Κινηματική Υλικού Σημείου

Κινηματική Υλικού Σημείου Τροχιά ενός σώματος είναι το σύνολο των διαδοχικών θέσεων από τις οποίες διέρχεται το σώμα Ευθύγραμμη Καμπυλόγραμμη Σώμα-Σημειακό Αντικείμενο Το αντικείμενο αναπαριστάται με ένα σημείο το οποίο είναι σταθερό ως προς το αντικείμενο. Το σημείο προσδιορίζει την θέση του αντικειμένου. Προσδιορισμός Θέσης 1 διάσταση Ο το Σημείο Αναφοράς Σ.Α x Σ = +3cm, x Σ = -4,5 cm Αλγεβρική Τιμή Δεξιά του Ο x>0 Σ x x x Σ Ο 1 cm x Σ Σ Αριστερά του Ο x<0 διαστάσεις (x Σ,y Σ )=(3cm, cm) Αλγεβρική Τιμή x>0 Δεξιά του yy x<0, y>0 y (cm) x>0, y>0 r Σ Σ x<0 Αριστερά του yy y>0 Επάνω του xx y<0 Κάτω του xx x x (cm) 3 x<0, y<0 x>0, y<0 Χρονική Στιγμή: Χρονικό σημείο χωρίς διάρκεια. Συμβάν: (x,) Χρονική Διάρκεια: = τελ. - αρχ. >0 y 1.1.1

Μετατόπιση Σώματος πάνω σε άξονα + Ο x αρχ. Δx x τελ Δx Διανυσματικό Φ.Μ με αρχή την αρχική θέση και τέλος την τελική θέση Προσοχή!!! x Σ.Α Θέση Δx Αρχική Θέση Τελική Θέση Αλγεβρική Τιμή Δx=x τελ -x αρχ Δx>0 x τελ >x αρχ το βέλος κοιτάζει προς τα δεξιά. Δx<0 x τελ <x αρχ το βέλος κοιτάζει προς τα αριστερά. Παραδείγματα: Να σχεδιασθούν σε άξονες και υπολογισθούν τα Δx για τις παρακάτω τιμές Προσοχή!!! x αρχ. (cm) x τελ. (cm) 4 5 1-5 - -3-6 1-3 1 Για το Δx μας ενδιαφέρουν μόνο το αρχικό και τελικό σημείο όχι τα ενδιάμεσα. Το Δx είναι ίδιο και για τις τρείς τροχιές. 3 Διάστημα S :Η συνολική απόσταση που διένυσε το σώμα δηλαδή το μήκος της τροχιάς. Είναι θετικό και μονόμετρο μέγεθος Μόνο όταν το σώμα κινείται προς μία κατεύθυνση S= Δx Γενικά S= Δχ 1 + Δχ + + Δχ ν όπου Δχ ν η μετατόπιση της νιοστής ευθύγραμμης κίνησης. Η έννοια της ταχύτητας Δύο αυτοκίνητα κινούνται ευθύγραμμα Δx 1 =10m 1 =10s Δx =50m =5s 1.1.

για να βρούμε ποιο κινείται πιο γρήγορα υπολογίζουμε τον λόγο Δx/ Δx 1 = 10m 1 10s = 1 m s Δx = 50m 5s = 10 m s Το πρώτο κινείται πιο γρήγορα αφού σε 1s διανύει 1m Ο λόγος u = Δx καλείται ταχύτητα και εκφράζει το ποσό της μετατόπισης που αντιστοιχεί στην μονάδα του χρόνου. Η ταχύτητα u είναι διανυσματικό μέγεθος με κατεύθυνση αυτήν του. Δx Μονάδα μέτρησης στο S.I είναι το 1m/s. Αν η αλγεβρική τιμή της u, Δx > 0 το σώμα κινείται προς τα δεξιά το χ αυξάνει, αν Δx < 0 προς τα αριστερά το χ μειώνεται. Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Ε.Ο.Κ Ε.Ο.Κ είναι η κίνηση στην οποία το σώμα: Σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα Η ταχύτητα παραμένει σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση και ανεξάρτητη της αρχικής και τελικής χρονικής στιγμής που επιλέγουμε για τον υπολογισμό, του πόσο μικρό ή μεγάλο είναι το x x (-4m,0s) (-m,1s) (0m,s) (m,3s) (4m,4s) (6m,5s) (8m,6s) (10m,7s) Στο Σχήμα υπολογίστε την ταχύτητα επιλέγοντας 5 διαφορετικά ζεύγη συμβάντων που να αντιστοιχούν σε μικρά και μεγάλα χρονικά διαστήματα. Στην ΕΟΚ ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις Δx=u x τελ -x αρχ =u ( τελ - αρχ ) x= u Η x=u ισχύει μόνο όταν x αρχ =0, αρχ =0, x τελ =x, τελ = σε καμία άλλη περίπτωση!!! Οι παραπάνω σχέσεις είναι σχέσεις αλγεβρικών τιμών τα χ, u είναι αλγεβρικές τιμές!!! 1.1.3

x- Διάγραμμα θέση Αν x αρχ =0, αρχ =0 x x=u (της μορφής y=ax) u= x τελ x αρχ τελ αρχ = x 0 0 =x =Κλίση θέση x τελ Αν x αρχ 0 x=x αρχ +u (της μορφής y=ax+b) Δx=x τελ -x αρχ u= x τελ x αρχ = x τελ χ αρχ τελ αρχ 0 =Κλίση x αρχ = u- Διάγραμμα ταχύτητα u u=σταθερή Εμβαδόν Ε=u =Δx Ασκήσεις 1,,6 = τελ Εφαρμογή σελ. 45 Όταν μελετάω την κίνηση δύο σωμάτων σχεδιάζω πάντα όπως στο σχήμα τα ακόλουθα: B A A B S AB S AA S A B S BB 1.1.4

Το αρχικό διάστημα S ΑΒ των δύο σωμάτων Το τελικό διάστημα S Α Β των δύο σωμάτων Το διάστημα S AA που διένυσε το πρώτο σώμα. Το διάστημα S ΒΒ που διένυσε το δεύτερο σώμα. Προσοχή τα διαστήματα είναι μονόμετρα μεγέθη. Βρίσκω την μεταξύ τους σχέσεις. S BB =S AB +S AA +S A B (1) S AA =Δx Α =u A ( * ) S BB ==Δx Β =u B (3 * ) S AB =100m (4) S A B =100m (5) Από (1,,3,4,5) u B =100m+u A +100m => (u B -u A ) =00m=0.km => (100-80) Km/h =0.Km => 0Km/h =0.Km => =0,01h=0.01 3600s=>=36s Δx A =S AA =u A =80Km/h 0.01h=>Δx A =0.8Km Δx B =S BB =u B =100Km/h 0.01h=>Δx B =1Km *Σημαντικότατές Σημείωσεις Για τα αυτοκίνητα τα x αρχ Α και x αρχ Β 0 άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο x=u άλλα τον τύπο Δx=u (αν αρχ =0). Βολεύει θετική φορά κίνησης για κάθε σώμα ορίζεται η αρχική φορά κίνησης του οπότε η μετατόπιση Δx του καθενός είναι ίση με το διάστημα S που διένυσε. Βολεύει να χρησιμοποιούμε διαστήματα και όχι μετατοπίσεις. Ασκήσεις 4,5 Μέση Ταχύτητα u μ = S όπου S το διάστημα που διένυσε το σώμα σε χρονικό διάστημα Το S άρα και η u μ είναι μονόμετρα μεγέθη. Μονάδα της u μ στο SI είναι το 1m/s. Άσκηση 3 1.1.5

Στιγμιαία ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα της Ε.Ο.Κ που θα ξεκίναγε το σώμα μία ορισμένη χρονική στιγμή εάν έπαυε το αίτιο μεταβολής της ταχύτητας του. Είναι διανυσματικό Φ.Μ Έχει μονάδα στο SI το 1m/s u 1 u u Όταν το πατίνι παύει να σπρώχνεται κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με ταχύτητα ίση με την στιγμιαία ταχύτητα u u στ Όταν το σκοινί σπάσει η σφαίρα κινείται Ε.Ο με ταχύτητα u στ. u στ Το σπρώξιμο, το σκοινί μεταβάλουν την ταχύτητα του σώματος. Πρακτικά u 1 u u 3 1s s 3s 3,0s s u 3 u 3 =0.0s Ε.Ο.Κ u 1 u 1s 3s 3,0s 3s 3,005s 3,01s u 3 1.1.6

u στ = Δx όπου το 0 το είναι τόσο μικρό που πρακτικά το u δεν προλαβαίνει να αλλάξει και η κίνηση προσεγγίζει την Ε.Ο.Κ Στην Ε.Ο.Κ τα u, u στ ταυτίζονται, για τα μέτρα τους ισχύει u=u στ =u μ Επιταχυνόμενη Κίνηση Δύο αυτοκίνητα κινούνται ευθύγραμμα με ταχύτητα που μεταβάλλεται Δu 1 =5m/s 1 =5s Δu =1m/s =10s για να βρούμε ποιο κινείται πιο γρήγορα υπολογίζουμε τον λόγο Δu/ Δu 1 = 5m/s = 1 5s 1m s Δu 1 m/s = = 1,m s 10s Ο λόγος α = Δu καλείται επιτάχυνση και εκφράζει το ποσό της μεταβολής της ταχύτητας που αντιστοιχεί στην μονάδα του χρόνου. Η επιτάχυνση α είναι διανυσματικό μέγεθος με κατεύθυνση αυτήν του. Δu Μονάδα μέτρησης στο S.I είναι το 1m/s. Αν η αλγεβρική τιμή της a, Δu > 0 η ταχύτητα αυξάνει έχουμε επιτάχυνση, αν Δu < 0 η ταχύτητα μειώνεται έχουμε επιβράδυνση (Προϋπόθεση η u να είναι θετική) Όταν α u o η ταχύτητα αυξάνει έχουμε επιταχυνόμενη κίνηση Όταν α u o η ταχύτητα μειώνεται έχουμε επιβραδυνόμενη κίνηση Ευθύγραμμη Ομαλή Επιταχυνόμενη Κίνηση Ε.Ο.Ε Ε.Ο.Ε είναι η κίνηση στην οποία για το σώμα: Σε ίσους χρόνους έχουμε ίσες μεταβολές τις ταχύτητας. Η επιτάχυνση παραμένει σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση και ανεξάρτητη της αρχικής και τελικής χρονικής στιγμής που επιλέγουμε για τον υπολογισμό, ανεξάρτητη του πόσο μικρό ή μεγάλο είναι το m/s 4m/s 6m/s x x (0m,0s) (1m,1s) (4m,s) (9m,3s) 1.1.7

Στην ΕΟΕ ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις Δu=a u τελ -u αρχ =a ( τελ - αρχ ) Μόνο όταν αρχ =0, u τελ =u, τελ = και σε καμία άλλη περίπτωση ισχύει!!! u= a αν u αρχ =0 u= u 0 +a αν u αρχ =u 0 Αν έχουμε επιβράδυνση u= u 0- a όπου το α αντικαθίσταται με την αριθμητική τιμή του. Άσκησεις 7-8 u- Διάγραμμα ταχύτητα Αν u 0 =0, αρχ =0 u u=a (της μορφής y=ax) a= u τελ u 0 τελ αρχ = u 0 0 =u =Κλίση Αν u αρχ =u 0 0 u u τελ u=u o +a (της μορφής y=a x+b) Κλίση= Δu =u τελ u o τελ 0 =a Δu=u τελ -u 0 u 0 = τελ τελ u- Διάγραμμα επιτάχυνση a=σταθερή α Εμβαδόν Ε=a =Δu = τελ 1.1.8

Μετατόπιση στην ΕΟΕ u τελ ταχύτητα Εμβαδόν Ε=Δχ Δχ= u τελ+u 0 = (u o+a )+u 0 u 0 Ε Δχ=u o + 1 a = τελ θέση για = και Δχ=χ x χ=u o + 1 a Για επιβράδυνση χ=u o 1 a Η κλίση της εφαπτόμενης στο χ- διάγραμμα δίνει την στιγμιαία ταχύτητα. Η κλίση (u στ. ) αυξάνει με τον χρόνο. θέση x Ασκ. 8-1.1.9

Τ=0,1 s η περίοδος περιστροφής του μοτέρ. Πείραμα με Βαγονάκι Τ= Δχ (απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων) Πίνακας Τιμών x u 0 0 0 1 =0+=0,1 s x x 1 1 = 1 +=0, s x x x 1 3 = +=0,3 s x x 3 x 3 4 =0,4 s x x 4 x 3 4......... Όσο περνάει ο το Δx (βήμα) αυξάνει γιατί αυξάνει το u Δx 1 Δx 4 0 x 1 x x 3 x 4 Στην αρχή Δx 1 =. Στο τέλος Δχ =. Ο συνολικός είναι ολ >>>> Ο λόγος Δx/ προσεγγίζει την στιγμιαία ταχύτητα 1.1.10