Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε ϕραγµένη ακολουθία συγκλίνει ϐ) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ϕραγµένη γ) Αν a ) είναι µια ακολουθία ακεραίων αριθµών, τότε η a ) συγκλίνει αν και µόνο αν είναι τελικά σταθερή δ) Υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό στ) Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο κάποιας ακολουθίας άρρητων αριθµών Ϲ) Αν a ) είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών, τότε a 0 αν και µόνο αν a + η) Εστω a ) αύξουσα ακολουθία Αν η a ) δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ϑ) Αν η a ) συγκλίνει τότε και η a ) συγκλίνει ι) Αν a > 0 και η a ) δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ια) Αν η a ) συγκλίνει και a + = a για κάθε N, τότε η a ) είναι σταθερή Εστω a ) ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών Αν a a > 0 αποδείξτε ότι a Τι µπορείτε να πείτε αν a 0; Εστω a ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim a = Θεωρούµε τα σύνολα A = { N : a < 00} A = { N : a > 00} A = { N : a < 98} A 4 = { N : 99997 < a < 000} A 5 = { N : a } Για κάθε j =,, 5 εξετάστε αν α) το A j είναι πεπερασµένο, ϐ) το N \ A j είναι πεπερασµένο 4 Αποδείξτε µε τον ορισµό ότι a = + 5 Εστω a ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών Αν lim a = a > 0, δείξτε ότι a > 0 τελικά 6 Για ποιές τιµές του x R συγκλίνει η ακολουθία x +x ) ;
7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α =!, β = +, γ =, δ = + ) ε = 0 ), κ =!, ν = τ =!, ξ = si ) ζ = 6 6, η = si ), +, ρ = + θ = si ), σ = + + 8 α) Εστω a, a,, a k > 0 είξτε ότι b := a + a + + a k max{a, a,, a k } ϐ) Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας x = + + + 9 Εστω α R Εξετάστε αν συγκλίνει η ακολουθία x = [α] 0 Εστω α > 0 είξτε ότι η ακολουθία b = +α +α) και, αν ναι, ϐρείτε το όριο της είναι ϕθίνουσα και προσδιορίστε το όριο της Εστω a ), b ) ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Υποθέτουµε ότι lim a = a > 0 και b + α) είξτε ότι υπάρχουν δ > 0 και 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a > δ ϐ) είξτε ότι a b + είξτε ότι η ακολουθία y = πρώτα αν η y ) είναι µονότονη + + + + + συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό Υπόδειξη: Εξετάστε Θέτουµε a = 6 και, για κάθε =,,, a + = 6 + a Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση την ακολουθία a ) 4 Ορίζουµε µια ακολουθία a ) µε a = και Εξετάστε αν συγκλίνει a + = a + a +, N 5 Εστω a ) µια ακολουθία είξτε ότι a a αν και µόνο αν οι υπακολουθίες a k ) και a k ) συγκλίνουν στο a 6 Εστω a ) µια ακολουθία Υποθέτουµε ότι οι υπακολουθίες a k ), a k ) και a k ) συγκλίνουν είξτε ότι : α) lim a k = lim a k = lim a k k k k ϐ) Η a ) συγκλίνει
Β Οµάδα 7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α = 5 + 6, β = +, γ = ) δ = + ) +, ε = cos ) + λ = ) +, µ =!, θ =!) )! 8 Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω ακολουθίες: a = + + + + + + b = + + + + γ =! + + )! + + )! δ = + / + ) + + / ) / 9 Εστω A µη κενό και άνω ϕραγµένο υποσύνολο του R Αν a = sup A, δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία a ) στοιχείων του A µε lim a = a Αν, επιπλέον, το sup A δεν είναι στοιχείο του A, δείξτε ότι η παραπάνω ακολουθία µπορεί να επιλεγεί ώστε να είναι γνησίως αύξουσα 0 Εστω a ) ακολουθία µε a a Ορίζουµε µια δεύτερη ακολουθία b ) ϑέτοντας είξτε ότι b a b = a + + a Εστω a ) ακολουθία ϑετικών όρων µε a a > 0 είξτε ότι b := a + + a και γ := a a a a Εστω a ) ακολουθία µε lim a + a ) = a είξτε ότι a a Εστω a ) αύξουσα ακολουθία µε την ιδιότητα b := a + + a a είξτε ότι a a
a 4 είξτε ότι : αν a > 0 και lim + a = a, τότε lim a = a 5 Προσδιορίστε τα όρια των ακολουθιών : α = [ ] / )!!) β = [ + ) + ) + )]/ + γ = [ ) ) 4 ) ] / 6 Υπολογίστε τα όρια των παρακάτω ακολουθιών : a = + ), b = +, c = ) ) και d = ), e = + ) a 7 Εστω a ), b ) δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών µε b 0 για κάθε N και lim b = α) Αν, επιπλέον, η b ) είναι ϕραγµένη, δείξτε ότι lim a b ) = 0 ϐ) ώστε παράδειγµα ακολουθιών για τις οποίες lim 8 Χρησιµοποιώντας την ανισότητα a b + + + + +, = αλλά δεν ισχύει lim a b ) = 0 δείξτε ότι η ακολουθία a = + + + δεν είναι ϐασική ακολουθία Συµπεράνατε ότι a + 9 Εστω 0 < µ < και ακολουθία a ) για την οποία ισχύει είξτε ότι η a ) είναι ϐασική ακολουθία a + a µ a a, 0 Ορίζουµε a = a, a = b και a + = a+a, Εξετάστε αν η a ) είναι ϐασική ακολουθία Γ Οµάδα είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας ϱητών αριθµών, καθώς επίσης και όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας άρρητων αριθµών είξτε ότι αν a ) είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a a > 0, τότε if{a : N} > 0 είξτε ότι αν a ) είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a 0, τότε το σύνολο A = {a : N} έχει µέγιστο στοιχείο 4
4 Ορίζουµε µια ακολουθία α ) µε α = 0 και α + = α + α +, =,,, είξτε ότι : α) Η α ) είναι αύξουσα ϐ) α 5 Θεωρούµε την ακολουθία α ) που ορίζεται από τις α = και α + = α+ 5, =,, είξτε ότι η α ) συγκλίνει και υπολογίστε το όριο της 6 Εστω a > 0 Θεωρούµε τυχόν x > 0 και για κάθε N ορίζουµε x + = x + a ) x είξτε ότι η x ), τουλάχιστον από τον δεύτερο όρο της και πέρα, είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη από τον a Βρείτε το lim x 7 Εστω 0 < a < b Ορίζουµε αναδροµικά δύο ακολουθίες ϑέτοντας a + = a b και b + = a + b α) είξτε ότι η a ) είναι αύξουσα και η b ) ϕθίνουσα ϐ) είξτε ότι οι a ), b ) συγκλίνουν και έχουν το ίδιο όριο 8 Επιλέγουµε x = a, x = b και ϑέτουµε x + = x + x + είξτε ότι η x ) συγκλίνει και ϐρείτε το όριό της [Υπόδειξη : Θεωρήστε την y = x + x και ϐρείτε αναδροµικό τύπο για την y )] 9 Εστω a ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε την ιδιότητα : για κάθε k N το σύνολο A k = { N : a k} είναι πεπερασµένο είξτε ότι lim a = 0 40 Θεωρούµε γνωστό ότι lim + ) = e είξτε ότι, για κάθε ϱητό αριθµό q, ισχύει : lim + q = e ) q 4 Λήµµα του Stoltz) Εστω a ) ακολουθία πραγµατικών αριθµών και έστω b ) γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim b = + είξτε ότι αν a + a lim = λ, b + b όπου λ R ή λ = +, τότε a lim = λ b 4 Ορίζουµε ακολουθία a ) µε 0 < a < και a + = a a ), =,, είξτε ότι lim a = 5