Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Σχετικά έγγραφα
Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασική Θεωρία Ελέγχου

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Ιστορία της μετάφρασης

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Ιστορία της μετάφρασης

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Διοικητική Λογιστική

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Διδακτική της Πληροφορικής

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Ευαγγελικές αφηγήσεις της Ανάστασης

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

Επικοινωνία Ανθρώπου- Υπολογιστή Σχεδίαση Αλληλεπίδρασης

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου

Transcript:

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων Νίκος Καραμπετάκης

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Περιεχόμενα Ενότητας Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (ορίζουσα Sylvester). Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων. 4

Σκοποί Ενότητας Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων πάνω στον δακτύλιο των πολυωνύμων. 5

Λήμμα (1) Λήμμα: Τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 Απόδειξη: ( ) Ας υποθέσουμε ότι τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα τον h(s). Τότε και συνεπώς f s = f s h s h s, g s = g s h s h s 6

Λήμμα (2) f s g s h s f s f s = h s g s h s g s h s h s f s h s f s = h s g s g s 0 Συνεπώς υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα τέτοια ώστε s(s) = g s h s f s και t(s) = h s 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 7

Λήμμα (3) ( ) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 f s s s = g s t s Κάθε παράγοντας του f(s) είναι παράγοντας του g(s)t(s). 1η περίπτωση. Υπάρχει παράγοντας του f(s) που είναι παράγοντας του g(s) (κοινός παράγοντας). 8

Λήμμα (4) 2η περίπτωση. Δεν υπάρχει παράγοντας του f(s) που να είναι παράγοντας του g(s). Συνεπώς θα πρέπει όλοι οι παράγοντες του f(s) να είναι παράγοντες του t(s). Το t(s) όμως είναι μη-μηδενικό και έχει βαθμό μικρότερο του f(s) και συνεπώς αυτό είναι αδύνατο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 9

Ορίζουσα Sylvester (1) n = degf, m = degg s = s i x i 0 i<m, t = t i x i 0 i<n P x = f x s x + g x t x P x = f n s m 1 + g m t n 1 x m+n 1 + (f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 )x m+n 2 + + f 0 s 0 + g 0 t 0 x 0.

Ορίζουσα Sylvester (2) P x 0 f n s m 1 + g m t n 1 = 0 f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 = 0 = 0 f 0 s 0 + g 0 t 0 = 0 s m 1,, s 0, t n 1,, t 0 Syl f, g = 0 11

Ορίζουσα Sylvester (3) Syl f, g = f n f 0 f n f 0 g m g 0 g m g 0 } m rows } n rows 12

Ορίζουσα Sylvester (4) Syl f, g = s m 1,, s 0, t n 1,, t 0 Syl f, g = 0 f n f 0 f n f 0 g m g 0 g m g 0 } m rows } n rows Για να υπάρχει μη-μηδενική λύση θα πρέπει η ορίζουσα Sylvester να είναι ίση με μηδέν! Η resultant των πολυωνύμων f(s), g(s), συμβολίζεται res(f, g), και ορίζεται ως η ορίζουσα του πίνακα Sylvester π.χ. res(f, g) = Det[Syl(f(s), g(s))] 13

Θεώρημα (1) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. Παράδειγμα: f x = x 2 5x + 6, g x = x 2 3x + 2 1 5 6 0 0 1 5 6 res f, g = det = 0 1 3 2 0 0 1 3 2 Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 14

Θεώρημα (2) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. Παράδειγμα: f x = x 2 7x + 12, g x = x 2 x 1 7 12 0 0 1 7 12 res f, g = det = 72 0 1 1 0 0 0 1 1 0 Τα f(s), g(s) δεν έχουν κοινό παράγοντα. 15

Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (1) Έστω τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n 1 + + d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n 1 + + h 1 s + h 0, deg h s = n 1 1 0 s 0 s S s = 0 0 1 0 s 0 s n 1 16

Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (2) x s 1 0 d s s 0 sd s = S s d s s = 0 d s s = d s h s 0 1 h s h s 0 s sh s 0 s n 1 s n 1 h s degx s = max degx i s = 2n 1 17

Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (3) x s = x 0 + x 1 s + + x 2n 1 s 2n 1 = x 0 x 1 x 2n 1 όπου R = x 0 x 1 x 2n 1 d 0 d 1 d n 1 0 d 0 d n 2 0 0 d 0 h 0 h 1 h n 1 0 h 0 h n 2 0 0 h 0 1 s s 2n 1 = Rs s d n 0 0 d n 1 d n 0 d 1 d n 1 d n 0 0 0 h n 1 0 0 h 1 h n 1 0 18

Θεώρημα Sylvester Θεώρημα Sylvester. Τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n 1 + + d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n 1 + + h 1 s + h 0, deg h s = n 1 είναι πρώτα μεταξύ τους εάν και μόνο εάν rankr = 2n. Ο πίνακας R ονομάζεται resultant των d s και h s. 19

Παράδειγμα 1 Έστω R = d s = s 3 5s + 6, deg d s = 3 h s = s 2 4s + 4, deg h s = 2 6 5 0 0 6 5 0 0 6 4 4 1 0 4 4 0 0 4 1 0 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 detr = 16 0 Συμπέρασμα: d s και h s είναι πρώτα μεταξύ τους. 20

Θεώρημα (Επίλυση πολυωνυμικής Διοφαντικής εξίσωσης) Αν τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n 1 + + d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n 1 + + h 1 s + h 0, deg h s = n 1 είναι πρώτα μεταξύ τους και f s = f 2n 1 s 2n 1 + f 2n 2 s 2n 2 + + f 0, deg f s = 2n 1 είναι αυθαίρετο πολυώνυμο, τότε υπάρχουν πολυώνυμα a(s), b(s) βαθμού μικρότερου ή ίσου του n 1 τέτοια ώστε a s d s + b s h s = f s. 21

Απόδειξη (1) Απόδειξη: a s = a n 1 s n 1 + a n 2 s n 2 + a 0, deg a s = n 1 b s = b n 1 s n 1 + b n 2 s n 2 + + b 0, deg b s = n 1 d s a s d s + b s h s = f s a s b s = f s h s 1 0 s 0 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 s n 1 0 d s 0 1 h s = f s 0 s 0 s n 1 22

Απόδειξη (2) a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R 1 s = f 0 f 1 f 2n 1 1 s s 2n 1 s 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R = f 0 f 1 f 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 = f 0 f 1 f 2n 1 R 1 23

Παράδειγμα 1 συνέχεια Έστω d s = s 3 5s + 6, deg d s = 3 και h s = s 2 4s + 4, deg h s = 2 f s = s 4 s 2 + s 1 a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 = 1 1 1 0 1 0 = 1 8 25 16 0 7 16 19 8 6 5 0 0 6 5 0 0 6 4 4 1 0 4 4 0 0 4 9 16 1 0 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 a s = 1 8 + 25 16 s + 0s2, b s = 7 16 19 8 s 9 16 s2 1 24

Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Πουλιέζος Αναστάσιος, 2013, Περί Συστημάτων Ελέγχου. Εισαγωγικό Εγχειρίδιο της Σύγχρονης Θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Norman Nise, 2011, Control Systems Engineering, 6th Edition, John Willey. 25

Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs432/ 26

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ 27

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 28

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο 2014-2015