Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 320: Δυναμική Ανάλυση των Κατασκευών Ακαδημαϊκό Έτος 2005-6, Χειμερινό Εξάμηνο Τελική Εξέταση 8:30-11:30 μ.μ. (180 λεπτά) Τετάρτη, 14 Δεκεμβρίου, 2005 Όνομα: Επίθετο: Αριθμός Ταυτότητας: E-mail: Διαβάστε προσεκτικά τις πιο κάτω οδηγίες, χωρίς να γυρίσετε σελίδα προτού αρχίσει η εξέταση, και υπογράψτε: 1. Δεν επιτρέπεται η χρήση οποιουδήποτε άλλου χαρτιού πέρα από τα φύλλα χαρτιού που θα σας δοθούν. 2. Κατά την διάρκεια της εξέτασης απαγορεύεται: οποιαδήποτε συνεργασία, συνομιλία ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο επικοινωνία με συμφοιτητές σας η ανταλλαγή οποιωνδήποτε αντικειμένων με συμφοιτητές/ριες σας η χρήση κινητών τηλεφώνων τα οποία θα πρέπει να απενεργοποιηθούν αμέσως η αποχώρηση από το χώρο της εξέτασης κατά τα πρώτα 60 λεπτά και τα τελευταία 15 λεπτά. 3. Ισχύουν όλοι οι Κανόνες Εξετάσεων του Πανεπιστημίου τους οποίους έχετε υποχρέωση να γνωρίζετε. Έχω διαβάσει προσεκτικά και κατανοήσει πλήρως τις πιο πάνω οδηγίες. Υπογραφή:.. Πρόβλημα Μονάδες Βαθμός 1 12 2 22 3 24 Τελικός Βαθμός: 4 42 Δυναμική Ανάλυση των Κατασκευών: 1/6
Άσκηση 1: [ 12 μονάδες ] Κατά τη δοκιμή ελεύθερης ταλάντωσης ενός ΜΒΣ, μάζας 50 τόνων (1 ton=1000 kg), ασκείται οριζόντια δύναμη μεγέθους 1ΜΝ, η οποία προκαλεί οριζόντια μετακίνηση στη κατασκευή. Αφαιρώντας απότομα την εξωτερικά επιβαλλόμενη δύναμη, η κατασκευή ταλαντώνεται ελεύθερα με μετακινήσεις όπως καταγράφονται στο πιο κάτω διάγραμμα. Ζητείται όπως προσδιορίσετε: (α) την δυσκαμψία και την ιδιοπερίοδο της κατασκευής. (β) το λόγο και το συντελεστή απόσβεσης της κατασκευής. ui 2πζ (Υπενθυμίζεται ότι ο λόγος δύο διαδοχικών ακρότατων μετακίνησης ισούται με: e, αλλά είναι ui+ 1 προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε, για καλύτερη ακρίβεια, τη μείωση μετά από περισσότερους κύκλους.) Πέτρος Κωμοδρόμος, 2005, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 2/6
Άσκηση 2: [ 22 μονάδες ] Λαμβάνοντας υπόψη την αμελητέα αξονική παραμορφωσιμότητα των υποστυλωμάτων, την ακαμψία των οριζοντίων μελών και τη διαφραγματική λειτουργία των πλακών το πιο κάτω τριώροφο κτίριο μπορεί να προσομοιωθεί σαν σύστημα τριών (3) βαθμών ελευθερίας με συμπεριφορά διατμητικού προβόλου για ανεξάρτητη σεισμική διέγερση στην X ή στην Y διεύθυνση. Η μάζα του 1 ου ορόφου είναι 100 τόνοι και των δύο άλλων ορόφων είναι 60 τόνοι (1 ton = 1000 kg). (Προσοχή στην αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας) (α) Ζητείται να σχηματίσετε τα μητρώα μάζας και οριζόντιας δυσκαμψίας στην X διεύθυνση αν το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ισούται με 30 GPA. (β) Περιγράψτε λεπτομερώς πως μπορούν να προσδιοριστούν οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές αυτής της κατασκευής σε μια από τις δύο διευθύνσεις, χωρίς όμως να κάνετε οποιουσδήποτε υπολογισμούς. Επίσης, αναφέρετε τους τρόπους κανονικοποίησης των ιδιομορφών. (γ) Αν σας δοθούν οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές της κατασκευής στη X διεύθυνση, όπως πιο κάτω, προσδιορίστε το αντίστοιχο μητρώο απόσβεσης C x θεωρώντας απόσβεση Rayleigh και ορίζοντας τους λόγους απόσβεσης για την 1 η και 3 η ιδιομορφή ίσους με 3%. Επίσης, υπολογίστε το λόγο απόσβεσης που θα αντιστοιχεί στη 2 η ιδιομορφή για αυτό το μητρώο απόσβεσης κατά Rayleigh. ω ω ω 1x 2x 3x 1x = 19.55 rad / sec φ = 1.0 0.891 0.622 2x = 54.16 rad / sec φ = 1.0 0.165 1.107 3x = 95.37 rad / sec φ = 1.0 1.587 0.400 Y X u 1y u 2y u 3y Y u 1x 3.2 m m 1 =60 tons u 2x u 3x 3.5 m m 2 =60 tons m 3 =100 tons X 4 m Δυναμική Ανάλυση των Κατασκευών: 3/6
Άσκηση 3: [ 24 μονάδες ] Στο πιο κάτω διώροφο πλαίσιο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπεριφορά διατμητικού προβόλου με δύο βαθμούς ελευθερίας χωρίς απόσβεση, ασκείται εξωτερικά επιβαλλόμενη οριζόντια δύναμη P 0 για t>0 στο ύψος του 1 ου ορόφου. Έχοντας σαν δεδομένο τις ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές της κατασκευής, όπως πιο κάτω, όπου πρέπει απλά να υπολογίσετε το 2 ο στοιχείο της 2 ης ιδιομορφής: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης του πλαισίου. ω k 1 = 0.618 φ1 = 0.618 1.0 m ω k 2 = 1.618 φ2 = 1? m (β) Υπολογίστε τη μετακίνηση του 1 ου ορόφου λόγω της 2 ης (γ) Υπολογίστε τη μετακίνηση του 2 ου ορόφου λόγω της 1 ης ιδιομορφής. ιδιομορφής. (δ) Υπολογίστε τη συνολική σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων. m 2 = m u 2x P(t)=P 0 m 1 = m k 2 = k u 1x 3m k 1 = k 4 m Πέτρος Κωμοδρόμος, 2005, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 4/6
Άσκηση 4: [ 42 μονάδες ] Το πιο κάτω διώροφο πλαίσιο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει συμπεριφορά διατμητικού προβόλου με δύο βαθμούς ελευθερίας, υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση u (t) του εδάφους θεμελίωσης του. Η μάζα του 1 ου ορόφου είναι 70 τόνοι και του 2 ου ορόφου είναι 50 τόνοι (1 ton = 1000 kg). Οι διατομές των υποστυλωμάτων είναι τετραγωνικές 50 εκατοστών και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ισούται με 30 GPA. Θεωρείστε ότι ο λόγος απόσβεσης είναι 2% για κάθε ιδιομορφή. Οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές του πλαισίου είναι ως εξής: 1 1 g ω = 22.77 rad/sec φ = 0.502 1.0 2 2 ω = 50.23 rad/sec φ = -1.422 1 m 2 =50 tons u 2x 3m m 1 =70 tons u 1x 4 m (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης αυτού του πλαισίου, παρουσιάζοντας τα στοιχεία των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας, ενώ δεν χρειάζεται να αναπτύξετε το μητρώο απόσβεσης. m h(t) + c h(t) + k h(t) = m u (t) (β) Αν η λύση της ΔΕ g ενός ΜΒΣ, κάτω από την ίδια σεισμική διέγερση u (t), ισούται με h( t ) = h( t,, ), υπολογίστε τις μετακινήσεις των ορόφων λόγω της κάθε ιδιομορφής αλλά και συνολικά. g ωn ζ N (γ) Σας δίνετε πιο κάτω το φάσμα απόκρισης της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης, στο σχήμα της επόμενης σελίδας για λόγους απόσβεσης 0%, 2%, 5%, 10% κι 20%, και ζητείται όπως εκτιμήσετε: (i) τις μέγιστες μετακινήσεις των ορόφων. (ii) τη μέγιστη τέμνουσα βάσης. (iii) τη μέγιστη ροπή ανατροπής βάσης. (iv) τη μέγιστη ροπή στη βάση του κάθε υποστυλώματος του κάθε ορόφου. (v) τη μέγιστη σχετική μετακίνηση μεταξύ των δύο ορόφων. Δυναμική Ανάλυση των Κατασκευών: 5/6
(δ) Τέλος, από το φάσμα απόκρισης της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης, εκτιμήστε: (i) τη μέγιστη επιτάχυνση του εδάφους αυτής της σεισμικής διέγερσης. (ii) τη μέγιστη μετακίνηση του εδάφους αυτής της σεισμικής διέγερσης. (Σημείωση: Το φάσμα απόκρισης δίνεται σε ίντσες αντί μέτρα ή εκατοστά, 1 in = 2.54 cm, και για λόγους απόσβεσης 0%, 2%, 5%, 10% κι 20%.) Πέτρος Κωμοδρόμος, 2005, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 6/6