Επαναληπτικό ιαγώνισµα Γ Ενιαίου Λυκείου Παρασκευή 23 Γενάρη 2015 Ταλαντώσεις - Κύµατα Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ενα ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων µε αυτεπαγωγή L και χωρητικότητα C, τη χρονική στιγµή t = 0 έχει τον πυκνωτή ϕορτισµένο στη µέγιστη τάση V. Το µέγιστο ϱεύµα I o που διαρρέει το κύκλωµα είναι ίσο µε : C (α) L V Α.2. Κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων περιλαµβάνει σε σειρά τα εξής στοιχεία : ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L, ιδανικό πυκνωτή χω- ϱητικότητας C και αντίσταση R. Τα άκρα του κυκλώµατος συνδέονται µε γεννήτρια εναλλασσόµενης τάσης της µορφής V = V o ηµ(ωt). Η γωνιακή 2 συχνότητα ω της γεννήτριας της εναλλασσόµενης τάσης είναι ίση µε. LC Αν διπλασιάσουµε ταυτόχρονα το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και τη χωρητικότητα C του πυκνωτή, τότε η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων ϑα : (γ) µείνει ίδια 1
Α.3. Στην επιφάνεια υγρού συµβάλλουν δύο αρµονικά κύµατα που προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές. Στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τις δύο πηγές δηµιουργούνται : (ϐ) άρτιος αριθµός σηµείων απόσβεσης και περιττός αριθµός σηµείων ε- νίσχυσης. Α.4. Το παρακάτω διάγραµµα δείχνει τη χρονική στιγµή t 1 ένα στιγµιότυπο αρµονικού κύµατος το οποίο διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού ελαστικού µέσου προς την αρνητική κατεύθυνση. (γ) η ϕάση του σηµείου Β είναι π 2 Α.5. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασµένη. [5 1 = 5 µονάδες] (α) Αν διπλασιάσουµε το πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντωσης ενός σώµατος, τότε το µέτρο της µέγιστης δύναµης, που δέχεται το σώµα, τετραπλασιάζεται. Λάθος (ϐ) Οταν αυξάνουµε τη συχνότητα του διεγέρτη σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση, το πλάτος της ταλάντωσης παραµένει σταθερό. Λάθος (γ) Στη ϕθίνουσα ταλάντωση ο ϱυθµός µε τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος αυξάνεται όταν µειώνεται η σταθεράς απόσβεσης. Λάθος http://www.perifysikhs.com 2
(δ) Οι ακτίνες Χ χρησιµοποιούνται στην Ιατρική κυρίως για διαγνωστικούς σκοπούς. Σωστό (ε) Η κίνηση ενός σώµατος που εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σηµείο, µε συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους, είναι απλή αρµονική ταλάντωση. Λάθος Θέµα Β Β.1. Ενα σώµα εκτελεί κίνηση που προέρχεται απο την σύνθεση των απλών αρµονικών ταλαντώσεων x 1 = 0, 04ηµ(400πt) και x 2 = 0, 04ηµ(404πt) στο S.I. Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο και στην ίδια διεύθυνση. Την χρονική στιγµή t 1 το πλάτος της κίνησης που εκτελεί το σώµα είναι 0, 08m. Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώµα ϑα µηδενιστεί για πρώτη ϕορά την χρονική στιγµή : (α) t 1 + 0, 25s 1 Το πλάτος µηδενίζεται και µεγιστοποιείται κάθε : T δ = f 1 f 2 = 2π, ω 1 ω 2 δηλαδή κάθε 0,5 s. Αφού την t 1 το πλάτος είναι µέγιστο ϑα µηδενιστεί για πρώτη ϕορά σε χρόνο 0, 25s Β.2. Οι οπτικές είναι ϕτιαγµένες από δύο διαφανή υλικά (1) και (2), έτσι ώστε το εσωτερικό να είναι κύλινδρος και γύρω του το υλικό (2) να είναι οµοαξονικός κοίλος κύλινδρος. Στο σχήµα ϕαίνεται µια τοµή κατά µήκος του άξονα του κυλίνδρου. Μια ακτίνα laser διαδιδόµενη στο υλικό (1) προσπίπτει µε γωνία 45 o στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών µέσων και υφίσταται ολική ανάκλαση, όπως στο σχήµα. Αν ο δείκτης διάθλασης του υλικού (1) είναι n 1 = 2, τότε για τον δείκτη διάθλασης του υλικού (2) ισχύει : (α) 1 < n 2 < 2 http://www.perifysikhs.com 3
Για να πραγµατοποιηθεί ολική εσωτερική ανάκλαση πρέπει η γωνία πρόσπτωσης θ να είναι µεγαλύτερη από την κρίσιµη γωνία πρόπτωσης θ crit. θ > θ crit ηµθ > ηµθ crit ηµθ > n 2 2 n 1 2 > n 2 2 n 2 < 2 Από τον ορισµό του δείκτη διάθλασης n = c υ επειδή c > υ n > 1 Β.3. ύο όµοια σώµατα, ίσων µαζών m το καθένα, συνδέονται µε όµοια ιδανικά ελατήρια σταθεράς k το καθένα, των οποίων τα άλλα άκρα είναι συνδεδεµένα σε ακλόνητα σηµεία, όπως στο σχήµα. Οι άξονες των δύο ελατηρίων ϐρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα ελατήρια ϐρίσκονται στο ϕυσικό τους µήκος l 0 και το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο ϐρίσκονται είναι λείο. Μετακινούµε το σώµα 1 προς τα αριστερά κατά d και στη συνέχεια το αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώµα 1 συγκρούεται πλαστικά µε το σώµα 2. Το συσσωµάτωµα που προκύπτει εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D = 2k. Αν A 1 το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος 1 πριν τη κρούση και A 2 το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος µετά την κρούση, τότε ο λόγος A 1 A 2 είναι : http://www.perifysikhs.com 4
(γ)2 k Το σώµα 1 ϑα έχει πριν την κρούση ταχύτητα υ 1 = ω 1 A 1 = m A 1 αφού διέρχεται από την ΘΙΤ. Το συσσωµάτωµα ϑα έχει ταχύτητα υ 2 = ω 2 A 2 = D m + m A 2 Για την κρούση εφαρµόζω την ιατήρηση της Ορµής : mυ 1 = 2mυ 2. Αρα : υ 1 υ 2 = 2 k m A 1 D m+m A 2 Θέµα Γ = 2 A 1 = 2 A 2 Σε γραµµικό ελαστικό µέσο, που ταυτίζεται µε τον ϑετικό ηµιάξονα Ox, δηµιουργείται στάσιµο κύµα από τη συµβολή δύο τρεχόντων αρµονικών κυ- µάτων ίδιου πλάτους και ίδιας περιόδου, τα οποία διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις. µε ταχύτητα µέτρου υ = 60cm/s. Στη ϑέση Ο(x = 0) σχη- y (m ) 0,4 t= t 1 0,0 0 1 5 x (c m ) -0,4 µατίζεται κοιλία του στάσιµου κύµατος, η οποία την χρονική στιγµή t = 0 http://www.perifysikhs.com 5
διέρχεται από την Θέση Ισορροπίας, κινούµενη κατακόρυφα προς την ϑετική κατεύθυνση. Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται τµήµα στιγµιοτύπου του στάσιµου κύµατος την χρονική στιγµή t 1 κατά την οποία τα υλικά ση- µεία του ελαστικού µέσου είναι ακίνητα για δεύτερη ϕορά µετά την χρονική στιγµή t = 0. Γ.1 Να υπολογίσετε την χρονική στιγµή t 1. Από το στιγµιότυπο προκύπτει : λ = 12cm υ = λf f = 5Hz T = 0, 2s. Ο Ϲητούµενος χρόνος είναι : t 1 = 3T 4 = 3 20 s Γ.2 Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος. y = 0, 4συν( πx )ηµ10πt y σε cm x σε cm, t σε s 6 Γ.3 Να γράψετε την χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σηµείου Κ (x κ = +16cm) του ελαστικού µέσου. y = 0, 4συν( π16 )ηµ10πt y = 0, 2ηµ(10πt + π) 6 υ = 2πσυν(10πt + π) υ σε m/s, t σε s Γ.4 Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος από την ϑέση x = 0 µέχρι και την ϑέση x = 21cm τις χρονικές στιγµές : t 2 = t 1 0, 05s και την t 3 για την οποία η υναµική Ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση µε την Κινητική Ενέργεια για όλα τα κινούµενα σηµεία του ελαστικού µέσου, για δεύτερη ϕορά µετά την t 1. Η χρονική στιγµή t 2 είναι µια χρονική στιγµή T 4 πριν την t 1. Αρα όλα τα σηµεία ϑα είναι στην Θέση Ισορροπίας µε το Ο να έχει αρνητική ταχύτητα. Η χρονική στιγµή t 3 στην οποία K = U E = K + U = 2U y = ± A 2. Για δεύτερη ϕορά όλα τα σηµεία που ταλαντώνονται ϑα 2 ϐρίσκονται σε ϑέσεις µε αποµάκρυνση y = A 2 2, όπου A = 0, 4συν( πx 6 ) http://www.perifysikhs.com 6
0,4 y (m ) t= t 3 0,0 0 1 5-0,4 x (c m ) Γ.5 Να υπολογίσετε την ελάχιστη µεταβολή της συχνότητας των τρέχοντων κυµάτων, ώστε ο τρίτος δεσµός να γίνει πρώτη κοιλία µετά το σηµείο Ο. Ο τρίτος δεσµός ϐρίσκεται στην ϑέση x = 5λ 4 µετά την ϑέση Ο πρέπει x = λ 2. Άρα : για να γίνει η πρώτη κοιλία 5λ 4 = λ 2 5υ 4f = υ f = 2Hz f = f f = 3Hz 2f Θέµα Τα ηλεκτρικά κυκλώµατα Α και Β του σχήµατος αποτελούνται από ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής 10mH,πυκνωτή µε χωρητικότητα C = 1µF, πηγή µε ΗΕ E = 20V olt και εσωτερική αντίσταση r = 2Ω. Το κύκλωµα Β διαθέτει κλάδο µε αντιστάτη αντίστασης R. Οι αγωγοί σύνδεσης στα κυκλώµατα έχουν αµελητέα αντίσταση. Αρχικά οι διακόπτες δ 1 και δ 1 είναι κλειστοί και ο µεταγωγός στην ϑέση (1). Τη χρονική στιγµή t = 0 ανοίγουµε ακαριαία τους διακόπτες δ 1 και δ 1 και κλείνουµε τους δ 2 και δ 2, χωρίς να σχηµατιστεί σπινθήρας, οπότε τα κυκλώµατα αρχίζουν να εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις. http://www.perifysikhs.com 7
.1 Να υπολογίσετε τον λόγο Q B Q A, όπου Q A και Q B τα µέγιστα ϕορτία των πυκνωτών στα κυκλώµατα Α και Β αντίστοιχα. Στο κύκλωµα Α ο πυκνωτής ϕορτίζεται εξαιτίας της πηγής. Το ϕορτίο που ϑα αποκτά ϑα είναι Q A = CV Q A = 2 10 5 C. Στο κύκλωµα Β εφαρµόζουµε τον Νόµο του Ohm για να ϐρούµε το ϱεύµα που διαρρέει το πηνίο : I = I = E I = 10A.Η συχνότητα ταλάντωσης r του κυκλώµατος L C ϑα είναι ω A = 1 ω = 10 4 rad/s. Το µέγιστο LC ϕορτίο που ϑα αποκτήσει ο πυκνωτής ϑα είναι Q B = I ω Q B = 10 3 C Ο Ϲητούµενος λόγος ϑα είναι : Q B = 50 Q A.2 Να υπολογίσετε την απόλυτη τιµή του ϱυθµού µεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ϱεύµατος στο πηνίο του κυκλώµατος Α, όταν η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή. Ο ϱυθµός µεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού ϱεύµατος προκύπτει : E επ = V c = q C = Ldi dt di dt = ω2 q Οταν U B = 3U E E = U B + U E = 4U E q = ± Q A 2 Αρα di dt = 103 A/s.3 Να υπολογίσετε τον λόγο i A i B όπου i A, i B οι εντάσεις των ϱευµάτων που διαρρέουν τα πηνία των κυκλωµάτων Α και Β αντίστοιχα την χρονική στιγµή t 2 = 3π 4 10 4 s. Στο κύκλωµα Β ϑεωρούµε ως ϑετική τη ϕορά του ϱεύµατος που διανύει το πηνίο πριν το κλείσιµο του δ 2. http://www.perifysikhs.com 8
i A = I Aηµ(ωt) i B I B συν(ωt) = ωq Aηµ(ωt) ωq B συν(ωt) = 1 50 ηµ 3π 4 συν 3π 4 i A i B = 1 50.4 Κάποια χρονική στιγµή, την οποία ϑεωρούµε εκ νέου ως t = 0, το ϕορτίο του πυκνωτή στο κύκλωµα Β έχει την µέγιστη τιµή του. Τη στιγµή αυτή ο µεταγωγός (µ) µετακινείται ακαριαία στην ϑέση (2), χωρίς να σχηµατιστεί σπινθήρας και το κύκλωµα Β ϑα εκτελεί ϕθίνουσες η- λεκτρικές ταλαντώσεις. Το µέγιστο ϕορτίο του πυκνωτή µεταβάλλεται σύµφωνα µε την σχέση Q = Q B e Λt, όπου Λ ϑετική σταθερά. Στο τέλος των πρώτων 200 ταλαντώσεων η ενέργεια έχει υποτετραπλασιαστεί. Να υπολογίσετε την σταθερά Λ. Q 2 Q 2 B E = 1 2 C = 1 2 C E 2Λt E o 4 = E oe 2Λ 200T 2Λ200T = ln4 Λ = ln2 200T Λ = 5sec 1 http://www.perifysikhs.com 9