ΕΤΦΤΗ ΕΛΕΓΧΟ Κεφάλαιο 3 τοιχεία τησ Αςαφοφσ Λογικήσ Επιμέλεια: Πέτροσ Π. Γρουμπόσ, Κακθγθτισ Βάια Κ. Γκουντρουμάνη, Υπ. Διδάκτωρ Τμιμα Ηλεκτρολόγων Μθχανικϊν & Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν
Άδειεσ Χριςθσ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτϊσ. 2
Χρθματοδότθςθ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό ζχει αναπτυχκεί ςτα πλαίςια του εκπαιδευτικοφ ζργου των διδαςκόντων κακθγθτϊν. Το ζργο «Ανοικτά Ακαδθμαϊκά Μακιματα ςτο Ρανεπιςτιμιο Ρατρϊν» ζχει χρθματοδοτιςει μόνο τθ αναδιαμόρφωςθ του εκπαιδευτικοφ υλικοφ. Το ζργο υλοποιείται ςτο πλαίςιο του Επιχειρθςιακοφ Ρρογράμματοσ «Εκπαίδευςθ και Δια Βίου Μάκθςθ» και ςυγχρθματοδοτείται από τθν Ευρωπαϊκι Ζνωςθ (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εκνικοφσ πόρουσ. 3
κοπόσ Μελζτθ Αςαφισ Λογικι Βαςικοί Προι Αςαφοφσ Λογικισ Αςαφι Σφνολα Συνάρτθςθ Συμμετοχισ Λεκτικζσ Μεταβλθτζσ Αςαφισ Εξαρτθμζνθ Διλωςθ Αςαφείσ Κανόνεσ Τελεςτζσ Αςαφοφσ Λογικισ Ρράξεισ με Αςαφι Σφνολα Διακριτζσ Συναρτιςεισ Συμμετοχισ Συνδετικά και, ι, όχι Λεκτικά Ρεριγράμματα 4
Αςαφισ Λογικι (1/2) Ο κεωρθτικόσ φορζασ για τθν υλοποίθςθ μιασ μεγάλθσ κατθγορίασ Ευφυϊν Συςτθμάτων είναι θ Αςαφήσ Λογική (Fuzzy Logic), που ειςιχκθ από τον Lotfi A. Zadeh ςτα μζςα τθσ δεκαετίασ του 1960. Η κεωρία τθσ Αςαφοφσ Λογικισ βαςίηεται ςτθν προχπόκεςθ ότι ο περιβάλλων χϊροσ απαρτίηεται από ςτοιχεία που ανικουν ςε ςφνολα με διαφορετικοφσ βακμοφσ ςυμμετοχισ. Η αςάφεια δθμιουργεί μια πλειότιμθ ζννοια ςτο χϊρο τθσ αβεβαιότθτασ, παραδείγματα τθσ οποίασ είναι θ αλικεια, το ψεφδοσ και οι ενδιάμεςεσ ζννοιεσ. 5
Αςαφισ Λογικι (2/2) Η Αςαφισ Λογικι είναι κατάλλθλθ τόςο για τθν αναπαράςταςθ τθσ γνϊςθσ και εμπειρίασ, όςο και για τθ δθμιουργία μθχανιςμϊν ςυμπεραςμοφ ι ςυμπεραςμάτων που χρθςιμοποιοφν τθ διακζςιμθ κωδικοποιθμζνθ γνϊςθ και τισ τρζχουςεσ τιμζσ των μεταβλθτϊν τθσ ελεγχόμενθσ διαδικαςίασ για να ςυμπεράνουν τθ δράςθ ελζγχου που κα πρζπει να επιβλθκεί ςτθ διαδικαςία. 6
Βαςικοί Προι Αςαφοφσ Λογικισ Στθν κλαςικι κεωρία ςυνόλων, ζνα ςφνολο αποτελείται από ζναν πεπεραςμζνο ι άπειρο αρικμό ςτοιχείων. Τα ςτοιχεία όλων των ςυνόλων υπό μελζτθ ανικουν ςε ζνα υπερςφνολο αναφοράσ (universe of discourse). Τα ςτοιχεία ενόσ υπερςυνόλου αναφοράσ που περιζχει το ςφνολο υπό μελζτθ ανικουν ι όχι ςτο υπό μελζτθ ςφνολο Α. f A 1 Αυτό μπορεί να εκφραςτεί με τθ χαρακτθριςτικι ςυνάρτθςθ του Boole f A (x) του ςαφοφσ ςυνόλου Α: Α f A (x) = 1 αν x A = 0 αν x A x 7
Αςαφι Σφνολα (1/2) Η αςάφεια μπορεί να ειςαχκεί ςτθ κεωρία των ςυνόλων, αν γενικευτεί θ χαρακτθριςτικι ςυνάρτθςθ για να λαμβάνει άπειρο αρικμό τιμϊν ςτο διάςτθμα *0,1+. 8
Αςαφι Σφνολα (2/2) Αν Χ είναι το υπερςφνολο αναφοράσ με επί μζρουσ ςτοιχεία x, τότε X={x}. Eνα αςαφζσ ςφνολο (fuzzy set) Α του υπερςυνόλου αναφοράσ Χ μπορεί να εκφραςτεί ςυμβολικά ωσ ζνα ςφνολο διατεταγμζνων ηευγϊν (ordered pairs): A= {μ A (x)/x- ι Σ,μ A (x)/x- για x X για τθ ςυνεχι και τθ διακριτι περίπτωςθ αντιςτοίχωσ. Εδϊ μ Α (x) καλείται θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ (membership function) του x ςτο ςφνολο Α και είναι θ απεικόνιςθ του υπερςυνόλου αναφοράσ Χ ςτο κλειςτό διάςτθμα [0,1]. Η ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ υποδεικνφει το βακμό κατά τον οποίον το ςφνολο x ανικει ςτο ςφνολο Α, δθλαδι μ Α (x): X [0,1] 9
Συνάρτθςθ Συμμετοχισ Το ςφνολο ςτιριξθσ (support set) ενόσ αςαφοφσ ςυνόλου Α είναι το ςφνολο των ςτοιχείων του υπερςυνόλου αναφοράσ Χ για το οποίο μ Α (x)>0. Ενα αςαφζσ ςφνολο ουςιαςτικά είναι θ απεικόνιςθ του ςυνόλου ςτιριξθσ ςτο κλειςτό διάςτθμα [0,1]. Ωσ παράδειγμα, θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ του αςαφοφσ ςυνόλου Α=,χαμθλι- ςτο υπερςφνολο αναφοράσ των κετικϊν ακζραιων αρικμϊν από [0,100] που αναφζρεται ςε κερμοκραςία μπορεί, εναλλακτικά να ζχει διακριτζσ τιμζσ, όπωσ: μ Α (0)= μ Α (5)= μ Α (10)= μ Α (15)= μ Α (20)=1,0 μ Α (25)=0,9 μ Α (30)=0,8 μ Α (35)=0,6 μ Α (40)=0,3 μ Α (45)=0,1 μ Α (50)= μ Α (55)=... μ Α (100)=0. 10
Ραράδειγμα Συνάρτθςθσ Συμμετοχισ Επίςθσ μπορεί εναλλακτικά να εκφραςτεί ωσ το διακριτό αςαφζσ ςφνολο: μ Α (x)= {1 0 + 1/5 + 1 10 + 1 15 + 1 20 + 0,9/25 + 0,8 30 + 0,6 35 + 0,3 40 + 0,1 45 + 0 50 + 0/55 +... 0 100} 11
Ραράδειγμα Αςαφϊν Μεταβλθτϊν Οι τιμζσ μιασ αςαφοφσ μεταβλθτισ (fuzzy variable) μποροφν να κεωρθκοφν ετικζτεσ (labels) αςαφϊν ςυνόλων. Eτςι, για παράδειγμα, θ ΘΕΜΟΚΑΣΙΑ ςε κάποιο ςθμείο μιασ διαδικαςίασ μπορεί να κεωρθκεί ωσ αςαφισ μεταβλθτι που μπορεί να πάρει λεκτικζσ τιμζσ Κανονικι, Χαμθλι, Μζςθ, Υψθλι και πολφ_υψθλι. Οι λεκτικζσ τιμζσ αυτζσ μποροφν εφκολα να περιγραφοφν με αςαφι ςφνολα όπωσ κα φανεί ςτθ ςυνζχεια. 12
Λεκτικζσ Μεταβλθτζσ Γενικότερα, οι τιμζσ μιασ αςαφοφσ μεταβλθτισ μπορεί να είναι προτάςεισ ςε κάποια προδιαγεγραμμζνθ γλϊςςα με ςυνδυαςμό αςαφϊν μεταβλθτϊν, λεκτικϊν περιγραμμάτων (linguistic descriptors) και υπεκφυγϊν (hedges). Οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ΘΕΜΟΚΑΣΙΑ του παραδείγματοσ μποροφν ζτςι να εκφραςτοφν ωσ Υψθλι, όχι_υψθλι, ςχετικά_υψθλι, όχι_πολφ_υψθλι, πάρα_πολφ_υψθλι, αρκετά_υψθλι κ.ά. δθλαδι με προτάςεισ αποτελοφμενεσ από τθν ετικζτα Υψθλι, τθν άρνθςθ όχι, τα ςυνδετικά και άλλα κακϊσ και τα περιγράμματα πολφ, ςχετικά, αρκετά κ.ά. Κατά τον τρόπο αυτό θ μεταβλθτι ΘΕΜΟΚΑΣΙΑ είναι μια λεκτικι μεταβλθτι. 13
Λεκτικι Μεταβλθτι- ΘΕΜΟΚΑΣΙΑ 14
Αςαφισ Εξαρτθμζνθ Διλωςθ (1/3) Η εξάρτθςθ μιασ λεκτικισ μεταβλθτισ από μια άλλθ, περιγράφεται από μια αςαφι εξαρτθμζνθ διλωςθ (fuzzy conditional statement) που ζχει τθ μορφι: ι ςυμβολικά R : AN Δ 1 ΤΟΤΕ Δ 2 Δ 1 Δ 2 όπου Δ 1 και Δ 2 είναι αςαφείσ δθλϊςεισ τθσ μορφισ Δ : Χ είναι Α και Α είναι ζνα αςαφζσ υποςφνολο του υπερςυνόλου αναφοράσ Χ. 15
Αςαφισ Εξαρτθμζνθ Διλωςθ (2/3) Στο υποςφνολο Α μπορεί να δοκεί μια λεκτικι ζννοια που ορίηει τθν τιμι του Χ, για παράδειγμα: AN το ΦΟΡΣΙΟ είναι Μικρό ΣΟΣΕ η ΡΟΠΗ είναι Πολφ_Μεγάλη ι AN το ΦΑΛΜΑ είναι Μεγάλο_Αρνητικό ΣΟΣΕ η ΕΞΟΔΟ είναι Μεγάλη_Θετική. Δφο ι περιςςότερεσ αςαφείσ εξαρτθμζνεσ δθλϊςεισ μποροφν να ςυνδυαςτοφν (θ μια να ενςωματϊνεται ςτθν άλλθ) ϊςτε να ςχθματίςουν μια ζνκετθ αςαφι εξαρτθμζνθ διλωςθ τθσ μορφισ: R : AN Δ 1 ΤΟΤΕ (AN Δ 2 ΤΟΤΕ Δ 3 ). 16
Αςαφισ Εξαρτθμζνθ Διλωςθ (3/3) Η προθγοφμενθ διλωςθ μπορεί να εκφραςτεί επίςθσ ωσ δφο ςυνδεδεμζνεσ εξαρτθμζνεσ δθλϊςεισ ωσ εξισ: Για παράδειγμα: R 1 : AN Δ 1 ΤΟΤΕ R 2 και R 2 : AN Δ 2 ΤΟΤΕ Δ 3. AN το ΣΦΑΛΜΑ είναι Μεγάλο_Αρνθτικό ΤΟΤΕ (AN θ ΜΕΤΑΒΟΛΗ_ΤΟΥ_ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ είναι Μεγάλθ_Θετικι ΤΟΤΕ θ ΕΞΟΔΟΣ είναι Μεγάλθ_Θετικι) μπορεί να εκφραςτεί ωσ: R 1 : AN το ΣΦΑΛΜΑ είναι Μεγάλο_Αρνθτικό ΤΟΤΕ R 2 R 2 :AN θ ΜΕΤΑΒΟΛΗ_ΤΟΥ_ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ είναι Μεγάλθ_Θετικι ΤΟΤΕ θ ΕΞΟΔΟΣ είναι Μεγάλθ_Θετικι. 17
Αςαφείσ Κανόνεσ if x is A then y is B x, y : λεκτικζσ μεταβλθτζσ Α, Β : λεκτικζσ τιμζσ (αςαφι ςφνολα) Κλαςςικόσ κανόνασ if speed is >100 then stop-distance is >50 Αςαφήσ κανόνασ if speed is fast then stop-distance is long Πιό ςφνθετοι κανόνεσ: χριςθ AND ι/και OR ςτισ ςυνκικεσ, φπαρξθ περιςςότερων του ενόσ ςυμπεραςμάτων. 18
Τελεςτζσ Αςαφοφσ Λογικισ (1/2) Οι τελεςτζσ min και max δφο ςτοιχείων α και β ορίηονται ωσ: α β = min (α,β) = α αν α β = β αν α>β α β = max (α,β) = α αν α β = β αν α<β Γνωςτά παραδείγματα των παραπάνω είναι οι λογικζσ πφλεσ H (OR) και ΚΑΙ (AND) 19
Τελεςτζσ Αςαφοφσ Λογικισ (2/2) Οι τελεςτζσ min και max δφο ςυνόλων Α και Β ζχουν ωσ αποτζλεςμα τα ςφνολα Γ και Δ αντίςτοιχα, δθλαδι Γ = Α Β =,min (α,β)- α Α, β Β Δ = Α Β =,max (α,β)- α Α, β Β όπωσ φαίνονται ςτο παρακάτω Σχιμα. Oταν οι τελεςτζσ χρθςιμοποιοφνται ενιαία υπονοοφν το ελάχιςτο (inf ι infinum) ι το μζγιςτο (sup ι supremum) όλων των ςτοιχείων ενόσ ςυνόλου, π.χ. α = Α = inf(a) α Α α = Α = sup(a) α Α 20
Γραφικι Ραράςταςθ των Ρράξεων min & max 21
Ρράξεισ με Αςαφι Σφνολα (1/2) Eνα αςαφζσ ςφνολο Α του Χ κεωρείται κενό (null) αν θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ του είναι μθδενικι παντοφ, δθλαδι Α = αν μ Α (x) = 0 x X. Το ςυμπλιρωμα (complement) ενόσ αςαφοφσ ςυνόλου ορίηεται ωσ: μ Α = 1 - μ Α (x) x X. 22
Ρράξεισ με Αςαφι Σφνολα (2/2) Ζνα αςαφζσ ςφνολο Β είναι υποςφνολο (subset) ενόσ ςυνόλου Α αν θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ του Β είναι μικρότερθ ι ίςθ με αυτι του Α παντοφ ςτο Χ, δθλαδι Β Α αν μ Β (x) μ Α (x) x X Η ζνωςθ (union) δφο αςαφϊν ςυνόλων Α και Β ςτο Χ ορίηεται ωσ: μ Α Β (x) = μ Α (x) μ Β (x) x X Η τομι (intersection) δφο αςαφϊν ςυνόλων Α και Β ςτο Χ ορίηεται ωσ: μ Α Β (x) = μ Α (x) μ Β (x) x X Το γινόμενο (product) δφο αςαφϊν ςυνόλων Α και Β ςτο Χ ορίηεται ωσ: μ Α Β (x) = μ Α (x) μ Β (x) x X 23
Λεκτικζσ Μεταβλθτζσ Η τιμι μιασ λεκτικισ μεταβλθτισ είναι ζνασ ςφνκετοσ όροσ αποτελοφμενοσ από ατομικοφσ όρουσ. Οι όροι αυτοί ζχουν τισ εξισ υποκατθγορίεσ: πρωτεφοντεσ όροι (primary terms) που είναι ετικζτεσ αςαφϊν ςυνόλων του υπερςυνόλου αναφοράσ (π.χ. Yψθλό, Xαμθλό, Mικρό, Mζςο, Mεγάλο, Mθδζν), τθν άρνθςθ (negation) ΟΧΙ (ΝΟΤ) και τα ςυνδετικά (connectives) ΚΑΙ (AND) και H (OR), λεκτικά περιγράμματα (linguistic descriptors) όπωσ πολφ, ελαφρά, ςχεδόν, αρνθτικό και δείκτεσ (markers), όπωσ οι παρενκζςεισ. 24
Διακριτζσ Συναρτιςεισ Συμμετοχισ Για παράδειγμα αν: Χ = {0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} οι διακριτζσ ςυναρτιςεισ ςυμμετοχισ για τουσ όρουσ Μικρό, Μζςο και Μεγάλο ορίηονται ςτο παράδειγμα ωσ: μ Μικρό (x) = {0,3 + 0,7 + 1 + 0,7 + 0,3 + 0 + 0} μ Μζςο (x) = {0 + 0 + 0,3 + 0,7 + 1 + 0,7 + 0,3} μ Μεγάλο (x) = {0 + 0 + 0 + 0 + 0,3 + 0,7 + 1} 25
Συνδετικά- ΚΑΙ Η άρνθςθ ΟΧΙ και τα ςυνδετικά ΚΑΙ και Η μποροφν να οριςτοφν μζςω των πράξεων του ςυμπλθρϊματοσ, τομισ και ζνωςθσ αντίςτοιχα. Συνικωσ το ςυνδετικό ΚΑΙ χρθςιμοποιείται με μεταβλθτζσ που ζχουν διαφορετικά υπερςφνολα αναφοράσ. Αν τότε = μ Α B (x,y)/ (x,y) Α =,μ Α (x)/x} B =,μ B (y)/y} για x X για y Y A KAI B = μ Α (x) μ B (y)/ (x,y) για x X, y Y 26
Συνδετικά- H Το ςυνδετικό H μπορεί να ςυνδζςει λεκτικζσ τιμζσ τθσ ίδιασ μεταβλθτισ. Είναι προφανζσ ότι κα πρζπει και οι δφο μεταβλθτζσ να ανικουν ςτο ίδιο υπερςφνολο αναφοράσ. Για παράδειγμα αν Α =,μ Α (x)/x- για x X B =, μ Β (x)/x- για x X Τότε A H B = μ Α (x) μ B (x)/(x) = μ Α B (x)/(x) για x X Το ςυνδετικό H μπορεί να χρθςιμοποιθκεί με μεταβλθτζσ ςε διαφορετικά υπερςφνολα αναφοράσ αν οι μεταβλθτζσ βρίςκονται ςτο μζροσ τθσ ςυνκικθσ μιασ ςχζςθσ τθσ μορφισ ΑΝ... ΤΟΤΕ. Για παράδειγμα: ΑΝ θ ΡΙΕΣΗ είναι υψθλι Ή θ ΤΑΧΥΤΗΤΑ είναι μεγάλθ ΤΟΤΕ θ ΡΑΟΧΗ_ΚΑΥΣΙΜΟΥ κα πρζπει να γίνει μθδζν. 27
Συνδετικά- ΟΧΙ Η πράξθ ΟΧΙ είναι ςυνϊνυμθ με τθν άρνθςθ ςτθ φυςικι γλϊςςα. Ζτςι αν Α =,μ Α (x)/x} για x X ΟΧΙ Α = Α =,1 - μ Α (x)/x} Είναι προφανζσ ότι θ πρόταςθ θ ΡΙΕΣΗ είναι ΟΧΙ υψθλι είναι ςυνϊνυμθ με τθν πρόταςθ θ ΡΙΕΣΗ ΔΕΝ είναι υψθλι. 28
Λεκτικά Ρεριγράμματα Λεκτικά περιγράμματα (linguistic descriptors) χρθςιμεφουν ςτθ δθμιουργία ενόσ ευρφτερου ςυνόλου λεκτικϊν τιμϊν μιασ λεκτικισ μεταβλθτισ από μια μικρότερθ ςυλλογι πρωτευόντων όρων. Xρθςιμοποιϊντασ το περίγραμμα πολφ ςε ςυνδυαςμό με τα ςυνδετικά ΟΧΙ, ΚΑΙ και τον πρωτεφοντα όρο μεγάλο, μποροφμε να δθμιουργιςουμε τα επιπλζον αςαφι ςφνολα πολφ μεγάλο, πάρα πολφ μεγάλο, ΟΧΙ πολφ μεγάλο, μεγάλο ΚΑΙ ΟΧΙ πολφ μεγάλο κ.ά. Με τον τρόπο αυτό μποροφμε να υπολογίςουμε τθ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ ςφνκετων όρων, όπωσ π.χ. Α = ΟΧΙ μικρό ΚΑΙ ΟΧΙ μεγάλο θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ τθσ οποίασ είναι απλϊσ μ Α (x) = [1 - μ ΜΙΚΟ (x)] [1 - μ ΜΕΓΑΛΟ (x)]. 29
Αςαφισ Λογικι - Γενικά Αφορά τθν αναπαράςταςθ ανακριβοφσ (imprecise) ι αδιευκρίνιςτθσ (ambiguous) γνϊςθσ (π.χ. ο Γιάννθσ είναι ψθλόσ) Στθρίηεται ςτθ κεωρία των αςαφϊν ςυνόλων (κεμελιωτισ L. A. Zadeh, 1965) Χρθςιμοποιεί τθν ζννοια του βακμοφ ςυμμετοχισ/αλικεια (degrees of membership /truth) και όχι τον κάκετο διαχωριςμό αλικεια-ψεφδοσ Αςχολείται με τθν αςάφεια (fuzziness τθσ γνϊςθσ (κεωρία δυνατοτιτων), όχι με τθν τυχαιότθτά τθσ (randomness)(κεωρία πικανοτιτων) 30
Λεκτικζσ Μεταβλθτζσ (1/2) Ζνα αςαφζσ ςφνολο παριςτάνει μια αςαφι ι (fuzzy or linguistic value). Ρ.χ. low (χαμθλι). λεκτικι τιμι Μεταβλθτζσ που παίρνουν αςαφείσ τιμζσ λζγονται αςαφείσ ι λεκτικζσ μεταβλθτζσ (fuzzy or linguistic variables). Ρ.χ. speed is low (θ ταχφτθτα είναι χαμθλι). Η περιοχι των δυνατϊν τιμϊν μιασ λεκτικισ μεταβλθτισ αποτελεί το ςφνολο αναφοράσ των λεκτικϊν τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. Ρ.χ. U speed =(0,220) (km/h). 31
Λεκτικζσ Μεταβλθτζσ (2/2) Οι τιμζσ μιασ λεκτικισ μεταβλθτισ είναι αςαφι υποςφνολα του ςυνόλου αναφοράσ. Ρ.χ. low, medium, high είναι αςαφι υποςφνολα του Uspeed. Οι αςαφείσ τιμζσ/ςφνολα μποροφν να παραςτακοφν με δφο τρόπουσ (α) Με αναλυτικι ζκφραςθ/απεικόνιςθ (β) Σαν ςφνολο ηευγϊν Ραράδειγμα: Λεκτικι μεταβλθτι: height (φψοσ) Σφνολο αναφοράσ: 0.20-2.30 m Αςαφείσ τιμζσ: short, average, tall 32
ημείωμα Αναφοράσ Copyright Ρανεπιςτιμιο Ρατρϊν, Ρζτροσ Γρουμπόσ. «Ευφυισ ζλεγχοσ, Στοιχεία τθσ αςαφοφσ λογικισ». Ζκδοςθ: 1.0. Ράτρα 2014. Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/opencourses.php?fc=15 33