Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου τοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Δημήτρης Κάπος Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος e-mail συγγραφέα: vgrimanelli@gmail.com Copyright 2012 ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ, Παναγιώτης Γριμανέλλης για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-0-5 SET: 978-960-6881-1-2 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. ωτήρος και Αλκιβιάδου 12, Τ.Κ. 185 5 Πειραιάς τηλ.: 210 4112507, fax: 210 4116752 url: www.poukamisas.gr, e-mail: publications@poukamisas.gr
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΓΡΙΜΑΝΕΗ υνεργασία: Βασιλική Γριμανέλλη Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς
την Άννα
Πρό λ ο γ ο ς Η σύνταξη του παρόντος βιβλίου υπαγορεύτηκε από την έκδοση του νέου σχολικού εγχειριδίου για το μάθημα της Άλγεβρας Α υκείου. Ανταποκρίνεται πλήρως στη δομή και τη διδακτέα ύλη του σχολικού βιβλίου και αποτελεί ένα λειτουργικό διδακτικό βοήθημα τόσο για το μαθητή όσο και για το διδάσκοντα. Η δομή κάθε ενότητας ακολουθεί την εξής μορφή: Αρχικά, γίνεται σύντομη αναφορά στο στόχο της ενότητας και, στη συνέχεια, παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία στη μεγαλύτερη δυνατή πληρότητά της και με αρκετές επισημάνσεις-σχόλια, όπου κρίνεται απαραίτητο. Ακολουθούν ασκήσεις κατανόησης βασικών εννοιών της θεωρίας (σωστού-λάθους, πολλαπλής επιλογής, συμπλήρωσης κενού, αντιστοίχισης). τη συνέχεια υπάρχουν λυμένες ασκήσεις για εμπέδωση και εξοικείωση με την ύλη της ενότητας. Για την ουσιαστική και σε βάθος κατανόηση παρατίθενται ασκήσεις αυξημένου βαθμού δυσκολίας (σύνθετες), ενώ όπου θεωρούμε αναγκαίο δίνονται μεθοδολογικά σχόλια και υπενθυμίζονται έννοιες από τη θεωρία. Η ενότητα κλείνει με τις προτεινόμενες προς επίλυση ασκήσεις κλιμακούμενης δυσκολίας, ενώ προτείνονται κριτήρια αξιολόγησης όπου θεωρείται ότι έχει ολοκληρωθεί ένας γνωστικός κύκλος. Μετά την ολοκλήρωση των ενοτήτων, ο αναγνώστης μπορεί να βρει γενικές ασκήσεις για επανάληψη που καλύπτουν όλη την ύλη της Α υκείου. το τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις-υποδείξεις των προτεινόμενων προς επίλυση ασκήσεων καθώς και των κριτηρίων αξιολόγησης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τη Γεωργία αμπροπούλου και τον Αποστόλη Αντωνόπουλο από τις Εκδόσεις Πουκαμισάς για την ολοκλήρωση του παρόντος βιβλίου. Κλείνοντας, ευχαριστώ θερμά τη Βασιλική Γριμανέλλη για τη συμμετοχή της και την πολύτιμη βοήθειά της στη συγγραφή του έργου. Παναγιώτης Γριμανέλλης
Πε ρ ι ε χ ό μ ε ν α ΑΝΙΩΕΙ 19. ΟΙ ΑΝΙΩΕΙ αx + β > 0 και αx + β < 0... 11 20. ΑΝΙΩΕΙ ME ΑΠΟΥΤΕ ΤΙΜΕ... 21 11ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 2 21. ΜΟΡΦΕ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ... 22. ΠΡΟΗΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ αx² + βx + γ, α 0... 41 12ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 65 2. ΑΝΙΩΕΙ ΤΗ ΜΟΡΦΗ Α(x) Ŕ Β(x) Ŕ Ŕ Φ(x) < Α(x) > 0 και Β(x) < > 0... 67 1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 87 ΠΡΟΟΔΟΙ 24. ΑΚΟΟΥΘΙΕ... 89 25. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ... 95 14ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 12 26. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ... 125 15ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 151 27. ΑΝΑΤΟΚΙΜΟ ΙΕ ΚΑΤΑΘΕΕΙ... 15 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΤΩΝ ΥΝΑΡΤΗΕΩΝ 28. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗ ΥΝΑΡΤΗΗ... 157 16ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 176 29. ΚΑΡΤΕΙΑΝΕ ΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕ ΑΠΟΤΑΗ ΔΥΟ ΗΜΕΙΩΝ... 177 0. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΤΑΗ ΥΝΑΡΤΗΗ... 187 1. Η ΥΝΑΡΤΗΗ f(x) = αx + β... 201 17ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 224 2. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΗ ΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΤΑΗ ΜΙΑ ΥΝΑΡΤΗΗ... 225. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΥΝΑΡΤΗΗ... 2 4. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΥΝΑΡΤΗΗ... 247 5. ΥΜΜΕΤΡΙΕ ΥΝΑΡΤΗΗ... 259 18ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 270 ΜΕΕΤΗ ΒΑΙΚΩΝ ΥΝΑΡΤΗΕΩΝ 6. ΜΕΕΤΗ ΤΩΝ ΥΝΑΡΤΗΕΩΝ f(x) = αx 2 και f(x) = αx, α 0... 271 7. ΜΕΕΤΗ ΤΗ ΥΝΑΡΤΗΗ f(x) = α x, α 0... 28 8. ΜΕΕΤΗ ΤΗ ΥΝΑΡΤΗΗ f(x) = αx² + βx + γ, α 0... 295 19ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΟΓΗΗ... 16 9. ΑΚΗΕΙ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ... 17 ΑΠΑΝΤΗΕΙ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙ...
19 ΟΙ ΑΝΙΩΕΙ αx + β > 0 και αx + β < 0 τόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: 99 να επιλύουν ανισώσεις της μορφής αx + β > 0 και αx + β < 0, 99 να γράφουν τις λύσεις των ανισώσεων αυτών σε μορφή διαστημάτων, 99 να βρίσκουν τις κοινές λύσεις δύο ή περισσοτέρων ανισώσεων. ΕΙΑΓΩΓΗ Κάθε ανίσωση που έχει τη μορφή αx + β > 0 ή αx + β < 0, όπου α, β είναι σταθεροί αριθμοί, ονομάζεται ανίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο το x. Οι τιμές του x που επαληθεύουν μια ανίσωση ονομάζονται λύσεις της ανίσωσης. Επίλυση μιας ανίσωσης είναι η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε τις λύσεις της. ΕΠΙΥΗ ΤΗ ΑΝΙΩΗ αx + β > 0 Έχουμε: αx + β > 0 αx + β + ( β) > 0 + ( β) αx + 0 > β αx > β Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: i) Αν α > 0, τότε: αx > β αx α > β α x > β α ii) Αν α < 0, τότε: αx > β αx α < β α x < β α iii) Αν α = 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x > β, η οποία: αληθεύει για κάθε τιμή του x, αν είναι β > 0, ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β 0. ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ 11
ΑΝΙΩΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΒΑΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Α. ΑΚΗΕΙ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ «ΩΤΟ-ΑΘΟ» Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, σημειώνοντας x στην ένδειξη (ωστό) ή (άθος). 1. Η ανίσωση αx > β, με α > 0, αληθεύει για κάθε x > β α. 2. Η ανίσωση αx < β, με α < 0, αληθεύει για κάθε x > β α.. Η ανίσωση αx < 0, με α < 0, αληθεύει για κάθε x < 0. 4. Η ανίσωση αx 0, με α > 0, αληθεύει για κάθε x 0. 5. Αν α < 0, οι λύσεις της ανίσωσης αx β γράφονται υπό μορφή διαστήματος με (, β α ]. 6. Η ανίσωση 0x < 5 αληθεύει για κάθε x. 7. Η ανίσωση 0x > 4 αληθεύει για κάθε x. 8. Η ανίσωση 0x > 2 είναι αδύνατη. 9. Η ανίσωση 0x < 1 είναι αδύνατη. 10. Αν α 2 και α < 6, τότε γράφουμε 2 α < 6. 11. Οι ανισώσεις l < x < 5 και 1 x < 6 συναληθεύουν όταν 1 x < 5. Β. ΑΚΗΕΙ ΠΟΑΠΗ ΕΠΙΟΓΗ Να βάλετε σε κύκλο το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ο μικρότερος ακέραιος αριθμός x, για τον οποίο ισχύει 2x 8 0, είναι: Α: x = Β: x = 4 Γ: x = 4 Δ: x = 5 Ε: x = 2. Ο μικρότερος ακέραιος αριθμός x, για τον οποίο ισχύει x 5 0, είναι: Α: x = Β: x = 2 Γ: x = 1 Δ: x = 2 Ε: x =. Ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός x, για τον οποίο ισχύει 4x + 20 0, είναι: Α: x = 4 Β: x = 4 Γ: x = 5 Δ: x = 5 Ε: x = 12 ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ
19. ΟΙ ΑΝΙΩΕΙ αx + β > 0 και αx + β < 0 4. Ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός x, για τον οποίο ισχύει 4x 17 0, είναι: Α: x = 5 Β: x = 4 Γ: x = Δ: x = 4 Ε: x = 5. Οι ανισώσεις 2x 0 και 2x > 2 συναληθεύουν για κάθε πραγματικό αριθμό x με: Α: x 1 Β: l < x < 1 Γ: x < 1 και x 0 Δ: 1 < x 0 Ε: 1 x < 0 ΑΚΗΕΙ ΕΜΠΕΔΩΗ 19.1 Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 1 2x x > x 2 5 6 ii) 2x x 1 4 > 5x + 7 12 iii) 6x + 1 + 4x 2 7 6 > 0 ύση i) Έχουμε: 1 2x x > x 2 5 6 6 1 2x 6x > 6 x 2 6 5 6 2(1 2x) 6x > 2(x 2) 5 2 4x 6x > 6x 4 5 4x 6x 6x > 2 4 5 16x > 11 x < 16 11 Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x < 16 11, δηλαδή για x (, 16 11 ). ii) Έχουμε: 2x x 4 1 > 5x +7 12 12 2x 12 x 4 1 > 12 5x +7 12 4(2x ) (x 1) > 5x + 7 8x 12 x + > 5x +7 Άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. 8x x 5x > 7 + 12 0x > 16 Επίλυση της ανίσωσης αx > β β 99 Αν α > 0, τότε x > α. β 99 Αν α < 0, τότε x < α. 99 Αν α = 0 και β 0, η ανίσωση είναι αδύνατη. 99 Αν α = 0 και β < 0, η ανίσωση αληθεύει για κάθε τιμή του x. ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ 1
ΑΝΙΩΕΙ iii) Έχουμε: 6x + 1 + 4x 2 7 6 > 0 6 6x + 1 + 6 4x 2 6 7 6 > 0 2(6x + 1) + ( 4x) 7 > 0 12x + 2 + 9 12x 7 > 0 12x 12x > 2 9 + 7 0x > 4 Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. 19.2 i) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 1 2 x + 2 4 1 x + 5 2 (1) και 2(x 2) + 2 < 7 6 x (2) ii) Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) του προηγούμενου ερωτήματος. ύση i) Επιλύουμε καθεμία από τις ανισώσεις χωριστά. Έτσι έχουμε: (1) 4 1 2 x + 4 2 4 1 4 x + 4 5 2 2x + 8 x + 10 2x x 10 8 x 2 Άρα η ανίσωση (1) αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x 2. (2) 6 2(x 2) + 6 2 < 6 7 6 x 12(x 2) + 4 < 7x 12x 24 + 4 < 7x 12x 7x < 24 4 5x < 20 x < 20 5 x < 4 Άρα, η ανίσωση (2) αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x < 4. Επομένως, οι παραπάνω ανισώσεις συναληθεύουν για κάθε τιμή του x που ικανοποιεί συγχρόνως τις x 2 και x < 4, δηλαδή για κάθε x με 2 x < 4. x 2 4 x Εύρεση κοινών λύσεων ανισώσεων Για να βρούμε τις κοινές λύσεις δύο ή περισσότερων ανισώσεων εργαζόμαστε ως εξής: Επιλύουμε καθεμία από τις ανισώσεις χωριστά. Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων στον άξονα των πραγματικών αριθμών και έτσι βρίσκουμε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων. ii) όγω του προηγούμενου ερωτήματος, οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) είναι οι αριθμοί 2 και. 14 ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ
19. ΟΙ ΑΝΙΩΕΙ αx + β > 0 και αx + β < 0 ΥΝΘΕΤΕ ΑΚΗΕΙ 19. Δίνεται η παράσταση Α = x 2. Να βρείτε τις τιμές του x ώστε η παράσταση Α να παίρνει: i) το πολύ την τιμή 1 ii) τουλάχιστον την τιμή 19 iii) τουλάχιστον την τιμή 7 και το πολύ την τιμή 16 ύση i) Έχουμε: Α 1 x 2 1 x 1 + 2 x 15 x 5 Άρα, η παράσταση Α παίρνει το πολύ την τιμή 1 για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x 5, δηλαδή για x (, 5]. ii) Έχουμε: Α 19 x 2 19 x 19 + 2 x 21 x 7 Άρα, η παράσταση Α παίρνει τουλάχιστον την τιμή 19 για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x 7, δηλαδή για x [7, + ). χόλιο Η έκφραση «η παράσταση Α παίρνει το πολύ την τιμή β» μαθηματικά γράφεται Α β. Η έκφραση «η παράσταση Α παίρνει τουλάχιστον την τιμή α» μαθηματικά γράφεται Α α. Η έκφραση «η παράσταση Α παίρνει τουλάχιστον την τιμή α και το πολύ την τιμή β» μαθηματικά γράφεται α Α β. iii) Έχουμε: 7 Α 16 7 x 2 16 7 + 2 x 2 + 2 16 + 2 9 x 18 x 6 Άρα, η παράσταση Α παίρνει τουλάχιστον την τιμή 7 και το πολύ την τιμή 16 για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x 6, δηλαδή για x [, 6]. 19.4 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η μοναδική λύση της εξίσωσης 5x 2λ = 1 + (x + λ) να παίρνει τουλάχιστον την τιμή 8. ύση Επιλύουμε την εξίσωση 5x 2λ = 1 + (x + λ). Έτσι έχουμε: 5x 2λ = 1 + (x + λ) 5x 2λ = 1 + x + λ 5x x = λ + 2λ + 1 2x = 5λ + 1 x = 5λ + 1 2 ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ 15
ΑΝΙΩΕΙ 5λ + 1 Επειδή η μοναδική λύση x = 2 παίρνει τουλάχιστον την τιμή 8, έχουμε: 5λ + 1 2 8 5λ + 1 16 5λ 15 λ Άρα, η μοναδική λύση της εξίσωσης παίρνει τουλάχιστον την τιμή 8, για κάθε πραγματικό αριθμό λ, με λ, δηλαδή για λ [, + ). 19.5 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η μοναδική λύση της εξίσωσης (x + 1) λ = 5 να περιέχεται στο διάστημα [ 1, 2). ύση Έχουμε: (x + 1) λ = 5 x + λ = 5 x = λ + 5 x = λ + 2 x = λ + 2 λ + 2 Επειδή η λύση x = περιέχεται στο διάστημα [ 1, 2), έχουμε: 1 λ + 2 < 2 1 λ + 2 < 2 λ + 2 < 6 2 λ < 6 2 5 λ < 4 Άρα, η μοναδική λύση της εξίσωσης περιέχεται στο διάστημα [ 1, 2) για κάθε πραγματικό αριθμό λ, με 5 λ < 4, δηλαδή για λ [ 5, 4). 19.6 Να λύσετε την ανίσωση λ(x 2) < λ. ύση Έχουμε: λ (x 2) < λ λx 2λ < λ λx < λ + (1) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν λ > 0, τότε: (1) x < λ + λ Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x < λ + λ Αν λ < 0, τότε: (1) x > λ + λ Άρα, η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x > λ + λ Αν λ = 0, τότε: (1) 0x < που αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. 16 ΕΚΔΟΕΙ ΠΟΥΚΑΜΙΑ