ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται με περισσότερους του ενός Β.Ε. Το πλήθος των Δ.Ε. που περιγράφουν αυτές τις ταλαντώσεις είναι ίσο προς το πλήθος των Β.Ε. του συστήματος και οι Δ.Ε. είναι ομογενείς γραμμικές δεύτερης τάξης. Η γενική λύση τους ονομάζεται ομογενής λύση και εκφράζει τις ελεύθερες ταλαντώσεις του συστήματος. Εάν συνδυασθεί με ένα σετ αρχικών συνθηκών τότε θα μετατραπεί σε ειδική (partcular) λύση και θα ισχύει μόνο για τις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Ο προσδιορισμός των ελευθέρων ταλαντώσεων του συστήματος απαιτεί γνώσεις γραμμικής άλγεβρας αφού εμπλέκονται συνεχώς οι τρεις πίνακες που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο 47. Για όλο το παρόν κεφάλαιο οι πίνακες αυτοί θεωρούνται συμμετρικοί και η θεώρηση αυτή διευκολύνει σημαντικά την αντιμετώπιση του προβλήματος από μαθηματική άποψη. 4.. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών και ιδιομορφών Η σχέση (3.6) του προηγούμενου κεφαλαίου μπορεί να γραφεί ως: (N) (4.) { x} [ K]{ x} {0} και θα εκφράζει την ελεύθερη και απουσία απόσβεσης ταλάντωση ενός συστήματος Β.Ε. Η κάθε μάζα m (Kg) του συστήματος θα ταλαντώνεται με ένα πλάτος (m) και με βάση μία χρονική συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή θεωρείται ως κοινή για όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες ενώ επιπλέον θεωρείται ότι η ελεύθερη X 47 Οι πίνακες μαζών, στιβαρότητας και απόσβεσης. Ο προσδιορισμός των πινάκων αυτών μπορεί να γίνει με μεθόδους που αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο.

74 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ταλάντωση γίνεται με μία και μόνο συχνότητα. Έτσι η υποτιθέμενη λύση για κάθε μία γενικευμένη συντεταγμένη θα είναι: x () t ωt X e (4.) Εάν πάρουμε δυο τυχαίες μάζες του συστήματος π.χ. τις και τότε ο λόγος των μετατοπίσεων x () t /() x t είναι ποσότητα ανεξάρτητη του χρόνου και συνάρτηση μόνο του λόγου των πλατών ταλάντωσης X / X. Εάν σχηματίσουμε ένα διάνυσμα { X} με τα πλάτη ταλάντωσης όλων των μαζών, τότε έχουμε το μορφικό σχήμα (mode shape) ή φυσική μορφή του συστήματος που σχετίζεται με το διάνυσμα των μετατοπίσεων 48 ως εξής: { x} { X} e ωt (4.3) Οι τιμές του ω για τις οποίες η σχέση (4.3) αποτελεί λύση της (4.) ονομάζονται φυσικές συχνότητες του συστήματος και κάθε μία φυσική συχνότητα αντιστοιχεί σε τουλάχιστον μία φυσική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι η γενική λύση της (4.) θα είναι η γραμμική υπέρθεση όλων των μορφών. Με αντικατάσταση της (4.3) στην (4.) θα προκύψει: ωt και επειδή e 0 θα είναι: ωt ω { Χ } { Χ } e {0} (N) (4.4) ω { Χ } {0} (N) (4.5) Εάν υποθέσουμε ότι υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα μαζών τότε: [ K] ω [ I ] { Χ } {0} (N) (4.6) όπου [ I] είναι ένας () μοναδιαίος πίνακας. Η ανωτέρω σχέση εκφράζει ένα σύστημα ομογενών γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τα στοιχεία της μορφής { X }. Με εφαρμογή της μεθόδου του Cramer για το τυχαίο πλάτος X,,,..., προκύπτει ότι: X 0 det [ ] [ ] [ ] M K ω I (4.7) Επομένως για να υπάρχει λύση άλλη της τετριμμένης θα πρέπει 48 Βλ. σχετικά στο προηγούμενο κεφάλαιο, ενότητα 3.4.

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 75 det [ K] ω [ I ] 0 (4.8) και επομένως οι τιμές των ιδιοτιμές (egevalues) του πίνακα ω για τις οποίες επαληθεύεται η (4.8) θα είναι οι [ K]. Για κάθε μία ιδιοτιμή που θα αντικαθίσταται στην (4.6) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή { X} που ονομάζεται ιδιομορφή (egemode) ή ιδιοδιάνυσμα (egevector). Η εξίσωση (4.8), στην πλήρως ανεπτυγμένη της μορφή, είναι γνωστή ως χαρακτηριστική εξίσωση συχνοτήτων. Μπορεί να επιλυθεί ως προς οι Β.Ε. του συστήματος θα προκύψουν λύσεις για το ω και εάν είναι ω. Για κάθε τέτοια λύση μπορεί κανείς να πάρει την θετική και την αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Η θετική τιμή αποτελεί τιμή φυσικής συχνότητας του συστήματος και μαζί με την αρνητική χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό τόσο της γενικής όσο και της ειδικής λύσης του προβλήματος της ελεύθερης ταλάντωσης. Η σχέση (4.5) μπορεί να γραφεί διαφορετικά εάν τα δύο μέλη της διαιρεθούν με ω και - εφόσον μπορούν να ορισθούν και οι δύο πίνακες [ A] και [ K] - θα γίνει: [ A] [ I ] { Χ } {0} ω (4.9) Ο πίνακας [ D] [ A] [ K] ονομάζεται δυναμικός πίνακας του συστήματος. Εάν λ / ω, τότε η σχέση (4.9) γράφεται ως εξής: [ D] λ[ I ] { Χ } {0} (4.0) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διατύπωση της χαρακτηριστικής εξίσωσης συχνοτήτων. Η τελευταία μπορεί να επιλυθεί ως προς λ και εάν είναι οι Β.Ε. του συστήματος θα προκύψουν λύσεις. Όπως οι τιμές των ω είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα πίνακα [ D ]. [ K] έτσι και οι τιμές των λ θεωρούνται ιδιοτιμές του δυναμικού Έστω ότι έχουν προσδιορισθεί οι ιδιοτιμές ( egevalues) του πίνακα [ K]. Τότε μπορούν να προσδιορισθούν φυσικές συχνότητες ω, ω,..., ω που μπορούν να διαταχθούν κατά αύξουσα σειρά ω ω... ω. Για κάθε μία φυσική συχνότητα που θα αντικαθίσταται στην (4.6) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή 49 { X} που θα έχει την μορφή: 49 Οι λέξεις «ιδιομορφή» ή «ιδιοδιάνυσμα» μπορούν να χρησιμοποιούνται εναλλακτικά αν και δεν έχουν ακριβώς την ίδια σημασία.

76 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ { X } { X X... X } (4.) όπου ο δείκτης σημαίνει γενικά «ανάστροφο διάνυσμα». Επομένως μπορούμε να πάρουμε διαφορετικά τέτοια διανύσματα από την (4.6) με την προϋπόθεση ότι δεν έχουμε επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές από την επίλυση της (4.8). Η παραπάνω λύση δεν είναι μοναδική επειδή το σύστημα των εξισώσεων είναι ομογενές (βλ. σχέση (4.6)). Τα στοιχεία του κάθε διανύσματος μπορούν να εκφρασθούν με κάποιο κανονικοποιημένο τρόπο π.χ. συναρτήσει του πλάτους κάποιας από τις μάζες 50. Εύκολα λοιπόν συμπεραίνει κανείς ότι η τιμή των στοιχείων αυτών είναι σχετική με την έννοια ότι εξαρτάται από την τιμή που θα δώσει κανείς στο στοιχείο-διαιρέτη 5. Παρά όμως αυτή τη σχετικότητα, οι τιμές των λόγων ανάμεσα στα πλάτη είναι σταθερές και αυτό έχει μεγάλη αξία γιατί δείχνει τον τρόπο ταλάντωσης του συστήματος ανεξάρτητα από τις συγκεκριμένες τιμές των πλατών (που προσδιορίζονται τελικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος). ΑΣΚΗΣΗ 9 Για το σύστημα του σχήματος ζητούνται οι ιδιοτιμές, οι φυσικές συχνότητες στρεπτικής ταλάντωσης, τα μορφικά σχήματα και οι ιδιομορφές. Οι σταθερές ελατηρίου των τμημάτων της κυλινδρικής ράβδου καθώς και οι αδράνειες J J, J J, ). θεωρούνται ως δεδομένες ( θ J J Σχήμα Α.9.. Ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση συστήματος δυο βαθμών ελευθερίας. ΛΥΣΗ: Οι Διαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν τη ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση του συστήματος προκύπτουν εύκολα και είναι: 50 Συνήθως της πρώτης. 5 Συνήθως λαμβάνεται ίση προς.

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 77 όπου: J θ K θ 0 (Nm) (Α.9.) J είναι ο πίνακας των αδρανειών και J 0 0 J 0 J 0 (Kgm ) (Α.9.) K ο πίνακας στιβαρότητας ενώ θ (m/sec ) και { θ } γωνιακών επιταχύνσεων και μετατοπίσεων αντίστοιχα. Για το σύστημα αυτό η χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι: det [ K] [ ] 0 (Nm/rad) (Α.9.3) (m) είναι τα διανύσματα των J ω (Α.9.4) που στην πλήρη της μορφή θα είναι: 4 5 0 J ω Jω (Α.9.5) και με τη λύση της θα δώσει τις δύο ιδιοτιμές του συστήματος: ω, 5 7 (Α.9.6) Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν και οι δύο φυσικές συχνότητες του συστήματος που είναι: ω ω 5 7 0.468, 5 7.5 (rad/sec) J J Σύμφωνα με την σχέση (4.5) θα είναι: (A.9.9) όπου { Θ} { } Θ Θ είναι το μορφικό σχήμα Από την παραπάνω σχέση και για [ J ] ω { Θ} {0} (Α.9.8) προκύπτει: 0 Θ 0 J ω 0 Θ 0 (Α.9.9) Εάν πάρουμε τη πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις θα είναι:

78 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Jω Θ Θ 0 (Α.9.0) και άρα: Θ Jω (rad) (Α.9.) Θ Επομένως, εάν θεωρηθεί επιπλέον ότι Θ η πρώτη ιδιομορφή θα είναι: Θ.7808 Θ Jω Jω Θ (Α.9.) και με όμοιο τρόπο - η δεύτερη: Θ 0.80 Θ Jω Jω Θ (Α.9.3) Γωνιακή μετατόπιση (μονάδες γωνίας).0.5.0 0.5.7808 Γωνιακή μετατόπιση (μονάδες γωνίας).0 0.5 0 0.0 Κόμβος -0.80 0.0 Πάκτωση ος δίσκος Θέση δίσκων ος δίσκος Πάκτωση ος δίσκος ος δίσκος Θέση δίσκων α. Η πρώτη ιδιομορφή. β. Η δεύτερη ιδιομορφή. Σχήμα Α.9.. Ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση συστήματος δυο βαθμών ελευθερίας. Οι παραπάνω ιδιομορφές μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά (βλ. σχήμα Α.9.). Παρατηρούμε ότι στην δεύτερη ιδιομορφή και στο τμήμα της ράβδου που βρίσκεται ανάμεσα στον ο και τον ο δίσκο δημιουργείται ένας κόμβος, δηλαδή ένα σημείο μηδενικής γωνιακής μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης. Αντιθέτως στην η ιδιομορφή δεν υπάρχει κανένας κόμβος. Πρόταση για παραπέρα εργασία: Τι σημαίνει η παρουσία αυτού του κόμβου για την λειτουργία του συστήματος; Είναι δυνατόν να υπάρχουν περισσότεροι του ενός κόμβοι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα;

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 79 4.3. Ελεύθερες ταλαντώσεις - Η γενική λύση Η σχέση (4.) αντιστοιχεί σε Δ.Ε. που αναπαριστούν ελεύθερες ταλαντώσεις ενός πολυβάθμιου συστήματος. Η ταλάντωση κάθε μίας μάζας του συστήματος εκφράζεται με την σχέση (4.) η οποία είναι συνάρτηση της συχνότητας (rad/sec). Οι συναρτήσεις ωt e και ωt e είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά και γραμμικά ανεξάρτητες ως προς άλλες συναρτήσεις της ίδιας μορφής αλλά διαφορετικών τιμών όσο αφορά το ω. Η ανωτέρω ιδιότητα ισχύει για κάθε ιδιοτιμή του συστήματος. Σύμφωνα με την σχέση (4.5) τόσο η θετική όσο και η αρνητική ρίζα μιας ιδιοτιμής δίνουν την ίδια λύση, δηλαδή την αντίστοιχη ιδιομορφή 5. Επομένως η γενικότερη λύση της (4.) θα είναι: όπου ω t ω t (4.) { x} { X} C e C e C, C είναι σταθερές που θα πρέπει να προσδιορισθούν. Αναπτύσσοντας το δεξιό μέρος της (4.), αυτή μετασχηματίζεται ως εξής: όπου πλέον (4.3) { x} { X} D cos() ω t Ds() ω t D C C και D () C C. Για το άθροισμα των όρων μέσα στην παρένθεση στην παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η έκφραση: (4.4) { x} { X} H s() ω t φ ω όπου πλέον στην παραπάνω σχέση θα πρέπει να προσδιορισθούν άγνωστοι ( H, H,..., H και φ, φ,..., φ ) από τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες {(0)} x {(0)(0) x...(0} x x και {(0)} x {(0)(0) x...(0)} x x ΑΣΚΗΣΗ 0 Για το σύστημα της άσκησης 9 να προσδιορίσετε τις αποκρίσεις των δίσκων εάν: {(0)} θ {0.075 0.035} (rad) και {(0)} θ {0 0} (rad/sec). 5 Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο όρος ω δεν επηρεάζεται από το πρόσημο του ω.

80 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με την σχέση (4.4) θα είναι: {(0)} θ { Θ} H s φ (Α.0.) και {(0)} θ { Θ} cos ω H φ (Α.0.) Επομένως: θ (0) Θ Η s φ Θ Η s φ 0.075 θ (0) Θ Η s φ Θ Η s φ 0.035 (Α.0.3) και θ (0) ΘωΗ cos φ Θ Η cos 0 ω φ θ (0) Θ ωη cos φ Θ ω Η cos φ 0 (Α.0.4) Από τις σχέσεις (Α.9.), (Α.9.3), (Α.0.3) και (Α.0.4) προκύπτει ότι: θ (0) Η s φ Η s φ 0.075 θ (0).7808Η s φ 0.80Η s φ 0.035 (Α.0.5) και θ (0) Ηω cos Η cos 0 φ ω φ θ (0).7808Η ω cos φ 0.80Η ω cos φ 0 (Α.0.6) Λύνοντας τα παραπάνω συστήματα ως προς H s φ, H sφ και H cos φ, H cosφ αντίστοιχα προκύπτει ότι φ φ π / και H 0.0936, H 0.0086. Επομένως θα είναι: π π 0.0936s 0.468 t 0.0086s.5 t θ () t J J θ() t π π 0.0344s 0.468 t 0.0005s.5 t J J (rad) (Α.0.7) Στο σχήμα Α.0. δίνεται μια γραφική απεικόνιση της μεταβολής των δύο γωνιών ως προς τον χρόνο για τον συνδυασμό τιμών (Kgm ). 6 3 0 (N/m) και J 0.05

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 8 (rad) 0.04 0.03 Δίσκος Δίσκος 0.0 0.0 0.00 0.000 0.00 0.004 0.006 0.008-0.0-0.0 (sec) -0.03-0.04 Σχήμα Α.0.. Οι αποκρίσεις του συστήματος των δυο δίσκων. 4.4. Οι μηδενικές ιδιοτιμές Υπάρχουν περιπτώσεις συστημάτων στα οποία μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα 53 [ K] είναι ίση προς το μηδέν. Στην περίπτωση αυτή η σχέση (4.4) πρέπει να γραφεί ως εξής: { x}(){ C} C t{ X} s() X H ω t φ (4.5) όπου οι σταθερές C, C, H,,3,..., θα πρέπει να προσδιορισθούν βάσει των αρχικών συνθηκών. Ο πρώτος όρος της (4.5) αναπαριστά σταθερή ισοταχή κίνηση του συστήματος και ο δεύτερος ταλαντωτική. Τα συστήματα των οποίων η κίνηση περιγράφεται με σχέσεις αυτής της μορφής είναι μη περιορισμένα (ελεύθερα) υπό την έννοια ότι εάν τους δοθεί αρχική μετατόπιση ή/και αρχική ταχύτητα αυτά διατηρούν αυτές τις αρχικές συνθήκες επ άπειρο ενώ η ταλαντωτική κίνηση που περιγράφεται από τον ο όρο της (4.5) υπερτίθεται σ αυτή την αρχική κατάσταση. Κλασικό παράδειγμα τέτοιου συστήματος αποτελούν οι διατάξεις μειωτήρων όπου τόσο στην είσοδο 53 Βλ. σχετικά στην ενότητα 4..

8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (κινητήριος άξονας) όσο και στην έξοδο (φορτίο) δεν υπάρχει κανείς περιορισμός και κατά συνέπεια η εφαρμογή σταθερής ροπής 54 προκαλεί και διατηρεί ισοταχή περιστροφική κίνηση στην έξοδο και άρα και στο φορτίο. Η δεύτερη αξιοσημείωτη περίπτωση αφορά στις περιπτώσεις σιδηροδρομικών συρμών όπου η σύνδεση νέων οχημάτων (βαγονιών) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί προϋπόθεση για την έναρξη ισοταχούς και ταυτόχρονης ταλαντωτικής κίνησης. Πρόταση για παραπέρα εργασία: Ένα μικρό σιδηροδρομικό όχημα που κινείται με ταχύτητα 30 (Km/h) πρόκειται να συνδεθεί με δύο άλλα ίδια οχήματα που είναι ήδη συνδεδεμένα μεταξύ τους. Εάν η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου της ελαστικής σύνδεσης ανάμεσα σε δύο βαγόνια είναι ίση προς 7 4.5 0 (N/m) και το κάθε βαγόνι έχει μάζα 000 (Kg), να προσδιορίσετε την έκφραση για την κίνηση του συνδυασμού των τριών οχημάτων που θα προκύψει μετά την σύνδεση. Να αναπαραστήσετε γραφικά την κίνηση του καθενός οχήματος για χρονικό διάστημα ίσο προς 5 περιόδους (ω ς προς την η φυσική συχνότητα) 4.5. Η ορθογωνικότητα των ιδιομορφών Ο όρος εσωτερικό γινόμενο προέρχεται από την γραμμική άλγεβρα και αφορά σε πράξη που ορίζεται σε δύο διανύσματα έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι πραγματικός αριθμός. Ο κλασσικός ορισμός 55 από την παρακάτω σχέση: όπου τα { u} και { v} του εσωτερικού γινομένου δίδεται { },{ } { } u v u { v} { u}{ v} (4.6) είναι -διάστατα διανύσματα. Εάν ληφθούν υπόψη οι συμμετρικοί πίνακες μαζών και στιβαρότητας (Kg) και (N/m), τότε ορίζονται τα εσωτερικά γινόμενα: { u},{ v} { v},{ u} { u} { v} { u},{ v} { v},{ u} { u} [ K]{ v} (4.7) 54 δηλαδή ροπής που υπερνικά τις ροπές αντίστασης λόγω τριβών 55 αλλά όχι και μοναδικός

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 83 Τα διανύσματα { u} και { v} είναι ορθογώνια ως προς ένα εσωτερικό γινόμενο εάν το γινόμενο αυτό είναι ίσο με μηδέν. Έτσι σύμφωνα με την σχέση (4.7) τα διανύσματα { u} και { v} είναι ορθογώνια ως προς τον πίνακα μαζών εάν: και ορθογώνια ως προς τον πίνακα στιβαρότητας εάν: { u },{ v } { u } { v } 0 (4.8) { u },{ v } { u } { v } 0 (4.9) Εάν πάρουμε τις και ιδιοτιμές, τότε σύμφωνα με την (4.5) θα είναι: X K X X K X Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη από τις σχέσεις (4.0) με X (4.0) θα προκύψει ότι: ή σε μορφή εσωτερικών γινομένων: X X X K X (4.) X, X X, X (4.) Με τον ίδιο τρόπο πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη από τις σχέσεις (4.0) με X και γράφοντας το αποτέλεσμα υπό μορφή εσωτερικών γινομένων θα προκύψει ότι: X, X X, X (4.3) Αφαιρούμε την (4.3) από την (4.) και προκύπτει: X, X X, X X, X X, X (4.4) και σύμφωνα με τις (4.7): X X X X X X,,, 0 (4.5) Η διαφορά των τετραγώνων των ιδιοτιμών είναι γενικά 0 τις (4.5), (4.): X X X X, 0, 0 και άρα σύμφωνα με (4.6)

84 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι οι δυο ιδιομορφές τάξης και είναι ορθογώνιες ως προς τους πίνακες μάζας και στιβαρότητας. Εάν, τότε X X και σύμφωνα με την (4.): X, X X, X (4.7) Ο παραπάνω λόγος είναι γνωστός και ως πηλίκο του Raylegh και χρησιμοποιείται για τον προσεγγιστικό προσδιορισμό της ης σχετικό κεφάλαιο). ιδιοτιμής και ιδιομορφής (βλ. στο 4.6. Το θεώρημα της επέκτασης Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, οι ιδιομορφές ενός ελεύθερα ταλαντούμενου συστήματος σχετίζονται μεταξύ τους με την αρχή της ορθογωνικότητας. Οι ιδιομορφές είναι γραμμικά ανεξάρτητες, δηλαδή καμία από αυτές δεν μπορεί να προκύψει σαν γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Έτσι μπορούν να σχηματίσουν τη βάση ενός -διάστατου χώρου στον οποίο κάθε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών (δηλαδή των διανυσμάτων που συνιστούν τη βάση του χώρου). Έτσι, ένα αυθαίρετο διάνυσμα z του χώρου αυτού μπορεί να εκφραστεί ως εξής: z X (4.8) όπου,,,... είναι σταθεροί συντελεστές που υπέχουν τον ρόλο του συντελεστή βαρύτητας και σηματοδοτούν με τον τρόπο αυτό την ένταση της συμμετοχής κάθε ιδιομορφής στην διαμόρφωση των τιμών των στοιχείων του z. Η σχέση (4.8) αποτελεί έκφραση του θεωρήματος της επέκτασης. Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη της (4.8) με την ποσότητα είναι: ή σε μορφή εσωτερικών γινομένων: X M z X M X X M θα (4.9)

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 85 X, z X, X X, X (4.30) M M Λαμβάνοντας υπόψη την αρχή της ορθογωνικότητας και αναπτύσσοντας το δεξιό μέρος της παραπάνω σχέσης θα προκύψει ότι: X, z X, X (4.3) 4.7. Η κανονικοποίηση των ιδιομορφών Στην ενότητα 4. διαπιστώνεται ότι η κάθε ιδιομορφή, ως λύση ενός ομογενούς συστήματος εξισώσεων (βλ. σχέση (4.6)), παρουσιάζει την ιδιομορφία της διατήρησης σταθερής τιμής όσο αφορά τον λόγο ανάμεσα σε δύο τυχαία πλάτη (στοιχεία της ιδιομορφής). Η κάθε ιδιομορφή μπορεί να κανονικοποιηθεί (κανονικοποιημένη ιδιομορφή) αλλά αυτό θα πρέπει με τρόπο ώστε όλες οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές να ικανοποιούν το ίδιο κριτήριο κανονικοποίησης 56. Ένα σύνηθες κριτήριο κανονικοποίησης είναι η μοναδιαία τιμή του εσωτερικού γινομένου ως προς τον πίνακα μαζών. Θα πρέπει δηλαδή: X, X (4.3) Τότε, σύμφωνα και με την (4.7) θα είναι: X, X (4.33) Επομένως το θεώρημα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8)) σε συνδυασμό με την σχέση (4.3) μπορεί να γραφεί:, z X z X (4.34) ΑΣΚΗΣΗ Για το σύστημα της άσκησης 9 να επαληθεύσετε την αρχή της ορθογωνικότητας όσο αφορά στις δύο ιδιομορφές και κατόπιν να τις κανονικοποιήσετε ως προς τον πίνακα των μαζών. 56 Το ίδιο το κριτήριο κανονικοποίησης είναι αυθαίρετο. Σε κάθε περίπτωση όμως θα πρέπει να επιλέγεται με τρόπο που να διευκολύνει την χρήση των ιδιομορφών.

86 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΗ: Οι ιδιομορφές του συστήματος της άσκησης 9 είναι: Θ Θ Θ Θ.7808 Θ Θ 0.80 (Α..) Επαλήθευση της αρχής της ορθογωνικότητας σημαίνει χρήση των σχέσεων (4.6). Πράγματι, εάν, τότε θα είναι: 0, { } J [ ], 0 M 0 {.7808} J 0.997604 0 0 0.80 (Α..) και, { } [ ], K {.7808} J 0.9 0.87008 0 0.80 (Α..3) Τα ίδια αποτελέσματα θα προκύψουν εάν,. Εάν c *,, είναι αυθαίρετες σταθερές, τότε, για και σύμφωνα με την (4.3) θα πρέπει να είναι: 0 0 c J c c {.7808} J 0 0.7808 (Α..4) 0.7889 και επομένως c J ιδιομορφή θα είναι: και η κανονικοποιημένη ως προς τον πίνακα μαζών η Θ Πρόταση για παραπέρα εργασία: Θ 0.7889 Θ J.40360 (Kg -0.5 m - ) (Α..5) Να προσδιορίσετε την η κανονικοποιημένη ως προς τον πίνακα μαζών ιδιομορφή

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 87 4.8. Γενικευμένες και κύριες συντεταγμένες Η σχέση (4.) εκφράζει την ελεύθερη και απουσία απόσβεσης ταλάντωση ενός συστήματος Β.Ε. Το διάνυσμα των αποκρίσεωνx μπορεί να εκφραστεί σύμφωνα με το θεώρημα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8) - ως εξής: x () t X Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4.) και (4.35) θα προκύψει ότι: (4.35) Έστω ότι (){ σ t } X [ ](){ K σ } t X{0} (N) (4.36) X μία ιδιομορφή. Πολλαπλασιάζοντας με προκύπτουν εσωτερικά γινόμενα στα αθροίσματα: X τα μέλη της (4.36) σ () t X [ M]{ X}() σ[ t]{ X} K X σ () t X,{ X}(),{ σ } t X {0} X (N) (4.37) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: σ ()() t ω0 σ t (N) (4.38) και αυτό θα ισχύει για κάθε,,...,. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι αποσυζευγμένη και μπορεί πλέον να λυθεί μόνο ως προς την συντεταγμένη σ () t η οποία ονομάζεται κύρια συντεταγμένη. Το σύνολο των κύριων συντεταγμένων σ (), t,,..., σχηματίζει ένα διάνυσμα { } σ που ονομάζεται διάνυσμα των κύριων συντεταγμένων και συνδέεται με τις γενικευμένες συντεταγμένες μέσω του μορφικού πίνακα [ X ] του οποίου οι στήλες είναι οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές του συστήματος. Έτσι σύμφωνα με την σχέση (4.35) θα είναι: { } [ ]{ },{ } [ ] { } x Χ σ σ Χ x (4.39) Από τις παραπάνω σχέσεις και δεδομένου ότι είναι ήδη γνωστές οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές του συστήματος μπορεί κανείς να εκφράσει τις γενικευμένες συντεταγμένες συναρτήσει των αντιστοίχων κύριων και αντίστροφα.

88 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.9. Ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση Συνυφασμένη με τις ελεύθερες ταλαντώσεις των πολυβάθμιων συστημάτων είναι η έννοια της αναλογικής απόσβεσης. Αναλογική απόσβεση υπάρχει σε ένα πολυβάθμιο σύστημα όταν ο πίνακας της απόσβεσης μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των πινάκων μαζών και στιβαρότητας. Στην περίπτωση αυτή θα είναι: [ C] r[ ] μ (Nsec/m) (4.40) όπου τα r και μ είναι σταθερές. Επομένως η διαφορική εξίσωση (4.) μπορεί πλέον να γραφεί: { x} r[ K] μ { x } [ K]{ x} {0} (N) (4.4) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με την σχέση (4.8) θα δώσει: (){ σ t } X [ r](){ K σ } t X [ ](){ μ M } σ t X[ ](){ } K σ{0} t X (N) (4.4) Έστω ότι X μία ιδιομορφή. Πολλαπλασιάζοντας με προκύπτουν εσωτερικά γινόμενα στα αθροίσματα: X τα μέλη της (4. 4) σ () t X [ M]{ X}() rσ [ ]{ t X} K X μσ () t X [ M]{ X}() σ[ t]{ X} K X σ () t X,{ X}(),{ rσ} t X X μσ () t X,{ X}(),{ σ } t X {0} X (N) (4.43) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: σ ()()() t rω0 μ σ t ω σ t (N) (4.44) Εάν θέσουμε: απόσβεσης της rω μ ζ ω,,,..., όπου ζ,,,..., - μορφής, τότε η (4.44) γράφεται: ο λόγος μορφικής σ () t ()() ζ ω σ0 t ω σ t (N) (4.45) και αυτό θα ισχύει για κάθε,,...,. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι αποσυζευγμένη και μπορεί πλέον να λυθεί μόνο ως προς την συντεταγμένη σ () t.

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 89 (βλ. σχετικά παραπάνω). Εάν υπάρχει υποκρίσιμη απόσβεση σε όλες τις μορφές ( ζ,,,..., ) τότε η μορφή της σ () t προκύπτει από την σχέση (.36) σε συνδυασμό με τις αρχικές συνθήκες. Κατόπιν ο προσδιορισμός των γενικευμένων συντεταγμένων μπορεί να γίνει μέσω των σχέσεων (4.39). Οι τιμές των λόγων μορφικής απόσβεσης συνήθως προσδιορίζονται πειραματικά. Εάν ο πίνακας της απόσβεσης δεν μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των πινάκων μαζών και στιβαρότητας, τότε η σχέση (4.40) καθώς και η ανάλυση που την ακολουθεί δεν ισχύουν. Στην περίπτωση αυτή σχηματίζονται νέοι πίνακες διαστάσεων ( ) και ένα σύστημα νέων διαφορικών εξισώσεων ως εξής: [0] [0] { x } [ C] [0] [ K] { x} * *,[ K],{ z} (4.46) (4.47) * * { z} [ K] { z} {0} Εάν υποτεθεί η λύση { z} { } e t για το σύστημα των Δ.Ε. της παραπάνω σχέσης τότε με αντικατάσταση θα είναι: * * ξ { Ψ} [ K] { Ψ} {0} (4.48) και άρα: * * ξ [ K] { Ψ} {0} (4.49) Σύγκριση της παραπάνω σχέσης με την (4.5) μας οδηγεί στο εύκολο συμπέρασμα ότι οι τιμές των ξ για τις οποίες επαληθεύεται η (4.49) θα είναι οι ιδιοτιμές του * * πίνακα [ K]. Για κάθε μία ιδιοτιμή που θα αντικαθίσταται στην (4.49) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή { Ψ} (ιδιοδιάνυσμα) του ίδιου πίνακα. που Θα είναι η ιδιομορφή ΑΣΚΗΣΗ Εάν, για το σύστημα της άσκησης 9 θεωρηθεί αναλογική απόσβεση και ο λόγος απόσβεσης είναι 0.0,, για κάθε μορφή, να προσδιορίσετε τις αποκρίσεις των δίσκων του συστήματος. ΛΥΣΗ: Οι ιδιομορφές του συστήματος της άσκησης 9 είναι:

90 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Θ Θ Θ Θ.7808 Θ Θ 0.80 (Α..) και οι αντίστοιχες κανονικοποιημένες: Θ Θ 0.7889 Θ J.40360 (Kg -0.5 m - ) (Α..) Θ Θ 0.997 Θ J 0.604 (Kg -0.5 m - ) (Α..3) Επομένως ο μορφικός πίνακας (βλ. ενότητα 4.8) θα είναι: Θ Θ 0.7889 0.997 [ Θ] Θ Θ J.40360 0.604 (Kg -0.5 m - ) (Α..4) Επειδή,, η απόσβεση είναι υποκρίσιμη για όλες τις μορφές και επομένως ισχύει η σχέση (4.45) που θα έχει την λύση: όπου τα συνθηκών. και σ t e Σ ω ζ t φ (Α..5) () ζ ω t s,, - για, Οι αρχικές συνθήκες για το αρχικό σύστημα θα είναι: - θα πρέπει να προσδιορισθούν βάσει των αρχικών {(0)} θ {0.075 0.035} (rad) και {(0)} θ {0 0} και σύμφωνα με τις σχέσεις (4.39): (rad/sec) { σ} [ Θ] { θ},{ σ} [ Θ] { θ} t0 t0 t0 t0 (Α..6) Ο αντίστροφος του μορφικού πίνακα είναι: 0.743 0.656 [ Θ] J 0.994 0.475 (Kg 0.5 m) (Α..7) και επομένως σύμφωνα με τις (Α..6) και (Α..7) θα είναι: σ (0) 0.7430.075 0.994 0.035 0.03554 σ (0) 0.9940.075 0.4750.035 0.0030 σ (0) 0 σ (0) 0 (Α..8)

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 9 Από τις σχέσεις (.35) θα είναι:. ta 89.4 ζωσ (0) 0.00.03554 Σ(0) σ 0.03554 0.03554 ω ζ 0.0 φ ζ ζ (Α..9). ta 89.4 ζ ωσ (0) 0.00.0030 Σ(0) σ 0.0030 0.0030 ω ζ 0.0 φ ζ ζ (Α..0) Άρα οι εκφράσεις για τις κύριες συντεταγμένες θα είναι: 0.0 5 7 t σ() t e 0.03554s 5 7 0.0 t 89.4 0.0 5 7 t σ() t e 0.0030s 5 7 0.0 t 89.4 (Α..) και σύμφωνα με τις σχέσεις (4.39): 0.7889 0.997 { θ} { σ} J.40360 0.604 (Α..) και τελικά: θ () t 0.7889 σ() t 0.997σ() t 0.0 5 7 t 0.7889e 0.03554s 5 7 0.0 t 89.4 0.0 5 7 t 0.997e 0.0030s 5 7 0.0 t 89.4 (Α..4)

9 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ θ () t.40360 σ() t 0.604σ() t 0.0 5 7 t.40360e 0.03554s 5 7 0.0 t 89.4 0.0 5 7 t 0.604e 0.0030s 5 7 0.0 t 89.4 (Α..5) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι αποκρίσεις των δύο δίσκων για ένα σύστημα όπου 6 4 0 (N/m) και J 0.5 (Kgm ). 0.050 0.040 (rad) 0.030 0.00 Δίσκος Δίσκος 0.00 0.000-0.00 0.0 0. 0. 0.3 0.4 (sec) Σχήμα Α... Οι αποκρίσεις κατά την ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος των δυο δίσκων παρουσία αναλογικής απόσβεσης.