Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα χρονικά διαστήματα ονομάζονται ταλαντώσεις. Μερικά παραδείγματα, σύμφωνα με τον ορισμό αυτόν είναι η εικοσιτετράωρη εναλλαγή ημέρας-νύκτας, η κίνηση που έχει το εκκρεμές του ρολογιού, η εναλλαγή θετική-αρνητικής τάσης σε μια ηλεκτρική γεννήτρια. Τα περισσότερα φαινόμενα ταλαντώσεων παρατηρούνται σε περιστρεφόμενες μηχανές, όπου η ίδια η περιστροφή τους, δημιουργεί περιοδικά φαινόμενα.. Ορισμός περιοδικής συνάρτησης Έστω μια φυσική ποσότητα, η οποία μεταβάλλεται με τον χρόνο, δηλαδή (). Μια συνάρτηση () που έχει την ίδια τιμή για τιμές του χρόνου που διαφέρουν κατά μια σταθερά Τ ονομάζεται περιοδική συνάρτηση και μπορούμε να γράψουμε: () ( + nt), n,,... (.) Εάν η () περιγράφει ταλάντωση, η μικρότερη ποσότητα T για την οποία επαληθεύεται η (.), για κάθε n,,, ονομάζεται περίοδος της ταλάντωσης και έχει μονάδες χρόνου. Πρακτικά την περίοδο την προσδιορίζουμε ως ο χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών μεγίστων ή ελαχίστων της (). Η μισή διαφορά του ελαχίστου min από το μέγιστο mα A ( ) ma min (.) ονομάζεται εύρος ή πλάτος ταλάντωσης.
Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών. Γωνιακή ταχύτητα περιστροφικής κίνησης - κυκλική συχνότητα ταλάντωσης Σχήμα. Ο τροχός με ακτίνα r του σχήματος. περιστρέφεται γύρω από έναν οριζόντιο άξονα στο σημείο Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω rad/sec. Ένας πείρος P είναι στερεωμένος στον τροχό και γλιστράει σε έναν οδηγό ο οποίος είναι στερεωμένος σε έναν άξονα που παλινδρομεί σε δυο έδρανα. Αν θεωρήσουμε ότι τη χρονική στιγμή 0 η γωνία είναι θ0, και έχοντας υπόψη μας ότι στην περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ισχύει η σχέση: θ ω (.) η μετατόπιση (σχήμα.) του δεξί άκρου Τ του άξονα που παλινδρομεί γύρω από μια μέση θέση έχει τις εξής τιμές για χαρακτηριστικές τιμές γωνίας περιστροφής θ: Γωνία θ Χρόνος θ/ω Μετατόπιση 0 0 r π/ (π/)(/ω) 0 π π (/ω) -r π/ (π/)(/ω) 0 π π/ω r Για μια τυχαία γωνία θ έχουμε: cs θ r csθ r csω (.) r θ θ0 0
Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Είναι φανερό ότι η κυκλική κίνηση του πείρου P προκαλεί περιοδική ημιτονοειδή (αρμονική) κίνηση που περιγράφεται από την (.) στο δεξί άκρο Τ του άξονα με εύρος Αr και περίοδο Tπ/ω. Η γωνιακή ταχύτητα ω της περιστροφικής κίνησης ορίζεται ως κυκλική συχνότητα της αρμονικής ταλάντωσης και ισχύει: ω π /T ή (.5) T π /ω (.6). Γενικευμένη αρμονική ταλάντωση T () ( ) B 0 O O 0 Σχήμα. Η εξίσωση (.) περιγράφει μια ειδική περίπτωση αρμονικής κίνησης. Η γενική μορφή μιας αρμονικής κίνησης φαίνεται στο σχήμα.. Η γενική αυτή μορφή μπορεί να εκφρασθεί με μια απλή ημιτονοειδής συνάρτηση με κατάλληλη αλλαγή συντεταγμένων. Έστω ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων - με αρχή το σημείο Ο το οποίο ως προς το σύστημα - έχει συντεταγμένες ( 0, 0 ). Η αρμονική κίνηση του σχήματος. ως προς το - γράφεται: Asinω (.7) με ω και A ( )/ ( )/ π / T ma Όπως είναι φανερό η κυκλική συχνότητα και το πλάτος της αρμονικής κίνησης είναι χαρακτηριστικά της κίνησης και ανεξάρτητα από το εκάστοτε σύστημα συντεταγμένων. min ma min
Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Για τις συντεταγμένες του σημείου Β στα δυο συστήματα ισχύει: 0 + και 0 + (.8) Αντικαταστώντας την (.8) η (.7) γράφεται: ( ) 0 + Asinω 0 ή (.9) ( ω ϕ ) 0 + Asin (.0) Όπου η φ ω 0 ονομάζεται γωνία φάσης και είναι εκφρασμένη σε rad. Η σχέση (.0) είναι γενική και μπορεί να περιγράψει οποιαδήποτε αρμονική κίνηση. Η σχέση (.0) γράφεται ισοδύναμα ως εξής. Κάνοντας χρήση της τριγωνομετρικής σχέσης (Παράρτημα Α) sin ( A B) sin A cs B cs A sin B όπου Α ω και Β φ η σχέση (.0) γράφεται: (.) + A( sinω csϕ csω sinϕ ) 0 0 + asinω + bcsω (.) όπου a Acsϕ και b Asinϕ (.) Οι σχέσεις (.0) και (.) είναι ισοδύναμες και κάθε φορά χρησιμοποιείται αυτή που διευκολύνει σε σχέση με τα δεδομένα του προβλήματος. Με δεδομένη την (.0) προκύπτει η (.) κάνοντας χρήση των σχέσεων (.). Αντίστροφα με δεδομένη την (.) προκύπτει η (.0) κάνοντας χρήση των σχέσεων: Υψώνουμε τις (.) στο τετράγωνο και τις προσθέτουμε κατά μέλη: a b A cs a sin ϕ ( A) ϕ + b A ( cs ϕ + sin ϕ ) (.a) A a + b Διαιρούμε τις (.) κατά μέλη: sinϕ b anϕ b ϕ an csϕ a a (.b)
Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Άρα με δεδομένη την (.) προκύπτει η (.0) κάνοντας χρήση των σχέσεων (.). 5. Σύγχρονες ταλαντώσεις Δύο ή περισσότερες αρμονικές ταλαντώσεις ονομάζονται σύγχρονες εφόσον έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα. Για παράδειγμα οι ταλαντώσεις () 5 sin(0-5 ) και () sin(0+8 ) είναι σύγχρονες (σχήμα.). 6 5 X () 0 - - - - -5-6 X () Σχήμα. Οι γωνίες φάσης των δυο αρμονικών σύμφωνα με την (0) είναι φ 5 ο και φ -8 ο. Ως διαφορά φάσης της από την ορίζεται η διαφορά Δ ( 8 ) ϕ ϕ ϕ 5 (.5) 6. Λυμένες ασκήσεις κεφαλαίου Άσκηση Να ευρεθούν τα εύρη των δυο ακόλουθων αρμονικών και η διαφορά φάσης τους: () cs0- sin0 και ().5 sin(0-0 ) cs0. Από (.) προκύπτει 0 0, α - και b. Από (.) προκύπτει A + 5 και Επομένως η γράφεται () 5sin( 0 6. 87 ) (i) ϕ an ϕ 6. 87 5
Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών ().5sin(0 0 ) cs 0 [ sin 0 cs0 cs 0 sin 0 ] sin 0 cs 0 cs 0 Από τις (.) και (ii) έχουμε cs 0 () sin 0 cs 0 (ii) a (.) A b 9 + A.0 6 6 Άρα η γράφεται ( ).0sin( 0 6. ) και ϕ an 75 (iii) ϕ 6.7 Από (i) και (iii) η διαφορά φάσης προκύπτει Δϕ ϕ ο ϕ 6.87 6.7 7. 8 Άσκηση Ένα σημείο κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή κατά τον νόμο () 0.5 + sin ω + 5 cs ω όπου ω 50 rad/sec. Βρείτε το εύρος της ταλάντωσης και τη γωνία της ισοδύναμης αρμονικής κίνησης Α sin ω. a b 5 (.) A a ϕ an + b b an a + 5 Άρα () 0.5 + 5.8sin( 50 + 59 ) A 5.8 και 5 ϕ 59.0 ή ϕ.0rad Άσκηση Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση της άσκησης Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση πρέπει να υπολογίσουμε κάποιες χαρακτηριστικές τιμές της συνάρτησης. Για μηδενικό χρόνο: 0, η συνάρτηση έχει τιμή: (0)0.5+5.8 sin59 > (0)5.5 Για χρόνο: 50 +.0 π/ > 0.006, sec η συνάρτηση έχει μέγιστο: ma 0.5+5.8> ma 6. Για χρόνο: 50 +.0 π > 0.008 sec, η συνάρτηση είναι μηδέν: 0 Για χρόνο: 50 +.0 π/ > 0.055 sec, η συνάρτηση έχει ελάχιστο: min 0.5-5.8> min -.7 Για χρόνο: 50 +.0 π > 0.050 sec, η συνάρτηση είναι μηδέν: 0 Για χρόνο: 50 +.0 π +π/ > 0.059 sec, η συνάρτηση έχει μέγιστο: ma 6.8 6
Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Άρα η γραφική παράσταση είναι: 8 6 () 0 - - -6 0.000 0.005 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 0.050 Time, sec Άσκηση Ένα σημείο Α παρατηρήθηκε ότι έχει αρμονική κίνηση γύρω από το σημείο Ο πάνω σε ευθεία με κυκλική συχνότητα όπου ω 00 rad/sec.εάν σε χρόνο 0 το σημείο είναι σε μια απόσταση ΟΑ 0.05 m έχει ταχύτητα 0.5 m/sec και κινείται από το O προς το Α. Βρείτε την εξίσωση κίνησης, το εύρος και τη γωνία φάσης. Έστω () a sinω + b csω και έστω ότι το Α βρίσκεται στα θετικά του άξονα των. (i) Για 0 έχουμε (0)0.05. Άρα η (i) γράφεται (0)0.05> α sinω0 + b csω0 > b0.05 Η () εκφράζει μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας Ο. Επομένως η παράγωγος της ως προς το χρόνο εκφράζει ταχύτητα και θα είναι: d( ) ( ) a ω csω bω sinω (ii) d (ii) Για χρόνο 0 (0) + 0.5 a ω csω 0 bω sinω 0 0.5 a ω 0.5 a 0.005 Άρα η (i) γράφεται: ( ) 0.005sinω + 0.05 csω Οι συνθήκες (0)0.05 και ( 0) + 0.5 οι οποίες περιγράφουν πλήρως την κίνηση του Α την χρονική στιγμή 0 ονομάζονται αρχικές συνθήκες του προβλήματος. 7