ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μηχανικά χαρακτηριστικά του ανθρώπινου σώµατος κατά τις κατακόρυφες κρούσεις ΚΟΛΛΙΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΑΕΜ: 1156 Επιβλέπων: Καθηγητής Μέλη εξεταστικής επιτροπής: Καθηγητής Αν. Καθηγητής Νίκος Χαραλαµπάκης Γιώργος Μανώλης Ευριπίδης Παπαµίχος ΜΑΡΤΙΟΣ 010
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 5 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ... 7 1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 7 1. ΙΑΜΗΚΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΡΑΒ ΟΥΣ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΕΛΑΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΘΕΩΡΙΕΣ... 7 1. ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΘΡΑΥΣΗΣ ΤΟΥ HOPKINSON... 9 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟ Ε ΑΦΟΣ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ... 14.1 ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ... 14. ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ... 15. ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟ ΗΜΑΤΟΣ... 16 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ... 17.1 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ... 17. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ... 0. ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ... 4.4 ΚΩ ΙΚΑΣ ΣΤΗ MATLAB... 4.5 ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ... 7 4 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ... 7 4.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ... 7 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ... 9 4..1 ΧΡΟΝΟΣ ΕΠΑΦΗΣ ΜΕ ΤΟ Ε ΑΦΟΣ... 9 4.. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΜΑΖΩΝ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ... 40 4.. ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ... 49 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ... 50 5.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΧΟΥΣΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 50 5. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΥΠΟ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ... 5 5. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ... 5 5.4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ... 54 5.5 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ... 54 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 56 7 ΑΝΑΦΟΡΕΣ... 57
Περίληψη Στην εργασία αυτή προτείνεται ένα µοντέλο του ανθρώπινου σώµατος για τη µελέτη της αλληλεπίδρασης µε το έδαφος κατά τις κατακόρυφες κρούσεις. ιερευνήθηκε η απόκριση του ανθρώπινου σώµατος µέσω ενός συστήµατος τεσσάρων ελατηρίων και τεσσάρων µαζών. Έγινε βιντεοανάλυση (00Hz) πτώσης από ύψος 0cm µε προσγείωση και πτώσης µε άλµα, που πραγµατοποιήθηκαν από υγιείς εξεταζόµενους. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης (κινηµατικά των µελών του σώµατος) µαζί µε τα µεγέθη των µαζών και των σταθερών των ελατηρίων (δυσκαµψίες και αποσβέσεις) χρησιµοποιήθηκαν ως δεδοµένα εισαγωγής στο προτεινόµενο µοντέλο. Βρέθηκε ότι, το µοντέλο λειτουργεί ικανοποιητικά µε σύγκριση µε αποτελέσµατα προηγούµενων µελετών που πραγµατοποιήθηκαν µε διαφορετικές µεθοδολογίες. Επειδή το ανθρώπινο σώµα δε συµπεριφέρεται στις περισσότερες περιπτώσεις οµαλά, η προσοµοίωσή του µε ένα µοντέλο είναι αρκετά δύσκολη. Εντούτοις, σε γενικές γραµµές βρέθηκε η τάξη µεγέθους των χαρακτηριστικών του µοντέλου. Το προτεινόµενο µοντέλο θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για την κατασκευή και αξιολόγηση δαπέδων υπό προϋποθέσεις. Επίσης, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για διαφορετικές µορφές άσκησης και για το πως το ανθρώπινο σώµα µπορεί να προσοµοιωθεί για κάθε µία από αυτές.
Ευχαριστίες Κλείνοντας τη συγγραφή αυτής της εργασίας, που είναι το τελικό στάδιο των σπουδών στο τµήµα Πολιτικών Μηχανικών του ΑΠΘ, η συγγραφέας επιθυµεί να εκφράσει τις ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή κύριο Χαραλαµπάκη για την εµπιστοσύνη και την υποµονή που έδειξε καθ όλη τη διάρκεια της πραγµατοποίησής της. Οι ευχαριστίες δε µπορεί να µην επεκταθούν προς όλα εκείνα τα άτοµα και τους θεσµούς που συνέβαλλαν στην ολοκλήρωση αυτού του κύκλου σπουδών. Ειδικές ευχαριστίες στο προσωπικό του εργαστηρίου Βιοκινητικής του ΤΕΦΑΑ ΑΠΘ που παρείχε τη δυνατότητα και τη γνώση για να πραγµατοποιηθούν οι µετρήσεις και οι αναλύσεις της κίνησης για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας. Τέλος, οι ευχαριστίες επεκτείνονται στον «πρώτο κύκλο» ανθρώπων, που δε µπορεί να είναι άλλοι από τους γονείς και τα τέσσερά µου αδέρφια και απλώνονται στους κολλητούς, φίλους, συµφοιτητές κλπ. 4
Εισαγωγή Η αλληλεπίδραση του ανθρώπινου σώµατος µε το έδαφος κατά τις καθηµερινές δραστηριότητές του (βάδιση, τρέξιµο, άνοδος και κάθοδος κλιµάκων ή κατά τη διάρκεια αλµάτων κλπ) παρουσιάζει ιδιαίτερο ερευνητικό ενδιαφέρον. Ο λόγος είναι ότι ακόµα και στις πιο ήπιες µορφές κίνησης οι δυνάµεις αντίδρασης του δαπέδου ξεπερνούν πολλές φορές κατά πολύ το βάρος του σώµατος. Για παράδειγµα, κατά τη βάδιση οι δυνάµεις αντίδρασης για κάθε πόδι στήριξης είναι της τάξης του 110% του βάρους, σε ελαφρύ τρέξιµο ξεπερνούν το 0%, ενώ κατά την προσγείωση από ύψος της τάξης των 0-40 cm, µπορεί και να υπερβαίνουν το δεκαπλάσιο του βάρους. Προκειµένου να ανταποκριθεί σε αυτές τις ανάγκες, το ανθρώπινο σώµα διαθέτει σειρά από µηχανισµούς που λειτουργούν ως συστήµατα απόσβεσης των κραδασµών και συστήµατα παραγωγής έργου για την εφαρµογή των δυνάµεων που απαιτούνται. Κάποια από αυτά τα συστήµατα, όπως είναι τα µαλακά µόρια κάτω από το πέλµα, το αρθρικό υγρό που βρίσκεται µέσα στις αρθρώσεις, οι σύνδεσµοι και τα οστά, λειτουργούν αποκλειστικά ως απορροφητικοί µηχανισµοί χωρίς να έχουν τη δυνατότητα να ανταποδώσουν ενέργεια. Το µυοτενόντιο όµως σύστηµα, έχει διπλό ρόλο. Λειτουργεί ως απορροφητικός µηχανισµός µε µεταβαλλόµενη αντίσταση στην πρώτη φάση της επαφής του ποδιού µε το έδαφος, έως να σταµατήσει πλήρως την κίνηση προς τα κάτω, και στη συνέχεια, εφαρµόζει δύναµη για να επιταχύνει το σώµα προς τα επάνω, ή προς τα επάνω και εµπρός. Η απόδοση αυτού του συστήµατος εξαρτάται από τα µέτρα ελαστικότητας που έχει κάθε µυς µαζί µε τους τένοντές του, και από τη δυνατότητα εφαρµογής δύναµης. Αυτά καθορίζουν και τη µετατόπιση του σώµατος προς τα κάτω κατά την προσγείωση και προς τα επάνω κατά την απογείωση. Οι µύες µε τους τένοντές τους λειτουργούν επάνω στις αρθρώσεις. Κάποιοι δε από αυτούς, κυρίως των άνω και των κάτω άκρων λειτουργούν και σε δύο αρθρώσεις. Κυρίαρχες αρθρώσεις στις κινήσεις του σώµατος επάνω σε κάποιο δάπεδο είναι αυτή του ισχίου, του γονάτου και η ποδοκνηµική άρθρωση, οι οποίες λειτουργούν ταυτόχρονα µεν, αλλά µε διαφορετικό τρόπο και ένταση 5
κάθε µια. Σοβαρό ρόλο σε τέτοιες κινήσεις παίζει επίσης το σύστηµα «πέλµα» το οποίο αποτελείται από πολλά µικρά οστά που συνδέονται µε συνδέσµους. Λόγω της πολυπλοκότητας του ανθρώπινου κινητικού µηχανισµού και του κινδύνου που διατρέχει κάθε φορά που το πέλµα προσγειώνεται, τα δάπεδα και τα υποδήµατα έχουν γίνει αντικείµενο πολλών ερευνητικών µελετών. Μια στοιχειώδης έρευνα στην ηλεκτρονική τράπεζα ScienceDirect για αθλητικά υποδήµατα έδειξε περισσότερα από 6.000 άρθρα, ενώ βρέθηκαν περισσότερα από 1.900 άρθρα σχετικά µε επιφάνειες προσγείωσης στον αθλητισµό. Στην προσπάθειά τους οι ερευνητές να κατανοήσουν την λειτουργία του µηχανισµού κατά την προσγείωση ή και κατά την απογείωση, έχουν περιορισθεί κυρίως στην παρατήρηση, ενώ περιορισµένος αριθµός ερευνητών προσπάθησε να µοντελοποιήσει την αλληλεπίδραση του ανθρώπινου κινητικού µηχανισµού µε το περιβάλλον του. Στην εργασία αυτή προτείνεται ένα µοντέλο του ανθρώπινου σώµατος για τη µελέτη της αλληλεπίδρασης µε το έδαφος κατά τις κατακόρυφες κρούσεις. Η απόκριση του ανθρώπινου σώµατος µέσω ενός συστήµατος τεσσάρων ελατηρίων και τεσσάρων µαζών µπορεί να µας οδηγήσει σε σηµαντικά συµπεράσµατα. Τα µεγέθη των µαζών και των σταθερών των ελατηρίων (δυσκαµψίες και αποσβέσεις) εισάγονται αρχικά βάσει της βιβλιογραφίας για να έχουµε µια πρώτη εικόνα της απόκρισης του ανθρώπινου σώµατος. Στο πειραµατικό στάδιο που ακολουθεί το θεωρητικό προσδιορίζονται τελικά τα µεγέθη του µοντέλου βάσει µετρήσεων. 6
1 Θεωρητική προσέγγιση των µηχανισµών Αρχικά θεωρούµε τα µέλη του ανθρώπινου σώµατος ως ράβδους και εξετάζουµε τη µετάδοση των κρούσεων µέσω ταλαντώσεων. Ακριβέστερα, ως ράβδος µας ενδιαφέρει κυρίως η σπονδυλική στήλη ενώ για απλοποίηση της έρευνας τα υπόλοιπα µέλη µας απασχολούν µόνο ως µάζες συνδεδεµένες µε ελατήρια. Για παράδειγµα, δε θα µελετήσουµε τη µετάδοση της κρούσης µέσα στην κνήµη αλλά πως µεταδίδεται από τις αρθρώσεις που συνδέονται µε την κνήµη στο υπόλοιπο σώµα. Αντίθετα, θα µελετήσουµε τη µετάδοση του κρουστικού κύµατος στην περιοχή της σπονδυλικής στήλης. 1.1 Εξίσωση ταλάντωσης Οι επιµέρους µάζες του ανθρώπινου σώµατος συνδέονται, όπως αναφέρθηκε, µε ελατήρια. Το σύστηµα ελατηρίων- µαζών ακολουθεί την εξίσωση κίνησης η οποία εκφράζεται ως: m & + c& + k= 0, όπου m το µητρώο µάζας, c το µητρώο απόσβεσης και k το µητρώο δυσκαµψίας. 1. ιαµήκεις ταλαντώσεις σε ράβδους µε προσεγγιστικές ελαστοδυναµικές θεωρίες Σ αυτήν και στην επόµενη ενότητα θα προσπαθήσουµε να κατανοήσουµε την ανάπτυξη των τάσεων στη σπονδυλική στήλη που προσεγγιστικά θεωρείται ως ράβδος. Έστω λοιπόν ότι στο σχήµα 1 έχουµε µία ράβδο ενιαίας διατοµής και υποθέτουµε µια αξονική µετακίνηση u = u(, t). Η τροπή e είναι e u =. (.1) 7
Σε απουσία κίνησης και δυνάµεων η e είναι σταθερή και για τη ράβδο µε αµετάβλητη τάση σ ισχύει ο νόµος του Hooke σ = Ee (.) και οι υπόλοιπες συνιστώσες τάσης µηδενίζονται. Στη στατική κατάσταση οι ορθές τροπές συνδέονται µε την e e yy = e = ve (.) zz και οι διατµητικές τροπές e y, e z και e yz µηδενίζονται. u(,t) Η επίπεδη διατοµή στην αρχική θέση µετακινείται στη διεύθυνση κατά u(,t) Σχήµα 1: ιαµήκης κίνηση ράβδου ενιαίας διατοµής Στην πιο απλή θεωρία διαµήκων ταλαντώσεων σε ράβδους η σ υποθέτουµε ότι είναι η µόνη µη µηδενική συνιστώσα τάσης και οι σχέσεις (.) και (.), ακόµα και αν η συµπεριφορά είναι δυναµική, µεταβάλλουν την e και την σ ως προς και t. Στην πραγµατικότητα οι υποθέσεις είναι προσεγγιστικές όπως βέβαια και η υπόθεση ότι το u εξαρτάται µόνο από το και t. Σε µια πιο βελτιωµένη ανάλυση εξηγείται ότι από τη στρέβλωση της αρχικής διατοµής στο η µετακίνηση u εξαρτάται και από άλλες χωρικές µεταβλητές. Επίσης εισάγονται οι µετακινήσεις στην εγκάρσια διεύθυνση µαζί µε τις τάσεις σ yy, σ zz, σ yz, σ z, σ y οι οποίες δεν είναι παντού µηδενικές. Με την υπόθεση ότι η σ είναι η µόνη µη µηδενική τάση η εξίσωση κίνησης στη διεύθυνση είναι σ u = ρo. (.4) t Από τις σχέσεις (.1), (.) και (.4) οδηγούµαστε µε απαλοιφή των e και σ στην εξίσωση κύµατος u 1 = c u, (.5) t 8
όπου η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος c δίνεται ως E c=. ρ Οι σχέσεις (.) δεν εισάγονται στη βασική θεωρία και εξυπηρετούν µόνο στο να ορίσουν τις e yy και e zz αφού η u(,t) έχει βρεθεί. Η γενική λύση της (.5) είναι u = f ( t / c) + g( t+ / c), (.6) όπου οι f και g παριστούν στιγµιαία κύµατα διαδιδόµενα αντιστοίχως στις διευθύνσεις ± µε ταχύτητα c. Επειδή η θεωρία είναι προσεγγιστική τίθεται το ερώτηµα αν είναι και ρεαλιστική. Αυτό το ερώτηµα µπορεί µόνο να απαντηθεί µε αναφορά σε πιο ακριβείς θεωρίες που δείχνουν ότι η (.6) αποτελεί µια ικανοποιητική αναπαράσταση της διαµήκους µετακίνησης εφόσον οι φυσικές ποσότητες όπως η µετακίνηση u είναι πολύ µικρές. Ακριβέστερα, δεν θα έπρεπε να υπάρχουν µεγάλες αποκλίσεις του u για αποκλίσεις του που είναι της τάξεως του α. Το α είναι ένα µήκος που χαρακτηρίζει τις διαστάσεις της διατοµής της ράβδου (π.χ. την ακτίνα µιας κυκλικής ράβδου). o 1. Το πείραµα θραύσης του Hopkinson Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγµα βασισµένο στη θεµελιώδη θεωρία είναι το πείραµα θραύσης του Hopkinson, ο οποίος στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα χρησιµοποίησε την παρακάτω πειραµατική διάταξη για µελέτες πάνω στη δυναµική θραύση. Περιγραφή του πειράµατος: Ένα καλώδιο είναι κρεµασµένο κάθετα και στο =0 φέρει έναν ελαφρύ δίσκο. Μια µάζα Μ έχει τη δυνατότητα να διατρέχει το καλώδιο και προσκρούει στο δίσκο στο =0 µε ταχύτητα v o (σχήµα ). Η θεωρία είναι προσεγγιστική αφού λόγω του λόγου του Poisson οι συνιστώσες των εγκάρσιων επιταχύνσεων είναι µη µηδενικές. Εξάλλου επειδή υποθέτουµε ότι σ yy = σ y = σ yz = 0, η εξίσωση κίνησης κατά τη διεύθυνση y (αντίστοιχα και κατά τη διεύθυνση z) δεν ικανοποιείται. 9
=l M v o =0 Σχήµα :Πείραµα θραύσης του Hopkinson Υποθέτουµε ότι το καλώδιο έχει µήκος l. Από τη στιγµή της κρούσης, για t=0, έως t=l/c δηµιουργούνται µόνο ανερχόµενα κύµατα στο =0 κι έτσι η µετακίνηση της µάζας Μ στο καλώδιο δίνεται ως u = f ( t / c). Προσδιορισµός της f: Η τάση είναι σ = E( u / ) =ρ cf '( t / c), (.7) o κι έτσι για =0 σ = ρ o cf '( t), και η συνολική δύναµη που δρα στη µάζα είναι F = ρ caf o '( t), όπου Α είναι το εµβαδόν διατοµής του καλωδίου. Η µετακίνηση της µάζας στο τέλος του καλωδίου είναι f(t), και έτσι η επιτάχυνση της µάζας Μ είναι f (t). Σύµφωνα µε την εξίσωση κίνησης του Μ, αγνοώντας τη βαρύτητα, είναι και µε πρώτη ολοκλήρωση Mf ''( t) = ρ caf '( t), f '( t) o ρo cat / M = Be, όπου Β είναι µια σταθερά. Ωστόσο αφού η f (t) είναι η ταχύτητα του Μ µε αρχική τιµή v o, προκύπτει ότι Β= v o και 10
t 0) έχω f '( t) ρocat / M = voe. (.8) Με δεύτερη ολοκλήρωση και µε f(0)=0 (το καλώδιο είναι αδιατάραχτο για Mvo (1 e ρ oca f ( t) = 0, ρocat / M Και η f και η f είναι αρνητικές όπως θα περιµέναµε. ), ( t 0), ( t 0). (.9) Τελικά η τάση στο καλώδιο που δίνεται από την σχέση (.7) είναι εφελκυστική κάτι που επίσης περιµέναµε, ρ ca( t / c) ρ cv e o o o, ( t / c), σ = (.10) 0, ( t < / c). Σύµφωνα µε την (.10) ο παλµός αυξάνεται απότοµα στην αρχή του κύµατος =ct και ακολουθείται από µια εκθετική ουρά. Σχήµα :Κατανοµή τάσης σε επίµηκες καλώδιο µε κρούση στο άκρο Το πρόβληµα περιγράφεται από την (.9) και το σχήµα και διαρκεί έως χρόνο t = T όπου Τ = l/c. Ανάκλαση του παλµού: Για t = T η εφελκυστική τάση µε µέτωπο κύµατος πλάτους ρ ο cv o φτάνει στο τέλος του καλωδίου = l και λαµβάνει χώρα µια εξελισσόµενη ανάκλαση. Υποθέτουµε ότι στο = l το καλώδιο στηρίζεται άκαµπτα και έτσι για = l είναι u (l, t) = 0. Για Τ < t < Τ έχουµε u = f ( t / c) + g( t+ / c), (.11) 11
όπου η f ορίστηκε στην εξίσωση (.9) και η g θα οριστεί. Για t > T είναι απαραίτητο να λάβουµε υπ όψιν τις ανακλάσεις στο = 0. εν υπάρχει δυσκολία στην θεωρία, όµως είναι δύσκολη η αλγεβρική επίλυση για κάθε ανάκλαση που συµβαίνει στο Τ, Τ, Τ κτλ. Αφού u = 0 για = l, από την 11 προκύπτει για Τ < t < Τ f ( t l / c) + g( t+ l / c) = 0 (.1) και g( t+ / c) = και έτσι για t > (l- ) / c f [ t (l ) / c], t > (l ) / c, 0, T < t < (l ) / c, u = f ( t / c) f ( t (l ) / c). Έχει ενδιαφέρον να υπολογίσουµε την τάση στο = l. Από τα u προηγούµενα και επειδή σ = E προκύπτει για Τ < t < T και για = l σ { f '[ t l / c] + f '[ t (l ) / c] } = cf '( t T ) = ρ ρ o c o και έτσι µέσα στο χρόνο Τ < t < Τ, η τάση στο = l είναι διπλάσια του επικείµενου παλµού που ξεκινά όµως στο t = T αντί t = 0. Η µέγιστη τάση εµφανίζεται για t = T + 0 δίνεται ως σ = ρ cv. (.1) o o Αυτή η ανάλυση προσπαθεί να εξηγήσει πειραµατικά αποτελέσµατα που ο Hopkinson τα ερµήνευσε βάσει της αστάθειας των καλωδίων, π.χ. καλώδια που συµπεριφέρονταν ελαστικά για σ < σ ο και έσπαγαν όταν η σ έφτανε την σ ο. Για ταχύτητες v o µικρότερες της ν 1 δεν παρατηρούνταν αστοχία ενώ για ταχύτητες v < v < επερχόταν αστοχία στο στηριζόµενο άκρο = l. Εδώ η ν o 1 είναι µια 1 v 1 ποσότητα πειραµατικά ορισµένη. Για ταχύτητες µεγαλύτερες της ν 1 η αστοχία παρατηρούταν κοντά στο άκρο = 0. Αυτά τα πειραµατικά αποτελέσµατα είναι συνδεδεµένα τελικά µε την θεωρία όπου η ν 1 ορίζεται ως σ ο /ρ ο c. Ρεαλιστικότερη άποψη του παλµού τάσης: Το ασυνεχές µέτωπο κύµατος που εµφανίζεται στο σχήµα είναι µια εξιδανικευµένη µορφή του πραγµατικού παλµού τάσης που υπάρχει στο καλώδιο κατά το αρχικό διάστηµα 0 t T. Για παλµούς µε µεγάλες αποκλίσεις τάσης, τροπής και µετατόπισης που συµβαίνουν σε απόσταση από τα άκρα του καλωδίου µεγαλύτερη της διαµέτρου του, η βασική θεωρία των διαµήκων 1
κυµάτων δεν ισχύει. Λεπτοµερέστερες θεωρίες δείχνουν ότι όλα τα διαµήκη κύµατα που εµφανίζονται σε ελαστικά υλικά συνοδεύονται από διαφορά φάσης που εξαρτάται από τα γεωµετρικά δεδοµένα της διατοµής. Οι συνέπειες της διαφοράς φάσης εµφανίζονται εντονότερα στην περιοχή της αρχικής οξείας ασυνέχειας και εξοµαλύνονται στη συνέχεια. Το σχήµα 4 δίνει µια ρεαλιστικότερη άποψη του κύµατος για το πείραµα του Hopkinson. Η αρχική ασυνέχεια έχει µεγαλύτερο εύρος και οι ταλαντώσεις στην ουρά είναι συνέπεια της διαφοράς φάσης. Η µέγιστη τάση είναι και εδώ ρ ο cv ο αφού το πλάτος του κύµατος, που ορίζεται από το w µεταβάλλεται έντονα στις πρώτες διαµέτρους και ασθενέστερα στη συνέχεια. Όταν το κύµα φτάσει στο = l, το w ορίζεται από το πλάτος µερικών διαµέτρων και το κύµα περιγράφεται από τη θεµελειώδη θεωρία και το σχήµα. Γι αυτό το λόγο το επιχείρηµα του Hopkinson για τη θραύση παραµένει θεωρητικά αποδεδειγµένο. Σχήµα 4:Ρεαλιστικότερη άποψη του σχήµατος λόγω πραγµατικών γεωµετρικών δεδοµένων 1
Κρούσεις µε το έδαφος και ανθρώπινο σώµα Κάθε φορά που υπάρχει επαφή του ποδιού µε το έδαφος εφαρµόζονται δυνάµεις. Αυτές οι δυνάµεις προκαλούν κρουστικά κύµατα που µεταδίδονται µέσω του µυοσκελετικού συστήµατος από το πόδι µέχρι και το κεφάλι. Τα κύµατα αυτά θα έχουν θεωρητικά τη µορφή που προσδιορίστηκε στην προηγούµενη ενότητα. Πρακτικά όµως, το σώµα αναπτύσσει αρκετούς µηχανισµούς για να ρυθµίσει τη µετάδοση κάθε κρούσης: οστά, χόνδροι, αρθρικά υγρά, µαλακά µόρια, κινήσεις αρθρώσεων και µυϊκή δραστηριότητα είναι κάποιοι από τους µηχανισµούς αυτούς. Έχουν µελετηθεί οι ιδιότητες της µετάδοσης κυµάτων µεµονωµένων ιστών, όµως τα χαρακτηριστικά του σώµατος σαν σύστηµα δεν είναι ακόµα ξεκάθαρα. Επίσης, υπάρχουν πληροφορίες για συνεισφορά των διαφορετικών επιφανειών πρόσκρουσης και της κίνησης των κάτω άκρων αλλά η επιρροή τους στη µετάδοση της κρούσης µέσω του σώµατος παραµένει υποθετική..1 Συνεισφορά του ανθρώπινου σώµατος Για τη µείωση της καταπόνησης κατά την κρούση του ανθρώπινου σώµατος µε το έδαφος έχουν γίνει πολλές µελέτες. Σε κάποιες απ αυτές, µελετάται η στάση του σώµατος, σε άλλες η γωνία του κάθε µέλους σε σχέση µε το έδαφος, σε άλλες η διαφοροποίηση της κρούσης ανάλογα µε τη µορφή της άσκησης κα. Για παράδειγµα, κατά τη διάρκεια του τρεξίµατος εφαρµόζονται δυνάµεις τάξης µεγέθους µεγαλύτερες απ ότι κατά τη διάρκεια της βάδισης (Kim et al., 199). Για κάθε µορφή άσκησης το µεταδιδόµενο κρουστικό κύµα απορροφάται σταδιακά στην πορεία του προς τα άνω. Συγκεκριµένα, στην περιοχή της κνήµης έχει απορροφηθεί το 50% του κύµατος, στην περιοχή του ισχίου το 80% ενώ στο κεφάλι έχει απορροφηθεί το 88% (Voloshin A.S., 1989). Η γωνία του γονάτου κατά τη διάρκεια της επαφής του ποδιού µε το έδαφος έχει µεγάλη επιρροή στην ικανότητα του σώµατος να µειώνει τη δύναµη 14
της κρούσης και να µεταφέρει οµαλά τη κρούση στο υπόλοιπο σώµα. Συγκεκριµένα, µεγαλύτερες γωνίες κάµψης κατά τη κρούση βελτιώνουν τη µείωση της καταπόνησης στο σώµα. Αυτό όµως συνεπάγεται πολύ µεγαλύτερη καταπόνηση της κνήµης (Lafortune et al., 1996). Επίσης, κατά τη διάρκεια της προσγείωσης η δύναµη κρούσης στο πόδι προσγείωσης είναι µικρότερη σε σχέση µε τη δύναµη στο άλλο πόδι. Αυτό δείχνει ότι υπάρχει µεταφορά δύναµης για τη µείωση της πιθανότητας τραυµατισµού του ποδιού προσγείωσης (Rambely et al., 007). Τέλος, υπάρχουν διαφορές ανάµεσα σε αθλητές και µη αθλητές. Για παράδειγµα, σε πτώση από 60 και 90 cm, αθλήτριες γυµναστικής εκτίθενταν σε µεγαλύτερες δυνάµεις αντίδρασης του εδάφους σε σχέση µε µη αθλήτριες (Seegmiller J.G. et al., 00).. Επιρροή του εδάφους Σχετικά µε την επιρροή του εδάφους, έχουν µελετηθεί ήδη υπάρχοντα δάπεδα κατά τη διάρκεια δραστηριοτήτων, έχουν όµως προταθεί και νέα, διαφορετικής συνθέσεως. Σε έρευνα που έγινε για το τρέξιµο σε τρεις διαφορετικές επιφάνειες (άσφαλτος, γρασίδι και ταρτάν στίβου) παρατηρήθηκε ότι στο γρασίδι το κρουστικό κύµα που παράγεται είναι κατά 5% αυξηµένο σε σχέση µε την άσφαλτο. Επίσης στο ταρτάν στίβου υπάρχει αύξηση, όµως µόνο 5% σε σχέση µε την άσφαλτο (Kim et al., 199). Για τα δάπεδα αθλοπαιδιών προτάθηκε µια νέα σύνθεση σκυροδέµατος αναµιγµένη µε ανακυκλωµένο ελαστικό. Η νέα σύνθεση µειώνει την κατακόρυφη αντίδραση του εδάφους (απορροφά µέρος του κρουστικού κύµατος). Ταυτόχρονα οµαλοποιεί το ρυθµό εκδήλωσης της αντίδρασης και καθυστερεί το χρόνο εκδήλωσης της µέγιστης τιµής της. Τα στοιχεία αυτά είναι πολύ σηµαντικά για τα πλεονεκτήµατα που προσφέρουν στα άτοµα που δραστηριοποιούνται σε τέτοιου είδους δάπεδα (Μπάτσιος Α. κ.ά., 009). Επιπλέον όµως, η δυσκαµψία του ποδιού µπορεί να µεταβάλλεται ανάλογα µε τη δυσκαµψία του εδάφους. ηλαδή το πόδι έχει τη δυνατότητα να διατηρεί τη συνολική δυσκαµψία της σειράς ποδιού- εδάφους σχετικά σταθερή. 15
Με αυτόν τον τρόπο ο συνολικός µηχανισµός για την ανταπόκριση στην κρούση κατά τη διάρκεια του τρεξίµατος ή της επιτόπου αναπήδησης δεν µεταβάλλεται για διαφορετικές επιφάνειες (Farley et al., 1998).. Επιρροή του υποδήµατος Ο τύπος του υποδήµατος επηρεάζει αρκετά τη δύναµη που εφαρµόζεται στο ανθρώπινο σώµα λόγω της κατακόρυφης κρούσης. Επειδή στην παρούσα εργασία δε θα ασχοληθούµε διεξοδικά µε τη µελέτη υποδηµάτων, συνοπτικά µπορούµε να αναφέρουµε τα εξής: Τα αθλητικά υποδήµατα παρέχουν µεγάλη προστασία και µείωση των δυνάµεων που εφαρµόζονται κατά την κρούση. Μελέτες δείχνουν ότι κατά τη διάρκεια της βάδισης (Lafortune et al., 199) και κατά τη διάρκεια του τρεξίµατος (Quoc et al., 010), µε τα αθλητικά υποδήµατα οι δυνάµεις που εφαρµόζονται µειώνονται αισθητά και οµαλοποιείται η καµπύλη εφαρµογής τους στο ανθρώπινο σώµα. Υποδήµατα µε τακούνι αυξάνουν τις δυνάµεις που εφαρµόζονται (ή καλύτερα δεν τις απορροφούν) και µειώνουν ταυτόχρονα την άνεση κατά τη διάρκεια της βάδισης (Yung-Hui et al., 005). Τέλος, υποδήµατα µε πλήρη εφαρµογή στο κάτω µέρος του πέλµατος (µε ειδικά ανατοµικά πρόσθετα) µειώνουν τη µέγιστη τιµή της δύναµης κατά 0% περίπου (Wei Hsien et al., 007). 16
Προτεινόµενο µοντέλο ανθρώπινου σώµατος Στην εργασία αυτή µελετάται η επιρροή της κατακόρυφης κρούσης στο ανθρώπινο σώµα από τη στιγµή της επαφής του κάτω άκρου µε το έδαφος µέχρι και την ολοκλήρωση της µετάδοσης των κρουστικών κυµάτων στο υπόλοιπο σώµα..1 Αντιστοιχία στοιχείων µοντέλου µε το ανθρώπινο σώµα Το µοντέλο που προσοµοιώνει το ανθρώπινο σώµα δεχόµαστε ότι αποτελείται από µάζες και ελατήρια και συγκεκριµένα: Στοιχείο µοντέλου Μάζα Μ1 Μάζα Μ Μάζα Μ Μάζα Μ4 Ελατήριο k1,c1 Ελατήριο k,c Ελατήριο k,c Ελατήριο k4,c4 Αντιστοιχία µε το ανθρώπινο σώµα Πέλµα Κνήµη Μηρός Άνω µέρος σώµατος Έδαφος, σόλα υποδήµατος, µαλακά µόρια πέλµατος Ποδοκνηµική άρθρωση (αστράγαλος) Άρθρωση του γόνατος Άρθρωση του ισχίου Πίνακας 1: Αντιστοιχία των µελών του ανθρώπινου σώµατος µε το προτεινόµενο µοντέλο 17
18 Σε µια πρώτη προσέγγιση θεωρούµε ότι τα κρουστικά κύµατα που διαπερνούν τις µάζες δεν επηρεάζουν τις εξισώσεις κίνησης του υπόλοιπου µοντέλου. Στην εργασία αυτή θα µελετηθούν µόνο τα κρουστικά κύµατα που επηρεάζουν το άνω µέρος του σώµατος, δηλαδή µόνο της µάζας Μ4. Το µοντέλο που προτείνεται παρουσιάζεται στο σχήµα 8. M M M1 k1 c1 k c k c 1 M4 k4 c4 4 Σχήµα 5:Μηχανικό µοντέλο προσοµοίωσης ανθρώπινου σώµατος Οι εξισώσεις κίνησης που περιγράφουν το µοντέλο είναι: 0. ) ( ) ( 0, ) ( ) ( ) ( ) ( 0, ) ( ) ( ) ( ) ( 0, ) ( ) ( 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + = + + = + + k c m k c k c m k c k c m k c k c m & & && & & & & && & & & & && & & & && (4.1)
Άνω µέρος σώµατος M4 k4 c4 Άρθρωση του ισχίου Μηρός M k c Άρθρωση γόνατος k c Ποδοκνηµική άρθρωση Κνήµη M k1 c1 Μαλακά µόρια πέλµατος, σόλα υποδήµατος, έδαφος Πέλµα M1 Σχήµα 6: Αντιστοιχία του µοντέλου µε το ανθρώπινο σώµα (δεξιά η αντιστοιχία των αρθρώσεων, αριστερά η αντιστοιχία των µαζών)
Ορίζουµε τα µητρώα µάζας, απόσβεσης και δυσκαµψίας: Μητρώο µάζας: = 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m M Μητρώο απόσβεσης: + + + = 4 4 4 4 1 0 0 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c c C Μητρώο δυσκαµψίας: + + + = 4 4 4 4 1 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k K Οι εξισώσεις (4.1) γράφονται τώρα ως = 0 + + K C M & & &. (4.). Αριθµητικά δεδοµένα Αριθµητικά δεδοµένα για τα ελατήρια Για την πρώτη επίλυση θα χρησιµοποιηθούν τα αριθµητικά δεδοµένα των Kim et al., 1994, που βασίζονται σε µοντέλο τριών ελατηρίων µε τρεις µάζες. Τα δεδοµένα αυτά προέκυψαν από µέτρηση σε διάδροµο γυµναστικής και είναι ο µέσος όρος τριών προσπαθειών ενός δείγµατος. Το µοντέλο έχει τα εξής χαρακτηριστικά:
k (N/m) C (N s/m) Σόλα υποδήµατος 45,7 174 Κνήµη και αστράγαλος 94100 444 Γόνατο και άνω µέρος 40100 5,9 Πίνακας : Χαρακτηριστικά ελατηρίων του µοντέλου των Kim et al. 1994 Για το µοντέλο µας δηλαδή οι τιµές θα είναι: Μαλακά µόρια πέλµατος, σόλα υποδήµατος, έδαφος Ποδοκνηµική άρθρωση (αστράγαλος) k (N/m) c (N s/m) 45,7 174 94.100 444 Άρθρωση του γόνατος 40.100 5,9 Άρθρωση του ισχίου 40.100 5,9 Πίνακας : Αρχικές τιµές των χαρακτηριστικών των ελατηρίων του προτεινόµενου µοντέλου Η υπόθεση ότι τα χαρακτηριστικά των αρθρώσεων γόνατος και ισχίου είναι όµοια, δεν επηρεάζει την επίλυση του συστήµατος. Εξάλλου αυτή είναι µια πρώτη προσέγγιση της απόκρισης του ανθρώπινου σώµατος κατά την κρούση. Οι τιµές που θα προσοµοιώνουν τελικά το µοντέλο θα προκύψουν από το πειραµατικό στάδιο. 1
Αριθµητικά δεδοµένα για τις µάζες Τα ποσοστά των µαζών ορίστηκαν σύµφωνα µε το σχήµα 10 (Diffrient et al., 1974). Εισάγεται ο µέσος όρος των ποσοστών των µαζών ανδρών και γυναικών. Συγκεκριµένα: Μ (%) Μ1 Πέλµα,7 Μ Κνήµη 9,7 Μ Μηρός Μ4 Άνω µέρος σώµατος 65,6 Ολικό ποσοστό 100 Πίνακας 4: Ποσοστά των τεσσάρων µαζών που απαρτίζουν το µοντέλο σε σχέση µε τη συνολική µάζα
Σχήµα 7: Κέντρα µάζας και ποσοστά µάζας των µελών του ανθρώπινου σώµατος (Diffrient et al., 1974)
. Αρχικές συνθήκες Για t=0 οι µετακινήσεις των µαζών είναι µηδενικές και έτσι 1 4 = 0, = 0, = 0, = 0. Αν υποθέσουµε ότι το σώµα κάνει ελεύθερη πτώση µέχρι τη στιγµή που το πόδι εφάπτεται στο έδαφος, η αρχική ταχύτητα κάθε µάζας εξαρτάται µόνο από το ύψος που το σώµα ξεκινάει την πτώση. ηλαδή v v v v 1 4 = = = = gh, gh, gh, gh. Επειδή οι µετρήσεις στο πειραµατικό µέρος πραγµατοποιήθηκαν για h=0,0m εισάγεται αρχικό ύψος 0,0m..4 Κώδικας στη Matlab Για την επίλυση των εξισώσεων (4.1) στο πρόγραµµα Matlab, οι εξισώσεις µετασχηµατίστηκαν και δόθηκαν τα αριθµητικά δεδοµένα. Ο κώδικας αποτελείται από ένα διάνυσµα 8 1 και συγκεκριµένα: 1 4 y =, y1 y y y4 4
5 όπου τα y 1, y, y, y 4 αναφέρονται στις πρώτες παραγώγους της θέσης των µαζών (δηλαδή είναι οι ταχύτητες τους). Έτσι, το διάνυσµα dy είναι: = 4 1 4 1 dy dy dy dy y y y y dy. Από τις εξισώσεις (4.1) έχω: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( 1 k y c k y y c m dy + =, και οµοίως για τις υπόλοιπες επιταχύνσεις των µαζών. Ο κώδικας εµφανίζεται στην επόµενη σελίδα.
function dy=soma(t,y) dy=zeros(8,1); M=70; m1=0.07*m ; m=0.097*m ; m=0.*m ; m4=0.656*m; k1=45.7 ; k=94100 ; k=40100 ; k4=40100; c1=174 ; c=444 ; c=5.9 ; c4=5.9; h=0.; v=sqrt(*9.81*h); dy(1)=y(5); dy()=y(6); dy()=y(7); dy(4)=y(8); dy(5)=1/m1*( c*( y(6)-y(5) )+k*(y()-y(1)) -c1*y(5) -k1*y(1)); dy(6)=1/m*( c*( y(7)-y(6) )+k*(y()-y()) -c*(y(6)-y(5)) - k*(y()-y(1))); dy(7)=1/m*( c4*( y(8)-y(7) )+k4*(y(4)-y()) -c*(y(7)-y(6)) - k*(y()-y())); dy(8)=1/m4*( -c4*( y(8)-y(7) )-k4*(y(4)-y())); [T,y]=ode45(@soma,[0 0.],[0 0 0 0 v v v v]); for i=1:size(t) dy(i,5)=1/m1*( c*( y(i,6)-y(i,5) )+k*(y(i,)-y(i,1)) - c1*y(i,5) -k1*y(i,1)); dy(i,6)=1/m*( c*( y(i,7)-y(i,6) )+k*(y(i,)-y(i,)) - c*(y(i,6)-y(i,5)) -k*(y(i,)-y(i,1))); dy(i,7)=1/m*( c4*( y(i,8)-y(i,7) )+k4*(y(i,4)-y(i,)) - c*(y(i,7)-y(i,6)) -k*(y(i,)-y(i,))); end dy(i,8)=1/m4*( -c4*( y(i,8)-y(i,7) )-k4*(y(i,4)-y(i,))); 6
.5 ιαγράµµατα Για µια µέση µάζα ανθρώπου (70 kg) και τις δεδοµένες τιµές των σταθερών των ελατηρίων και των αποσβέσεων προκύπτουν τα διαγράµµατα σε σχέση µε το χρόνο των µετακινήσεων, των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων των µαζών. Η επαφή του ποδιού µε το έδαφος διαρκεί περίπου 0,4 sec. Στα διαγράµµατα ο χρόνος σταµατάει στα 0, sec γιατί εκεί θεωρούµε προσεγγιστικά ότι τελειώνει η φάση της κρούσης και κυρίως της απορρόφησής της από το ανθρώπινο σώµα. Το ακριβές χρονικό διάστηµα που µας ενδιαφέρει (το διάστηµα κατά το οποίο το σώµα προσκρούει στο έδαφος) θα προσδιοριστεί από την πειραµατική διαδικασία. Μετακινήσεις Στο διάγραµµα 1 παριστάνονται συνολικά οι µετακινήσεις του κέντρου µάζας των τεσσάρων µαζών. Όπως προκύπτει δεν υπάρχουν µεγάλες διαφορές µεταξύ των µετακινήσεων των µαζών. Εξάλλου η µελέτη που δίνει τα συγκεκριµένα αποτελέσµατα αναφέρεται στη µελέτη του τρεξίµατος, όπου η απόσταση των µελών του ανθρώπινου σώµατος παραµένει σχετικά σταθερή κατά την κατακόρυφη κρούση. 7
ιάγραµµα 1: Μετακινήσεις των µαζών του ανθρώπινου σώµατος κατά την κατακόρυφη κρούση (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) Ταχύτητες Οι ταχύτητες, σε αντίθεση µε τις µετακινήσεις παρουσιάζουν σχετική διαφοροποίηση µεταξύ τους. Όπως προκύπτει από τα διαγράµµατα έως 6 η µάζα 4 (το άνω µέρος του σώµατος) έχει µια πιο οµαλά µεταβαλλόµενη ταχύτητα σε σχέση µε τις άλλες µάζες. Αυτό είναι λογικό, καθώς τα κρουστικά κύµατα φτάνοντας στο άνω µέρος του σώµατος έχουν απορροφηθεί κατά ένα ποσοστό. Για τις µάζες 1 και (πέλµα και κνήµη αντίστοιχα) παρατηρείται µια κοινή πορεία της ταχύτητας και αυτό οφείλεται στην εισαγωγή όµοιων ελατηρίων στο µοντέλο. Από το πειραµατικό στάδιο θα προκύψουν διαφορετικές τιµές για τα δύο ελατήρια. Εξάλλου, τα διαγράµµατα 1 έως 11 είναι ενδεικτικά και µας δίνουν µια 8
πρώτη προσέγγιση της απόκρισης του ανθρώπινου σώµατος κατά την κατακόρυφη κρούση. ιάγραµµα : Μεταβολή της ταχύτητας του πέλµατος κατά την κρούση 9
ιάγραµµα : Μεταβολή της ταχύτητας της κνήµης κατά την κρούση ιάγραµµα 4: Μεταβολή της ταχύτητας του µηρού κατά την κρούση 0
ιάγραµµα 5: Μεταβολή της ταχύτητας του άνω µέρους του ανθρώπινου σώµατος κατά την κρούση Ακολουθεί το διάγραµµα που εµφανίζει συγκριτικά όλες τις ταχύτητες των µαζών µελών του ανθρώπινου σώµατος. Παρατηρούµε πως σταδιακά καθώς ανεβαίνουµε η µεταβολή της ταχύτητας γίνεται οµαλότερη. 1
ιάγραµµα 6: Μεταβολή των ταχυτήτων των µαζών του ανθρώπινου σώµατος κατά την κρούση (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) Επιταχύνσεις Από τα διαγράµµατα 7 έως 11 των επιταχύνσεων µπορούµε να διακρίνουµε καθαρά πόσο µεγάλη διαφορά έχει η αρχική κρούση στη βάση του ποδιού και στο υπόλοιπο σώµα.
ιάγραµµα 7: Μεταβολή της επιτάχυνσης του πέλµατος κατά την κρούση ιάγραµµα 8: Μεταβολή της επιτάχυνσης της κνήµης κατά την κρούση
ιάγραµµα 9: Μεταβολή της επιτάχυνσης του µηρού κατά την κρούση ιάγραµµα 10: Μεταβολή της επιτάχυνσης του άνω µέρους του σώµατος κατά την κρούση 4
ιάγραµµα 11: Μεταβολή των επιταχύνσεων των µαζών του ανθρώπινου σώµατος κατά την κρούση (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα 11 η αρχική κρούση του ανθρώπινου σώµατος είναι της τάξεως του 15g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Επίσης, όπως φαίνεται, µόνο το πέλµα επιβαρύνεται µε το αρχικό αυτό κρουστικό κύµα. Τάσεις στη σπονδυλική στήλη Αν τέλος, θέλουµε να βρούµε τη µέγιστη τάση που αναπτύσσεται στη σπονδυλική στήλη, από την εξίσωση (.10) και για τα ακόλουθα δεδοµένα έχουµε: σ = ρ cv, o o 5
όπου: ρ ο η πυκνότητα της σπονδυλικής στήλης, E c= η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στη σπονδυλική στήλη, ρ o m v o = gh = 9,81 0, = 1, 98 η ταχύτητα µε την οποία το σώµα s προσκρούει στο έδαφος. Σύµφωνα µε τους Nuckley et al., 004 η πυκνότητα των οστών της σπονδυλικής στήλης και το µέτρο ελαστικότητας εξαρτώνται από την ηλικία και οι σχέσεις που τα συνδέουν µε αυτή είναι: ρ = 0,0001n + 0,01n+ 0, 11 όπου n η g ηλικία σε έτη και η πυκνότητα σε cm µέτρο ελαστικότητας εκφράζεται σε MPa. o και E = 0,047n + 6,7n+ 10, 46 όπου το Με τα δεδοµένα αυτά προκύπτει η µέγιστη τάση της σπονδυλικής στήλης σε σχέση µε την ηλικία (διάγραµµα 1). 0.7 σ (MPa) 0.6 0.5 5 10 15 0 5 0 Ηλικία (έτη) n ιάγραµµα 1: Μέγιστη τάση που εφαρµόζεται στη σπονδυλική στήλη σε σχέση µε την ηλικία 6
4 Πειραµατική διαδικασία 4.1 Ανάλυση της πειραµατικής διαδικασίας Για την εύρεση των χαρακτηριστικών του ανθρώπινου σώµατος πραγµατοποιήθηκαν εργαστηριακές µετρήσεις στο Εργαστήριο Βιοκινητικής του ΤΕΦΑΑ ΑΠΘ. Οι συµµετέχοντες εκτέλεσαν πτώσεις µε αναπήδηση και χωρίς αναπήδηση σε δύο διαφορετικά δάπεδα από ονοµαστικό ύψος 0cm. Το πραγµατικό ύψος διαφέρει από το ονοµαστικό και εξαρτάται από τον εξεταζόµενο και τη διάθεσή του να απογειωθεί από το αρχικό ύψος εφαρµόζοντας ανοδική δύναµη. Το αρχικό ύψος ορίστηκε 0cm διότι: Πτώση από µικρότερο ύψος δε δίνει χρόνο στον εξεταζόµενο να προσγειωθεί ταυτόχρονα µε τα δύο πόδια. Πτώση από µεγαλύτερο ύψος µπορεί να προκαλέσει κινδύνους σε µη γυµνασµένα άτοµα. Εξάλλου τα 0cm είναι ένα πολύ συνηθισµένο ύψος στις καθηµερινές δραστηριότητες του ανθρώπου. Αρκεί να σκεφτεί κανείς ότι το ρίχτι στην πλειοψηφία των κλιµάκων είναι 17-18cm. Οι προσγειώσεις έγιναν σε δύο διαφορετικά δάπεδα: άπεδο δυναµοδαπέδου υψηλής σκληρότητας και ακαµψίας Υπόστρωµα γυµναστικής πάχους cm τοποθετηµένο πάνω στο δυναµοδάπεδο. Καταγράφηκαν συνολικά οχτώ προσπάθειες κάθε εξεταζόµενου, ανά δύο όµοιες. ύο προσπάθειες προσγείωσης και δύο προσπάθειες προσγείωσης και άλµατος σε κάθε ένα από τα δύο δάπεδα. Η καταγραφή των προσπαθειών έγινε µε βιντεοκάµερα υψηλής ταχύτητας µάρκας CASIO µοντέλου FX1 (συχνότητα δειγµατοληψίας 00Hz). Στην έρευνα πήραν µέρος δύο εξεταζόµενοι. Ο πρώτος πρώην αθλητής στίβου µε ειδικότητα στα άλµατα (εξεταζόµενος 1) ενώ ο δεύτερος πολύ δυνατός και βαρύς, µη αθλητής (εξεταζόµενος ). 7
Η ανάλυση των αποτελεσµάτων έγινε µε λογισµικό του Εργαστηρίου Βιοκινητικής (το πρόγραµµα έχει δηµιουργηθεί από τα µέλη του εργαστηρίου για την ανάλυση κίνησης µε βίντεο). (α) (β) (γ) (α) (β) (γ) Εικόνα 1: Εξεταζόµενοι κατά την προσπάθειά τους για άλµα (α) τη στιγµή της πρώτης επαφής µε το έδαφος, (β) τη στιγµή όπου το κέντρο µάζας βρίσκεται στο χαµηλότερο σηµείο και (γ) τη στιγµή της τελευταίας επαφής πριν την απογείωση 8
4. Αποτελέσµατα της πειραµατικής διαδικασίας 4..1 Χρόνος επαφής µε το έδαφος Όπως προκύπτει από τον πίνακα 5, ο χρόνος της επαφής µε το έδαφος διαφέρει ανάλογα µε τον εξεταζόµενο, µε τη µορφή της προσπάθειας αλλά όχι µε το έδαφος. Γενικά ο χρόνος επαφής µε το έδαφος είναι της τάξεως των δύο µε πέντε δεκάτων του δευτερολέπτου. Έδαφος Εξεταζόµενος Άλµα Είδος εξέτασης Προσγείωση Σκληρό Μαλακό 1 0,19 0,51 0,7 0,41 1 0,0 0,54 0,8 0,44 Πίνακας 5: Χρόνος επαφής µε το έδαφος (sec) Ο µεγαλύτερος χρόνος επαφής µε το έδαφος κατά την απλή προσγείωση φανερώνει οµαλότερη εφαρµογή της δύναµης της κρούσης σε σχέση µε την προσγείωση που ακολουθείται από άλµα 1. Ανάµεσα στους δύο εξεταζόµενους η διαφορά είναι ότι ο εξεταζόµενος αθλητής οµαλοποιεί πολύ περισσότερο την κρούση του σε αντίθεση µε το µη αθλητή. 1 Ο χρόνος στην απλή προσγείωση λαµβάνεται µέχρι ο εξεταζόµενος να σταµατήσει να ταλαντώνεται πάνω στο έδαφος. 9
4.. Κινήσεις των κέντρων µάζας των µελών του ανθρώπινου σώµατος Από την κινηµατική ανάλυση προέκυψαν οι τιµές των µετατοπίσεων, των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων των κέντρων µάζας των µελών του ανθρώπινου σώµατος. Για να υπάρχει αντιστοιχία µε το µοντέλο προέκυψαν τα k και c για κάθε ελατήριο και για κάθε προσπάθεια. Στις επόµενες σελίδες φαίνονται αναλυτικά τα διαγράµµατα των πειραµατικών αποτελεσµάτων και η απόκριση του µοντέλου σύµφωνα µε τις τιµές των ελατηρίων που επιλέχθηκαν για την προσοµοίωση της κάθε κρούσης ξεχωριστά. 40
Σκληρό έδαφος, εξεταζόµενος 1, προσγείωση (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 1: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 41
Σκληρό έδαφος, εξεταζόµενος, προσγείωση (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 14: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 4
Σκληρό έδαφος, εξεταζόµενος 1, προσγείωση µε άλµα (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 15: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 4
Σκληρό έδαφος, εξεταζόµενος, προσγείωση µε άλµα (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 16: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 44
Μαλακό έδαφος, εξεταζόµενος 1, προσγείωση (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 17: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 45
Μαλακό έδαφος, εξεταζόµενος, προσγείωση (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 18: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος)
Μαλακό έδαφος, εξεταζόµενος 1, προσγείωση µε άλµα (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 19: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 47
Μαλακό έδαφος, εξεταζόµενος, προσγείωση µε άλµα (α) (β) (γ) (δ) ιάγραµµα 0: (α) Πειραµατικές τιµές επιταχύνσεων, (β) ταχυτήτων, (γ) µετατοπίσεων και (δ) προσέγγιση των µετατοπίσεων µε το µοντέλο (m 1 :πέλµα, m :κνήµη, m :µηρός, m 4 :άνω µέρος σώµατος) 48
4.. Μηχανικά και δυναµικά χαρακτηριστικά µοντέλου Για την προσοµοίωση των κρούσεων µε το προτεινόµενο µοντέλο επιλέχθηκαν µε επαναληπτική διαδικασία οι τιµές που προσοµοιώνουν σε µέγιστο βαθµό την κρούση. Στον πίνακα 6 φαίνονται τα χαρακτηριστικά ανάλογα µε τον εξεταζόµενο (εξετ.) και µε το είδος της άσκησης (άλµα ή προσγείωση). Έδαφος Εξετ. Είδος υσκαµψίες (Ν/m) Αποσβέσεις (Ns/m) k 1 k k k 4 c 1 c c c 4 Σκληρό Μαλακό 1 1 Α 60.000 10.000 150.000 150.000 00 100 5,9 5,9 Π 40.000 80.000 40.000 100.000 1.000 1.000 1.000 1.000 Α 60.000 150.000 100.000 150.000 00 100 5,9 5,9 Π 70.000 40.000 0.000 40.000 6.000 4.000.000 1.000 Α 50.000 110.000 90.000 10.000 00 100 50 50 Π 80.000 50.000 60.000 60.000 1.000.000.000.000 Α 60.000 150.000 60.000 10.000 00 100 50 50 Π 70.000 40.000 40.000 60.000 1.000 4.000.000.000 Πίνακας 6: Μηχανικά και δυναµικά χαρακτηριστικά προσοµοίωσης κάθε κρούσης (Α για το άλµα, Π για την προσγείωση) 49
5 Συµπεράσµατα - Σύγκριση αποτελεσµάτων 5.1 Σύγκριση µε την υπάρχουσα βιβλιογραφία Για την πτώση που ακολουθείται από άλµα µπορούµε να πούµε ότι οι τιµές των αποσβέσεων σχετικά συµπίπτουν µε αυτές του µοντέλου. Αυτό συµβαίνει γιατί, και κατά το τρέξιµο και στην περίπτωση αυτή, το πόδι εφάπτεται και εφαρµόζει δύναµη απ ευθείας στο δάπεδο µειώνοντας έτσι την επιρροή της απόσβεσης. Η απόσβεση κατά την πτώση µε άλµα δε θα πρέπει να αξιολογηθεί περισσότερο γιατί η επιρροή της έχει µικρό ρόλο στην απόκριση του µοντέλου. Σε ό,τι αφορά τις επιταχύνσεις τα πειραµατικά αποτελέσµατα έδειξαν επιταχύνσεις της τάξεως των 5g. Αντίθετα στη βιβλιογραφία εµφανίζεται µέγιστη τιµή 15g στα πρώτα δύο µε τρία msec της επαφής. Η τιµή αυτή, ακόµα και αν υπάρχει, δε µπορεί να καταγραφεί µε ανάλυση βίντεο συχνότητας 00Hz. (α) (β) ιάγραµµα 1: Σύγκριση της απόκρισης του µοντέλου µε τις επιταχύνσεις για (α) τις τιµές από την βιβλιογραφία και (β) τις τιµές που προκύπτουν από τα πειράµατα 50
Στον πίνακα 7 παρατίθεται η µέση τιµή των k και c για την περίπτωση άλµατος και οι τιµές που προέρχονται από την βιβλιογραφία. k (N/m) c (N s/m) βιβλιογραφία πειραµατικά βιβλιογραφία πειραµατικά Σόλα υποδήµατος, έδαφος, µαλακά µόρια πέλµατος 45,7 60.000 174 00 Κνήµη και αστράγαλος 94.100 10.000 444 100 Γόνατο 40.100 100.000 5,9 45 Άνω µέρος - 140.000-45 Πίνακας 7: Σύγκριση των τιµών της βιβλιογραφίας µε τις πειραµατικές τιµές Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την πειραµατική διαδικασία δε θα µπορούσαν να συµπίπτουν πλήρως µε τα ήδη υπάρχοντα δεδοµένα. Οι λόγοι για τους οποίους συµβαίνει αυτό είναι: Τα µοντέλα που έχουν προταθεί δεν έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά µε το προτεινόµενο µοντέλο της παρούσας εργασίας. Αποτελούνται είτε από τρία ελατήρια µε τρεις µάζες, είτε από συστήµατα ελατήριων που προσοµοιώνουν τις κινούµενες µάζες του ανθρώπινου σώµατος. Οι τιµές των δυσκαµψιών και των αποσβέσεων εισάγονται είτε αυθαίρετα είτε µόνο για µετρήσεις ενός εξεταζόµενου. Όλα τα προηγούµενα µοντέλα αναφέρονται σε κρούσεις κατά τη διάρκεια του τρεξίµατος σε αντίθεση µε το παρόν µοντέλο που αναφέρεται στην κρούση από προσγείωση κατακόρυφης πτώσης. Τέλος, αφού υπάρχει διαφορά στα χαρακτηριστικά κάθε ανθρώπου δε θα µπορούσαν τα µηχανικά και δυναµικά χαρακτηριστικά να συµπίπτουν πλήρως. 51
5. Σύγκριση ανάλογα µε τον τύπο του εδάφους Ανάλογα µε τον τύπο του εδάφους δεν προκύπτουν αξιοσηµείωτες διαφορές στην προσοµοίωση των µηχανικών και δυναµικών χαρακτηριστικών του µοντέλου. Αξίζει να σηµειωθεί όµως, ότι, ενώ δε φαίνεται η διαφορά µέσω του µοντέλου, στο υπόστρωµα γυµναστικής, οµαλοποιείται η απόκριση του σώµατος όσον αφορά επιταχύνσεις, ταχύτητες και µετατοπίσεις µελών µαζών. Επίσης, η σχετική µαρτυρία των εξεταζόµενων ήταν ότι η πτώση στο υπόστρωµα έδινε αίσθηση άνεσης και ασφάλειας σε σχέση µε την πτώση στο «σκληρό» και άκαµπτο δυναµοδάπεδο. Με το συγκεκριµένο µοντέλο όµως, αυτό δε µπορεί να φανεί και ίσως µια αναλυτικότερη διαδικασία εύρεσης των σταθερών των ελατηρίων να έδινε κάποιο διαφορετικό αποτέλεσµα. 5. Σύγκριση ανάλογα µε τη µορφή της άσκησης Παρατηρήθηκε µεγάλη διαφορά στις τιµές των αποσβέσεων και των δυσκαµψιών ανάλογα µε τη µορφή της άσκησης. Συγκεκριµένα: Κατά τα άλµατα σε σύγκριση µε την απλή προσγείωση εµφανίζονται πολύ µεγαλύτερες τιµές δυσκαµψιών των τριών άνω ελατηρίων (ποδοκνηµική άρθρωση, άρθρωση γόνατος και άρθρωση ισχίου). Αυτό συµβαίνει επειδή στην προσγείωση έχουµε µεγαλύτερες περιόδους ταλάντωσης (όπως προκύπτει από τα διαγράµµατα απόκρισης) και σύµφωνα µε τον τύπο µικρότερες δυσκαµψίες. m T = π προκύπτουν k Επίσης κατά τα άλµατα σε σύγκριση µε την απλή προσγείωση εµφανίζονται πολύ µικρότερες τιµές αποσβέσεων για όλα τα ελατήρια. Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά λογικό αφού κατά την προσγείωση το σώµα σταµατάει µετά την κρούση σε αντίθεση µε την περίπτωση όπου ακολουθεί άλµα και το σώµα απογειώνεται από το έδαφος µε µεγαλύτερη ταχύτητα απ ό,τι προσγειώνεται για 5
το δεδοµένο ύψος πτώσης. Σε µια εναλλακτική λύση θα µπορούσαν να εισαχθούν αρνητικές τιµές απόσβεσης. Τέλος, κατά την προσγείωση που ακολουθείται από άλµα, οι καµπύλες των αποκρίσεων είναι πολύ οµαλότερες σε σχέση µε την απλή προσγείωση. Είδος υσκαµψίες (Ν/m) Αποσβέσεις (Ns/m) k 1 k k k 4 c 1 c c c 4 Α 60.000 10.000 100.000 140.000 00 100 4 4 Π 60.000 60.000 40.000 70.000 1.000.000.000.000 Πίνακας 8: Τιµές που θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν για την προσοµοίωση ανάλογα µε τη µορφή της άσκησης (Α για το άλµα, Π για την προσγείωση) (α) (β) ιάγραµµα : Σύγκριση της απόκρισης του «βαριού» εξεταζόµενου. Επιταχύνσεις για (α) προσγείωση και (β) προσγείωση που ακολουθείται από άλµα 5
5.4 Σύγκριση ανάλογα µε τον εξεταζόµενο Ο εξεταζόµενος αθλητής αλµάτων εµφάνισε πολύ οµαλότερες καµπύλες απόκρισης στην προσγείωση που ακολουθείται από άλµα, ίσως λόγω της εµπειρίας του στη συγκεκριµένη µορφή άσκησης. Αντίθετα, οι καµπύλες του «βαριού» εξεταζόµενου εµφάνιζαν πολλές ανωµαλίες που ήταν πιο δύσκολο να προσοµοιωθούν. Φαίνεται ότι ο αθλητής αλµάτων οµαλοποιεί την κρούση και την κατανέµει στις αρθρώσεις σε αντίθεση µε τον «βαρύ» εξεταζόµενο. Ο αθλητής αλµάτων εφαρµόζει µεγαλύτερη δύναµη στο έδαφος. (α) (β) ιάγραµµα : Σύγκριση της απόκρισης σε άλµα. Επιταχύνσεις του (α) αθλητή αλµάτων και (β) «βαριού» εξεταζόµενου 5.5 Γενικά συµπεράσµατα - Προτάσεις Γενικά, µε το προτεινόµενο µοντέλο εξοµαλύνονται οι µετατοπίσεις των µελών µαζών του ανθρώπινου σώµατος. Όπως προκύπτει από τα 54
αποτελέσµατα, τα µηχανικά και δυναµικά χαρακτηριστικά είναι της ίδιας τάξεως µεγέθους για κάθε όµοια προσπάθεια ανεξάρτητα από το έδαφος ή τον εξεταζόµενο. Σε µια απόπειρα να βρεθούν οι τιµές των δυσκαµψιών και αποσβέσεων µεταβαλλόµενες µε το χρόνο, προέκυψαν αποτελέσµατα που δεν µπορούν να αξιολογηθούν λόγω της υψηλής µεταβλητότητάς τους για κάθε στιγµή της µέτρησης. Όµως το σύστηµα απόκρισης του ανθρώπινου κινητικού µηχανισµού δεν είναι ένα παθητικό σύστηµα µε σταθερά µηχανικά χαρακτηριστικά. Ο λόγος που συµβαίνει αυτό είναι ότι το µυοτενόντιο σύµπλεγµα (ο µυς µαζί µε τους τένοντές του) έχει ελαστικότητα αλλά είναι και µηχανισµός εφαρµογής δύναµης. Η δύναµη αυτή µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια σύσπασης ή διάτασης του µυός. Αυτό αιτιολογεί µιας τάξης µεγέθους διαφοροποίησης στα µηχανικά χαρακτηριστικά σε διαφορετικές φάσεις κίνησης. Επειδή το ανθρώπινο σώµα δε συµπεριφέρεται στις περισσότερες περιπτώσεις οµαλά, η προσοµοίωσή του µε ένα µοντέλο είναι αρκετά δύσκολη. Εντούτοις, σε γενικές γραµµές βρέθηκε η τάξη µεγέθους των χαρακτηριστικών του µοντέλου αλλά σίγουρα µια αναλυτικότερη διαδικασία θα µπορούσε να µας οδηγήσει σε πιο ακριβείς τιµές. Με αυτή τη µορφή το µοντέλο θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για την κατασκευή και αξιολόγηση δαπέδων µε την προϋπόθεση ότι οι τιµές των k και c θα υπολογίζονταν µε µεγαλύτερη ακρίβεια. Επίσης, το µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για διαφορετικές µορφές άσκησης και για το πως το ανθρώπινο σώµα µπορεί να προσοµοιωθεί για κάθε µία από αυτές. 55
6 Βιβλιογραφία 1. Hunter S.C. Mechanics of continuous media. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids 56
7 Αναφορές 1. Μπάτσιος Α., Παπαγιάννη Ι., ηµητρόγιαννης Θ., Φραγκούλης Γ., Μαυρίδου Σ. και Πανουτσακόπουλος Β. Σκυρόδεµα µε ανακυκλωµένο ελαστικό για δάπεδα αθλοπαιδιών. Τόµος περιλήψεων 16 ου Συνεδρίου σκυροδέµατος, Σελίδα 195, Οκτώβριος 009.. Μπάτσιος Α., Παπαγιάννη Ι,.Μαυρίδου Σ. άπεδα σκυροδέµατος αθλοπαιδιών µε χρήση ανακυκλωµένου ελαστικού. Βιοκινητικές µετρήσεις σε µεγάλης ηλικίας δάπεδα. Πρακτικά ου Πανελληνίου συνεδρίου για την αξιοποίηση βιοµηχανικών παραπροϊόντων στη δόµηση, Σελίδες 69-75, Ιούνιος 009.. Diffrient Niels, Tilley Alvin R., Bardagjy Joan C. Humanscale 1//. The MIT Press, 1974. 4. Farley Claire T., Han H. P. Houdijk, Ciska Van Strien, and Micky Louie. Mechanism of leg stiffness adjustment for hopping on surfaces of different stiffnesses. Journal of Applied Physiology, Volume 85, Issue, Pages 1044 1055, September 1998. 5. Kim Wangdo, Voloshin Arcady S. Dynamic loading during running on various surfaces. Human Movement Science, Volume 11, Issue 6, Pages 675-689, December 199. 6. Kim Wangdo, Voloshin Arcady S., Johnson Stanley H. Modeling of heel strike transients during running. Human Movement Science, Volume 1, Issue, Pages 1-44, June 1994. 7. Lafortune M.A. and Hennig E.M. Cushioning properties of footwear during walking: accelerometer and force platform measurements. Clinical Biomechanics, Volume 7, Issue, Pages 181 184, August 199. 8. Lafortune M.A., Hennig E.M. and Lake M.J. Dominant role of interface over knee angle for cushioning impact loading and regulating initial leg stiffness. Journal of Biomechanics, Volume 9, Issue 1, Pages 15 159, December 1996. 57
9. Lafortune M.A., Lake M.J. and Hennig E.M. Differential shock transmission response of the human body to impact severity and lower limb posture. Journal of Biomechanics, Volume 9, Issue 1, Pages 151 157, December 1996. 10. Nuckley David J., Eck Michael P., Carter Jarrod W. and Ching Randal P. Spinal maturation affects vertebral compressive mechanics and vbmd with se dependence. Bone, Volume 5, Pages 70-78, July 004. 11. Rambely A.S., Wan Abas W.A.B. A model of impact force during landing from a jumping smash activity. IFMBE Proceedings, rd Kuala Lumpur International Conference on Biomedical Engineering, 006. 1. Seegmiller Jeff G. and McCaw Steven T. Ground reaction forces among gymnasts and recreational athletes in drop landings. Journal of athletic training, Volume 8, Number 4, December 00. 1. Quoc Hung Ly, Amina Alaoui, Silvano Erlicher, Laurent Baly. Towards a foot wear design tool: Influence of shoe midsole properties and ground stiffness on the impact force during running. Journal of Biomechanics, Volume 4, Issue, Pages 10-17, January 010. 14. Voloshin Arcady S. Propagation of impulsive shock waves in the human musculoskeletal system. Journal of Biomechanics, Volume, Issue 10, Page 1095, 1989. 15. Wei Hsien Hong, Yung-Hui Lee, Hsieh Ching Chen. The effect of insert on muscle activities during high-heeled gait. Journal of Biomechanics, Volume 40, Supplement, Page S111, 007. 16. Yung-Hui Lee, Wei-Hsien Hong. Effects of shoe inserts and heel height on foot pressure, impact force, and perceived comfort during walking. Applied ergonomics, Volume 6, Issue, Pages 55-6, May 005. 58