ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)"

ÉΘεοκλής Γεννάδιος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /, }. Να αποφασίσετε αν οι πιο κάτω ακολουθίες είναι αύξουσες ή φθίνουσες: e (β) (γ) Θεωρού τη συνάρτηση f ( ) e η οποία δίνει τους όρους της ακολουθίας για =,,,. Θα λετήσου αν η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα συνάρτηση για >, και έτσι και η ακολουθία θα είναι το ίδιο. Υπολογίζου f ( ) e e ( ) e και αφού e 0, έχου ότι για >, f( ) 0 που σημαίνει ότι η f και η ακολουθία είναι φθίνουσες. (β) Έχου,. Ξεκινού το προφανές: ( ) 5 που δείχνει ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα. + < (γ) Έχου,. Προφανώς, και έτσι. Άρα και η ακολουθία είναι αύξουσα.. Να αποφασίσετε αν οι πιο κάτω σειρές συγκλίνουν ή αποκλίνουν. Αν συγκλίνουν να βρείτε το άθροισμα. 5 (β) ( 6) (γ) 5 e (δ) (ε)

2 Γεωτρική σειρά πρώτο όρο = 5 και λόγο r = / <, έτσι συγκλίνει στο 5 5 r /. (β) Γεωτρική σειρά πρώτο όρο = και λόγο r = 6/5 >, έτσι αποκλίνει. (γ) Γεωτρική σειρά πρώτο όρο = e και λόγο r = e/ <, έτσι συγκλίνει στο e e r e / e. (δ) Τηλεσκοπική σειρά: Χρησιμοποιώντας ρικά κλάσματα, βρίσκου άρα, το νιοστό άθροισμα της σειράς είναι, S Επομένως,. 5 lim S lim. 6 (ε) Για τη σειρά έχου αποκλίνει (από το Τέστ Απόκλισης). lim lim 0, άρα. Να αποφασίσετε αν οι πιο κάτω σειρές συγκλίνουν απόλυτα, συγκλίνουν σχετικά ή αποκλίνουν (χωρίς να βρείτε το άθροισμα τους αν συγκλίνουν). e! (β) (γ) cos( ) (δ) ( ) (ε) ( ) 5 Έχου e! e!. Χρησιμοποιού το Κριτήριο του λόγου: e ( ) ( )! e ( ) όταν το, άρα η σειρά αποκλίνει. e! (β) Έχου / η οποία είναι p σειρά, p = / <, άρα αποκλίνει.

3 (γ) Έχου cos( ) cos( ) 0. Τώρα, η σειρά είναι γεωτρική = / και λόγο r = / <, άρα συγκλίνει. Επομένως η δοθείσα σειρά συγκλίνει απόλυτα. (δ) Έχου ( ) η οποία είναι εναλλάσσουσα σειρά,. Ισχύει όπως επίσης lim lim 0, που δείχνει ότι η σειρά συγκλίνει. Τώρα, η σειρά ( ) είναι η αρμονική, η οποία αποκλίνει, άρα η δοθείσα σειρά συγκλίνει σχετικά. (ε) Έχου ( ) 5 ( ) 5 για το οποίο ισχύει ( ) lim lim 0 5 (το όριο δεν υπάρχει). Άρα η δοθείσα σειρά αποκλίνει (από το Τεστ της Απόκλισης), 5. Να αποφασίσετε αν οι πιο κάτω σειρές συγκλίνουν ή αποκλίνουν (χωρίς να βρείτε το άθροισμα τους αν συγκλίνουν). 5 (β) (γ) Έχου (δ) l l (ε) 5 η οποία μας θυμίζει την αποκλίνουσα αρμονική σειρά. Ισχύει, προφανώς, και έτσι η δοθείσα σειρά αποκλίνει. (β) Έχου η οποία μας θυμίζει τη συγκλίνουσα p σειρά. Ισχύει, προφανώς,. Άρα η δοθείσα σειρά συγκλίνει. (γ) Η σειρά συμπεριφέρεται σαν το ολοκλήρωμα l l λετού το ολοκλήρωμα: Η αντικατάσταση u l du d δίνει d, επομένως

4 d du l u το οποίο αποκλίνει και έτσι και η δοθείσα σειρά αποκλίνει. l (δ) Η σειρά l λετού το ολοκλήρωμα: συμπεριφέρεται σαν το ολοκλήρωμα t l d, επομένως t l l d lim d. Το αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται κατά-μέρη, l,, l d u dv d du d v d. Επομένως t l l d lim d lim l d lim l t t t t t t και έτσι η δοθείσα σειρά συγκλίνει. t (ε) Έχου. Χρησιμοποιώντας ρικά κλάσματα, βρίσκου και άρα που δείχνει ότι η δοθείσα σειρά αποκλίνει (μια και ισούται το άθροισμα μιας αρμονικής σειράς και μιας σχεδόν αρμονικής σειράς). 6. Να βρείτε για ποια οι πιο κάτω δυναμοσειρές συγκλίνουν. ( ) ( ) (β) ( 8) (γ)!() (δ) ( ) Έχου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ). Το Κριτήριο του Λόγου δίνει ( ) ( ) lim lim lim ( ). Άρα, θα έχου σύγκλιση αν 7. Τα άκρα του διαστήματος ( 7, ) τα ελέγχου ξεχωριστά: Για = 7, η σειρά είναι ( ) ( ) η οποία αποκλίνει (π.χ. ( 7 ) ( ) Τέστ Απόκλισης).

5 Για =, η σειρά είναι ( ) ( ) η οποία επίσης ( ) () ( ) 5 αποκλίνει (π.χ. Τέστ Απόκλισης). Άρα η δοθείσα σειρά συγκλίνει για 7. (β) Έχου ( 8) ( 8) (8 6) (8 6), (8 6). Το Κριτήριο του Λόγου δίνει (8 6) lim lim lim (86). Άρα, θα έχου σύγκλιση αν Τα άκρα του διαστήματος τα 8 8 ελέγχου ξεχωριστά: Για = 5/8, η σειρά είναι 5 (8 6) ( ) 8 η οποία αποκλίνει (π.χ. Τέστ Απόκλισης). Το ίδιο συμβαίνει και για το άλλο άκρο: 7 (8 6) () 8, άρα η δοθείσα σειρά συγκλίνει για (γ) Έχου!( ),!( ), ( )!( ). Από το Κριτήριο του Λόγου, ( )!( ) lim lim lim( ), άρα η!( ) σειρά δεν συγκλίνει για κανένα εκτός από (γιατί τότε θα έχου 0). (δ) Έχου ( ), ( ) ( ) ( ). Από το Κριτήριο του Λόγου, ( ) ( ) lim lim lim( / ) / ( ). Άρα, θα έχου σύγκλιση αν /. Τα άκρα του διαστήματος τα ελέγχου ξεχωριστά:

6 Για η σειρά είναι ( ) ( ) ( ) η οποία αποκλίνει (π.χ. Τέστ 6 Απόκλισης). Το ίδιο συμβαίνει και το άλλο άκρο: () ( ) ( ), άρα η δοθείσα σειρά συγκλίνει για. 7. Να βρείτε μια δυναμοσειρά για τις πιο κάτω συναρτήσεις και να υποδείξετε για ποιες τιμές του συγκλίνουν. (β) l( ) (γ) ( ) Γνωρίζου ότι , άρα.... Επομένως Επειδή η αρχική σειρά συγκλίνει για (, ), η δεύτερη συγκλίνει για (, ), δηλ. για (, ), όπως και η δοθείσα σειρά. (β) Παρατηρού ότι l( ) d. Μια και..., έχου l( ) d... d C.... Η σταθερά C υπολογίζεται θέτοντας = 0 στη πιο πάνω σχέση και να πάρου l() = C = 0. Επειδή η αρχική σειρά συγκλίνει για (, ) και η δοθείσα σειρά συγκλίνει για (, ). d (γ) Παρατηρού ότι. Τώρα, ( ) d ( ) για, και έτσι έχου ( ) ( )... d d ( ) d ( ) d η οποία συγκλίνει για. 5 ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )...

7 7 8. Να βρεθεί η σειρά Tylor για τις εξής συναρτήσεις: (β) f ( ) e γύρω από το = 0 f ( ) e γύρω από το = (γ) f ( ) l( ) γύρω από το = (δ) f ( ) l( ) γύρω από το = (ε) f( ) γύρω από το = (ζ) f γύρω από το = 0 ( ) 0 6 (η) f γύρω από το = ( ) 0 6 Γνωρίζου ότι Επομένως, e...!!, άρα e...!! f ( ) e......!!!! =... 8 Για τα υπόλοιπα προβλήματα θα χρησιμοποιήσου τον τύπο (*) f ( ) f ( ) f f f!! ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )... (β) Έχου = και f ( ) e, f ( ) e f ( ) e, f ( ) e f ( ) e, κ.λ.π. Επομένως, e e e e e ( ) ( ) ( )...!! (γ) Έχου =, και f () l(), f ( ) f (), f ( ) f (), f ( ) f ()... ( ) ( ) ( )! ( ) ( ) ( )! f ( ),,,... f (/ ). Επομένως, (/ )

8 f!! l ( ) ( ) ( )... 8 ( ) l( ) l ( ) ( ) ( )... (ε) Εχου f ( ), f ( ) f ( ), f ( ) 6 f ( ) 8 5 ( ) ( ) ( )! f ( ) f ( )... f ( ),,,... ( ) ( ) ( )! f ( ) ( )!. Επομένως, ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 5( )... (ζ) Αφού η f είναι πολυώνυμο, και μας ζητούν τη σειρά γύρω από το 0, δηλ δυνάις του, δεν έχου να κάνου τίποτα και η απάντηση είναι f. ( ) 0 6 (η) Αν και η f είναι πολυώνυμο, εδώ πρέπει να κάνου κάτι γιατί μας ζητούν τη σειρά γύρω από το (δηλ. δυνάις του ( ) αντί του ). Έτσι, έχου f () , f f f f ( ) 0 () 0, ( ) 6 0 () f ( ) 6 f () 6, f ( )( ) 0,,5,6,.... Επομένως, 6 f ( ) ( ) ( ) ( )!! 57 ( ) ( ) ( )

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή