f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα"

Μνάσων Κασιδιάρης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, τότε η f είναι ϕραγµένη. (ϐ) Αν η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, τότε παίρνει µέγιστη τιµή. (γ) Αν η f είναι ϕραγµένη, τότε είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. (δ) Αν η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, τότε η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. (ε) Αν η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη, τότε υπάρχει c [, ] ώστε f(c)( ) = f(x) dx. (στ) Αν η f είναι ϕραγµένη και αν L(f, P ) = U(f, P ) για κάθε διαµέριση P του [, ], τότε η f είναι σταθερή. (Ϲ) Αν η f είναι ϕραγµένη και αν υπάρχει διαµέριση P ώστε L(f, P ) = U(f, P ), τότε η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη. (η) Αν η f είναι Riemnn ολοκληρώσιµη και αν f(x) = για κάθε x [, ] Q, τότε f(x)dx =.. Εστω f : [, ] R ϕραγµένη συνάρτηση µε την ιδιότητα : για κάθε < η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [, ]. είξτε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο [, ]. 3. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f : [, ] R µε f(x) = sin x αν x και f() = είναι ολοκληρώσιµη. 4. Εστω g : [, ] R ϕραγµένη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι η g είναι συνεχής παντού, εκτός από ένα σηµείο x (, ). είξτε ότι η g είναι ολοκληρώσιµη. 5. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Riemnn αποδείξτε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ολοκληρώσιµες: (α) f : [, ] R µε f(x) = x. (ϐ) f : [, π/] R µε f(x) = sin x. 6. Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ολοκληρώσιµες στο [, ] και υπολογίστε το ολοκλήρωµα τους (αν υπάρχει): (α) f(x) = x + [x]. (ϐ) f(x) = αν x = k για κάποιον k N, και f(x) = αλλιώς. 7. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση µε f(x) για κάθε x [, ]. είξτε ότι f(x)dx =

2 αν και µόνο αν f(x) = για κάθε x [, ]. 8. Εστω f, g : [, ] R συνεχείς συναρτήσεις ώστε είξτε ότι υπάρχει x [, ] ώστε f(x ) = g(x ). f(x)dx = g(x)dx. 9. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση µε την ιδιότητα : για κάθε συνεχή συνάρτηση g : [, ] R ισχύει είξτε ότι f(x) = για κάθε x [, ]. f(x)g(x)dx =.. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση µε την ιδιότητα : για κάθε συνεχή συνάρτηση g : [, ] R που ικανοποιεί την g() = g() =, ισχύει είξτε ότι f(x) = για κάθε x [, ]. f(x)g(x)dx =.. Εστω f, g : [, ] R ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. είξτε την ανισότητα Cuchy-Schwrz: ( ( ( f(x)g(x)dx) f (x)dx g (x)dx.. Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη συνάρτηση. είξτε ότι ( f(x)dx) f (x)dx. Ισχύει το ίδιο αν αντικαταστήσουµε το [, ] µε τυχόν διάστηµα [, ]; 3. Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη συνάρτηση. είξτε ότι η ακολουθία n = n n f k= ( ) k n συγκλίνει στο f(x)dx. [Υπόδειξη : Χρησιµοποιήστε τον ορισµό του Riemnn.] 4. είξτε ότι n n = n Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη συνάρτηση. είξτε ότι υπάρχει s [, ] ώστε s f(t)dt = s f(t)dt. Μπορούµε πάντα να επιλέγουµε ένα τέτοιο s στο ανοικτό διάστηµα (, );

3 6. Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη και ϑετική συνάρτηση ώστε f(x)dx =. είξτε ότι για κάθε n N υπάρχει διαµέριση { = t < t < < t n = } t k+ ώστε t k f(x)dx = n για κάθε k =,,..., n. 7. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση. είξτε ότι υπάρχει s [, ] ώστε f(x)x dx = f(s) Υποθέτουµε ότι η f : [, ] R είναι συνεχής και ότι f(t)dt = για κάθε x [, ]. είξτε ότι f(x) = για κάθε x [, ]. x f(t)dt 9. Εστω f, h : [, + ) [, + ). Υποθέτουµε ότι η h είναι συνεχής και η f είναι παραγωγίσιµη. Ορίζουµε είξτε ότι F (x) = h(f(x)) f (x). F (x) = f(x). Εστω f : R R συνεχής και έστω δ >. Ορίζουµε g(x) = είξτε ότι η g είναι παραγωγίσιµη και ϐρείτε την g. +δ x δ h(t)dt. f(t)dt.. Εστω g, h : R R παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Ορίζουµε G(x) = g(x) h(x) είξτε ότι η G είναι παραγωγίσιµη στο R και ϐρείτε την G.. Εστω f : [, + ) R συνεχής συνάρτηση. Ορίζουµε Βρείτε την F. Β Οµάδα F (x) = t dt. ( x ) f dt. t 3. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση. Ορίζουµε µια ακολουθία ( n ) ϑέτοντας n = f(xn )dx. είξτε ότι n f(). 4. είξτε ότι η ακολουθία γ n = n n 5. Εστω f : [, ] R Lipschitz συνεχής συνάρτηση ώστε xdx συγκλίνει. f(x) f(y) M x y 3

4 για κάθε x, y [, ]. είξτε ότι για κάθε n N. f(x)dx n n f k= ( ) k M n n 6. Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση µε την εξής ιδιότητα : υπάρχει M > ώστε f(x) M f(t) dt για κάθε x [, ]. είξτε ότι f(x) = για κάθε x [, ]. 7. Εστω R. είξτε ότι δεν υπάρχει ϑετική συνεχής συνάρτηση f : [, ] R ώστε f(x)dx =, xf(x)dx = και x f(x)dx =. 8. Εστω f : [, ] R συνεχής, µη αρνητική συνάρτηση. Θέτουµε M = mx{f(x) : x [, ]}. είξτε οτι η ακολουθία ( /n γ n = [f(x)] n dx συγκλίνει, και γ n = M. 9. Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να δείξουµε ότι η f έχει πολλά σηµεία συνέχειας. (α) Υπάρχει διαµέριση P του [, ] ώστε U(f, P ) L(f, P ) < (εξηγήστε γιατί). είξτε ότι υπάρχουν < στο [, ] ώστε < και sup{f(x) : x } inf{f(x) : x } <. (ϐ) Επαγωγικά ορίστε κιβωτισµένα διαστήµατα [ n, n ] ( n, n ) µε µήκος µικρότερο από /n ώστε sup{f(x) : n x n } inf{f(x) : n x n } < n. (γ) Η τοµή αυτών των κιβωτισµένων διαστηµάτων περιέχει ακριβώς ένα σηµείο. είξτε ότι η f είναι συνεχής σε αυτό. (δ) Τώρα δείξτε ότι η f έχει άπειρα σηµεία συνέχειας στο [, ] (δεν χρειάζεται περισσότερη δουλειά!). 3. Εστω f : [, ] R ολοκληρώσιµη (όχι αναγκαστικά συνεχής) συνάρτηση µε f(x) > για κάθε x [, ]. είξτε ότι f(x)dx >. 3. Εστω f : [, ] R συνεχής. είξτε ότι, για κάθε x [, ], ( u f(u)(x u)du = ) f(t)dt du. 4

5 3. Εστω, R µε < και f : [, ] R συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. Αν P = { = x < x < < x n = } είναι διαµέριση του [, ], δείξτε ότι n f(x k+ ) f(x k ) k= f (x) dx. 33. Εστω f : [, + ) [, + ) γνησίως αύξουσα, συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f() =. είξτε ότι, για κάθε x >, f(t) dt + f(x) f (t) dt = xf(x). 34. Εστω f : [, ] R συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f() =. είξτε ότι για κάθε x [, ] ισχύει ( / f(x) f (t) dt). 35. Εστω f : [, + ) R συνεχής συνάρτηση µε f(x) για κάθε x >, η οποία ικανοποιεί την f(x) = για κάθε x. είξτε ότι f(x) = x για κάθε x. f(t)dt 36. Εστω f : [, ] R συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. είξτε ότι f(x) cos(nx)dx = και f(x) sin(nx)dx =. 37. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις ακολουθίες π π n = sin(nx)dx και n = sin(nx) dx. 38. Εστω f : [, + ) R συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. είξτε ότι υπάρχουν συνεχείς, αύξουσες και ϑετικές συναρτήσεις g, h : [, + ) R ώστε f = g h. Γ Οµάδα 39. Εστω f : [, ] R µε f() =. Υποθέτουµε ότι η f έχει συνεχή παράγωγο και ότι < f (x) για κάθε x [, ]. είξτε ότι ( [f(x)] 3 dx f(x) dx). 4. Εστω f : [, ] R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο και f() =. είξτε ότι f(t)f (t) dt f (t) dt. 5

6 4. Εστω f : [, ) R συνεχής συνάρτηση. Για κάθε k =,,... ορίζουµε f k : [, ) R µε f k (x) = f k (t) dt. είξτε ότι f k (x) = (k )! f(t)(x t) k dt. 4. Εστω f : [, ) (, ) οµοιόµορφα συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα f(x) dx είναι πεπερασµένο. είξτε ότι f(x) =. x 43. Εστω f : [, ] R µε f() = f() =. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής και ότι [f(x)] dx =. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες δείξτε ότι xf(x)f (x) dx =, και, χρησιµοποιώντας το παραπάνω, δείξτε ότι ( ( x [f(x)] dx [f (x)] dx Εστω f, g : [, ] R ολοκληρώσιµες συναρτήσεις. είξτε ότι [ ] (f(y) f(x))(g(y) g(x)) dy dx = ( ) ( ( f(x)g(x) dx f(x) dx g(x) dx. Αν οι f και g είναι αύξουσες, χρησιµοποιώντας το παραπάνω δείξτε ότι ( ( f(x) dx g(x) dx ( ) f(x)g(x) dx. 45. Εστω f : [, ) R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο. είξτε ότι, για κάθε k N, f(k) = k+ f(x) dx k k k+ (k + x)f (x) dx. 46. (α) Εστω f : [, ] R συνεχής συνάρτηση. είξτε ότι x n f(x) dx =. (ϐ) Εστω f : [, ] R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο. είξτε ότι n x n f(x) dx = f(). 6

7 47. (α) Εστω f : [, ] R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο. είξτε ότι / n nf(x)e nx dx = f(). (ϐ) Εστω f : [, ] R συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο. είξτε ότι nf(x)e nx dx = f(). 7

Σχετικά έγγραφα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).