο/Σ (µε τοιχώµατα). Από την σύγκριση των αποτελεσµάτων των στατικών και δυναµικών αναλύσεων προκύπτει ικανοποιητική ακρίβεια για τα δύστρεπτα κτίρια ενώ παρουσιάζονται αποκλίσεις στα εύστρεπτα. Επιπλέον υπάρχουν προβλήµατα στον συνδυασµό των ανεξάρτητων στατικών ανελαστικών αναλύσεων σε κάθε διεύθυνση. Επίσης το 25 παρουσίασαν την σύγκριση ελαστικής και ανελαστικής απόκρισης πολυωρόφων κτιρίων όπου δείχνουν παρόµοια απόκρισης της εύκαµπτης και δύσκαµπτης πλευράς, συµπέρασµα που συµπίπτει µε άλλες ανάλογες εργασίες (Τso & Moghadam, 1997) που παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο και αποτελούν σηµαντικό στοιχεία για την θεµελίωση της προτεινοµένης, στην παρούσα διατριβή, µεθοδολογίας. Στην εργασία τους οι R.Riddell και H.Santa-Maria (1999) µελετάνε την επιρροή της σεισµικής διέγερσης κατά δυο κάθετες διευθύνσεις στην ανελαστική στρεπτική απόκριση µονώροφων ασύµµετρων κτιρίων. Πιο συγκεκριµένα εξετάζουν την επιρροή των παραµέτρων Ω Θ, σχετική στρεπτική προς µεταφορική δυσκαµψία, το φορτίο διαρροής των επιπέδων αντίστασης, και της ιδιοπεριόδου Τ του κτιρίου, ενώ θεωρείται σταθερός ο συντελεστής γ=.5 που εκφράζει την συµµετοχή των εγκαρσίων στην διέγερση στοιχείων στην συνολική δυστρεψία του κτιρίου. Στην εργασία χρησιµοποιούνται 15 σεισµικές διεγέρσεις µε επιταχυνσιογραφήµατα κατά τις δύο διευθύνσεις, οι οποίες όµως δεν έχουν επιλεγεί µε στενά σεισµολογικά κριτήρια καθότι η επιλογή έγινε µα βάση την ύπαρξη pga >.25g ή pgv>3m/sec σε µία τουλάχιστον διεύθυνση. Επίσης δεν έγινε κανονικοποίηση των επιταχυνσιογραφηµάτων βάσει κάποιας γνωστής µεθόδου αλλά χρησιµοποιήθηκε ένας συντελεστής αναγωγής βάσει εξίσωσης των αποκρίσεων (µετατοπίσεων) των κτιρίων, η οποία όµως µπορεί να έχει διαφορετική ενίσχυση για κάθε διέγερση και για κάθε κτίριο λόγω της µεταβολής της ιδιοπεριόδου τους. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 55

Σχ.25: Ανελαστική προς ελαστική µετατόπιση για διέγερση µιας διεύθυνσης (a) Εύκαµπτη (b) ύσκαµπτη πλευρά (R.Riddell και H.Santa-Maria) Τα βασικά συµπεράσµατα της εργασίας, τα οποία βρίσκονται σε συµφωνία µε παλαιότερες αντίστοιχες εργασίες των Goel&Chopra (199) και Correnza et al (1994) είναι συνοπτικά τα παρακάτω: (α) Για διέγερση µιας διεύθυνσης οι µετατοπίσεις των επιπέδων αντίστασης που είναι παράλληλα προς τη διέγερση δεν επηρεάζονται σηµαντικά από τον λόγο Ω Θ (σχ.25). Αυτό φυσικά συµβαίνει διότι ο λόγος γ είναι.5 που σηµαίνει ότι το 5% της δυστρεψίας του κτιρίου προσφέρεται από τα εγκάρσια στην διέγερση στοιχεία τα οποία για διέγερση µιας διεύθυνσης παραµένουν ελαστικά καθιστώντας ιδιαίτερα δύστρεπτο το κτίριο. Αντίθετα η επιρροή του φορτίου διαρροής των στοιχείων παράλληλων προς την διέγερση είναι πολύ σηµαντική, όπως έχει δείξει και στον πλαστικό του µηχανισµό ο Paulay.(Σχ.26) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 56

24 ή ί δ ή Σχ.26: Επιρροή του φορτίου διαρροής µε διέγερση µιας διεύθυνσης και Ω θ = 1. (R.Riddell και H.Santa-Maria (β) Για διέγερση δυο διευθύνσεων αυξάνονται οι µετατοπίσεις της εύκαµπτης πλευράς χωρίς να συµβαίνει το ίδιο µε τη δύσκαµπτη πλευρά ανεξαρτήτως της εντάσεως της εγκάρσιας διέγερσης (σχ.27) γεγονός που ερµηνεύεται ως προς τη αύξηση της µετατόπισης λόγω της µείωσης της επιρροής των εγκαρσίων στοιχείων στην δυστρεψία του κτιρίου. Σχ.27: Λόγος της απόκρισης σε διέγερση µιας διεύθυνσης προς διέγερση δυο διευθύνσεων (a) εύκαµπτη (b) δύσκαµπτη πλευρά (R.Riddell και H.Santa-Maria) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 57

Σε µια πρόσφατη εργασία τους οι Humar και Kumar (1999) εξετάζουν την επιρροή των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης στην ανελαστική στρεπτική συµπεριφορά των µονώροφων ασύµµετρων κτιρίων. Επίσης επανεξετάζουν τα συµπεράσµατα των Correnza et al (1992, 1994), Chandler et al (1994) και Paulay (1996, 1998) οι εργασίες των οποίων κατέληγαν σε συµπεράσµατα αποκλίνοντα από αυτά της εργασίας τους. Πιο συγκεκριµένα η βασική διαφοροποίηση αυτής από τις λοιπές εργασίες του παρελθόντος οι οποίες µελετούσαν την επιρροή των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης στην ανελαστική στρέψη είναι ότι λήφθηκε υπόψη η επιρροή της τυχηµατικής εκκεντρότητας τόσο στο συµµετρικό µοντέλο αναφοράς (όπως ορίζουν οι κανονισµοί) όσο και στο ασύµµετρο µοντέλο στο οποίο διεξήχθη η ανελαστική δυναµική ανάλυση. Έτσι, κατά την γνώµη των συγγραφέων, καθίσταται δυνατή η πραγµατική σύγκριση των αποτελεσµάτων µεταξύ των δύο µοντέλων και η εκτίµηση της επιρροής διαφόρων παραµέτρων όπως η επιρροή των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης. Το βασικό συµπέρασµα της εργασίας είναι ότι η παρουσία εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης τα οποία συµβάλουν στην δυστρεψία του συστήµατος δεν είναι κρίσιµη παράµετρο της ανελαστικής στρεπτικής συµπεριφοράς των ασύµµετρων κτιρίων. Το συµπέρασµα αυτό ισχύει κυρίως στην περίπτωση που αυτά τα εγκάρσια επίπεδα διαρρέουν ενώ όταν παραµένουν ελαστικά συµβάλουν στην βελτίωση της απόκριση έως και 3%. Το συµπέρασµα αυτό, στην περίπτωση που διαρρέουν, φυσικά εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από την εισαγόµενη διέγερση, η οποία εισάγεται κοινή κατά τις δυο διευθύνσεις χ και y, µε µια µείωση της εγκάρσιας στο 88%, µε αποτέλεσµα να έχουν κοινές φασµατικές µέγιστες τιµές επιταχύνσεων οι οποίες σε συνδυασµό µε τις εκάστοτε ιδιοπεριόδους ανά διεύθυνση του κτιρίου είναι πολύ πιθανό να αναιρούν την δράση των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης. Η βασική παρατήρηση της εργασίας ότι ανελαστική στρεπτική συµπεριφορά καθορίζεται κυρίως από την στρεπτική δυσκαµψία εν γένει και όχι από την συµβολή σε αυτή των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης, είναι σίγουρα σηµαντική αλλά απαιτεί επιπλέον διερεύνηση διότι αντίκειται στην λογική η οποία δηλώνει ότι καθώς το σύστηµα διαρρέει κατά την µία διεύθυνση η ύπαρξη κατά την εγκάρσια διεύθυνση ελαστικών στοιχείων που συµβάλουν στην δυστρεψία οδηγεί σε αύξηση του λόγου : Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 58

Ω o = ω θ / ω y Την απόκλιση τους από τα αποτελέσµατα τα οποία παρουσίασε ο Paulay µε τα οποία έρχονται τα ανωτέρω σε σαφή αντίθεση την εξηγούν βάσει δυναµικών αναλύσεων που έκαναν από τις οποίες τα «εµπειρικά» συµπεράσµατα του Paulay δεν επιβεβαιώνονται, κυρίως λόγω της µη περίληψης από τον Paulay της στρεπτικής αδράνειας J m. Θα ήταν όµως πολύ σκόπιµη η παρατήρηση ότι οι Humar και Kumar χρησιµοποίησαν ένα µοντέλο ανάλογης γεωµετρίας µε αυτό του Paulay λαµβάνοντας όµως υπόψη εκκεντρότητες σχεδιασµού µε αποτέλεσµα να µην αναφέρονται στο στρεπτικά ευαίσθητο, κατά Paulay, κτίριο του οποίου τα επίπεδα αντίστασης διέρρεαν διαδοχικά και το οποίο προφανώς είχε επιλεγεί ως ειδική περίπτωση µε την οποία τονίζονταν η σηµασία των εγκαρσίων επιπέδων αντίστασης τα οποία συµβάλουν στην δυστρεψία του κτιρίου κατά την ανελαστική στρέψη. Συµπερασµατικά όσο χρήσιµη για πρακτικές εφαρµογές και αν φαίνεται η χρήση της τυχηµατικής εκκεντρότητας στην ανελαστική δυναµική ανάλυση, για την περίπτωση των παραµετρικών αναλύσεων θα ήταν σαφέστερα πιο χρήσιµη η απόκλιση της τόσο από το συµµετρικό µοντέλο αναφοράς όσο και από το ασύµµετρο µοντέλο, µια και για όλα τα παραπάνω, ελαφρώς «παράξενα» συµπεράσµατα των Humar και Kumar η αιτιολόγηση είναι η εισαγωγή αυτής της τυχηµατικής εκκεντρότητας. Εργασία η οποία περιλαµβάνει στοιχεία αντίστοιχα µε την µέθοδο που παρουσιάζεται στα επόµενα κεφάλαια, είναι αυτή των Chopra & Goel (22, 24) για επίπεδους φορείς στην οποία γίνεται παρουσίαση της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης. Βάση αυτής ένας φορέας µε (j) ορόφους και (i=3j) βαθµούς δυναµικής ελευθερίας (για µάζες συγκεντρωµένες στα CM των ορόφων, και συνεπώς (i) ιδιοµορφές µπορεί να αναλυθεί µε (i={2-.3j}) διαφορετικές στατικές ανελαστικές αναλύσεις χρησιµοποιώντας ως διάνυσµα φόρτισης τα ιδιοµορφικά φορτία (σχήµα 28) που δίνονται από τη σχέση: mφxi [S i ] = [M][φ i ]= mφ yi 2 mr φ zi Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 59

Όπου [φ i ] η ιδιοµορφική παραµόρφωση για την (i) ιδιοµορφή [M] το µητρώο µάζας του φορέα r : η ακτίνα αδρανείας (r= (I/m), όπου I η ροπή αδράνειας) Σχ.28: Ιδιοµορφές και ιδιοµορφικά φορτία ενός εννιαώροφου κτιρίου (Chopra & Goel) Από τις αναλύσεις αυτές προκύπτουν (i) διαφορετικές καµπύλες αντοχής για το πολυβάθµιο σύστηµα οι οποίες µετατρέπονται σε αυτές του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ως εξής: V S = και ai M i * i S di = δ Γ Φ i ijt όπου Γ i ο συντελεστής συµµετοχής της ιδιοµορφής i, Φ ijt η ιδιοµορφική µετατόπιση στον τελευταίο όροφο (jt) * M i η δρώσα (ενεργός) µάζα στην ιδιοµορφή (i) {δ} µοναδιαίο µητρώο T { φi} { M}{ δ} Γ i =. T { φ } { M}{ φ } M * i i = L Γ = { Φ }{ M}{ δ } Γ i i i i i Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 6

Σχ.29: Στατικές ανελαστικές αναλύσεις σηµαντικών ιδιοµορφών (Chopra & Goel) Στη συνέχεια χρησιµοποιώντας ανελαστικά φάσµατα που έχουν προκύψει µε την µέθοδο της ισοδύναµης απόσβεσης υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση (D i ) και όλα τα λοιπά µεγέθη απόκρισης για την κάθε ιδιοµορφή. Στη συνέχεια, εφαρµόζοντας την προαναφερθείσα διαδικασία, υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος (καθώς και τα λοιπά µεγέθη απόκρισης) για την κάθε ιδιοµορφή: u ri = Γ Φ D i i i Τα αποτελέσµατα απόκρισης που προκύπτουν συνδυάζονται µε των κανόνα CQC και προκύπτει το τελικό µέγεθος απόκρισης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή. u = CQC{u i } and r = CQC{r i } Στην εργασία παρουσιάζεται τεκµηρίωση των αποτελεσµάτων της µεθόδου συγκρίνοντας τα µε αντίστοιχα από ανελαστική δυναµική ανάλυση (σχήµα 3), όπου φαίνεται ότι πράγµατι η συµπερίληψη των ανώτερων ιδιοµορφών βελτιώνει την αξιοπιστία των αποτελεσµάτων σηµαντικά. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 61

Σχ.3: Συµµετοχή των ιδιοµορφών στην απόκριση κτιρίων µε την ιδιοµορφική στατική ανελαστική ανάλυση και σύγκριση αποτελεσµάτων µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (Chopra & Goel) Μια επίσης σηµαντική παρατήρηση που γίνεται στη σχετική εργασία είναι η σύγκριση του λάθους που προκύπτει από την ιδιοµορφική στατική ανελαστική ανάλυση ως προς την αντίστοιχη ανελαστική δυναµική µε αυτό που προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ως προς την ελαστική βήµα προς βήµα ανάλυση (σχήµα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 62

31). Από την σύγκριση αυτή προκύπτει ότι η προτεινόµενη µέθοδος έχει ποσοστό λάθους αντίστοιχο µε αυτό της ελαστικής φασµατικής ανάλυσης. Σχ.31: Σύγκριση ποσοστού λάθους ιδιοµορφικής στατική ανελαστική ανάλυση/ανελαστική δυναµική µε το ποσοστό λάθους ελαστικής φασµατικής (Chopra & Goel) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 63

Σχ.32: Σύγκριση ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης, στατικής ανελαστικής ανάλυσης κατά FEMA 356 µε ανελαστική δυναµική (Chopra & Goel) Χρήσιµη είναι επίσης η σύγκριση της προτεινοµένης µεθόδου µε τις τρεις διαθέσιµες στο εγχειρίδιο της FEMA 356 µεθόδους στατικής ανελαστικής ανάλυσης, αναφορικά µε το διάνυσµα φόρτισης. Οι µέθοδοι αυτοί ως γνωστόν είναι: i. Οµοιόµορφη φόρτιση (ανάλογα µε τη µάζα): S * = m j, j= όροφοι Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 64

ii. iii. Από την ισοδύναµη οριζόντια δύναµη (ELF), S * = m j h k j, όπου υψόµετρο ορόφου και k=1 για Τ=1sec, 2 για T=2.5 sec και γραµµική παρεµβολή στο ενδιάµεσο Από τις τέµνουσες ορόφων υπολογισµένες από ιδιοµορφική ανάλυση και SRSS. Τα αποτελέσµατα των συγκρίσεων αυτών φαίνονται στο σχήµα 32 όπου φαίνεται καθαρά ότι η ιδιοµορφική στατική ανάλυση είναι η ακριβέστερη, ακολουθούµενη από την µέθοδο (iii) της FEMA µε χρήση των τεµνουσών ορόφων. Η µέθοδος που περιγράφεται από τους Chopra & Goel (22) για επίπεδους φορείς αναπτύχθηκε εκτενώς διότι οµοιάζει αρκετά, ως προς το διάνυσµα φόρτισης µε αυτή που προτείνεται για τα χωρικά συστήµατα από τον γράφοντα στα επόµενα κεφάλαια. Μια παράληψη της µεθόδου αυτής είναι ότι συνδυάζει τα αποτελέσµατα της ιδιοµορφικής ανάλυσης χρησιµοποιώντας µόνο τους συντελεστές συµµετοχής Γ και όχι και την τιµή της φασµατικής επιτάχυνσης S ai ή µετακίνησης S di που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοµορφή i η οποία έχει διαφορετική ιδιοπερίοδο Τ i και συνεπώς επηρεάζει το ποσοστό συµµετοχής της καθεµίας εξ αυτών (σχήµα 33) Mean elastic Spectra of set Q1s & Q2s 25 2 Acc m/sec^2 15 1 5. 1. 2. 3. 4. T (sec) Q1s T1 T3 Q2s Σχ.33: Επιρροή της φασµατική επιτάχυνσης στο ποσοστό συµµετοχής κάθε ιδιοµορφής Εξέλιξη της εργασίας των Chopra & Goel παρουσιάστηκε από τους ίδιους το 24 για την περίπτωση διαφόρων πολυωρόφων ασύµµετρων κτιρίων. Στο σχήµα 34 φαίνεται η µορφή του επιλεχθέντος κτιρίου. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 65

Σχ.34: Πολυώροφο κτίριο, (a) κάτοψη και (b) όψεις πλαισίων (Chopra & Goel 25) Η θεωρητική ανάπτυξη της µεθόδου είναι αντίστοιχη µε αυτή των επίπεδων συστηµάτων µε βασική προσθήκη την εισαγωγή δύο τεµνουσών και µίας ροπής στρέψης σε κάθε όροφο (V x, V y, M t ). Ακολούθως παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα εφαρµογής της µεθόδου στα κτίρια τύπου του σχήµατος 34 και συγκρίνονται µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 66

Σχ.35: Μετατοπίσεις ορόφων και σχετικά βέλη ορόφων στην δεξιά πλευρά δύο τύπων κτιρίου (b) δύστρεπτο & (c) σχετικά δύστρεπτο & (d) εύστρεπτο (Chopra & Goel 25) Από την σύγκριση των αποτελεσµάτων που φαίνεται στα γραφήµατα του σχήµατος 35 προκύπτουν σηµαντικές αποκλίσεις στην περίπτωση του κτιρίου τύπου (c) δηλαδή του σχετικά δύστρεπτου κτιρίου. Σκόποιµο θα ήταν να αναφερθεί ότι έχει χρησιµοποιηθεί µόνο µία διέγερση και έτσι τα αποτελέσµατα είναι ιδιαίτερα ευάλωτα στη µεγάλη διασπορά που θα προκύψει από την εφαρµογή πλήθους διεγέρσεων. Επιπλέον δεν διευκρινίζεται ο τρόπος υπολογισµού της στοχευόµενης µετατόπισης αν και αναφέρονται τρεις εναλλακτικοί τρόποι. Φυσικά η αναφορά των συγγραφέων ότι απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση απαντά σε κάποια από αυτά τα ερωτήµατα. Η εργασία των Fujii, Nakano & Sanada (24) αντιµετωπίζει το θέµα των ασύµµετρων µονώροφων κτιρίων µε την ταξινόµηση τους σε στρεπτικώς δύσκαµπτα και στρεπτικώς εύκαµπτα (torsionally stiff (TS) and torsionally flexible(tf)) και καθορισµό των ορίων εφαρµογής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που προτείνει ο Fajfar (2). Ο προσδιορισµός της στρεπτικής δυσκαµψίας ενός µονώροφου κτιρίου γίνεται µε τη βοήθεια των παραµέτρων του σχήµατος 36 όπου, r: η ακτίνα αδρανείας του ορόφου r = J m / m, ρ i : η απόσταση του ελαστικού κέντρου από τον πόλο στροφής της (i) ιδιοµορφής Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 67

Σχ.36: Στρεπτική δυσκαµψία µονώροφων ασύµµετρων κτιρίων (Fujii, Nakano & Sanada) Ο ορισµός αυτό δίνει για το µονώροφο κτίριο µονοσήµαντα αποτελέσµατα αλλά στις περιπτώσεις των πολυωρόφων κτιρίων, όπου η συµµετοχή ανώτερων ιδιοµορφών εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του κτιρίου, τα αποτελέσµατα, όπως επισηµαίνουν και οι συγγραφείς, δεν θα είναι αξιόπιστα. Από την εφαρµογή της µεθόδου του ισοδυνάµου µονοβάθµιου ταλαντωτή και την σύγκριση της µε αντίστοιχη δυναµική ανελαστική ανάλυση συνάγεται το συµπέρασµα ότι η µέθοδος δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα στην περίπτωση του στρεπτικά δύσκαµπτου κτιρίου αλλά όχι ικανοποιητικά στην περίπτωση του στρεπτικά εύκαµπτου. Στο σχήµα 37 δίνονται ενδεικτικά οι εκτιµώµενες µετατοπίσεις της δύσκαµπτης πλευράς (Χ1), του ελαστικού κέντρου (Χ4 και Χ2), της εύκαµπτης πλευράς (Χ7 και Χ3) καθώς και του εγκάρσιου πλαισίου (Υ1). (α) Στρεπτικά δύσκαµπτα κτίρια (ΤS) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 68

(α) Στρεπτικά ευκαµπτα κτίρια (ΤS) Σχ.37: Σύγκριση εκτιµώµενων µετατοπίσεων µε τον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή και δυναµική ανελαστική ανάλυση (Fujii, Nakano & Sanada) 2.4.3 υναµική ανάλυση για αύξουσα σεισµική ένταση (Μικροαυξητική δυναµική ανάλυση) Με την πάροδο του χρόνου και την βελτίωση της ταχύτητας των Η/Υ παρουσιάζεται όλο και πιο συχνά στην βιβλιογραφία η χρήση της δυναµικής καµπύλης αντοχής ενός κτιρίου µε την χρήση µικροαυξητικής δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Incremental Dynamic Analysis). Η µέθοδος στηρίζεται στην καταγραφή σε ένα διάγραµµα Ρ-δ των µέγιστων αποκρίσεων ενός κτιρίου όπως προκύπτουν από διαδοχικές ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις υπό διαρκώς αυξανόµενη διέγερση. Για την καταγραφή αξιόπιστων αποτελεσµάτων χρησιµοποιείται οµάδα κατάλληλα επιλεγµένων διεγέρσεων έτσι ώστε να προκύπτει µια µέση τιµή από το κάθε επιταχυνσιογράφηµα. Μια από τις πρώτες εµφανίσεις της µεθόδου γίνεται στην εργασία των Elnashai & Mwafy (1998) στη οποία χρησιµοποιείται η δυναµική καµπύλη αντοχής ως σηµείο αναφοράς για την αξιοπιστία διαφόρων µεθόδων στατικής ανελαστικής ανάλυσης. Στην εργασία αυτή γίνεται µια εκτενής παρουσίαση 12 κτιρίων Ο/Σ, 4 οκταώροφα πλαισιακά µη συµµετρικά συστήµατα, 4 δωδεκαώροφα συµµετρικά συστήµατα και 4 οκταώροφα µεικτά συστήµατα. Χρησιµοποιήθηκαν 4 τεχνητά επιταχυνσιογραφήµατα αναλογούντα στο φάσµα του EC8 και 2 πραγµατικά, του Kobe (Hyogo ken Nabu) και Loma Prieta. Ως µέθοδος αναγωγής χρησιµοποιήθηκε µια τροποποίηση της φασµατικής έντασης κατά Housner. Ενδεικτικά αποτελέσµατα της µεθόδου φαίνονται στα σχήµατα 38, 39 και 4. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 69

Από τα κατωτέρω σχήµατα προκύπτει ότι χρησιµοποιώντας επιταχυνσιογραφήµατα καταλλήλως κανονικοποιηµένα (µε χρήση έντασης Ηousner) τα ζεύγη τιµών από την δυναµική ανελαστική ανάλυση δεν εµφανίζουν σηµαντική διασπορά. Σχ.38: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το οκταώροφο µεικτό σύστηµα πλαισίου τοιχώµατος (Elnashai & Mwafy) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 7

Σχ.39: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το δωδεκαώροφο συµµετρικό σύστηµα πλαισίου (Elnashai & Mwafy) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 71

Σχ.4: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το οκταώροφο µη συµµετρικό σύστηµα πλαισίου (Elnashai & Mwafy) Εντούτοις είναι σκόπιµο να αναφερθεί ότι τα σχετικά γραφήµατα αποτελούν απεικόνιση της µέγιστης µετατόπισης µε την µέγιστη τέµνουσα βάσης από κάθε δυναµική ανελαστική ανάλυση, γεγονός που δίνει πλασµατικά αποτελέσµατα στην Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 72

περίπτωση ασύµµετρων κτιρίων. Η ακριβής τεκµηρίωση της παρατήρησης αυτής γίνεται στο επόµενο κεφάλαιο, εντούτοις απλά αναφέρεται εδώ ότι η καταγραφή των µεγίστων τιµών απόκρισης δύο διαφορετικών µεγεθών από την ίδια ανάλυση µπορεί να µην απεικονίζει σηµεία που ικανοποιούν τις εξισώσεις στατικής και δυναµικής ισορροπίας διότι µπορεί να λαµβάνουν χώρα σε διαφορετικές χρονικά στιγµές. Μια εκτενής παρουσίαση της µεθόδου περιλαµβάνεται επίσης στην πρόσφατη εργασία των Vamvatsikos & Cornell (22). Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται εκτενώς η βασική µεθοδολογία καθώς και τρόποι ταχύτερου προσδιορισµού της δυναµικής καµπύλης αντοχής ενός κτιρίου χρησιµοποιώντας µεταβλητό βήµα κανονικοποίησης των επιταχυνσιογραφηµάτων µετά τον προσδιορισµό του σηµείου διαρροής. Εντούτοις τα πιο σηµαντικά σηµεία της εργασίας είναι η συστηµατική καταγραφή προβληµάτων που προκύπτουν από την προσπάθεια συνδυασµού των αποτελεσµάτων εκατοντάδων ανελαστικών δυναµικών αναλύσεων. Αρχικά παρουσιάζονται οι καµπύλες από την χρήση µιας µόνο διεγέρσεως (πχ El Centro, σχήµα 41) όπου φαίνονται οι ασυνέχειες, η έλλειψη µονοτονικότητας αλλά και «παράδοξα φαινόµενα» όπως η ανάπτυξη αυξανόµενης µετελαστικής δυσκαµψίας αλλά και «ανάσταση» ενός κτιρίου (σχ.42), αλγοριθµικό παράδοξο το οποίο µετά την αστοχία του κτιρίου (πτώση διαθέσιµης αντοχής µεγαλύτερη από 3%) αυτό επανααποκτά την αντοχή του και την δυσκαµψία του. Τα προβλήµατα αυτά οδηγούν σε αδυναµία εφαρµογής γνωστών µεθόδων αποτίµησης της συµπεριφοράς κτιρίων σε σεισµό καθώς δεν είναι δυνατός ο προσδιορισµός µονοσήµαντων στοχευόµενων µετακινήσεων και συνεπώς η εκτίµηση των απαιτούµενων και διαθέσιµων µεγεθών απόκρισης ενός κτιρίου. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι οι καµπύλες των σχηµάτων 42, 43 α και β όπου παρουσιάζονται στατικώς και δυναµικώς ανεξήγητες συµπεριφορές. Στις περιπτώσεις αυτές η αύξηση της διέγερσης από ένα σηµείο και άνω, λόγω ασυµµετριών οδηγεί σε αλλαγή του µηχανισµού κατάρρευσης µε αποτέλεσµα να υπάρχει το ακόλουθο ενεργειακό παράδοξο: κτίριο που παρουσιάζει µια µετατόπιση για συγκεκριµένη διέγερση, να παρουσιάζει µικρότερη µετατόπιση για την ίδια διέγερση αυξηµένη επί ένα συντελεστή αναγωγής. Θα ήταν χρήσιµο εάν οι Vamvatsikos & Cornell ανέφεραν την µέθοδο ορισµού ενός ζεύγους σηµείων στην καµπύλη IDA, διότι όπως θα δειχθεί στα επόµενα κεφάλαια είναι πιθανό να προκύπτουν από τον συνδυασµό µεγίστων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 73

µετατοπίσεων και τέµνουσας βάσης σε διαφορετική χρονική στιγµή της ανάλυσης, σηµεία που δεν πληρούν καµία εξίσωση της στατικής ή δυναµικής ισορροπίας. Σχ.41: υναµική καµπύλη αντοχής (El Centro) και αντίστοιχη στατική καµπύλη αντοχής ενός µεταλλικού πλαισιακού εικοσαώροφου κτιρίου (Vamvatsikos & Cornell) Σχ.42: υναµική καµπύλη αντοχής ενός τριώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα µε αστοχούσες συνδέσεις. Το φαινόµενο της «ανάστασης» (Vamvatsikos & Cornell) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 74

Σχ.43: υναµική καµπύλη αντοχής ενός τριώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα όπου το σηµείο επιτελεστικότητας (αστοχίας) δεν είναι µονοσήµαντο είτε (α) εφαρµόζοντας τον κανόνα γωνίας στροφής ορόφου,8 ή (β) του κριτηρίου κλίσης 2%. (Vamvatsikos & Cornell) Βασιζόµενοι στα ανωτέρω συντόµως παρουσιαζόµενα συµπεράσµατα οι Vamvatsikos και Cornel προτείνουν την χρήση πολλαπλών διεγέρσεων για τον προσδιορισµό της καµπύλης IDA. Από αναλύσεις αυτού του τύπου προκύπτει ότι οι καµπύλες του αυτού κτιρίου υπό διαφορετική διέγερση παρουσιάζουν αρκετά µεγάλες διαφορές (σχήµα 44α) έτσι ώστε να απαιτείται στατιστική επεξεργασία τους είτε χρησιµοποιώντας την απλούστερη λύση, δηλαδή τον µέσο όρο ή τον τρέχοντα µέσο όρο, την ποσόστωση 16% ή 84%, ή πολύ πιο πολύπλοκους νόµους στατιστικής για τυχαίες δισδιάστατες καµπύλες. (σχήµα 44β). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 75

Σχ.44: (α)3 δυναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα (Vamvatsikos & Cornell) Σχ.44: (β) Η σύνοψη του (α) µε βάση το 16%, 5% και 84% (Vamvatsikos & Cornell) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 76

Σχ.45: (α) υναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα ως προς PGA (β) υναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα ως προς Sa, (Vamvatsikos & Cornell) Θα ήταν επίσης σκόπιµο να αναφερθεί εδώ ότι η επιλογή των διεγέρσεων χρησιµοποιώντας κατάλληλα σεισµολογικά και γεωτεχνικά κριτήρια συµβατότητας συνήθως οδηγούν σε µείωση της µεγάλης διασποράς των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης όπως αυτές φαίνονται στα σχήµατα 44 και 45. Επίσης σηµαντικό ρόλο παίζει η µέθοδος αρχικής κανονικοποίησης των επιταχυνσιογραφηµάτων (εάν γίνεται) αλλά και ο έλεγχος του µέγιστου και ελάχιστου συντελεστή αναγωγής έτσι ώστε να µην µεγεθύνονται η σµικρύνονται υπερβολικά (Penelis & Kappos,1997). 2.5. Συµπεράσµατα Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, η χρήση της στατικής ανελαστικής ανάλυσης έχει εισαχθεί στην πρακτική εξάσκηση της επιστήµης του πολιτικού µηχανικού για την αντιµετώπιση ειδικών θεµάτων γεφυροποιίας, αποτίµησης και ενίσχυσης υφισταµένων κατασκευών και υπολογισµού νέων ειδικών κατασκευών, σε αντίθεση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση η οποία λόγω των απαιτήσεων προσοµοίωσης των δοµικών στοιχείων (υστερητική συµπεριφορά), της ασάφειας των χρονικά µεταβαλλόµενων αποτελεσµάτων, της ευαισθησίας των αποτελεσµάτων στην επιλογή διέγερσης, της σχετικής δυσκολίας επιλογής αντιπροσωπευτικών διεγέρσεων, της ευαισθησίας των αποτελεσµάτων στον ορισµό των παραµέτρων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 77

αριθµητικής ολοκλήρωσης και την απαίτηση µεγάλης υπολογιστικής ισχύος αποφεύγεται κατά την πρακτική εφαρµογή. Μερικά από τα ανωτέρω συγκριτικά στοιχεία µεταξύ στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης φαίνονται στον πίνακα 1, από εργασία του Elnashai (22). Στατική Ανελαστική Ανάλυση Απαιτούνται ακριβή µοντέλα χωρίς υστερητική προσοµοίωση Προσοµοίωση αντοχής και δυσκαµψίας εν απαιτείται προσοµοίωση µαζών υναµική Ανελαστική Ανάλυση Απαιτούνται ακριβή µοντέλα µε υστερητική προσοµοίωση Προσοµοίωση αντοχής και δυσκαµψίας Απαιτείται προσοµοίωση µαζών εν απαιτούνται επιπλέον παράµετροι Απαιτούνται επιπλέον παράµετροι χρονικής ολοκλήρωσης εν απαιτείται διέγερση (επιταχυνσιογράφηµα) Απαιτείται στοχευόµενη µετατόπιση Η σχέση µεταξύ των εντατικών µεγεθών και αποκρίσεων δεν µεταβάλλεται µε τον χρόνο Μεγαλύτερη Ταχύτητα υπολογισµών (απ ότι στη δυναµική ανάλυση) Απαιτείται διέγερση Υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση Η σχέση µεταξύ των εντατικών µεγεθών και αποκρίσεων µεταβάλλεται µε τον χρόνο Μικρότερη ταχύτητα υπολογισµών (απ ότι στη στατική ανάλυση) Πιν. 1: Σύγκριση στατικής µε δυναµική ανελαστική ανάλυση Είναι προφανές ότι από την πρώτη εµφάνιση της µεθόδου της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε ελεγχόµενη φόρτιση (force control) µέχρι σήµερα έχει υπάρξει σηµαντική βελτίωση της αποτελεσµατικότητας της µεθόδου. Σε επίπεδο αλγορίθµων οι πιο σηµαντικές εξελίξεις είναι η δυνατότητα ελέγχου των παραµορφώσεων (displacement control) και η δυνατότητα αναπροσαρµοζόµενης στατικής ανελαστικής ανάλυσης (adaptive pushover), σε θεωρητικό επίπεδο ο προσδιορισµός του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, ο υπολογισµός Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 78

ανελαστικών φασµάτων ή φασµάτων µε ισοδύναµη απόσβεση, ο τρόπος υπολογισµού της στοχευόµενης µετατόπισης, και σε κανονιστικό επίπεδο η έκδοση των οδηγιών της FEMA 273 και 356, του ΑTC4, αλλά και η σύνταξη του Ελληνικού Κανονισµού Επεµβάσεων (ΚΑΝΕΠΕ). Εντούτοις δεν θα πρέπει στην προσπάθεια διεύρυνσης του πεδίου εφαρµογής της στατικής ανελαστικής ανάλυσης έναντι της δυναµικής, να την οδηγηθεί η µέθοδος, όπως διαφαίνεται από πρόσφατες προσπάθειες «αναπροσαρµοζόµενης» δυναµικά στατικής ανάλυσης σε µια τροποποιηµένη δυναµική ανελαστική ανάλυση, η οποία τελικά θα παρουσιάζει τα ίδια µειονεκτήµατα ως προς την σαφήνεια των αποτελεσµάτων και την ευστάθεια µε την δυναµική. Από την επισκόπηση της υφιστάµενης βιβλιογραφίας καθίσταται σαφές ότι υπάρχει µια αδυναµία της χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης ασύµµετρων κατασκευών να προσοµοιώσει τα στρεπτικά φαινόµενα όπως αυτά αποτυπώνονται από την αντίστοιχη ανελαστική δυναµική βήµα προ βήµα ανάλυση. Είναι προφανές λοιπόν ότι η στατική ανελαστική ανάλυση, σε σχέση µε την δυναµική, βρίσκεται στο ίδιο περίπου επίπεδο που βρισκόταν στα τέλη της δεκαετίας του 195 η στατική ελαστική ανάλυση σε σχέση µε την δυναµική φασµατική, οπότε και αναπτύχθηκαν όλες οι µεθοδολογίες προσδιορισµού των εκκεντροτήτων σχεδιασµού µε τις οποίες προσοµοιώνονται τα στρεπτικά φαινόµενα στην ελαστική κατάσταση. ιάφορες προσπάθειες που έγιναν µε στόχο την χρήση αυτών των κανονιστικών πλέον εκκεντροτήτων για την εκτίµηση της στρεπτικής ανελαστικής συµπεριφοράς ασύµµετρων κτιρίων, οδήγησε σε αποτελέσµατα όχι πάντοτε αξιόπιστα, όπως έχει προαναφερθεί. Συνεπώς καθίσταται αναγκαίο να ξεκινήσει η θεώρηση της ανελαστικής στρέψης από διαφορετικές παραδοχές σχετικά µε τα ανελαστικά χαρακτηριστικά ενός κτιρίου. Έτσι ένα πολύ σηµαντικό σηµείο είναι ότι η στατική εκκεντρότητα, η οποία σε ένα ελαστικό σύστηµα είναι σταθερή, και ορίζεται ως η απόσταση του ελαστικού κέντρου CR από το κέντρο µάζας CM, σε ανελαστικά συστήµατα µεταβάλλεται καθώς το ελαστικό κέντρο µετακινείται στο κέντρο αντοχής CS. ηλαδή η στατική εκκεντρότητα έχει δύο όρια µέσα στα οποία µεταβάλλεται, και αυτά είναι η απόσταση του κέντρου µάζας από το ελαστικό κέντρο (κέντρο δυσκαµψίας), όταν το Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 79

κτίριο συµπεριφέρεται ελαστικά, και από το κέντρο αντοχής, όταν όλα τα φέροντα στοιχεία έχουν διαρρεύσει. Ο προσδιορισµός κάποιας δυναµικής επαύξησης αυτής της εκκεντρότητας θα πρέπει να εξετασθεί λοιπόν υπό το πρίσµα ότι δεν είναι σταθερή, αλλά µεταβάλλεται καθώς τα διάφορα κατακόρυφα φέροντα στοιχεία διαρρέουν. Πολύ σηµαντική παρατήρηση είναι επίσης ότι η καθ ύψος κατανοµή των σεισµικών φορτίων διαφέρει σηµαντικά από την τριγωνική ή την οµοιόµορφη, µε αποτέλεσµα η επιλογή των ιδιοµορφικών αυτών φορτίων όπως προκύπτουν από την ελαστική ιδιοµορφική δυναµική ανάλυση να δίνει πολύ ακριβέστερα αποτελέσµατα, όπως φάνηκε από την ήδη µνηµνευθείσα εργασία των Tso και Moghadam (1997). Στην ίδια εργασία γίνεται και εκτίµηση των στοχευόµενων µετατοπίσεων µε βάση την δυναµική φασµατική ανάλυση, η οποία δίνει επίσης αρκετά ακριβή αποτελέσµατα, γεγονός που καθιστά σαφές ότι για την εκτίµηση των στρεπτικών φαινοµένων απαιτείται τουλάχιστον µια ελαστική δυναµική φασµατική ανάλυση έτσι ώστε να προσδιορίζονται τα ιδιοµορφικά φορτία αλλά και οι µέγιστες µετατοπίσεις (στην ελαστική περιοχή). Βεβαίως η επιλογή της θεµελιώδους ιδιοµορφής (συζευγµένης στρεπτικής- µεταφορικής) είναι µια απλή και εύκολη διαδικασία µε την εκτέλεση της δυναµικής ελαστικής ανάλυσης, το γεγονός όµως ότι µε την σταδιακή διαρροή των κατακόρυφων φερόντων στοιχείων µεταβάλλεται το µητρώο δυσκαµψίας του συστήµατος και κατά συνέπεια και οι ιδιοµορφές και τα αντιστοιχούντα σε αυτές φορτία είναι ένα ζήτηµα το οποίο δεν αντιµετωπίζεται εύκολα σε σύνθετα συστήµατα. Προκύπτει συνεπώς η σκοπιµότητα ανάπτυξης µίας µεθοδολογίας χωρικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης µε κατάλληλο αρχικό διάνυσµα φόρτισης (Τέµνουσα Βάσης -Ροπή Στρέψης) το οποίο να λαµβάνει υπόψη όλες τις σηµαντικές ιδιοµορφές και επιπλέον να υπάρχει η δυνατότητα µεταβολής του σε κάθε βήµα κατά το οποίο διαπιστώνεται ουσιώδης µεταβολή της δυσκαµψίας. Σε αντιδιαστολή δηλαδή µε τη λογική της «αναπροσαρµοζόµενης» δυναµικά στατικής ανάλυσης κατά την οποία µικρή σχετικά µεταβολή της δυσκαµψίας απαιτεί νέο βήµα, εδώ πρόκειται για µια ανάλυση η οποία µόνο µε σηµαντική µεταβολή της Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 8

εκκεντρότητας (µετακίνηση του κέντρου αντοχής CS) θα περνάει σε νέο βήµα µε νέο διάνυσµα φόρτισης. Επιπλέον είναι σαφές ότι για τη στοχευόµενη µετατόπιση δεν είναι καθόλου δόκιµο να χρησιµοποιηθούν οι µέχρι σήµερα προτεινόµενες σχέσεις ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή καθώς έχουν προκύψει από καθαρά µεταφορική θεώρηση του προβλήµατος µε απλή διόρθωση της τελικής µετατόπισης µε βάση τα αποτελέσµατα της δυναµικής ελαστικής ανάλυσης. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 2 Επισκόπηση Βιβλιογραφίας 81

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 :ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΝΟΙΧΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Γενικά 84 3.2 Επιλογή φορέων και περιγραφή τους 84 3.2.1 Γενικά στοιχεία 84 3.2.2 Γεωµετρική περιγραφή 85 3.2.3 Στατικά χαρακτηριστικά 86 3.2.4 Θέµατα προσοµοίωσης 88 3.3 Έλεγχος µεθόδου προσοµοίωσης 9 3.4 Επιλογή διεγέρσεων 95 3.4.1 Γενικά στοιχεία 95 3.4.2 Επιλεχθείσες διεγέρσεις 95 3.4.3 Συχνοτικό περιεχόµενο διεγέρσεων (ελαστικά φάσµατα) 99 3.4.4 Ανελαστικά φάσµατα 118 3.5 Υπολογισµός «δυναµικών» καµπυλών αντοχής 132 3.5.1 Γενικά 132 3.5.2 Θεωρητικό υπόβαθρο 133 3.5.3 Μέθοδος αναγωγής-κανονικοποίησης διεγέρσεων 137 3.5.4 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q 145 3.5.5 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q1 148 3.5.6 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q2 154 3.5.7 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q3 159 3.5.8 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q4 162 3.5.9 Σχόλια περί των δυναµικών καµπυλών αντοχής 164 3.6 Συµπεράσµατα σχόλια 168

3.1 Γενικά Στο παρόν κεφάλαιο της διατριβής γίνεται µια παρουσίαση όλων των θεµάτων δυναµικής ανελαστικής βήµα προς βήµα ανάλυσης που αντιµετωπίστηκαν κατά την προσπάθεια ανάπτυξης κατάλληλου υποβάθρου σύγκρισης της προτεινοµένης µεθοδολογίας µε την ακριβέστερη λύση που θεωρητικά, και πρακτικά όταν εφαρµόζεται σωστά, δίνει η δυναµική ανελαστική ανάλυση. Τα κύρια θέµατα που αντιµετωπίζονται είναι η επιλογή των επιταχυνσιογραφηµάτων που θα χρησιµοποιηθούν για τις δυναµικές αναλύσεις αλλά και για τον ορισµό των φασµάτων που απαιτούνται για τις ισοδύναµες στατικές ανελαστικές αναλύσεις στα επόµενα κεφάλαια, ο τρόπος χάραξης της δυναµικής καµπύλης αντοχής ενός κτιρίου χρησιµοποιώντας διάφορες επιλογές χρονικής αντιστοίχισης µεγεθών απόκρισης, ο τρόπος κανονικοποίησης και αναγωγής σε κοινή ένταση των διεγέρσεων µε δυο (οριζόντιες) συνιστώσες και η σύγκριση προσοµοιωµάτων µε χρήση κατανεµηµένης ανελαστικότητας στα δοµικά στοιχεία (fiber model) ή µε την χρήση σηµειακής ανελαστικότητας (point hinge model). 3.2 Επιλογή φορέων και περιγραφή τους 3.2.1 Γενικά στοιχεία Έχει προαναφερθεί ότι ένας από τους κύριους στόχους της παρούσας εργασίας είναι η τροποποίηση της χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης έτσι ώστε να προσεγγίζει την απόκριση της χωρικής δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης τόσο ως προς τις µετατοπίσεις όσο και ως προς τις στροφές. Για το σκοπό αυτόν επιλέχθηκαν καταρχήν δύο µονώροφα µονοσυµµετρικά (δηλ. µε έναν άξονα συµµετρίας) κτίρια µε τοιχώµατα τα οποία φαίνονται στα σχήµατα 1 και 2. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 84

W3 W1 W2 CM CR y x W4 Σχήµα 1: Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο (Σ..) W1 W2 CM CR y x Σχήµα 2: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.) 3.2.2 Γεωµετρική περιγραφή Οι δύο φορείς έχουν διαστάσεις κάτοψης 1. [m] x 2. [m] και ύψος 5. [m]. Αποτελούνται από τοιχώµατα Ο/Σ διαστάσεων W1: 2. [m] x.2 [m] W2 : 4. [m] x.2 [m] W3: 4. [m] x.2 [m] W4: 4. [m] x.2 [m] Τα τοιχώµατα συνδέονται µε πλάκα Ο/Σ απαραµόρφωτη στο οριζόντιο επίπεδο η οποία διασφαλίζει τη διαφραγµατική λειτουργία. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 85

Η µάζα του κτιρίου είναι M= 4[t] και η στρεπτική µάζα πολική ροπή αδράνειας 2 2 l x l y J m = m + = 16666 [tm 2 ] 12 3.2.3 Στατικά χαρακτηριστικά Οι ροπές αντοχής εντός επιπέδου των φερόντων στοιχείων (τοιχωµάτων) δίνονται κατωτέρω, ενώ όλα τα φέροντα στοιχεία είναι αρθρωτά εκτός επιπέδου (δηλ τα W1 και W2 δεν έχουν καµία συµµετοχή στην τέµνουσα βάσης κατά την διεύθυνση yy): και µε µηδενική δυστρεψία W1 : M rd = 5272 [knm] W2 : M rd = 2188 [knm] W3 : M rd = 1 [knm] W3 Mt Vy W1 W2 CM CR W4 θz uy Σχήµα 3: Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο (Σ..) και καµπύλες αντοχής σε όρους τέµνουσας- µετατόπισης και ροπής στρέψης-στροφής του κέντρου µάζας (CM) Με δεδοµένα τα ανωτέρω τα δύο κτίρια έχουν, αγνοώντας την στρέψη ίδια αντοχή κατά την διεύθυνση y-y και διαφορετικής κατά τη διεύθυνση x-x. Επειδή όµως την αντοχή σε στρέψη, µετά την διαρροή κάποιων από τα κύρια στοιχεία αντίστασης, την καθορίζουν τα φέροντα στοιχεία που το επίπεδο λειτουργίας τους είναι κάθετα στην διέγερση το κτίριο του σχήµατος 4 είναι στρεπτικώς µη δεσµευµένο (Σ.µ.) και το κτίριο του σχήµατος 3 είναι στρεπτικώς δεσµευµένο (Σ..). ηλαδή για διέγερση κατά την διεύθυνση y-y, στην περίπτωση του κτιρίου του σχήµατος 4 πριν την διαρροή του τοιχώµατος W1 η αντίσταση σε στρέψη παρέχεται από το ζεύγος W1- W2 ενώ µετά την διαρροή του W1 η επιπλέον αντίσταση σε στρέψη είναι µηδενική ενώ σε αυτό του σχήµατος 3 πριν την διαρροή του τοιχώµατος W1 η αντίσταση σε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 86

στρέψη παρέχεται από τα δύο ζεύγη δυνάµεων W1 W2 και W3-W4 ενώ µετά την διαρροή µόνο από το ζεύγος W3-W4. Mt Vy W1 W2 CM CR θz uy Σχήµα 4: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.) και καµπύλες αντοχής σε όρους τέµνουσας-µετατόπισης και ροπής στρέψης-στροφής του κέντρου µάζας (CM) Σε αυτό το σηµείο κρίνεται σκόπιµο να γίνει µια αναλυτική περιγραφή της περίπτωσης του µονώροφου στρεπτικώς µη δεσµευµένου κτιρίου στο οποίο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y η αντοχή σε τέµνουσα µειώνεται λόγω των φαινοµένων στρέψης. Στο σχήµα 5 σχεδιάζονται αρχικά στο δεξιό οι καµπύλες αντίστασης των τοιχωµάτων W1 και W2 (δίνονται οι αντοχές σε τέµνουσα (V 1,V 2 ) και οι παραµορφώσεις διαρροής τους (δy 1 και δy 2 )). Όπως φαίνεται στο σχήµα 5 η αντοχή σε τέµνουσα µε δεδοµένη την απουσία στρεπτικών φαινοµένων είναι το άθροισµα των αντοχών των τοιχωµάτων W1 και W2 : V no tors = (5272+2188)/5 = 5272 kn Με τη διαρροή όµως του τοιχώµατος W1, που λαµβάνει χώρα όταν η µετακίνηση του κέντρου βάρους είναι ίση µε την µετακίνηση διαρροής του W1 (γεγονός που συνεπάγεται ότι η ροπή στο W1 έχει υπερβεί την αντίστοιχη ροπή αντοχής), δεν υπάρχει δυνατότητα παραλαβής επιπλέον ροπής στρέψης (υπενθυµίζεται ότι αγνοείται η κράτυνση), και συνεπώς για λόγους στατικής ισορροπίας δεν υπάρχει δυνατότητα παραλαβής επιπλέον τέµνουσας, µε αποτέλεσµα η µέγιστη τέµνουσα που µπορεί να παραληφθεί να είναι όπως προκύπτει από την γραφική επίλυση: V with tors. = 1813 kn Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 87

V V=V1+V2(5272) καπύλη αντοχής κτιρίου χωρίς στρέψη V2(4217.6) καµπύλη αντοχής W2 (4.m) V-θ curve (στρέψη) Vtors(1813) καµπύλη αντοχής κτιρίου µε στρέψη V1(154.5) καµπύλη αντοχής W1 (2.m) Θ Θy δy2 δy1 δ Σχήµα 5: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.). Ανάλυση των καµπυλών αντοχής σε τέµνουσα και ροπή στρέψης Κρίνεται σκόπιµο σε αυτό το σηµείο να αναφερθεί ότι και στην περίπτωση του στρεπτικώς δεσµευµένου κτιρίου, η τελική αντοχή του σε τέµνουσα εξαρτάται από την ροπή στρέψης που µπορεί να παραλάβει το ζεύγος W3-W4 και ειδικά στην περίπτωση διέγερσης σε δύο διευθύνσεις είναι πιθανό να καταλήξει τελικά να είναι στρεπτικώς ευαίσθητο. ηλαδή στο σχήµα 5 ορίζονται το άνω και κάτω όριο τέµνουσας που µπορεί να παραλάβει το κτίριο, και ανάλογα µε το βαθµό στρεπτικής δέσµευσης η τέµνουσα του κτιρίου φθάνει µέχρι µια ενδιάµεση τιµή. 3.2.4 Θέµατα προσοµοίωσης Για τη σύγκριση της στατικής µε την δυναµική ανελαστική απόκριση κτιρίων είναι ιδιαίτερα σηµαντικό οι παραδοχές προσοµοίωσης και για τις δύο περιπτώσεις να είναι συµβατές. Μια πλήρης θεώρηση των διαθέσιµων µεθόδων ανελαστικής ανάλυσης φορέων από Ο/Σ ξεπερνάει τις ανάγκες τις παρούσας διατριβής (βλ. π.χ. Κάππος 1986, CEB 1994, Penelis & Kappos 1997). Για την µελέτη των κτιρίων του σχήµατος 2 η προσοµοίωση που επελέγη σε αρχικό επίπεδο ήταν το απλούστερο δυνατό µοντέλο ανελαστικής υστερητικής συµπεριφοράς, ήτοι αυτό της ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς χωρίς κράτυνση µε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 88

παραδοχή σηµειακής ανελαστικότητας (πλαστικές αρθρώσεις). Σηµειακή ανελαστικότητα σηµαίνει ότι το σύνολο της ανελαστικής συµπεριφοράς ενός στοιχείου όπως αυτή αναπτύσσεται κατά µήκος του, συγκεντρώνεται σε στροφικά ανελαστικά ελατήρια στα άκρα του, των οποίων ο καταστατικός νόµος περιγράφει την ανελαστική συµπεριφορά του στοιχείου. Πιο συγκεκριµένα ως καταστατικός νόµος ροπών - στροφών χρησιµοποιείται το µοντέλο που έχει προταθεί από τον Wen (1976) και το οποίο είναι ενσωµατωµένο στο SAP2nonlinear και γραφικά φαίνεται στο σχήµα 6. Σχήµα 6: Μοντέλο ανελαστικής συµπεριφοράς Wen (1976) Η σχέση δύναµης παραµόρφωσης δίνεται από την σχέση V = K δ + 1 Κ ( 2 ) V y z & όπου Κ 2 : εκφράζει την κράτυνση k: η ελαστική δυσκαµψία Vy: δύναµη διαρροής z& : παράµετρος υστερητικής συµπεριφοράς µε z& 1 µε την τιµή z& = 1 να εκφράζει την περιβάλλουσα αντοχής. Η αρχική τιµή του z είναι µηδέν και µεταβάλλεται βάσει της διαφορικής εξίσωσης: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 89

K z& = V 1 y d& a (1 z εάν dz & > d& λοιπές περιπτώσεις όπου a: παράµετρο που εκφράζει τον τρόπο διαρροής µε τιµές από 1 έως 2 όπως φαίνεται στο σχήµα 7. (ελήφθη υπόψη a=2) V y V a K 2 a=1 a=2 Σχήµα 7: Επιρροή παραµέτρου a στο µοντέλο Wen (1976) 3.3 Έλεγχος µεθόδου προσοµοίωσης Με την ανάπτυξη των σύγχρονων υπολογιστικών συστηµάτων (Η/Υ µε διπλούς επεξεργαστές, συστήµατα ψύξης κλπ) η χρήση εκλεπτυσµένων σύνθετων προσοµοιωµάτων για την ανάλυση κτιρίων έχει γίνει εφικτή, εντούτοις η χρήση τους πέραν των ερευνητικών σκοπών είναι πολύ περιορισµένη έως και ανύπαρκτη. Βασικές αιτίες αυτού είναι οι κατωτέρω: Πολυπλοκότητα στα απαιτούµενα δεδοµένα: ηλαδή ενώ σε ένα απλό προσοµοίωµα σηµειακής πλαστικής άρθρωσης απαιτούνται µόνο οι καταστατικοί τους νόµοι (όπως αυτοί προσδιορίζονται σε εγχειρίδια) στα σύνθετα προσοµοιώµατα απαιτείται η εισαγωγή της διάταξης των οπλισµών για κάθε διατοµή, ο καταστατικός νόµος σκυροδέµατος και χάλυβα οπλισµών, δεδοµένα για την κράτυνση, την περίσφιξη κ.α. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 9

Η πολυπλοκότητα των απαιτούµενων δεδοµένων αυξάνει σηµαντικά την πιθανότητα λαθών, αναιρώντας στην πράξη την πιθανή µεγαλύτερη αξιοπιστία του προσοµοιώµατος. Το διαθέσιµο λογισµικό δεν αντιµετωπίζει πρακτικά θέµατα της καθηµερινής ανάλυσης, όπως προσοµοίωση πλακών, µεταφορά φορτίων από πλάκες σε δοκούς, διαφραγµατική λειτουργία κ.α. Για τον σκοπό αυτό στην παρούσα διατριβή γίνεται χρήση τόσο των απλούστερων προσοµοιωµάτων όσο και των πιο σύνθετων που διατίθενται στις µέρες µας. Επειδή όµως η χρήση της απλούστερης µεθόδου είναι πιθανό να οδηγήσει σε ερωτήµατα ως προς την ακρίβεια των συµπερασµάτων, και επειδή ο προσδιορισµός των παραµέτρων που επηρεάζουν την ακρίβεια των απλούστερων µεθόδων σε σχέση µε τις πιο σύνθετες γίνεται στο παράρτηµα 1 µια συγκριτική παρουσίαση δύο ενδεικτικών συγκριτικών παραδειγµάτων (σχήµατα 8 και 9 αντίστοιχα) µε την µέθοδο της σηµειακής ανελαστικότητας (πλαστικές αρθρώσεις) και µε το µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας (fiber model). Κρίνεται βεβαίως σκόπιµο να αναφερθεί εδώ ότι δεν αποτελεί αντικείµενο της παρούσης διατριβής η λεπτοµερής σύγκριση µοντέλων σηµειακής και κατανεµηµένης πλαστικότητας, και οι όποιες αναφορές έχουν ενδεικτικό χαρακτήρα. Από το σύνολο των παραµετρικών αναλύσεων του µοντέλου των σηµειακών πλαστικών αρθρώσεων παρατίθενται στις επόµενες παραγράφους µόνο τα αποτελέσµατα εκείνα τα οποία προκύπτουν για τιµές των παραµέτρων τέτοιες ώστε να αντιστοιχούν µε αυτά της ακριβέστερης προσέγγισης µε το µοντέλο της κατανεµηµένης ανελαστικότητας. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 91

Φ8/1 (3) 6Φ14 Section 4x4 6Φ14 Φ8/1 (3) Σχήµα 8: Γεωµετρία πρώτου παραδείγµατος Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 92

2Φ14 Φ8/14 2Φ14 2Φ14 Φ8/12 2Φ14 2Φ14 2Φ14 2Φ14 2Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 2Φ16 Φ8/14 2Φ16 2Φ16 2Φ16 Φ8/12 2Φ14 2Φ14 3Φ12 3Φ12 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Σχήµα 9: Γεωµετρία δεύτερου παραδείγµατος Στο σχήµα 1 φαίνονται τα αποτελέσµατα από τις δύο αναλύσεις του πρώτου παραδείγµατος, από τα οποία προκύπτει ότι η ρηγµατωµένη δυσκαµψία είναι περί το 3% της αρηγµάτωτης για στοιχείο καµπτόµενο, έτσι ώστε τα αποτελέσµατα της µεθόδου πλαστικής άρθρωσης (etabs) να συµπίπτουν πρακτικώς µε αυτά του ακριβέστερου µοντέλου (seismostruct). Στο παράδειγµα αυτό η διαθέσιµη αντοχή είναι η ίδια και στις δύο επιλύσεις ενώ η διαθέσιµη παραµόρφωση δεν εξετάζεται (θεωρείται «άπειρη») Στο σχήµα 11 φαίνονται τα αποτελέσµατα από τις δύο αναλύσεις του δευτέρου παραδείγµατος, από τα οποία προκύπτει ότι η αντίστοιχη τιµή της δυσκαµψίας είναι Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 93

25-3% (στοιχεία δοκών στύλων), τιµές αρκετά διαφορετικές από αυτές που προτείνει το εγχειρίδιο FEMA 273 (356). Στην περίπτωση αυτή όµως υπάρχει στην προσέγγιση µε τις πλαστικές αρθρώσεις µείωση της διαθέσιµης πλαστιµότητας στο µισό αυτής που προκύπτει από την ακριβέστερη επίλυση, γεγονός που οφείλεται στις συντηρητικές τιµές των διαθέσιµων στροφών των επιµέρους δοµικών που δίνονται από τους πίνακες της FEMA. 16 Comparison of pushover curves for fiber model and point hinge model for a cantilever beam 14 12 Base shear (KN) 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 Disp (mm) seismostruct etabs& etools Η δυσκαµψία στην NOTE προσοµοίωση In the Point µε hinge σηµειακή πλαστική model άρθρωση the rigidity είναι of στο 3% beams& της columns αρηγµάτωτης is at 3% of the uncracked διατοµής section Σχήµα 1: Σύγκριση καµπυλών Ρ-δ για δοκό εν προβόλω: Προσοµοίωση µε κατανεµηµένη ανελαστικότητα και σηµειακή πλαστική άρθρωση 8 Comparison of pushover curves for fiber model and point hinge model for two storey two bay frame 7 6 Base shear (KN) 5 4 3 2 1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 Disp (mm) seismostruct etabs& etools Η δυσκαµψία στην NOTE προσοµοίωση In the Point µε hinge σηµειακή πλαστική model άρθρωση the rigidity είναι of στο 25% beams& της columns αρηγµάτωτης is at 25% of the uncracked διατοµής section Σχήµα 11: Σύγκριση καµπυλών Ρ-δ για τρίστυλο διώροφο πλαίσιο: Προσοµοίωση µε κατανεµηµένη ανελαστικότητα και σηµειακή πλαστική άρθρωση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 94

Από την συνολική θεώρηση και των δυο παραδειγµάτων, τα οποία επιλέχθηκαν απλά έτσι ώστε να είναι δυνατή η εύκολη σύγκριση των αποτελεσµάτων, προκύπτει η σαφής ένδειξη ότι οι προτεινόµενες από τα εγχειρίδια της FEMA ελαστικές δυσκαµψίες ρηγµατωµένων στοιχείων είναι αρκετά υπερεκτιµηµένες προς την µεριά της ασφάλειας, γεγονός που υποστηρίζεται και από τα πειραµατικά στοιχεία του Leonhardt (1977), ενώ για τις διαθέσιµες στροφές ότι είναι υποεκτιµηµένες προς την πλευρά της ασφάλειας επίσης. Η παρατήρηση αυτή είναι κατά βάση αναµενόµενη διότι τα εν λόγω εγχειρίδια ενέχουν την θέση προσχεδίων κανονισµών και ως τέτοια οφείλουν να είναι συντηρητικά. Έτσι φαίνεται ότι η απλούστερη µέθοδος ανελαστικής ανάλυσης, µε την χρήση σηµειακών πλαστικών αρθρώσεων προσοµοιωµένων από στροφικά ανελαστικά ελατήρια µε νόµο συµπεριφοράς την καµπύλη M-θ του δοµικού στοιχείου στο οποίο αντιστοιχούν, µπορεί µε κατάλληλη επιλογή παραµέτρων να προσοµοιώσει µε ικανοποιητική ακρίβεια την πραγµατική συµπεριφορά ενός φορέα. Συνεπώς η χρήση της απλούστερης µεθόδου µε την σηµειακή πλαστική άρθρωση σε ένα σηµαντικό αριθµό παραδειγµάτων της παρούσας διατριβής είναι τεκµηριωµένη και απαραίτητη καθώς στην επαγγελµατική εφαρµογή, η χρήση αυτών ακριβώς των προσοµοιωµάτων είναι αυτή που µέχρι σήµερα προωθείται. 3.4 Επιλογή διεγέρσεων 3.4.1 Γενικά στοιχεία Για την επιλογή των διεγέρσεων χρησιµοποιήθηκε µια µικρή βάση δεδοµένων από µεγάλους σεισµούς ανά τον κόσµο που έχει δηµιουργηθεί στον Τοµέα Τεχνικής Σεισµολογίας και Σεισµικής Μηχανικής του Imperial College του Λονδίνου και η ευρύτερη βάση Ευρωπαϊκή Βάση εδοµένων Ισχυρών Κινήσεων (Dissemination of European Strong Motion Records, Ambraseys et al, 2) η οποία έχει δηµιουργηθεί από τους τέσσερις συνεργαζόµενους φορείς στα πλαίσια προγράµµατος (Enviroment & Climate) της Ευρωπαϊκής Ένωσης. 3.4.2 Επιλεγείσες διεγέρσεις Μια αρχική εφαρµογή της µεθόδου έγινε χρησιµοποιώντας την οµάδα επιταχυνσιογραφηµάτων (Q) που φαίνονται στον πίνακα 1 και για τα οποία έγινε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 95

ένας αρχικός έλεγχος της µεθόδου στην περίπτωση του µονώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου µε διέγερση σε µια διεύθυνση. Τα επιταχυνσιογραφήµατα αυτά επιλέχθησαν ως ευρέως γνωστές ισχυρές διεγέρσεις (Μ=6.7 7.2) οι οποίες έχουν ήδη χρησιµοποιηθεί σε παραµετρικές αναλύσεις από διάφορους ερευνητές. α/α Αρχείο ιέγερση Ηµεροµ. M s D [Km] PGA [g] A/V [g/(m/s)] 1 Kob1l7.dat Kobe Japan- Hygo 17/1/95 7.2 18.837.93 ken 2 Lp21t7.dat Loma Prieta USA, 18/1/89 7.2 16.454 2.17 Lick lab 3 lp Loma Prieta USA, 18/1/89 7.2 18.16 Tresure Island 4 No2l7.dat Northridge USA, 17/2/94 6.7 12.589.62 Newhall fire station Πίνακας 1: Αρχική οµάδα επιταχυνσιογραφηµάτων (Q) Τα επιταχυνσιογραφήµατα που αντιστοιχούν στις διεγέρσεις του πίνακα 1 φαίνονται στα σχήµατα 1 4 του Παραρτήµατος ΙΙ µε συντελεστή αναγωγής k=1. Στην συνέχεια δηµιουργήθηκαν δύο οµάδες επιταχυνσιογραφηµάτων Q1 και Q2 µε βάση δυο διαφορετικά κριτήρια έρευνας (queries) στην Ευρωπαϊκή Βάση εδοµένων Ισχυρών Κινήσεων. Τα κριτήρια αυτά φαίνονται στους πίνακες 2 και 3. Κριτήρια Όρια τιµών Μέγιστο µέγεθος (κάθε τύπου) 8 Ελάχιστο µέγεθος (κάθε τύπου) 6 Μέγιστη επικεντρική απόσταση 1 km Μέγιστη απόσταση ρήγµατος 1 km Μέγιστη οριζόντια επιτάχυνση 15m/sec 2 Ελάχιστη οριζόντια επιτάχυνση 4.5m/sec 2 Πίνακας 2: Κριτήρια επιλογής οµάδας διεγέρσεων Q1 Κριτήρια Όρια τιµών Μέγιστο µέγεθος (κάθε τύπου) 7 Ελάχιστο µέγεθος (κάθε τύπου) 5 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 96

Μέγιστη επικεντρική απόσταση 1 km Μέγιστη απόσταση ρήγµατος 1 km Μέγιστη οριζόντια επιτάχυνση 8m/sec 2 Ελάχιστη οριζόντια επιτάχυνση 2/sec 2 Πίνακας 3: Κριτήρια επιλογής οµάδας διεγέρσεων Q2 Εφαρµόζοντας τις δύο ανωτέρω οµάδες κριτηρίων στην βάση δεδοµένων επιλέχθηκαν δύο οµάδες τριών επιταχυνσιογραφηµάτων η καθεµία, η πρώτη (Q1) µε µεγάλους σεισµούς Ευρασιατικούς και η δεύτερη (Q2) µε Ελληνικούς, τα στοιχεία των οποίων φαίνονται στους πίνακες 4 και 5. α/α Αρχείο ιέγερση Ηµεροµ. M s D [Km] PGA [g] 1 126ya.cor Friuli (aftersh.), Italy 9/15/76 6. 15.5 2 187ya.cor Gazli, Uzbekistan 5/17/76 7. 13.71 3 74ya.cor Tabas, Iran 9/16/78 7.3 5 1.1 Πίνακας 4: Οµάδα διεγέρσεων Q1 α/α Αρχείο ιέγερση Ηµεροµ. M s D [Km] PGA [g] 1 42ya.cor Ionian, Greece 4/11/1973 5.7 7.25 2 333ya.cor Alkionides, Greece 24/2/1981 6.7 1.39 3 413ya.cor Kalamata, Greece 13/9/1986 5.8 8.38 Πίνακας 5: Οµάδα διεγέρσεων Q2 Τα επιταχυνσιογραφήµατα που αντιστοιχούν στους σεισµούς της οµάδας Q1 φαίνονται στα σχήµατα (5-1) του Παραρτήµατος ΙΙ. Από τα επιταχυνσιογραφήµατα αυτά, φαίνεται ότι πρόκειται για διεγέρσεις µε αρκετά διαφορετικά χαρακτηριστικά οι οποίες όπως θα φανεί και από τα φάσµατά τους περιλαµβάνουν διάφορα συχνοτικά περιεχόµενα και ως εκ τούτου αποτελούν, ως σύνολο, ένα ισχυρό κριτήριο επάρκειας της προτεινοµένης µεθόδου εφόσον την επαληθεύουν. Ειδικότερα επισηµαίνεται ότι η διέγερση του Tabas στο Ιράν αποτελείται στην ουσία από δυο διεγέρσεις, µια κύρια και έναν µετασεισµό που συνέβησαν διαδοχικά σε χρονικό διάστηµα 3 sec. Η διέγερση αυτή, όπως έχει αναφερθεί και σε πρόσφατες εργασίες (Sarkar et al, 25) αποτελείται από 4 ίσως και 5 υπο-διεγέρσεις που αντιστοιχούν στην διαδοχική διάρρηξη υπο-ρηγµάτων (subfaults) του κυρίως ρήγµατος, µε αποτέλεσµα να προκαλεί ιδιαίτερα δυσµενή απόκριση των κατασκευών διότι µετά την ολοκλήρωση του πρώτου ισχυρού τµήµατος της διέγερσης οπότε και έχουν διαρρεύσει κάποια από τα δοµικά στοιχεία ακολουθούν τα επόµενα τα οποία, αν και ασθενέστερα, επιδρούν επί ενός συστήµατος µειωµένης αντοχής. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 97

Τα επιταχυνσιογραφήµατα που αντιστοιχούν στους σεισµούς της οµάδας Q2 φαίνονται στα σχήµατα (11-16) του Παραρτήµατος ΙΙ. Μετά από την χρήση των παραπάνω διεγέρσεων στην αρχική φάση τεκµηρίωσης της προτεινοµένης µεθόδου δηµιουργήθηκαν δυο επιπλέον οµάδες διεγέρσεων, η οµάδα Q3 από σεισµούς µικρού µεγέθους (Μ s =5,5-6,5) και η οµάδα Q4 από σεισµούς µεσαίου ως µεγάλου µεγέθους (Μ s =6,5-7,5) µε µεγάλο αριθµό επιταχυνσιογραφηµάτων (1) έτσι ώστε να υπάρξουν πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα για τα οποία δεν θα υπάρχει η πιθανότητα τυχαίας ή επιλεκτικής ακρίβειας της µεθόδου λόγω του µικρού αριθµού διεγέρσεων. Οι διεγέρσεις αυτές αποτελούν την συνήθη οµάδα διεγέρσεων που χρησιµοποιεί το Engineering Seismology Section του Imperial College για την διεξαγωγή ανελαστικών δυναµικών αναλύσεων και έχουν χρησιµοποιηθεί σε αρκετές δυναµικές αναλύσεις. ΟΜΑ Α Q3 PGA :g PGV Cm/sec A/V: g/(m/s) Α/Α ιέγερση Ηµεροµ. Ms D: h: Σταθ Long. Long. Long. Km Km µός 1 athens greece 2 Coyote Lake USA 3 Morgan Hill USA 4 Morgan Hill USA 5 Morgan Hill USA 6 Morgan Hill USA 7 Managua NICARAG UA 8 Whittier USA 9 Whittier USA 1 Whittier USA 9/11/1999 5.9 KEDE.258 14.86 1.74 6/8/1979 5.7-6 SYS.25 31.5.79 24/4/1984 6.2 15 8 G7.111 5.7 1.95 24/4/1984 6.2 14 8 G6.29 36.5.79 24/4/1984 6.2 14 8 G4.358 16.7 2.14 24/4/1984 6.2 17 8 G2.25 12.5 1.64 23/12/1972 6.2-5 MAV.326 29.9 1.9 1/1/1987 6. 3 14 GRV.372 17.1 2.18 1/1/1987 6. 4 14 GAR.35 15.7 1.94 1/1/1987 6. 11 14 BELL.321 15.8 2.3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 98

Πίνακας 6: Οµάδα διεγέρσεων Q3 ΟΜΑ Α Q4 PGA:g PGV: cm/s A/V: g/(m/s) Α/Α ιέγερση Ηµεροµ. Ms D: h: Σταθ Long. Long. Long. Km Km µός 1 Nahani CANADA 2 Gazli USSR 3 Imperial Valley USA 4 Imperial Valley USA 5 Kobe JAPAN 6 Kobe JAPAN 7 Kobe JAPAN 8 Northridge USA 9 Northridge USA 1 San Fernando USA 9/11/199 9 6.8 8 6 IVE 1.11 48.2 2.28 17/5/197 7.1 19 1 GA2.569 67.6.84 6 15/1/19 6.9-8 EOT.464 19.8.42 79 15/1/19 6.9-8 EO6.435 11.4.39 79 17/1/199 5 7.2 18 14 KOEJ 6.837 9.4.93 17/1/199 7.2 2 14 KPIA.349 91.1.38 5 17/1/199 7.2 25 14 KBU.276 55.4.5 5 17/1/199 6.7 12 18 NFS.589 94.7.62 4 17/1/199 6.7 9 18 SRH.843 128.9.65 4 9/2/1971 6.6. 8 PCD 1.174 112.6 1.4 Πίνακας 7: Οµάδα διεγέρσεων Q4 Από τον πίνακα 7 φαίνεται ότι η οµάδα διεγέρσεων Q4 έχει πολύ µεγάλη διακύµανση στον λόγο A/V (.39 2.28) γεγονός που υποδηλώνει ότι το δείγµα έχει σηµαντικό βαθµό ετερογένειας. 3.4.3 Συχνοτικό περιεχόµενο διεγέρσεων (ελαστικά φάσµατα) Είναι γνωστό ότι από τους πλέον σηµαντικούς παράγοντες για την εκτίµηση της επιρροής ενός σεισµού σε µία κατασκευή είναι το ελαστικό φάσµα επιταχύνσεων και µετατοπίσεων του σεισµού αυτού. Φυσικά ιδιαίτερα σηµαντικά είναι και τα ανελαστικά φάσµατα, µια και είναι γνωστό ότι οι κατασκευές σχεδιάζονταν και σχεδιάζονται στην µεγάλη πλειονότητα τους έτσι ώστε να συµπεριφέρονται Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 99

ανελαστικά, αλλά λόγω των διαφόρων παραµέτρων που επηρεάζουν τον υπολογισµό ενός ανελαστικού φάσµατος προτιµάται σε αυτό το σηµείο η παρουσίαση των ελαστικών φασµάτων που είναι µονοσήµαντα ορισµένα. Στις επόµενες σελίδες περιλαµβάνονται τα ελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων και µετατοπίσεων για όλες τις επιλεγείσες διεγέρσεις. Στα σχήµατα 12-19 περιλαµβάνονται τα φάσµατα για την οµάδα Q τα οποία προηγουµένως έχουν αναχθεί σε pga = 4m/sec 2. 2 18 Φάσµα Επιταχύνσεων LomaPrieta-Treasure Isl-Transverse-Ανηγµένο (5% damp) Sα [ m/sec^2] 16 14 12 1 8 6 4 2. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 12: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Treasure Island, φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ].8.7.6 Φάσµα Μετατοπίσεων LomaPrieta-Treasure Isl-Transverse-Ανηγµένο (5% damp) Sδ [m].5.4.3.2.1. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 13: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Treasure Island, φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 1

Φάσµα Επιταχύνσεων LP-Lick-lab-transv-scaled (5% damp) Sa [ m/sec^2] 18 16 14 12 1 8 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. T (sec) Σχήµα 14: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Lick lab φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Φάσµα µετατοπίσεων LP-Lick-lab-transv-scaled (5% damp) Sd [ m].9.8.7.6.5.4.3.2.1..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. T (sec) Σχήµα 15: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Lick lab φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 11

Φάσµα επιταχύνσεων Northridge -Newhall Fire Station-Long-scaled (5% damp) 16 14 12 Sa [ m/sec^2] 1 8 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 16: Σεισµός Northridge, καταγραφή Newhall φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Φάσµα Μετατοπίσεων Northridge -Newhall Fire Station-Long-scaled (5% damp) Sd [m].45.4.35.3.25.2.15.1.5..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 17: Σεισµός Northridge, καταγραφή Newhall φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 12

Φάσµα Επιταχύνσεων Kobe-HYOGO KEN - long- Ανηγµένη καταγραφή (5% damp) 14 12 SA m/sec^2 1 8 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 T (sec) Σχήµα 18: Σεισµός Kobe, καταγραφή Hyogo Ken, φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ].25 Φάσµα Μετατοπίσεων Kobe-HYOGO KEN - long- Ανηγµένη καταγραφή (5% damp).2 Sd m.15.1.5..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 T (sec) Σχήµα 19: Σεισµός Kobe, καταγραφή Hyogo Ken, φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ] Στο σχήµα 2 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα φάσµατα επιταχύνσεων των τεσσάρων διεγέρσεων µαζί µε το µέσο φάσµα τους, ενώ στο σχήµα 21 τα αντίστοιχα φάσµατα µετατοπίσεων. Από τον συνδυασµό των φασµάτων προκύπτει ότι η οµάδα (Q) δίνει ένα µέσο φάσµα που αντιπροσωπεύει την εικόνα του ελαστικού φάσµατος που υπάρχει σε όλους τους σύγχρονους κανονισµούς, µε µία µέση διασπορά (για περιόδους από - 3.3 sec) c.o.v. aver = 65.5%. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 13

Φάσµατα Επιταχύνσεω ν (Q) SA m/sec^2 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 T (sec) Mean Lp- Tres. isl. Lp - Lick lab Northridge kobe-hyogoken Σχήµα 2: Οµάδα (Q), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Μετατοπίσεων (Q).8.7 Sd m.6.5.4.3.2.1. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Mean Lp- tres. isl. Lp- lick lab Northridge kobe-hyogoken Σχήµα 21: Οµάδα (Q), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Στα σχήµατα 22-33 περιλαµβάνονται τα φάσµατα για την οµάδα Q1 τα οποία προηγουµένως έχουν αναχθεί σε pga = 4m/sec 2. Σηµειώνεται ότι για τους πολυώροφους φορείς που αναλύονται στο κεφάλαιο 5 τα φάσµατα έχουν αναχθεί σε pga= 8 m/sec 2. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 14

Φάσµα Επιταχύνσεων Gazli 1976 Ms=7.4 EW Comp - Spectra (5% damp) Sa m/sec^2 12. 1. 8. 6. 4. 2. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 22: Σεισµός Gazli, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Gazli 1976 Ms=7.4 EW Comp - Spectra (5% damp) Sd [m].4.3.3.2.2.1.1 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 23: Σεισµός Gazli, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Gazli 1976 Ms=7.4 NS Comp - Spectra (5% damp) 12. 1. Sa m/sec^2 8. 6. 4. 2. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 15

Σχήµα 24: Σεισµός Gazli, καταγραφή ΝS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοίσεων Gazli 1976 Ms=7.4 NS Comp - Spectra (5% damp) Sa m/sec^2.4.4.3.3.2.2.1.1 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 25: Σεισµός Gazli, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Tabas 1978 Ms=7.33 E-W Comp - Spectra (5% damp) Sa m/sec^2 14. 12. 1. 8. 6. 4. 2. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 26: Σεισµός Tabas, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Tabas 1978 Ms=7.33 E-W Comp - Spectra (5% damp) Sa m/sec^2.4.3.3.2.2.1.1 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 16

Σχήµα 27: Σεισµός Tabas, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Tabas 1978 Ms=7.33 Ν-S Comp - Spectra (5% damp) Sa m/sec^2 16. 14. 12. 1. 8. 6. 4. 2. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 28: Σεισµός Tabas, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Tabas 1978 Ms=7.33 N-S Comp - Spectra (5% damp).3.3 Sa m/sec^2.2.2.1.1 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 29: Σεισµός Tabas, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Friuli 1976 Ms=6.6 EW Comp - Spectra (5% damp) 2. Sa m/sec^2 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 17

Σχήµα 3: Σεισµός Friuili, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Friuli 1976 Ms=6.6 E-W Comp - Spectra (5% damp).. Sd. [m]..... -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 31: Σεισµός Friuili, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Friuli 1976 Ms=6.6 N-S Comp - Spectra (5% damp) 12. 1. Sa m/sec^2 8. 6. 4. 2. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 32: Σεισµός Friuili, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Friuli 1976 Ms=6.6 N-S Comp - Spectra (5% damp).1.1 Sd [m].... -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 33: Σεισµός Friuili, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 18

Στα σχήµατα 34-35 που ακολουθούν περιλαµβάνονται τα φάσµατα επιταχύνσεων των τριών διεγέρσεων µαζί µε το αντίστοιχο µέσο φάσµα, ενώ στο σχήµα 36-37 τα αντίστοιχα φάσµατα µετατοπίσεων. Από τον συνδυασµό των φασµάτων προκύπτει ότι η οµάδα (Q1) δίνει ένα µέσο φάσµα υψίσυχνο χωρίς ιδιαίτερα υψηλή διασπορά (c.o.v. aver =54%). 18. Φάσµατα Επιταχύνσεων - Q1- EW Sa m/sec^2 16. 14. 12. 1. 8. 6. 4. 2. Elas tic Friulli EW Gazli EW Tabas EW -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 34: Οµάδα (Q1-ΕW), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος 16. Φάσµατα Επιταχύνσεων -Q1- NS Sa m/sec^2 14. 12. 1. 8. 6. 4. 2. Elastic Friulli NS Gazli NS Tabas NS -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 35: Οµάδα (Q1-NS), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 19

Φάσµατα Μετατοπίσεων- Q1- EW Sd m.4.3.3.2.2.1.1 Elastic Friulli EW Gazli EW Tabas EW -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 36: Οµάδα (Q1-EW), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Μετατοπίσεων - Q1- NS.4.4 Sa m/sec^2.3.3.2.2.1.1 Elas tic Friulli NS Gazli NS Tabas NS -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 37: Οµάδα (Q1-NS), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Στα σχήµατα 38-49 περιλαµβάνονται τα φάσµατα για την οµάδα Q2 τα οποία προηγουµένως έχουν αναχθεί σε pga = 4m/sec 2 για τη διεύθυνση EW και 8 m/sec 2 για τη διεύθυνση ΝS. Η εγκάρσια (για τα παραδείγµατα που θα ακολουθήσουν) διέυθυνση της διέγερσης ανάγεται σε pga=8 m/sec 2 έτσι ώστε να υπάρχει και Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 11

περίπτωση ισχυρής διέγερσης στην εγκάρσια διεύθυνση η οποία καθιστά τα στρεπτικώς δεσµευµένα κτίρια λιγότερο δεσµευµένα. Σηµειώνεται ότι για τον οκταώροφο φορέα του κεφαλαίου 5 χρησιµοποιήθηκε αναγωγή σε pga= 4 m/sec 2 Φάσµα Επιταχύνσεων Ionian 1973 Ms=5.73 EW Comp - Spectra (5% damp) 2. SA m/sec^2 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 38: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Ionian 1973 Ms=5.73 EW Comp - Spectra (5% damp).2 SA m/sec^2.15.1.5 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 39: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Ionian 1973 Ms=5.73 NS Comp - Spectra (5% damp) 25. SA m/sec^2 2. 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 111

Σχήµα 4: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Ionian 1973 Ms=5.73 NS Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2.4.35.3.25.2.15.1.5 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 41: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Alkionides 1981 Ms=6.69 E-W Comp - Spectra (5% damp) 2. SA m/sec^2 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 42: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Alkionides 1981 Ms=6.69 E-W Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2.4.35.3.25.2.15.1.5 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 112

Σχήµα 43: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Alkionides 1981 Ms=6.69 NS Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2 35. 3. 25. 2. 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 44: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Alkionides 1981 Ms=6.69 NS Comp - Spectra (5% damp) 1..8 SA m/sec^2.6.4.2 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 45: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Kalamata 1986 Ms=5.75 E-W Comp - Spectra (5% damp) 25. 2. SA m/sec^2 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 46: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 113

Φάσµα Μετατοπίσεων Kalamata 1986 Ms=5.75 E-W Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2.3.25.2.15.1.5 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 47: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων Φάσµα Επιταχύνσεων Kalamata 1986 Ms=5.75 NS Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2 4. 35. 3. 25. 2. 15. 1. 5. -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 48: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων Φάσµα Μετατοπίσεων Kalamata 1986 Ms=5.75 NS Comp - Spectra (5% damp) SA m/sec^2.9.8.7.6.5.4.3.2.1 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 T (sec) Σχήµα 49: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 114

Στα σχήµατα 5-51 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα φάσµατα επιταχύνσεων των τριών διεγέρσεων µαζί µε το µέσο φάσµα που αντιστοιχεί, ενώ στα σχήµατα 52-53 τα αντίστοιχα φάσµατα µετατοπίσεων. Από τον συνδυασµό των φασµάτων προκύπτει ότι η οµάδα (Q2) δίνει ένα µέσο φάσµα µε µεγάλο συντελεστή ενίσχυσης στις περιόδους.5 1. sec και µικρή διασπορά (ΕW:43%, NS=38%). Φάσµατα Επιταχύνσεων- Q2- EW 25. Sa m/sec^2 2. 15. 1. 5. Elas tic Ionian EW Alkion EW Kala EW -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 5: Οµάδα (Q2-EW), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Επιταχύνσεων- Q2 - NS 4. 35. Sa m/sec^2 3. 25. 2. 15. 1. 5. -. 1. 2. 3. 4. 5. Elastic Ionian NS Alkion NS Kala NS T (sec) Σχήµα 51: Οµάδα (Q2-ΝS), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 115

Φάσµατα Μετατοπίσεων - Q2 - EW Sa m/sec^2.4.35.3.25.2.15.1.5 Elastic Ionian EW Alkion EW Kala EW -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 52: Οµάδα (Q2-EW), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Μετατοπίσεων - Q2-NS 1. Sd m.8.6.4.2 Elas tic Ionian NS Alkion NS Kala NS -. 1. 2. 3. 4. 5. T (sec) Σχήµα 53: Οµάδα (Q2-NS), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Τα ελαστικά φάσµατα της οµάδας διεγέρσεων Q3 φαίνονται ανηγµένα σε φασµατική ένταση SΙ=76.18cm/sec (µέση ένταση) στα σχήµατα 54 και 55 (επιταχύνσεις και µετατοπίσεις αντίστοιχα) µε διασπορά c.o.v. aver. = 31%. Για την ανάλυση των πολυώροφων κτιρίων του κεφαλαίου 5 οι διεγέρσεις ανήχθηκαν σε φασµατική ένταση SI=297.2 cm/sec Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 116

Φάσµατα Επιταχύνσεων - Q3 ATH99L99sc 1.8 1.6 1.4 CLA4L7sc MH3L7sc MH4L7sc Sa m/sec^2 1.2 1..8.6.4.2 -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. MH5L7sc MH7L7sc NIC5L7sc WN13L7sc WN15L7sc MN22L7sc Μέσο T (sec) Σχήµα 54: Οµάδα (Q3), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Mετατοπίσεων - Q3 ATH99L99sc CLA4L7sc 12. MH3L7sc Sd cm 1. 8. 6. 4. 2. -. 1. 2. 3. 4. MH4L7sc MH5L7sc MH7L7sc NIC5L7sc WN13L7sc WN15L7sc MN22L7sc Μέσο T (sec) Σχήµα 55: Οµάδα (Q3), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Τα ελαστικά φάσµατα της οµάδας διεγέρσεων Q4 φαίνονται ανηγµένα σε φασµατική ένταση SΙ=31 cm/sec (µέση ένταση) στα σχήµατα 56 και 57 (επιταχύνσεις και µετατοπίσεις αντίστοιχα) µε διασπορά c.o.v. aver. = 23%. Σηµειώνεται εδώ ότι δεδοµένων των µικρών ιδιοπεριόδων των µονώροφων κτιρίων επιλέχθηκε η αναγωγή των διεγέρσεων της οµάδας Q4 και µε pga ώστε να υπάρξει σύγκριση στην προκύπτουσα διασπορά της δυναµικής απόκρισης. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 117

Φάσµατα Επιταχύνσεων - Q4 Sa m/sec^2 2.5 2. 1.5 1..5 CAN2L9 Gaz1L7sc IP12L7sc IP13L7sc KOBE1L7sc KOBE2L7sc KOBE6L7sc NO2L7sc -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. T (sec) NO4L7sc SFE1L7sc Μέσο Σχήµα 56: Οµάδα (Q4), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος Φάσµατα Mετατοπίσεω ν - Q4 Sd cm 3. 25. 2. 15. 1. 5. CAN2L9 Gaz1L7sc IP12L7sc IP13L7sc KOBE1L7sc KOBE2L7sc KOBE6L7sc NO2L7sc -..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. T (se c) NO4L7sc SFE1L7sc Μέσο Σχήµα 57: Οµάδα (Q4), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος 3.4.4 Ανελαστικά φάσµατα Όπως έχει αναφερθεί και στο κεφάλαιο 2, ο υπολογισµός των ανελαστικών φασµάτων µπορεί να γίνει µε την χρήση ισοδύναµης ελαστικής απόσβεσης ή µε την χρήση µειωτικών συντελεστών που εκφράζουν την πλαστιµότητα. Εντούτοις και οι δύο µέθοδοι είναι προσεγγιστικές, και ως τέτοιες εισάγουν έναν επιπλέον βαθµό αβεβαιότητας όταν χρησιµοποιούνται σε παραµετρικές αναλύσεις και συγκρίσεις. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 118

Για το σκοπό αυτόν επιλέχθηκε ο απευθείας υπολογισµός των ανελαστικών φασµάτων µε την χρήση του προγράµµατος Seismosuite (Αντωνίου, 2) και την επιλογή υστερητικής συµπεριφοράς ελαστοπλαστικής χωρίς κράτυνση (elastic perfectly plastic) χωρίς κράτυνση. εδοµένου ότι στα επόµενα κεφάλαια θα συγκριθεί η απόκριση πολυβάθµιων συστηµάτων όπως υπολογίζονται απευθείας από την ανελαστική δυναµική ανάλυση µε αυτή που υπολογίζεται από στατική ανελαστική ανάλυση και την χρήση ανελαστικών φασµάτων, τα τελευταία θα πρέπει να έχουν προκύψει χρησιµοποιώντας την ίδια ελαστική απόσβεση και το ίδιο υστερητικό µοντέλο. Στα σχήµατα 58 71 φαίνονται τα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων και µετατοπίσεων των πέντε οµάδων διεγέρσεων όπως έχουν προκύψει από την ανωτέρω ανάλυση και τα οποία θα χρησιµοποιηθούν στα επόµενα κεφάλαια για τον προσδιορισµό της µέγιστης στοχευόµενης απόκρισης των κτιρίων στα πλαίσια της ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων -Q Acc (m/sec 2 ) 12 1 8 6 4 2 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 58: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 119

Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων -Q Disp (m).35.3.25.2.15.1.5 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 59: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων -EW- Q1 Acc (m/sec 2 ) 14 12 1 8 6 4 2 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 6: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΕW Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων -EW - Q1 Disp (m).4.35.3.25.2.15.1.5 1 2 3 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Τ(sec) Σχήµα 61: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΕW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 12

Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων- NS-Q1 Acc (m/sec 2 ) 12 1 8 6 4 2 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 62: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων- NS-Q1 Disp (m).35.3.25.2.15.1.5 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 63: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων- EW-Q2 Acc (m/sec 2 ) 16 14 12 1 8 6 4 2 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 64: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 121

Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων- EW-Q2 Disp (m).3.25.2.15.1.5 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 65: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση ΕW Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων-ns - Q2 Acc (m/sec 2 ) 35 3 25 2 15 1 5 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 66: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων- NS- Q2 Disp (m).8.7.6.5.4.3.2.1 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 67: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 122

Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων Q3 Acc (m/sec 2 ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 68: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q3 Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων Q3 Disp (m).7.6.5.4.3.2.1 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 69: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q3 Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων Q4 Acc (m/sec 2 ) 16 14 12 1 8 6 4 2 1 2 3 Τ(sec) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Σχήµα 7: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 123

Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων Q4 1.2 Disp (m) 1.8.6.4.2 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 1 2 3 Τ(sec) Σχήµα 71: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q4 Βάσει των προαναφερθέντων στο κεφάλαιο 1, µια από τις διαθέσιµες µεθόδους προσδιορισµού της στοχευόµενης µετατόπισης στην ανελαστική στατική ανάλυση είναι η γραφική κατά την οποία η καµπύλη αντοχής του κτιρίου (capacity curve) τοποθετείται στο ίδιο γράφηµα (επιταχύνσεων-µετατοπίσεων) µε το φάσµα σχεδιασµού και το σηµείο τοµής τους προσδιορίζει την στοχευόµενη µετατόπιση. εδοµένου λοιπόν ότι τα φάσµατα θα χρησιµοποιηθούν στα επόµενα κεφάλαια µε την µορφή επιταχύνσεων µετατοπίσεων, κρίνεται σκόπιµο να παρατεθούν εδώ, έτσι ώστε να µπορέσουν να αξιολογηθούν. Από όλα ανεξαιρέτως τα φάσµατα (σχήµατα 72-78) προκύπτει ότι οι καµπύλες που προκύπτουν δεν είναι µονότονες, δηλαδή για µια τεταγµένη (Sd) δεν έχουν µια µόνο τετµηµένη αλλά περισσότερες, γεγονός που δηµιουργεί µια γνωστή από παλαιότερες δηµοσιεύσεις συµπεριφορά κατά την οποία δυο διαφορετικές σεισµικές επιταχύνσεις προκαλούν την ίδια µετατόπιση. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 124

Μέσο Ικανοτικό Φάσµα χωρίς οµαλοποίηση-q Acc (m/sec2) 12 1 8 6 4 2 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 4.1.2.3.4 Disp (m) Σχήµα 72: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q Μέσο ικανοτικό φάσµα χωρίς οµαλοποίηση-ew-q1 14 12 Sa(m/sec2) 1 8 6 4 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 2.1.2.3.4 Disp (m) Σχήµα 73: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση EW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 125

Μέσο Ικανοτικό Φάσµα χωρίς οµαλοποίηση -NS-Q1 12 Acc (m/sec 2 ) 1 8 6 4 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 2.1.2.3.4 Disp (m) Σχήµα 74: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS Μέσο ικανοτικό φάσµα χωρίς οµαλοποίηση-ew-q2 16 14 12 Sa (m/sec2) 1 8 6 4 2 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3.5.1.15.2.25.3 Disp (m) Σχήµα 75: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 126

Μέσο Ικανοτικό Φάσµα χωρίς οµαλοποίηση -NS-Q2 35 3 Acc (m/sec 2 ) 25 2 15 1 5.2.4.6.8 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Disp (m) Σχήµα 76: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS Μέσο ικανοτικό φάσµα χωρίς οµαλοποίηση-q3 9 8 Sa(m/sec2) 7 6 5 4 3 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 2 1.2.4.6.8 Disp (m) Σχήµα 77: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 127

Μέσο ικανοτικό φάσµα χωρίς οµαλοποίηση Q4 16 14 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 2.2.4.6.8 1 Sd (m) Σχήµα 78: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q4 Το φαινόµενο αυτό οφείλεται σε µεγάλο βαθµό στον συνδυασµό των επιµέρους διεγέρσεων έτσι ώστε να προκύψει το µέσο φάσµα. Είναι γνωστό ότι και τα φάσµατα σχεδιασµού των διαφόρων κανονισµών προκύπτουν κατά ανάλογο τρόπο από πληθώρα καταγραφών και ντερµινιστικά ή πιθανοτικά σενάρια τα οποία όµως κατά τον τελικό συνδυασµό οµαλοποιούνται έτσι ώστε να προκύπτουν τα γνωστά σε όλους οµαλά φάσµατα. Για το σκοπό αυτόν, δεν επιδιώχθηκαν διάφορες άλλες τεχνικές οµαλοποίησης, όπως η αύξηση της ισοδύναµης απόσβεσης αντί του υπολογισµού των πλαστιµοτήτων, διότι όλες οι άλλες µέθοδοι ενέχουν έναν σηµαντικό βαθµό παραδοχών που πληρούνται λιγότερο ή περισσότερο ανάλογα µε τα δυναµικά χαρακτηριστικά της κάθε περίπτωσης. Έτσι στα επόµενα σχήµατα (79-85) παρουσιάζονται τα ανωτέρω φάσµατα οµαλοποιηµένα και µεγεθυνµένα στην περιοχή ενδιαφέροντος. Η οµαλοποίηση γίνεται µε την αντιστοίχιση πολυωνυµικής καµπύλης 6 ου βαθµού µε τη βοήθεια τις µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων και µόνο στις ανελαστικές καµπύλες και όχι στην ελαστική (µ=1). Όπως φαίνεται από τα σχήµατα που ακολουθούν µε την προτεινόµενη µέθοδο, η οποία είναι η απλούστερη δυνατή, το αποτέλεσµα είναι φάσµατα που περιγράφονται από µονότονες καµπύλες Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 128

και συνεπώς δεν οδηγούν σε πολλαπλές τιµές τεταγµένων. Φυσικά το γεγονός ότι θα χρησιµοποιηθούν για τον υπολογισµό µετατοπίσεων µε την προτεινόµενη µέθοδο ανελαστικά φάσµατα οµαλοποιηµένα, ενώ τα αποτελέσµατα αναφοράς προέρχονται από µη οµαλοποιηµένη ανελαστική δυναµική ανάλυση, προκαλεί προβληµατισµό για την επιρροή αυτής της επιλογής στην ακρίβεια των αποτελεσµάτων. Ο προβληµατισµός αυτό αναπτύσσεται περαιτέρω στα επόµενα κεφάλαια και γίνεται προσπάθεια όπως θα δειχθεί σε αυτά (εκ των αποτελεσµάτων), εν µέρει δεν είναι βάσιµος. Μέσο Ικανοτικό Φάσµα οµαλοποιηµένο-q Acc (m/sec 2 ) 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4 Disp (m) Elas tic Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 79: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q Μέσο ικανοτικό φάσµα οµαλοποιηµένα-ew-q1 Sa(m/sec2) 14 12 1 8 6 4 Elastic Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) 2.1.2.3.4.5 Disp (m) Σχήµα 8: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση EW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 129

Μέσο Ικανοτικό Φάσµα οµαλοποιηµένο -NS-Q1 12 1 Acc (m/sec 2 ) 8 6 4 Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) 2.1.2.3.4.5 Disp (m) Σχήµα 81: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΝS Μέσο ικανοτικό φάσµα οµαλοποιηµένο-ew-q2 16 14 12 Sa (m/sec2) 1 8 6 4 2 Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3).1.2.3.4.5 Disp (m) Σχήµα 82: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 13

Μέσο Ικανοτικό Φάσµα οµαλοποιηµένο -NS-Q2 35 Acc (m/sec2) 3 25 2 15 1 Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) 5.1.2.3.4.5 Disp (m) Σχήµα 83: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS 9 8 Μέσα ικανοτικά φάσµατα οµαλοποιηµένα Q3 Sa(m/sec2) 7 6 5 4 3 2 Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) 1.2.4.6.8 Disp (m) Σχήµα 84: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 131

Μέσα ικανοτικά φάσµατα οµαλοποιηµένα-q4 16 14 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) 4 2.2.4.6.8 1 Disp (m) Σχήµα 85: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q4 3.5 Υπολογισµός «δυναµικών» καµπυλών αντοχής 3.5.1 Γενικά Με τον όρο «δυναµική» καµπύλη αντοχής ορίζουµε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων που απεικονίζονται σε καρτεσιανό επίπεδο τέµνουσας βάσης µετατόπισης οροφής και αποτελούν ζεύγη µεγεθών (τέµνουσας βάσης- µετατόπισης) που προκύπτουν από τις διαδοχικές καταστάσεις αστοχίας του φορέα σε δεδοµένη αυξανόµενη διαδοχικά διέγερση µε την χρήση δυναµικής ανελαστικής βήµα προς βήµα ανάλυσης. Η «δυναµική» αυτή καµπύλη αντοχής που προκύπτει µε την δυναµική ανάλυση για αυξανόµενη ένταση διέγερσης (Incremental Dynamic Analysis), έχει χρησιµοποιηθεί στο παρελθόν (όπως παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2) για την τεκµηρίωση της ακρίβειας των διαφόρων τύπων στατικής ανελαστικής ανάλυσης. Για να χρησιµοποιηθεί εντούτοις η καµπύλη αυτή ως σηµείο (ή καµπύλη) αναφοράς είναι σκόπιµο να τεκµηριωθεί κατά το δυνατόν θεωρητικά και στη συνέχεια να υπολογιστεί, έτσι ώστε να είναι διαθέσιµη για όλες τις επόµενες αναλύσεις. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 132

3.5.2 Θεωρητικό υπόβαθρο Τα ζεύγη τιµών των µεγεθών απόκρισης (τυπικά λαµβάνονται η τέµνουσα βάσης και η µετατόπιση κορυφής) που προκύπτουν από τις διάφορες δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις µπορούν να προσδιοριστούν µε τους κατωτέρω διαφορετικούς τρόπους: (i) Αντιστοίχιση µεγίστων µεγεθών, δηλαδή για κάθε δυναµική ανάλυση η µέγιστη τέµνουσα βάσης µε την µέγιστη µετατόπιση κορυφής, η οποία συµβολικά θα αναφέρεται ως προσέγγιση (ΜΑΧ-ΜΑΧ), (ii) Αντιστοίχιση της µέγιστης µετατόπισης κορυφής µε την αντιστοιχούσα σε αυτή την χρονική στιγµή (t 1 ) τέµνουσας βάσης, η οποία συµβολικά θα αναφέρεται ως προσέγγιση (maxd) (iii) Αντιστοίχιση της µέγιστης τέµνουσας βάσης µε την αντιστοιχούσα σε αυτή την χρονική στιγµή (t 2 ) µετατόπιση κορυφής, η οποία συµβολικά θα αναφέρεται ως προσέγγιση (maxbs), (iv) Χρήση χρονικού «παραθύρου» αντιστοίχισης για τις δύο τελευταίες περιπτώσεις. Η µέγιστη µετατόπιση κορυφής (maxd) αντιστοιχίζεται µε το µέγιστο µιας τριάδας µεγεθών τέµνουσας βάσης που προκύπτουν από την απόκριση την ίδια χρονική στιγµή (t 1 ) συν ή πλην ένα βήµα χρονοιστορίας ( t) και προκύπτει το παρακάτω ζεύγος τιµών: maxd(t 1 ), maxbs{t 1 - t, t 1, t 1 + t} (1α) Κατά απολύτως ανάλογο τρόπο η µέγιστη τέµνουσα βάσης (maxbs) αντιστοιχίζεται µε το µέγιστο µιας τριάδας µεγεθών µετατόπισης κορυφής που προκύπτουν από την απόκριση την ίδια χρονική στιγµή (t 2 ) συν ή πλην ένα βήµα χρονοϊστορίας ( t) και προκύπτει το παρακάτω ζεύγος τιµών: maxbs(t 2 ), maxd{t 2 - t, t 2, t 2 + t} (1β) Η γραφική επεξήγηση όλων των ανωτέρω περιπτώσεων φαίνεται στο σχήµα 86 στο οποίο θα γίνεται αναφορά κατά την ανάλυση όλων των ανωτέρω επιλογών. Στο σχήµα αυτό φαίνονται η διέγερση a(t) η απόκριση σε όρους µετατοπίσεων u(t) και η απόκριση σε όρους τέµνουσας βάσης V(t). Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 133

t1- t t1 t1+ t t2- t t2 t2+ t a(t) u(t) BS(t) Μέγιστη τιµή Αντιστοιχούσα τιµή "Παράθυρο" αντιστοίχισης Σχήµα 86: Επιλογές αντιστοίχισης µεγεθών για την κατασκευή της «δυναµικής» καµπύλης αντοχής Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 134

Η µέγιστη τιµή σε κάθε χρονοïστορία σηµειώνεται µε κόκκινη βούλα ενώ οι αντίστοιχες τιµές την ίδια χρονική στιγµή σηµειώνονται µε πράσινη βούλα. Το «παράθυρο» αντιστοίχισης, όπως περιγράφεται στις εξισώσεις (1α) και (1β), σηµειώνεται µε διαγράµµιση χρώµατος γκρι. Η πρώτη περίπτωση (i), όπως φαίνεται και από το σχήµα 86 αντιστοιχεί σε µεγέθη απόκρισης που δεν υφίστανται την ίδια χρονική στιγµή (t 1 t 2 ) και συνεπώς δεν ικανοποιούν την εξίσωση της δυναµικής ισορροπίας: [ M ][ u & ( t )] + [ C][ u & ( t )] + [ P( t )] = [ M ][1] u && ( t ) (2) o αλλά, προφανώς, ούτε και την εξίσωση της στατικής ισορροπίας καθότι το σύστηµα βρίσκεται υπό δυναµική διέγερση. Το γεγονός αυτό καθιστά το ζεύγος των µέγιστων αποκρίσεων (MAX-MAX) ως µη αποδεκτή λύση της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει το πρόβληµα και ως τέτοια δεν µπορεί να γίνει δεκτή. Στο αριστερό γράφηµα του σχήµατος 87 φαίνεται, µε χρώµα µπλέ, η καµπύλη που προκύπτει µε βάση αυτή την επιλογή αντιστοίχισης µεγεθών για το στρεπτικώς ευαίσθητο κτίριο ενώ στο δεξιό τµήµα επαναλαµβάνεται το σχήµα 5 που δείχνει τη θεωρητική γραφική λύση για το συγκεκριµένο κτίριο. Από το σχήµα αυτό επιβεβαιώνεται ότι η επιλογή (i) δεν απεικονίζει της καµπύλη συµπεριφοράς του κτιρίου. Μονώροφο Κτίριο Σ.µ. 65 ιεγέρσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις-q2 P-δ καµπύλη µε παράθυρο αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 V 6 V 5 4 3 2 R 2 =.5653 R 2 =.982 y = -12.84Ln(x) + 1796.1 R 2 =.22 max BS maxd max&max Log. (max BS) Log. (maxd) Log. (max&max V=V1+V2(5272) V2(4217.6) Vtors(1813) V-θ curve (στρέψη) καπύλη αντοχής κτιρίου χωρίς στρέψη καµπύλη αντοχής W2 (4.m) καµπύλη αντοχής κτιρίου µε στρέψη 1 V1(154.5) καµπύλη αντοχής W1 (2.m).5.1.15.2.25 Θ Θy δy2 δy1 Σχήµα 87: Ενδεικτικά αποτελέσµατα καµπύλης αντοχής µε τις διάφορες επιλογές για το στρεπτικώς µη δεσµευµένο(σ.µ.) κτίριο και η θεωρητική καµπύλη δ Οι δύο επόµενες περιπτώσεις (ii) και (iii) είναι προφανείς και φαίνονται χαρακτηριστικά στο σχήµα 86, αλλά σε ορισµένες περιπτώσεις δίνουν µεγάλη διασπορά. Από αυτές η περίπτωση της µέγιστης τέµνουσας βάσης (ii) ανταποκρίνεται πάντα στο στρεπτικώς πλήρως δεσµευµένο κτίριο και όπως έχει Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 135

αναφερθεί και σε προηγούµενα κεφάλαια αποτελεί το άνω όριο της καµπύλης αντοχής αλλά δεν την περιγράφει, διότι δεν λαµβάνει υπόψη την αποµείωση της αντοχής λόγω στρέψης. Αντιθέτως η καµπύλη της µέγιστης µετατόπισης (iii) περιγράφει ακριβώς αυτή την καµπύλη και ειδικά στην περίπτωση του στρεπτικώς µη δεσµευµένου κτιρίου που φαίνεται στο σχήµα 87 ταυτίζεται µε τη θεωρητική γραφική λύση. Σε αυτό το σηµείο κρίνεται σκόπιµο να αναφερθεί oτι οι παρατηρήσεις που προαναφέρθηκαν έχουν προκύψει για την περίπτωση χωρικής ανάλυσης µε στρεπτική καταπόνηση και δεν παρατηρούνται και σε επίπεδους φορείς όπου οι τρεις ανωτέρω επιλογές ταυτίζονται. Μια παραλλαγή των επιλογών αυτών είναι η περίπτωση (iv) στην οποία χρησιµοποιείται η έννοια του «παραθύρου» αντιστοίχισης το θεωρητικό υπόβαθρο του οποίου βασίζεται στον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας η οποία επιλύεται µε µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης. Κατά την διαδικασία αυτή η επίλυση της εξίσωσης σε µία χρονική στιγµή (t crit ) δίνει τα µεγέθη απόκρισης τα οποία χρησιµοποιούνται ως σηµείο εκκίνησης για το επόµενο βήµα (t crit+dt ), όπως φαίνεται και στο κατωτέρω απλοποιηµένο διάγραµµα ροής που ακολουθεί: Βήµα t crit εδοµένα Γνωστά από προηγούµενο βήµα t crit-dt τα µεγέθη u& t ), u& ( t ), ( crit dt ctit dt ιαδικασία Οπότε η εξίσωση (2) για το βήµα t crit γράφεται: [ M ][ u& ( t crit dt )] [ C][ u& ( t ctit dt )] [ P( t crit )] [ M ][1] u& + + = o ( t crit ) => Αποτέλεσµα P(t crit), u(t crit ) και u & t ), u& ( t ) Βήµα t ctit+dt εδοµένα ( crit ctit Οµοίως γνωστά από προηγούµενο βήµα t crit τα µεγέθη u & t ), u& ( t ), ιαδικασία Οπότε η εξίσωση (2) για το βήµα t crit+dt γράφεται: ( crit ctit ][ u& ( t )] + [ C][ u& ( t )] + [ P( t )] = [ M ][1] u& ( t ) => [ M crit ctit crit + dt o crit + dt Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 136

Αποτέλεσµα P(t crit+dt ), u(t crit+dt ) και & t ), u( t ) Οµοίως στα επόµενα βήµατα u ( & crit + dt ctit + dt Η επίλυση αυτή λοιπόν βασίζεται στην συσχέτιση της επίλυσης για το ένα βήµα για του προσδιορισµό της απόκρισης στο επόµενο βήµα, δηλαδή ενώ εισάγεται η διέγερση του αυτού βήµατος χρησιµοποιούνται τα αποτελέσµατα των ανωτέρων παραγώγων της µετατόπισης που έχουν προκύψει από το προηγούµενο βήµα και ως εκ τούτου είναι θεωρητικά δυνατό µια µεγάλη επιτάχυνση σε ένα βήµα να δίνει µεγάλη τέµνουσα βάσης στο επόµενο και αντιστρόφως, φαινόµενο που προσπαθεί να συµπεριλάβει η χρήση του «παραθύρου» αντιστοίχισης. 3.5.3 Μέθοδος αναγωγής-κανονικοποίησης διεγέρσεων Για τον υπολογισµό της «δυναµικής» καµπύλης αντοχής ενός κτιρίου, µπορεί να χρησιµοποιηθούν µια διέγερση ή και συνδυασµός περισσοτέρων (όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 4.3 του 2 ου κεφαλαίου). Κατά την εφαρµογή της µεθόδου µε την χρήση µιας διέγερσης, αυτή ανάγεται σε µεγαλύτερες και µικρότερες εντάσεις µε την χρήση µειωτικών και αυξητικών συντελεστών έτσι ώστε να περιγραφεί το σύνολο της καµπύλης αντοχής, δηλαδή µέχρι και να εντοπιστεί ο κατιών κλάδος εάν αυτό είναι εφικτό. Αντιθέτως µε την χρήση πολλαπλών διεγέρσεων η εφαρµογή της παραπάνω διαδικασίας προκαλεί µια αναντιστοιχία µεταξύ των διεγέρσεων σε κάθε βήµα αύξησης της έντασης (δηλαδή σε ένα βήµα όπου ο συντελεστής αναγωγής είναι k=2% υπάρχει πιθανότητα η µια διέγερση να έχει φασµατική ένταση SΙ Α =2 και η άλλη SΙ Β =5), γεγονός που συµβάλλει στην διασπορά των σηµείων που απαρτίζουν την τελική καµπύλη. Εντούτοις όπως έχει δειχθεί από την θεώρηση της βιβλιογραφίας η αξιοπιστία της «δυναµικής» καµπύλης είναι µειωµένη µε την χρήση µιας µόνο διέγερσης έτσι απαιτείται η διερεύνηση του τρόπου αναγωγής και κανονικοποίησης των διεγέρσεων έτσι ώστε να µην προκαλούν µεγάλη διασπορά στα αποτελέσµατα. Προς ενίσχυση της διαπίστωσης αυτής παρατίθενται οι δυναµικές καµπύλες αντοχής µε την χρήση της οµάδας επιταχυνσιογραφηµάτων Q1 χωρίς την διαδικασία κανονικοποίησης τα αποτελέσµατα των οποίων φαίνονται στα σχήµατα 88-95. ηλαδή σε κάθε µια από τις τρεις καταγραφές έχει εισαχθεί συντελεστής αναγωγής Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 137

k=.1-4.) και για κάθε ένα από τα προκύπτοντα επιταχυνσιογραφήµατα έχει γίνει δυναµική ανελαστική ανάλυση, εκ της οποίας προκύπτει ένα σηµείο µε συντεταγµένες (Ρ,δ) ανάλογα µε τους τρόπους αντιστοίχισης που περιγράφηκαν στην προηγούµενη παράγραφο. Εκτός από τα σηµεία που προκύπτουν γίνεται και ο υπολογισµός µιας µέσης καµπύλης αντοχής που αντιστοιχεί σε αυτά µε εξίσωση λογαριθµική ή πολυωνυµική 6 ου βαθµού µε την χρήση της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 R 2 =.714 6 5 V 4 3 R 2 =.4667 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 2 1.2.4.6.8.1.12.14.16 Σχήµα 88: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 138

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 R 2 =.6197 V 5 4 3 2 R 2 =.4756 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12 Θ Σχήµα 89: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 R 2 =.7444 6 V 5 4 3 2 R 2 =.981 max BS maxd Log. (max BS) Power (maxd) 1.5.1.15.2.25 Σχήµα 9: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 139

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 R 2 =.171 V 4 3 2 R 2 =.679 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.5.1.15.2.25 Θ Σχήµα 91: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 R 2 =.6927 V 5 4 3 2 R 2 =.111 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14.16.18 Σχήµα 92: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 14

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 R 2 =.493 6 5 R 2 =.1245 V 4 3 2 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.5.1.15.2 Θ Σχήµα 93: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 R 2 =.661 R 2 =.4129 max BS 4 maxd V 3 2 Log. (max BS) 1 Log. (maxd).5.1.15.2.25.3 Σχήµα 94: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 141

7 6 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY R 2 =.6278 max BS 5 4 R 2 =.3977 maxd V 3 Log. (max BS) 2 1 Log. (maxd).5.1.15.2.25 Θ(rad) Σχήµα 95: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση Από τα αποτελέσµατα αυτών των αναλύσεων, εκ των οποίων αυτά που ενδιαφέρουν είναι οι καµπύλες της µέγιστης µετατόπισης κορυφής µε παράθυρο αντιστοίχισης ως προς την τέµνουσα βάσης (κόκκινες καµπύλες), φαίνεται ότι στην περίπτωση διέγερσης µόνο στην διεύθυνση ΥΥ η διασπορά είναι µεγάλη στο στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, αλλά όχι στο στρεπτικώς δεσµευµένο (Σ.µ ) κτίριο ενώ στην περίπτωση διέγερσης και στις δύο διευθύνσεις (ΧΧ και ΥΥ) η διασπορά είναι µεγάλη και στο στρεπτικώς δεσµευµένο (Σ..) κτίριο. Από τα ανωτέρω γίνεται λοιπόν σαφές ότι πράγµατι απαιτείται µια διαδικασία κανονικοποίησης των αρχικών διεγέρσεων, έτσι ώστε η προκύπτουσα «δυναµική» καµπύλη αντοχής να έχει αποδεκτή διασπορά και να µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον έλεγχο της στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Η διαδικασία κανονικοποίησης στις περιπτώσεις διεγέρσεων µίας διεύθυνσης είναι απλή και γίνεται ως γνωστό µε την χρήση συντελεστών αναγωγής σε κοινή µέγιστη επιτάχυνση, µέγιστη ταχύτητα, ή σεισµική ένταση (Arias ή Housner). Στην περίπτωση διέγερσης σε δύο διευθύνσεις όµως η διαδικασία δεν είναι τόσο απλή διότι είναι ιδιαίτερα σηµαντική η διατήρηση της σχέσης των συνιστωσών της κάθε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 142

διέγερση µεταξύ τους, γεγονός καθιστά µη ικανοποιητική την διαδικασία που προαναφέρθηκε. Για την κανονικοποίηση λοιπόν διεγέρσεων µε δύο συνιστώσες (διαµήκης και εγκάρσια ή NS-EW) εισάγεται η έννοια της συνολικής ενέργειας του σεισµού η οποία εκφράζεται από το άθροισµα των εντάσεων των δύο συνιστωσών, και ως παράµετρος κανονικοποίησης χρησιµοποιείται αυτή η συνολική ενέργεια της διέγερσης. Ως µέγεθος έντασης επιλέχθηκε η ένταση Arias και η διαδικασία αναγωγής µε τους συντελεστές φαίνεται στον πίνακα 8. H ένταση Arias περιγράφεται από το κατωτέρω ολοκλήρωµα ΑΙ= a 2 ( t ) dt (3) t Συντελεστές αναγωγής για µονώροφο κτίριο και διέγερση δυο διευθύνσεων ιέγερση ιεύθυνση Arias I. Συνολική I. I Στόχος. Στόχος/καταγεγραµ µένη TABAS EW 11.21 23.17.65 NS 11.97 Friuli EW 1.9 1.82 2.31 9.71 NS.73 Gazli EW 4.95 9.71 1. NS 4.76 Αλκυονίδες EW.81 1.45 2.58 NS.63 Ιόνιο EW.5 1.86 2.28 1.86 NS 1.35 Καλαµάτα EW.86 1.46 2.57 NS.59 Πίνακας 8: Συντελεστές αναγωγής οµάδων Q1 και Q2 για διέγερση σε δύο διευθύνσεις Η παραπάνω διαδικασία έχει εφαρµοστεί µόνο στις οµάδες Q1 και Q2, αλλά όχι στις Q, Q3 και Q4, οι οποίες εφαρµόστηκαν µόνο σε µια διεύθυνση και ως εκ τούτου ήταν δυνατή η διερεύνηση της επιρροής εφαρµογής διαφορετικών µεθόδων αναγωγής. Πιο συγκεκριµένα για την οµάδα Q επιλέχθηκε η αναγωγή σε µέγιστη επιτάχυνση 4m/sec 2, και όπως θα δειχθεί στην επόµενη παράγραφο έχει µικρή διασπορά, λόγω της συσχέτισης των επιλεγεισών διεγέρσεων. Οι οµάδες πολλών διεγέρσεων (µίας Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 143

διεύθυνσης) Q3 και Q4 ανήχθηκαν σε κοινή φασµατική ένταση Housner. Με τον τρόπο αυτόν οι διάφορες παραµετρικές αναλύσεις έχουν πραγµατοποιηθεί για κάθε οµάδα διεγέρσεων µε διαφορετικό τρόπο αναγωγής της έντασης, έτσι ώστε να διαπιστωθεί τυχόν ευαισθησία των αποτελεσµάτων στον διαφορετικό τρόπο αναγωγής των διεγέρσεων. Σηµειώνεται εδώ ότι δεδοµένων των µικρών ιδιοπεριόδων των µονώροφων κτιρίων και µε βάση παρατηρήσεις προγενεστερων εργασιών (Kappos & Kyriakakis, 2) επιλέχθηκε η αναγωγή των διεγέρσεων της οµάδας Q4 και µε pga ώστε να υπάρξει σύγκριση στην προκύπτουσα διασπορά της δυναµικής απόκρισης. Οι συντελεστές αναγωγής µε βάση την φασµατική ένταση για τις οµάδες Q3 και Q4 φαίνονται στους πίνακες 9 και 1α αντίστοιχα ενώ µε βάση pga της οµάδας Q4 στον πίνακα 1β. Αρ. καταγραφής ιέγερση Ηµερ/νια Ms 1 athens greece 9/11/1999 5.9 2 Coyote Lake USA 3 Morgan Hill USA 4 Morgan Hill USA 5 Morgan Hill USA 6 Morgan Hill USA 7 Managua NICARAGUA 6/8/1979 5.7 24/4/1984 6.2 24/4/1984 6.2 24/4/1984 6.2 24/4/1984 6.2 23/12/1972 6.2 8 Whittier USA 1/1/1987 6. 9 Whittier USA 1/1/1987 6. 1 Whittier USA 1/1/1987 6. Αναγωγή Αρχική ένταση (cm/sec) στόχος 76.18 Πίνακας 9: Συντελεστές αναγωγής SI οµάδας Q3 Συντελ. αναγωγής 56.49 1.35 97.1.79 25.43 3. 148.59.51 69.77 1.9 42.16 1.81 13.4.59 68.12 1.12 46.24 1.65 58.28 1.31 Αρ. καταγραφής ιέγερση Ηµερ/νια Ms 1 Nahani 9/11/1999 6.8 CANADA 2 Gazli USSR 17/5/1976 7.1 Αναγωγή Αρχική ένταση (cm/sec) Συντελ. αναγωγής 575.68.54 221.24 1.4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 144

3 Imperial Valley USA 15/1/197 9 6.9 4 Imperial 15/1/197 6.9 Valley USA 9 5 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2 6 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2 7 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2 8 Northridge USA 9 Northridge USA 1 San Fernando USA 17/1/1994 6.7 17/1/1994 6.7 9/2/1971 6.6 24.85 1.29 177.82 1.75 411.23.76 33.75 1.2 284.63 1.9 396.8.78 386.66.8 372.68.83 στοχος 31.63 Πίνακας 1α: Συντελεστές αναγωγής SI οµάδας Q4 Αρ. καταγραφής ιέγερση Ηµερ/νια Ms Αναγωγή Αρχική pga (g) 1 Nahani 9/11/1999 6.8 1.1 CANADA 2 Gazli USSR 17/5/1976 7.1.57 3 Imperial Valley USA 15/1/197 9 6.9.46 4 Imperial 15/1/197 6.9.44 Valley USA 9 5 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2.84 6 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2.35 7 Kobe JAPAN 17/1/1995 7.2.28 8 Northridge USA 9 Northridge USA 1 San Fernando USA 17/1/1994 6.7.59 17/1/1994 6.7.84 9/2/1971 6.6 1.17 Συντελ. αναγωγής.59 1.13 1.39 1.48.77 1.85 2.33 1.9.76.55 Στοχος.644 Πίνακας 1β: Συντελεστές αναγωγής pga οµάδας Q4 3.5.4 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q Όπως προαναφέρθηκε η οµάδα διεγέρσεων Q αποτελείται από ευρέως χρησιµοποιούµενα επιταχυνσιογραφήµατα ισχυρών σεισµών, και χρησιµοποιήθηκε Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 145

για τον προκαταρκτικό έλεγχο της προτεινοµένης µεθοδολογίας. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής της οµάδας διεγέρσεων Q που θα χρησιµοποιηθούν ως καµπύλες αναφοράς για την προτεινόµενη µέθοδο στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Στα σχήµατα 96-99 παρουσιάζονται οι καµπύλες αυτές για την µέγιστη µετατόπιση και όπως φαίνεται και από τα αποτελέσµατα η διασπορά γύρω από την µέση καµπύλη είναι πολύ µικρή. Σηµειώνεται ότι το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο έχει αντοχή της τάξης των 18ΚΝ, που αντιστοιχεί πλήρως µε την θεωρητική γραφική λύση, ενώ το στρεπτικώς δεσµευµένο, το οποίο φαίνεται να είναι µερικώς δεσµευµένο έχει αντοχή της τάξης των 35ΚΝ. Σηµειώνεται ότι οι καµπύλες αυτές προέρχονται από διέγερση σε µια διεύθυνση, µια και η οµάδα διεγέρσεων Q δεν θα χρησιµοποιηθεί για αναλύσεις µε διέγερση σε δύο διευθύνσεις, όπως οι δύο άλλες οµάδες Q1 και Q2. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 P (Umax)(kN) 5 4 3 2 LP-Treas.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken polynomial 6th 1..1.2.3.4 δ (m) Σχήµα 96: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 146

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY P (Umax)(kN) 6 5 4 3 2 1.E+ 2.E-3 4.E-3 6.E-3 8.E-3 1.E-2 θ (rad) LP-Treas.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Polynomial 6th Σχήµα 97: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ) 7 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 4 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 5 P (Umax)(kN) 4 3 2 LP-Tres.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Polynomial 3rd 1..5.1.15 δ (m) Σχήµα 98: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 147

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 4 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 P (Umax)(kN) 5 4 3 2 LP-Tres.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Polynomial 3rd 1.E+ 5.E-4 1.E-3 θ (rad) Σχήµα 99: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ) 3.5.5 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q1 Η οµάδα διεγέρσεων Q1 αποτελείται από επιταχυνσιογραφήµατα ισχυρών σεισµών που προέκυψαν από την ευρωπαϊκή βάση ισχυρών εδαφικών κινήσεων. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής της οµάδας διεγέρσεων Q1 που θα χρησιµοποιηθούν ως καµπύλες αναφοράς για την προτεινόµενη µέθοδο στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Στα σχήµατα 1-19 παρουσιάζονται οι καµπύλες αυτές για την µέγιστη µετατόπιση (maxd) αλλά και την µέγιστη τέµνουσα βάσης (maxbs) µε χρήση του «παράθυρου» αντιστοίχισης, αφού πρώτα έγινε κανονικοποίηση των διεγέρσεων µε βάση την συνολική ένταση όπως περιγράφηκε στην προηγούµενη παράγραφο, αλλά όπως φαίνεται και από τα αποτελέσµατα η διασπορά γύρω από την µέση καµπύλη παραµένει σηµαντική, γεγονός που πρέπει να οφείλεται στα χαρακτηριστικά της οµάδας διεγέρσεων. Από τις καµπύλες που προέρχονται από διέγερση σε µία διεύθυνση όσο και από αυτές που προέρχονται από διέγερση σε δύο διευθύνσεις σηµειώνεται ότι το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο έχει αντοχή της τάξης των 2ΚΝ, ελαφρώς µεγαλύτερη από την θεωρητική γραφική λύση, ενώ το στρεπτικώς δεσµευµένο, το Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 148

οποίο φαίνεται να είναι µερικώς δεσµευµένο έχει αντοχή της τάξης των 4ΚΝ. Οι τιµές αυτές είναι ελαφρά µικρότερες από τις αντίστοιχες που προκύπτουν µε την χρήση των διεγέρσεων χωρίς κανονικοποίηση. 7 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 R 2 =.4228 5 V 4 3 2 R 2 =.2627 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14.16 Σχήµα 1: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) 7 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 R 2 =.341 5 V 4 3 2 R 2 =.1129 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14 Θ Σχήµα 11: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 149

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 R 2 =.563 max BS maxd V 4 3 2 1 R 2 =.2535 Log. (max BS) Log. (maxd).5.1.15.2.25 Σχήµα 12: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 max BS 6 5 R 2 =.4278 maxd 4 Log. (max BS) V 3 2 R 2 =.2319 Log. (maxd) 1.5.1.15.2.25 Θ Σχήµα 13: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 15

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 max BS V 5 4 3 2 1 maxd Log. (maxd) Log. (max BS).5.1.15.2.25 Σχήµα 14: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) 7 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 max BS 5 4 maxd V 3 Log. (maxd) 2 1 Log. (max BS).5.1.15.2.25 Θ(rad) Σχήµα 15: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 151

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση ΧΧ 7 6 V 5 4 3 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 2 1.5.1.15.2.25.3.35 Σχήµα 16: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) 7 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 max BS V 5 4 3 maxd Log. (max BS) 2 1 Log. (maxd).5.1.15.2.25 Σχήµα 17: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 152

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 V 4 3 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 2 1.2.4.6.8.1.12.14.16.18.2 Θ Σχήµα 18: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση ΧΧ 7 6 5 V 4 3 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 2 1.5.1.15.2.25 Σχήµα 19: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 153

3.5.6 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q2 Η οµάδα διεγέρσεων Q2 αποτελείται από επιταχυνσιογραφήµατα ισχυρών και µεσαίων Ελληνικών σεισµών που προέκυψαν από την Ευρωπαϊκή βάση ισχυρών εδαφικών κινήσεων. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής της οµάδας διεγέρσεων Q2 που θα χρησιµοποιηθούν ως καµπύλες αναφοράς για την προτεινόµενη µέθοδο στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Στα σχήµατα 11-119 παρουσιάζονται οι καµπύλες αυτές για την µέγιστη µετατόπιση (maxd) αλλά και την µέγιστη τέµνουσα βάσης (maxbs) µε χρήση του «παράθυρου» αντιστοίχισης, αφού πρώτα έγινε κανονικοποίηση των διεγέρσεων µε βάση την συνολική ένταση όπως περιγράφηκε σε προηγούµενη παράγραφο, και όπως φαίνεται και από τα αποτελέσµατα η διασπορά γύρω από την µέση καµπύλη είναι µικρή. Από τις καµπύλες που προέρχονται από διέγερση σε µία διεύθυνση όσο και από αυτές που προέρχονται από διέγερση σε δύο διευθύνσεις σηµειώνεται ότι το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο έχει αντοχή της τάξης των 18ΚΝ, πλήρως αντίστοιχη µε την θεωρητική γραφική λύση, ενώ το στρεπτικώς δεσµευµένο, το οποίο από την απόκριση του στην πραγµατικότητα είναι µερικώς µόνο δεσµευµένο έχει αντοχή της τάξης των 45ΚΝ. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 max BS 6 5 maxd 4 Log. (max BS) V 3 2 Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14.16 Σχήµα 11: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής Py- δy µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 154

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 max BS 6 5 maxd 4 Log. (max BS) V 3 2 Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14 Θ Σχήµα 111: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής Py- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ) 7 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 5 V 4 3 2 1 R 2 =.7329 R 2 =.138 max BS maxd Log. (max BS) Power (maxd).5.1.15.2 Σχήµα 112: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 155

7 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 V 5 4 3 R 2 =.6553 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 2 R 2 =.12 1.5.1.15.2 Θ (rad) Σχήµα 113: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ) 7 6 5 4 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 3 2 1 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd).5.1.15.2.25 Σχήµα 114: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 156

7 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 6 5 V 4 3 max BS maxd Log. (maxd) Log. (max BS) 2 1.5.1.15.2.25 Θ (rad) Σχήµα 115: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση ΧΧ 3 25 V 2 15 1 max BS maxd Log. (maxd) Log. (max BS) 5.1.2.3.4.5.6 Σχήµα 116: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 157

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 V 4 3 2 max BS maxd Log. (max BS) Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14.16.18 Σχήµα 117: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 6 5 max BS 4 maxd V 3 Log. (max BS) 2 Log. (maxd) 1.2.4.6.8.1.12.14.16.18 Σχήµα 118: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 158

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση ΧΧ 7 6 V 5 4 3 max BS maxd Log. (max BS) 2 Log. (maxd) 1.5.1.15.2.25.3.35 Σχήµα 119: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) 3.5.7 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q3 Η οµάδα διεγέρσεων Q3 αποτελείται από 1 επιταχυνσιογραφήµατα µεσαίων σεισµών χρησιµοποιούµενων στην διεθνή βιβλιογραφία. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής της οµάδας διεγέρσεων Q3 που θα χρησιµοποιηθούν ως καµπύλες αναφοράς για την προτεινόµενη µέθοδο στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Στα σχήµατα 12-123 παρουσιάζονται οι καµπύλες αυτές για την µέγιστη µετατόπιση (maxd) αλλά και την µέγιστη τέµνουσα βάσης (maxbs) µε χρήση του «παράθυρου» αντιστοίχισης, αφού πρώτα έγινε κανονικοποίηση των διεγέρσεων µε βάση την ένταση κατά Housner όπως περιγράφηκε σε προηγούµενη παράγραφο, και όπως φαίνεται και από τα αποτελέσµατα η διασπορά γύρω από την µέση καµπύλη είναι µικρή για το στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο και σηµαντική για το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο όπου υπάρχει η εικόνα «νέφους». Η διασπορά αυτή, η οποία παρατηρήθηκε στα προηγούµενα παραδείγµατα σε µικρότερο βαθµό ( προφανώς λόγω του µικρότερου αριθµού των διεγέρσεων), εµφανίζεται και στην επόµενη µεγάλη οµάδα διεγέρσεων Q4, και θα σχολιασθεί στα συµπεράσµατα του κεφαλαίου. Από τις καµπύλες, οι οποίες προέρχονται από διέγερση σε µία µόνο διεύθυνση, σηµειώνεται ότι το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο έχει αντοχή της τάξης των Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 159

18kΝ, πλήρως αντίστοιχη µε την θεωρητική γραφική λύση, ενώ το στρεπτικώς δεσµευµένο έχει αντοχή της τάξης των 5kΝ που πλησιάζει την µέγιστη τιµή αντοχής σε τέµνουσα του πλήρως στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου που είναι όπως φάνηκε από την θεωρητική λύση 5272 kn. V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. P-δ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2.25.3 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 12: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q3 V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. P-θ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2 θ 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 121: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 16

V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2.25.3 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Dyn log f it Σχήµα 122: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q3 V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2.25.3 θ 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 123: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 161

3.5.8 υναµική καµπύλη αντοχής οµάδας διεγέρσεων Q4 Η οµάδα διεγέρσεων Q4 αποτελείται από 1 επιταχυνσιογραφήµατα µεγάλων σεισµών χρησιµοποιούµενων στην διεθνή βιβλιογραφία. Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής της οµάδας διεγέρσεων Q4 που θα χρησιµοποιηθούν ως καµπύλες αναφοράς για την προτεινόµενη µέθοδο στατικής ανελαστικής ανάλυσης στα επόµενα κεφάλαια. Στα σχήµατα 124-127 παρουσιάζονται οι καµπύλες αυτές για την µέγιστη µετατόπιση (maxd) αλλά και την µέγιστη τέµνουσα βάσης (maxbs) µε χρήση του «παράθυρου» αντιστοίχισης, αφού πρώτα έγινε κανονικοποίηση των διεγέρσεων µε βάση την ένταση κατά Housner όπως περιγράφηκε σε προηγούµενη παράγραφο, και όπως φαίνεται και από τα αποτελέσµατα η διασπορά είναι µικρή για το στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο και σηµαντική για το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο. Από τις καµπύλες, οι οποίες προέρχονται από διέγερση σε µία µόνο διεύθυνση, σηµειώνεται ότι το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο έχει αντοχή της τάξης των 18kΝ, πλήρως αντίστοιχη µε την θεωρητική γραφική λύση, ενώ το στρεπτικώς δεσµευµένο έχει αντοχή της τάξης των 5kΝ που πλησιάζει την µέγιστη τιµή αντοχής σε τέµνουσα του στρεπτικά δεσµευµένου που είναι όπως φάνηκε από την θεωρητική λύση 5272 kn. V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. P-δ ιεύθυνση yy - Q4.5.1.15.2.25.3-1 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 124: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 162

V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. P-θ ιεύθυνση yy - Q4.2.4.6.8.1.12.14 θ 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 125: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4 V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4.5.1.15.2.25.3 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Dyn Log fit Σχήµα 126: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 163

V 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q4.2.4.6.8.1.12.14 θ 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 1storey_1-BS 1storey_2-BS 1storey_3-BS 1storey_4-BS 1storey_5-BS 1storey_6_BS 1storey_7_BS 1storey_8-BS 1storey_9-BS 1storey_1-BS Σχήµα 127: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4 3.5.9 Σχόλια περί των δυναµικών καµπυλών αντοχής Στις προηγούµενες παραγράφους τεκµηριώθηκε επαρκώς το θεωρητικό υπόβαθρο και η µεθοδολογία υπολογισµού των «δυναµικών» καµπυλών αντοχής µε την χρήση των ζευγών τιµών µε την µέγιστη µετατόπιση και την αντιστοιχούσα σε αυτή (ή στο «παράθυρο» της) τέµνουσα βάσης, από κάθε διέγερση. Οι µέχρι σήµερα εργασίες που παρουσίαζαν δυναµικές καµπύλες αντοχής (IDA) αναφέρονταν στην µεγάλη τους πλειονότητα σε επίπεδα συστήµατα, στα οποία οι τρεις δυνατές επιλογές ζευγών τέµνουσας βάσης και µετατόπισης ταυτίζονται. Εντούτοις στην περίπτωση της χωρικής δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, όπως αναδείχθηκε και από την θεωρητική επίλυση του µονώροφου, οι τρεις δυνατοί συνδυασµοί των µεγεθών αυτών οδηγούν σε τρεις διαφορετικές καµπύλες, εκ των οποίων µόνο αυτή της µέγιστης µετατόπισης µε την αντίστοιχη (την ίδια χρονική στιγµή t±dt ) τέµνουσα βάσης απεικονίζει την καµπύλη αντοχής του κτιρίου. Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της διασποράς των αποκρίσεων της δυναµικής ανάλυσης κατά την αύξηση της έντασης διερευνήθηκε τόσο η επιρροή του τρόπου κανονικοποίησης, όσο και του αριθµού των διεγέρσεων κάθε οµάδας. Επιλέγοντας διαφορετικούς τρόπους κανονικοποίησης για τις οµάδες Q Q4 ( pga, Arias, Housner) αλλά και αυξάνοντας τον αριθµό των διεγέρσεων (από 3 σε 1) δεν Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 164

κατέστη δυνατή η µείωση της διασποράς η οποία για την περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου έχει την εικόνα νέφους. Ειδικά για την περίπτωση της οµάδας Q4, δεδοµένης της χαµηλής ιδιοπεριόδου των µονώροφων φορέων, έγινε αναγωγή και βάσει pga. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι αποκρίσεις αυτές για συγκεκριµένη στάθµη έντασης µετατόπιση και στροφή κορυφής - όπου φαίνεται ότι η διασπορά στην υπολογοζόµενη απόκριση του Σ.. φορέα µειώνεται στην περίπτωση αναγωγής βάσει pga (γίνεται παρόµοια εκείνης της πιο οµοιογενούς οµάδας Q3) αλλά η µείωση της διασποράς είναι σχεδόν αµελητέα στην περίπτωση του Σ.µ. φορέα. Στρεπτικά εσµευµένο (Σ. ) Μέση Q3 set [cm] [rad] c.o.v. uy [cm] 1.34 32.54% Θz [rad] 4.9E-4 33.61% Q4 set Μέση c.o.v. uy [cm] 1.79263 5.11% Θz [rad] 9.2E-4 6.96% Q4 set pga Μέση c.o.v. uy [cm] 2.25535 37.92% Θz [rad] 1.11E-3 43.88% Στρεπτικά µη εσµευµένο (Σ.µ ) Μέση Q3 set [cm] [rad] c.o.v. uy [cm] 1.463 21% Θz [rad].1 23% Q4 set Μέση c.o.v. uy [cm] 5.834 66% Θz [rad].5 73% Q4 set pga Μέση c.o.v. uy [cm] 5.837 64% Θz [rad].5 69% Πίνακας 11: Ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις µονώροφου Από τα παραπάνω φαίνεται σαφώς το µεγάλο πρόβληµα που παρουσιάζουν τα στρεπτικώς µη δεσµευµένα (εύστρεπτα) κτίρια, η απόκριση των οποίων φαίνεται να έχει πολύ µεγάλη διασπορά γύρω από την µέση θεωρητική λύση, και σε µεγάλο βαθµό τεκµηριώνει την προσπάθεια όλων των κανονισµών για αποφυγή τέτοιων κτιρίων. Στα σχήµατα 128-131 φαίνονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσµατα από τις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2, για το στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, µε διέγερση σε δύο διευθύνσεις, από τα οποία φαίνεται σαφώς η πολύ µικρότερη διασπορά που υπάρχει Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 165

στην οµάδα Q2, καθώς και ότι η Q1 δίνει µέση τέµνουσα αντοχής µεγαλύτερη από αυτή της Q2 αλλά και της θεωρητικής λύσης. Φυσικά από την αντίστοιχη σύγκριση των Q3 και Q4 επιβεβαιώνεται ότι οι όποιες διαφορές στην τέµνουσα βάσης ως προς την θεωρητική λύση οφείλονται στην διασπορά των διαφόρων αποκρίσεων. 7 Χωρικό µονώροφο Σ.µ. Κτίριο- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-δ ιεύθυνση yy - Q1&Q2 V (kn) 6 5 4 3 2 1 R 2 =.2235 R 2 =.3863 max BS-q2 maxd-q2 max BS-q1 maxd-q1 Log. (maxd-q1) Poly. (maxd-q2).5.1.15.2.25 (m) Σχήµα 128: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδες διεγέρσεων Q1&Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) 7 Χωρικό µονώροφο Σ.µ. Κτίριο- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις P-θ ιεύθυνση yy - Q1&Q2 6 V (kn) 5 4 3 2 1 R 2 =.283 R 2 =.1 max BS-q2 maxd-q2 max BS-q1 maxd-q1 Log. (maxd-q1) Log. (maxd-q2).5.1.15.2.25 θ (rad) Σχήµα 129: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδες διεγέρσεων Q1&Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 166

Χωρικό µονώροφο κτίριο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3&Q4 7 6 V (kn) 5 4 3 R 2 =.3971 Q4-All Q3-All Log. (Q4-All) Log. (Q3-All) 2 1 R 2 =.162.1.2.3.4 (m) Σχήµα 13: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ µε οµάδες διεγέρσεων Q3 & Q4 (κατά ΥΥ) Χωρικό µονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3 & Q4 7 6 5 V (kn) 4 3 R 2 =.3452 Q4-All Q3-All 2 Poly. (Q4-All) 1 R 2 =.1275 Poly. (Q3-All).5.1.15.2.25.3 θ (rad) Σχήµα 131: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδες διεγέρσεων Q3 & Q4 (κατά ΥΥ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 167

3.6 Συµπεράσµατα σχόλια Στο κεφάλαιο 3 έγινε µια παρουσίαση όλων των θεµάτων της δυναµικής ανελαστικής βήµα προς βήµα ανάλυσης που αντιµετωπίστηκαν κατά την διάρκεια της ανάπτυξης κατάλληλου υποβάθρου σύγκρισης της προτεινοµένης µεθοδολογίας µε την ακριβέστερη λύση που θεωρητικά, και πρακτικά όταν εφαρµόζεται σωστά, δίνει η δυναµική ανελαστική ανάλυση. Τα κύρια θέµατα που αντιµετωπίστηκαν είναι η επιλογή των επιταχυνσιογραφηµάτων, ο υπολογισµός των ανελαστικών φασµάτων, ο τρόπος χάραξης της δυναµικής καµπύλης αντοχής ενός κτιρίου χρησιµοποιώντας διάφορες επιλογές χρονικής αντιστοίχισης µεγεθών απόκρισης, ο τρόπος κανονικοποίησης και αναγωγής σε κοινή ένταση των διεγέρσεων µε δυο συνιστώσες και η σύγκριση προσοµοιωµάτων µε χρήση κατανεµηµένης ανελαστικότητας στα δοµικά στοιχεία (fiber model) ή µε την χρήση σηµειακής ανελαστικότητας (point hinge model). Επιλέχθηκαν πέντε οµάδες διεγέρσεων (Q, Q1, Q2, Q3 και Q4) µε διαφορετικά κριτήρια η κάθε µια. Τα ανελαστικά φάσµατα αυτών υπολογίστηκαν µε απευθείας ολοκλήρωση των επιταχυνσιογραφηµάτων και όχι µε τις διάφορες προσεγγιστικές µεθόδους που διατίθενται στην βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αποφευχθεί η εισαγωγή ενός επιπλέον παράγοντα αβεβαιότητας. ιαµορφώθηκαν επίσης 2 µονώροφα µονοσυµµετρικά κτίρια µε τοιχώµατα, ένα στρεπτικώς µη δεσµευµένο (Σ.µ.) και ένα στρεπτικώς δεσµευµένο (Σ..), τα οποία υποβλήθηκαν σε σειρά δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων υπό τα ανηγµένα σε διάφορες εντάσεις επιλεχθέντα επιταχυνσιογραφήµατα. Το αριθµητικό προσοµοίωµα που επιλέχθηκε για τις πρώτες οµάδες διεγέρσεων Q1, Q2 και Q3 ήταν αυτό των σηµειακών πλαστικών αρθρώσεων (Point hinge model) το οποίο προηγουµένως τεκµηριώθηκε ως προς την µέθοδο της κατανεµηµένης πλαστικότητας και τον χωρισµό της διατοµής σε ίνες (fiber model), µε συγκριτικά παραδείγµατα. Αντιθέτως για τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 επιλέχθηκε προσοµοίωµα µε κατανεµηµένη ανελαστικότητα. Πραγµατοποιήθηκαν συνολικά για την περίπτωση του µονώροφου φορέα και παρουσιάστηκαν στο παρόν κεφάλαιο 225 δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις όπως φαίνεται και στον πίνακα 12. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 168

Α/Α ιέγερση Σ Σµ Πρόγραµµα Q-1D yy 65 65 SAP2 Q1-1D yy 65 65 SAP2 Q1-2D yy & xx 65 65 SAP2 Q2-1D yy 65 65 SAP2 Q2-2D yy & xx 65 65 SAP2 Q3-1D yy 4 4 ZEUS NL Q4-1D yy 4 4 ZEUS NL Μερικό Άθροισµα 1125 1125 Γενικό Άθροισµα 225 Πίνακας 12: Ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις µονώροφου κτιρίου Από την επεξεργασία των αποτελεσµάτων των αναλύσεων προέκυψαν οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής, το βασικό πρόβληµα των οποίων είναι η αρκετά σηµαντική διασπορά που έχουν στην περίπτωση των στρεπτικώς µη δεσµευµένων κτιρίων. εδοµένης της πληθώρας των επιλεγεισών διεγέρσεων και των διαφορετικών µεθόδων αναγωγής τους σε κοινή ένταση είναι προφανές ότι το παράδειγµα του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου (πλήρως µη δεσµευµένο), το οποίο αποτελεί το ένα ακρότατο όριο (το άλλο είναι το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο) δείχνει ότι ακόµη και η ανελαστική δυναµική ανάλυση δίνει αποτελέσµατα µε πολύ µεγάλη διασπορά οδηγώντας τον προσδιορισµό µιας χαρακτηριστικής τιµής µε υψηλό βαθµό στατιστικής αξιοπιστίας να απέχει πολύ από την µέση τιµή. Εξετάζοντας το θέµα µε ποιοτικά κριτήρια βασική αιτία είναι ότι το Σ.µ. κτίριο είναι ως προς την στροφή γύρω από τον zz ισοστατικό σύστηµα. Έτσι µε τη διαρροή του ενός εκ των δύο περιµετρικών τοιχωµάτων η στρεπτική δυσκαµψία του κτιρίου γίνεται πρακτικά µηδενική -στρεπτική άρθρωση κατά την έννοια του zz γύρω από το τοίχωµα που δεν έχει διαρρεύσει- προκαλώντας την απόκριση του φορέα σε αναλογία µε την µορφή της διέγερσης. Το φαινόµενο αυτό φυσικά περιορίζεται, θεωρητικώς και πρακτικώς όταν εισαχθεί η δυστρεψία το κάθε επιµέρους δοµικού στοιχείου µε την πραγµατική της τιµή (όπως ορίζεται στους κανονισµούς) Θα ήταν εποµένως κρίσιµο να καθοριστούν ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια για τα όρια µέχρι τα οποία θα πρέπει τα νέα κτίρια να είναι στρεπτικά µη δεσµευµένα και για τα οποία ισχύουν οι µέθοδοι ανάλυσης. Τα κριτήρια αυτά δεν θα πρέπει να εξετάζουν τα ελαστικά χαρακτηριστικά όπως Κ yy, K θ, Ω κλπ, αλλά να διασφαλίζουν την στρεπτική υπερστατικότητα ενός κτιρίου µε την ύπαρξη πλαισίων ή επαρκών τοιχωµάτων στην περίµετρο. Επίσης θα µπορούσε να προβλεφθεί σαφέστερη Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 169

διαδικασία ικανοτικού σχεδιασµού έναντι στρέψης, δηλαδή σε επίπεδο κτιρίου να διασφαλίζεται η αστοχία των στοιχείων της περιµέτρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να µην διαταράσσεται η στρεπτική συµπεριφορά του φορέα όπως προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση. Φυσικά η προσθήκη όλο και περισσότερων καταναγκασµών για τον σχεδιασµό νέων κτιρίων θα πρέπει να γίνεται µε φειδώ δεδοµένου ότι συχνά οδηγούν σε παράλογα αποτελέσµατα, διότι προσπαθούν να αντικαταστήσουν την στατική αντίληψη που πρέπει να έχει για κάθε συγκεκριµένο κτίριο ο µηχανικός µε γενικού τύπου συνταγές για προγράµµατα ανάλυσης και διαστασιολόγησης. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 3 Συµβολή στην αντιµετώπιση ανοιχτών θεµάτων δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΠΡΟΤΕΙΝOΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΕ ΜΟΝΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ 4.1 Γενικά 172 4.2 Προτεινόµενη µέθοδος 172 4.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο 172 4.2.2 ιαδικασία υπολογισµού 176 4.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου 18 4.3 Συσχέτιση της προτεινοµένης µε άλλες προσεγγίσεις στη στατική ανελαστική ανάλυση 182 4.3.1 Μέθοδος ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης 182 4.3.2 Συµβατική στατική ανελαστική ανάλυση 183 4.4 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων συστηµάτων 184 4.4.1 Στατικό προσοµοίωµα 184 4.4.2 ιέγερση σε µία διεύθυνση 187 4.4.3 ιέγερση σε δύο διευθύνσεις 24 4.4.4 Σχόλια επί των καµπυλών αντοχής 21 4.5 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 214 4.5.1 Γενικά 214 4.5.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q 214 4.5.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 224 4.5.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 231 4.5.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 238 4.5.6 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 243 4.5.7 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης 248 4.6 Συµπεράσµατα και σχόλια 252 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια

4.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρητική ανάπτυξη της προτεινοµένης µεθόδου στατικής ανελαστικής ανάλυσης, ως προς το διάνυσµα φόρτισης και ως προς τον ορισµό του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή λαµβανοµένης υπόψη και της στρεπτικής συνιστώσας. Επίσης παρουσιάζεται η τροποποίηση της µεθόδου που έχει αναπτυχθεί από τους Chopra & Goel και η οποία παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2, για εφαρµογή σε χωρικούς φορείς λαµβανοµένης υπόψη της στρέψης. Η προτεινόµενη µέθοδος, όπως και η τροποποιηµένη µέθοδος των Chopra & Coel, συγκρίνονται µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση χρησιµοποιώντας τις «δυναµικές» καµπύλες αντοχής που υπολογίσθηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο αλλά και µε άλλες απλές µεθόδους στατικής ανελαστικής ανάλυσης, αξιολογώντας την ακρίβεια της καµπύλης αντοχής που υπολογίζεται. Η προτεινόµενη µέθοδος αξιολογείται επίσης ως προς την αξιοπιστία του ισοδύναµου µονοβαθµίου ταλαντωτή συγκρίνοντας την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή που προσδιορίζεται από την προτεινόµενη µέθοδο µε την δυναµική απόκριση για οµάδα διεγέρσεων συγκεκριµένης έντασης. 4.2 Προτεινόµενη µέθοδος 4.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο Έστω ένα µονώροφο µονοσυµµετρικό (δηλ. συµµετρικό ως προς δυσκαµψία ως προς έναν άξονα, τον άξονα x-x στην περίπτωση του σχήµατος 1) κτίριο. Το κέντρο µάζας σηµειώνεται ως CM και το κέντρο δυσκαµψίας ελαστικό κέντρο ως CR (Σχ.1). Οι εξισώσεις που περιγράφουν την ελαστική εξαναγκασµένη ταλάντωση του συστήµατος µε διέγερση κατά την διεύθυνση y-y αγνοώντας την απόσβεση είναι (Chopra A.K. 21 2 nd Edition) : k yi + z ( t) k yiα xi = m u& ( t) + u ( t) θ mu& ( t) (1α) y y i i 2 mr & 2 2 θ z ( t) + u y ( t) α xik y1 + θ z ( t) kti + α yik xi + α xik yi = (1β) i i i i όπου m : η ταλαντούµενη µάζα oy Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 172

r: η ακτίνα αδρανείας του ορόφου r = /m J m : k xi, k yi : k ti : α xi, α yi : u y (t), θ z (t) : Η µαζική ροπή αδράνειας του ορόφου µεταφορική δυσκαµψία µεµονωµένων δοµικών στοιχείων κατά τη διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα στρεπτική δυσκαµψία (δυστρεψία) µεµονωµένων δοµικών στοιχείων κατά τη διεύθυνση z-z απόσταση µεµονωµένων στοιχείων αντίστασης από το κέντρο µάζας CM κατά την διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα σχετική ως προς το έδαφος µετατόπιση και στροφή του κέντρου µάζας CM ως συνάρτηση του χρόνου u& oy (t ) : η διεγείρουσα επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου u& y ( t ), & θ ( t ): η δεύτερη παράγωγος των u y (t) και θ z (t) ως προς το χρόνο z (µεταφορική και στροφική επιτάχυνση) J m W3 Mt=Vy*e Vy W1 W2 CM CR W3 θz uy Mt=Vy*e Vy W1 W2 W3 CM CR θz uy Σχήµα 1: Μονώροφα κτίρια, στρεπτικά δεσµευµένο (άνω), στρεπτικά µη δεσµευµένο (κάτω) Για να προσεγγισθεί η ανελαστική δυναµική ταλάντωση του συστήµατος µε ένα ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή, κατ αναλογία µε την περίπτωση του δισδιάστατου ταλαντωτή που περιγράφηκε στο κεφάλαιο 2, γίνεται η παρακάτω παραδοχή: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 173

u y φ yo = u θ z φ zo y (t) ή {u}={φ ο } u y (t ) (2) και V y M t ψ = ψ Po Mo p (t ) ή {p}={ψ ο } p (t ) (3) όπου V y, M t : η τέµνουσα και η ροπή στρέψης ορόφου στο κέντρο µάζας CM u y (t ), p (t ) : βοηθητικές συναρτήσεις µετατόπισης και έντασης ως προς το χρόνο, αντιστοίχως Συνεπώς γίνεται η παραδοχή ότι οι µετατοπίσεις (u y, θ z ), καθώς και οι δυνάµεις ορόφου, εκφράζονται ως συνάρτηση του χρόνου χρησιµοποιώντας τα προεπιλεγµένα διανύσµατα φ ο (κανονικοποιηµένες φασµατικές ιδιοµορφικές µετατοπίσεις u y,ext, θ y,ext ) και ψ o (κανονικοποιηµένα φασµατικά ιδιοµορφικά φορτία V ext,, M ext ) και αντίστοιχες βοηθητικές συναρτήσεις ( u y (t ), p (t ) ) οι οποίες θα απαλειφθούν στο πέρας της διαδικασίας, δεν απαιτείται συνεπώς περαιτέρω προσδιορισµός τους. Στις εξισώσεις (1α) και (1β) ο όρος u yi ( t) i k yi + θ ( t) z i K yi α xi εκφράζει τη γενικευµένη οριζόντια δύναµη επαναφοράς, ψ po p (t ), ενώ ο όρος y 2 2 axik y1 + z ( t) kti + a yik xi + axik yi u ( t) θ i i i i εκφράζει τη γενικευµένη στρεπτική ροπή επαναφοράς, ψ p (t ). Στους προηγούµενους ορισµούς οι όροι που εκφράζουν την δύναµη και την ροπή επαναφοράς του ελαστικού πολυβαθµίου συστήµατος (2 βαθµοί ελευθερίας για τα κτίρια του Σχ. 1) έχουν αντικατασταθεί από τις δυνάµεις που υπολογίζονται για τον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή. Βάσει όλων αυτών, οι εξισώσεις (1α) και (1β) παίρνουν την κατωτέρω µορφή: mφ u& ( t ) +ψ p ( t ) = mu& ( t ) (4α) yo y po oy Mo 2 mr φ u& ( t ) + ψ p( t ) = (4β) zo y Mo Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 174

Πολλαπλασιάζοντας τις (4α, 4β) µε φ yo και φ zo αντίστοιχα, και αθροίζοντας τις, προκύπτει η εξίσωση: 2 2 2 ( mφ mr φ ) u& ( t ) + ( ψ φ + ψ φ ) p ( t ) = mφ u& ( t ) yo + (5α) zo y po yo Mo zo yo oy ή, σε µητρωϊκή µορφή, Τ Τ Τ { φ } { Μ}{ φ } u& ( t ) + { φ } { ψ } p ( t ) = { φ } { Μ}{ δ} u& ( t ) ο ο y ο ο ο oy (5β) όπου m 1 { M } = 2 και {δ} = mr Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τέµνουσα ορόφου µπορεί να ορισθεί ως: V y (t) = ψ po p (t ) τότε p (t ) = V y (t)/ψ po και η εξίσωση (5a) µπορεί να µετασχηµατισθεί σε: ( ψ φ + ψ φ ) + zo y y yo oy (6α) ψ 2 2 2 po yo Mo zo ( mφ mr φ ) u& ( t) + V ( t) = mφ u& ( t) yo po ή, σε µητρωïκή µορφή, Τ Τ { φο} { ψ ο} Τ { φ } { }{ φ } u& y ( t ) Vy ( t ) { φ } { }{ δ} u& ο Μ ο + = ο Μ oy ( t ) ψ po (6β) Στη συνέχεια, εισάγονται οι παρακάτω συµβολισµοί m * ={φ} Τ {Μ}{δ} = mφ yo (7α) u * y(t)=c 1 u y (t ) (7β) V * y(t) = c 2 V y (t) (7γ) Όπου c 1 = Τ 2 2 { φ φ mφyo mr φ ο} { Μ}{ ο} + = * m mφ yo 2 zo (8α) Τ { φ} { ψ φyoψ po + φzoψ ο } Mo c2 = = (8β) ψ ψ po po Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 175

m *, u * y(t), V * y : η µάζα, µετατόπιση και τέµνουσα του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή Εισάγοντας τους συµβολισµούς αυτούς στην εξίσωση (6β) προκύπτει: * m u& * y * * ( t ) + V ( t ) = m u& ( t ) (9) y oy Η εξίσωση (9) περιγράφει την ανελαστική απόκριση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, ενώ οι εξισώσεις (7) και (8) την σχέση µεταξύ του µονώροφου τρισδιάστατου κτιρίου (προσοµοιωµένου ως πολυβαθµίου ταλαντωτή) µε τον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή. Η παραδοχή που έχει γίνει κατά την ανάπτυξη της µεθόδου είναι ότι οι ελαστικές ιδιοµορφές παραµένουν αναλλοίωτες κατά την εξέλιξη του φαινοµένου. Φυσικά αυτό µπορεί να τροποποιηθεί, εφόσον κριθεί αναγκαίο, µε τον «διαχωρισµό» της κάθε διέγερσης σε επιµέρους τµήµατα στα οποία κατά την διάρκεια της ανάλυσης προκύπτει σηµαντική µεταβολή της δυσκαµψίας και κατά συνέπεια και των ιδιοπεριόδων, και να υπολογιστούν οι συντελεστές c 1 και c 2 από τις σχέσεις (8α) και (8β) για τα διάφορα τµήµατα της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου ταλαντωτή. Η διαδικασία αυτή είναι στην ουσία η φιλοσοφία της adaptive pushover η οποία παρουσιάστηκε στο 2 ο κεφάλαιο. Η εφαρµογή της όµως παρουσιάζει µεγάλες δυσκολίες στην περίπτωση χωρικών ευστρεπτων συστηµάτων, καθώς υπάρχουν προβλήµατα ευστάθειας λόγω της µηδενικής ή αρνητικής δυσκαµψίας που προκύπτει στον οριζόντιο ή κατιόντα κλάδο της καµπύλης αντίστασης. Επίσης κρίνεται σηµαντικό να επαναληφθεί ότι στην βασική σχέση περιγραφής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή έχει εισαχθεί, εκτός της µεταφορικής, και η στρεπτική συνιστώσα προσφέροντας έτσι την δυνατότητα κατά τον υπολογισµό της καµπύλης διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή να λαµβάνεται υπόψη και η επιρροή της στρέψης 4.2.2 ιαδικασία υπολογισµού Η προτεινόµενη µεθοδολογία, όπως θεωρητικώς αναπτύχθηκε ανωτέρω, µπορεί να εφαρµοστεί ακολουθώντας τα κατωτέρω βήµατα 1. Επιλέγονται τα επιταχυνσιογραφήµατα που θα χρησιµοποιηθούν ως διέγερση για την ανελαστική ανάλυση. Τα κριτήρια επιλογής, όπως ορίζονται στον EC8 (23) είναι: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 176

(α) Απαιτείται ένας ελάχιστος αριθµός από 3 επιταχυνσιογραφήµατα, (β) Η µέση φασµατική επιτάχυνση των επιλεχθέντων επιταχυνσιογραφηµάτων για µηδενική ιδιοπερίοδο δεν θα πρέπει να είναι µικρότερη από την επιτάχυνση σχεδιασµού για την υπό εξέταση τοποθεσία, γ) Το µέσο ελαστικό φάσµα, µε 5% απόσβεση, των επιλεχθέντων επιταχυνσιογραφηµάτων δεν θα πρέπει να έχει τιµές µικρότερες από το 9% του αντίστοιχου ελαστικού φάσµατος σχεδιασµού στο διάστηµα από.2τ έως και 2Τ, όπου Τ η ιδιοπερίοδος του κτιρίου. δ) Τα επιλεχθέντα επιταχυνσιογραφήµατα πρέπει να αναχθούν σε µέγιστη σεισµική επιτάχυνση (pga) ίση µε την επιτάχυνση σχεδιασµού για την υπό εξέταση τοποθεσία είτε χρησιµοποιώντας την pga ή µεγέθη φασµατικής έντασης (Housner) 2. Υπολογίζεται το µέσο ελαστικό φάσµα (ψευδο)επιταχύνσεων των επιλεγµένων και κανονικοποιηµένων διεγέρσεων, και διενεργείται δυναµική φασµατική ελαστική ανάλυση από την οποία υπολογίζονται: (α) η µετατόπιση και στροφή (u y ext, θ z ext ) στο κέντρο µάζας CM, µε βάση την εξίσωση u y ext ( u yi ) = θ z ext ( θ zi ) 2 2 (1α) και u yi = Γ i{φ i} S θ zi di (1β) όπου S di η φασµατική µετακίνηση S di =S ai /ω 2 i, και Γ i το ποσοστό συµµετοχής της ιδιοµορφής i { φι }{ Μ}{ δ} Γ i = T { φ } { M}{ φ } i ι {δ} µητρώο χωρικής κατανοµής της διέγερσης Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 177

Φυσικά τα µεγέθη u y ext και θ z ext είναι φασµατικά µεγέθη (απόλυτες τιµές) που µπορούν δηµιουργούν στην περίπτωση του µονώροφου 4 ζεύγη τιµών. Εξ αυτών λόγω της συµµετρίας τα δυο ταυτίζονται (+u y ext, -u y ext ) και τα άλλα δύο δεν αντιστοιχούν σε πραγµατική εντατική κατάσταση (π.χ. για µετακίνηση +u y η στροφή είναι θ z ). Σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις (πολυώροφα) η επιλογή του ζεύγους τιµών που αντιστοιχεί σε πραγµατική εντατική κατάσταση (στατική) µπορεί να γίνει µε την χρήση βοηθητικής ισοδύναµης στατικής ανάλυσης (µε τριγωνική ή οµοιόµορφη κατανοµή). (β) η φασµατική τέµνουσα και ροπή στρέψης ορόφου (V ext, M ext ) υπολογίζονται µε βάση την εξίσωση {S} = Γi {φ i} S ai (11) όπου V {S}= M ext ext Αξίζει να σηµειωθεί εδώ ότι η επιλογή των φασµατικών φορτίων και ο συνδυασµός τους µε τις φασµατικές µετακινήσεις δεν πληρούν επακριβώς την εξίσωση (1) και χρήση τους αποτελεί µια επιπλέον παραδοχή. 3. Οι συντελεστές αναγωγής του πολυβαθµίου συστήµατος σε ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή (σύµφωνα µε την παραδοχή που έγινε κατά την ανάπτυξη της µεθόδου) είναι: u y = θ θ z και z ext Vy = M M t 1 u 1 ext y ext V ext u y ( t) p( t) δηλ. (από εξισώσεις 2 και 3) φ 1 yo = θ z ext φ zo u και y ext (12) (13) (14) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 178

ψ ψ po Mo = M 1 ext V ext (15) Έτσι οι συντελεστές c 1 και c 2 υπολογίζονται χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις (8 α και 8β) c 1 = mφ 2 yo 2 + mr φ mφ yo 2 zo = m 1 2 + mr 2 ( θ m 1 z ext / u y ext ) 2 (16α) c 2 φ yoψ = po + φ ψ ψ po zo Mo 1 1+ ( θ = z ext / u y ext 1 ) ( M ext / V ext ) (16β) 4. Η 3D στατική ανελαστική ανάλυση του κτιρίου εκτελείται µε διάνυσµα φόρτισης αναλογικά αυξανόµενο ως προς το υπολογισµένο από την ελαστική φασµατική ανάλυση (V ext, M ext ) - διαδοχικά αυξανόµενη φόρτιση όπου κρατιέται σταθερός (και ίσος προς V ext /M ext ) ο λόγος V/M) - στο κέντρο µάζας CM. Υπολογίζεται η καµπύλη V-δ του πολυβαθµίου συστήµατος και, χρησιµοποιώντας τους συντελεστές c 1 και c 2 (εξισώσεις 16α και 16β) µετατρέπεται στην καµπύλη («φάσµα») αντοχής του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος V * /m * =c 2 V/m * και u * = c 1 u (17) 5. Υπολογίζεται το µέσο ανελαστικό φάσµα επιταχύνσεων-µετατοπίσεων των επιλεγεισών κανονικοποιηµένων διεγέρσεων, από το οποίο κατασκευάζεται το φάσµα απαίτησης για διάφορα επίπεδα πλαστιµότητας (µ), είτε µε απευθείας µεθόδους ολοκλήρωσης χρησιµοποιώντας κατάλληλο λογισµικό, είτε χρησιµοποιώντας απλοποιητικές µεθόδους που παρουσιάστηκαν και στην επισκόπηση της βιβλιογραφίας (Newmark & Hall, Miranda, Vidic Fajfar & Fischinger, Krawinkler & Nassar κ.α.) 6. Από την τοµή της καµπύλης (φάσµατος) αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή µε κατάλληλης πλαστιµότητας φάσµα απαίτησης υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση (u * targ) του ισοδύναµου µονοβαθµίου συστήµατος. 7. Η στοχευόµενη µετατόπιση της οροφής του πολυβάθµιου συστήµατος υπολογίζεται χρησιµοποιώντας το συντελεστή c 1 : u targ = u * targ/c 1 (18) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 179

ενώ η στοχευόµενη στροφή (θ targ ) υπολογίζεται από την στατική ανελαστική ανάλυση για µετατόπιση ίση µε τη µετατόπιση (u targ ). 4.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου Όπως στο επίπεδο πρόβληµα, έτσι και στην περίπτωση του χωρικού, τόσο η σχέση των συνιστωσών µετακινήσεων όσο και των συνιστωσών φόρτισης διατηρούν σταθερή αναλογία µέχρι κατάρρευσης γεγονός που βρίσκεται σε απόκλιση από την ανελαστική θεώρηση ειδικά όπως φαίνεται στην παρακάτω παράγραφο, στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου (Σ. ), αλλά πάντως όχι µεγαλύτερη από την απόκλιση που προκύπτει στην περίπτωση του επίπεδου συστήµατος. Η επίπτωση αυτή εντούτοις όπως θα δειχθεί στα παραδείγµατα που ακολουθούν δεν είναι ιδιαίτερα σηµαντική ως προς τον προσδιορισµό των συντελεστών αναγωγής σε ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή, αλλά κυρίως στον υπολογισµό της καµπύλης V- δ του πολυβαθµίου συστήµατος. Aνατρέχοντας στην σχέση (1α) η συνολική αντίσταση σε στροφή (k θ ) µπορεί να εκφραστεί από την σχέση 2 k θ = kt + yik xi + α α k (19) i i i 2 xi yi θεωρώντας ότι η δυστρεψία των δοµικών στοιχείων είναι αµελητέα, k t =, προκύπτει k θ =(α 2 y3 k x3 +α 2 y4 k x4 )+( α 2 x1 k y1 +α 2 x2 k y2 ) (2) Για την περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου, είναι k y1 =k y (21) k y2 =λ k y (22) k x3 =k x4 =k x (23) άρα k θ =(α 2 y3 k x +α 2 y4 k x )+( α 2 x1 k y +α 2 x2 λ k y ) (24) k θ =k x (α 2 y3 +α 2 y4 )+k y (α 2 x1 +λ α 2 x2 ) (25) θέτοντας κ=α 2 2 y3 +α y4 (26) µ=α 2 2 x1 +λ α x2 (27) προκύπτει τελικώς k θ = κ k x +µ k y, (28) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 18

Η δυστρεψία (ελαστική) εκφράζεται, όπως αναπτύχθηκε και στο κεφάλαιο 2, για διέγερση κατά y-y από τον λόγο (Ω 2 ) Όπου Ω 2 = mk θ (29) J m k y Εισάγοντας την σχέση (27) και τις (2) και (21) στην (28) προκύπτει Ω 2 = m( κ k J m k x y + µ k (1 + λ) y ) (3) Ω 2 = J m m κ k x m µ + ( 1+ λ) k J (1 + λ) y m k x = f( ) (31) k y Από την σχέση (31) φαίνεται ότι για µείωση του k y προκύπτει αύξηση του (Ω 2 ), που εκφράζει την δυστρεψία, και συνεπώς στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου, η µεταβολή της δυσκαµψίας κατά την ανελαστική ανάλυση επηρεάζει την σχέση µεταξύ µεταφορικής και στρεπτικής συνιστώσας. Λόγω όµως της πιθανής διαρροής και των στοιχείων κατά τον άξονα x-x, ιδίως στην περίπτωση της διέγερσης σε δύο διευθύνσεις (που είναι και η περίπτωση που ισχύει στην πράξη), η επιρροή αυτή δεν αναµένεται να είναι σηµαντική σε πρακτικό επίπεδο. Για την περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου, σε συνέχεια της εξίσωσης (19) k y1 =k y (32) k y2 =λ k y (33) k x3 =k x4 = (34) οπότε k θ = α 2 x1 k y +α 2 x2 λ k y (35α) k θ =k y (α 2 x1 +λ α 2 x2 ) (35β) τίθεται µ=α 2 2 x1 +λ α x2 (36) οπότε k θ = µ k y, (37) Η δυστρεψία (ελαστική) εκφράζεται, από τον λόγο (Ω 2 ), της σχέσης (28) Εισάγοντας τις σχέσεις (36) και (37) στην (28) προκύπτει Ω 2 = J m µ k m k y y ( 1+ λ) (38) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 181

Ω 2 = J m m µ ( 1+ λ) (39) Από την σχέση (39) φαίνεται ότι ο λόγος (Ω 2 ), που εκφράζει την δυστρεψία, στην περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου εξαρτάται σε µεγαλύτερο βαθµό από την διαρροή κάποιων από τα στοιχεία αντίστασης. Πιο συγκεκριµένα εάν διαρρεύσει το W2 o πόλος στροφής µεταφέρεται στο W1, δηλ. α χ1, και ο όρος µ µειώνεται ενώ ο όρος λ (λ=k y2 /k y1 ) αυξάνεται, οδηγώντας την δυστρεψία (Ω 2 ) σε µείωση. Αναφορικά µε τον τρόπο προσδιορισµού της στοχευόµενης µετατόπισης (u * targ) του ισοδυνάµου µονοβαθµίου, η οποία περιγράφεται στο βήµα 6 της παραγράφου 2.2, είναι προφανές ότι γίνεται χρήση της γραφικής µεθόδου που περιγράφεται και στο ATC-4 η οποία κατά την άποψη του γράφοντος είναι η πλέον εποπτική µέθοδος. Παραλλαγές της, οι οποίες περιλαµβάνονται σε διάφορα εγχειρίδια και δηµοσιεύσεις (Fajfar & Dolsek, 2., Chopra & Goel, 21) µπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν χωρίς να αλλοιώνουν ουσιωδώς την προτεινόµενη µεθοδολογία. 4.3 Συσχέτιση της προτεινοµένης µε άλλες προσεγγίσεις στη στατική ανελαστική ανάλυση 4.3.1 Μέθοδος ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης Η µέθοδος της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης η οποία παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο επισκόπησης της βιβλιογραφίας, αναπτύχθηκε αρχικά για επίπεδους φορείς και όπως παρουσιάζουν στην εργασία τους οι Chopra & Goel (22) δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση, βασίζοντας το συµπέρασµα αυτό στην αντίστοιχη ακρίβεια που παρουσιάζει η ελαστική στατική ανάλυση ως προς την ελαστική δυναµική ανάλυση. Η τροποποίηση της µεθόδου, που πρόσφατα παρουσιάστηκε από τους Chopra & Goel (24) για εφαρµογή της σε χωρικούς φορείς εφαρµόστηκε στην παρούσα διατριβή. Θεωρώντας έναν από τους φορείς του σχήµατος 1, ο οποίος έχει τρεις ιδιοµορφές, µια ασύζευκτη µεταφορική κατά τη διεύθυνση x-x και δύο συζευγµένες µεταξύ τους, κατά y-y και γύρω από τον z-z, το διανύσµατα φόρτισης που προκύπτουν είναι: S * i ={Φ i } {M}, για i=1,..3 (4) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 182

Όπου m {Μ}= J m {Φ i }: Ιδιοµορφές Με βάση αυτά τα διανύσµατα φόρτισης πραγµατοποιούνται τρεις στατικές ανελαστικές αναλύσεις, οι οποίες αναφέρονται στις αντίστοιχες τρεις ιδιοµορφές (κατά x-x, κατά y-y και γύρω από τον z-z), τα αποτελέσµατα των οποίων συνδυάζονται µε βάση τις κατωτέρω σχέσεις V yy = δ yy = 2 2 2 ( Γ V ) ( 1 V1 ) ( 3 V3 ) i i i = Γ + Γ (41) i ( Γ δ 2 2 2 i δ i ) = ( Γ1 δ1) + ( Γ3 3) (42) V xx =V 2 (43) δ xx = δ 2 (44) Η συγκεκριµένη µέθοδος στατικής ανελαστικής ανάλυσης, παρουσιάζει αρκετές οµοιότητες µε την προτεινόµενη µέθοδο της παραγράφου 2 του παρόντος κεφαλαίου ως προς το διάνυσµα φόρτισης και συνεπώς την καµπύλη αντοχής του πολυβάθµιου συστήµατος. Στα πλαίσια του παρόντος κεφαλαίου η µέθοδος εφαρµόζεται για τις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2 έτσι ώστε να προκύψουν συµπεράσµατα αναφορικά µε τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα της σε σχέση µε την προτεινόµενη στα πλαίσια της διατριβής µέθοδο. 4.3.2 Συµβατική στατική ανελαστική ανάλυση Με τον προσδιορισµό «συµβατική» στατική ανελαστική ανάλυση χαρακτηρίζεται η ανάλυση µε διάνυσµα φόρτισης τριγωνικό ή οµοιόµορφο (ταυτόσηµα στην περίπτωση του µονώροφου) µε εισαγωγή εκκεντρότητας 1%. Η µέθοδος αυτή περιλαµβάνεται στις παραµετρικές αναλύσεις που ακολουθούν διότι αποτελεί µια συνήθη µέθοδο εφαρµογής της µεθόδου στην πράξη. Ειδικά ως προς την χρήση του 1% ως εκκεντρότητα αναφέρεται η σχετική παράγραφος του ΕΑΚ2 (3.3.2[2]) που προβλέπει το 1% όταν πραγµατοποιείται δυναµική ανάλυση µε ισοδύναµη ροπή στρέψης αντί της µετατόπισης της µάζας σε 4 θέσεις εκατέρωθεν του κέντρου µάζας CM, έτσι ώστε να εισαχθεί η τυχηµατική εκκεντρότητα. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 183

4.4 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων συστηµάτων 4.4.1 Στατικό προσοµοίωµα Για την τεκµηρίωση της προτεινοµένης µεθόδου πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις των µονώροφων κτιρίων που εξετάστηκαν µε δυναµική ανάλυση στο προηγούµενο κεφάλαιο, και έγινε σύγκριση των αποτελεσµάτων σε επίπεδο καµπυλών αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος. Τα µοντέλα που χρησιµοποιήθηκαν φαίνονται σε κάτοψη στο σχήµα 1 της ενότητας 2.1, ενώ τα επιµέρους χαρακτηριστικά των φερόντων στοιχείων, τα οποία είναι αντίστοιχα µε αυτά που χρησιµοποιήθηκαν και για τις δυναµικές αναλύσεις, φαίνονται στο σχήµα 2. Σηµειώνεται ότι όλα τα στοιχεία έχουν αντοχή µόνο στο επίπεδο της κύριας διεύθυνσης τους ενώ θεωρούνται ως αρθρωτά εκτός επιπέδου και έχουν µηδενική δυστρεψία. Myy [KNm] Mxx [KNm] 2188 W2 2188 W2 1 W3 1 W3 5272 W1 5272 W1 θyy θxx Σχήµα 2: ιαγράµµατα Μ-θ των τοιχωµάτων του Σχ. 1 Όπως φαίνεται χρησιµοποιήθηκαν διαγράµµατα ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς µε µηδενική κράτυνση, παραδοχή η οποία δεν είναι εν γένει ακριβής αλλά επιτρέπει την εξαγωγή σαφέστερων συµπερασµάτων. Κατά την εισαγωγή τους στο πρόγραµµα SAP2, (διεγέρσεις Q, Q1 και Q2) χρησιµοποιήθηκαν διαγράµµατα ακαµπτοπλαστικά (rigid plastic) διότι το πρόγραµµα υπολογίζει το πρώτο τµήµα του διαγράµµατος µέχρι και την ροπή διαρροής µε βάση την ελαστική δυσκαµψία του στοιχείου. Τα διαγράµµατα αυτά φαίνονται στα σχήµατα 3, 4 και 5. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 184

Σχήµα 3: ιαγράµµατα Μ-θ τοιχώµατος W1 όπως εισήχθη στο SAP2 Σχήµα 4: ιαγράµµατα Μ-θ τοιχείου W2 όπως εισήχθει στο SAP2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 185

Σχήµα 5 ιαγράµµατα Μ-θ τοιχείου W3 όπως εισήχθει στο SAP2 Αντίστοιχα στο πρόγραµµα ZEUS NL (διεγέρσεις Q3 και Q4) όπου όπως έχει αναφερθεί και στο προηγούµενο κεφάλαιο χρησιµοποιείται προσοµοίωµα µε κατανεµηµένη ανελαστικότητα, οι ιδιότητες για το σκυρόδεµα και τον χάλυβα οπλισµού που εισήχθησαν φαίνονται στα σχήµατα 6 και 7 Σχήµα 6: ιάγραµµα χάλυβα οπλισµών όπως εισήχθη στο ZEUS NL Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 186

Σχήµα 7: ιάγραµµα σκυροδέµατος όπως εισήχθη στο ZEUS NL 4.4.2 ιέγερση σε µία διεύθυνση Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των ανωτέρω µεθόδων στατικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών V-δ και συγκρίνονται µε την «δυναµική» καµπύλη αντοχής όπως αυτή υπολογίστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Για τον υπολογισµό του διανύσµατος φόρτισης τόσο στην προτεινόµενη µέθοδο όσο και σε αυτή του Chopra (βλ. 3.1) απαιτείται ιδιοµορφική δυναµική (ελαστική) ανάλυση του κτιρίου. Στα σχήµατα 8 και 9 φαίνονται οι τρεις ιδιοµορφές για το στρεπτικά δεσµευµένο (Σ ) και για το µη δεσµευµένο (Σµ ) κτίριο. 1 η ιδιοµορφή, Τ 1 =.1983sec Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 187

2 η ιδιοµορφή, Τ 2 =.1143sec 3 η ιδιοµορφή, Τ 3 =.762sec Σχήµα 8: Ιδιοµορφές στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου 1 η ιδιοµορφή, Τ 1 =.241sec Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 188

2 η ιδιοµορφή, Τ 2 =.1617sec 3 η ιδιοµορφή, Τ 3 =.863sec Σχήµα 9: Ιδιοµορφές στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου Βάσει αυτών των ιδιοµορφικών αναλύσεων αλλά και των φασµάτων που παρουσιάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο, προέκυψαν τα διανύσµατα φόρτισης για τα µονώροφα κτίρια όπως φαίνονται στους πίνακες που περιλαµβάνονται στο παράρτηµα 3 τόσο για την προτεινόµενη µέθοδο, εφαρµόζοντας τις εξισώσεις (1) και (11) όσο και για την τροποποιηµένη µέθοδο Chopra εφαρµόζοντας τις σχέσεις (41-44). Ενδεικτικά παρουσιάζονται οι πίνακες 1 και 2 οι οποίοι αφορούν το µονώροφο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1. ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ Q1- Σ.. Φ Τ ω Γ Φi1 Φi3 Sa Sd m(i1) m(i3) u θ 1.197 31.816 18.641.47 -.3 28.217.28 4 16666.24 -.1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 189

3.76 83.38 7.246.18.7 2.268.3 4 16666.. SRSS.24.1 Πίνακας 1: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 ΜΕΓΙΣΤΑ ΦΑΣΜΑΤΙΚA ΦΟΡΤΙΑ Q1 - Σ.. Φ 1 3 SRSS Τ.24.86 ω 31.816 83.38 Γ 18.641 7.246 Φi1.47.18 Φi3 -.3.7 Sa 28.217 2.268 Sd.28.3 m(i1) 4 4 m(i3) 16666 16666 V 985.29 163.3 9862.694 T -24598.127 17676.894 329.93 Chopra V 18.641 7.24 Chopra T -46.765 12.362 Πίνακας 2: Ιδιοµορφικά φασµατικά φορτία Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 Στα σχήµατα που ακολουθούν παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων για την περίπτωση της µέγιστης µετατόπισης και της αντιστοιχούσας σε αυτή τέµνουσας βάσης µε παράθυρο ενός βήµατος (maxd). Στα σχήµατα 1 και 11 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 12 και 13 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 19

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V (Umax)(kN) 4 35 3 25 2 15 1 5..1.2.3.4 (m) LP-Treas.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken προτεινόµενη polynomial 6th Σχήµα 1: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q Μονώροφο Σ.. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V (Umax)(kN) 4 35 3 25 2 15 1 5.E+ 2.E-3 4.E-3 6.E-3 8.E-3 1.E-2 θ (rad) LP-Treas.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Προτεινόµενη Polynomial 6th Σχήµα 11: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 191

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 4 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V (Umax)(kN) 4 35 3 25 2 15 1 5..5.1.15 δ (m) LP-Tres.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Προτεινόµενη Polynomial 3rd Σχήµα 12: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q 4 35 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q Χωρίς κανονικοποίηση 4 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V (Umax)(kN) 3 25 2 15 1 5.E+ 5.E-4 1.E-3 1.5E-3 θ (rad) LP-Tres.Isl. LP-LickLab No-Newh Kob-Hyog.Ken Προτεινόµενη Polynomial 3rd Σχήµα 13: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 192

Στα σχήµατα που ακολουθούν και αφορούν τις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2 περιλαµβάνονται εκτός της προτεινοµένης µεθόδου (proposed) και της µεθόδου Chopra αναλύσεις µε κατανοµή των φορτίων µε βάση τον σεισµικό συνδυασµό του ΕC1 δηλαδή διέγερση κατά y-y και στρέψη µε εκκεντρότητα 1% στην κύρια διέγερση (YYΕCC). Στα σχήµατα 14 και 15 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 16 και 17 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 4 V 35 3 25 2 15 1 5 maxd YYECC CHOPRA SRSS Proposed.5.1.15.2.25 Σχήµα 14: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 193

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 4 35 V 3 25 2 15 1 5 maxd YYECC CHOPRA SRSS Proposed.5.1.15.2.25 Θ Σχήµα 15:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd Y3X Y3XECC YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 16:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 194

V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY.5.1.15.2.25 Θ maxd Y3X Y3XECC YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 17:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Στα σχήµατα 18 και 19 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 2 και 21 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 18: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 195

Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 θ maxd YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 19: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd Y3X Y3XECC YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 2: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 196

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 Θ maxd Y3X Y3XECC YYECC CHOPRA SRSS Proposed Σχήµα 21: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Στα σχήµατα 22 και 23 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 24 και 25 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Η ονοµασία των διεγέρσεων (1storey _1.. 1) αντιστοιχεί στην σειρά αναφοράς τους στην οµάδα Q3 που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3, πίνακας 6, απόσπασµα του οποίου ακολουθεί: α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ιέγερση athens greece Coyote Lake USA Morgan Hill USA Morgan Hill USA Morgan Hill USA Morgan Hill USA Managu a NICAR AGUA Whittier USA Whittier USA Whittier USA Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 197

Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. V-δ ιεύθυνση yy - Q3 V (kn) 7 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2.25.3 (m) 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Σχήµα 22: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. V-θ ιεύθυνση yy - Q3 7 V 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2 θ(rad) 1storey_1 4storey_1 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Σχήµα 23: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 198

Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. V-δ ιεύθυνση yy - Q3 V (kn) 7 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2.25.3 (m) 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Dyn log fit Σχήµα 24: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. V-θ ιεύθυνση yy - Q3 7 V 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2 θ(rad) 1storey_1 4storey_1 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Σχήµα 25: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 199

Στα σχήµατα 26 και 27 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 28 και 29 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Η ονοµασία των διεγέρσεων (1storey _1.. 1) αντιστοιχεί στην σειρά αναφοράς τους στην οµάδα Q4 που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 3, πίνακας 7, απόσπασµα του οποίου ακολουθεί: α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ιέγερση Nahani CAN Gazli USSR Imperial Valley USA Imperial Valley USA Kobe JAPAN Kobe JAPAN Kobe JAPAN Northridge USA Northridge USA San Fernando USA Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. V-δ ιεύθυνση yy - Q4 7 V (kn) 6 5 4 3 2 1 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push.5.1.15.2.25.3 (m) Σχήµα 26: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 2

Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.. V-θ ιεύθυνση yy - Q4 7 V 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2 θ(rad) 1storey_1 4storey_1 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Σχήµα 27: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. V-δ ιεύθυνση yy - Q4 V (kn) 7 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2.25.3 (m) 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Dyn Log fit Σχήµα 28: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 21

Χωρικό Μονώροφο πλαίσιο Σ.µ. V-θ ιεύθυνση yy - Q4 7 V 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2 θ(rad) 1storey_1 1storey_2 1storey_3 1storey_4 1storey_5 1storey_6 1storey_7 1storey_8 1storey_9 1storey_1 push Σχήµα 29: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Σε όλα τα παραπάνω σχήµατα οι καµπύλες αντοχής της στατικής ανελαστικής ανάλυσης συγκρίνονται µε την αντίστοιχη «δυναµική» καµπύλη αντοχής που προκύπτει µε την αντιστοίχιση µεγίστων µετατοπίσεων αντίστοιχης τέµνουσας βάσης όπως περιγράφηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο. Από όλες αυτές τις καµπύλες προκύπτει µια ικανοποιητική σύµπτωση της στατικής µε την δυναµική ανάλυση η οποία εκφράζεται ως η συσχέτιση των σηµείων της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης µε τα ιδίας µετατόπισης σηµεία της στατικής καµπύλης αντοχής (πιν.3). Σηµαντική παράµετρος στον έλεγχο αυτόν είναι η διασπορά των σηµείων της δυναµικής ανάλυσης η οποία είναι σηµαντική, γεγονός που δηµιουργεί προβληµατισµό, ο οποίος αναπτύσσεται στις επόµενες παραγράφους, αναφορικά µε την αξιοπιστία της «δυναµικής» καµπύλης αντοχής σε κτίρια µε προβλήµατα στρέψης. Συσχέτιση (Correlation) a/a Σ.. Σ.µ. Q1 26% 15% Q2 87% 38% Q3 85% 32% Q4 62% 61% Πίνακας 3: Συντελεστής συσχέτισης καµπύλης αντοχής µε δυναµική ανελαστική ανάλυση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 22

Πιο συγκεκριµένα από το σύνολο των ανελαστικών δυναµικών αναλύσεων και των αντίστοιχων στατικών ανελαστικών στα δύο επιλεγµένα παραδείγµατα κτιρίων γίνεται σαφές ότι στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο η ανελαστική δυναµική ανάλυση παρουσιάζει ένα νέφος η χρήση του οποίου- υπό την µορφή µέσης δυναµικής καµπύλης αντοχής ή άλλων µέσων µεγεθών απόκρισης - είναι στατιστικά αναξιόπιστη λόγω της σηµαντικής διασποράς. εδοµένης της πληθώρας των επιλεγεισών διεγέρσεων, των διαφορετικών µεθόδων αναγωγής τους σε κοινή ένταση είναι προφανές ότι το παράδειγµα του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου (πλήρως µη δεσµευµένο), το οποίο αποτελεί το ένα ακρότατο όριο (το άλλο είναι το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο) δείχνει ότι ακόµη και η ανελαστική δυναµική ανάλυση δίνει αποτελέσµατα µε µεγάλη διασπορά. Το γεγονός αυτό καθιστά δύσκολο τον προσδιορισµό µια στατιστικώς αξιόπιστης χαρακτηριστικής τιµής ενός µεγέθους απόκρισης, καθώς αυτή η τιµή θα απέχει σηµαντικά από την µέση τιµή αυτού του µεγέθους απόκρισης. Εξετάζοντας το θέµα µε ποιοτικά κριτήρια, σε συνέχεια των παρατηρήσεων της παραγράφου 3.6, βασική αιτία είναι ότι το Σ.µ. κτίριο είναι ως προς την στροφή γύρω από τον zz ισοστατικό σύστηµα ειδικά στην περίπτωση όπως στην παρούσα διατριβή- που η δυστρεψία των επιµέρους δοµικών στοιχείων έχει θεωρηθεί συντηρητικά- ως µηδενική και όχι µε την προτεινόµενη από την διεθνή βιβλιογραφία και κανονισµούς τιµή της (1%J). Έτσι µε τη διαρροή του ενός εκ των δύο περιµετρικών τοιχωµάτων η στρεπτική δυσκαµψία του κτιρίου γίνεται πρακτικά µηδενική -στρεπτική άρθρωση κατά την έννοια του zz γύρω από το τοίχωµα που δεν έχει διαρρεύσει- προκαλώντας την απόκριση του φορέα σε αναλογία µε την µορφή της διέγερσης, όπως αποκρίνεται σε ελεύθερη ταλάντωση το εκκρεµές. Θα ήταν εποµένως κρίσιµο να καθοριστούν ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια για τα όρια µέχρι τα οποία θα επιτρέπεται τα νέα κτίρια να είναι στρεπτικά µη δεσµευµένα και για τα οποία ισχύουν οι µέθοδοι ανάλυσης. Τα κριτήρια αυτά δεν θα πρέπει να εξετάζουν τα ελαστικά χαρακτηριστικά όπως Κ yy, K θ, Ω κλπ, αλλά να διασφαλίζουν την στρεπτική υπερστατικότητα ενός κτιρίου µε την ύπαρξη πλαισίων ή επαρκών τοιχωµάτων στην περίµετρο. Επίσης θα µπορούσε να προβλεφθεί σαφέστερη διαδικασία ικανοτικού σχεδιασµός έναντι στρέψης, δηλαδή σε επίπεδο κτιρίου να διασφαλίζεται η αστοχία των στοιχείων της περιµέτρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να µην Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 23

διαταράσσεται η στρεπτική συµπεριφορά του φορέα όπως προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση. Αναφορικά µε την εφαρµογή της µεθόδου των Chopra & Goel στις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2 φαίνεται, και στις δύο περιπτώσεις, ότι στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου η υπολογιζόµενη καµπύλη αντοχής αντιστοιχεί σε χαµηλότερη τέµνουσα βάσης από αυτή της προτεινοµένης µεθόδου και της δυναµικής ανάλυσης ενώ στην περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου ταυτίζεται µε αυτήν της προτεινοµένης µεθόδου. Η µέθοδος λοιπόν δίνει σε αυτό το επίπεδο σύγκρισης (καµπύλη αντοχής πολυβάθµιου συστήµατος) αποτελέσµατα ανάλογα µε την προτεινόµενη µέθοδο. Εντούτοις στην περίπτωση πολυωρόφων κτιρίων, όπως αυτά των εποµένων κεφαλαίων, ενδέχεται να παρουσιάζονται σηµαντικά προβλήµατα αναφορικά µε τον συνδυασµό των επιµέρους στατικών ανελαστικών αναλύσεων, διότι είναι πιθανό η µεταφορική ιδιοµορφή και η στρεπτική ιδιοµορφή να δίνουν αντίθετες µετατοπίσεις στο κέντρο µάζας οι οποίες αντί να συνδυάζονται λαµβάνοντας υπόψη την φορά του διανύσµατος, συνδυάζονται ως αδιάστατα µεγέθη µε αποτέλεσµα εσφαλµένο. 4.4.3 ιέγερση σε δύο διευθύνσεις Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των ανωτέρω µεθόδων στατικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών V-δ και V-θ και συγκρίνονται µε την «δυναµική» καµπύλη αντοχής όπως αυτή υπολογίστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Για τον υπολογισµό του διανύσµατος φόρτισης τόσο στην προτεινόµενη µέθοδο όσο και σε αυτή του Chopra απαιτείται ιδιοµορφική δυναµική ανάλυση του κτιρίου. Στα σχήµατα 7 και 8 φαίνονται οι τρεις ιδιοµορφές για το στρεπτικά δεσµευµένο και µη δεσµευµένο κτίριο. Βάσει αυτών των ιδιοµορφικών αναλύσεων αλλά και των ελαστικών φασµάτων που παρουσιάστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο, προέκυψαν τα διανύσµατα φόρτισης για τα µονώροφα κτίρια όπως φαίνονται στους του παραρτήµατος 3 και ενδεικτικά στους πίνακες 4-5 που ακολουθούν τόσο για την προτεινόµενη µέθοδο όσο και για την τροποποιηµένη µέθοδο του Chopra σε δύο διευθύνσεις, εφαρµόζοντας την ίδια µεθοδολογία µε την διέγερση σε µία διεύθυνση. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η µεθοδολογία Chopra, για κάθε σηµαντική ιδιοµορφή απαιτεί µια ξεχωριστή στατική ανελαστική ανάλυση, αλλά λόγω της µη σύζευξης των ιδιοµορφών κατά x-x και y-y, η ανάλυση σε δύο διευθύνσεις δίνει ακριβώς τα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 24

ίδια αποτελέσµατα όπως και αυτή σε µία διεύθυνση, διότι η κατά x-x ανάλυση, δεν δίνει ούτε στρέψη ούτε µετακίνηση κατά y-y. Στα σχήµατα που ακολουθούν περιλαµβάνονται εκτός της προτεινοµένης µεθόδου (proposed2d) και της µεθόδου Chopra, αναλύσεις µε κατανοµή των φορτίων µε βάση τον σεισµικό συνδυασµό του ΕC1 δηλαδή διέγερση κατά y-y και 3% διέγερση κατά x-x και στρέψη µε εκκεντρότητα 5% στην κύρια διέγερση (Y3XΕCC). Επίσης στο γράφηµα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων για την περίπτωση της µέγιστης µετατόπισης και της αντιστοιχούσας σε αυτή τέµνουσας βάσης µε παράθυρο ενός βήµατος(maxd). ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ Q1- Σ.. Φ 1 2 3 SRSS Τ.197484.113458.75666 ω 31.8162 55.3788 83.379 Γ 18.6412 2 7.246 Φi1.4663.181 Φi2.5 Φi3 -.281.722 Sa 28.216889 27.7732 2.268367 Sd.278748.9346.29395 m(i1) 4 4 4 m(i3) 16666 16666 Uy.242159.3855.2422 Ux.935.93 Θ -.14581.1538.147 Πίνακας 4: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 ΜΕΓΙΣΤΑ ΦΑΣΜΑΤΙΚA ΦΟΡΤΙΑ Q1 - Σ.. Φ 1 2 3 SRSS Τ.19748.11345.7566 ω 31.816 55.378 83.37 Γ 18.6412 2 7.246 Φi1.466.181 Φi2.5 Φi3 -.28.72 Sa 28.2168 27.773 2.2683 Sd.278748.9346.29395 m(i1) 4 4 4 m(i3) 16666 16666 Vy 985.29 163.299 9862.69 Vx 1182.93 1182.93 T -24598.12 17676.89 329.93 Chopra V 18.641 7.24 Chopra T -46.7648 12.361 Πίνακας 5: Ιδιοµορφικά φασµατικά φορτία Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 25

Στα σχήµατα 3 και 31 φαίνονται οι καµπύλες V y -δ y και V y -θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 32 και 33 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τις διευθύνσεις y-y και x-x. 4 35 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Log. (maxd) Σχήµα 3:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 4 35 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 3 25 2 15 1 maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Log. (maxd) 5.5.1.15.2.25 Θ Σχήµα 31:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 26

4 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 35 V 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Q1 Log. (maxd) Σχήµα 32: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 4 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 Θ maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Q1 Log. (maxd) Σχήµα 33:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 27

Στα σχήµατα 34 και 35 φαίνονται οι καµπύλες V y -δ y και V y -θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 στο στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και στα σχήµατα 36 και 37 στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο για διέγερση κατά τις διευθύνσεις y-y και x-x. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Log. (maxd) Σχήµα 34: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 θ maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Log. (maxd) Σχήµα 35: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 28

V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY.5.1.15.2.25 maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Q2 Log. (maxd) Σχήµα 36: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις V-θ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY.5.1.15.2.25 Θ maxd Y3XECC CHOPRA SRSS Proposed 2D Q2 Log. (maxd) Σχήµα 37:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 29

Η εφαρµογή της µεθόδου των Chopra & Goel δίνει αποτελέσµατα τα οποία είναι αντίστοιχα µε αυτά της προτεινοµένης µεθόδου. Επίσης παρουσιάζονται προβλήµατα διότι δεν µπορεί να προσοµοιωθεί η µείωση της δυστρεψίας του κτιρίου λόγω πιθανής διαρροής των κατά χχ τοιχωµάτων από την διέγερση κατά χχ η οποία αντιθέτως λαµβάνεται υπόψη στην προτεινόµενη µέθοδο (αν και το φαινόµενο δεν λαµβάνει χώρα στα παραδείγµατα που παρουσιάζονται) 4.4.4 Σχόλια επί των καµπυλών αντοχής Η σύγκριση των στατικά υπολογισµένων καµπυλών αντοχής µε τις αντίστοιχες δυναµικά υπολογισµένες έχει ως στόχο την αξιολόγηση του διανύσµατος φόρτισης όπως αυτό προσδιορίστηκε στα βήµατα 1, 2 και 4 της προτεινοµένης µεθοδολογίας αλλά και στην τροποποιηµένη µέθοδο της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης (Chopra & Goel, 22, 24). Όπως έχει αναφερθεί και στο κεφάλαιο 3, οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής έχουν προκύψει από 225 διαφορετικές διεγέρσεις (29 επιταχυνσιογραφήµατα ανηγµένα σε διάφορες εντάσεις) για το στρεπτικά δεσµευµένο και το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο. Σηµειώνεται ότι ενώ οι καµπύλες αντοχής που υπολογίζονται από την προτεινόµενη µέθοδο διαφέρουν µεταξύ τους ανάλογα µε την οµάδα διεγέρσεων στην οποία αντιστοιχούν αυτό δεν ισχύει για την τροποποιηµένη µέθοδο Chopra ή και τις άλλες απλούστερες µεθόδους. Έτσι µεταξύ των οµάδων Q1 και Q2 υπάρχει διαφορά (µικρή) στην τέµνουσα αντοχής όταν αυτή υπολογίζεται µε την προτεινόµενη µέθοδο όπως φαίνεται στο σχήµα 38. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 21

V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-:q1&q2 Με κανονικοποίηση V-δ καµπύλη - ιέγερση σε δύο διευθύνσεις ιεύθυνση YY,5,1,15,2 Proposed 2D Q1 CHOPRA SRSS Proposed 2D Q2 Σχήµα 38:Σύγκριση στατικών καµπυλών αντοχής αντιστοιχουσών στην διέγερση Q1 και Q2 υπολογισµένων µε τη προτεινόµενη µέθοδο µε την καµπύλη αντοχής υπολογισµένη µε την µέθοδο Chopra Η διαφορά αυτή οφείλεται στη συµµετοχή της φασµατικής επιτάχυνσης της κάθε ιδιοµορφής κατά τον υπολογισµό του ποσοστού συµµετοχής της κάθε ιδιοµορφής που υπάρχει στην προτεινόµενη µέθοδο, η οποία δεν υπάρχει στην µέθοδο της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης ή στις απλούστερες µεθόδους. Η γραφική εξήγηση αυτής της διαφοράς φαίνεται στο σχήµα 39 όπου γίνεται σαφές ότι οι τεταγµένες του φάσµατος σχεδιασµού επηρεάζουν το ποσοστό συµµετοχής της στρεπτικής ιδιοµορφής στο συνολικό διάνυσµα φόρτισης. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 211

Mean Μέσο Ελαστικό elastic Spectra Φάσµα οµάδας of set Q1 Q1s και & Q2 Q2s 25 2 Acc m/sec^2 15 1 5. 1. 2. 3. 4. T (sec) Q1s T1 T3 Q2s Σχήµα 39:Φασµατική ένταση της κάθε ιδιοµορφής στις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2 Απαραίτητη διευκρίνιση είναι ότι στην µέθοδο της ιδιοµορφικής στατικής ανάλυσης όπως παρουσιάστηκε από τους Chopra-Goel (24) για τα πολυώροφα µη συµµετρικά κτίρια περιλαµβάνεται σχετικός όρος κατά τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης η οποία αποτελεί το «άθροισµα» (CQC) των επιµέρους ιδιοµορφικών στοχευόµενων µετατοπίσεων. ηλαδή όταν υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση κάθε ιδιοµορφής προφανώς λαµβάνεται υπόψη η συµµετοχή της φασµατικής διέγερσης εκείνης της ιδιοµορφής. Εν κατακλείδι παρατηρείται ότι η µέθοδος της ιδιοµορφικής στατικής ανάλυσης και η προτεινόµενη µέθοδος δίνoυν για µονώροφους χωρικούς φορείς αντίστοιχη καµπύλη αντοχής. Εντούτοις, όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 4.4.2 στην περίπτωση πολυωρόφων κτιρίων, όπως τα κτίρια των εποµένων κεφαλαίων, ενδέχεται να παρουσιάζονται σηµαντικά προβλήµατα αναφορικά µε τον συνδυασµό των επιµέρους στατικών ανελαστικών αναλύσεων. Μια άλλη σηµαντική παρατήρηση, είναι ότι λόγω της ασύζευκτης µορφής της 2 ης ιδιοµορφής (κατά x-x) στις καµπύλες αντοχής λόγω της διέγερσης σε µια ή δυο διευθύνσεις δεν υπάρχει διαφοροποίηση της αντοχής, µια και η κατά x-x ιδιοµορφή Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 212

προκαλεί µόνο µεταφορική κίνηση στην αυτή διεύθυνση και δεν µειώνει ή αυξάνει την αντοχή κατά y-y. Επιπλέον σηµαντική παρατήρηση είναι ότι τριγωνική κατανοµή µε 1% εκκεντρότητα δίνει ιδιαίτερα ενθαρρυντικά αποτελέσµατα. Η παρατήρηση αυτή διερευνήθηκε περαιτέρω, έτσι ώστε να εντοπιστεί εάν η ικανοποιητική προσέγγιση της απλούστερης µεθόδου αποτελεί συµπτωµατικό γεγονός ή όχι. Θεωρώντας το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο διαπιστώνεται ότι µε την διαρροή του τοιχείου W1 ο πόλος στροφής µεταφέρεται κοντά στο τοιχείο W2 µε αποτέλεσµα για οριζόντια µετακίνηση d κατά τη διεύθυνση x-x να προκύπτει στροφή θ=2d/l x = d/1=1%d όπως φαίνεται και από το σχήµα 4. W1 W2 W3 CM Σχήµα 4: Επεξήγηση της απόκρισης της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε τριγωνική κατανοµή και 1% εκκεντρότητα στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο Η ανάλυση αυτή δείχνει ότι η ακρίβεια της απλής µεθόδου στατικής ανελαστικής ανάλυσης είναι συµπτωµατική και συναρτάται άµεσα από τις διαστάσεις της κάτοψης του κτιρίου, άρα δεν είναι αξιοποιήσιµη για περαιτέρω αναλύσεις. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 213

4.5 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 4.5.1 Γενικά Στόχος των παραγράφων που ακολουθούν είναι ο υπολογισµός της µετατόπισης και στοχευόµενης στροφής (δ targ, θ targ ) για την κάθε οµάδα διεγέρσεων και η σύγκριση µε την µέση µετατόπιση και στροφή που προκύπτουν από τις ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις για διέγερση συγκεκριµένης έντασης. Οι πέντε οµάδες διεγέρσεων (Q, Q1, Q2, Q3 και Q4) θα αναχθούν σε διαφορετικές εντάσεις µεταξύ τους έτσι ώστε να γίνει δυνατή η αποτίµηση της ακρίβειας της µεθόδου σε διάφορα επίπεδα µετελαστικής συµπεριφοράς, που αντιστοιχούν σε µικρή έως µεγάλη πλαστιµότητα. Οι δυναµικές αναλύσεις θα γίνουν µε βάση τα περιγραφέντα στο κεφάλαιο 3, ενώ οι ισοδύναµες στατικές είναι αυτές της προηγούµενης παραγράφου µε την προσθήκη της αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή όπως περιγράφεται στα βήµατα 3 έως 7 της µεθοδολογίας. Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου έχουν χρησιµοποιηθεί τα οµαλοποιηµένα ανελαστικά φάσµατα που υπολογίστηκαν στο κεφάλαιο 3. Φυσικά ο έλεγχος της ακρίβειας µίας λύσης επηρεάζεται σε κάποιο βαθµό από την οµαλοποίηση του µέσου ανελαστικού φάσµατος. Η οµαλοποίηση αυτή, η οποία κρίθηκε αναγκαία για την αποφυγή προβληµάτων µε την µορφή των ανελαστικών φασµάτων τα οποία ήταν µη µονότονα, µπορεί σε κάποιες περιπτώσεις να επηρεάζει την ακρίβεια ως προς την µέση απόκριση των ανελαστικών αναλύσεων, είτε θετικά είτε αρνητικά. Εντούτοις µε την αύξηση του αριθµού των διεγέρσεων στις οµάδες Q3 και Q4, όπου η οµαλοποίηση του µέσου ανελαστικού φάσµατος παρουσιάζει µολύ µικρό µέσο τετραγωνικό σφάλµα (r 2 ), και µε την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου σε αρκετές οµάδες διεγέρσεων (πέντε) η επιρροή αυτή εξαλείφεται. Τα αποτελέσµατα αυτής της παραγράφου αποτελούν την κύρια διαδικασία τεκµηρίωσης της προτεινοµένης µεθόδου, µια και σε αυτή τεκµηριώνεται η επάρκεια του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή και των συντελεστών αναγωγής σε αυτόν. 4.5.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q Για την οµάδα διεγέρσεων Q, η οποία αποτελείται από «γνωστούς» σεισµούς, και στην οποία έχουν θεωρηθεί επιταχυνσιογραφήµατα κατά µία µόνο διεύθυνση, η κανονικοποίηση έγινε µε αναγωγή σε µέγιστη επιτάχυνση 4. m/sec 2. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 214

Α. Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο(σ..) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 4 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρου µάζας CM στα σχήµατα 41, 42, 43 και 44 και συνοψίζονται στον πίνακα 6. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων, τα οποία παρουσιάζουν σηµαντική διασπορά, γεγονός που οφείλεται στο κριτήριο επιλογής των διεγέρσεων που δεν ήταν η «οµοιογένεια» των επιταχυνσιογραφηµάτων, αλλά η σύγκριση µε άλλες εργασίες, στο µικρό αριθµό επιταχυνσιογραφηµάτων και στην αναγωγή µε βάση τη µέγιστη επιτάχυνση. Στις δύο οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2, όπως έχει προαναφερθεί και στο κεφάλαιο 3, χρησιµοποιήθηκε η ένταση κατά Arias για την κανονικοποίηση των διεγέρσεων ενώ στις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 χρησιµοποιήθηκε η ένταση κατά Housner. Σχήµα 41 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta-Treasure Island, Σ. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 215

Σχήµα 42 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta -Lick Lab, Σ. Σχήµα 43 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Northridge, Σ. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 216

Σχήµα 44 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Kobe, Σ. α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Loma Prieta Treasure Island.455-2.51 1-4 2 Loma Prieta Lick Lab.875-5.52 1-4 3 Northridge- Newhall Fire Station.845-5. 1-4 4 Kobe Hyogo Ken.425-2.27 1-4 M.O. Οµάδα Q-Μέσες τιµές.65-3.825 1-4 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 36,5% 42,6% Πίνακας 6: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 45 και ανάγεται µε χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Στον πίνακα 7 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : Φy ο 1 u ymax.848 Φz ο -.64 θ zmax -5.12E-4 M 4 m 4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 217

Jm 16666 Jm 16666 ψ po 1.E+ V ymax 3.66E+3 ψ Mo -2.41E+ M tmax -8.83E+3 c 1 1.152 c 2 1.146 Πίνακας 7: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή (Σ..) Όπως έχει αναφερθεί και κατά την παρουσίαση της µεθοδολογίας η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή χρησιµοποιείται η γραφική µέθοδος κατά την οποία η µετατόπιση προσδιορίζεται από την τοµή της καµπύλης αντίστασης του µονοβάθµιου ταλαντωτή µε το ανελαστικό φάσµα απαίτησης πλαστιµότητας (µ) ίση µε αυτή που αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής του φάσµατος αντοχής. Μονώροφο Σ.. κτίριο-q V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY 4 35 3 25 V (kn) 2 15 1 5..5.1.15.2.25.3.35.4 δ (m) Σχήµα 45: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q Στο σχήµα 46 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 218

Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. κτιρίου για διέγερση q Acc (m/sec2) 16 14 12 1 8 6 4 2.5.1.15.2 Disp (m) Elastic Pushover duct.= 1.1 Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Σχήµα 46: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q Από την γραφική µέθοδο προκύπτει η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.8 [m] (µ=1.1) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,6945 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -3.97 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 6.85% για την µετατόπιση και 3,79% για τη στροφή, Β Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο(σ.µ.) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 4 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 47, 48, 49 και 5 και συνοψίζονται στον πίνακα 8. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων, τα οποία παρουσιάζουν σηµαντική διασπορά γεγονός που οφείλεται στο κριτήριο επιλογής των διεγέρσεων που δεν ήταν η «οµοιογένεια» των επιταχυνσιογραφηµάτων, αλλά η σύγκριση µε άλλες εργασίες στο µικρό αριθµό επιταχυνσιογραφηµάτων και στην αναγωγή µε βάση τη µέγιστη επιτάχυνση. Στις Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 219

δύο οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2, όπως έχει προαναφερθεί και στο κεφάλαιο 3, χρησιµοποιήθηκε η ένταση κατά Arias για την κανονικοποίηση των διεγέρσεων ενώ στις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 χρησιµοποιήθηκε η ένταση κατά Housner. Σχήµα 47 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta-Treasure Island, Σ.µ Σχήµα 48 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta -Lick Lab, Σ.µ Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 22

Σχήµα 49 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Northridge, Σ.µ Σχήµα 5 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Kobe, Σ.µ α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Loma Prieta Treasure Island.182-9.34 1-4 2 Loma Prieta Lick Lab.182-9.87 1-4 3 Northridge- Newhall Fire Station.1377-12.3 1-4 4 Kobe Hyogo Ken.7-5.9 1-4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 221

M.O. Οµάδα Q-Μέσες τιµές.16-9.3525 1-4 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 16.6% 16.88% Πίνακας 8: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 51 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Στον πίνακα 9 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : Φy ο 1 u ymax.1162 Φz ο -.855422 θ zmax -9.94E-4 M 4 m 4 Jm 16666 Jm 16666 ψ po 1.E+ V ymax 3.2E+3 ψ Mo -3.55E+ M tmax -1.13E+4 c 1 1.349 c 2 1.335 Πίνακας 9: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή (Σ.µ.) Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 222

Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY 4 35 3 25 V (kn) 2 15 1 5..5.1.15 δ (m) Σχήµα 51: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q Στο σχήµα 52 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3. 12 1 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. κτιρίου για διέγερση q Acc (m/sec2) 8 6 4 2 Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 1.9).5.1.15.2 Disp (m) Σχήµα 52: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 223

u * targ=.13 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,9963 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -9,121 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 6.3% για την µετατόπιση και 2.48% για τη στροφή. 4.5.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για την οµάδα διεγέρσεων Q1, η οποία αποτελείται από ισχυρούς σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα σε δύο διευθύνσεις, η κανονικοποίηση έγινε αρχικά σε κοινή ένταση κατά Arias και εν συνεχεία σε µέγιστη επιτάχυνση 4. m/sec 2. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Α. Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο(σ..) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q1, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 53, 54 και 55 και συνοψίζονται στον πίνακα 1. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει την περαιτέρω µείωση της. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 224

Σχήµα 53 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, Σ. Σχήµα 54 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 225

Σχήµα 55 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ. α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Friulli.815 5.11E-4 2 Gazli.681 4.15E-4 3 Tabas.881 5.61E-4 M.O. Οµάδα Q1Μέσες τιµές.7923.496 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 12.86% 14.93% Πίνακας 1: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 56 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 226

V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q1 V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY.5.1.15.2.25 Σχήµα 56: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Στο σχήµα 57 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q1. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. Κτιρίου για διέγερση Q1 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 2 Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 Pushover duct=2.5 Poly. (1.7).1.2.3.4.5 Sd (m) Σχήµα 57: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 227

u * targ=.95 [m] (µ=1.45) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,8242 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -5,3 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 4.2% για την µετατόπιση και 6.9% για τη στροφή. Β. Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο(σ.µ.) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q1, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 58, 59, και 6 και συνοψίζονται στον πίνακα 11. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει την περαιτέρω µείωση της. Σχήµα 58 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, Σ.µ Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 228

Σχήµα 59 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ.µ Σχήµα 6 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ.µ α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Friuli.611 5.9E-4 2 Gazli.617 5.6E-4 3 Tabas.792 7.84E-4 M.O. Οµάδα Q1Μέσες τιµές.6733.618 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 229

c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 15.27% 23.68% Πίνακας 11: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 61 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. 4 Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q1 V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY V 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 Σχήµα 61: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Στο σχήµα 62 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q1. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 23

Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. Κτιρίου για διέγερση Q1 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct=2.5) Σχήµα 62: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.11 [m] (µ=2.2) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,765 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -7,6 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 13.6% για την µετατόπιση και 23% για τη στροφή. 4.5.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για την οµάδα διεγέρσεων Q2, η οποία αποτελείται από µεσαίου έως µεγάλου µεγέθους Ελληνικούς σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα σε δύο διευθύνσεις, η κανονικοποίηση έγινε αρχικά σε κοινή ένταση κατά Arias και εν συνεχεία σε µέγιστη επιτάχυνση 4. m/sec 2. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Α. Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο(σ..) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q1, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 231

του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 63, 64, και 65 και συνοψίζονται στον πίνακα 12. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει την περαιτέρω µείωση της. Σχήµα 63 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ. Σχήµα 64 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 232

Σχήµα 65 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονύδες, Σ. α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Ιονίου.81 4.66E-4 2 Καλαµάτας 8.E-3 4.73E-4 3 Αλκυονίδων.788 4.68E-4 M.O. Οµάδα Q2 Μέσες τιµές.7992.469 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 1.38%.73% Πίνακας 12: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 66 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 233

V 4 35 3 25 2 15 1 5 Μονώροφο Σ.. κτίριο-q2 V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY.5.1.15.2.25 Σχήµα 66: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Στο σχήµα 67 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Sa (m/sec2) 12 1 8 6 4 2 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. Κτιρίου για διέγερση Q2 Elastic Pushover Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct 1.25) Poly. (duct.= 2) Poly. (2.6).1.2.3.4.5 Sd (m) Σχήµα 67: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 234

Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.9 [m] (µ=1.26) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.78 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -4.93 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 2.6% για την µετατόπιση και 4.94% για τη στροφή. Β. Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο(σ.µ.) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας q2, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 68, 69, και 7 και συνοψίζονται στον πίνακα 13. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει την περαιτέρω µείωση της. Σχήµα 68 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ.µ Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 235

Σχήµα 69 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ.µ Σχήµα 7 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονίδες, Σ.µ α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Ιονίου.1512 1.38E-3 2 Καλαµάτας.1656 1.55E-3 3 Αλκυονίδων.1 9.7E-4 M.O. Οµάδα q2 Μέσες τιµές.13893.1279 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 236

c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 24.82% 26.5% Πίνακας 13: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων q2 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 71 µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Μονώροφο Σ.µ. κτίριο-q2 V-δ καµπύλη ιεύθυνση YY V 4 35 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25 Σχήµα 71: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Στο σχήµα 72 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 237

Sa (m/sec2) 8 7 6 5 4 3 2 1 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. Κτιρίου για διέγερση Q2.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (2.5) Poly. (duct.= 3) Σχήµα 72: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.14 [m] (µ=2,2) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,115 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -1,11 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 17% για την µετατόπιση και 14% για τη στροφή. 4.5.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Για την οµάδα διεγέρσεων Q3, η οποία αποτελείται από µεσαίου µεγέθους σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα σε µια διεύθυνση, η κανονικοποίηση έγινε σε κοινή ένταση κατά Housner. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Ο µεγαλύτερος αριθµός διεγέρσεων που περιλαµβάνει αυτή και η επόµενη οµάδα διεγέρσεων σε σχέση µε τις προηγούµενες οµάδες (1 έναντι 3 ή 4) στόχο έχει να άρει ορισµένες από τις αµφιβολίες σχετικά µε την σύγκριση έναντι µέσων µεγεθών από την δυναµική ανάλυση είτε ως προς τα φάσµατα ή ως προς την απόκριση της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης δεδοµένου ότι η απόκριση, και δη η ανελαστική, θεωρείται ιδιαίτερα ευαίσθητη στον αριθµό των επιταχυνσιογραφηµάτων. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 238

Α. Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο(σ..) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q3,συνοψίζονται στον πίνακα 14. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι φυσιολογική (χρησιµοποιείται σηµαντικός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων κανονικοποιηµένων και αναγοµένων σε κοινή ένταση αναφοράς µε ακριβείς µεθόδους). ιέγερση uy θ 1.126375 5.55E-4 2.3446 1.57E-4 3.115665 5.64E-4 4.785 3.13E-4 5.11846 6.4E-4 6.1962 4.94E-4 7.8234 3.95E-4 8.1615 5.1E-4 9.1243 5.71E-4 1.155265 7.41E-4 mean.1341 4.9E-4 c.o.v. 32.54% 33.61% Πίνακας 14: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 73 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 239

Χωρικό µονώροφο πλαίσιο Σ.. V-δ ιεύθυνση yy - Q3 6 5 4 V (kn) 3 2 1.5.1.15.2.25.3 (m) Σχήµα 73: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Στο σχήµα 74 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. µονώροφου κτιρίου για διέγερση Q3 Sa(m/sec2) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic Proposed Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Poly. (duct.= 2) Σχήµα 74: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 24

Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.11 [m] (µ=1.) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.9544 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -4.41 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 7.7% για την µετατόπιση και 1.17% για τη στροφή. Β. Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο(σ.µ.) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q3 συνοψίζονται στον πίνακα 15. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά που προκύπτει από την ανελαστική δυναµική ανάλυση είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου, γεγονός που σχολιάστηκε εκτενώς και στην παρουσίαση του νέφους που προκύπτει για την δυναµική καµπύλη αντοχής. ιέγερση uy θ 1.12819 9.61E-4 2.126435 1.16E-3 3.16999 1.44E-3 4.95345 8.48E-4 5.14415 1.24E-3 6.115745 8.5E-4 7.15739 1.39E-3 8.15739 1.39E-3 9.165115 1.18E-3 1.2324 1.69E-3 mean.14629 1.22E-3 c.o.v. 21.21% 22.54% Πίνακας 15: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη η καµπύλη του σχήµατος 75 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 241

Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Χωρικό µονώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3 16 14 12 1 V(kN) 8 6 4 2.5.1.15.2.25 (m) Σχήµα 75: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Στο σχήµα 76 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q3. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. µονώροφου κτιρίου για διέγερση Q3 Sa(m/sec2) 8 7 6 5 4 3 2 1.1.2.3.4 Elastic Proposed Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 2) Poly. (1.5) Sd (m) Σχήµα 76: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 242

Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.2 [m] (µ=1.6) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,15 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 1.3 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 4.66% για την µετατόπιση και 6.95% για τη στροφή. 4.5.6 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Για την οµάδα διεγέρσεων Q4, η οποία αποτελείται από µεγάλου µεγέθους σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα σε µια διεύθυνση, η κανονικοποίηση έγινε σε κοινή ένταση κατά Housner. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Ο µεγαλύτερος αριθµός διεγέρσεων που περιλαµβάνει αυτή και η προηγούµενη οµάδα διεγέρσεων σε σχέση µε τις πρώτες οµάδες (1 έναντι 3 ή 4) στόχο έχει να άρει ορισµένες από τις αµφιβολίες σχετικά µε την σύγκριση έναντι µέσων µεγεθών από την δυναµική ανάλυση είτε ως προς τα φάσµατα ή ως προς την απόκριση της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης η στατιστική χρήση των οποίων µπορεί να κριθεί ως ιδιαίτερα ευαίσθητη στον µικρό αριθµό επιταχυνσιογραφηµάτων. Α. Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο(σ..) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q4,συνοψίζονται στον πίνακα 16α. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι αυξηµένη παρά την ύπαρξη µεγάλου αριθµού επιταχυνσιογραφηµάτων και την κανονικοποίηση τους µε την χρήση έντασης Housner. Για τον λόγο αυτό έγινε και κανονικοποίηση κατά pga και τα αποτελέσµατα των ανελαστικών δυναµικών αναλύσεων φαίνονται στον πίνακα 16β,όπου παρατηρείται σηµαντική µείωση στη διασπορά των δυναµικών αναλύσεων. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 243

ιέγερση uy θ 1.3693.33826 2.17572.1619153 3.6778.623168 4.265.18617 5.6323.57998 6.6976.3245 7.8455.35495 8.11219.11748 9.1175.152515 1.13721.1249785 mean.179 9.2E-4 c.o.v. 5.11% 6.96% Πίνακας 16α: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 και κανονικοποίηση κατά φασµατική ένταση ιέγερση uy θ 1.1443.6715 2.22969.1172 3.15775.7261 4.32897.1413 5.12345.5275 6.16646.6991 7.36281.295 8.3242.1658 9.18763.8959 1.22996.13437 mean.2255 1.11E-3 c.o.v. 37.92% 43.88% Πίνακας 16β: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 και κανονικοποίηση κατά pga Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη του σχήµατος 77 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 244

Χωρικό µονώροφο πλαίσιο Σ.. V-δ ιεύθυνση yy - Q4 7 6 5 V (kn) 4 3 2 1.5.1.15.2.25.3 (m) Σχήµα 77: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Στο σχήµα 78 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. 1οροφου κτιρίου για διέγερση Q4 Sa(m/sec2) 16 14 12 1 8 6 4 2.5.1.15.2.25.3 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 78: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 245

Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.16 [m] (µ=1.) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.13 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 6.54 1-4 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 21.86% για την µετατόπιση και 21.8% για τη στροφή. Β. Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο(σ.µ.) Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q4 συνοψίζονται στον πίνακα 17α. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά που προκύπτει από την ανελαστική δυναµική ανάλυση είναι ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου, γεγονός που σχολιάστηκε εκτενώς και στην παρουσίαση του νέφους που προκύπτει για την δυναµική καµπύλη αντοχής. Για τον λόγο αυτό έγινε και κανονικοποίηση κατά pga και τα αποτελέσµατα των ανελαστικών δυναµικών αναλύσεων φαίνονται στον πίνακα 17β, όπου σε αντίθεση µε το Σ.. κτίριο δεν παρατηρείται καµία µείωση (αντιθέτως αύξηση) στη διασπορά των δυναµικών αναλύσεων. ιέγερση uy θ 1.5743.478845 2.26996.14625 3.61548.47875 4.136123.122847 5.11591.98743 6.59712.5818 7.2712.23955 8.48564.4483 9.75819.712655 1.424.2914 mean.5834 5.15E-3 c.o.v. 66.11% 72.76% Πίνακας 17α: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 µε κανονικοποίηση κατά φασµατική ένταση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 246

ιέγερση uy θ 1.12582.81545 2.35189.2319 3.5524.5652 4.9862.84929 5.88687.85471 6.244125.237195 7.2712.23955 8.12184.162895 9.73389.69248 1.21398.1553 mean.76944 7.4E-3 c.o.v. 88.97% 96.16% Πίνακας 17β: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 µε κανονικοποίηση κατά pga Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντίστασης του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» αντίστασης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Θεωρείται η καµπύλη η καµπύλη του σχήµατος 79 και ανάγεται µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας. Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Χωρικό µονώροφο πλαίσιο Σ.µ. V-δ ιεύθυνση yy - Q4 25 2 V (kn) 15 1 5.5.1.15.2.25.3.35.4 (m) Σχήµα 79: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 247

Στο σχήµα 8 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q3. 12 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.. 1οροφου κτιρίου για διέγερση Q4 Sa(m/sec2) 1 8 6 4 2.5.1.15.2 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 8: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.7 [m] (µ=5.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.5357 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 5.2 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση 3.23% για την µετατόπιση και 14.59% για τη στροφή. 4.5.7 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης Στις προηγούµενες παραγράφους παρουσιάστηκαν τα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε την προτεινόµενη µεθοδολογία και συγκρίθηκαν µε τα αντίστοιχα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Και στις δύο περιπτώσεις επιλέχθηκε συγκεκριµένη σεισµική ένταση (στην οποία έγινε αναγωγή των διεγέρσεων κατά Arias) και ελέγχθηκαν η µετατόπιση και η στροφή του κέντρου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 248

µάζας CM µονώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου στρεπτικά δεσµευµένου και αντίστοιχου µη δεσµευµένου. Με τον τρόπο αυτόν καθίσταται δυνατή η αξιολόγηση της αξιοπιστίας του τρόπου προσδιορισµού του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που προτείνεται στην παρούσα διατριβή. Στον πίνακα 18 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα για όλες τις αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν, απ όπου προκύπτει ότι για όλες τις περιπτώσεις η εκτίµηση της µετατόπισης και στροφής του ορόφου µε την προτεινόµενη µέθοδο αποκλίνει από την αντίστοιχη δυναµική ανάλυση σε ποσοστό της τάξης του 1%. Όπως έχει ήδη προαναφερθεί ο έλεγχος της ακρίβειας της µεθόδου επηρεάζεται σε κάποιο βαθµό από την οµαλοποίηση του µέσου ανελαστικού φάσµατος των επιλεχθεισών διεγέρσεων. Η οµαλοποίηση αυτή, η οποία κρίθηκε αναγκαία για την αποφυγή προβληµάτων µε την µορφή των ανελαστικών φασµάτων κάποια εκ των οποίων ήταν µη µονότονα, µπορεί σε κάποιες περιπτώσεις να επηρεάζει την ακρίβεια ως προς την µέση απόκριση των ανελαστικών αναλύσεων, είτε θετικά είτε αρνητικά. Εντούτοις µε την αύξηση του αριθµού των διεγέρσεων στις οµάδες Q3 και Q4, όπου η οµαλοποίηση του µέσου ανελαστικού φάσµατος παρουσιάζει πολύ µικρό µέσο τετραγωνικό σφάλµα (σχήµα 81), και µε την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου σε αρκετές οµάδες διεγέρσεων (πέντε) η επιρροή αυτή εξαλείφεται. Μέσα φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων χωρίς οµαλοποίηση Q4 Μέσα φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµαλοποιηµένα Q4 Sa(m/sec2) 16 14 12 1 8 6 4 2,2,4,6,8 1 Sd (m) Elastic duct.= 1.5 duct.= 2 duct.= 3 duct.= 4 Sa(m/sec2) 16 14 12 1 8 6 4 2,2,4,6,8 1 Sd (m) Elastic Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 81: Μέσο φάσµα επιταχύνσεων µετατοπίσεων για την οµάδα διεγέρσεων Q4 χωρίς και µε οµαλοποίηση Επίσης οι παρατηρήσεις που έγιναν στην παράγραφο 2.3 του παρόντος κεφαλαίου όπου και αναφέρονταν οι λόγοι για τους οποίους στα στρεπτικά δεσµευµένα κτίρια απαιτείται η χρήση προσαρµοζόµενης δυναµικά στατικής ανελαστικής ανάλυσης, διότι αλλιώς αναµένεται αυξηµένο ποσοστό λάθους στην πρόβλεψη της στοχευόµενης στροφής, φαίνεται να µην προκαλεί στην περίπτωση του µονώροφου ιδιαίτερα σηµαντικό ποσοστό λάθους. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 249

ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ Σ.. Q LP- Tr. Isl. L.P. L.Lab Northridge Kobe Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy 4.55E-3 8.75E-3 8.45E-3 4.25E-3 6.5E-3 3.65E-1 6.945E-3 6.85% Θz 2.51E-4 5.52E-4 5.E-4 2.27E-4 3.825E-4 4.26E-1 3.97E-4 3.79% 1.1 Q1 set Friulli Gazli Tabas M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.815.681.881.792 12.86%.8242 4.2% Θz 5.11E-4 4.15E-4 5.61E-4.5 14.93% 5.3E-4 6.9% 1.45 Q2 set Ionian Kalamata Alkionides M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.81 8.E-3.788.7992 1.38%.7827 2.6% Θz 4.66E-4 4.73E-4 4.68E-4.469.73% 4.93E-4 4.94% 1.26 Q3 set 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.12638.3446.115665.785.11846.1962.8234.162.1243.22941.1348 32.54%.9544 7.7% Θz 5.55E-4 1.57E-4 5.64E-4 3.13E-4 6.4E-4 4.94E-4 3.95E-4 5.1E-4 5.71E-4 7.41E-4 4.9E-4 33.61% 4.41E-4 1.17% 1 Q4 set 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.3693.17572.6777825.265.6323.6976.8455.11219.1175.13721.1793 5.11%.14121 2.78% Θz 3.38E-4 1.62E-3 6.23E-4 1.86E-3 5.8E-4 3.25E-4 3.55E-4 1.2E-3 1.5E-3 1.25E-3 9.2E-4 6.96% 6.E-4 33.48% 1 Q4 set pga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.1443.22969.15775.32897.12345.16646.36281.3242.18763.22996.22554 37.92%.182211 19.2% Θz 6.72E-4 1.17E-3 7.26E-4 1.41E-3 5.28E-4 6.99E-4 2.E-3 1.66E-3 8.96E-4 1.34E-3 1.11E-3 43.88% 8.9E-4 19.84% 1 ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ µη ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ Σ.µ. Q LP- Tr. Isl. L.P. L.Lab Northridge Kobe Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy 1.82E-2 1.82E-2 1.377E-2 7.E-3 1.6E-2 1.66E-1 9.963E-3 6.3% Θz -9.34E-4-9.87E-4-1.23E-3-5.9E-4-9.353E-4-1.688E-1-9.121E-4-2.48% 1.5 Q1 set Friulli Friulli Friulli M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.611.617.792.6733 15.27%.765 13.61% Θz 5.9E-4 5.6E-4 7.84E-4.618 23.68% 7.6E-4 23.5% 2 Q2 set Ionian Kalamata Alkionides M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.1512.1656.1.13893 24.82%.1153 17.21% Θz 1.38E-3 1.55E-3 9.7E-4.1279 26.5% 1.1E-3 14.% 2.2 Q3 set 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.12819.126435.16999.9535.1442.11575.15739.15739.16512.2324.146286 21.21%.153 4.66% Θz 9.61E-4 1.16E-3 1.44E-3 8.48E-4 1.24E-3 8.5E-4 1.39E-3 1.39E-3 1.18E-3 1.69E-3 1.22E-3 22.54% 1.3 E-3 6.95% 1.5 Q4 set 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 25

uy.5743.269955.615475.136123.11591.59712.2712.48564.75819.424.5834 66.11%.765418 31.2% Θz 4.79E-4 1.41E-3 4.78E-3 1.23E-2 9.87E-3 5.8E-3 2.4E-3 4.48E-3 7.13E-3 2.91E-3 5.15E-3 72.76% 4.3E-3 16.57% 5.5 Q4 set pga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 M.O. c.o.v. Pushover ιαφ.% µ uy.12582.35189.5524.9862.88687.2712.12184.73389.21398.583684 63.88%.563987 3.37% Θz 8.15E-4 2.32E-3 5.7E-3 8.49E-3 8.55E-3.E+ 2.4E-3 1.6E-2 6.92E-3 1.51E-3 5.19E-3 69.34% 4.5E-3 13.27% 3 Πίνακας 18: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 251

4.6 Συµπεράσµατα και σχόλια Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκε το θεωρητικό υπόβαθρο της προτεινοµένης µεθόδου για την περίπτωση του µονώροφου µονοσυµµετρικού στρεπτικά δεσµευµένου και στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου. Το µοντέλο αυτό βασίζεται στην τροποποίηση της υφιστάµενης µεθοδολογίας υπολογισµού ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, η οποία λαµβάνει υπόψη τους µεταφορικούς µόνο βαθµούς ελευθερίας και η οποία παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο θεώρησης της βιβλιογραφίας σε µεθοδολογία που λαµβάνει υπόψη και τους στρεπτικούς βαθµούς ελευθερίας. Για τον υπολογισµό του ισοδύναµου ταλαντωτή χρησιµοποιείται το διάνυσµα των φασµατικών ιδιοµορφικών µετατοπίσεων και το διάνυσµα φασµατικών ιδιοµορφικών φορτίων το οποίο χρησιµοποιείται επίσης και ως διάνυσµα φόρτισης στην στατική ανελαστική ανάλυση. Παρουσιάστηκε επίσης εκτενώς και η ιδιοµορφική στατική ανελαστική ανάλυση (Chopra & Goel) όπως παρουσιάσθηκε πρόσφατα (24) για εφαρµογή σε πολυώροφα και ασύµµετρα κτίρια. Για την τεκµηρίωση της µεθόδου χρησιµοποιήθηκαν δυο διαφορετικά επίπεδα ελέγχου, ένα για την ακρίβεια της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος (παράγραφος 4), δηλαδή στην ουσία την αξιοπιστία του προτεινόµενου διανύσµατος φόρτισης και ένα για την τελική ανελαστική απόκριση του κτιρίου (παράγραφος 5), δηλαδή την µετατόπιση και στοχευόµενη στροφή, εξετάζοντας την αξιοπιστία της χρήσης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που προτείνεται. Και στα δύο επίπεδα ελέγχου οι συγκρίσεις έγιναν µε τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, και πιο συγκεκριµένα µε τις «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για το πρώτο επίπεδο και µε την µέση απόκριση κάθε οµάδας διεγέρσεων για το δεύτερο επίπεδο. Ως προς την αποτίµηση των καµπυλών αντοχής σηµειώνεται ότι ενώ αυτές που υπολογίζονται από την προτεινόµενη µέθοδο διαφέρουν µεταξύ τους ανάλογα µε την οµάδα διεγέρσεων στην οποία αντιστοιχούν, αυτό δεν ισχύει για την τροποποιηµένη µέθοδο Chopra ή και τις άλλες απλούστερες µεθόδους. Η εξήγηση αυτής της διαφοράς βρίσκεται στη συµµετοχή της φασµατικής επιτάχυνσης της κάθε ιδιοµορφής στον υπολογισµό του ποσοστού συµµετοχής της κάθε ιδιοµορφής που υπάρχει στην προτεινόµενη µέθοδο, η οποία δεν υπάρχει στην µέθοδο της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης όπως παρουσιάστηκε αρχικά παρά µόνο έµµεσα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 252

στην επέκταση της σε χωρικά συστήµατα, παραδοχή αναµενόµενη για την περίπτωση ανάλυσης επίπεδων ή στρεπτικά µη ευαίσθητων κτιρίων, ή στις απλούστερες µεθόδους. Όσον αφορά την αξιολόγηση του ισοδύναµου µονοβάθµιου ταλαντωτή παρατηρείται ότι το ποσοστό λάθους στην εκτίµηση της στοχευόµενης µετατόπισης είναι της τάξης του 1% και σε πολλές περιπτώσεις είναι µικρότερο από τη διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης για τα διάφορα επιταχυνσιογραφήµατα της οµάδας διεγέρσεων. Αυτή η παρατήρηση αµβλύνεται σηµαντικά στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου µε την αύξηση του αριθµού των επιταχυνσιογραφηµάτων, αλλά στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο η διασπορά της δυναµικής ανάλυσης είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Η διασπορά αύτη, όπως αναλύθηκε στην παράγραφο 4.2, οφείλεται στο ότι το Σ.µ. κτίριο είναι ως προς την στροφή γύρω από τον zz ισοστατικό σύστηµα. Έτσι µε τη διαρροή του ενός εκ των δύο περιµετρικών τοιχωµάτων η στρεπτική δυσκαµψία του κτιρίου γίνεται πρακτικά µηδενική -στρεπτική άρθρωση κατά την έννοια του zz γύρω από το τοιχείο που δεν έχει διαρρεύσει- προκαλώντας την απόκριση του φορέα σε αναλογία µε την µορφή της διέγερσης. Θα ήταν εποµένως κρίσιµο να καθοριστούν ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια για τα όρια µέχρι τα οποία θα πρέπει τα νέα κτίρια να είναι στρεπτικά µη δεσµευµένα και για τα οποία ισχύουν οι µέθοδοι ανάλυσης. Τα κριτήρια αυτά δεν θα πρέπει να εξετάζουν µόνο τα ελαστικά χαρακτηριστικά όπως Κ yy, K θ, Ω κλπ, αλλά να διασφαλίζουν την στρεπτική υπερστατικότητα ενός κτιρίου µε την ύπαρξη πλαισίων ή επαρκών τοιχωµάτων στην περίµετρο. Επίσης θα µπορούσε να προβλεφθεί σαφέστερη διαδικασία ικανοτικού σχεδιασµού έναντι στρέψης (πέραν των συνιστώµενων γενικών µορφολογιών φέροντος οργανισµού που υπάρχουν σε ορισµένους σύγχρονους κανονισµούς), έτσι ώστε σε επίπεδο κτιρίου να διασφαλίζεται η αστοχία των στοιχείων της περιµέτρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να µην διαταράσσεται η στρεπτική συµπεριφορά του φορέα όπως προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 253

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 4 Προτεινόµενη µέθοδος: Μονώροφα κτίρια 254

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟ ΟΣ: ΠΟΛΥΩΡΟΦΑ ΚΤΙΡΙΑ 5.1 Γενικά 256 5.2 Προτεινόµενη µέθοδος 256 5.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο 256 5.2.2 ιαδικασία υπολογισµού 263 5.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου 266 5.3 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων πολυωρόφων συστηµάτων 268 5.3.1 Επιλογή των φορέων 268 5.3.2 Γεωµετρική περιγραφή 269 5.3.3 Στατικά και δυναµικά χαρακτηριστικά 271 5.3.4 υναµικές καµπύλες αντοχής 275 5.3.5 Σχόλια επί των δυναµικών καµπυλών αντοχής 284 5.3.6 Εφαρµογή της µεθόδου Στατικές καµπύλες αντοχής 285 5.3.7 Σχόλια περί των στατικών και «δυναµικών» καµπυλών αντοχής 297 5.4 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 298 5.4.1 Γενικά 298 5.4.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 298 5.4.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 35 5.4.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 312 5.4.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 317 5.4.6 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης 323 5.5 Συµπεράσµατα και σχόλια 328 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια

5.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρητική ανάπτυξη της προτεινοµένης µεθόδου στατικής ανελαστικής ανάλυσης, ως προς το διάνυσµα φόρτισης και ως προς τον ορισµό του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή λαµβανοµένης υπόψη και της στρεπτικής συνιστώσας για την περίπτωση του πολυώροφου µονοσυµµετρικού φορέα. Η προτεινόµενη µέθοδος, συγκρίνεται µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση χρησιµοποιώντας τις «δυναµικές» καµπύλες αντοχής που υπολογίζονται µε τρόπο αντίστοιχο αυτού του µονώροφου φορέα στο κεφάλαιο 3. Η προτεινόµενη µέθοδος αξιολογείται επίσης ως προς την αξιοπιστία του ισοδύναµου µονοβαθµίου ταλαντωτή συγκρίνοντας την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή που προσδιορίζεται από την προτεινόµενη µέθοδο µε την δυναµική απόκριση για οµάδα διεγέρσεων συγκεκριµένης έντασης. Τέλος για την στοχευόµενη µετατόπιση συγκρίνονται σε σχέση µε την δυναµική απόκριση τα σχετικά βέλη και σχετικές στροφές ορόφων, καθώς και τοπικά µεγέθη όπως απαιτούµενες πλαστιµότητες και στροφές. 5.2 Προτεινόµενη µέθοδος 5.2.1 Θεωρητικό υπόβαθρο Έστω πολυώροφο (αριθµός ορόφων j=1-n) µονοσυµµετρικό (ως προς τον άξονα x-x στην περίπτωση του σχήµατος 1) κτίριο. Το κέντρο µάζας σηµειώνεται ως CM και το κέντρο δυσκαµψίας - ελαστικό κέντρο ως CR (Σχ.1). Οι εξισώσεις που περιγράφουν την ελαστική εξαναγκασµένη ταλάντωση του συστήµατος µε διέγερση κατά την διεύθυνση y-y αγνοώντας την απόσβεση είναι (Chopra Dynamics of structures, sec 9.5.4): 1 ος Όροφος n i n i & 1 y1( t) + ( u yj ( t) k yi1 j ) + ( θ z1 k yi1 jα xi1) = m1u& oy ( t) j= 1 1 j= 1 1 m u 2 2 ( u y ( t) α xi1k yi1 j ) + θ zj ( t) kt1 j + α yi1k xi1 j + xi1k yi1 = 2 1 1 z1 m r & n i n θ ( t) + α j= 1 1 j= 1 i i i (1α) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 256

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 257 j Όροφος = = = + + i n j i oy j xij yijj zj yijj n j yj yj j t u m k k t u t u m 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( & & & & α θ = + + + + = = i i i i yij xij xij yij tjj n j zj yijj xij n j yj zj j k k k t k t u t mjr 1 2 2 1 1 2 ) ( ) ) ( ( ) ( α α θ α θ & & n Όροφος (τελευταίος) = = = + + i n j i oy n xin yinj zn yinj n j yj yn n t u m k k t u t u m 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( & & & & α θ = + + + + = = i i i i yin xin xinj yin tnj n j zj yinj xin n j y zn n n k k k t k t u t r m 1 2 2 1 1 2 ) ( ) ) ( ( ) ( α α θ α θ & & ή σε µητρωïκή µορφή {Μ}{u& & }+{Κ}{u} = {M}{δ} ) (t u oy & & (1β) όπου = 2 2 2 1 1 1........................ n n n j j j r m m r m m m r m M = n n n n j n j n n n n n n n j n j n n n n j n j j j j j j j n j n j j j j j j j n n j j n n j j K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K,2 2 1,2 2,2 2 1,2 2,2 2,1 2 1,2 2 1 1,2 2 1,2 2 1 1,2 2 1,2 2 1,1 2,2 2 1,2 2,2 2 1,2 2,2 2,1 2 1,2 2 1 1,2 2 1,2 2 1 1,2 2 1,2 2 1,1 2 2,2 1 2, 2,2 1 2,2 22 21 1,2 1 1, 1,2 1 1,2 12 11.................................... M M M M M M M M M M M M M M M M

1 u&& y1 u y1 && θ z1 θ z1 M M M = 1 { δ} u && yj { u&& } = &&, u yj { u} = θ zj θ zj M M M 1 u&& yn u yn && θ zn θ zn µε i 1,1 Κ 12 = Κ 11 = k yi k 1,1α 1 i i 1 yi xi1 2 k yi1,1α xi1 Κ 22 = kti1,1 + α yi1k xi1,1 + 2 Κ 21 = α xi1k... 1 i 1 1 i i 1 yi1,1 Κ 2 j 1, 2 j 1 = i k yij, j Κ 2 j 1, 2 j = 1 i 1 k yij, j e xij i 2 k yij, jα xij Κ 2 j, 2 j = ktij, j + α yijk xij, j + 2 Κ 2, 2 1 = α k... j j 1 i k n Κ n n = yin, 2 1, 2 i 1 1 Κ 2n 1, 2n 1 = k yin, nα n n i 1 2 k n xin Κ n n = k n + yink n + yin, α 2, 2 tin, α xin, 2 Κ 2, 2 1 = α k 1 i i 1 1 1 i i xin i 1 i 1 xij xin yij, j yin, n όπου m 1,... m j, m n : η ταλαντούµενη µάζα στον όροφο 1,...j, n αντίστοιχα k xi1j, k yi1j : δύναµη στο δοµικό στοιχείο i κατά τη διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα, στον όροφο 1 για µετακίνηση του ορόφου j κατά µονάδα (µεταφορική δυσκαµψία) k ti,1,j : ροπή στρέψης µεµονωµένων δοµικών στοιχείων κατά τη διεύθυνση z- z στον όροφο 1 για στροφή του ορόφου j κατά µονάδα (δυστρεψία) α xij, α yij : απόσταση µεµονωµένων στοιχείων αντίστασης από το κέντρο µάζας CM κατά την διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα, στον όροφο j. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 258

u yj (t), θ zj (t) : σχετική (ως προς το έδαφος) µετατόπιση και στροφή του κέντρου µάζας CM συνάρτησει του χρόνου στον όροφο j. u& oy (t ) : η διεγείρουσα επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου u& yj ( t ), & θ ( t ): η δεύτερη παράγωγος της u yj (t) και θ zj (t), αντίστοιχα, ως προς το zj χρόνο (µεταφορική και στροφική επιτάχυνση) στον όροφο j. n Mt=Vy*e Vy j W1 W2 W3 CM CR 3os θz Mt=Vy*e Vy uy 2os W1 W3 CM CR W2 1os θz uy Σχήµα 1: Πολυώροφα κτίρια, στρεπτικά δεσµευµένο (άνω) και στρεπτικά µη δεσµευµένο (κάτω) Για να προσεγγισθεί η ανελαστική δυναµική ταλάντωση του συστήµατος µε έναν ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή, κατ αναλογία µε την περίπτωση του δισδιάστατου ταλαντωτή που περιγράφηκε στο κεφάλαιο επισκόπησης της βιβλιογραφίας και µε όσα αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο 4 για το µονώροφο κτίριο, γίνεται η παρακάτω παραδοχή: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 259

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 26 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( } { 2 1 1 1 t u t t u t t u t t u u y n z n y j z j y z yo zn yn zj yj z y = = φ φ φ φ φ φ θ θ θ M M M M ή {u}={φ } ) (t u y (2) και ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( } { 1 1 1 1 t p t M t V t M t V t M t V p n M n P j M j P Po tn yn tj yj t y = = Μ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ο M M M M ή {p}={ψ ο } ) (t p (3) όπου V yj (t), M tj (t) : οριζόντια δύναµη και ροπή στρέψης στο κέντρο µάζας CM του ορόφου j ) (t u y, ) (t p : βοηθητικές συναρτήσεις µετατόπισης και έντασης ως προς το χρόνο, αντιστοίχως Συνεπώς γίνεται η παραδοχή ότι οι µετατοπίσεις (u yj, θ zj ), καθώς και οι δυνάµεις ορόφου, εκφράζονται ως συνάρτηση του χρόνου χρησιµοποιώντας τα προεπιλεγµένα διανύσµατα φ ο (κανονικοποιηµένες ιδιοµορφικές µετατοπίσεις u y ext, θ y ext ) και ψ o (κανονικοποιηµένα ιδιοµορφικά φορτία V ext,, M ext ) και αντίστοιχες βοηθητικές συναρτήσεις οι οποίες θα απαλειφθούν στο πέρας της διαδικασίας, µην απαιτώντας συνεπώς περαιτέρω προσδιορισµό. Στις εξισώσεις (1) ο όρος = = + i n j i xij yijj zj yijj n j yj a k k t u 1 1 1 1 ) ( ) ) ( ( θ εκφράζει τη γενικευµένη οριζόντια δύναµη επαναφοράς για τον όροφο j, ) p (t poj ψ, = = + i n j i xij yijj zj yijj n j yj a k k t u 1 1 1 1 ) ( ) ) ( ( θ = ) p (t poj ψ (4α)

ενώ ο όρος n j= 1 y i n 2 axi1k yi1 j ) + zj ( t) kt1 j + a yi1k xi1 j + ( u ( t) θ 1 j= 1 i i i εκφράζει τη γενικευµένη στρεπτική ροπή επαναφοράς, ψ p(t ). n j= 1 i n 2 2 ( u y ( t) axi1k yi1 j ) + θ zj ( t) kt1 j + a yi1k xi1 j + a xi1k yi1 = ψ Moj p(t ) (4β) 1 j= 1 i i i Με βάση τους προηγούµενους ορισµούς οι όροι που εκφράζουν την δύναµη και την ροπή επαναφοράς του ελαστικού πολυβαθµίου συστήµατος στις εξισώσεις (1α) και (1β) έχουν αντικατασταθεί από τις δυνάµεις που υπολογίζονται για τον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή. Βάσει όλων των ανωτέρω, οι εξισώσεις (1α) και (1β) παίρνουν την κατωτέρω µορφή: a 2 xi1 Moj k yi1 1 ος Όροφος m1φ 1u & y y ( t) +ψ P1 p( t) = m1u& oy ( t) 2 m1 r1 φ 1u & z y ( t) + ψ Μ 1 p( t) = j Όροφος m j φ u& y j y ( t) +ψ P j p( t) = m ju& oy ( t) m j r 2 j φ z j u& t) + ψ Μ p( t) = (5α) y ( j n Όροφος (τελευταίος) mn φ u& y n y ( t) +ψ Pn p( t) = mnu& oy ( t) m 2 nrn φ zn u& t) + ψ Μ p( t) = y ( n ή σε µητρωϊκή µορφή { M}{ φ} u& + { ψ ο } p( t) = { M}{ δ} u& ( t) (5β) y oy Πολλαπλασιάζοντας την (5β) µε {φ o } Τ προκύπτει η εξίσωση: Τ { } { M}{ } u& Τ Τ φ φ y + { φ} { ψ ο } p( t) = { φ} { M}{ δ} u& oy ( t) (6) Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τέµνουσα βάσης µπορεί να ορισθεί ως: Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 261

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 262 = = = = n j j P o y t p h t V 1 ) ( } }{ { } }{ { ) ( ψ ψ δ δ (7α) και συνεπώς (t) p = = Τ = n j j P y y t V t V 1 ) ( } { } { ) ( ψ ψ δ (7β) Έπεται ότι η (6) µπορεί να µετασχηµατισθεί σε: ) ( } }{ { } { } { } { ) ( } { } { } }{ { } { t u M t V u M oy y y & & & & δ φ ψ δ ψ φ φ φ ο Τ Τ Τ Τ = + (8) Στη συνέχεια, υιοθετούνται οι παρακάτω συµβολισµοί m * ={φ } Τ {Μ}{δ} = = n j j y m j 1 φ (9α) u * y(t)=c 1 ) (t u y (9β) V * y(t) = c 2 V y (t) (9γ) Όπου = = Τ + = Μ = n j yoj j zoj yoj n j m r m m c 1 2 2 2 1 * 1 ) ( } }{ { } { φ φ φ φ φ ο ο (1α) = = Τ Τ + = = n j j P Moj zoj poj yoj n j c 1 1 2 ) ( } { } { } { } { ψ ψ φ ψ φ ψ δ ψ φ ο (1β) m *, u * y(t), V * y(t) : η µάζα, µετατόπιση και τέµνουσα του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή Εισάγοντας αυτά στην εξίσωση (8) προκύπτει: ) ( ) ( ) ( * * * * t m u t V t u m oy y y & & & & = + (11) Η εξίσωση (11) περιγράφει την ανελαστική απόκριση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή, ενώ οι εξισώσεις (9) και (1) την σχέση µεταξύ του πολυώροφου

τρισδιάστατου κτιρίου (προσοµοιωµένου ως πολυβαθµίου ταλαντωτή) και του ισοδύναµου µονοβάθµιου ταλαντωτή. 5.2.2 ιαδικασία υπολογισµού Η προτεινόµενη µεθοδολογία, όπως θεωρητικώς αναπτύχθηκε ανωτέρω, µπορεί να εφαρµοστεί ακολουθώντας τα κατωτέρω βήµατα 1. Επιλέγονται τα επιταχυνσιογραφήµατα που θα χρησιµοποιηθούν ως διέγερση για την ανελαστική ανάλυση. Απαιτείται ένας ελάχιστος αριθµός από 3-5 επιταχυνσιογραφήµατα, κατάλληλα κριτήρια επιλογής τους και διαδικασία αναγωγής σε κοινή µέγιστη επιτάχυνση ή ένταση, 2. Υπολογίζεται το µέσο ελαστικό φάσµα επιταχύνσεων των επιλεγµένων και κανονικοποιηµένων διεγέρσεων, και διενεργείται δυναµική φασµατική ελαστική ανάλυση από την οποία υπολογίζονται: u = θ zj (α) η µετατόπιση και στροφή στο κέντρο µάζας CM( [ ] yj ext, i κάθε ορόφου (j), βάσει της εξίσωσης k [ ext i ] = u j ext, i 2 u j ( Γ [ φ ] S, (12), i ij di ) i 1 όπου k: ο αριθµός των ιδιοµορφών S di η φασµατική µετακίνηση για την ιδιοµορφή i, µε S di =S ai /ω 2 i, και Γ i το ποσοστό συµµετοχής της ιδιοµορφής i { φi}{ Μ}{ δ} Γ i = T { φ } { M}{ φ } i i ext, i ) του {δ} µητρώο χωρικής κατανοµής της διέγερσης Φυσικά όπως αναφέρθηκε και στο κεφάλαιο 4, τα µεγέθη u θ zj [ ] = yj ext, i u j ext, i ext, i είναι φασµατικά µεγέθη (απόλυτες τιµές) που µπορούν δηµιουργούν στην περίπτωση του πολυώροφου πολλά ζεύγη τιµών (2 2j ). H επιλογή του ζεύγους τιµών που αντιστοιχεί σε πραγµατική εντατική Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 263

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 264 κατάσταση (στατική) για διέγερση µε φορά +yy µπορεί να γίνει µε την χρήση βοηθητικής ισοδύναµης στατικής ανάλυσης (µε τριγωνική ή οµοιόµορφη κατανοµή). (β) η φασµατική τέµνουσα και ροπή στρέψης ορόφου (V jmax, M jmax ) υπολογίζονται βάσει της εξίσωσης [S] = = Γ k i ai ij i S 1 2 ) ] [ ( φ (13) Αξίζει να σηµειωθεί εδώ ότι η επιλογή των φασµατικών φορτίων και ο συνδυασµός τους µε τις φασµατικές µετακινήσεις δεν πληρούν επακριβώς την εξίσωση (1) και χρήση τους αποτελεί µια επιπλέον παραδοχή. 3. Οι συντελεστές µετατροπής του πολυβαθµίου συστήµατος σε ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή είναι: ) ( } { 1 1 1 1 t u u u u u u u u y zn ext yn ext ext zj ext yj ext z ext y zn yn zj yj z y = = θ θ θ θ θ θ M M M M (14) και ) ( } { 1 1 2 1 1 t p M V M V M V M V M V M V h tn ext ext yn ext tj ext yj ext t ext y tn yn tj j y t y = = M M M M (15) δηλ. (από εξισώσεις 2 και 3)

Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 265 = zn ext yn ext ext zj ext yj ext z ext y n z n y j z j y z yo u u u θ θ θ φ φ φ φ φ φ M M M M 1 1 2 1 και = Μ ext tn ext yn ext tj ext yj ext t ext y n M n P j M j P Po M V M V M V M M M M 1 1 1 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ο 4. Η 3D στατική ανελαστική ανάλυση του κτιρίου εκτελείται µε διάνυσµα φόρτισης το υπολογισµένο από την ελαστική φασµατική ανάλυση (V j ext, M j ext ) στο κέντρο µάζας CM του κάθε ορόφου j. Υπολογίζεται η καµπύλη V-δ του πολυβαθµίου συστήµατος και, χρησιµοποιώντας τους συντελεστές c 1 και c 2 (εξισώσεις 1α, 1β) και βάσει και των 14 και 15 µετατρέπεται στην καµπύλη (φάσµα) αντοχής του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος V * /m * =c 2 V/m * and u * = c 1 u (16) 5. Υπολογίζεται το µέσο ανελαστικό φάσµα επιταχύνσεων-µετατοπίσεων των επιλεχθεισών κανονικοποιηµένων διεγέρσεων, από το οποίο προκύπτει το φάσµα απαίτησης για διάφορα επίπεδα πλαστιµότητας (µ), είτε µε απευθείας µεθόδους ολοκλήρωσης χρησιµοποιώντας κατάλληλο λογισµικό, είτε χρησιµοποιώντας απλοποιητικές µεθόδους που παρουσιάστηκαν και στην επισκόπηση της βιβλιογραφίας (Fajfar & Dolsek, Miranda κ.α.) 6. Από την τοµή της καµπύλης (φάσµατος) αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου συστήµατος µε το κατάλληλης πλαστιµότητας φάσµα απαίτησης υπολογίζεται η στοχευόµενη µετατόπιση (u * targ). 7. Η στοχευόµενη µετατόπιση της οροφής του πολυβαθµίου συστήµατος υπολογίζεται χρησιµοποιώντας το συντελεστή c 1 : u targ = u * targ/c 1 (17) ενώ η στοχευόµενη στροφή (θ targ ) υπολογίζεται από την στατική ανελαστική ανάλυση για µετατόπιση ίση µε τη µετατόπιση (u targ ).

5.2.3 Παρατηρήσεις επί της προτεινοµένης µεθόδου Όπως στο πρόβληµα του µονώροφου, έτσι και σε αυτή την περίπτωση του χωρικού τόσο η σχέση των συνιστωσών µετακινήσεων όσο και των συνιστωσών φόρτισης διατηρούν σταθερή αναλογία µέχρι το τέλος της ανάλυσης γεγονός που βρίσκεται σε απόκλιση από την ανελαστική θεώρηση, ειδικά όπως φαίνεται στην παρακάτω παράγραφο, στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου (Σ. ), αλλά πάντως όχι µεγαλύτερη απ ότι στην περίπτωση του επίπεδου συστήµατος. Η επίπτωση αυτή εντούτοις δεν είναι ιδιαίτερα σηµαντική ως προς τον προσδιορισµό των συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή, αλλά κυρίως στον υπολογισµό της καµπύλης V-δ του πολυβαθµίου συστήµατος. Με αντίστοιχο τρόπο µε αυτό του µονωρόφου γίνεται να ελεγχθεί η ευαισθησία της µέθοδο στην µεταβολή της δυσκαµψίας. Ανατρέχοντας στην σχέση (1α) η αντίσταση σε στροφή του κάθε ορόφου j µπορεί να εκφραστεί από την σχέση 2 k θj = ktji + yijk xij + α α k (18) i i i 2 xi yij θεωρώντας ότι η δυστρεψία των δοµικών στοιχείων είναι αµελητέα, k t =, προκύπτει k θj =(α 2 y1 k x1j +α 2 y2 k x2j )+( α 2 x1 k y1j +α 2 x2 k y2j ) (19) Για την περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου, οι δυσκαµψίες µπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση µίας δυσκαµψίας αναφοράς k y k y1j =k yj (2) k y2j =λ k yj (21) k x1j =k x2j =k xj (22) οπότε k θ =(α 2 y1 k x +α 2 y2 k x )+( α 2 x1 k y +α 2 x2 λ k y ) (23) k θ =k x (α 2 y1 +e 2 y2 )+k y (α 2 x1 +λ e 2 x2 ) (24) θέτοντας κ=α 2 2 y1 +α y2 (25) µ=α 2 2 x1 +λ α x2 (26) προκύπτει k θ = κ k x +µ k y, (27) Η δυστρεψία (ελαστική) εκφράζεται του ορόφου j, όπως αναπτύχθηκε και στο κεφάλαιο επισκόπισης της βιβλιογραφίας, για διέγερση κατά y-y από τον λόγο (Ω 2 ) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 266

Όπου Ω 2 j= J m k j θ j mj k yj (28) Εισάγοντας την σχέση (27) και τις (2) και (21) στην (28) προκύπτει Ω 2 j= m ( κ k j J mj k xj yj + µ k (1 + λ) y j) (29) Ω 2 j= J m j κ k xj m µ + ( 1+ λ) k J (1 + λ) mj yj mj k = f( k xj yj ) (3) Από την σχέση (3) φαίνεται ότι για µείωση του k yj προκύπτει αύξηση του (Ω 2 j), που εκφράζει την δυστρεψία, και συνεπώς στην περίπτωση του στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου, η µεταβολή της δυσκαµψίας κατά την ανελαστική ανάλυση επηρεάζει την σχέση µεταξύ µεταφορικής και στρεπτικής συνιστώσας. Λόγω όµως της πιθανής διαρροής και των στοιχείων κατά τον άξονα x-x, ιδίως στην περίπτωση της διέγερσης σε δύο διευθύνσεις, η επιρροή αυτή ενδέχεται να µην είναι σηµαντική σε πρακτικό επίπεδο. Για την περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου, σε συνέχεια της εξίσωσης (19), οι δυσκαµψίες µπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση µίας δυσκαµψίας αναφοράς k yj k y1j =k yj (31) k y2j =λ k yj (32) k x1j =k x2j = (33) οπότε k θj = α 2 x1j k yj +α 2 x2 λ k yj (34) k θj =k yj (α 2 x1j +λ α 2 x2j ) (35) θέτοντας µ=α 2 2 x1j +λ α x2j (36) προκύπτει k θj = µ k yj, (37) Η δυστρεψία (ελαστική) εκφράζεται, από τον λόγο (Ω 2 ), της σχέσης (28) Εισάγοντας την σχέση (36) και (37) στην (28) προκύπτει Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 267

Ω 2 j = Ω 2 j = J m mj J mj j k µ k yj yj ( 1+ λ) m µ ( 1+ λ) (38) (39) Από την σχέση (39) φαίνεται ότι ο λόγος (Ω 2 ), που εκφράζει την δυστρεψία, στην περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου εξαρτάται σε µεγαλύτερο βαθµό από την διαρροή κάποιων από τα στοιχεία αντίστασης οπότε ο όρος µ µειώνεται(πχ α χ1 =) και ο όρος λ (k y2 /k y1 ) µειώνεται οδηγώντας την ελαστική δυστρεψία σε µείωση. Βεβαίως όπως αναφέρεται και στις επόµενες παραγράφους, στην περίπτωση των πολυωρόφων κτιρίων δεν είναι δυνατή η διεξαγωγή παραµετρικών αναλύσεων µε την χρήση των θεωρητικών παραδειγµάτων του σχήµατος 1 (Σ.. και Σ.µ ) διότι για καθαρά υπολογιστικούς λόγους είναι η δύσκολη η ανελαστική ανάλυση (στατική και δυναµική) καθώς τα διαθέσιµα λογισµικά δεν παρέχουν τη δυνατότητα εισαγωγής διαφράγµατος (ή master & slave joints) µε αποτέλεσµα την προσφυγή σε µερικώς στρεπτικά δεσµευµένα κτίρια (τα οποία θα καλούνται δύστρεπτα) και µερικώς στρεπτικά µη δεσµευµένα κτίρια (τα οποία θα καλούνται εύστρεπτα) Αναφορικά µε τον τρόπο προσδιορισµού της στοχευόµενης µετατόπισης (u * targ) του ισοδυνάµου µονοβαθµίου, η οποία περιγράφεται στο βήµα 6 της παραγράφου 2.2, γίνεται χρήση της γραφικής µεθόδου που περιγράφεται και στο ATC-4, η οποία κατά την άποψη του γράφοντος είναι η πλέον ευθεία και κατανοητή µέθοδος. Παραλλαγές της, οι οποίες περιλαµβάνονται σε διάφορα εγχειρίδια και δηµοσιεύσεις µπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν χωρίς να αλλοιώνουν σε κάτι την προτεινόµενη µεθοδολογία. 5.3 Καµπύλες αντοχής πολυβάθµιων πολυωρόφων συστηµάτων 5.3.1 Επιλογή των φορέων Για την τεκµηρίωση της προτεινοµένης µεθόδου σε πολυώροφα κτίρια επιλέχθηκε η ανάλυση ενός τετραώροφου µονοσυµµετρικού πλαισιακού φορέα και ενός οκταώροφου µονοσυµµετρικού πλαισιακού φορέα. Οι δύο αυτοί φορείς έχουν εισαχθεί ως εύστρεπτοι και δύστρεπτοι µε την εισαγωγή ενός (Λ) δικτυώµατος στο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 268

ένα ακραίο πλαίσιο τους. Η κάτοψη του φορέα (δύστρεπτου και εύστρεπτου) φαίνεται στο σχήµα 2. 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 3x6 3Φ18 α/κ 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 (α) Φορέας χωρίς εκκεντρότητα (δύστρεπτος) 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 3x6 3Φ18 α/κ 3x6 3Φ18 α/κ Φ88.9x3.2 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 3x6 3Φ18 α/κ 4x4 8Φ18 (β) Φορέας µε εκκεντρότητα (εύστρεπτος) Σχήµα 2: Κάτοψη φέροντος οργανισµού πολυώροφου φορέα 5.3.2 Γεωµετρική περιγραφή Οι φορείς σχεδιάστηκαν σύµφωνα µε τους ισχύοντες κανονισµούς ΕΑΚ2 και ΕΚΟΣ2 µε την χρήση των προγραµµάτων ETABS & Etools. Σεισµικά φορτία pga=.16g, q=3.5, β ο =2.5 γ 1 =1., θ=1., Τ Β =.1sec- Τ C =.4sec Φορτία βαρύτητας g ι.β. = 25 ΚΝ/m 3, g δαπ = 1. ΚΝ/m 2, q= 2.KN/m 2 Οι δύο φορείς έχουν διαστάσεις κάτοψης 12.mx4.m και ύψος ορόφου 3.m. Αποτελούνται από δύο τύπου πλαίσια Ο/Σ, το τρίστυλο πλάισιο στην διεύθυνση x-x και το δίστυλο πλαίσιο στη διεύθυνση y-y. Οι διαστάσεις των στύλων είναι 4x4cm. και οι δοκοί είναι διατοµής (Τ) µε διάσταση 3x6cm και πλάτος πλάκας 1.2m και πάχος 2cm. Οι διατοµές φαίνονται στο σχήµα 3. Κρίνεται σκόπιµο να αναφερθεί ότι για λόγους απλοποίησης υιοθετήθηκε κοινός τύπος δοµικών στοιχείων Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 269

για όλους τους ορόφους (τα δυσµενέστερα) επιλογή που δεν θα γίνονταν στην περίπτωση σχεδιασµού πραγµατικού κτιρίου. 8Φ18 3Φ18 Σχήµα 3: ιατοµή στύλου και δοκού Τα πλαίσια συνδέονται µε πλάκα Ο/Σ απαραµόρφωτη στο οριζόντιο επίπεδο η οποία διασφαλίζει την διαφραγµατική λειτουργία. Η µεταφορική µάζα κάθε ορόφου των κτιρίων είναι M= 33.25[t] (του 1 ου ορόφου είναι 31.5 [t] διότι η µισή µόνο µάζα των κατακόρυφων στοιχείων του ταλαντώνεται) και η στρεπτική µάζα κάθε ορόφου των κτιρίων είναι 2 2 l x l y J m = m + = 443.54 [tm 2 ] (του 1 ου ορόφου είναι 42.54[tm 2 ]) 12 Ειδικά για την διέγερση Q1 η µάζα διπλασιάστηκε, δηλαδή M=66.53 [t] και J m =997,48 [tm 2 ] έτσι ώστε ο φορέας να παρουσιάσει ανελαστική συµπεριφορά. Η προσοµοίωση της ανελαστικής συµπεριφοράς των κτιρίων γίνεται µε το πρόγραµµα ZEUS NL v1.2 του Mid American Earthquake Center ZEUS (Elnashai, A.S, Papanikolaou V.K and Lee D.H, 25)., το οποίο χρησιµοποιεί το µοντέλο της κατανεµηµένης ανελαστικότητας που περιγράφεται και στο κεφάλαιο 3. Η επιλογή αυτού του πιο εξελιγµένου προσοµοιώµατος έγινε λόγω διαπιστωµένων υπολογιστικών αδυναµιών και δυσκολιών στη διαχείριση µεγάλου όγκου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 27

αποτελεσµάτων στην ανελαστική δυναµική ανάλυση πολυωρόφων χωρικών φορέων µε τα εµπορικά προγράµµατα ανάλυσης. Τα προσοµοιώµατα, τα οποία είναι τα ίδια τόσο για την στατική όσο και για την δυναµική ανάλυση φαίνονται ενδεικτικά στο σχήµα 4. 5.3.3 Στατικά και δυναµικά χαρακτηριστικά Οι καµπύλες αντοχής των επιµέρους τετραώροφων επίπεδων πλαισίων, όπως έχουν υπολογιστεί µε το λογισµικό ZEUS, φαίνονται στα σχήµατα 7 και 8 που ακολουθούν. Σχήµα 4: Στατικό προσοµοίωµα τετραώροφου και οκταώροφου φορέα Οι διατοµές των δοµικών στοιχείων έχουν εισαχθεί µε βάση την γεωµετρία του και τα προσοµοιώµατα υλικού που ακολουθούν στο πρόγραµµα ZEUS NL όπου όπως έχει αναφερθεί και στο προηγούµενο κεφάλαιο χρησιµοποιείται προσοµοίωµα µε κατανεµηµένη ανελαστικότητα (Fiber model), οι ιδιότητες για το σκυρόδεµα και τον χάλυβα οπλισµού που εισήχθησαν φαίνονται στα σχήµατα 5 και 6 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 271

Σχήµα 5: ιάγραµµα χάλυβα οπλισµών όπως εισήχθη στο ZEUS NL Σχήµα 6: ιάγραµµα σκυροδέµατος όπως εισήχθη στο ZEUS NL Πλαίσιο x-x 1 8 KN 6 4 2 5 1 15 2 25 3 35 mm Σχήµα 7: Όψη πλαισίου κατά χ-χ και καµπύλη αντοχής του Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 272

Πλαίσιο y-y KN 35 3 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 mm Σχήµα 8: Όψη πλαισίου κατά y-y και καµπύλη αντοχής του Οι θεµελιώδεις ιδιοµορφές για το τετραώροφο δύστρεπτο και εύστρεπτο κτίριο δίνονται στον κατωτέρω πίνακα 1 ενώ για το οκταώροφο στον πίνακα 2 µαζί µε τα ποσοστά συµµετοχής ανά δυναµικό βαθµό ελευθερίας (Ux, Uy, Rz). ΥΣΤΡΕΠΤΟ ΕΥΣΤΡΕΠΤΟ Ιδιοµορφή Περίοδος Ux [%] Uy [%] Rz [%] Περίοδος Ux [%] Uy [%] Rz [%] 1.459 86.75.459 86.75 2.456 86.2.439 66.11 2.4 3.48 86.59.339 19.83 66.52 4.152 9.68.159 9.686 5.151 1.62.146 8.33 2.18 6.136 1.1 9.115 2.49 8.3 7.93 2.86.93 2.87 8.91 2.73.89 2.6.67 9.83 2.752 1.72.692 1.72.69.7.63 1.94 11.72.61.69.44.18 12.65.63.55.12.44 Πίνακας 1: Ιδιοµορφές τετραώροφου φορέα Από τον πίνακα 1 φαίνεται ότι οι δύο κύριες µεταφορικές ιδιοµορφές και η κύρια στρεπτική εχουν πολύ κοντινές ιδιοπεριόδους, γεγονός που δηµιουργεί προβλήµατα στον συνδυασµό τους (CQC έναντι SRSS) ΥΣΤΡΕΠΤΟ ΕΥΣΤΡΕΠΤΟ Ιδιοµορφή Περίοδος Ux [%] Uy [%] Rz [%] Περίοδος Ux [%] Uy [%] Rz [%] 1.981. 79.7..939. 68.981 1.844 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 273

2.99 83.191...99 83.198.. 3.826.. 82.256.718. 9.873 7.569 4.313. 13.478..31 1.86.. 5.31 1.93...3. 11.733 1.527 6.271.. 11.65.233. 2.591 1.463 7.177 3.392...177 3.392.. 8.173. 3.589..168. 2.783.781 9.157.. 3.459.131..868 2.729 1.126 1.663...126 1.663.. 11.123. 1.683..119. 1.286.388 12.112.. 1.652.99.94.. 13.99.94...94..349.58 14.97..865..94..696.849 15.88...87.83.484.. 16.83.484...79..329.117 17.81..446..74..199.61 18.74...453.73.217.. 19.73.217...7..139.53 2.72..191..67.56.. 21.68.56...65..37.1 22.67..48..63..91.314 23.66...197.56..37.134 24.61...49.53..9.33 Πίνακας 2: Ιδιοµορφές οκταώροφου φορέα Στο σχήµα 9 φαίνεται η 2 η ιδιοµορφή του τετραώροφου φορέα και στο σχήµα 1 η 1 η ιδιοµορφή του οκταώροφου φορέα οι οποίες όπως φαίνεται και από τους πίνακες είναι οι πρώτες κατά την διεύθυνση y-y. (α) ύστρεπτος φορέας Σχήµα 9: 1 η κατά y-y ιδιοµορφή (2 η συνολικά) τετραώροφου φορέα (β) Εύστρεπτος φορέας Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 274

(α) ύστρεπτος φορέας (β) Εύστρεπτος φορέας Σχήµα 1: 1 η κατά y-y ιδιοµορφή (θεµελιώδης) οκταώροφου φορέα 5.3.4 υναµικές καµπύλες αντοχής Ακολουθώντας την µεθοδολογία που αναπτύχθηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3 και χρησιµοποιώντας τις ίδιες οµάδες επιταχυνσιογραφηµάτων Q1, Q2, Q3 και Q4 τα χαρακτηριστικά των οποίων περιγράφονται στο κεφάλαιο 3, υπολογίζονται οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για τον τετραώροφο και τον οκταώροφο εύστρεπτο φορέα για διέγερση σε µία διεύθυνση. Οι δυναµικές καµπύλες αντοχής προκύπτουν, όπως και στο κεφάλαιο 3, για δυο διαφορετικές περιπτώσεις αντιστοίχισης µεγεθών στην χρονοϊστορία, δηλαδή για την µέγιστη µετατόπιση µε την αντίστοιχη σε αυτή τέµνουσα βάσης (maxd) και την µέγιστη τέµνουσα βάσης µε την αντίστοιχη σε αυτή µετατόπιση (maxbs) εισάγοντας και στις δύο την δυνατότητα ενός χρονικού «παραθύρου» διάρκειας συν ή πλην ενός βήµατος. Εντούτοις, όπως έχει ήδη διευκρινιστεί στην περίπτωση του µονωρόφου, η καµπύλη που αντιστοιχίζει στην µέγιστη µετατόπιση την αναπτυσσόµενη τέµνουσα βάσης είναι η πλέον αντιπροσωπευτική, καθώς η άλλη καµπύλη (maxbs) αναφέρεται σε κτίριο στρεπτικά δεσµευµένο (βλ. Κεφ.3 5.2), είτε αυτό ισχύει για το υπό µελέτη κτίριο είτε όχι. Στα σχήµατα 11-14 φαίνονται αυτές οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για διέγερση παράλληλη προς την διεύθυνση y-y, τόσο σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης µετατόπισης, όσο και σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης-στροφής του άνω ορόφου Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 275

του τετραώροφου κτιρίου για τις κανονικοποιηµένες οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2. Οι καµπύλες αυτές έχουν προκύψει από 12 δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν µε το πρόγραµµα ZEUS NL. KN 3 25 2 15 1 5 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση y-y - Q1.2.4 m.6.8 1 Frilli maxd-cor1 Friuli max BS cor1 Gazli maxd-cor1 Gazli max BS cor1 Tabas maxd-cor1 Tabas max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 11: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση KN 3 25 2 15 1 5 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση y-y - Q1.1.2.3.4.5 rad Friuli maxd-cor1 Friuli max BS cor1 Gazli maxd-cor1 Gazli max BS cor1 Tabas maxd-cor1 Tabas max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 12: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 276

3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q2 25 2 KN 15 1 5.2.4.6.8 1 m Alkion maxd-cor1 Alkioni max BS cor1 Ionian maxd-cor1 Ionian max BS cor1 Kalam maxd-cor1 Kalam max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 13: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση 3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q2 25 2 KN 15 1 5.1.2.3.4.5 rad Alkion maxd-cor1 Alkioni max BS cor1 Ionian maxd-cor1 Ioniani max BS cor1 Kalam maxd-cor1 Kalam max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 14: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Στα σχήµατα 15-18 φαίνονται αυτές οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για διέγερση παράλληλη προς την διεύθυνση y-y, τόσο σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης µετατόπισης όσο και σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης-στροφής του άνω ορόφου του οκταώροφου κτιρίου, για τις κανονικοποιηµένες οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2. Οι καµπύλες αυτές έχουν προκύψει από 12 δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν µε το πρόγραµµα ZEUS. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 277

KN 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q1.2.4.6 m Friuli maxd-cor1 Friuli max BS cor1 Gazli maxd-cor1 Gazli max BS cor1 Tabas maxd-cor1 Tabas max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 15: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q1 KN 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4.5 rad Friuli maxd-cor1 Friuli max BS cor1 Gazli maxd-cor1 Gazlii max BS cor1 Tabas maxd-cor1 Tabas max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 16: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 278

3 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q2 25 KN 2 15 1 5.2.4.6.8 1 Alkion maxd-cor1 Alkion max BS cor1 ionian maxd-cor1 ionian max BS cor1 Kalam maxd-cor1 Kalam max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) m Σχήµα 17: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση 3 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q2 25 KN 2 15 1 5.2.4.6 Alkion maxd-cor1 Alkion max BS cor1 Ionian maxd-cor1 Ioniani max BS cor1 Kalam maxd-cor1 Kalam max BS cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) rad Σχήµα 18: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Στα σχήµατα 19-22 φαίνονται αυτές οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για διέγερση παράλληλη προς την διεύθυνση y-y, τόσο σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης µετατόπισης, όσο και σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης-στροφής του άνω ορόφου του τετραώροφου κτιρίου για τις κανονικοποιηµένες οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4. Οι καµπύλες αυτές έχουν προκύψει από 4 δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 279

KN 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2.25 m 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 4storey_1 4storey_1-BS 4storey_2-BS 4storey_3-BS 4storey_4-BS 4storey_5-BS 4storey_6_BS 4storey_7_BS 4storey_8-BS 4storey_9-BS 4storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 19: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση KN 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3.5.1.15.2.25.3 m 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 4storey_1 4storey_1-BS 4storey_2-BS 4storey_3-BS 4storey_4-BS 4storey_5-BS 4storey_6_BS 4storey_7_BS 4storey_8-BS 4storey_9-BS 4storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 2: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 28

KN 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4.1.2.3.4.5.6.7.8 m 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 4storey_1 4storey_1-BS 4storey_2-BS 4storey_3-BS 4storey_4-BS 4storey_5-BS 4storey_6_BS 4storey_7_BS 4storey_8-BS 4storey_9-BS 4storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 21: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση KN 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q4.2.4.6.8.1.12 rad 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 4storey_1 4storey_1-BS 4storey_2-BS 4storey_3-BS 4storey_4-BS 4storey_5-BS 4storey_6_BS 4storey_7_BS 4storey_8-BS 4storey_9-BS 4storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 22: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Στα σχήµατα 23-26 φαίνονται αυτές οι «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για διέγερση παράλληλη προς την διεύθυνση y-y, τόσο σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 281

µετατόπισης, όσο και σε διαγράµµατα τέµνουσας βάσης-στροφής του άνω ορόφου του οκταώροφου κτιρίου για τις κανονικοποιηµένες οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4. Οι καµπύλες αυτές έχουν προκύψει από 4 δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις. KN 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3.2.4.6.8.1.12.14.16.18.2 m 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 8storey_1 8storey_1-BS 8storey_2-BS 8storey_3-BS 8storey_4-BS 8storey_5-BS 8storey_6_BS 8storey_7_BS 8storey_8-BS 8storey_9-BS 8storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 23: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση KN 7 6 5 4 3 2 1 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3.2.4.6.8.1.12 rad 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 8storey_1 8storey_1-BS 8storey_2-BS 8storey_3-BS 8storey_4-BS 8storey_5-BS 8storey_6_BS 8storey_7_BS 8storey_8-BS 8storey_9-BS 8storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 24: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 282

KN 16 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4.2.4.6.8 1 m 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 8storey_1 8storey_1-BS 8storey_2-BS 8storey_3-BS 8storey_4-BS 8storey_5-BS 8storey_6_BS 8storey_7_BS 8storey_8-BS 8storey_9-BS 8storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 25: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση KN 16 14 12 1 8 6 4 2 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4.2.4.6.8 1 m 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 8storey_1 8storey_1-BS 8storey_2-BS 8storey_3-BS 8storey_4-BS 8storey_5-BS 8storey_6_BS 8storey_7_BS 8storey_8-BS 8storey_9-BS 8storey_1-BS Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 26: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 283

5.3.5 Σχόλια επί των δυναµικών καµπυλών αντοχής Οι παραπάνω καµπύλες έχουν προκύψει από 184 ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις, µοιρασµένες εξίσου στο τετραώροφο και το οκταώροφο εύστρεπτο κτίριο. Σε αντίθεση µε την περίπτωση του µονώροφου, δεν πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις µε διέγερση σε δύο διευθύνσεις καθώς τα αποτελέσµατα του µονώροφου δεν έδειξαν ουσιαστικές διαφορές στην απόκριση. Από τις καµπύλες αυτές επιβεβαιώνεται η παρατήρηση που έγινε και στο κεφάλαιο 3 ότι οι δύο διαφορετικές δυνατότητες αντιστοίχησης των µεγεθών έντασης και απόκρισης δίδουν διαφορετικές καµπύλες ειδικά στην περίπτωση των κτιρίων που παρουσιάζουν φαινόµενα στρέψης και µάλιστα η καµπύλη της µέγιστης τέµνουσας βάσης δίνει κατά πολύ µεγαλύτερη αντοχή σε σχέση µε αυτή της µέγιστης µετατόπισης. Επίσης η παρατήρηση του νέφους των σηµείων που αντιστοιχούν σε ζεύγη απόκρισης της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης για διάφορες εντάσεις (IDA) επιβεβαιώνει την παρατήρηση ότι στα κτίρια µε προβλήµατα στρέψης η απόκριση και την δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης είναι ιδιαίτερα αναξιόπιστη. Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της διασποράς των αποκρίσεων της δυναµικής ανάλυσης κατά την αύξηση της έντασης διερευνήθηκε τόσο η επιρροή του τρόπου κανονικοποίησης όσο και του αριθµού των διεγέρσεων κάθε οµάδας. Επιλέγοντας διαφορετικούς τρόπους κανονικοποίησης για τις οµάδες Q1 Q4 ( pga, Arias, Housner) αλλά και µεγαλώνοντας τον αριθµό των διεγέρσεων (από 3 σε 1) δεν κατέστη δυνατή η µείωση της διασποράς η οποία για την περίπτωση του στρεπτικά µη δεσµευµένου έχει την εικόνα νέφους. Στον πίνακα 3 απεικονίζεται αυτή η διασπορά για δεδοµένο επίπεδο έντασης, που εκφράζεται ως µέση µετατόπιση του CM στον ανώτερο όροφο. Εύστρεπτο τετραώροφο Εύστρεπτο οκταώροφο Q1 set Μέση c.o.v. Q1 set Μέση c.o.v. uy [cm] 7.169 32% uy [cm] 24.999 75% Θz [rad].1 27% Θz [rad].13 9% Q2 set Μέση c.o.v. Q2 set Μέση c.o.v. uy [cm] 15.499 22% uy [cm] 13.916 25% Θz [rad].16 19% Θz [rad].7 2% Q3 set Μέση c.o.v. Q3 set Μέση c.o.v. uy [cm] 13.847 32% uy [cm] 21.61 32% Θz [rad].19 29% Θz [rad].11 31% Q4 set Μέση c.o.v. Q4 set Μέση c.o.v. uy [cm] 13.41 64% uy [cm] 35.913 95% Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 284

Θz [rad].17 63% Θz [rad].25 88% Πίνακας 3: ιασπορά στα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για δεδοµένο επίπεδο έντασης. Από το σηµείο αυτό φαίνεται σαφέστερα στην περίπτωση των πολυωρόφων κτιρίων το µεγάλο πρόβληµα που παρουσιάζουν τα στρεπτικώς µη δεσµευµένα (εύστρεπτα) κτίρια η απόκριση των οποίων φαίνεται να έχει πολύ µεγάλη διασπορά γύρω από την µέση θεωρητική λύση, και σε µεγάλο βαθµό τεκµηριώνει την σύσταση όλων των κανονισµών για αποφυγή τέτοιων κτιρίων. Εξετάζοντας το θέµα µε ποιοτικά κριτήρια, βασική αιτία είναι ότι το ευστρεπτο. κτίριο είναι ως προς την στροφή γύρω από τον zz µια φορά υπερστατικό σύστηµα. Έτσι µε τη διαδοχική διαρροή των δύο εξ αριστερών πλαισίων η στρεπτική δυσκαµψία του κτιρίου γίνεται πρακτικά µηδενική -στρεπτική άρθρωση κατά την έννοια του zz γύρω από το πλαίσιο που δεν έχει διαρρεύσει- προκαλώντας την απόκριση του φορέα σε αναλογία µε την µορφή της διέγερσης. Θα ήταν εποµένως κρίσιµο να καθοριστούν ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια για τα όρια µέχρι τα οποία θα πρέπει τα νέα κτίρια να είναι στρεπτικά µη δεσµευµένα και για τα οποία ισχύουν οι µέθοδοι ανάλυσης. Τα κριτήρια αυτά δεν θα πρέπει να εξετάζουν τα ελαστικά χαρακτηριστικά όπως Κ yy, K θ, Ω κλπ, αλλά να διασφαλίζουν την στρεπτική υπερστατικότητα ενός κτιρίου µε την ύπαρξη πλαισίων ή πολλών τοιχείων στην περίµετρο. Επίσης θα µπορούσε να προβλεφθεί ικανοτικός σχεδιασµός έναντι στρέψης, δηλαδή σε επίπεδο κτιρίου να διασφαλίζεται η αστοχία των στοιχείων της περιµέτρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να µην διαταράσσεται η στρεπτική συµπεριφορά του φορέα όπως προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση. 5.3.6 Εφαρµογή της µεθόδου Στατικές καµπύλες αντοχής Στην παρούσα ενότητα γίνεται ο έλεγχος της αξιοπιστίας του διανύσµατος φόρτισης της προτεινοµένης µεθόδου, συγκρίνοντας την καµπύλη αντοχής που προκύπτει από την στατική ανελαστική ανάλυση µε την αντίστοιχη δυναµική καµπύλη αντοχής του κτιρίου, µέγεθος το οποίο ενέχει, όπως προαναφέρθηκε µεγάλο βαθµό στατιστικής αναξιοπιστίας (διασπορά) καθώς η πλέον ακριβής προσέγγιση η οποία θα ήταν πειραµατικά δεδοµένα, είναι αδύνατο να υπάρξουν για πολυώροφα κτίρια και µεγάλο αριθµό διεγέρσεων.. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 285

Βάσει αυτών των ιδιοµορφικών αναλύσεων αλλά και των φασµάτων που παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια, προέκυψαν τα διανύσµατα φόρτισης για το τετραώροφο και το οκταώροφο κτίριο όπως φαίνονται στους πίνακες 4-5 που ακολουθούν για την προτεινόµενη µέθοδο, εφαρµόζοντας τις εξισώσεις (12) και (13): [u,θ]= 2 ( Γi [ φ i ] S di ),[V,Τ] = Γi [ φ i ] S ( ai ) 2 Στους πίνακες που ακολουθούν χρησιµοποιούνται οι κατωτέρω συµβολισµοι: Φ: Αύξων αριθµός ιδιοµορφής ανά όροφο Τ: Ιδιοπερίοδος ιδιοµορφής ω: κυκλική ιδιοσυχνότητα ιδιοµορφής ω=2π/τ Γx, Γy, Γθ: Συµµετοχή της µάζας σε κάθε διεύθυνση µετατόπιση κατά xx, yy και στροφή γύρω από zz- για κάθε ιδιοµορφή και όροφο Φix,Φiy,Φiz: Ιδιοµορφικές µετατοπίσεις M, Jm: Μάζα κατά yy στρεπτική µάζα γύρω από τον zz Sa, Sd: Φασµατική επιτάχυνση και φασµατική µετατόπιση αντίστοιχα ux, uy, θ: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις Vy, Mt: Φασµατική ιδιοµορφική τέµνουσα ορόφου κατά yy και φασµατική ιδιοµορφική ροπή στρέψης ορόφου αντίστοιχα. Chopra V,M: Ιδιοµορφικά φορτία βάσει της µεθόδου Chopra Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 286

ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Q1- Σ.µ.-4storey story1 Φ Τ ω Γχ Γy Γθ Φix Φiy Φizz Sa Sd m(i1) Jm(i3) Uy Ux Θ Vx Vy Mt Chopra Vx Chopra Vy Chopra Mt story1-1.32 19.36-1.67...3.. 1.64.3 31.54 473.4. -.1. -122.86.. 1.8.. story1-2.31 2.2. 9.32-24.82. -.3. 1.91.3 31.54 473.4 -.1... -94.28 163.55. -.93 1.61 story1-3.24 26.14. -5.1-45.22..2.1 1.39.2 31.54 473.4.... -26.93-157.3..51 2.96 story1-4.11 58.13 3.57.. -.9.. 6.88. 31.54 473.4... -71.5.. -2.91.. story1-5.1 6.68. -3.31 8.19..8 -.1 6.67. 31.54 473.4.... -57.49 95.21. 2.61-4.32 story1-6.8 77.14. 1.81 15.71. -.5 -.2 5.84. 31.54 473.4.... -15.18-86.23. -1.44-8.17 story1-7.7 95.31-1.94...12.. 5.3. 31.54 473.4... -37.51.. 3.65.. story1-8.6 1.8. 1.64-4.55. -.1.1 5.18. 31.54 473.4.... -27.33 47.24. -3.2 5.54 story1-9.5 123.93 -.95...8.. 4.76. 31.54 473.4... -11.94.. 2.63.. story1-1.5 126.2. -.91-7.73..6.2 4.73. 31.54 473.4.... -7.92-42.. 1.85 9.8 story1-11.5 128.57..76-2.35. -.7.1 4.72. 31.54 473.4.... -7.89 14.58. -2.2 4.6 story1-12.4 16.25. -.4-3.65..4.1 4.58. 31.54 473.4.... -2.16-12.44. 1.19 6.84 Σ -1. 3.82-64.42 SRSS.1.1. 147.5 118.43 268.83 Πίνακας 4: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις και φασµατικά φορτία Σ.µ τετραώροφου κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 (Οι πίνακες για το σύνολο των ορόφων και για όλες τις διεγέρσεις παρατίθενται στο παράρτηµα 3) ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ Q1- Σ.µ.-8storey story1 Φ Τ ω Γχ Γy Γθ Φix Φiy Φizz Sa Sd m(i1) Jm(i3) Uy Ux Θ Vx Vy Mt Chopra Vx Chopra Vy Chopra Mt story1-1.94 6.69. 19.1-36.66. -.1. 5.95.13 63.7 946.8 -.2... -48.3 68.81. -.42.61 story1-2.91 6.91-2.97...1.. 6.14.13 63.7 946.8. -.2. -7.67...55.. story1-3.72 8.76. -7.23-93.52... 8.61.11 63.7 946.8.... -8.24-91.26..13 1.47 story1-4.3 2.88-7.3...3.. 11.12.3 63.7 946.8... -135.74.. 1.67.. story1-5.3 2.94. 7.88-13.76. -.2. 11.14.3 63.7 946.8.... -134.99 185.6. -1.54 2.11 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 287

story1-6.23 26.92. -3.7-36.1..1.1 1.33.1 63.7 946.8.... -26.77-187.38..7 4.9 story1-7.18 35.48 4.24.. -.4.. 9.5.1 63.7 946.8... -17.11.. -2.66.. story1-8.17 37.47. 3.84-9.84. -.4. 9.28.1 63.7 946.8.... -85.57 144.52. -2.4 4.6 story1-9.13 48.6. -2.14-18.39..2.1 7.95. 63.7 946.8.... -23.33-129.47. 1.37 7.6 story1-1.13 49.76-2.97...5.. 7.74. 63.7 946.8... -77.77.. 3.39.. story1-11.12 52.61. 2.61-6.93. -.5.1 7.42. 63.7 946.8.... -58.19 99.91. -3.1 5.17 story1-12.1 63.58-2.19...6.. 6.46. 63.7 946.8... -52.96.. 3.75.. story1-13.9 67.2. -1.36 8.48..4 -.1 6.28. 63.7 946.8.... -22.63 69.73. 2.66-8.18 story1-14.9 67.15. 1.92 1.26. -.4 -.1 6.27. 63.7 946.8.... -31.49-87.88. -2.62-7.3 story1-15.8 76.11-1.6...6.. 5.88. 63.7 946.8... -33.96.. 3.61.. story1-16.8 79.66. 1.32-3.81. -.5.1 5.75. 63.7 946.8.... -23.43 41.68. -3.9 5.5 story1-17.7 84.88. 1.3 8.69. -.3 -.1 5.58. 63.7 946.8.... -1.95-57.76. -1.91-1.9 story1-18.7 86.34 1.7.. -.5.. 5.54. 63.7 946.8... -17.21.. -2.9.. story1-19.7 89.74..86-2.55. -.4. 5.44. 63.7 946.8.... -11.38 2.43. -2.44 4.38 story1-2.7 93.1.54.. -.3.. 5.35. 63.7 946.8... -4.73.. -1.63.. story1-21.7 96.25. -.44 1.13..2. 5.27. 63.7 946.8.... -3.26 5.15. 1.39-2.19 story1-22.6 1.6..69 6.24. -.3 -.1 5.19. 63.7 946.8.... -6.2-34.32. -1.68-9.56 story1-23.6 112.. -.44-4.7..2.1 4.95. 63.7 946.8.... -2.89-16.52. 1.31 7.51 story1-24.5 119.64..22 2.3. -.1. 4.82. 63.7 946.8.... -.74-4.33. -.71-4.13 Σ -29.19 2.35-215.11 SRSS.2.2. 212.65 186.88 386.82 Πίνακας 5: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις και φασµατικά φορτία Σ.µ οκταώροφου κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 (Οι πίνακες για το σύνολο των ορόφων και για όλες τις διεγέρσεις παρατίθενται στο παράρτηµα 3) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 288 288

Στα σχήµατα 27 και 28 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 στο εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και στα σχήµατα 28 και 29 στο εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. 3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση y-y - Q1 25 KN 2 15 1 5 push Frilli maxd-cor1 Gazli maxd-cor1 Tabas maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs).2.4 m.6.8 1 Σχήµα 27: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση y-y - Q1 KN 25 2 15 1 5 push Friuli maxd-cor1 Gazli maxd-cor1 Tabas maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs).e+ 1.E-2 2.E-2 3.E-2 4.E-2 5.E-2 rad Σχήµα 28: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια

Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q1 KN 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4.5.6 m push Gazli maxd-cor1 Tabas maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 29: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q1 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2.E+ 1.E-2 2.E-2 3.E-2 4.E-2 5.E-2 KN rad push Gazli maxd-cor1 Tabas maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 3: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1 Στα σχήµατα 31 και 32 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 στο εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και στα σχήµατα 33 και 34 στο εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 29

3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q2 KN 25 2 15 1 5 push Ionian maxd-cor1 Kalam maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs).2.4.6.8 1 m Σχήµα 31: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 3 Χωρικό τετραώροφο Πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q2 KN 25 2 15 1 push Ionian maxd-cor1 Kalam maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) 5.E+ 1.E-2 2.E-2 3.E-2 4.E-2 5.E-2 rad Σχήµα 32: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 291

3 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-δ ιεύθυνση yy-q2 KN 25 2 15 1 5.2.4.6.8 1 m push ionian maxd-cor1 Kalam maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 33: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 3 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. Ρ-θ ιεύθυνση yy-q2 25 KN 2 15 1 5 push Ionian maxd-cor1 Kalam maxd-cor1 Log. (maxd) Log. (maxbs).1.2.3.4.5.6 rad Σχήµα 34: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2 Στα σχήµατα 35 και 36 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 στο εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και στα σχήµατα 37 και 38 στο εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 292

Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3 push 4storey_1 KN 14 12 1 8 6 4 2.5.1.15.2.25 m 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 35: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3 14 KN 12 1 8 6 4 2.5.1.15.2.25.3 m push 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 36: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 293

Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q3 KN 7 6 5 4 3 2 1.5.1.15.2 m push 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 maxd maxbs Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 37: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q3 KN 7 6 5 4 3 2 1.2.4.6.8.1.12 rad push 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 maxd maxbs Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 38: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3 Στα σχήµατα 39 και 4 φαίνονται οι καµπύλες V-δ και V-θ που προέκυψαν από την εφαρµογή της προτεινοµένης µεθόδου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 στο εύστρεπτο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 294

τετραώροφο κτίριο και στα σχήµατα 41 και 42 στο εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο για διέγερση κατά τη διεύθυνση y-y µόνο. Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4 push KN 14 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4.5.6.7.8 m 4storey_2 4storey_3 4storey_4 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 4storey_1 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 39: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 14 12 1 Χωρικό τετραώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-θ ιεύθυνση yy - Q4 push 4storey_1 4storey_2 4storey_3 4storey_4 KN 8 6 4 2.2.4.6.8.1.12 rad 4storey_5 4storey_6 4storey_7 4storey_8 4storey_9 Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 4: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 295

Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4 KN 16 14 12 1 8 6 4 2 push 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 Log. (maxd) Log. (maxbs).2.4.6.8 1 m Σχήµα 41: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. P-δ ιεύθυνση yy - Q4 16 14 12 1 push 8storey_1 8storey_2 8storey_3 8storey_4 KN 8 6 4 8storey_5 8storey_6 8storey_7 8storey_8 8storey_9 2.2.4.6.8 1 m Log. (maxd) Log. (maxbs) Σχήµα 42: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 296

5.3.7 Σχόλια περί των στατικών και «δυναµικών» καµπυλών αντοχής Σε όλα τα παραπάνω σχήµατα οι καµπύλες αντοχής της στατικής ανελαστικής ανάλυσης συγκρίνονται µε την αντίστοιχη «δυναµική» καµπύλη αντοχής που προκύπτει µε την αντιστοίχηση µεγίστων µετατοπίσεων τέµνουσας βάσης. Ως µέτρο ποσοτικοποίησης αυτής της σύγκρισης επιλέχθηκε η συσχέτιση µεταξύ των σηµείων της δυναµικής ανάλυσης µε τα αντίστοιχα σηµεία (µε την ίδια µετατόπιση) της στατικής ανάλυσης. Πιο συγκεκριµένα αφού γίνεται διγραµµικοποίηση της στατικής καµπύλης αντοχής (pushover) για κάθε ζεύγος απόκρισης της δυναµικής ανάλυσης (V d, δ d ) υπολογίζεται από την διγραµµικοποιηµένη στατική καµπύλης αντοχής η τέµνουσα βάσης V st που αντιστοιχεί σε µετατόπιση δ d. Έτσι δηµιουργούνται δύο οµάδες µεγεθών τέµνουσας βάσης, από την δυναµική και την στατική ανάλυση. Ο υπολογισµός της συσχέτισης αυτών των δύο συνόλων αριθµών γίνεται βάσει των κατωτέρω σχέσεων: Cov( d, s) ρ d, st = (4) σ σ s d n 1 Cov( d, s) = ( d i µ d ) ( si µ s ) (41) n i= 1 όπου -1 ρ d,s 1 : συσχέτιση µεταξύ δυναµικής και στατικής ανάλυσης Cov(d,s) : ιακύµανση δυναµικής και στατικής ανάλυσης d :µεγέθη από δυναµική ανάλυση (τέµνουσα βάσης) s :µεγέθη από στατική ανάλυση (τέµνουσα βάσης) n :Αριθµός σηµείων από δυναµική ανάλυση (και στατική) Τα αποτελέσµατα αυτής της στατιστικής επεξεργασίας φαίνονται στον πίνακα 6 εκ των οποίων προκύπτει µια ικανοποιητική ταύτιση της στατικής µε την δυναµική ανάλυση ειδικά στις περιπτώσεις µε µεγάλο αριθµό διεγέρσεων. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην παράγραφο 3.5 του παρόντος κεφαλαίου η διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης είναι ιδιαίτερα σηµαντική σε αρκετές περιπτώσεις, γεγονός το οποίο σαφώς επηρεάζει την συσχέτιση µιας οποιαδήποτε καµπύλης προσαρµογής σε αυτά µε αυτά τα σηµεία. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 297

Κτίριο Οµάδα ιεγέρσεων Q1 Q2 Q3 Q4 τετραώροφο 14.% 78.4% 58.9% 81.8% οκταώροφο 78.3% 22.1% 73.3% 85.6% Πίνακας 6: Συσχέτιση µεταξύ καµπύλης pushover και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 5.4 υναµική και στατική απόκριση κτιρίων 5.4.1 Γενικά Στόχος των παραγράφων που ακολουθούν είναι ο υπολογισµός της στοχευόµενης µετατόπισης και στροφής του κέντρο µάζας CM του ανωτέρου ορόφου (δ targ, θ targ ) για την κάθε οµάδα διεγέρσεων και η σύγκριση µε την µέση µετατόπιση και στροφή που προκύπτουν από τις ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις για διέγερση συγκεκριµένης έντασης. Οι δυο οµάδες διεγέρσεων θα αναχθούν σε διαφορετικές εντάσεις, έτσι ώστε να γίνει δυνατή η αποτίµηση της ακρίβειας της µεθόδου σε διάφορα επίπεδα µετελαστικής συµπεριφοράς, που συνδέονται µε χαµηλή έως υψηλή απαίτηση πλαστιµότητας. Οι δυναµικές αναλύσεις έχουν γίνει µε βάση τα περιγραφέντα στο κεφάλαιο 3, ενώ οι ισοδύναµες στατικές είναι αυτές της προηγούµενης παραγράφου µε την προσθήκη της αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή όπως περιγράφεται στα βήµατα 3 έως 7 της µεθοδολογίας. Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου έχουν χρησιµοποιηθεί τα οµαλοποιηµένα ανελαστικά φάσµατα που υπολογίστηκαν στο κεφάλαιο 3. Τα αποτελέσµατα αυτής της παραγράφου αποτελούν σηµαντικό σηµείο στην τεκµηρίωση της προτεινοµένης µεθόδου, µια και εδώ τεκµηριώνεται η επάρκεια του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή και των συντελεστών αναγωγής σε αυτόν. 5.4.2 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για την οµάδα διεγέρσεων Q1, η οποία αποτελείται από µεγάλους σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα µιας διεύθυνσης, η κανονικοποίηση έγινε σε µέγιστη επιτάχυνση 8. m/sec 2 για το τετραώροφο και 4.8 m/sec 2 για το οκταώροφο (Η διαφοροποίηση γίνεται διότι ο τετραώροφος φορέας µπορεί να φέρει σχεδόν την διπλάσια σεισµική φόρτιση από τον οκταώροφο δεδοµένου ότι έχει την µισή µάζα αλλά τα ίδια φέροντα στοιχεία στο ισόγειο. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 298

Α. Ευστρεπτο τετραώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q1, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρου µάζας CM στα σχήµατα 43, 44, και 45 και συνοψίζονται στον πίνακα 7. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Friuli 6 4 Uy (mm) 2-2 -4-6 2 4 6 8 1 t (sec) Σχήµα 43 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, τετραώροφο ευστρεπτο Gazli Uy (mm) 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 5 1 15 t (sec) Σχήµα 44 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, τετραώροφο εύστρεπτο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 299

Tabas Uy (mm) 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8 1 2 3 4 5 t (sec) Σχήµα 45 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Tabas, τετραώροφο ευστρεπτο α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Friuli.45912.658 2 Gazli.8942.1145 3 Tabas.8114.161 M.O. Οµάδα Q1 Μέσες τιµές.71689.9547 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 32% 27% Πίνακας 7: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο «φάσµα» διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Για το σκοπό αυτόν η καµπύλη αντοχής του πολυβάθµιου συστήµατος µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας µετατρέπεται σε φάσµα διαθέσιµης αντοχής µέσω των συντελεστών αναγωγής. Στον πίνακα 8 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1. φyo-1 1. uy1.7 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 118.432 1. φzo-1.131 rz1.1 Jm-1 732.199 12.638 ψmo-1 2.27 Mt-1 268.834.298 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.16 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 23.68 1. φzo-2.131 rz2.2 Jm-2 78.636 13.326 ψmo-2 2.278 Mt-2 525.431.298 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.22 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 313.627 1. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 3

φzo-3.129 rz3.3 Jm-3 78.636 13.3 ψmo-3 2.266 Mt-3 71.72.293 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.27 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 376.789 1. φzo-4.127 rz4.3 Jm-4 78.636 12.675 ψmo-4 2.236 Mt-4 842.625.285 Σ 131.334 183.3 4. 5.174 c1 1.393 c2 1.293 Πίνακας 8: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q1 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 46 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q1. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q1 Sa(m/sec2) 3 25 2 15 1 5.5.1.15.2.25.3 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 46α: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 31

Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q1 Pushover Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Poly. (duct.= 2) 2.5.1.15.2 Sd (m) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (Elastic) Σχήµα 46β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.8 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.571 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -.77 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (δίνονται στον πίνακα 7) -19.91% για την µετατόπιση και - 19.34% για τη στροφή. Β. Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q1 συνοψίζονται στον πίνακα 9. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 32

α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Friuli.68419 1.8E-3 2 Gazli.44184 2.53E-2 3 Tabas.239747 1.4E-2 M.O. Οµάδα Q1 Μέσες τιµές.2499.134452 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 74.8% 9.% Πίνακας 9: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπου οκταώοροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Για το σκοπόν αυτό η καµπύλη του πολυβάθµιου συστήµατος µε την χρήση των σχέσεων που περιγράφονται στα βήµατα 3 και 4 της µεθοδολογίας µετατρέπονται στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή. Στον πίνακα 1 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής. [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 63.72.. ψpox-1 Vx-1.. φyo-1 1. uy1.18 my-1 63.72 63.72 63.72 ψpoy-1 1. Vy-1 186.879 1. φzo-1.119 rz1.2 Jm-1 946.85 13.459 ψmo-1 2.7 Mt-1 386.816.247 φχο-2 ux2 mx-2 66.532.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.4 my-2 66.532 66.532 66.532 ψpoy-2 1. Vy-2 33.18 1. φzo-2.116 rz2.5 Jm-2 997.98 13.397 ψmo-2 2.16 Mt-2 665.558.234 φχο-3 ux3 mx-3 66.532.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.63 my-3 66.532 66.532 66.532 ψpoy-3 1. Vy-3 386.931 1. φzo-3.113 rz3.7 Jm-3 997.98 12.78 ψmo-3 1.984 Mt-3 767.582.224 φχο-4 ux4 mx-4 66.532.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.86 my-4 66.532 66.532 66.532 ψpoy-4 1. Vy-4 395.821 1. φzo-4.11 rz4.9 Jm-4 997.98 12.1 ψmo-4 2.5 Mt-4 793.582.22 φχο-5 ux5 mx-5 66.532.. ψpox-5 Vx-5. φyo-5 1. uy5.18 my-5 66.532 66.532 66.532 ψpoy-5 1. Vy-5 385.612 1. φzo-5.17 rz5.11 Jm-5 997.98 11.378 ψmo-5 2.48 Mt-5 789.62.219 φχο-6 ux6 mx-6 66.532.. ψpox-6 Vx-6. φyo-6 1. uy6.128 my-6 66.532 66.532 66.532 ψpoy-6 1. Vy-6 43.575 1. φzo-6.14 rz6.13 Jm-6 997.98 1.736 ψmo-6 2.75 Mt-6 837.414.215 φχο-7 ux7 mx-7 66.532.. ψpox-7 Vx-7. φyo-7 1. uy7.144 my-7 66.532 66.532 66.532 ψpoy-7 1. Vy-7 476.571 1. φzo-7.11 rz7.15 Jm-7 997.98 1.22 ψmo-7 2.31 Mt-7 967.813.26 φχο-8 ux8 mx-8 66.532.. ψpox-8 Vx-8. φyo-8 1. uy8.158 my-8 66.532 66.532 66.532 ψpoy-8 1. Vy-8 586.699 1. φzo-8.98 rz8.16 Jm-8 997.98 9.641 ψmo-8 1.977 Mt-8 116.152.194 Σ 528.796 622.337 8. 9.758 c1 1.177 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 33

c2 1.22 Πίνακας 1: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκταώροφου κτιρίου για οµάδα Q1 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 47 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q1. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q1 Sa(m/sec2) 8 7 6 5 4 3 2 1.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 5) Poly. (duct.= 6) Poly. (duct.= 7) Σχήµα 47α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q1 3 2.5 Sa(m/sec2) 2 1.5 1 Elastic duct.= 1.5 Pushover duct.=1.8.5.1.2.3.4 Sd (m) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 34

Σχήµα 47β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.23 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,188 [m] και η στοχευόµενη στροφή είναι θ targ = -15 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πίν.1) 24.78% για την µετατόπιση και 11.56% για τη στροφή. 5.4.3 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για την οµάδα διεγέρσεων Q2, η οποία αποτελείται από µεσαίου έως µεγάλου µεγέθους Ελληνικούς σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα δύο διευθύνσεων, η κανονικοποίηση έγινε σε µέγιστη επιτάχυνση 8. m/sec 2 για το τετραώροφο και 4. m/sec 2 για το οκταώροφο. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Α. Ευστρεπτο τετραώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q2, φαίνονται υπό την µορφή χρονοϊστοριών µετατόπισης του κέντρο µάζας CM στα σχήµατα 48, 49, και 5 και συνοψίζονται στον πίνακα 11. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει αξιόπιστη εκτίµηση της. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 35

Ionian Uy (mm) 15 1 5-5 -1-15 -2 5 1 15 2 25 3 t (sec) Σχήµα 48 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ. Kalamata 2 15 Uy (mm) 1 5-5 -1 1 2 3 4 t (sec) Σχήµα 49 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 36

Alkionides 1 5 Uy (mm) -5 1 2 3 4-1 -15 t (sec) Σχήµα 5 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονίδες, Σ. α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Ιονίου.163.1791 2 Καλαµάτας.184.1833 3 Αλκυονίδων.118.1266 M.O. Οµάδα Q2 Μέσες τιµές.155.163 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 22% 19% Πίνακας 11: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 12 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1. φyo-1 1. uy1.15 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 211.168 1. φzo-1.129 rz1.2 Jm-1 473.43 7.926 ψmo-1 2.25 Mt-1 475.75.291 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.31 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 436.298 1. φzo-2.129 rz2.4 Jm-2 498.99 8.272 ψmo-2 2.229 Mt-2 972.526.287 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.44 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 68.971 1. φzo-3.127 rz3.6 Jm-3 498.99 8.87 ψmo-3 2.25 Mt-3 1342.69.281 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.52 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 725.69 1. φzo-4.126 rz4.7 Jm-4 498.99 7.865 ψmo-4 2.178 Mt-4 158.59.273 Σ 131.334 163.485 4. 5.132 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 37

c1 1.245 c2 1.283 Πίνακας 12: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q2 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 51 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q2 25 Sa(m/sec2) 2 15 1 5.2.4 Elastic Pushover 3 per. Mov. Avg. (duct.= 2) 3 per. Mov. Avg. (duct.= 3) 3 per. Mov. Avg. (duct.= 4) Sd (m) Σχήµα 51α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 38

Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q2 Sa(m/sec2) 1 8 6 4 2.1.2.3 Sd (m) Elastic Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 4) Poly. (duct.= 3) Σχήµα 51β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.19 [m] (µ=2.) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.13748 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = -1.8 1-2 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν.11) 11.29% για την µετατόπιση και 1.43% για τη στροφή. Β. Ευστρεπτο οκταώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 3 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q2 συνοψίζονται στον πίνακα 13. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην και περίπτωση αυτή είναι µειωµένη αλλά ο µικρός αριθµός επιταχυνσιογραφηµάτων δεν επιτρέπει την αξίοπιστη στατιστικά αποτίµηση της, όπως προαναφέρθηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 39

α/α ιέγερση u [m] θ [rad] 1 Ιονίου.12292 5.79E-3 2 Καλαµάτας.144287 7.58E-3 3 Αλκυονίδων.1794 8.73E-3 M.O. Οµάδα Q2 Μέσες τιµές.139161.7367 c.o.v. Συντελεστής διακύµανσης 24.86% 2.9% Πίνακας 13: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 14 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1.. φyo-1 1. uy1.2 my-1 31.536 31.54 31.54 ψpoy-1 1. Vy-1 137.54 1. φzo-1.11 rz1. Jm-1 473.43 5.7 ψmo-1 1.98 Mt-1 271.95.22 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.6 my-2 33.266 33.27 33.27 ψpoy-2 1. Vy-2 269.91 1. φzo-2.11 rz2.1 Jm-2 498.99 5.69 ψmo-2 1.9 Mt-2 512.73.2 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.9 my-3 33.266 33.27 33.27 ψpoy-3 1. Vy-3 36. 1. φzo-3.1 rz3.1 Jm-3 498.99 5.34 ψmo-3 1.86 Mt-3 668.4.19 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.12 my-4 33.266 33.27 33.27 ψpoy-4 1. Vy-4 424.76 1. φzo-4.1 rz4.1 Jm-4 498.99 5.5 ψmo-4 1.83 Mt-4 777.94.18 φχο-5 ux5 mx-5 33.266.. ψpox-5 Vx-5. φyo-5 1. uy5.15 my-5 33.266 33.27 33.27 ψpoy-5 1. Vy-5 483.68 1. φzo-5.1 rz5.2 Jm-5 498.99 4.76 ψmo-5 1.8 Mt-5 868.66.18 φχο-6 ux6 mx-6 33.266.. ψpox-6 Vx-6. φyo-6 1. uy6.18 my-6 33.266 33.27 33.27 ψpoy-6 1. Vy-6 553.57 1. φzo-6.9 rz6.2 Jm-6 498.99 4.49 ψmo-6 1.77 Mt-6 977.14.17 φχο-7 ux7 mx-7 33.266.. ψpox-7 Vx-7. φyo-7 1. uy7.21 my-7 33.266 33.27 33.27 ψpoy-7 1. Vy-7 637.37 1. φzo-7.9 rz7.2 Jm-7 498.99 4.25 ψmo-7 1.73 Mt-7 111.11.16 φχο-8 ux8 mx-8 33.266.. ψpox-8 Vx-8. φyo-8 1. uy8.23 my-8 33.266 33.27 33.27 ψpoy-8 1. Vy-8 72.91 1. φzo-8.9 rz8.2 Jm-8 498.99 3.99 ψmo-8 1.69 Mt-8 1219.37.15 Σ 264.4 33.67 8. 9.45 c1 1.15 c2 1.18 Πίνακας 14: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q2 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 31

Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 52 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q2. Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q2 Elastic Pushover 3 per. Mov. Avg. (duct.= 2) 2.1.2.3.4.5 Sd (m) 3 per. Mov. Avg. (duct.= 3) 3 per. Mov. Avg. (duct.= 4) Σχήµα 52α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q2 5 Sa(m/sec2) 4 3 2 1.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic duct.= 1.5 Pushover Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 4) Poly. (duct.= 3) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 311

Σχήµα 52β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.14 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,113[m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 7.4 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν.13) 18.34% για την µετατόπιση και.45% για τη στροφή. 5.4.4 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Για την οµάδα διεγέρσεων Q3 η οποία αποτελείται από 1 µεσαίου µεγέθους σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα µιας διεύθυνσης, η κανονικοποίηση έγινε µε βάση την µέση ένταση κατά Housner της οµάδας διεγέρσεων. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Α. Ευστρεπτο τετραώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q3 συνοψίζονται στον πίνακα 15. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Παρατηρείται οτι η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι φυσιολογική, δηλαδή της τάξης του 3% µε επαρκή αριθµό διεγέρσεων. ιέγερση uy θ 1.132877 1.85E-2 2.2541 2.85E-2 3.97687 1.45E-2 4.16783 2.79E-2 5.129976 1.95E-2 6.1681 1.66E-2 7.13294 1.54E-2 8.112291 1.39E-2 9.14241 1.6E-2 1.12588 1.52E-2 mean.138467 1.86E-2 c.o.v. 31.93% 28.83% Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 312

Πίνακας 15: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 16 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1. φyo-1 1. uy1.21 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 341.169 1. φzo-1.135 rz1.3 Jm-1 473.43 8.632 ψmo-1 2.339 Mt-1 798.15.316 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.44 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 656.769 1. φzo-2.134 rz2.6 Jm-2 498.99 8.996 ψmo-2 2.378 Mt-2 1561.919.319 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.63 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 887.237 1. φzo-3.133 rz3.8 Jm-3 498.99 8.798 ψmo-3 2.379 Mt-3 211.94.316 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.75 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 168.82 1. φzo-4.131 rz4.1 Jm-4 498.99 8.561 ψmo-4 2.344 Mt-4 255.255.37 Σ 131.334 166.322 4. 5.258 c1 1.266 c2 1.315 Πίνακας 16: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q3 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 53 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q3. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 313

Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q3-3 Sa(m/sec2) 4 35 3 25 2 15 1 5.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic push Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 53α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 2 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q3-3 Elastic push bilin Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4).1.2.3 Sd (m) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Σχήµα 53β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.155 [m] (µ=2) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 314

u targ = u * targ/c 1 =.1949 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 7. 1-3 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν.15) 2.93% για την µετατόπιση και 19.32% για τη στροφή. Β. Ευστρεπτο οκταώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q3 συνοψίζονται στον πίνακα 17. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. ιέγερση uy θ 1.199934.11585 2.32744.2647 3.14687.9327 4.325489.18864 5.224792.14626 6.2234.13359 7.15639.1382 8.163377.8835 9.169675.999 1.169888.11292 mean.2168 1.29E-2 c.o.v. 31.65% 31.44% Πίνακας 17: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 18 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1.. φyo-1 1. uy1.22 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 268.516 1. φzo-1.119 rz1.3 Jm-1 473.43 6.678 ψmo-1 1.968 Mt-1 528.542.234 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.49 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 492.723 1. φzo-2.116 rz2.6 Jm-2 498.99 6.75 ψmo-2 1.919 Mt-2 945.417.223 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.76 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 579.449 1. φzo-3.113 rz3.9 Jm-3 498.99 6.47 ψmo-3 1.892 Mt-3 196.57.214 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.12 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 561.467 1. φzo-4.111 rz4.11 Jm-4 498.99 6.11 ψmo-4 1.918 Mt-4 176.713.212 φχο-5 ux5 mx-5 33.266.. ψpox-5 Vx-5. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 315

φyo-5 1. uy5.127 my-5 33.266 33.266 33.266 ψpoy-5 1. Vy-5 489.35 1. φzo-5.18 rz5.14 Jm-5 498.99 5.795 ψmo-5 2.3 Mt-5 979.99.216 φχο-6 ux6 mx-6 33.266.. ψpox-6 Vx-6. φyo-6 1. uy6.15 my-6 33.266 33.266 33.266 ψpoy-6 1. Vy-6 475.347 1. φzo-6.15 rz6.16 Jm-6 498.99 5.5 ψmo-6 2.115 Mt-6 15.447.222 φχο-7 ux7 mx-7 33.266.. ψpox-7 Vx-7. φyo-7 1. uy7.17 my-7 33.266 33.266 33.266 ψpoy-7 1. Vy-7 595.942 1. φzo-7.12 rz7.17 Jm-7 498.99 5.22 ψmo-7 2.52 Mt-7 1223.87.21 φχο-8 ux8 mx-8 33.266.. ψpox-8 Vx-8. φyo-8 1. uy8.186 my-8 33.266 33.266 33.266 ψpoy-8 1. Vy-8 773.8 1. φzo-8.99 rz8.19 Jm-8 498.99 4.922 ψmo-8 1.962 Mt-8 1516.265.195 Σ 264.398 311.781 8. 9.726 c1 1.179 c2 1.216 Πίνακας 18: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q3 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 54 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q3. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q3-3 Sa(m/sec2) 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic push Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Σχήµα 54α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 316

Sa(m/sec2) 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση :Q3-3.1.2.3.4.5 Sd (m) Elastic push Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Poly. (duct.= 2) Poly. (duct.= 1.5) Σχήµα 54β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.2 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =,15626[m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 1.1 1-2 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν.17) +25.8% για την µετατόπιση και +14.61% για τη στροφή. 5.4.5 Αποτελέσµατα για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Για την οµάδα διεγέρσεων Q4 η οποία αποτελείται από 1 µεγάλου µεγέθους σεισµούς, και στην οποία έχουν χρησιµοποιηθεί επιταχυνσιογραφήµατα µιας διεύθυνσης, η κανονικοποίηση έγινε µε βάση την µέση ένταση κατά Housner της οµάδας διεγέρσεων. Η διαδικασία αναγωγής που ακολουθήθηκε περιγράφηκε εκτενώς στο κεφάλαιο 3. Α. Ευστρεπτο τετραώροφο κτίριο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 317

Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q4 συνοψίζονται στον πίνακα 19. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. Η διασπορά στην περίπτωση αυτή είναι πάνω από την φυσιολογική. ιέγερση uy θ 1.56548 6.34E-3 2.153438 2.17E-2 3.21366 2.71E-2 4.23937 2.47E-2 5.161932 2.77E-2 6.1592 2.77E-4 7.3475 2.31E-4 8.132413 2.36E-2 9.184144 1.64E-2 1.1684 2.29E-2 Μ.Ο..1348 1.71E-2 c.o.v. 63.53% 63.22% Πίνακας 19: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 2 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1. φyo-1 1. uy1.9 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 151.21 1. φzo-1.128 rz1.1 Jm-1 42.483 6.93 ψmo-1 2.22 Mt-1 335.293.285 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.19 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 283.144 1. φzo-2.128 rz2.2 Jm-2 443.547 7.237 ψmo-2 2.196 Mt-2 621.826.281 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.27 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 38.65 1. φzo-3.126 rz3.3 Jm-3 443.547 7.75 ψmo-3 2.171 Mt-3 826.466.274 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.32 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 458.321 1. φzo-4.125 rz4.4 Jm-4 443.547 6.88 ψmo-4 2.148 Mt-4 984.339.267 Σ 131.334 159.455 4. 5.17 c1 1.214 c2 1.277 Πίνακας 2: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 318

Στο σχήµα 55 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q4. Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q4 Sa(m/sec2) 14 12 1 8 6 4 2.2.4.6 Sd (m) Elastic pushover corrected Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 4) Poly. (1.5) Poly. (duct.= 2) Σχήµα 55α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. τετραώροφου κτιρίου για διέγερση Q4 Sa(m/sec2) 1 8 6 4 2.1.2.3 Sd (m) Elastic pushover cor Poly. (duct.= 3) Poly. (duct.= 1.5) Poly. (duct.= 2) Σχήµα 55β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4- Μεγέθυνση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 319

Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.15 [m] (µ=1.5) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι u targ = u * targ/c 1 =.192 [m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 1.3 1-2 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν.19) 16.4% για την µετατόπιση και 23.9% για τη στροφή. Β. Ευστρεπτο οκταώροφο κτίριο Τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, για τις 1 διαφορετικές διεγέρσεις της οµάδας Q4 συνοψίζονται στον πίνακα 21. Στον ίδιο πίνακα φαίνεται και η απλή στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων. ιέγερση uy θ 1.19519 4.43E-3 2.319441 2.2E-2 3.49622 3.12E-2 4 1.187459 6.15E-2 5.252199 1.44E-2 6.5842 4.66E-4 7.1458 5.2E-4 8.342125 2.8E-2 9.486611 2.59E-2 1.381413 2.5E-2 Μ.Ο..359127 2.4E-2 c.o.v. 94.82% 88.4% Πίνακας 21: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 Για τον υπολογισµό της στοχευόµενης µετατόπισης απαιτείται αρχικά η µετατροπή της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου συστήµατος στο φάσµα διαθέσιµης αντοχής του ισοδυνάµου µονοβαθµίου. Στον πίνακα 22 φαίνεται ο υπολογισµός των συντελεστών αναγωγής : [φ] U (spectral) [Μ] m*=[φ] Τ [Μ][δ] [φ] Τ [Μ][φ] [ψ] V,Mt (spectral) [φ] Τ [ψ] ux1. mx-1 31.536.. ψpox-1 Vx-1.. φyo-1 1. uy1.16 my-1 31.536 31.536 31.536 ψpoy-1 1. Vy-1 12.41 1. φzo-1.18 rz1.2 Jm-1 42.483 4.886 ψmo-1 1.858 Mt-1 19.252.2 φχο-2 ux2 mx-2 33.266.. ψpox-2 Vx-2. φyo-2 1. uy2.37 my-2 33.266 33.266 33.266 ψpoy-2 1. Vy-2 185.432 1. φzo-2.15 rz2.4 Jm-2 443.547 4.873 ψmo-2 1.75 Mt-2 324.53.183 φχο-3 ux3 mx-3 33.266.. ψpox-3 Vx-3. φyo-3 1. uy3.59 my-3 33.266 33.266 33.266 ψpoy-3 1. Vy-3 239.48 1. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 32

φzo-3.11 rz3.6 Jm-3 443.547 4.566 ψmo-3 1.665 Mt-3 398.82.169 φχο-4 ux4 mx-4 33.266.. ψpox-4 Vx-4. φyo-4 1. uy4.81 my-4 33.266 33.266 33.266 ψpoy-4 1. Vy-4 281.935 1. φzo-4.99 rz4.8 Jm-4 443.547 4.312 ψmo-4 1.618 Mt-4 456.8.159 φχο-5 ux5 mx-5 33.266.. ψpox-5 Vx-5. φyo-5 1. uy5.12 my-5 33.266 33.266 33.266 ψpoy-5 1. Vy-5 321.587 1. φzo-5.96 rz5.1 Jm-5 443.547 4.63 ψmo-5 1.561 Mt-5 52.156.149 φχο-6 ux6 mx-6 33.266.. ψpox-6 Vx-6. φyo-6 1. uy6.12 my-6 33.266 33.266 33.266 ψpoy-6 1. Vy-6 366.855 1. φzo-6.93 rz6.11 Jm-6 443.547 3.832 ψmo-6 1.524 Mt-6 559.1.142 φχο-7 ux7 mx-7 33.266.. ψpox-7 Vx-7. φyo-7 1. uy7.136 my-7 33.266 33.266 33.266 ψpoy-7 1. Vy-7 419.476 1. φzo-7.9 rz7.12 Jm-7 443.547 3.619 ψmo-7 1.488 Mt-7 624.172.134 φχο-8 ux8 mx-8 33.266.. ψpox-8 Vx-8. φyo-8 1. uy8.149 my-8 33.266 33.266 33.266 ψpoy-8 1. Vy-8 476.252 1. φzo-8.88 rz8.13 Jm-8 443.547 3.397 ψmo-8 1.475 Mt-8 72.336.129 Σ 264.398 297.945 8. 9.267 c1 1.127 c2 1.158 Πίνακας 22: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q4 Η στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή υπολογίζεται µε την γραφική µέθοδο. Στο σχήµα 56 φαίνεται ο προσδιορισµός της στοχευόµενης µετατόπισης του µονοβαθµίου, χρησιµοποιώντας τα ανελαστικά φάσµατα απαίτησης που προσδιορίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για την οµάδα διεγέρσεων Q4. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 321

Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q4 16 14 Sa(m/sec2) 12 1 8 6 4 2 Elastic duct.= 2 Pushover duct.= 3 duct.= 4 duct.= 5.5.2.4.6.8 1 Sd (m) Σχήµα 56α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4 4 3.5 Γραφική µέθοδος προσδιορισµού µετατόπισης στόχου Σ.µ. οκταώροφου κτιρίου για διέγερση Q4 Sa(m/sec2) 3 2.5 2 1.5 1.5.2.4.6.8 1 Sd (m) Elastic duct.= 2 Pushover. duct.= 4 duct.= 5.5 duct. =3 Σχήµα 56β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4- Μεγέθυνση Από την γραφική µέθοδο προκύπτει στοχευόµενη µετατόπιση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου u * targ=.4 [m] (µ=2) οπότε η στοχευόµενη µετατόπιση του πολυβαθµίου συστήµατος είναι Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 322

u targ = u * targ/c 1 =,32[m] και η στοχευόµενη στροφή θ targ = 2.5 1-2 [rad] τα αποτελέσµατα αυτά δίνουν ένα ποσοστό λάθους σε σχέση µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (πιν. 21) 11.55% για την µετατόπιση και 22.34% για τη στροφή. 5.4.6 Σχολιασµός αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής απόκρισης Στις προηγούµενες παραγράφους παρουσιάστηκαν τα κυριότερα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε την προτεινόµενη µεθοδολογία και συγκρίθηκαν µε τα αντίστοιχα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Και στις δύο περιπτώσεις επιλέχθηκε συγκεκριµένη σεισµική ένταση και ελέγχθηκαν η µετατόπιση και η στροφή του κέντρου µάζας CM πολυωρόφων µονοσυµµετρικών εύστρεπτων κτιρίων. Με το τρόπο αυτόν καθίσταται δυνατή η αξιολόγηση της αξιοπιστίας του τρόπου προσδιορισµού του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που προτείνεται. Στον πίνακα 23 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα για όλες τις αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν, απ όπου προκύπτει ότι για όλες τις περιπτώσεις η εκτίµηση της µετατόπισης και στροφής του ορόφου µε την προτεινόµενη µέθοδο αποκλίνουν από την αντίστοιχη δυναµική ανάλυση σε ποσοστό της τάξης του 2%. Q1 uy Θz Q2 uy Θz Friu lli 4.59 E-2 6.58 E-3 Ioni an 1.18 E-1 1.27 E-2 Gazli 8.9 E-2 1.15 E-2 Kala mata 1.63 E-1 1.79 E-2 ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ ΜΗ ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΤΕΤΡΑΩΡΟΦΟ ΚΤΙΡΙΟ Taba Μ.Ο c.o.v Push ια s.. over φ.% µ 8.1E 7.17 5.74-2 E-2 32% E-2 19.9 1.6E 9.55 7.7 1.5-2 E-3 27% E-3 19.3 Alkio Μ.Ο c.o.v Push ια nides.. over φ.% µ 1.84E 1.55 1.37-1 E-1 22% E-1 11.2 1.83E 1.63 1.8 2. -2 E-2 19% E-2 1.4 Q3 (3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1.33 2.5 9.77E 1.68 1.3 7.86 1.3 1.12 1.42 1.21 uy E-1 E-1-2 E-1 E-1 E-2 E-1 E-1 E-1 E-1 1.85 2.85 1.45E 2.79 1.95 1.66 1.54 1.39 1.6 1.52 Θz E-2 E-2-2 E-2 E-2 E-2 E-2 E-2 E-2 E-2 Q4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5.65 1.53 2.1E 2.39 1.62 1.59 3.48 1.32 1.84 1.61 uy E-2 E-1-1 E-1 E-1 E-3 E-3 E-1 E-1 E-1 6.34 2.17 2.71E 2.47 2.77 2.77 2.31 2.36 1.64 2.29 Θz E-3 E-2-2 E-2 E-2 E-4 E-4 E-2 E-2 E-2 Μ.Ο. 1.38 E-1 1.86 E-2 Μ.Ο. 1.3 E-1 1.71 E-2 ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ ΜΗ ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΟΚΤΑΩΡΟΦΟ ΚΤΙΡΙΟ c.o.v. 32 % 29 % c.o.v. 64 % 63 % ια Push over φ. % µ 1.9 E-1 21 7. E-3 19 ια Push φ. over % µ 1.9 E-1 16 1.3 E-2 24 2 1.5 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 323

Q1 uy Θz Q2 uy Θz Friu lli 2.4 E-1 1.8 E-3 Ioni an 1.2 E-1 5.79 E-3 Gazli 4.42 E-1 2.53 E-2 Kala mata 1.44 E-1 7.58 E-3 Taba s 8.1E -2 1.4E -2 Alkio nides 1.71E -1 8.73E -3 Μ.Ο c.o.v.. 2.5 E-1 75% 1.34 E-2 9% Μ.Ο c.o.v.. 1.39 E-1 25% 7.37 E-3 2% Push over ια φ.% µ 1.88 E-1 24.7 1.5 1.5 E-2 11.5 Push ια over φ.% µ 1.13 E-1 18.3 7.4 1.5 E-3.45 Q3 (3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2. 3.27 1.46E 3.25 2.25 2.23 1.56 1.63 1.7 1.7 uy E-1 E-1-1 E-1 E-1 E-1 E-1 E-1 E-1 E-1 1.33 2.6 9.33E 1.89 1.46 1.34 1.4 8.84 9.91 1.13 Θz E-2 E-2-3 E-2 E-2 E-2 E-2 E-3 E-3 E-2 Q4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1.1 3.19 4.96E 1.19 2.52 5.84 1.5 3.42 4.87 3.81 uy E-1 E-1-1 E+ E-1 E-3 E-2 E-1 E-1 E-1 4.43 2.2 3.12E 6.15 1.44 4.66 5.2 2.8 2.59 2.5 Θz E-3 E-2-2 E-2 E-2 E-4 E-4 E-2 E-2 E-2 Μ.Ο. 2.11 E-1 1.29 E-2 Μ.Ο. 3.59 E-1 2.4 E-2 c.o.v. 32 % 31 % c.o.v. 95 % 88 % ια Push over φ. % µ 1.56 E-1 26 1.1 E-2 15 ια Push φ. over % µ 3.18 E-1 12 2.5 E-2 22 Πίνακας 23: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων Επίσης στο σχήµα 57 φαίνονται τα σχετικά βέλη ορόφων για το τετραώροφο κτίριο για τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 όπως υπολογίστηκαν από την δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο. Από τα γραφήµατα αυτά προκύπτει µια ικανοποιητική σύµπτωση στην εκτίµηση των µεγεθών αυτών από την στατική ανελαστική ανάλυση. Στα σχήµατα αυτά σχεδιάζονται τα απαιτούµενα βέλη ορόφου στη εύκαµπτη και την δύσκαµπτη πλευρά του κτιρίου. H διαφορά της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά ποσοτικοποιείται στον πίνακα 24. Από τον πίνακα παρατηρείται ότι υπάρχει µεγαλύτερη απόκλιση για την διέγερση Q3 από ότι για την Q4. τετραώροφο/fl Q3 Q4 1-26% -24% 2-14% -1% 3-5% -5% 4-6% -23% Πίνακας 24: ιαφορά σχετικών βελών ορόφων (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά 1.5 2 Στο σχήµα 58 φαίνονται τα σχετικά βέλη ορόφων για το οκταώροφο κτίριο για τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 όπως υπολογίστηκαν από την δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο. Από τα γραφήµατα αυτά προκύπτει η αναµενόµενη, από προηγούµενες εργασίες, υποτίµηση από στην στατική ανάλυση των βελών στους υψηλούς ορόφους σε σχέση µε την δυναµική ανάλυση. Στα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 324

σχήµατα αυτά σχεδιάζονται τα απαιτούµενα βέλη ορόφου στη εύκαµπτη και την δύσκαµπτη πλευρά του κτιρίου. H διαφορά της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά ποσοτικοποιείται στον πίνακα 25. Από τον πίνακα παρατηρείται ότι υπάρχει µεγαλύτερη απόκλιση για την διέγερση Q3 από ότι για την Q4 όπως και στην περίπτωση του τετραωρόφου.. οκταώροφο/fl Q3 Q4 1 19% 32% 2-2% 16% 3-18% -5% 4-32% -19% 5-4% -24% 6-44% -26% 7-47% -27% 8-46% -28% Πίνακας 25: ιαφορά σχετικών βελών ορόφων (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά 4 Σχετικά βέλη ορόφων τετραώροφο Q3 4 Σχετικά βέλη ορόφων τετραώροφο Q4 3 3 Ορόφοι 2 Ορόφοι 2 1 1.% 1.% 2.% 3.% 4.% 5.% % ύψους ορόφου % 1% 2% 3% 4% 5% % ύψους ορόφου ύσκαµπτη υν. υσκαµπτη Στατ. Εύκαµπτη υν. Εύκαµπτη Στατ. υσκαµπτη υν. ύσκαµπτη Στατ. Ευκαµπτη υν. Ευκαµπτη Στατ. Σχήµα 57: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το τετραώροφο κτίριο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 325

8 Σχετικά βέλη ορόφων οκταώροφο Q3 8 Σχετικά βέλη ορόφων οκταώροφο Q4 7 7 6 6 5 5 Ορόφοι 4 Ορόφοι 4 3 3 2 2 1 1 % 1% 2% 3% 4% 5% % ύψους ορόφου % 1% 2% 3% 4% 5% % ύψους ορόφου υσκαµπτη υν. υσκαµπτη Στατ. Ευκαµπτη υν. Ευκαµπτη Στατ. υσκαµπτη υν. υσκαµπτη Στατ. Εύκαµπτη υν Ευκαµπτη Στατ. Σχήµα 58: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το οκταώροφο κτίριο Σηµαντικό κρίνεται να αναφερθεί ότι κατά την αξιολόγηση των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης προέκυψε ότι το άθροισµα των βελών ορόφων δεν δίνει την συνολική µετακίνηση της οροφής του κτιρίου αλλά µεγαλύτερη, διότι το µέγιστο βέλος ενός ορόφου δεν συµπίπτει απαραιτήτως χρονικά µε το µέγιστο βέλος ενός άλλου ορόφου, δηλαδή τα µέγιστα βέλη του κάθε ορόφου για κάθε δυναµική ανελαστική ανάλυση δεν συµβαίνουν την ίδια χρονική στιγµή. Αυτό σηµαίνει ότι πράγµατι θα αναπτυχθούν αυτά (των σχηµάτων 34 και 35) αλλά όχι ταυτόχρονα, και συνεπώς οι απαιτήσεις των σχετικών βελών που αναγράφονται στα σχήµατα 34 και 35 είναι συντηρητικές και για τον λόγο αυτό έχουν µεγαλύτερη διαφορά από ότι η στοχευόµενη µετατόπιση, γεγονός όµως που είναι πάγια τακτική σε όλες τις αντίστοιχες συγκρίσεις σχετικών βελών ορόφων µεταξύ στατικής και δυναµικής ανάλυσης. Τέλος στο σχήµα 59 παρουσιάζεται το διάγραµµα ροπών- στροφών όπως προκύπτει για την βάση του στύλου της εύκαµπτης πλευράς του τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διέγερσης Q4 από όπου φαίνεται ότι η στατική ανάλυση περιβάλει τις αντίστοιχες δυναµικές, κάτι που είναι αναµενόµενο δεδοµένου ότι η προσοµοίωση της διατοµής γίνεται µε µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας (fiber model). Αυτό πού έχει κυρίως σηµασία είναι η σύγκριση της απαιτούµενης στροφής, µε την Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 326

προτεινόµενη µέθοδο, στην µετατόπιση στόχο, µε την αντίστοιχη µέση στροφή των δυναµικών αναλύσεων. Τετραώροφο Σ.µ. Φόρτιση Q4 M-Θ Ευκαµπτη Πλευρά M (KNm) 4 3 2 1 -.8 -.6 -.4 -.2-1.2.4.6.8-2 -3-4 θ (rad) 4st_1 4st_2 4st_3 4st_5 4st_6 4st_7 4st_8 4st_9 4st_1 Προτεινόµενη Σχήµα 59: ιαγράµµατα ροπών στροφών στη βάση του στύλου της εύκαµπτης πλευράς του τετραωρόφου για οµάδα Q4 Από τον πίνακα 26 φαίνεται ότι τα αποτελέσµατα είναι ιανοποιητικά δεδοµένου ότι παρατηρείται µια διαφορά της τάξης του 26% που είναι ικανοποιητική δεδοµένης και της διασποράς της δυναµικής ανάλυσης (4 %). 4storey q4 max abs 1st.149237 2nd.392369 3rd.71477 5th.55285 6th.3449 7th.3197 8th.532841 9th.36217 1th.656 M.O..44152 c.o.v. 4% Push (target).326667 ιαφ % 26% Πίνακας 26: ιαφορά στροφών (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική στην βάση του στύλου της εύκαµπτης πλευράς για διέγερση Q4 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 327

5.5 Συµπεράσµατα και σχόλια Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκε το θεωρητικό υπόβαθρο της προτεινοµένης µεθόδου για την περίπτωση του πολυώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου. Το µοντέλο αυτό αποτελεί γενίκευση της περίπτωσης του µονώροφου κτιρίου που παρουσιάστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο και βασίζεται, όπως έχει προαναφερθεί, στο γνωστό µοντέλο του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή για µεταφορική διέγερση. Για τον υπολογισµό του ισοδύναµου ταλαντωτή χρησιµοποιείται το διάνυσµα των φασµατικών ιδιοµορφικών µετατοπίσεων και το διάνυσµα φασµατικών ιδιοµορφικών φορτίων το οποίο χρησιµοποιείται επίσης και ως διάνυσµα φόρτισης στην στατική ανελαστική ανάλυση. Για την τεκµηρίωση της µεθόδου χρησιµοποιήθηκαν δυο διαφορετικά επίπεδα ελέγχου, ένα για την ακρίβεια της καµπύλης αντοχής του πολυβαθµίου µονοσυµµετρικού συστήµατος (παράγραφος 3), δηλαδή στην ουσία της αξιοπιστίας του προτεινόµενου διανύσµατος φόρτισης, και ένα για την τελική ανελαστική απόκριση του κτιρίου (παράγραφος 4), δηλαδή τη στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή, εξετάζοντας την αξιοπιστία της χρήσης του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που προτείνεται. Και στα δύο επίπεδα ελέγχου οι συγκρίσεις έγιναν µε τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, και πιο συγκεκριµένα µε τις «δυναµικές» καµπύλες αντοχής για το πρώτο επίπεδο και µε την µέση απόκριση κάθε οµάδας διεγέρσεων για το δεύτερο επίπεδο. Ως προς την αποτίµηση των καµπυλών αντοχής σηµειώνεται ότι επιβεβαιώθηκε η διαπίστωση περί της διαφοράς µεταξύ των καµπυλών που προκύπτουν από τη δυναµική ανάλυση µε αντιστοίχηση των µεγεθών σε συγκεκριµένη χρονική στιγµή της χρονοϊστορίας και ειδικά σε αυτήν που παρατηρείται η µέγιστη µετατόπιση. Η χρήση χρονικού παραθύρου για την αντιστοίχηση αυτή, η οποία έχει θεωρητικώς τεκµηριωθεί στα προηγούµενα κεφάλαια για την περίπτωση του παραθύρου ενός βήµατος (t-δt, t+δt), πράγµατι δίνει τα ακριβέστερα αποτελέσµατα, ενώ µε την αύξηση του εύρους του παραθύρου στα τρία βήµατα η καµπύλη τείνει στην καµπύλη αντιστοίχησης µεγίστης τέµνουσας βάσης µε µέγιστη µετατόπιση (max-max). Ενδεικτικά αυτό φαίνεται στο σχήµα 6 για την περίπτωση του οκταωρόφου κτιρίου για τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 328

7 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. - ιέγερση Q3 Σύγκριση "παράθυρου" αντιστοίχισης µε 1, 2 και 3 βήµατα Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. - ιέγερση Q4 Σύγκριση "παράθυρου" αντιστοίχισης µε 1, 2 και 3 βήµατα 6 16 KN 5 4 3 2 1 max-max Log. (maxd-1) Log. (maxbs-1) Log. (maxd-3) Log. (maxd-2) Log. (maxbs-3) Log. (maxbs-2) KN 14 12 1 8 6 4 max-max Log. (maxd-1) Log. (maxbs-1) Log. (maxd-3) Log. (maxd-2) Log. (maxbs-3) Log. (maxbs-2) Log. (max-max) Log. (max-max) 2.5.1.15.2 m.2.4.6.8 1 m Σχήµα 6: υναµικές καµπύλες µε χρήση «παραθύρου» 1, 2 και 3 βηµάτων για το οκταώροφο κτίριο και τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 Η στατική καµπύλη αντοχής συγκρίθηκε µε την δυναµική καµπύλη αντοχής δίνοντας στις περισσότερες περιπτώσεις διεγέρσεων ικανοποιητική ακρίβεια. Η ποσοτικοποίηση της προσέγγισης της δυναµικής καµπύλης αντοχής σε σχέση µε την στατική καµπύλη αντοχής έγινε µε την χρήση της έννοιας της στατιστικής συσχέτισης. Όσον αφορά την αξιολόγηση του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή παρατηρείται ότι το ποσοστό λάθους στην εκτίµηση της στοχευόµενης µετατόπισης και στροφής είναι της τάξης του 2% και σε όλες τις περιπτώσεις είναι µικρότερο από τη διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης για τα διάφορα επιταχυνσιογραφήµατα της οµάδας διεγέρσεων. Η σύγκριση αυτή αποδίδεται µε γραφικό τρόπο στα σχήµατα 61 και 62. 4 ορορφο 8 όροφο Q4 25.% Q1 Q3 (3) Q1 Q3 (3) 3.% Q1 Q3 (3) Q4 % Στατική/δυναµική 2.% 15.% 1.% Q2 Q4 Q2 Q1 Q2 Q3 (3) Q4 % Στατική/δυναµική 25.% 2.% 15.% 1.% Q2 Q4 Q1 Q3 (3) Q1 Q2 Q3 (3) Q4 5.% 5.% Q2.% uy Θz.% uy Θz Σχήµα 61: ιαφορά (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση ως προς την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή του CM στον ανώτερο όροφο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 329

4 οροφο 8 οροφο 1.% 1.% 9.% 9.% 8.% 8.% 7.% 7.% 6.% 6.% 5.% 5.% 4.% 4.% 3.% 3.% 2.% 2.% 1.%.% 1.%.% Q1 set Q2 set Q3 set Q4 set Q1 set Q2 set Q3 set Q4 set [uy] προτεινόµενη/δυναµικη [Θz] προτεινόµενη/δυναµικη [uy] δυναµικη THA c.o.v. [Θz] δυναµικη THA c.o.v. [uy] προτεινόµενη/δυναµική [Θz] προτεινόµενη/δυναµική [uy] δυναµική THA c.o.v. [Θz] δυναµική THA c.o.v. Σχήµα 62: Σύγκριση της διαφοράς (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση µε την διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης (%) ως προς την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή του CM στον ανώτερο όροφο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 5 Προτεινόµενη µέθοδος: Πολυώροφα κτίρια 33

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 6.1 Γενικά 332 6.2 υναµική ανελαστική ανάλυση 332 6.3 Στατική ανελαστική ανάλυση προτεινόµενη µέθοδος 336 6.3.1 ιάνυσµα φόρτισης 336 6.3.2 Ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής και στοχευόµενη µετακίνηση 338

6.1 Γενικά Το παρόν κεφάλαιο έχει ως στόχο την σύνοψη όλων των διαπιστώσεων που προέκυψαν από τα προηγούµενα κεφάλαια της παρούσας εργασίας και τον σχολιασµό όλων των µεθόδων και αποτελεσµάτων που παρουσιάστηκαν. 6.2 υναµική ανελαστική ανάλυση Τα κύρια θέµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης που αντιµετωπίστηκαν στο κεφάλαιο 3 για µονώροφα κτίρια και στο κεφάλαιο 5 για πολυώροφα κτίρια, είναι η επιλογή των επιταχυνσιογραφηµάτων, ο υπολογισµός των ανελαστικών φασµάτων, ο τρόπος χάραξης της δυναµικής καµπύλης αντοχής κτιρίου χρησιµοποιώντας διάφορες επιλογές χρονικής αντιστοίχισης µεγεθών απόκρισης, και ο τρόπος κανονικοποίησης και αναγωγής σε κοινή ένταση των διεγέρσεων µε δυο συνιστώσες διευθύνσεων. Επιλέχθηκαν πέντε οµάδες διεγέρσεων (Q, Q1, Q2, Q3 και Q4) µε διαφορετικά κριτήρια η κάθε µια. Τα ανελαστικά φάσµατα αυτών υπολογίστηκαν µε απευθείας ολοκλήρωση των επιταχυνσιογραφηµάτων και όχι µε τις διάφορες προσεγγιστικές µεθόδους που διατίθενται στην βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αποφευχθεί η εισαγωγή προσθέτων αβεβαιοτήτων. Πάντως για τις πρώτες τρεις οµάδες απαιτήθηκε οµαλοποίηση τους, έτσι ώστε οι καµπύλες των φασµάτων να µην έχουν περισσότερες της µίας τετµηµένη για µια τεταγµένη, ενώ για τις υπόλοιπες δύο (Q3 και Q4) η οµαλοποίηση αυτή ήταν άνευ σηµασίας λόγω του µεγάλου αριθµού διεγέρσεων. Όπως αποδείχθηκε τόσο στο κεφάλαιο 3 όσο και στο κεφάλαιο 5 η διαδικασία αυτής της οµαλοποίησης δεν επηρέασε αρνητικά ή θετικά την ακρίβεια των αποτελεσµάτων της προτεινοµένης στατικής µεθόδου ως προς αυτά της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης καθώς η ακρίβεια των εκτιµήσεων µε την προτεινόµενη µέθοδο για τις οµάδες Q, Q1 και Q2 δεν διαφέρει από αυτή για τις οµάδες Q3 και Q4. Στο πλαίσιο του κεφαλαίου 3 θεωρήθηκαν δύο µονώροφα µονοσυµµετρικά κτίρια µε τοιχώµατα (πιν. 1), ένα στρεπτικά µη δεσµευµένο (Σ.µ.) και ένα στρεπτικά δεσµευµένο (Σ. ). τα οποία υποβλήθηκαν σε σειρά δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων υπό τα ανηγµένα σε διάφορες εντάσεις επιλεχθέντα Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 332

επιταχυνσιογραφήµατα. Το αριθµητικό προσοµοίωµα που επιλέχθηκε ήταν αυτό των σηµειακών πλαστικών αρθρώσεων (point hinge model) το οποίο προηγουµένως τεκµηριώθηκε ως προς την µέθοδο της κατανεµηµένης πλαστικότητας και τον χωρισµό της διατοµής σε ζώνες (fiber model) µε συγκριτικά παραδείγµατα. Επίσης στα πλαίσια του κεφαλαίου 5 εξετάστηκαν δυο στρεπτικά µη δεσµευµένα (εύστρεπτα) πολυώροφα κτίρια (πιν. 1), ένα τετραώροφο και ένα οκταώροφο τα οποία υποβλήθηκαν στις ίδιες διεγέρσεις µε τα µονώροφα. Το αριθµητικό προσοµοίωµα για τα πολυώροφα κτίρια αποτελείται από κυβικά γραµµικά στοιχεία κατανεµηµένης ανελαστικότητας και χωρισµού των διατοµών σε ζώνες. α/α Κάτοψη Περιγραφή Σχόλια 1 2 W1 W1 W3 CM CM W4 CR CR W2 W2 Σ.. µονώροφο Τ1=.19sec T2=.11sec T3=.7sec Σ.µ. µονώροφο Τ1=.24sec T2=.16sec T3=.8sec 3 Σ.µ. τετραώροφο Τ1=.46sec T2=.44sec T3=.34sec Κτίριο πλήρως στρεπτικά δεσµευµένο. Προσοµοίωση µε Point hinge για Q, Q1, Q2 Προσοµοίωση µε fiber model για Q3, Q4 Ανάλυση µε διέγερση σε 1 και 2 διευθύνσεις ιαφορετικοί τρόποι αναγωγής επιταχυνσιογραφηµάτων (pga, Arias, Housner) Κτίριο πλήρως στρεπτικά µη δεσµευµένο. Προσοµοίωση µε Point hinge για Q, Q1, Q2 Προσοµοίωση µε fiber model για Q3, Q4 Ανάλυση µε διέγερση σε 1 και 2 διευθύνσεις ιαφορετικοί τρόποι αναγωγής επιταχυνσιογραφηµάτων (pga, Arias, Housner) Κτίριο µερικώς στρεπτικά µη δεσµευµένο. Προσοµοίωση µε fiber model για όλες τις διεγέρσεις Ανάλυση µε διέγερση σε 1 διευθύνση ιαφορετικοί τρόποι αναγωγής επιταχυνσιογραφηµάτων (pga, Arias, Housner) Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 333

4 Σ.µ. οκταώροφο Τ1=.94sec T2=.91sec T3=.72sec Κτίριο µερικώς στρεπτικά µη δεσµευµένο. Προσοµοίωση µε fiber model για όλες τις διεγέρσεις Ανάλυση µε διέγερση σε 1 διευθύνση ιαφορετικοί τρόποι αναγωγής επιταχυνσιογραφηµάτων (pga, Arias, Housner) Πίνακας 1: Επιλεχθέντα κτίρια για παραµετρικές αναλύσεις Ένας από τους βασικούς στόχους των δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων ήταν ο προσδιορισµός των «δυναµικών» καµπυλών αντίστασης. Με τον όρο «δυναµική» καµπύλη αντίστασης ορίζεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που απεικονίζονται σε καρτεσιανό επίπεδο τέµνουσας βάσης µετατόπισης οροφής και αποτελούν ζεύγη µεγεθών (τέµνουσας βάσης- µετατόπισης) που προκύπτουν από τις διαδοχικές καταστάσεις αστοχίας του φορέα σε δεδοµένη αυξανόµενη διαδοχικά διέγερση µε την χρήση δυναµικής ανελαστικής βήµα προς βήµα ανάλυσης. Η «δυναµική» αυτή καµπύλη αντίστασης που προκύπτει µε την µικροαυξητική δυναµική ανάλυση (Incremental Dynamic Analysis), έχει χρησιµοποιηθεί στο παρελθόν για την τεκµηρίωση της ακρίβειας των διαφόρων προσεγγίσεων στατικής ανελαστικής ανάλυσης. Τα ζεύγη τιµών των µεγεθών απόκρισης (τέµνουσα βάσης-µετατόπιση κορυφής) που προκύπτουν από τις διάφορες δυναµικές ανελαστικές αναλύσεις µπορούν να προσδιοριστούν µε διαφορετικούς τρόπους εκ των οποίων, όπως τεκµηριώθηκε στην σχετική παράγραφο, το ζεύγος της µέγιστης µετατόπισης µε την αντιστοιχούσα σε αυτήν την χρονική στιγµή τέµνουσα βάσης, χρησιµοποιώντας χρονικό παράθυρο διαρκείας συν/ πλην ένα βήµα είναι αυτό που ικανοποιεί την εξίσωση δυναµικής ισορροπίας. Στο σχήµα 1 φαίνεται ένα ενδεικτικό παράδειγµα µε τις διάφορες επιλογές ζευγών µεγεθών (µετατόπισης-τέµνουσας βάσης) καθώς και η θεωρητική λύση που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο 3, ενώ στο σχήµα 2 οι δυναµικές καµπύλες αντίστασης όπως προκύπτουν για παράθυρο αντιστοίχισης µε 1, 2 και 3 βήµατα αντίστοιχα. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 334

Μονώροφο Κτίριο Σ.µ. 65 ιεγέρσεις- ιέγερση σε δύο διευθύνσεις-q2 P-δ καµπύλη µε παράθυρο αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 7 V 6 V 5 4 3 2 R 2 =.5653 R 2 =.982 y = -12.84Ln(x) + 1796.1 R 2 =.22 max BS maxd max&max Log. (max BS) Log. (maxd) Log. (max&max V=V1+V2(5272) V2(4217.6) Vtors(1813) V-θ curve (στρέψη) καπύλη αντοχής κτιρίου χωρίς στρέψη καµπύλη αντοχής W2 (4.m) καµπύλη αντοχής κτιρίου µε στρέψη 1 V1(154.5) καµπύλη αντοχής W1 (2.m).5.1.15.2.25 Θ Θy δy2 δy1 Σχήµα 1: Ενδεικτικά αποτελέσµατα καµπύλης αντοχής µε τις διάφορες επιλογές για το στρεπτικά µη δεσµευµένο(σ.µ.) κτίριο και η θεωρητική καµπύλη δ 7 Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. - ιέγερση Q3 Σύγκριση "παράθυρου" αντιστοίχισης µε 1, 2 και 3 βήµατα Χωρικό οκταώροφο πλαίσιο Σ.µ. - ιέγερση Q4 Σύγκριση "παράθυρου" αντιστοίχισης µε 1, 2 και 3 βήµατα 6 16 KN 5 4 3 2 1 max-max Log. (maxd-1) Log. (maxbs-1) Log. (maxd-3) Log. (maxd-2) Log. (maxbs-3) Log. (maxbs-2) KN 14 12 1 8 6 4 max-max Log. (maxd-1) Log. (maxbs-1) Log. (maxd-3) Log. (maxd-2) Log. (maxbs-3) Log. (maxbs-2) Log. (max-max) Log. (max-max) 2.5.1.15.2 m.2.4.6.8 1 m Σχήµα 2: υναµικές καµπύλες αντίστασης µε χρήση «παραθύρου» 1, 2 και 3 βηµάτων για το οκταώροφο κτίριο και τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4 Σε αυτό το σηµείο κρίνεται σκόπιµο να αναφερθεί ότι οι παρατηρήσεις που προαναφέρθηκαν έχουν προκύψει για την περίπτωση χωρικής ανάλυσης µε στρεπτική καταπόνηση και δεν παρατηρούνται και σε επίπεδους φορείς όπου οι τρεις ανωτέρω επιλογές ταυτίζονται. Από την επεξεργασία των αποτελεσµάτων των αναλύσεων προέκυψαν οι «δυναµικές» καµπύλες αντίστασης, βασικό πρόβληµα των οποίων είναι η αρκετά σηµαντική διασπορά που έχουν. Παρά την επιλογή διαφόρων οµάδων διεγέρσεων µε διαφορετικό αριθµό διεγέρσεων η κάθε µια, καθώς και την χρήση διαφορετικών τρόπων αναγωγής σε κοινή ένταση (µέγιστη επιτάχυνση, ένταση Arias, ένταση Housner) η διασπορά αυτή παρέµεινε ιδιαίτερα σηµαντική στην περίπτωση των εύστρεπτων κτιρίων, δίνοντας την εικόνα νέφους στην δυναµική καµπύλη αντοχής. Φάνηκε λοιπόν σαφώς τόσο στην περίπτωση των µονωρόφων όσο και των πολυωρόφων µονοσυµµετρικών κτιρίων το µεγάλο πρόβληµα που παρουσιάζουν τα στρεπτικώς µη δεσµευµένα (εύστρεπτα) κτίρια, η απόκριση των οποίων φαίνεται να Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 335

έχει πολύ µεγάλη διασπορά γύρω από την µέση θεωρητική λύση, και σε µεγάλο βαθµό δικαιώνει την υιοθέτηση από τους κανονισµούς συστάσεων για αποφυγή τέτοιων κτιρίων. Εξετάζοντας το θέµα µε ποιοτικά κριτήρια βασική αιτία είναι ότι το εύστρεπτο κτίριο είναι ως προς την στροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα (z-z) σύστηµα χαµηλού βαθµού υπερστατικότητας. Έτσι µε τη διαδοχική διαρροή των στοιχείων αντίστασης (πλαισίων ή τοιχείων) η στρεπτική δυσκαµψία του κτιρίου γίνεται πρακτικά µηδενική -στρεπτική άρθρωση κατά την έννοια του z-z γύρω από το πλαίσιο/τοίχωµα που δεν έχει διαρρεύσει- προκαλώντας την απόκριση του φορέα σε αναλογία µε την µορφή της διέγερσης. Θα ήταν εποµένως κρίσιµο να καθοριστούν ποιοτικά και ποσοτικά κριτήρια για τα όρια µέχρι τα οποία θα πρέπει τα νέα κτίρια να είναι στρεπτικά µη δεσµευµένα και για τα οποία ισχύουν οι µέθοδοι ανάλυσης. Τα κριτήρια αυτά δεν θα πρέπει να εξετάζουν τα ελαστικά χαρακτηριστικά όπως Κ yy, K θ, Ω κλπ, αλλά να διασφαλίζουν την στρεπτική υπερστατικότητα ενός κτιρίου µε την ύπαρξη επαρκών πλαισίων ή τοιχωµάτων στην περίµετρο. Επίσης θα µπορούσε να προβλεφθεί σαφέστερη διαδικασία ικανοτικού σχεδιασµού έναντι στρέψης, δηλαδή σε επίπεδο κτιρίου να διασφαλίζεται η αστοχία των στοιχείων της περιµέτρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να µην διαταράσσεται η στρεπτική συµπεριφορά του φορέα όπως προκύπτει από την ελαστική ιδιοµορφική ανάλυση. 6.3 Στατική ανελαστική ανάλυση προτεινόµενη µέθοδος Η αξιολόγηση της προτεινοµένης µεθόδου χωρικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης, η οποία βασίζεται στον προσδιορισµό ενός διανύσµατος φόρτισης (τέµνουσα βάσης, ροπής στρέψης) και ενός ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή που λαµβάνει υπόψη και τους στρεπτικούς βαθµούς ελευθερίας γίνεται όπως έχει προαναφερθεί µε την σύγκριση της µε τα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης, και πιο συγκεκριµένα σε δύο επίπεδα, µε τις «δυναµικές» καµπύλες αντοχής όσον αφορά το διάνυσµα φόρτισης και µε την µέγιστη απόκριση υπό συγκεκριµένη διέγερση όσον αφορά την αξιοπιστία του ισοδύναµου µονοβάθµιου ταλαντωτή. 6.3.1 ιάνυσµα φόρτισης Στο κεφάλαιο 4 έγινε η αξιολόγηση της αξιοπιστίας του διανύσµατος φόρτισης για µονώροφα κτίρια µε διέγερση σε µία αλλά και δύο διευθύνσεις. Επίσης έγινε σύγκριση µε άλλες γνωστές (παλαιότερες και νεότερες) προτάσεις περί του Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 336

διανύσµατος φόρτισης όπως η µέθοδος της ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης (Chopra & Goel, 22, 24) η οποία τροποποιήθηκε κατάλληλα για την περίπτωση της χωρικής ανάλυσης. Στο κεφάλαιο 5 η µέθοδος συγκρίθηκε µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση για την περίπτωση πολυωρόφων κτιρίων για διέγερση σε µία µόνο διεύθυνση. Αποφεύχθηκε η εφαρµογή διέγερσης σε δύο διευθύνσεις για υπολογιστικούς λόγους και δεδοµένου ότι τα αποτελέσµατα στο µονώροφο δεν έδειξαν διαφοροποίηση στην περίπτωση αυτή, αντίθετα επιβεβαίωσαν τις αναµενόµενες διαφορές στην απόκριση του κτιρίου υπό διαξονική διέγερση. Σηµειώνεται ότι ενώ οι καµπύλες αντοχής που υπολογίζονται από την προτεινόµενη µέθοδο διαφέρουν µεταξύ τους ανάλογα µε την οµάδα διεγέρσεων στην οποία αντιστοιχούν, αυτό δεν ισχύει για την τροποποιηµένη µέθοδο Chopra ή και τις άλλες απλούστερες µεθόδους. Η ερµηνεία αυτής της διαφοράς είναι ότι στην προτεινόµενη µέθοδο εισάγονται εξαρχής τα ιδιοµορφικά φορτία για συγκεκριµένο φάσµα (συνεκτιµώντας δηλαδή την επιτάχυνση που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοµορφή), ενώ στις µεθόδους όπως των Chopra Goel η επιρροή του φάσµατος εισάγεται στη φάση καθορισµού της στοχευόµενης µετακίνησης. Έτσι µεταξύ των οµάδων Q1 και Q2 υπάρχει διαφορά της τάξης του 2% στην αντοχή όταν αυτή υπολογίζεται µε την προτεινόµενη µέθοδο όπως φαίνεται στο σχήµα 3, η οποία γίνεται µεγαλύτερη για διέγερση σε 2 διευθύνσεις. Μονώροφο Σ.µ. Κτίριο: Q1-Q2 Με κανονικοποίηση 65 αναλύσεις- ιέγερση σε µια διεύθυνση V-δ καµπύλη µε "παράθυρο" αντιστοίχισης ιεύθυνση YY 16 14 12 V 1 8 6 4 CHOPRA SRSS Προτεινόµενη Q1 Προτεινόµενη Q2 2.5.1.15.2.25 Σχήµα 3:Σύγκριση στατικών καµπυλών αντοχής αντιστοιχούσων στην διέγερση q1 και q2 υπολογισµένων µε τη προτεινόµενη µέθοδο µε την καµπύλη αντοχής υπολογισµένη µε την µέθοδο Chopra για µονώροφο κτίριο Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 337

Οι καµπύλες αντίστασης που υπολογίστηκαν µε την προτεινόµενη µεθοδολογία για τα δύο πολυώροφα κτίρια που εξετάστηκαν στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζουν ικανοποιητική ακρίβεια ανάλογη της περίπτωσης του µονωρόφου µονοσυµµετρικού. Για την ποσοτικοποίηση της ακρίβειας της στατικής καµπύλης αντοχής ως προς τα σηµεία της δυναµικής καµπύλης αντοχής επιλέχθηκε η χρήση του στατιστικού όρου της συσχέτισης, ο οποίος περιγράφηκε στο κεφάλαιο 5. Τα αποτελέσµατα εφαρµογής αυτής της µεθόδου συνοψίζονται στον πίνακα 2. Κτίριο Οµάδα ιεγέρσεων Q1 Q2 Q3 Q4 τετραώροφο 14.% 78.4% 58.9% 81.8% οκταώροφο 78.3% 22.1% 73.3% 85.6% Πίνακας 2: Συσχέτιση µεταξύ καµπύλης pushover και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης 6.3.2 Ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής και στοχευόµενη µετακίνηση Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάστηκαν τα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε την προτεινόµενη µεθοδολογία για την περίπτωση των µονώροφων µονοσυµµετρικών κτιρίων και συγκρίθηκαν µε τα αντίστοιχα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Σε όλες τις περιπτώσεις επιλέχθηκε συγκεκριµένη στάθµη σεισµικής έντασης και ελέγχθηκαν η µετατόπιση και η στροφή του κέντρου µάζας CM µονώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου στρεπτικά δεσµευµένου και µη δεσµευµένου. Στον πίνακα 3 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα για όλες τις αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν για την περίπτωση του µονώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου, απ όπου προκύπτει ότι για τις περισσότερες περιπτώσεις η εκτίµηση της µετατόπισης και στροφής του ορόφου µε την προτεινόµενη µέθοδο αποκλίνουν από την αντίστοιχη δυναµική ανάλυση σε ποσοστό της τάξης του 1%. ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ Σ.. υναµική Στατική Q1 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm].792 12.86%.824 4.2% Θz [rad] 4.96E-2 14.93% 5.3E-4 6.9% Q2 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm].799 1.38%.783 2.6% Θz [rad] 4.69E-4.73% 5.3E-4 4.94% Q3 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 1.34 32.54%.954 7.7% Θz [rad] 4.9E-4 33.61% 4.41E-4 1.17% Q4 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 1.79263 5.11% 1.41 2.78% Θz [rad] 9.2E-4 6.96% 6.E-4 33.48% Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 338

Q4 set pga Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 2.25535 37.92% 1.822 19.2% Θz [rad] 1.11E-3 43.88% 8.9E-4 19.84% ΣΤΡΕΠΤΙΚΑ µη ΕΣΜΕΥΜΕΝΟ ΚΤΙΡΙΟ Σ.µ. υναµική Στατική Q1 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm].62 15.27%.765 13.61% Θz [rad] 6.18E-4 23.68% 7.6E-4 23.5% Q2 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm].128 24.82% 1.15 17.21% Θz [rad] 1.28E-3 26.5% 1.1E-3 14.% Q3 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 1.463 21.21% 1.531 4.66% Θz [rad] 1.22E-3 22.54% 1.3E-3 6.95% Q4 set Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 5.834 66.11% 7.654 31.2% Θz [rad] 5.15E-3 72.76% 4.3E-3 16.57% Q4 set pga Μ.Ο. c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 5.837 63.88% 5.64 3.37% Θz [rad] 5.19E-3 69.34% 4.5E-3 13.27% Πίνακας 3: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάστηκαν τα αποτελέσµατα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε την προτεινόµενη µεθοδολογία, για την περίπτωση πολυωρόφων µονοσυµµετρικών κτιρίων, και συγκρίθηκαν µε τα αντίστοιχα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης. Επιλέχθηκε συγκεκριµένη σεισµική ένταση και ελέγχθηκαν η µετατόπιση και η στροφή του κέντρου µάζας CM της οροφής ενός τετραώροφου και ενός οκταώροφου, αµφότερων εύστρεπτων, κτιρίων. Στον πίνακα 3 που ακολουθεί περιλαµβάνονται τα συγκεντρωτικά αποτελέσµατα για όλες τις αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν, απ όπου προκύπτει ότι για όλες τις περιπτώσεις η εκτίµηση της µετατόπισης και στροφής του ορόφου µε την προτεινόµενη µέθοδο αποκλίνουν από την αντίστοιχη δυναµική ανάλυση σε ποσοστό της τάξης του 2% Εύστρεπτο τετραώροφο υναµική Στατική Q1 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 7.169 31.76% 5.741 19.91% Θz [rad] 9.55E-3 27.27% 7.7E-3 19.34% Q2 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 15.499 21.61% 13.748 11.29% Θz [rad] 1.63E-2 19.38% 1.8E-2 1.43% Q3 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 339

uy [cm] 13.847 31.93% 1.949 2.93% Θz [rad] 1.86E-2 28.83% 7.E-3 19.32% Q4 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 13.41 63.53% 1.92 16.4% Θz [rad] 1.71E-2 63.22% 1.3E-2 23.9% Εύστρεπτο οκταώροφο υναµική Στατική Q1 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 24.999 74.76% 18.84 24.78% Θz [rad] 1.34E-2 9.% 1.5E-2 11.56% Q2 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 13.916 24.86% 11.364 18.34% Θz [rad] 7.37E-3 2.9% 7.4E-3.45% Q3 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 21.61 31.65% 15.626 25.8% Θz [rad] 1.1E-2 31.44% 1.1E-2 14.61% Q4 set Μέση c.o.v. Pushover ιαφ.% uy [cm] 35.913 94.82% 31.767 11.55% Θz [rad] 2.5E-2 88.4% 2.5E-2 22.34% Πίνακας 3: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων Αυτό που είναι ιδιαίτερα σηµαντικό ως προς την προτεινόµενη µέθοδο είναι ότι σε όλες τις περιπτώσεις η απόκλιση από την δυναµική ανελαστική ανάλυση είναι µικρότερη από τη διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης για τα διάφορα επιταχυνσιογραφήµατα της οµάδας διεγέρσεων. Η σύγκριση αυτή είναι προφανής από τα γραφήµατα που ακολουθούν στα σχήµατα 4 και 5. 4 ορορφο 8 όροφο Q4 25.% Q1 Q3 (3) Q1 Q3 (3) 3.% Q1 Q3 (3) Q4 % Στατική/δυναµική 2.% 15.% 1.% 5.% Q2 Q4 Q2 Q1 Q2 Q3 (3) Q4 % Στατική/δυναµική 25.% 2.% 15.% 1.% 5.% Q2 Q4 Q1 Q2 Q3 (3) Q1 Q2 Q3 (3) Q4.% uy Θz.% uy Θz Σχήµα 4: ιαφορά (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 34

4 οροφο 8 οροφο 1.% 9.% 8.% 7.% 6.% 5.% 4.% 3.% 2.% 1.%.% 1.% 9.% 8.% 7.% 6.% 5.% 4.% 3.% 2.% 1.%.% Q1 set Q2 set Q3 set Q4 set Q1 set Q2 set Q3 set Q4 set [uy] προτεινόµενη/δυναµικη [Θz] προτεινόµενη/δυναµικη [uy] δυναµικη THA c.o.v. [Θz] δυναµικη THA c.o.v. [uy] προτεινόµενη/δυναµική [Θz] προτεινόµενη/δυναµική [uy] δυναµική THA c.o.v. [Θz] δυναµική THA c.o.v. Σχήµα 5: Σύγκριση της διαφοράς (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου ως προς την ανελαστική δυναµική ανάλυση µε την διασπορά των αποτελεσµάτων αυτής (%) 8 Σχετικά βέλη ορόφων 8 όροφο Q4 4 Σχετικά βέλη ορόφων 4 όροφο Q4 7 6 3 5 Ορόφοι 4 3 2 Ορόφοι 2 1 1 % 1% 2% 3% 4% 5% % ύψους ορόφου Stiff dynamic Flexible dynamic Stiff static Flexible static % 1% 2% 3% 4% 5% % ύψους ορόφου Stiff dynamic Flexible dynamic Stiff static Flexible static Σχήµα 6: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το οκταώροφο κτίριο Τέλος στο κεφάλαιο 5 ελέγχθηκαν και τα απαιτούµενα βέλη ορόφων που προκύπτουν µε την προτεινόµενη µέθοδο σε σχέση µε τα µέγιστα απαιτούµενα από την ανελαστική δυναµική ανάλυση για την εύκαµπτη και την δύσκαµπτη πλευρά (σχήµα 6). Η απόκριση κρίθηκε ικανοποιητική αν και παρουσιάζεται µεγαλύτερη από αυτή της στοχευόµενης µετατόπισης και στροφής ιδιαίτερα στην εκτίµηση των βελών των ανωτέρων ορόφων. Η διαφορά αυτή οφείλεται, κατά ένα µικρό ποσοστό, Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 341

στο γεγονός ότι τα µέγιστα βέλη ορόφου από την δυναµική ανελαστική ανάλυση δεν συµβαίνουν την ίδια χρονική στιγµή σε κάθε όροφο και σε κάθε πλευρά, µε αποτέλεσµα η χρήση τους να είναι συντηρητική και να µην ανταποκρίνεται σε µία υπάρχουσα εντατική κατάσταση του κτιρίου. Επιπλέον είναι αναµενόµενο µεγέθη απόκρισης που είναι παράγωγα των γενικών µεγεθών απόκρισης (όπως βέλη ορόφων, παραµορφώσεις δοµικών στοιχείων) να παρουσιάζουν µεγαλύτερες αποκλίσεις από αυτές των γενικών µεγεθών. Η προτεινόµενη µεθοδολογία ακολουθεί την σύγχρονη τάση στην χωρική στατική ανελαστική ανάλυση που κυριαρχεί στην σύγχρονη βιβλιογραφία, βάσει της οποίας η µορφή παραµόρφωσης που προκύπτει από την ελαστική φασµατική ανάλυση (ιδιοµορφές µε συντελεστές συµµετοχής τους) αποτελεί σηµείο εκκίνησης για την στατική ανελαστική ανάλυση. Φυσικά πέραν αυτής της γενικής οµοιότητας υπάρχουν σηµαντικές διαφορές όπως η χρήση της κάθε ιδιοµορφής ξεχωριστά ή χρήση της συνδυασµένης ιδιοµορφικής απόκρισης, ο τρόπος προσδιορισµού του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή κ.α. Η προτεινόµενη µεθοδολογία, η οποία τεκµηριώθηκε στα πλαίσια της παρούσας διατριβής για την περίπτωση µονώροφων και πολυωρόφων µονοσυµµετρικών κτιρίων (µέχρι 9 στάθµες), δίνει ικανοποιητική ακρίβεια στην πρόβλεψη της ανελαστικής συµπεριφοράς τους. Φυσικά για την γενικότερη περίπτωση των ασύµµετρων και στις δύο διευθύνσεις σε κάτοψη απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση, τόσο στο θεωρητικό τµήµα προσδιορισµού του ισοδυνάµου µονοβαθµίου όσο και στον παραµετρικό έλεγχο της αξιοπιστίας αυτού και του διανύσµατος φόρτισης. Επίσης για την περίπτωση κτιρίων που παρουσιάζουν και καθ ύψος ασυµµετρη κατανοµή των στοιχείων δυσκαµψίας τότε επιπλέον απαιτείται συνδυασµός της προτεινοµένης µεθόδου µε προσαρµοζόµενη στατική ανελαστική ανάλυση (adaptive pushover) και φυσικά παραµετρική τεκµηρίωση των αποτελεσµάτων. Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κεφάλαιο 6 Συµπεράσµατα 342

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχ.1: Εκκεντρότητες κατά EC8... 13 Σχ.2: Ισοδύναµος µονοβάθµιος ταλαντωτής (Fajfar et al, 2)... 16 Σχ. 3: Aναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική και δυναµική ανελαστική ανάλυση (α) Μη συµµετρικό σύστήµα υψηλής πλαστιµότητας (β) Συµµετρικό σύστηµα χαµηλής πλαστιµότητας (Αντωνίου, Ροβιθάκης και Pinho)... 17 Σχ. 4: Aναπροσαρµοζόµενη στατική ανελαστική και δυναµική ανελαστική ανάλυση συµµετρικού συστήµατος υψηλής πλαστιµότητας πλαισίων τοιχωµάτων (Αντωνίου, Ροβιθάκης και Pinho)... 18 Σχ. 5: Ιδιοµορφικές µετακινήσεις και φορτία πολυβαθµίου ταλαντωτή... 18 Σχ. 6: Ελαστικό και ανελαστικό φάσµα επιταχύνσεων-µετατοπίσεων- Γραφική µέθοδος προσδιορισµού στοχευόµενης µετατόπισης (Fajfar et al)... 26 Σχ. 7: Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε ελαστοπλαστική συµπεριφορά Miranda & Garcia... 27 Σχ. 8:Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε τροποποιηµένο υστερητικό µοντέλο Clough (Miranda & Garcia)... 28 Σχ. 9:Λόγος µέσης προσεγγιστικής προς ακριβή µετατόπιση για συστήµατα µε υστερητικό µοντέλο Takeda (Miranda & Garcia)... 29 Σχ. 11: Μεταβολή των δυσκαµψιών διαφόρων στοιχείων (Paulay)... 33 Σχ.12 : Κατασκευή επιφάνειας Ροπής Στρέψης Τέµνουσας Βάσης (ΒST) (Chopra et al)... 35 Σχ.13:Σύγκριση αποτελεσµάτων ανελαστικής στατικής-δυναµικής ανάλυσης µονοβαθµίου SDOF (Azuhata et al)... 38 Σχ.14: Συγκριτικά αποτελέσµατα ανελαστικής στατικής-δυναµικής ανάλυσης πολυβαθµίου MDOF (Azuhata et al)... 39 Σχ.16: Μέγιστη µετατόπιση (αρ.) και σχετικό βέλος ορόφου(δεξ.) στην εύκαµπτη πλευρά (A. Rutenberg)... 44 Σχ.17: Συσχετισµός στοχευόµενης µετακίνησης για συµµετρικό κτίριο (Τso και Μoghadam)... 45 Σχ.18: Συσχετισµός των µετατοπίσεων για τις δυο πλευρές ασύµµετρου κτιρίου (Τso και Μoghadam)... 46 Σχ.19: Σύγκριση αποκρίσεων εύκαµπτης πλευράς... 47 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 343

(α)μετατοπίσεις (β)σχετικά βέλη ορόφων (γ)πλαστιµότητα στύλων (δ)πλαστιµότητα δοκών (Τso και Μoghadam)... 47 Σχ.2: Τέµνουσα βάσης µετατόπιση οροφής: Πείραµα Tsukuba και διάφορες αναλύσεις µεταξύ των οποίων και η αναπτυσσόµενη µέθοδος (Rutenberg και Destefano)... 5 Σχ.21: Παραµορφώσεις: Στατική ανελαστική δυναµική απόκριση στο επιταχυνσιο-γράφηµα του El Centro χωρίς επιπλέον εκκεντρότητες (Rutenberg &Destefano)... 51 Σχ.22: Παραµορφώσεις στατικής ανελαστικής υναµικής ανάλυσης στο επιταχυνσιογράφηµα του El Centro, λαµβάνοντας υπόψη εκκεντρότητες σχεδιασµού (Rutenberg &Destefano)... 51 Σχ.23: Παραµορφώσεις Στατικής ανελαστικής υναµικής ανάλυσης στο επιταχυνσιογράφηµα του Newhall, λαµβάνοντας υπόψη εκκεντρότητες σχεδιασµού (Rutenberg &Destefano)... 52 Σχ.24: Ανάλυση συµµετρικού (α) και ασύµµετρου (β) κτιρίου και παρουσίαση συγκριτικών αποτελεσµάτων (Kilar και Fajfar)... 54 Σχ.25: Ανελαστική προς ελαστική µετατόπιση για διέγερση µιας διεύθυνσης (a) Εύκαµπτη... 56 (b) ύσκαµπτη πλευρά (R.Riddell και H.Santa-Maria)... 56 Σχ.26: Επιρροή του φορτίου διαρροής µε διέγερση µιας διεύθυνσης και Ω θ = 1. (R.Riddell και H.Santa-Maria... 57 Σχ.27: Λόγος της απόκρισης σε διέγερση µιας διεύθυνσης προς διέγερση δυο διευθύνσεων (a) εύκαµπτη (b) δύσκαµπτη πλευρά (R.Riddell και H.Santa- Maria)... 57 Σχ.28: Ιδιοµορφές και ιδιοµορφικά φορτία ενός εννιαώροφου κτιρίου (Chopra & Goel)... 6 Σχ.29: Στατικές ανελαστικές αναλύσεις σηµαντικών ιδιοµορφών (Chopra & Goel)... 61 Σχ.3: Συµµετοχή των ιδιοµορφών στην απόκριση κτιρίων µε την ιδιοµορφική στατική ανελαστική ανάλυση και σύγκριση αποτελεσµάτων µε την δυναµική ανελαστική ανάλυση (Chopra & Goel)... 62 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 344

Σχ.31: Σύγκριση ποσοστού λάθους ιδιοµορφικής στατική ανελαστική ανάλυση/ανελαστική δυναµική µε το ποσοστό λάθους ελαστικής φασµατικής (Chopra & Goel)... 63 Σχ.32: Σύγκριση ιδιοµορφικής στατικής ανελαστικής ανάλυσης, στατικής ανελαστικής ανάλυσης κατά FEMA 356 µε ανελαστική δυναµική (Chopra & Goel)... 64 Σχ.33: Επιρροή της φασµατική επιτάχυνσης στο ποσοστό συµµετοχής κάθε ιδιοµορφής... 65 Σχ.34: Πολυώροφο κτίριο, (a) κάτοψη και (b) όψεις πλαισίων (Chopra & Goel 25)... 66 Σχ.35: Μετατοπίσεις ορόφων και σχετικά βέλη ορόφων στην δεξιά πλευρά δύο τύπων κτιρίου (b) δύστρεπτο & (c) σχετικά δύστρεπτο & (d) εύστρεπτο (Chopra & Goel 25)... 67 Σχ.36: Στρεπτική δυσκαµψία µονώροφων ασύµµετρων κτιρίων (Fujii, Nakano & Sanada)... 68 Σχ.37: Σύγκριση εκτιµώµενων µετατοπίσεων µε τον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή και δυναµική ανελαστική ανάλυση (Fujii, Nakano & Sanada)... 69 Σχ.38: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το οκταώροφο µεικτό σύστηµα πλαισίου τοιχώµατος (Elnashai & Mwafy)... 7 Σχ.39: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το δωδεκαώροφο συµµετρικό σύστηµα πλαισίου (Elnashai & Mwafy)... 71 Σχ.4: υναµική καµπύλη αντοχής µε τα επιµέρους ζεύγη τιµών της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το οκταώροφο µη συµµετρικό σύστηµα πλαισίου (Elnashai & Mwafy)... 72 Σχ.41: υναµική καµπύλη αντοχής (El Centro) και αντίστοιχη στατική καµπύλη αντοχής ενός µεταλλικού πλαισιακού εικοσαώροφου κτιρίου (Vamvatsikos & Cornell)... 74 Σχ.42: υναµική καµπύλη αντοχής ενός τριώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα µε αστοχούσες συνδέσεις. Το φαινόµενο της «ανάστασης» (Vamvatsikos & Cornell)... 74 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 345

Σχ.43: υναµική καµπύλη αντοχής ενός τριώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα όπου το σηµείο επιτελεστικότητας (αστοχίας) δεν είναι µονοσήµαντο είτε (α) εφαρµόζοντας τον κανόνα γωνίας στροφής ορόφου,8 ή (β) του κριτηρίου κλίσης 2%. (Vamvatsikos & Cornell)... 75 Σχ.44: (α)3 δυναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα (Vamvatsikos & Cornell)... 76 Σχ.44: (β)) Η σύνοψη του µε βάση το 16%, 5% και 84% (Vamvatsikos & Cornell)... 76 Σχ.45: (α) υναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα ως προς PGA... 77 (β) υναµικές καµπύλες αντοχής ενός πενταώροφου µεταλλικού πλαισιακού φορέα ως προς Sa, (Vamvatsikos & Cornell)... 77 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 346

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1: Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο (Σ..)... 85 Σχήµα 2: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.)... 85 Σχήµα 3: Στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο (Σ..) και καµπύλες αντοχής σε όρους τέµνουσας-µετατόπισης και ροπής στρέψης-στροφής του κέντρου µάζας (CM)... 86 Σχήµα 4: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.) και καµπύλες αντοχής σε όρους τέµνουσας-µετατόπισης και ροπής στρέψης-στροφής του κέντρου µάζας (CM)... 87 Σχήµα 5: Στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο (Σ.µ.). Ανάλυση των καµπυλών αντοχής σε τέµνουσα και ροπή στρέψης... 88 Σχήµα 6: Μοντέλο ανελαστικής συµπεριφοράς Wen (1976)... 89 Σχήµα 7: Επιρροή παραµέτρου a στο µοντέλο Wen (1976)... 9 Σχήµα 8: Γεωµετρία πρώτου παραδείγµατος... 92 Σχήµα 9: Γεωµετρία δεύτερου παραδείγµατος... 93 Σχήµα 1: Σύγκριση καµπυλών Ρ-δ για το πρώτο παράδειγµα... 94 Σχήµα 11: Σύγκριση καµπυλών Ρ-δ για το δεύτερο παράδειγµα... 94 Σχήµα 12: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Treasure Island, φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 1 Σχήµα 13: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Treasure Island, φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 1 Σχήµα 14: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Lick lab φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 11 Σχήµα 15: Σεισµός Loma Prieta, καταγραφή Lick lab φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 11 Σχήµα 16: Σεισµός Northridge, καταγραφή Newhall φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 12 Σχήµα 17: Σεισµός Northridge, καταγραφή Newhall φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 12 Σχήµα 18: Σεισµός Kobe, καταγραφή Hyogo Ken, φάσµα επιταχύνσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 13 Σχήµα 19: Σεισµός Kobe, καταγραφή Hyogo Ken, φάσµα µετατοπίσεων ανηγµένο σε 4 [m/sec 2 ]... 13 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 347

Σχήµα 2: Οµάδα (Q), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 14 Σχήµα 21: Οµάδα (Q), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 14 Σχήµα 22: Σεισµός Gazli, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 15 Σχήµα 23: Σεισµός Gazli, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 15 Σχήµα 24: Σεισµός Gazli, καταγραφή ΝS, φάσµα επιταχύνσεων... 16 Σχήµα 25: Σεισµός Gazli, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 16 Σχήµα 26: Σεισµός Tabas, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 16 Σχήµα 27: Σεισµός Tabas, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 17 Σχήµα 28: Σεισµός Tabas, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων... 17 Σχήµα 29: Σεισµός Tabas, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 17 Σχήµα 3: Σεισµός Friuili, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 18 Σχήµα 31: Σεισµός Friuili, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 18 Σχήµα 32: Σεισµός Friuili, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων... 18 Σχήµα 33: Σεισµός Friuili, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 18 Σχήµα 34: Οµάδα (Q1-ΕW), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 19 Σχήµα 35: Οµάδα (Q1-NS), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 19 Σχήµα 36: Οµάδα (Q1-EW), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 11 Σχήµα 37: Οµάδα (Q1-NS), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 11 Σχήµα 38: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 111 Σχήµα 39: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 111 Σχήµα 4: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων... 112 Σχήµα 41: Σεισµός Ιονίου, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 112 Σχήµα 42: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 112 Σχήµα 43: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 113 Σχήµα 44: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων... 113 Σχήµα 45: Σεισµός Αλκυονίδων, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 113 Σχήµα 46: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή EW, φάσµα επιταχύνσεων... 113 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 348

Σχήµα 47: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή EW, φάσµα µετατοπίσεων... 114 Σχήµα 48: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή NS, φάσµα επιταχύνσεων... 114 Σχήµα 49: Σεισµός Καλαµάτας, καταγραφή NS, φάσµα µετατοπίσεων... 114 Σχήµα 5: Οµάδα (Q2-EW), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 115 Σχήµα 51: Οµάδα (Q2-ΝS), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 115 Σχήµα 52: Οµάδα (Q2-EW), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 116 Σχήµα 53: Οµάδα (Q2-NS), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 116 Σχήµα 55: Οµάδα (Q3), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 117 Σχήµα 56: Οµάδα (Q4), σύγκριση φασµάτων επιταχύνσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 118 Σχήµα 57: Οµάδα (Q4), σύγκριση φασµάτων µετατοπίσεων και υπολογισµός µέσου φάσµατος... 118 Σχήµα 58: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q... 119 Σχήµα 59: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q... 12 Σχήµα 6: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΕW 12 Σχήµα 61: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΕW 12 Σχήµα 62: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS. 121 Σχήµα 63: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS 121 Σχήµα 64: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW 121 Σχήµα 65: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση ΕW 122 Σχήµα 66: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS. 122 Σχήµα 67: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS 122 Σχήµα 68: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q3... 123 Σχήµα 69: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q3... 123 Σχήµα 7: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων οµάδας Q4... 123 Σχήµα 71: Μέσα ανελαστικά φάσµατα µετατοπίσεων οµάδας Q4... 124 Σχήµα 72: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q 125 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 349

Σχήµα 73: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση EW... 125 Σχήµα 74: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση NS... 126 Σχήµα 75: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW... 126 Σχήµα 76: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS... 127 Σχήµα 77: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q3 127 Σχήµα 78: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q4 128 Σχήµα 79: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q 129 Σχήµα 8: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση EW... 129 Σχήµα 81: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q1, διεύθυνση ΝS... 13 Σχήµα 82: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση EW... 13 Σχήµα 83: Μέσα ανελαστικά φάσµατα επιταχύνσεων - µετατοπίσεων οµάδας Q2, διεύθυνση NS... 131 Σχήµα 86: Επιλογές αντιστοίχισης µεγεθών για την κατασκευή της «δυναµικής» καµπύλης αντοχής... 134 Σχήµα 87: Ενδεικτικά αποτελέσµατα καµπύλης αντοχής µε τις διάφορες επιλογές για το στρεπτικώς µη δεσµευµένο(σ.µ.) κτίριο και η θεωρητική καµπύλη... 135 Σχήµα 88: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση... 138 Σχήµα 89: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση... 139 Σχήµα 9: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση... 139 Σχήµα 91: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) χωρίς κανονικοποίηση... 14 Σχήµα 92: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση... 14 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 35

Σχήµα 93: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση... 141 Σχήµα 94: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση... 141 Σχήµα 95: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ) χωρίς κανονικοποίηση... 142 Σχήµα 96: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ)... 146 Σχήµα 97: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ)... 147 Σχήµα 98: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ)... 147 Σχήµα 99: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q (κατά ΥΥ)... 148 Σχήµα 1: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ)... 149 Σχήµα 11: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ)... 149 Σχήµα 12: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ)... 15 Σχήµα 13: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ)... 15 Σχήµα 14: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 151 Σχήµα 15: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 151 Σχήµα 16: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 152 Σχήµα 17: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 152 Σχήµα 18: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 153 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 351

Σχήµα 19: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q1 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 153 Σχήµα 111: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής Py- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ)... 155 Σχήµα 112: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ)... 155 Σχήµα 113: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ)... 156 Σχήµα 114: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 156 Σχήµα 115: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 157 Σχήµα 116: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 157 Σχήµα 117: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 158 Σχήµα 118: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 158 Σχήµα 119: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P χ - δ χ µε οµάδα διεγέρσεων Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 159 Σχήµα 12: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q3... 16 Σχήµα 121: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3... 16 Σχήµα 122: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q3... 161 Σχήµα 123: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3... 161 Σχήµα 124: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q4... 162 Σχήµα 125: Στρεπτικώς δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4... 163 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 352

Σχήµα 126: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδα διεγέρσεων Q4... 163 Σχήµα 127: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4... 164 Σχήµα 128: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ y µε οµάδες διεγέρσεων Q1&Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 166 Σχήµα 129: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδες διεγέρσεων Q1&Q2 (κατά ΥΥ και ΧΧ)... 166 Σχήµα 13: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - δ µε οµάδες διεγέρσεων Q3 & Q4 (κατά ΥΥ)... 167 Σχήµα 131: Στρεπτικώς µη δεσµευµένο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P y - θ µε οµάδες διεγέρσεων Q3 & Q4 (κατά ΥΥ)... 167 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Αρχική οµάδα επιταχυνσιογραφηµάτων (Q)... 96 Πίνακας 2: Κριτήρια επιλογής οµάδας διεγέρσεων Q1... 96 Πίνακας 3: Κριτήρια επιλογής οµάδας διεγέρσεων Q2... 97 Πίνακας 4: Οµάδα διεγέρσεων Q1... 97 Πίνακας 5: Οµάδα διεγέρσεων Q2... 97 Πίνακας 6: Οµάδα διεγέρσεων Q3... 99 Πίνακας 7: Οµάδα διεγέρσεων Q4... 99 Πίνακας 8: Συντελεστές αναγωγής οµάδων Q1 και Q2 για διέγερση σε δύο διευθύνσεις... 143 Πίνακας 9: Συντελεστές αναγωγής SI οµάδας Q3... 144 Πίνακας 1α: Συντελεστές αναγωγής SI οµάδας Q4... 145 Πίνακας 1β: Συντελεστές αναγωγής pga οµάδας Q4... 145 Πίνακας 11: Ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις µονώροφου... 165 Πίνακας 12: Ανελαστικές δυναµικές αναλύσεις µονώροφου... 169 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 353

Κεφαλαίο 4 - Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 1: Μονώροφα κτίρια, στρεπτικά δεσµευµένο (άνω), στρεπτικά µη δεσµευµένο (κάτω)...173 Σχήµα 2: ιαγράµµατα Μ-θ των τοιχωµάτων του Σχ. 1...184 Σχήµα 3: ιαγράµµατα Μ-θ τοιχώµατος W1 όπως εισήχθη στο SAP2...185 Σχήµα 4: ιαγράµµατα Μ-θ τοιχείου W2 όπως εισήχθει στο SAP2...185 Σχήµα 5 ιαγράµµατα Μ-θ τοιχείου W3 όπως εισήχθει στο SAP2...186 Σχήµα 6: ιάγραµµα χάλυβα οπλισµών όπως εισήχθη στο ZEUS NL...186 Σχήµα 7: ιάγραµµα σκυροδέµατος όπως εισήχθη στο ZEUS NL...187 Σχήµα 8: Ιδιοµορφές στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου...188 Σχήµα 9: Ιδιοµορφές στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου...189 Σχήµα 1: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q...191 Σχήµα 11: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q...191 Σχήµα 12: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q...192 Σχήµα 13: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q...192 Σχήµα 14: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...193 Σχήµα 15:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...194 Σχήµα 16:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...194 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 354

Σχήµα 17:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...195 Σχήµα 18: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...195 Σχήµα 19: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...196 Σχήµα 2: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...196 Σχήµα 21: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...197 Σχήµα 22: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3...198 Σχήµα 23: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3...198 Σχήµα 24: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3...199 Σχήµα 25: Aποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3...199 Σχήµα 26: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4...2 Σχήµα 27: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4...21 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 355

Σχήµα 28: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4...21 Σχήµα 29: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4...22 Σχήµα 3:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...26 Σχήµα 31:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...26 Σχήµα 32: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1...27 Σχήµα 33:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα Q1...27 Σχήµα 34: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...28 Σχήµα 35: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...28 Σχήµα 36: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...29 Σχήµα 37:Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2...29 Σχήµα 38:Σύγκριση στατικών καµπυλών αντοχής αντιστοιχουσών στην διέγερση Q1 και Q2 υπολογισµένων µε τη προτεινόµενη µέθοδο µε την καµπύλη αντοχής υπολογισµένη µε την µέθοδο Chopra...211 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 356

Σχήµα 39:Φασµατική ένταση της κάθε ιδιοµορφής στις οµάδες διεγέρσεων Q1 και Q2...212 Σχήµα 4: Επεξήγηση της απόκρισης της στατικής ανελαστικής ανάλυσης µε τριγωνική κατανοµή και 1% εκκεντρότητα στο στρεπτικά µη δεσµευµένο κτίριο...213 Σχήµα 41 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta-Treasure Island, Σ....215 Σχήµα 42 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta -Lick Lab, Σ....216 Σχήµα 43 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Northridge, Σ....216 Σχήµα 44 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Kobe, Σ....217 Σχήµα 45: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q...218 Σχήµα 46: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q...219 Σχήµα 47 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta-Treasure Island, Σ.µ...22 Σχήµα 48 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Loma Prieta -Lick Lab, Σ.µ...22 Σχήµα 49 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Northridge, Σ.µ...221 Σχήµα 5 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Kobe, Σ.µ...221 Σχήµα 51: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q...223 Σχήµα 52: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q...223 Σχήµα 53 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, Σ....225 Σχήµα 54 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ....225 Σχήµα 55 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ....226 Σχήµα 56: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1...227 Σχήµα 57: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1...227 Σχήµα 58 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, Σ.µ...228 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 357

Σχήµα 59 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ.µ...229 Σχήµα 6 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, Σ.µ...229 Σχήµα 61: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1...23 Σχήµα 62: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1...231 Σχήµα 63 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ....232 Σχήµα 64 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ....232 Σχήµα 65 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονύδες, Σ....233 Σχήµα 66: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2...234 Σχήµα 67: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2...234 Σχήµα 68 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ.µ...235 Σχήµα 69 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ.µ...236 Σχήµα 7 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονίδες, Σ.µ...236 Σχήµα 71: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2...237 Σχήµα 72: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2...238 Σχήµα 73: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3...24 Σχήµα 74: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3...24 Σχήµα 75: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3...242 Σχήµα 76: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3...242 Σχήµα 77: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4...245 Σχήµα 78: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4...245 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 358

Σχήµα 79: Καµπύλη αντοχής πολυβαθµίου στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4...247 Σχήµα 8: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης στρεπτικά µη δεσµευµένου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4...248 Σχήµα 81: Μέσο φάσµα επιταχύνσεων µετατοπίσεων για την οµάδα διεγέρσεων Q4 χωρίς και µε οµαλοποίηση...249 Κεφαλαίο 4 - Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 1: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1...19 Πίνακας 2: Ιδιοµορφικά φασµατικά φορτία Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 19 Πίνακας 3: Συντελεστής συσχέτισης καµπύλης αντοχής µε δυναµική ανελαστική ανάλυση...22 Πίνακας 4: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1...25 Πίνακας 5: Ιδιοµορφικά φασµατικά φορτία Σ. κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 25 Πίνακας 6: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q...217 Πίνακας 7: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή (Σ..)...218 Πίνακας 8: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων...222 Πίνακας 9: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή (Σ.µ.)...222 Πίνακας 1: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1...226 Πίνακας 11: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1...23 Πίνακας 12: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2...233 Πίνακας 13: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων q2...237 Πίνακας 14: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2...239 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 359

Πίνακας 15: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3...241 Πίνακας 16α: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 και κανονικοποίηση κατά φασµατική ένταση...244 Πίνακας 16β: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ..) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 και κανονικοποίηση κατά pga...244 Πίνακας 17α: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 µε κανονικοποίηση κατά φασµατική ένταση...246 Πίνακας 17β: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης (Σ.µ.) υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4 µε κανονικοποίηση κατά pga...247 Πίνακας 18: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων...251 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5- ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1: Πολυώροφα κτίρια, στρεπτικά δεσµευµένο (άνω) και στρεπτικά µη δεσµευµένο (κάτω)... 259 Σχήµα 2: Κάτοψη φέροντος οργανισµού πολυώροφου φορέα... 269 Σχήµα 3: ιατοµή στύλου και δοκού... 27 Σχήµα 4: Στατικό προσοµοίωµα τετραώροφου και οκταώροφου φορέα... 271 Σχήµα 5: ιάγραµµα χάλυβα οπλισµών όπως εισήχθη στο ZEUS NL... 272 Σχήµα 6: ιάγραµµα σκυροδέµατος όπως εισήχθη στο ZEUS NL... 272 Σχήµα 7: Όψη πλαισίου κατά χ-χ και καµπύλη αντοχής του... 272 Σχήµα 8: Όψη πλαισίου κατά y-y και καµπύλη αντοχής του... 273 Σχήµα 9: Θεµελιώδης ιδιοµορφή κατά y-y (2 η ) τετραώροφου φορέα... 274 Σχήµα 1: Θεµελιώδης ιδιοµορφή κατά y-y (1 η ) οκταώροφου φορέα... 275 Σχήµα 11: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 276 Σχήµα 12: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 276 Σχήµα 13: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 277 Σχήµα 14: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 277 Σχήµα 15: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 278 Σχήµα 16: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q1(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 278 Σχήµα 17: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 279 Σχήµα 18: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q2(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 279 Σχήµα 19: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 28 Σχήµα 2: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 28 Σχήµα 21: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 281 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 361

Σχήµα 22: Εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 281 Σχήµα 23: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 282 Σχήµα 24: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q3(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 282 Σχήµα 25: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- δ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 283 Σχήµα 26: Εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο, δυναµική καµπύλη αντοχής P- θ µε οµάδα διεγέρσεων Q4(κατά ΥΥ) µε κανονικοποίηση... 283 Σχήµα 27: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1... 289 Σχήµα 28: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1... 289 Σχήµα 29: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1... 29 Σχήµα 3: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q1... 29 Σχήµα 31: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2... 291 Σχήµα 32: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2... 291 Σχήµα 33: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2... 292 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 362

Σχήµα 34: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q2... 292 Σχήµα 35: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3... 293 Σχήµα 36: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3... 293 Σχήµα 37: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3... 294 Σχήµα 38: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q3... 294 Σχήµα 39: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4... 295 Σχήµα 4: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο τετραώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4... 295 Σχήµα 41: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-δ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4... 296 Σχήµα 42: Αποτελέσµατα στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης υπό µορφή καµπυλών αντοχής V-θ για το εύστρεπτο οκταώροφο κτίριο και την οµάδα διεγέρσεων Q4... 296 Σχήµα 43 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Friuli, τετραώροφο ευστρεπτο... 299 Σχήµα 44 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Gazli, τετραώροφο εύστρεπτο... 299 Σχήµα 45 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Tabas, τετραώροφο ευστρεπτο... 3 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 363

Σχήµα 46α: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1... 31 Σχήµα 46β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1- Μεγέθυνση... 32 Σχήµα 47α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1... 34 Σχήµα 47β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q1- Μεγέθυνση... 35 Σχήµα 48 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Ιόνιο, Σ.... 36 Σχήµα 49 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Καλαµάτα, Σ.... 36 Σχήµα 5 : Χρονοϊστορία µετατοπίσεων C.M για διέγερση Αλκυονίδες, Σ.... 37 Σχήµα 51α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2... 38 Σχήµα 51β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2- Μεγέθυνση... 39 Σχήµα 52α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2... 311 Σχήµα 52β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q2- Μεγέθυνση... 312 Σχήµα 53α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3... 314 Σχήµα 53β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3- Μεγέθυνση... 314 Σχήµα 54α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3... 316 Σχήµα 54β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q3- Μεγέθυνση... 317 Σχήµα 55α: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4... 319 Σχήµα 55β: Υπολογισµός στοχευόµενης µετατόπισης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4- Μεγέθυνση... 319 Σχήµα 56β: Υπολογισµός µετατόπισης στόχου εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου για την οµάδα διεγέρσεων Q4- Μεγέθυνση... 322 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 364

Σχήµα 57: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το τετραώροφο κτίριο... 325 Σχήµα 58: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το οκταώροφο κτίριο... 326 Σχήµα 59: ιαγράµµατα ροπών στροφών στη βάση του στύλου της εύκαµπτης πλευράς του τετραωρόφου για οµάδα Q4... 327 Σχήµα 6: υναµικές καµπύλες µε χρήση «παραθύρου» 1, 2 και 3 βηµάτων για το οκταώροφο κτίριο και τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4... 329 Σχήµα 61: ιαφορά (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση ως προς την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή του CM στον ανώτερο όροφο... 329 Σχήµα 62: Σύγκριση της διαφοράς (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση µε την διασπορά των αποτελεσµάτων της δυναµικής ανάλυσης (%) ως προς την στοχευόµενη µετατόπιση και στροφή του CM στον ανώτερο όροφο... 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5- ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Ιδιοµορφές τετραώροφου φορέα... 273 Πίνακας 2: Ιδιοµορφές οκταώροφου φορέα... 274 Πίνακας 3: ιασπορά στα αποτελέσµατα της δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για δεδοµένο επίπεδο έντασης... 285 Πίνακας 4: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις και φασµατικά φορτία Σ.µ τετραώροφου κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 (Οι πίνακες για το σύνολο των ορόφων και για όλες τις διεγέρσεις παρατίθενται στο παράρτηµα 3)... 287 Πίνακας 5: Ιδιοµορφικές φασµατικές µετατοπίσεις και φασµατικά φορτία Σ.µ οκταώροφου κτιρίου για οµάδα διεγέρσεων Q1 (Οι πίνακες για το σύνολο των ορόφων και για όλες τις διεγέρσεις παρατίθενται στο παράρτηµα 3)... 288 Πίνακας 6: Συσχέτιση µεταξύ καµπύλης pushover και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης... 298 Πίνακας 7: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1... 3 Πίνακας 8: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q1... 31 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 365

Πίνακας 9: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπου οκταώοροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q1... 33 Πίνακας 1: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκταώροφου κτιρίου για οµάδα Q1... 34 Πίνακας 11: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2... 37 Πίνακας 12: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q2... 38 Πίνακας 13: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q2... 31 Πίνακας 14: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q2... 31 Πίνακας 15: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3... 313 Πίνακας 16: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q3... 313 Πίνακας 17: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q3... 315 Πίνακας 18: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q3... 316 Πίνακας 19: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου τετραώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4... 318 Πίνακας 2: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου τετραώροφου κτιρίου για οµάδα Q4... 318 Πίνακας 21: Αποτελέσµατα δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης εύστρεπτου οκταώροφου κτιρίου υπό την οµάδα διεγέρσεων Q4... 32 Πίνακας 22: Υπολογισµός συντελεστών αναγωγής στον ισοδύναµο µονοβάθµιο ταλαντωτή εύστρεπου οκτααώροφου κτιρίου για οµάδα Q4... 321 Πίνακας 23: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων... 324 Πίνακας 24: ιαφορά σχετικών βελών ορόφων (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά... 324 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 366

Πίνακας 25: ιαφορά σχετικών βελών ορόφων (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική για την εύκαµπτη πλευρά... 325 Πίνακας 26: ιαφορά στροφών (τετραωρόφου) της στατικής ανάλυσης ως προς την δυναµική στην βάση του στύλου της εύκαµπτης πλευράς για διέγερση Q4... 327 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6- ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1: Ενδεικτικά αποτελέσµατα καµπύλης αντοχής µε τις διάφορες επιλογές για το στρεπτικά µη δεσµευµένο(σ.µ.) κτίριο και η θεωρητική καµπύλη... 335 Σχήµα 2: υναµικές καµπύλες αντίστασης µε χρήση «παραθύρου» 1, 2 και 3 βηµάτων για το οκταώροφο κτίριο και τις οµάδες διεγέρσεων Q3 και Q4... 335 Σχήµα 3:Σύγκριση στατικών καµπυλών αντοχής αντιστοιχούντων στην διέγερση q1 και q2 υπολογισµένων µε τη προτεινόµενη µέθοδο µε την καµπύλη αντοχής υπολογισµένη µε την µέθοδο Chopra για µονώροφο κτίριο... 337 Σχήµα 4: ιαφορά (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου σε σχέση µε την ανελαστική δυναµική ανάλυση... 34 Σχήµα 5: Σύγκριση της διαφοράς (%) αποτελεσµάτων προτεινοµένης µεθόδου ως προς την ανελαστική δυναµική ανάλυση µε την διασπορά των αποτελεσµάτων αυτής (%)... 341 Σχήµα 6: Υπολογισµός σχετικών βελών ορόφων µε δυναµική ανελαστική ανάλυση και την προτεινόµενη µέθοδο για το οκταώροφο κτίριο... 341 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6- ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Επιλεχθέντα κτίρια για παραµετρικές αναλύσεις... 334 Πίνακας 2: Συσχέτιση µεταξύ καµπύλης pushover και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης... 338 Πίνακας 3: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων... 339 Πίνακας 3: Σύγκριση αποτελεσµάτων στατικής και δυναµικής ανελαστικής ανάλυσης για το σύνολο των διεγέρσεων... 34 Γρηγόριος Γ. Πενέλης Κατάλογος σχηµάτων και πινάκων 367

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ m 1,... m j, m n : ταλαντούµενη µάζα στον όροφο 1,...j, n αντίστοιχα k xi1j, k yi1j : δύναµη στο δοµικό στοιχείο i κατά τη διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα, στον όροφο 1 για µετακίνηση του ορόφου j κατά µονάδα (µεταφορική δυσκαµψία) k ti,1,j : ροπή στρέψης µεµονωµένων δοµικών στοιχείων κατά τη διεύθυνση z-z στον όροφο 1 για στροφή του ορόφου j κατά µονάδα (δυστρεψία) α xij, α yij : απόσταση µεµονωµένων στοιχείων αντίστασης από το κέντρο µάζας CM κατά την διεύθυνση x-x και y-y αντίστοιχα, στον όροφο j. u yj (t), θ zj (t) : σχετική (ως προς το έδαφος) µετατόπιση και στροφή του κέντρου µάζας CM συνάρτησει του χρόνου στον όροφο j. u& oy (t ) : η διεγείρουσα επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου u& ( t ), & yj θ zj ( t ): δεύτερη παράγωγος της u yj (t) και θ zj (t), αντίστοιχα, ως προς το χρόνο (µεταφορική και στροφική επιτάχυνση) στον όροφο j. V yj (t), M tj (t) : οριζόντια δύναµη και ροπή στρέψης στο κέντρο µάζας CM του ορόφου j u y (t ), p (t ) : βοηθητικές συναρτήσεις µετατόπισης και έντασης ως προς το χρόνο, αντιστοίχως u [ ] = yj ext, i u j ext, i : φασµατική µετατόπιση και στροφή στο CM θ zj ext, i 1 M 1 { δ } = : µοναδιαίο µητρώο M 1 φ yo1 φz2 M φ ο = φ y j : κανονικοποιηµένες ιδιοµορφικές µετατοπίσεις u y ext, θ y ext φz j M φ yn φzn

ψ Po1 ψ Μο1 M ψ ψ P j o = : ψ M j M ψ Pn ψ M n κανονικοποιηµένα ιδιοµορφικά φορτία V ext,, M ext m *, u * y(t), V * y(t) : µάζα, µετατόπιση και τέµνουσα του ισοδυνάµου µονοβαθµίου ταλαντωτή Φ: ιδιοµορφή S di : φασµατική µετακίνηση για την ιδιοµορφή i, µε Γ i : ποσοστό συµµετοχής της ιδιοµορφής i c 1 συντελεστής αναγωγής τέµνουσας πολυβαθµίου σε τέµνουσα ισοδυνάµου µονοβαθµίου c 2 : συντελεστής αναγωγής µετακίνησης πολυβαθµίου σε µετακίνηση ισοδυνάµου µονοβαθµίου µ: πλαστιµότητα k θj : αντίσταση σε στροφή του κάθε ορόφου (στρεπτική δυσκαµψία) e f και e r : ισοδύναµες στατικές εκκεντρότητες CM: κέντρο µάζας κτιρίου CR: ελαστικό κέντρο κτιρίου CS: κέντρο αντίστασης κτιρίου Ω Μ : λόγος συχνοτήτων ως προς το CM Ω R : λόγος συχνοτήτων ως προς το CR Ω ο : λόγος συχνοτήτων µε βάση στρεπτική και µεταφορικές δυσκαµψίες ως προς CR ζ ποσοστό απόσβεσης r: ακτίνα αδρανείας του ορόφου r J m m ρ i : η απόσταση του ελαστικού κέντρου από τον πόλο στροφής της (i) ιδιοµορφής J m : µαζική ροπή αδράνειας του ορόφου ψ p (t ), : γενικευµένη οριζόντια δύναµη επαναφοράς για τον όροφο j poj ψ p(t ) : γενικευµένη στρεπτική ροπή επαναφοράς για τον όροφο j Moj

Βιβλιογραφία Ambraseys, N.N. et al., Dissemination of European strong motion data, Cd rom edition, European Council, Environment and Climate Research Programme 2. Antoniou, S., A. Rovithakis and R. Pinho Development and verification of a fully adaptive pushover procedure. Proceedings of the 12th European Conference on Earthquake Engineering, London. Paper No.882, 22 Antoniou, S. Advanced Inelastic Static Analysis for Seismic Assessment of Structures, Doctor of philosophy thesis, Imperial College, 22 ATC 4, Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings, California, 1996 Azminejad, A. and Moghadam, A.S. Performance of asymmetric single storey buildings based on different configuration of center of mass, rigidity and resistance, Proceedings of the 4 th European Workshop on the Seismic Behaviour of Irregular and Complex Structures, CD ROM, Thessaloniki, 25 Azuhata, T., Saito, T., Takayama, M. & Nagahara, K., Seismic performance estimation of asymmetric buildings based on the capacity spectrum method, 12WCEE, 2, CDROM Bracci, J.M., Kunnath, S.K. and Reinhorn, A.M. (1997) Seismic performance and retrofit evaluation of reinforced concrete structures, J. Struct. Engineering, ASCE, Vol. 123, No. 1, 3-1 Bustamante,J.L. & E.Rosenblueth, Building code provisions on torsional oscillations Proc. 2 nd WCEE, Japan, 196 Chopra A.K., Dynamics of structures, Prentice-Hall Inc, USA, 1995 Chopra A.K. & Goel R., Κ., Direct Displacement- Based Design: Use of inelastic vs. Elastic Design Spectra, Earthquake Spectra, Volume 17, No 1, Feb 21 Chopra A., K, & Goel R., K. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 31, 561 582, 22. Chopra A.K. & Goel R., Κ., A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for unsymmetric plan buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.33, 93-927, 24. Clough, W.R. & Penzien, J., Dynamics of structures, Mcgraw-Hill College, 1975 Correnza, J.C., Hutchinson, G.L. and Chandler, A.M, Effect of transverse load resisting elements on inelastic earthquake response of eccentric plan buildings De La Llera, J. & Chopra, A., Understanding the inelastic seismic behaviour of asymmetric-plan buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.24, 1994 Βιβλιογραφία 37

Elnashai, A.S., Advanced inelastic static analysis for seismic design and assessment, G.Penelis International Symposium on Concrete and Masonry Structures, Aristotle University of Thessaloniki, Greece, 2 Elnashai A.S, Do we really need inelastic dynamic analysis?. JEE, Vol 6, Special Issue 1, p123-13, 22 Elnashai A.S, & Mwafy A.M. Static pushover versus dynamic to collapse Analysis of RC Buildings. ESEE Research Report, No -1,Imperial College, Jan. 2 Elnashai, A.S, Papanikolaou V.K and Lee D.H (22-25) ZeusNL A Program for Inelastic Dynamic Analysis of Structures, Mid-America Earthquake Center, University of Illinois at Urbana- Champaign,25 E-tools user manual, Penelis Consulting SA, Thessaloniki 22 FEMA 356, Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of buildings, 2 FEMA-NIBS, 1999. Earthquake loss estimation methodology - HAZUS99 Technical Manual, Volumes 1-3, Washington DC. Fajfar, P. & Dolsek, M., A transparent nonlinear method for seismic performance evaluation, 3 rd Workshop of the Japan-UΚ Seismic Risk Forum, Proceedings, Imperial College Press, 2 Fajfar, P., Magliulo, G., Marusic, D. and Perus, I. Simplified non-linear analysis of asymmetric buildings, Proceedings of the Third European Workshop on the Seismic Behaviour of Irregular and Complex Structures, CD ROM, Florence, 22 Fajfar,P., Marusic, D. and Perus, I. The extension of the N2 method to asymmetric buildings, Proceedings of the 4 th European Workshop on the Seismic Behaviour of Irregular and Complex Structures, CD ROM, Thessaloniki, 25 Fischinger, M. & Fajfar, P., Seismic force reduction factors Procedings of the 17 th Regional European Seminar on Earthquake Engineering, Haifa, Israel, Sep. 1993, (Ruttenber A. ed.) Balkema, Rotterdam, p.279-296, 1994 Fujii, K., Nakano, Y., Sanada, Y., A simplified nonlinear analysis procedure for single storey asymmetric buildings, Journal of Japan Assosciation for Earthquake Engineering, Vol. 4., No. 2, 24 Goel, R.K., Chopra, A.K., Inelastic seismic response of one storey, asymmetric plan systems, Earthquake Engineering Structural Dynamics 19, 949-97, 199 Gulkan P, Sozen M, Inelastic response of RC structures to earthquake motion ACI Journal, 71, 64-61, 1974 Iwan WD, Gates NC, Estimating earthquake response of simple hysteretic structures, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 15, 391-45, 1979 Housner, G.W. and Outinen, H. (1958). The effect of torsional oscillations on earthquake stresses Bull. Seismological Society of America, 48, 221-229. Βιβλιογραφία 371

Humar, J.L.& Kumar,P., Effect of orthogonal inplane structural elements on inelastic torsional response, Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol 28, p. 171-197, 1999 Kappos, A.J. & Kyriakakis, P. A re-evaluation of scaling techniques for natural records Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2, p111-123, 2 Kilar, V. & Fajfar, P., Simple Pushover Analysis of Asymmetric Buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 26, 1997 Krawinkler, H., Seneviratna, G.D.P.K, Pros and cons of a pushover seismic performance evaluation, Engineering Structures, Vol. 2, 1998 Krawinkler, H. & Nasssar, A.A., Seismic design based on ductility and cumulative damage demands and capacities, Nonlinear Seismic Analysis and Design of RC Buildings, Elsevier Applied Science, p.23-29, 1992 Kowalsky M, Priestley MJN, McRae GA, Displacement based design of RC bridge columns in seismic regions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 24,1623-1643, 1995 Leonhardt, F., Vorlesungen uber massivbau, Vierter teil, Springer-Verlag, Berlin, 1977 Makarios, T. and Anastassiadis, K. (1998) Real and fictitious elastic axes of multi-storey buildings: theory, Structural Design of Tall Buildings, 7 (1), Mar. 1998, 33-55 Miranda E. & Ruiz-Garcia, J., Estimation of maximum inelastic displacement demands, Journal Of Earthquake Engineering, Vol.31, No.3,p.539-56, 22 Miranda, Ε. Approximate lateral deformation demands in mutistorey buildings subjected to earthquakes Journal of Structural Engineering, ASCE,125, 417-425, 1999 Myslimaj, B. and Tso, W.K. A design-oriented approach to strength distribution in single storey asymmetric systems with elements having strength-dependent stiffeness, Earthquake Spectra, 21, 197-212, 25 Moghadam, A.S. & Tso, W.K., Damage assessment of eccentric multistory buildings using 3D pushover analysis, 11WCEE, 1996 Moghadam, A.S. & Tso, W.K., Extension of EC8 Torsional Provisions to Multi-Storey Buildings, Journal Of Earthquake Engineering, Vol.4, No.1,p.25-41, 2 Negro, P., Mola, E. and Gutierrez, E. Application of the Karhunen-Loewe method to the analysis of the results of a PSD test on a torsionally unbalanced three-storey RC building, Proceedings of the 4 th European Workshop on the Seismic Behaviour of Irregular and Complex Structures, CD ROM, Thessaloniki, 25 Park, Y. J., Wen, Y. K. and Ang, A. H-S. Random Vibration of Hysteretic Systems under Bi- Directional Ground Motions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 14,1986 Paulay, T., Seismic design for torsional response of ductile buildings, Bulletin of the New Zealand National Society for Earthquake Engineering, Vol.29, No 3, September 1996 Βιβλιογραφία 372

Paulay, T., Seismic torsional effects on ductile structural wall systems, Journal of Earthquake Engineering, Vol.1, No.4, 1997 Penelis G, & Kappos A., «Earthquake Resistant Concrete Structures», E& FN SPON, London, 1997 Riddell, R. & Santa-Maria, H., Inelastic response of one-storey asymmetric-plan systems subjected to bi-directional earthquake motions, Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol 28, p. 273-285, 1999. Rosenblueth E., Herrera I., On a kind of hysteretic damping, Journal of Engineering Mechanics Division ASCE. 9, 37-48, 1964 Rutenberg, A., Nonlinear response of asymmetric building structures and seismic codes: a state of the art review European Earthquake Engineering, Vol.6, 1992 Rutenberg, A., De Stefano, M., Seismic performance of yielding asymmetric multistorey buildings: Review and a case study, Seismic Design Methodologies for the Next Generation of Codes, Fajfar & Krawinkler(eds), 1997 Rutenberg, A., EAEE Task Group 8: Behaviour of Irregular and Complex Structures-Progress since 1998 Proceedings of the 12th European Conference on Earthquake Engineering, London, 22 Saiidi, M. & Sozen, M.A., Simple Nonlinear Seismic Analysis of R/C structures, proceedings of ASCE, Vol. 17, No ST5, May 1981 Sarkar I., SriRam V., Hamzehloo H. and Khattri K.N., Subevent analysis for the Tabas 1978 earthquake using near filed accelerograms, Physics of the Earth and Planetary Interiors, Vol. 151, issue 1-2, 25 SAP2: Three dimensional static and dynamic finite element analysis and design of structures, Computers and Structures Inc. (1999), Berkeley, California, 1999 Stathopoulos, K. G. and Anagnostopoulos, S. A. Inelastic earthquake induced torsion in buildings: Results and conclusions from realistic models, Proceedings of the 12 th ECEE, CD ROM, London Stathopoulos, K. G. and Anagnostopoulos, S. A. Inelastic torsion of single-storey asymmetric buildings: An assessment of simplified shear-beam models, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 32, 1813-1831, 23 Stathopoulos, K. G. and Anagnostopoulos, S. A. Inelastic torsion of multi-storey buildings under earthquake excitations, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 34, 1449-1465, 25 Sommer, A. and Bachmann, H. Seismic behaviour of asymmetric RC wall buildings: principles and new deformation-based design methods, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 24, 1587-1599, 25 Takeda T., Sozen MA, Nielson MN, RC response to simulated earthquakes Journal of Structural Division, ASCE, 96, 2557-2573, 197 Βιβλιογραφία 373

Tso, W.K. & Moghadam, A.S., Seismic response of asymmetrical buildings using pushover analysis, Seismic Design Methodologies for the Next Generation of Codes, Fajfar & Krawinkler(eds), 1997 Vamvatsikos D., and Cornell C., A., Incremental dynamic analysis, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 22; 31(2): 491-514. Veletsos AS, Newmark NM, Effect of inelastic behaviour on the response of simple systems to earthquake motion, Proc. WCEE, Japan, vol.2, 895-912, 196 Wen, Y. K., Method for Random Vibration of Hysteretic Systems, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 12, No. EM2,1976 Αναστασιάδης Κ., Αντισεισµικές Κατασκευές Ι, Computer Technics, 1989 Κάππος, Α., ιερεύνηση της ανελαστικής σεισµικής συµπεριφοράς πολυόροφων κτιρίων από Ο/Σ, ιδακτορική διατριβή, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη, 1986 Μακάριος, Τ., Πλασµατικός ελαστικός άξονας πολυωρόφων κτιρίων, ιδακτορική διατριβή, τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη 1994. Βιβλιογραφία 374

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 375

1 Έλεγχος µεθόδου προσοµοίωσης 1.1 Εντοπισµός προβληµάτων Επειδή η χρήση της απλούστερης µεθόδου είναι πιθανό να οδηγήσει σε κάποια κριτική ως προς την ακρίβεια των συµπερασµάτων γίνεται σε αυτή την παράγραφο µια συγκριτική παρουσίαση δύο ενδεικτικών συγκριτικών παραδειγµάτων µε την µέθοδο της σηµειακής ανελαστικότητας (πλαστικές αρθρώσεις) και µε το µοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας (fiber model). Για τις αναλύσεις έχει χρησιµοποιηθεί το πρόγραµµα SAP2 nonlinear και το Seismostruct, Αντωνίου & Pinho (22) το οποίο αποτελεί µια εξέλιξη του Adaptic (Elnashai & Izzudin). θα συγκριθούν τα δύο µοντέλα σε στατική ανελαστική ανάλυση, και στο πρώτο θα χρησιµοποιηθούν οι διατάξεις που δίνονται από τα αµερικάνικά εγχειρίδια (FEMA 273, 356 και ΑTC 4) για τον ορισµό των ιδιοτήτων των πλαστικών αρθρώσεων. Το βασικό σηµείο τριβής για την ακρίβεια αυτών των προσεγγιστικών µεθόδων είναι ο προσδιορισµός της αρχικής δυσκαµψίας αλλά και της στροφής αστοχίας (πλαστιµότητα δοµικών στοιχείων) στο διάγραµµα ροπών καµπυλοτήτων της πλαστικής άρθρωσης. 1.2 ιαθέσιµα βιβλιογραφικά στοιχεία Βάσει των οδηγιών που δίνονται στο εγχειρίδιο της FEMA στον πίνακα 6-5 που φαίνεται στο σχήµα ΠΙ-1. Σχήµα ΠΙ-1: υσκαµψίες µελών βάσει FEMA 356 (table 6-5) 376

Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι η ελαστική δυσκαµψία για δοκούς και στύλους καµπτόµενους είναι στο 5% της αράγιστης και για στύλους ισχυρά θλιβόµενους στο 7% της αράγιστης. Από την άλλη στο βιβλίο Ο/Σ του Leonhart (Vorlesungen uber Massivbau) η αντίστοιχες τιµές κυµαίνονται από 25-5% όπως φαίνεται και στο σχήµα ΠΙ-2. Σηµειώνεται ότι οι τιµές αυτές έχουν προκύψει κυρίως από πειραµατικά στοιχεία ενώ οι αντίστοιχες της FEMA δεν προσδιορίζουν την προέλευση τους. Υπάρχει δηλαδή αρκετά σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο διαθέσιµων πηγών η οποία όπως θα δούµε κατωτέρω προκύπτει και από τα δεδοµένα της συγκριτικής ανάλυσης, Όσον αφορά την στροφή αστοχίας η την πλαστιµότητα που είναι το ίδιο µέγεθος δεδοµένης της ελαστικής δυσκαµψίας και της αντοχής προτείνεται από τα εγχειρίδια των ΗΠΑ ένα απλό διγραµµικό µοντέλο που φαίνεται στο σχήµα ΠΙ-3 του οποίου οι τιµές της στροφής διαρροής προκύπτουν από τους πίνακες 6-7 έως 6-1 του εγχειριδίου ως συνάρτηση της ορθής και διατµητικής έντασης του δοµικού στοιχείου (ενδεικτικά σχήµα ΠΙ-4) 377

Σχήµα ΠΙ-2: υσκαµψίες µελών βάσει Leonhart Σχήµα ΠΙ-3: Νόµος συµπεριφοράς πλαστικής άρθρωσης (FEMA 356, fig 6-1) 378

υστυχώς, όπως και για την δυσκαµψία, στα εγχειρίδια αυτά δεν παρέχεται πληροφόρηση για τον τρόπο προσδιορισµού των τιµών αυτών αλλά ούτε και επαρκής τεκµηρίωση. Αντιθέτως το πρόγραµµα ανελαστικής ανάλυσης Seismostruct Που αποτελεί εξέλιξη των Adaptic & Indyas του Imperial College έχει υπάρξει εκτενής τεκµηρίωση µε πλέον πρόσφατα τα αποτελέσµατα σε επίπεδο κτιρίων στα πλαίσια του προγράµµατος ICONS που περιελάµβανε και ψευδοδυναµικά πειράµατα στην ISPRA (PSD tests) Σχήµα ΠΙ-4: Τιµές για διάγραµµα πλαστικής αρθρωσης (FEMA 356, table 6-8) 1.3 Πρώτο παράδειγµα Ως πρώτη προσέγγιση επιλέγεται ο απλός πρόβολος του σχήµατος ΠΙ-5 οποίος έχει µήκος 1µ, διατοµή τετραγωνική.4x.4 µε 6 Φ14 S5s και σκυρόδεµα C2. Μοντέλο πλαστικής άρθρωσης Όπως προαναφέρθηκε χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα SAP2 nonlinear στο οποίο εισήχθη µια πλαστική άρθρωση στη βάση του προβόλου µε διάγραµµα ροπώνκαµπυλοτήτων που φαίνεται στο σχήµα ΠΙ-6. Η ρηγµατωµένη ελαστική δυσκαµψία εισήχθη µε τιµές από 3 5 % της αρηγµάτωτης και η µέθοδος φόρτισης ήταν οριζόντια αυξανόµενη βήµα προς βήµα µε έλεγχο των µετατοπίσεων για την προσοµοίωση του φθίνοντος κλάδου. 379

Φ8/1 (3) 6Φ14 6Φ14 Φ8/1 (3) Σχήµα ΠΙ-5: Γεωµετρία πρώτου παραδείγµατος Σχήµα ΠΙ-6: Πλαστική άρθρωση 38

Μοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας Χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα Seismostruct και εισήχθησαν δύο από τα πολλά διαθέσιµα µοντέλα υλικού για το σκυρόδεµα και τον χάλυβα που φαίνονται στα σχήµατα ΠΙ-7 και ΠΙ-8 αντίστοιχα.. Σχήµα ΠΙ-7: Μοντέλο σκυροδέµατος Σχήµα ΠΙ-8: Μοντέλο χάλυβα Χρησιµοποιήθηκε κυβικό γραµµικό πεπερασµένο στοιχείο διακριτοποιηµένο σε τέσσερα ίσα τµήµατα. Η στρατηγική σύγκλισης του αλγορίθµου ήταν συνδυαστική ξεκινώντας µε έλεγχο δυνάµεων για να προσδιοριστεί σωστά η αρχική δυσκαµψία και το σηµείο διαρροής και συνεχίζοντας µε έλεγχο παραµορφώσεων για την καλύτερη προσοµοίωση της µετελαστικής συµπεριφοράς. 1.4 εύτερο παράδειγµα Ως δεύτερο παράδειγµα επιλέχθηκε ένα επίπεδο διώροφο πλαίσιο δύο ανίσων ανοιγµάτων του οποίου η γεωµετρία φαίνεται στο σχήµα ΠΙ-9. 381

2Φ14 Φ8/14 2Φ14 2Φ14 Φ8/12 2Φ14 2Φ14 2Φ14 2Φ14 2Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 2Φ16 Φ8/14 2Φ16 2Φ16 2Φ16 Φ8/12 2Φ14 2Φ14 3Φ12 3Φ12 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 Φ8/1 (3) 8Φ14 2Φ16 8Φ14 Φ8/12 Φ8/14 Φ8/1 (3) 2 Φ14 Σχήµα ΠΙ-1: Γεωµετρία δεύτερου παραδείγµατος Το πλαίσιο έχει σχεδιαστεί βάση των ΕΚΟΣ2 και ΕΑΚ2 και είναι από σκυρόδεµα C16/2 και χάλυβα S5s. Οι οπλισµοί των επιµέρους δοµικών στοιχείων 382

φαίνονται στο σχήµα ΠΙ-1. Σηµειώνεται, αναφορικά µε τα υλικά, ότι οι αντοχές τους εισήχθησαν και στα δύο µοντέλα µε βάση τις τιµές σχεδιασµού. Τα φορτία του πλαισίου ήταν µόνιµο (G) 2ΚΝ/m και κινητό (Q) 15ΚΝ/m, και οι δύο αναλύσει έγιναν µε αρχική φόρτιση G+.3Q και στην συνέχεια αυξανόµενο οριζόντιο φορτίο τριγωνικά κατανεµηµένο. Μοντέλο πλαστικής άρθρωσης Για τον προσδιορισµό των ιδιοτήτων των πλαστικών αρθρώσεων χρησιµοποιήθηκε το πρόγραµµα E-tools το οποίο υπολογίζει τις ροπές αντοχής µε βάση τον οπλισµό ενός δοµικού στοιχείου και το αξονικό φορτίο από την ελαστική ανάλυση σχεδιασµού και τις διαθέσιµες στροφέα από τους σχετικούς πίνακες της FEMA µε βάση την ένταση της ελαστικής ανάλυσης σχεδιασµού. Ως ελαστική ανάλυση σχεδιασµού αναφέρεται η ελαστική στατική ή δυναµική ανάλυση που γίνεται για τον υπολογισµό των οπλισµών του πλαισίου. ύο από τα διαγράµµατα αυτά φαίνονται στο σχήµα ΠΙ-11, για δοκό (α) και στύλο (β): Σχήµα ΠΙ-11α: Πλαστική άρθρωση δοκού 383

Σχήµα ΠΙ-11β: Πλαστική άρθρωση στύλου Η ρηγµατωµένη ελαστική δυσκαµψία εισήχθει µε τιµές από 3% έως 7% της αρηγµάτωτης και η µέθοδος φόρτισης ήταν οριζόντια αυξανόµενη βήµα προς βήµα µε έλεγχο των µετατοπίσεων για την προσοµοίωση του φθίνοντος κλάδου. Μοντέλο κατανεµηµένης ανελαστικότητας Χρησιµοποιήθηκε και πάλι το πρόγραµµα Seismostruct και εισήχθησαν δύο από τα πολλά διαθέσιµα µοντέλα υλικού για το σκυρόδεµα και τον χάλυβα που φαίνονται στα σχήµατα ΠΙ-12 και ΠΙ-13 αντίστοιχα.. Σχήµα ΠΙ-12: Μοντέλο σκυροδέµατος 384