Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n έχει πλάτος μονοπατιού και δενδροπλάτος το πολύ n. Απόδειξη: Ορίζουμε αποσύνθεση μονοπατιού X n(i 1)+j = {(i, k) j k n} {(i + 1, k) 1 k j} για 1 i n 1 και 1 j n. Κάθε τσάντα έχει ακριβώς n + 1 κορυφές. Παράδειγμα 19.1 Για το πλέγμα Γ 3 3 βρίσκουμε αποσύνθεση μονοπατιού με 4 κορυφές σε κάθε τσάντα. Ορίζουμε τις τσάντες της αποσύνθεσης ως εξής: X 1 = {1, 2, 3, 4}, X 2 = {2, 3, 4, 5}, X 3 = {3, 4, 5, 6}, X 4 = {4, 5, 6, 7}, X 5 = {5, 6, 7, 8}, X 6 = {6, 7, 8, 9}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σχήμα 19.1: Πλέγμα 3 3. Γενικά tw() pw(), όμως το πλάτος μονοπατιού δεν μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από το δενδροπλάτος. Θεώρημα 19.1 Για κάθε γράφημα με n κορυφές, pw() = O(log n tw()). Απόδειξη: Εστω (T = (I, A), {X i : i I}) η δενδροαποσύνθεση του. Βρες αποσύνθεση μονοπατιού (P = (J, B), {Y j : j J}) του T με πλάτος O(log n). Η αποσύνθεση μονοπατιού του είναι η (P = (J, B), {Z j : j J}), όπου για κάθε j J, Z j = {X i : i Y j }. Κάθε v V () εμφανίζεται σε τσάντες που φτιάχνουν συνεκτικό υποδέντρο T v του T. Κάθε συνεκτικό υποδέντρο του T πρέπει να σκορπιστεί σε συνεχόμενο μονοπάτι του P. 19-1
Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 19-2 X i, i I Y j, j J X i T = (I, J) P = (J, B) Z j Σχήμα 19.2: Απεικόνιση της απόδειξης του Θεωρήματος 19.1. 19.2 Εναλλακτικοί ορισμοί πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Ορισμός 19.1 Εστω γράφημα = (V, E). Μια γραμμική διάταξη των κορυφών του είναι μια 1 1 απεικόνιση L : V {1, 2,..., V }. Η L ορίζει μια μετάθεση των κορυφών του. Για κάθε γραμμική διάταξη L ορίζουμε V L (i) = {u V L(u) i και v V τετοιο ώστε {u, v} E και L(v) > i}. Το V L (i) είναι ο αριθμός των κορυφών που απεικονίζονται σε ακέραιο μικρότερο ή ίσο με το i και συνδέονται με ακμή με κορυφές που απεικονίζονται σε ακέραιο μεγαλύτερο από το i. 1 2 i i + 1 n Σχήμα 19.3: Στο V L (i) θα ανήκουν όλες οι κορυφές που βρίσκονται πριν το i στη διάταξη και συνδέονται με ακμή με κορυφές που βρίσκονται μετά το i. Ορισμός 19.2 Το vertex separation number του γραφήματος για μια συγκεκριμένη γραμμική διάταξη L είναι ο μέγιστος αριθμός κορυφών ενός V L (i), vs L () = max { V L(i) }. 1 i V Το vertex separation number του είναι το ελάχιστο vertex separation number μιας γραμμικής διάταξης L vs() = min{vs L () L γραμμική διάταξη του V ()} Θεώρημα 19.2 Για κάθε γράφημα = (V, E), vs() = pw(). Απόδειξη: (i) Θα δείξουμε ότι pw() vs(). Εστω vs() = k και έστω L μια γραμμική διάταξη τέτοια ώστε vs L () = k. Ορίζουμε σύνολα X 1, X 2,..., X n ως εξής:
Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 19-3 X 1 = {L 1 (1)} X 2 = V L (1) {L 1 (2)}. X n = V L (n 1) {L 1 (n)}. Η (X 1, X 2,..., X n ) είναι αποσύνθεση μονοπατιού του. Αφού vs L () = k, V L (i) k, i {1, 2,..., n 1}. Συνεπώς, X i k + 1, i {1, 2,..., n}. Άρα, pw() k = vs(). (ii) Θα δείξουμε ότι vs() pw(). Εστω (X 1, X 2,..., X r ) αποσύνθεση μονοπατιού του. Κατασκευάζουμε γραμμική διάταξη L. Εστω X 1 = t και L : X 1 {1, 2,..., t}. Επεκτείνουμε την L 1 1 στο V ως εξής: V X 1 ; for i 2 to r do Y X i \ V ; while Y do L(y) V + 1, για αυθαίρετο y Y ; V V {y}; Y Y \ {y}; end end Τοποθετούμε στη διάταξη πρώτα τα στοιχεία του X 1, μετά τα στοιχεία του X 2 \X 1, του X 3 \(X 2 X 1 ), κ.ο.κ. Για τη διάταξη που ορίσαμε ισχύει ότι vs L () pw(). Παράδειγμα 19.2 Εφαρμογή του πρώτου μέρους της απόδειξης του Θεωρήματος 19.2. e d f c a b (i) 1 2 3 4 5 6 c b a e d f Σχήμα 19.4: Μια μετάθεση των κορυφών του. Για τη γραμμική διάταξη L στο Σχήμα 19.4 υπολογίζουμε το V L (i), i {1, 2, 3, 4, 5}
Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 19-4 V L (1) = {c}, V L (2) = {c, b}, V L (3) = {c, b, a}, V L (4) = {b, a}, V L (5) = {b}. Ισχύει ότι vs L () = 3 Ορίζουμε τις τσάντες τις αποσύνθεσης μονοπατιού: X 1 = {L 1 (1)} = {c} X 2 = V L (1) {L 1 (2)} = {c} {b} = {b, c} X 3 = V L (2) {L 1 (3)} = {b, c} {a} = {a, b, c} X 4 = V L (3) {L 1 (4)} = {c, b, a} {e} = {a, b, c, e} X 5 = V L (4) {L 1 (5)} = {b, a} {d} = {a, b, d} X 6 = V L (5) {L 1 (6)} = {b} {f} = {b, f} και βλέπουμε ότι pw() 3 = vs L () Αν βάλουμε τις κορυφές σε διαφορετική διάταξη βλέπουμε ότι vs() = pw() = 1. f b e c a d Σχήμα 19.5: Μια μετάθεση των κορυφών του σύμφωνα με τη σειρά που εμφανίζονται στο μονοπάτι. Ορισμός 19.3 Δύο υπογραφήματα A, B του αγγίζονται αν V (A) V (B) ή αν υπάρχει ακμή {u, v} E() έτσι ώστε u V (A) και v V (B) Ορισμός 19.4 Βάτος (bramble) στο είναι ένα σύνολο συνεκτικών υπογραφημάτων του που αγγίζονται ανά δύο. Ενα σύνολο S V () καλείται σύνολο κρούσης (hitting set) της βάτου B, αν το S τέμνει κάθε στοιχείο της B. Τάξη της B είναι το ελάχιστο μέγεθος ενός συνόλου κρούσης. Bramble number (αριθμός βάτου) είναι η μέγιστη τάξη μιας βάτου στο, συμβολίζεται με bn(). Στο Σχήμα 19.6 φαίνεται μια βάτος που αποτελείται από τα 4 συνεκτικά υπογραφήματα του τα οποίο αγγίζονται ανά δύο είτε με κοινή κορυφή (A, B και B, C) είτε με κοινή ακμή ((A, C), (A, D), (B, D) και (C, D)). Η τάξη της βάτου είναι τρία αφού υπάρχει σύνολο με τρεις κορυφές που τέμνει κάθε στοιχείο της βάτου και δεν υπάρχει σύνολο κρούσης με λιγότερες από τρεις κορυφές. B A C Σχήμα 19.6: Βάτος που αποτελείται από 4 συνεκτικά υπογραφήματα του. D
Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 19-5 Θεώρημα 19.3 (Seymour, Thomas 1993) Για κάθε γράφημα, tw() = bn() 1. Θα δείξουμε μόνο την κατεύθυνση tw() bn() 1. Απόδειξη: Εστω β βάτος του μέγιστης τάξης. Εστω T το δέντρο μιας δενδροαποσύνθεσης του. Για A β, έστω T A το υπογράφημα του T που ενάγεται από τις κορυφές των οποίων οι τσάντες περιέχουν κορυφές του A. Αφού το A είναι συνεκτικό, πρέπει και το T A να είναι συνεκτικό. Αν A, B β τότε τα A και B αγγίζονται άρα V (T A ) V (T B ). Τα υποδέντρα του συνόλου {T A : A β} τέμνονται ανά δύο (ιδιότητα Helly), άρα υπάρχει x V (T A ), δηλαδή η τσάντα με δείκτη x περιέχει μια κορυφή από κάθε V (T A ), A β. Αυτή η τσάντα είναι σύνολο κρούσης για τη βάτο β, άρα έχει μέγεθος τουλάχιστον bn(). Άρα, tw() bn() 1. A β