Φέρουσα Ικανότητα Ορθογωνικού Θεμελίου υπό Έκκεντρη Λοξή Φόρτιση earing Capacity of Rectangular Foundation under Inclined Eccentric oading Μ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψ. Διδάκτωρ Ε.Μ.Π., Ν. ΓΕΡΟΛΥΜΟΣ, Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταδιδάκτωρ Ε.Μ.Π., Δ. ΡΙΖΟΣ, Πολιτικός Μηχανικός, O.ME.T.E. Γ. ΓΚΑΖΕΤΑΣ, Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Το οριακό φορτίο ορθογωνικού θεμελίου διερευνάται με χρήση αλγορίθμων πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων. Εξετάζεται η επιρροή της εκκεντρότητας και κλίσης του φορτίου, καθώς και του σχήματος του θεμελίου. Η διαρροή του εδαφικού υλικού καθορίζεται από το κριτήριο Mohr- Coulomb ενώ η μετελαστική συμπεριφορά του θεωρείται ιδεωδώς πλαστική. Τα αποτελέσματα δίνονται υπό μορφήν είτε συντελεστών φέρουσας ικανότητας ή διαγραμμάτων αλληλεπιδράσεως στον χώρο Μ-Q-Ν. Συγκρίνονται με κλασικές αλλά και με προσφάτως δημοσιευμένες λύσεις της βιβλιογραφίας. ASTRACT: The bearing capacity problem of a rectangular footing is studied through three-dimensional finite difference and finite element analyses. The influence of load inclination and eccentricity as well as footing geometry is investigated. Soil yielding is described with the Mohr-Coulomb criterion. Numerical results are drawn in the form of either bearing capacity factors or interaction diagrams in M-Q-N. They are compared with classical and recent solutions.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην γεωτεχνική πρακτική για τον υπολογισμό του οριακού φορτίου απειρομήκους θεμελίου σε έδαφος με παραμέτρους αστοχίας c, φ χρησιμοποιούνται οι συντελεστές φέρουσας ικανότητας (Ν γ, N c, και N ) σύμφωνα με την γνωστή σχέση (Terzaghi, 943): ult = cnc + γ Nγ + N () η οποία αποτελεί γενίκευση της αναλυτικής λύσης του Prandtl (9) για αβαρές έδαφος υπό αστράγγιστες συνθήκες ( c = s, u φ =). Με προκαθορισμένες ζώνες αστοχίας (slip line solution) το οριακό φορτίο υπολογίζεται συναρτήσει της αστράγγιστης διατμητικής αντοχής: = ( π + ) s = N s () ult u c u Μετά την πρωτοποριακή εργασία του Prandtl, η έρευνα στο πρόβλημα της φέρουσας ικανότητας επικεντρώθηκε στην εφαρμογή των οριακών θεωρημάτων της πλαστικότητας, με την παραδοχή κατά την αστοχία είτε ενός στατικώς αποδεκτού πεδίου τάσεων (θεώρημα κάτω ορίου στατική μέθοδος) ή ενός κινηματικώς αποδεκτού πεδίου ταχυτήτων (θεώρημα άνω ορίου κινηματική μέθοδος). Από τα υπολογισθέντα κάτω και άνω όρια του οριακού φορτίου αποδείχθηκε ότι η εξίσωση του Prandtl αποτελεί την ακριβή λύση του προβλήματος για αξονικό, κατακόρυφο φορτίο σε απειρομήκες θεμέλιο υπό αστράγγιστες συνθήκες (Drucker et al. 95). Προσφάτως για τον προσδιορισμό της φέρουσας ικανότητας χρησιμοποιείται ευρέως η αριθμητική οριακή ανάλυση. Κατά την μέθοδο αυτή η εφαρμογή των θεωρημάτων της οριακής ανάλυσης συνδυάζεται με διακριτοποίηση του εδαφικού ημιχώρου σε δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων (π.χ. Ukritchon et al., 998). Με την αλματώδη αύξηση της υπολογιστικής ισχύος τα τελευταία χρόνια, τόσο η μέθοδος των 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6
χαρακτηριστικών γραμμών όσο και η αριθμητική οριακή ανάλυση μπορούν να προβλέψουν ομόφωνα ακριβείς τιμές του οριακού φορτίου και κατά συνέπειαν τους συντελεστές φέρουσας ικανότητας. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί στην μεν μέθοδο των χαρακτηριστικών γραμμών καταστρώνοντας ένα κινηματικώς αποδεκτό πεδίο ταχυτήτων βάσει του τασικού πεδίου (Martin, 4), στην δε αριθμητική οριακή ανάλυση εφαρμόζοντας μή-γραμμικούς αλγορίθμους βελτιστοποίησης (yamin & Sloan, ). Σημειωτέον ότι ο όρος ακριβής έγκειται στην δυνατότητα προβλέψεως στα πλαίσια της αριθμητικής ακρίβειας, ταυτόσημων άνω και κάτω ορίων των συντελεστών Ν. Oι ακριβείς τιμές του Ν γ συναρτήσει της γωνίας εσωτερικής τριβής παρουσιάζονται στον Πίν. για λεία και τραχεία διεπιφάνεια εδάφους-θεμελίου. Πίνακας Ο συντελεστής Ν γ : (α) μέθοδος των χαρακτηριστικών (Martin, 4), (β) οριακή αριθμητική ανάλυση (Hijaj et al., 4). Table Ν γ values: (a) stress-characteristics method (Martin, 4), (b) numerical limit analysis (Hijaj et al., 4). φ ( ο ) Λεία διεπιφάνεια Μέθοδος χαρ/κών γραμμών Αριθμητική οριακή ανάλυση Τραχεία διεπιφάνεια Μέθοδος χαρ/κών γραμμών Αριθμητική οριακή ανάλυση 5.85.85...8.8.43.43 5.7.7.8.8.58.58.84.84 5 3.46 3.46 6.49 6.5 3 7.65 7.65 4.75 4.9 35 7.57 7.6 34.47 34.7 4 43.9 43.3 85.56 86. 45 7.58 8.6 34. 35.8 Για τον συνυπολογισμό του σχήματος του θεμελίου και της κλίσης ή εκκεντρότητας της φόρτισης, στην Εξ. () υπεισέρχονται τροποποιητικοί συντελεστές και το οριακό φορτίο υπολογίζεται από την εξίσωση: ult = cncscicrc + γ NγsγiγRγ + NsiR (3) Οι συντελεστές i και R αναφέρονται στην κλίση και την εκκεντρότητα του φορτίου, ενώ ο συντελεστής s στο σχήμα του θεμελίου. Οι σημαντικότερες μέθοδοι εκτίμησης του οριακού φορτίου συνοψίζονται στον Πίν.. Κατακόρυφη, αξ ονική φόρτιση Έκκεντρη, κεκλιμένη φόρτιση Σχήμα Το υπό-μελέτην σύστημα. Figure Τhe studied system.. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Για τον υπολογισμό του οριακού φορτίου ορθογωνικού θεμελίου χρησιμοποιούνται οι αριθμητικές μέθοδοι των πεπερασμένων διαφορών και των πεπερασμένων στοιχείων. H φόρτιση στο θεμέλιο πραγματοποιείται εμμέσως, με επιβολή προοδευτικώς αυξανόμενης μετακίνησης. Το οριακό φορτίο ορίζεται ως το μέγιστο του διαγράμματος φορτίου-μετακίνησης. H διαρροή του εδαφικού υλικού περιγράφεται από το κριτήριο Mohr- Coulomb. Σε επίπεδα έντασης μικρότερα της διαρροής η εδαφική απόκριση ορίζεται από τις ελαστικές παραμέτρους E και ν, θεωρώντας το εδαφικό μέσον ομοιογενές και ισότροπο. Η συμπεριφορά του εδαφικού υλικού μετά την διαρροή θεωρείται ιδεωδώς πλαστική ήτοι το τασικό πεδίο παραμένει αναλλοίωτο κατά την ανάπτυξη πλαστικών παραμορφώσεων. Για την τρι-διάστατη προσομοίωση πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιείται ο κώδικας Flac3D (Itasca 997). Το άκαμπτο θεμέλιο αναπαριστάται εμμέσως επιβάλλοντας κινηματικούς περιορισμούς στην επιφάνεια έδρασης. Προς τον σκοπό αυτόν οι κόμβοι της επιφάνειας δεσμεύονται κατά τέτοιον τρόπο ώστε αφενός μεν να συμπεριφέρονται ως άκαμπτο σύνορο, αφετέρου δε η μετακίνησή τους να είναι συμβιβαστή με την επιβαλλόμενη μετακίνηση του θεμελίου. Τα σύνορα τοποθετούνται επαρκώς μακρυά ώστε να μην επηρεάζουν πρακτικώς την απόκριση. e α 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6
Πίνακας Σύνοψη των δημοφιλέστερων μεθόδων εκτίμησης των συντελεστών φέρουσας ικανότητας. Τable Synopsis of the most popular methods to estimate the bearing capacity factors. κ Terzaghi (943) cos (45 + φ / ) Κατακόρυφη, αξονική φόρτιση N N γ N c tanφ K pγ * cos φ Meyerhof (963) ( N )tan(.4 φ) π tanφ rinch-hansen (97) e tan (45 + φ / ) **.5( N )tanφ Vésic (973) ( N + ) tan φ (.75 * π /)tan κ = e φ φ, ** επίλυση Prandtl-Sokolovski για λεία διεπιφάνεια (9, 9, 96) Κατακόρυφη, έκκεντρη φόρτιση ( N )cotφ ** Meyerhof (963) Hansen (97) Vésic (973, 975) Meyerhof (963) rinch-hansen (97) Vésic (973) * α 5, α, 5 R R γ R c e e e Κεκλιμένη φόρτιση e i i γ i c α 9 ο α.5q N + Qo cot φ Q N + Qo cot φ * Ορθογωνικό θεμέλιο, φ = α, φ > φ α.7q N + Qo cot φ Q N + Qo cot φ 3 * α 9 ο i i N s s γ s c Terzaghi (943). +.3 Meyerhof (963), φ =.tan (45 / ), + + φ φ > ο, φ = ( φ ).tan 45 /, + + φ > ο ( φ ) +.tan 45 + / rinch-hansen (97) + sinφ +..4 N Vésic (973) + tanφ + N c Η προσομοίωση με πεπερασμένα στοιχεία υλοποιείται μέσω του κώδικα Abaus. Το έδαφος αναπαριστάται με τετραπλευρικά στοιχεία συνεχούς μέσου και ειδικά συνοριακά στοιχεία. Η διεπιφάνεια εδάφους-θεμελίου προσομοιώνεται με στοιχεία επαφής μηδενικής εφελκυστικής αντοχής ώστε να προβλέπεται η αποκόλληση του θεμελίου από το υποστηρίζον 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 3
έδαφος κατά την επιβολή ισχυρής ροπής. Τα στοιχεία αυτά είναι ικανά να παραλάβουν μεγάλες σχετικές μετακινήσεις. Στην διεύθυνση της διεπιφάνειας η σχετική μετακίνηση (ολίσθηση) καθορίζεται από τον νόμο τριβής του Coulomb. Το θεμέλιο προσομοιώνεται με επίπεδα στοιχεία μεγάλης δυσκαμψίας και συνήθως μηδενικής μάζας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Η φέρουσα ικανότητα απειρομήκους θεμελίου σε ομοιογενή εδαφικόν ημίχωρο προσεγγίζεται κατ αρχάς με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Το έδαφος θεωρείται ότι συμπεριφέρεται ως συνεκτικό υλικό υπό αστράγγιστες συνθήκες. Οι υπολογισθείσες ισοϋψείς της πλαστικής παραμόρφωσης για κατακόρυφο, αξονικό φορτίο απεικονίζονται στο Σχ.. Είναι προφανές ότι οι σχηματιζόμενες πλαστικές ζώνες στην οριακή κατάσταση ισορροπίας μπορούν να περιγραφούν με ικανοποιητική ακρίβεια από τον προκαθορισμένο μηχανισμό αστοχίας κατά Prandtl. Στην περίπτωση έκκεντρου, κεκλιμένου φορτίου με ισχυρή κατακόρυφη (αξονική) φόρτιση, ο μηχανισμός αστοχίας έχει την μορφή που δείχνεται στο Σχ. 3 (rinch Hansen, 97; Salencon & Pecker, 995). Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζεται και ο αριθμητικός προσδιορισμός της επιφάνειας αστοχίας στην περίπτωση που επιτρέπεται η αποκόλληση του θεμελίου από το έδαφος. διάγραμμα διαπιστώνεται ότι η μέθοδος του Meyerhof βρίσκεται πολύ κοντά στην ακριβή λύση. Για την περίπτωση αμιγώς συνεκτικού εδάφους: N = 5.36, τιμή λίγο μεγαλύτερη από c την θεωρητική πρόβλεψη (5.4) του Prandtl. 45 o 45 o 9 o 9o Ν Ν ult Σχήμα Κατακόρυφη αξονική φόρτιση θεμελίου σε συνεκτικό έδαφος υπό αστράγγιστες συνθήκες: Ανάπτυξη πλαστικών ζωνών στο έδαφος θεμελίωσης με ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων και σύγκριση με τις επιφάνειες αστοχίας κατά Prandtl (λευκή διακεκομμένη γραμμή). Figure Central, vertical loading of a shallow footing on cohesive, undrained soil: Finite element failure mechanism compared against theoretical (Prandtl) failure lines. Ω F Χωρίς αποκόλληση του θεμελίου Ω F Με αποκόλληση του θεμελίου 3. Επι-μέρους συντελεστές φέρουσας ικανότητας Εξετάζεται κατ αρχάς η φέρουσα ικανότητα απειρομήκους θεμελίου σε αξονικό, κατακόρυφο φορτίο με δι-διάστατο αλγόριθμο πεπερασμένων διαφορών. Σε κάθε περίπτωση το πλάτος θεμελίου επιλέγεται = 7m και το ελαστικό μέτρο δυστμησίας του εδάφους G = MPa. Οι συντελεστές N και N υπολογίζονται για γωνίες τριβής 5 ο, 3 ο και 35 ο ενώ για τον προσδιορισμό του θεωρείται αμιγώς συνεκτικό υλικό (φ = ). Όπως δείχνεται στα διαγράμματα του Σχ. 4 οι τιμές του προσεγγίζουν την ακριβή λύση με N γ θεώρηση τραχείας διεπιφάνειας. Από το ίδιο γ N c Σχήμα 3 Μηχανισμός αστοχίας για έκκεντρη λοξή φόρτιση επιφανειακού θεμελίου σε συνεκτικό έδαφος (rinch Hansen, 97; Salencon & Pecker, 995) και σύγκριση με την επιφάνεια αστοχίας ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων. Figure 3 Failure mechanism for a footing on cohesive soil under inclined eccentric loading (rinch Hansen, 97; Salencon & Pecker, 995) and comparison against the finite element failure surface. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 4
N N N N N γ c Meyerhof (963) Meyerhof (963) Vesic (973) rinch Hansen (97) Martin, rough (4) Martin, smooth (4) Terzaghi (943) Meyerhof (963) 5 5 5 3 35 4 45 θ: degrees Σχήμα 4 Οι συντελεστές φέρουσας ικανότητας απειρομήκους θεμελίου σε κατακόρυφο, αξονικό φορτίο συναρτήσει της γωνίας τριβής: Σύγκριση κλασσικών μεθόδων αναλύσεις πεπερασμένων διαφορών. Figure 4 earing capacity factors of strip footing for central, vertical load. Comparison of classical methods against numerical results. Τα αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων με θεώρηση λοξής, έκκεντρης φόρτισης και τρι-διάστατης γεωμετρίας του θεμελίου συνοψίζονται στο Σχ. 5. Εξετάσθηκαν οι ακραίες περιπτώσεις κοκκώδους εδάφους ( c = ) και συνεκτικού εδάφους ( φ = ) χωρίς επιφόρτιση ( = ). Η μείωση της φέρουσας ικανότητας λόγω εκκεντρότητας προσδιορίζεται συνήθως κατά Meyerhof είτε με την μέθοδο του ενεργού πλάτους ( ' = e δηλ. Rcγ,, = e/ ) ή απ ευθείας μέσω του συντελεστή απομείωσης Rγ = e/. Σε συνεκτικά υλικά, η μέθοδος του ενεργού πλάτους προβλέπει αποτελέσματα παρόμοια με αυτά των αριθμητικών αναλύσεων. Ωστόσο για απειρομήκη θεμέλιο σε καθαρή άμμο, η μέθοδος αυτή αποδεικνύεται μη-συντηρητική ιδιαίτερα υπό ισχυρή ροπή. Το συμπέρασμα αυτό τεκμηριώνεται τόσο από πειράματα (π.χ. αποτελέσματα φυγοκεντριστή, Aiban et al., 995) όσο και από τα αποτελέσματα της ανάλυσης πεπερασμένων διαφορών. Η δε αξιοπιστία των αριθμητικών αναλύσεων ενισχύεται από την σύγκριση με την εξίσωση των utterfield & Gottardi (994) Rγ e/.4 (προκύπτει εμμέσως από την καμπύλη αλληλεπίδρασης Ν-Μ). Στην περίπτωση κεκλιμένου φορτίου σε καθαρή άμμο η ανάλυση πεπερασμένων διαφορών προβλέπει τιμές για τον μειωτικό συντελεστή μεγαλύτερες της μεθόδου Meyerhof (βλ. Σχ. 5). Εντούτοις τα αποτελέσματα βρίσκονται πολύ κοντά στα αντίστοιχα των πειραμάτων σε φυγοκεντριστή (Aiban et al., 995) αλλά και στην ημι-εμπειρική συσχέτιση των Muhs & Weiss (973). Ικανοποιητική σύγκλιση μεταξύ αριθμητικών αποτελεσμάτων και Meyerhof προκύπτει σε συνεκτικά υλικά. Μεγάλη διχογνωμία επικρατεί στην εκτίμηση του δείκτη σχήματος για αμμώδη υλικά. Κατά Meyerhof, η αύξηση του λόγου πλάτους προς μήκος του θεμελίου οδηγεί σε ενίσχυση του οριακού φορτίου. Αυτό συμβαδίζει με κάποια πειραματικά αποτελέσματα (π.χ. Foundoukos & Jardine, 3) όχι όμως και με τις πιο πολλές ημιεμπειρικές συσχετίσεις (π.χ. Terzaghi, rinch Hansen, De eer). Με την τελευταία κατηγορία συντάσσεται η ανάλυση πεπερασμένων διαφορών (βλ. Σχ. 5). Η αβεβαιότητα στην εκτίμηση του δείκτη s γ αποδίδεται στην έντονη επίδραση της γωνίας τριβής ιδιαίτερα σε τετραγωνικά θεμέλια (Zhu & Michalowski, 5). Για συνεκτικά εδάφη η αριθμητική ανάλυση παρέχει αποτελέσματα ταυτόσημα με την στατική μέθοδο οριακής ανάλυσης (Salgado et al., 4). Επιπλέον σε κάθε τιμή του λόγου /, η συσχέτιση του Meyerhof περιβάλλεται από τις οριακές καμπύλες των Salgado et al. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 5
3. Καμπύλες αλληλεπίδρασης M-Q-N Για κάθε τύπο επιφανειακού θεμελίου η οριακή κατάσταση αστοχίας μπορεί να περιγραφεί στον χώρο των δράσεων M-Q-N από μία περιβάλλουσα επιφάνεια: fnqm (,, ) = (5) Η υπόθεση για την ύπαρξη μίας μοναδικής περιβάλλουσας αστοχίας για κάθε θεμέλιο, ανεξάρτητης της ιστορίας της φόρτισης διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους Roscoe & Schofield (957). Η εγκυρότητά της ωστόσο τεκμηριώθηκε πολύ καιρό αργότερα από την επεξεργασία πληθώρας πειραμάτων φέρουσας ικανότητας σε καθαρή άμμο (Ticof, 978; utterfield & Gottardi, 994). Τα διαγράμματα αλληλεπίδρασης υπολογίζονται σε κανονικοποιημένη μορφή είτε αναλυτικώς από την θεωρία οριακής αντοχής (θεωρήματα άνω και κάτω ορίου) ή μέσω πειραματικών αποτελεσμάτων.. Meyerhof* (963). Meyerhof (963).8 Meyerhof** (963) Aiban et al. (995) utterfield & Gottardi (994).8 FE results R γ.6 R c.6.4.4.....3.4.5 e/...3.4.5 e/ i γ..8.6 Meyerhof, 3 deg (963) Meyerhof, 4 deg (963) Muhs and Weiss (973) Aiban et al., 44 deg (995) Vesic (975)..8 Meyerhof (963) FE results.6 i c.4.4.....3.4.5.6 α: rad.6.4....3.4.5.6 α: rad.6.4. s γ.8.6.4 Meyerhof, 3 deg (963) Meyerhof, 4 deg (963) rinch Hansen (97) Terzaghi (943). Foundoukos & Jardine (3) Zhu et al, 3 deg (5) Zhu et al, 4 deg (5)..4.6.8 / * Μέθοδος ισοδυνάμου θεμελίου (Β = Β-e), ** =- e/b, *** Salgado et al. 4.. Upper bound solution*** Zhu et al (5)..4.6.8 / Σχήμα 5 Σύγκριση συντελεστών κλίσης, εκκεντρότητας, και σχήματος. Figure 5 Comparison of modification factors for inclination, eccentricity, and shape. s c.8.6.4 Meyerhof (963) ower bound solution*** 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 6
Στο Σχ. 6 δείχνεται η περιβάλλουσα αστοχίας Ν-Q απειρομήκους θεμελίου υπό αστράγγιστες συνθήκες, από την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων. Στο ίδιο διάγραμμα δείχνονται οι άνω και κάτω περιβάλλουσες αστοχίας της οριακής ανάλυσης (Salencon & Pecker, 995). Και στις δύο περιπτώσεις η διατμητική αντοχή της διεπιφάνειας ορίζεται από την αστράγγιστη αντοχή s u. Διαπιστώνεται ότι η θεωρητική και η αριθμητική ανάλυση σχεδόν ταυτίζονται στην περιοχή όπου κρίσιμος μηχανισμός είναι η ολίσθηση δηλ. για FS V >. Αντιθέτως, για σχετικώς μεγάλες τιμές του κατακορύφου φορτίου η ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων υπερεκτιμάει ελαφρώς την περιβάλλουσα αστοχίας. Η μικρή αυτή διαφορά ενδέχεται να οφείλεται στην παραδοχή μηδενικής εφελκυστικής αντοχής του εδαφικού υλικού στην οριακή ανάλυση. N/As u 6 5 4 3 * Salencon & Pecker, 995 Upper bound solution* ower bound solution* FE results..4.6.8. Q/As u Σχήμα 6 Καμπύλες αλληλεπίδρασης Q-N για θεμέλιο σε συνεκτικό έδαφος: αναλύσεις με πεπερασμένα στοιχεία και οριακή ανάλυση. Figure 6 Q-N failure loci for strip footing on cohesive soil: finite element and limit analysis. Η καμπύλη αλληλεπίδρασης Ν-Μ για απειρομήκες θεμέλιο επί συνεκτικού εδάφους παρουσιάζεται στο Σχ. 7 (α) από την ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων και (β) από την οριακή ανάλυση (Ukritchon et al., 998). Η υπολογισθείσα καμπύλη βρίσκεται εντός των οριακών καμπυλών σε όλο το εύρος των κατακορύφων φορτίων. Σε μικρές τιμές του Ν, η ροπή μειώνεται προοδευτικά και τελικώς προσεγγίζει το μηδέν όπως προβλέπεται και από την θεωρητική λύση. Σε αυτή την περιοχή του διαγράμματος αλληλεπίδρασης, η αστοχία του θεμελίου ωφείλεται στην εξάντληση της εφελκυστικής ικανότητας της διεπιφάνειας (αποκόλληση). Η βέλτιστη συμπεριφορά του θεμελίου ως προς την ικανότητα ανάληψης ροπής επιτυγχάνεται για N N ult / όπου M = Mmax.65Asu. Η περίπτωση μησυνεκτικού εδάφους εξετάζεται στο Σχ. 8 με ανάλυση πεπερασμένων διαφορών για απειρομήκες και τετραγωνικό θεμέλιο. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με την παραβολική καμπύλη αλληλεπίδρασης των utterfield & Gottardi (994): M / N = t N/ N ( N/ N ) max m max max (6) όπου η σταθερά t m =.4 εκφράζει την αρχική κλίση της παραβολής στο σημείο (,). Η σύγκλιση των αποτελεσμάτων με την προταθείσα καμπύλη είναι πολύ ικανοποιητική, ιδιαιτέρως για το τετραγωνικό θεμέλιο. Στο προσομοίωμα πεπερασμένων διαφορών η τυχόν αποκόλληση του θεμελίου προβλέπεται εμμέσως από την μηδενική εφελκυστική αντοχή του εδαφικού υλικού. 4. ΣΥΝΟΨΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σε γενικές γραμμές η σύγκριση με τις δημοσιευμένες λύσεις είναι πολύ καλή σε συνεκτικά εδάφη υπό αστράγγιστες συνθήκες. Σε περιπτώσεις καθαρά αμμωδών εδαφών, οι τροποποιητικοί συντελεστές κυμαίνονται εντός των ορίων των προγενέστερων συσχετίσεων. Εν τούτοις η διασπορά των αποτελεσμάτων καθιστά προβληματική και σε πολλές περιπτώσεις μη συντηρητική την υιοθέτηση της μεθόδου των επι-μέρους συντελεστών για την εκτίμηση της φέρουσας ικανότητας. Η κλασσική μέθοδος Meyerhof προβλέπει με πολύ καλή ακρίβεια τους συντελεστές σε κατακόρυφο, αξονικό φορτίο καθώς και τους τροποποιητικούς συντελεστές κλίσης, εκκεντρότητας και σχήματος σε αμιγώς συνεκτικά εδάφη. Εντούτοις, στην περίπτωση μη-συνεκτικών εδαφών αποδεικνύεται υπερσυντηρητική μεν σε κεκλιμένη φόρτιση αλλά τολμηρή γενικώς σε έκκεντρη φόρτιση. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ: Οι συγγραφείς εκφράζουν θερμές ευχαριστίες στην Γ.Γ.Ε.Τ. για την χρηματοδότηση του ερευνητικού προγράμματος X-SOI μέρος του οποίου αποτελεί η παρούσα εργασία. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 7
N/As u Σχήμα 7 Περιβάλλουσα αστοχίας Μ-Ν σε αμιγώς συνεκτικό έδαφος: ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων και οριακή ανάλυση. Figure 7 N-M failure locus for cohesive soil: finite element and limit analysis. N/N o 6 5 4 3..8.6.4. Σχήμα 8 Περιβάλλουσα αστοχίας Μ-Ν σε μησυνεκτικό έδαφος: ανάλυση πεπερασμένων διαφορών και παραβολική καμπύλη αστοχίας των utterfield & Gottardi, 994. Figure 8 N-M failure locus for cohesionless soil: finite differences analysis and parabolic failure envelope of utterfield & Gottardi. 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ower bound solution Upper bound solution FE results..4.6.8 M/As u..4.6.8.. M/N o - strip footing - suare footing utterfield & Gottardi (994) Abaus (5). Standard user s manual, R.I. Aiban, S. A. & Znidarcic, D. (995). Centrifugal modelling of bearing capacity of shallow foundations on sands. J. Geotech. Engng, ASCE, No., 74-7. rinch Hansen, J. (97). A revised and extended formula for bearing capacity. Dan. Geotech. Inst. ull. 8, 5-. utterfield, R. & Gottardi, G. (994). A complete three-dimensional failure envelope for shallow footings on sand. Géotechniue 44, No., 8-84. Drucker, D. C., Greenberg, H. J. & Prager, W. (95). Extended limit design theorems for continuous media. Q. Appl. Math. 9, 38-389. Flac3D (997). User s Manual, Itasca Consulting Group, Minneapolis. Martin, C. M. (4). Discussion of Calculation of bearing capacity factor N γ using numerical limit analyses. J. Geotech. Engng, ASCE 3, No., 6-7. Meyerhof, G. G. (963). Some recent research on the bearing capacity of foundations. Can Geotech. J., No., 6-6. Muhs, H. and Weiss, K. (973). Inclined load tests on shallow strip footings. Proc., 8th Int. Conf. on Soil Mech. and Found. Engrg.,, 73-79. Prandtl,. (9). On the penetrating strengths of plastic construction materials and the strength of cutting edges (in German), Zeit. Angew. Math. Mech.,, No., 5-. Salgado, R., yamin, A. V., Sloan, S. W. & Yu, H. S. (4). Two- and three-dimensional bearing capacity of foundations in clay. Géotechniue 54, No. 5, 97-36. Salencon, J. and Pecker, A. (995). Ultimate bearing capacity of shallow foundations under inclined and eccentric loads. Part II: purely cohesive soil without tensile strength. Eur. J. Mech. 4, No. 3, 377-396. Terzaghi, K. (943). Theoretical soil mechanics. John Wiley and Sons, Inc. N.Y. Ukritchon,., Whittle, A. J. & Sloan, S. W. (998). Undrained limit analysis for combined loading of strip footings on clay. J. Geotech. Engng, ASCE 4, No. 3, 65-76. Vésic, A. S. (975). earing capacity of shallow foundations. Foundation engineering handbook, H. F. Winterkorn and H. Y. Fang, eds. Van Nostrand Reinhold, New York, N.Y., -45. Zhu, M. & Michalowski, R.. (5). Shape factors for limit loads on suare and rectangular footings. J. Geotech. Engng, ASCE 3, No., 3-3. Ρίζος, Δ. (). Φέρουσα ικανότητα ορθογωνικού θεμελίου υπό ισχυρή εγκάρσια φόρτιση με μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Διπλωματική εργασία Ε.Μ.Π. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 3/5-/6/6 8