ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy"

Τίτος Νικόλας Κόρακας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l + ɛ > 0 δl (ɛ, ξ) : ξ δ L < x ξ f(x) l < ɛ ɛ > 0 δr (ɛ, ξ) : ξ x < ξ + δ R f(x) l < ɛ Πρόταση f(x) = l l + = l = l

2 Παραδείγμα Αν f(x) = x, x 0 τότε f(x) = f(ξ) για ξ > 0 Πρόχειρο x ξ = x ξ x + ξ δ ξ ɛ δ(ɛ, ξ) = ɛ ξ ɛ > 0, δ(ɛ, ξ) = ɛ ξ : x ξ < δ(ɛ, ξ) x ξ < ɛ Παραδείγμα Αν f(x) = x 5 τότε f(x) = f(ξ) Πρόχειρο (x 5 ξ 5 ) = (x ξ) ( x 5 + x 4 ξ + x 3 ξ 2 + x 2 ξ 3 + xξ 4 + ξ 5) x 5 ξ 5 x ξ ( x 5 + x 4 ξ + x 3 ξ 2 + x 2 ξ 3 + x ξ 4 + ξ 5) x ξ < δ x < ξ + δ ( x 5 + x 4 ξ + x 3 ξ 2 + x 2 ξ 3 + x ξ 4 + ξ 5) < < ( ξ + δ)5 ξ 5 = ( ξ + δ)5 ξ 5 ( ξ + δ) ξ δ x 5 ξ 5 x ξ ( ξ + δ)5 ξ 5 δ x 5 ξ 5 < ( ξ + δ) 5 ξ 5 = ɛ δ(ɛ, ξ) = 5 ɛ + ξ 5 ξ ɛ > 0, δ(ɛ, ξ) = 5 ɛ + ξ 5 ξ : x ξ < δ(ɛ, ξ) x ξ < ɛ

3 ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Heine Ορισμός σύγκλισης Heine Heinrich Eduard Heine Η συνάρτηση f(x) συγκλίνει για x ξ f(x) xn ξ f(x n ) συγκλίνει Η συνάρτηση f(x) ΔΕΝ συγκλίνει για x ξ Αν x n ξ τότε f(x n ) ΔΕΝ συγκλίνει

4 πχ. Η f(x) = x sin x n ( ) 1 x 0 f(x n ) = συγκλίνει για x 0. x n μηδενική ( ) 1 sin x n φραγμένη 0 ( ) 1 πχ. Η f(x) = sin ΔΕΝ συγκλίνει για x 0. x ( ) 1 1 x n = ( ) n f(x n ) = sin = sin 2 π x n ( n + 1 ) π = ( 1) n 2 f(x n ) δεν συγκλίνει f(x) δεν συγκλίνει για x 0

5 Ορισμός σύγκλισης Heine Η συνάρτηση f(x) συγκλίνει για x ξ f(x) x n ξ f(x n ) συγκλίνει Μοναδικότητα ορίου Το όριο μιας συνάρτησης είναι μοναδικό Απόδειξη. x n y n ξ f(x n ) l 1 ξ f(y n ) l 2 z n (x 1, y 1, x 2, y 2,..., x k, y k,...) z n ξ f(z n ) συγκλίνει Οι δύο υπακολουθίες f(z 2k 1 ) = f(x k ) και f(z 2k ) = f(y k ), k = 1, 2, 3,... έχουν το ίδιο όριο l 1 = l 2

6 Ισοδυναμία ορισμών Heine Cauchy (Αρχή μεταφοράς) Η συνάρτηση f(x) συγκλίνει για x ξ f(x) = l Ορισμός Heine Ορισμός Cauchy γιά κάθε x n ξ f(x n ) l ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) l < ɛ

7 Ακολουθίες a n = a (λ a n) = λ a n (a n + b n ) = = a n + b n n b n ) = = n n 0 a n 0 n a n b n n n a n b n c n και a n = l c n = l b n b n 0, a n = b n a n b n = l Συναρτήσεις f(x) = f(x) (λ f(x)) = λ (f(x)) (f(x) + g(x)) = = f(x) + g(x) (f(x) g(x)) = = f(x) g(x) 0 f(x) 0 f(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) h(x) και f(x) = l h(x) = l g(x) = l g(x) 0, f(x) g(x) = f(x) g(x)

8 Cauchy Heine Cauchy ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ (ɛ, ξ) ; f(x) l < ɛ x n ξ N ( ɛ) : n > N ( ɛ) x n ξ < ɛ Αν ɛ = δ (ɛ, ξ) Cauchy x n ξ < δ(ɛ, ξ) f(x n ) l < ɛ Αρα ɛ > 0 N (ɛ) = N (δ (ɛ, ξ)) : n > N (ɛ) f(x n ) l < ɛ f(x n ) l Heine Cauchy Υπόθεση Cauchy μη αληθινή ɛ, δ x : ξ δ < x < ξ + δ f(x) l ɛ Επομένως μπορούμε να διαλέξουμε μια ακολουθία ξ 1 n < x n < ξ + 1 n x n ξ ΟΧΙ Cauchy f(x n ) l) ɛ άρα η ακολουθία f(x n ) δεν συγκλίνει στο l, πράγμα άτοπο, για τί από υπόθεση η ακολουθία f(x n ) συγκλίνει.

9 Ορισμός:ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ σε ένα σημείο f(x) συνεχής στο ξ f(x) = f(ξ) Heine : x n ξ f(x n ) f(ξ) Cauchy : ɛ > 0 δ : x ξ < δ f(x) f(ξ) < ɛ Πλευρικά Ορια f(x) f(ξ ) f(x) f(ξ+ ) + Πρόταση f(x) συνεχής στο ξ f(ξ ) = f(ξ + )

10 Ορισμός f(x) φραγμένη m < f(x) < M Πρόταση f(x) συνεχής στο ξ f(x) φραγμένη γύρω από το ξ

11 Πρόταση f(x) συνεχής στο ξ f(x) φραγμένη γύρω από το ξ Απόδειξη. Περίπτωση 1: f(ξ) = 0 f(x) συνεχής στο ξ ɛ = M δ : x ξ f(x) < M Περίπτωση 2: f(ξ) 0 f(x) συνεχής στο ξ ɛ = f(ξ) δ : x ξ f(x) f(ξ) < f(ξ) 2 2 f(x) f(ξ) f(x) f(ξ) < f(ξ) 2 f(ξ) 2 f(x) 3 f(ξ) 2

12 ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΟΛΟ Ορισμός f(x) συνεχής στο σύνολο A x,ξ A f(x) = f(ξ) f(x) συνεχής στο κλειστό διάστημα I = [a, b] ξ (a, b) f(x) = f(ξ) I ξ = a f(x) = f(a) x a + ξ = b f(x) = f(b) x b

13 Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Αν x f y h z g [a, b] x f f(x) = y [m, M] [m, M] y g g(y) = z [n, N] Οι συναρτήσεις f(x) και g(y) είναι συνεχείς η σύνθεση των συναρτήσεων h(x) = (g f)(x) = g (f (x)) είναι συνεχής συνάρτηση.

14 Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων (Απόδειξη) Αν x f y h z g [a, b] x f f(x) = y [m, M] [m, M] y g g(y) = z [n, N] Οι συναρτήσεις f(x) και g(y) είναι συνεχείς η σύνθεση των συναρτήσεων h(x) = (g f)(x) = g (f (x)) είναι συνεχής συνάρτηση. Απόδειξη. x n y n f ξ = συνεχής y n = f(x n ) f(ξ) = η g η = συνεχής z n = g(y n ) g(η) = θ Αν h = g fν δηλ. h(x) = g (f(x)) x n h ξ = συνεχής z n = h(x n ) h(ξ) = θ

15 Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών f(x) συνεχής στο [a, b] f(a) f(b) ( πχ f(a) < f(b) ) η, f(a) < η < f(b) ξ [a, b] f(ξ) = η f(x) η a b ξ=sup A x A

16 Θεώρημα Bolzano Θεώρημα Bolzano f(x) συνεχής στο [a, b] f(a) f(b) < 0 ξ (a, b) f(ξ) = 0 f(x) a b x ξ

17 Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ( Απόδειξη) Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών f(x) συνεχής στο [a, b] f(a) f(b) ( πχ f(a) < f(b) ) η, f(a) < η < f(b) ξ [a, b] f(ξ) = η f(x) η a b ξ=sup A x Απόδειξη. A = x [a, b] : f(x) η [a, b] ξ = sup A Αρα f(ξ) = η A n N x n A : ξ 1 n < x n ξ x n = ξ f(x) συνεχής f(x n) = x ξ f(x) η f(x) = f(ξ) η f(x) = f(ξ) η +

18 Ομοιόμορφη συνέχεια Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση σε ένα σύνολο A Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο σύνολο A ɛ > 0 δ(ɛ) > 0 x, y A : x y < δ(ɛ) f(x) f(y) < ɛ πχ. f(x) = 1 για x (, ) 1 + x2 Συμπέρασμα Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο σύνολο A x n n N είναι ακολουθία Cauchy f(x n ) n N είναι ακολουθία Cauchy ΜΗ Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση σε ένα σύνολο A ΜΗ Ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στο σύνολο A ɛ > 0 δ > 0 x, y A : x y < δ f(x) f(y) ɛ συγκλίνουσα (δηλ. Cauchy ) ακολουθία x n n N f(x n ) n N ΜΗ συγκλίνουσα (δηλ. ΟΧΙ Cauchy ) ακολουθία πχ. f(x) = 1 x για x (0, 1]

19 f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ Πρόταση f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο [a, b]

20 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός συνέχειας Cauchy σε ένα υποσύνολο I R πχ I = [a, b] ή [a, ) ή (, b] κλπ f(x) = f(ξ) x, ξ I, ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) > 0 : x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ Περίπτωση Ι Απλή συνέχεια inf δ(ɛ, ξ) = 0 ξ I πχ f(x) = x 2, x 0, Περίπτωση ΙΙ Ομοιόμορφη συνέχεια ɛ > 0 inf ξ I δ(ɛ, ξ) > 0 πχ f(x) = x, x > 1, f(x) = e x, x [0, 1], f(x) = 1 x 2 + 1, x R

Σχετικά έγγραφα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής