ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 2018 Ασκηση 1. Εστω ότι K είναι ένα σώµα και (E, +, ) είναι µια τριάδα αποτελούµενη από ένα σύνολο E, µια εσωτερική πράξη «πρόσθεσης» +: E E E, και µια εξωτερική πράξη «ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού» : K E E, έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώµατα (1), (5), (6), (7), (8), στον ορισµό διανυσµατικού χώρου και επιπρόσθετα τα αξιώµατα : (3) 0 E, x E: x + 0 = x. (4) x E, x E: x + x = 0. Να δειχθεί ότι ικανοποιούνται και τα αξιώµατα (2), (3) και (4) και η τριάδα (E, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K. Ασκηση 2. Στο σύνολο R 2 ορίζουµε πράξεις : R 2 R 2 R 2, (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) : R R 2 R 2, λ (x, y) = (λx, λy) Ποια αξιώµατα διανυσµατικού χώρου ισχύουν για την τριάδα (R 2,, ) και ποια όχι ; Ασκηση 3. Να δείξετε ότι µε τις συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιαµού πινάκων το σύνολο a 2c 2b V = b a 2c M 3 (R) a, b, c R c b a είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R. Ασκηση 4. Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου R n είναι υπόχωροι : (1) V 1 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Z, 1 i n } (2) V 2 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Q, 1 i n } (3) V 3 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x x n = 0 } (4) V 4 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x x n = 1 } (5) V 5 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 = x n } (6) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k = 0, 1 2k n } (7) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k = x 2l, 1 2k, 2l n } (8) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k+1 = 0, 1 2k + 1 n } (9) V 6 = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 2k+1 = x 2l+1, 1 2k + 1, 2l + 1 n }

2 2 Ασκηση 5. Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου E είναι υπόχωροι : (1) E = R 2 και V 1 = { (x, y) R 2 x 0, y R } (2) E = R 2 και V 2 = { (x, y) R 2 x R, y = 2x + 1 } (3) E = R 2 και V 3 = { (x, y) R 2 x R, y = 2x } (4) E = R 2 και V 4 = { (x, y) R 2 y = x, x R } (5) E = R 3 και V 5 = { (x, y, z) R 3 x, y R, z = 1 } (6) E = R 3 και V 6 = { (x, y, z) R 3 x = y = z R } (7) E = R 3 και V 7 = { (x, y, z) R 3 z = x + y, x, y R } (8) E = R 3 και V 8 = { (x, y, z) R 3 xy = 0, x, y, z R } (9) E = R 4 και V 9 = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 3 = x 2 x 4, x i R, 1 i 4 } (10) E = M n (R) και V 10 = { A = (a ij ) M n (R) a 11 = 0 } Ασκηση 6. Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα V είναι υπόχωροι των αντίστοιχων διανυσµατικών χώρων E: (1) E = R n και V = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Z, 1 i n }. (2) E = R n και V = { (x 1, x 2,, x n ) R n x i Q, 1 i n }. (3) E = R n και V = { X R n AX = B }, όπου A M m n (R) και B R m είναι δοσµένοι πίνακες. (4) E = A(R) και V = { (a n ) n N A(R) η ακολουθία (a n ) n N είναι ϕραγµένη }. (5) E = A(R) και V = { (a n ) n N A(R) η ακολουθία (a n ) n N είναι συγκλίνουσα }. (6) E = A(R) και V = { (a n ) n N A(R) η ακολουθία (a n ) n N συγκλίνει στο a R }, όπου a είναι ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός. (7) E = A(R) και V = { (a n ) n N A(R) η ακολουθία (a n ) n N είναι µηδενική }. (8) E = K[t] και V = { P (t) K[t] ο ϐαθµός του P (t) είναι άρτιος }. (9) E = K[t] και V = { P (t) K[t] το πολυώνυµο P (t) δεν περιέχει άρτιες δυνάµεις του t }. Ασκηση 7. Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα V διανυσµατικού χώρου M n (K) των n n πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K, είναι υπόχωροι του M n (K). (1) V = M n (K). (2) V = { A M n (K) t A = A }. (3) V = { A M n (K) t A = A }. (4) V = { A M n (K) A 0 }. (5) V = { A M n (K) A = 0 }. (6) V = { A M n (K) Tr(A) = 0 }. (7) V = { A M n (K) AX = XA, X X }, όπου X M n (K) είναι ένα σταθερό σύνολο n n πινάκων. (8) V = { A M n (K) AX + XA = O, X X }, όπου X M n (K) είναι ένα σταθερό σύνολο n n πινάκων. Ασκηση 8. Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο A(R) των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών. Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω υποσύνολα V A(R) είναι υπόχωροι : (1) V είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών των οποίων όλοι οι όροι είναι µηδέν εκτός από πεπερασµένο πλήθος δεικτών. (2) V είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών των οποίων όλοι οι όροι είναι µη-µηδενικοί εκτός από πεπερασµένο πλήθος δεικτών. (3) V είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών των οποίων όλοι οι όροι είναι διάφοροι του 1.

3 3 Ασκηση 9. Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο A(R) των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών. Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω υποσύνολα V A(R) είναι υπόχωροι : (1) V είναι το σύνολο όλων των ακολουθιών Cauchy. (2) V = { (x n ) n N A(R) k, C N : x n Cn k}, όπου οι ϕυσικοί αριθµοί C και k εξαρτώνται από την ακολουθία. (3) V = { (x n ) n N A(R) C R + : x n Ce n}, όπου ο ϑετικός πραγµατικός αριθµός C εξαρτάται από την ακολουθία. Ασκηση 10. Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο R n [t] των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές µε ϐαθµό το πολύ n. Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω υποσύνολα V R n [t] είναι υπόχωροι : (1) V = { P (t) R n [t] P (ρ) = 0 }, όπου ρ R είναι ένα σταθερός πραγµατικός αριθµός. (2) V = { P (t) R n [t] P (ρ 1 ) = P (ρ 2 ) = = P (ρ k ) = 0 }, όπου ρ 1, ρ 2,, ρ k R είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. (3) V = { P (t) R n [t] P (ρ) = 0 }, όπου ρ C \ R είναι ένας σταθερός καθαρά µιγαδικός αριθµός. (4) V = { P (t) R n [t] ο αριθµός ρ είναι απλή ϱίζα του P (t) }, όπου ρ R είναι ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός. Ασκηση 11. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K. Θεωρούµε τον K- διανυσµατικό χώρο 1 F(S, E) όλων των συναρτήσεων f : S E. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο V = { f F(S, E) f(s) = 0, για κάθε στοιχείο s S εκτός από πεπερασµένο πλήθος στοιχείων του S } Να δειχθεί ότι το υποσύνολο V είναι ένας υπόχωρος του F(S, E). Αν S = N και E = K, τότε ποιός K-διανυσµατικός χώρος είναι ο V; Ασκηση 12. Εστω S = { } s 1, s 2,, s n ένα πεπερασµένο σύνολο και K ένα σώνα. Θεωρούµε τον K- διανυσµατικό χώρο F(S, K). Για κάθε a S, ϑεωρούµε τη συνάρτηση f a : S K, f a (s) = { 1, αν s = a 0, αν s a Να δειχθεί ότι κάθε συνάρτηση f F(S, K) γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των συναρτήσεων { f a }a S. ηλαδή, για κάθε f F(S, K), υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί λ i K, 1 i n, έτσι ώστε : f = λ 1 f s1 + λ 2 f s2 + + λ n f sn Ασκηση 13. Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο F(S, R) όλων των συναρτήσεων f : S R. Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω υποσύνολα V F(S, R) είναι υπόχωροι : (1) V = { f F(S, R) s S : P (s) = a }, όπου s S είναι ένα στοιχείο του συνόλου S. (2) V = { f F(S, R) s S : P (s) = 0 }. (3) V = { f F(S, R) P (s) = a, s T }, όπου T S είναι ένα σταθερό υποσύνολο του συνόλου S. (4) Αν S = R: (αʹ) V = { f F(R, R) f : } είναι συνεχής. (ϐʹ) V = { f F(R, R) f : } είναι ϕραγµένη. (γʹ) V = { f F(R, R) f : } είναι µονότονη. (δʹ) { } V = f F(R, R) lim f(x) = a x όπου a R είναι ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός. 1 Κάποιες ϕορές ο διανυσµατικός χώρος F(S, E) συµβολίζεται και µε Map(S, E).

4 4 Ασκηση 14. Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο F(R, R), και το υποσύνολό του : Z = { f F(R, R) υπάρχει κ(f) R : f(x) κ(f) x, x R } Να εξετασθεί αν το υποσύνολο Z είναι υπόχωρος του F(R, R). Ασκηση 15. Να εξετασθεί αν το υποσύνολο {( ) } a b c V = M d e f 2 3 (R) a = 2c, f = 2e + d είναι υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M 2 3 (R) πάνω από το R. Ασκηση 16. Εστω AT n (R) το σύνολο των άνω τριγωνικών n n πινάκων, και KT n (R) το σύνολο των κάτω τριγωνικών n n πινάκων. (1) Είναι το υποσύνολο AT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n (R); (2) Είναι το υποσύνολο KT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n (R); (3) Αν η απάντηση στα ερωτήµατα (1) και (2) είναι ϑετική, να ϐρεθεί η τοµή AT n (R) KT n (R) και το άθροισµα AT n (R) + KT n (R) των υπόχωρων AT n (R), KT n (R). Υπενθυµίζουµε ότι αν U και V είναι υπόχωροι ενός K-διανυσµατικού χώρου E, όπου K είναι ένα σώµα, τότε τοπ άθροισµα υπόχωρων U + V καλείται ευθύ αν U V = { 0 }, και τότε το άθροισµα υπόχωρων συµβολίζεται µε U V. Υπενθυµίζουµε ότι αν E = U V, τότε κάθε διάνυσµα x του E γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως x = u + v, όπου u U και v V Το διάνυσµα u καλείται η προβολή του διανύσµατος x στον υπόχωρο U και το διάνυσµα v καλείται η προβολή του διανύσµατος x στον υπόχωρο V. Ασκηση 17. Εστω M n (K) ο K-διανυσµατικός χώρος των n n πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K. Εστω S n (K) ο υπόχωρος του M n (K) ο οποίος αποτελείται από όλους τους συµµετρικούς πίνακες, και AT n (K) ο υπόχωρος του M n (K) ο οποίος αποτελείται από όλους τους άνω τριγωνικούς πίνακες. (1) Να δειχθεί ότι : M n (K) = S n (K) AT n (K) (2) Να ϐρεθεί η προβολή του τυχόντος A M n (K) στον υπόχωρους S n (K) και AT n (K). Ασκηση 18. Εστω M n (K) ο K-διανυσµατικός χώρος των n n πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K. Εστω A n (K) ο υπόχωρος του M n (K) ο οποίος αποτελείται από όλους τους αντισυµµετρικούς πίνακες, και AT n (K) ο υπόχωρος του M n (K) ο οποίος αποτελείται από όλους τους άνω τριγωνικούς πίνακες. (1) Να δειχθεί ότι : M n (K) = A n (K) AT n (K) (2) Να ϐρεθεί η προβολή του τυχόντος πίνακα A M n (K) στον υπόχωρους A n (K) και AT n (K).

5 5 Ασκηση 19. Εστω V το υποσύνολο του R-διανυσµατικού χώρου M n (R) το οποίο αποτελείται από όλους τους πίνακες της ακόλουθης µορφής : a b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b A(a, b) = , a, b R b b b b b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b b b b a Να εξετασθεί αν το υποσύνολο V είναι υπόχωρος του M n (R). Ασκηση 20. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και X, Y δύο υποσύνολα διανυσµάτων του E. (1) Να δειχθεί ότι X = X αν και µόνον αν το υποσύνολο X είναι υπόχωρος του E. (2) Να δειχθεί ότι αν X Y, τότε X Y. Ισχύει το αντίστροφο ; Ασκηση 21. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χλωρος υπεράνω ενός σώµατος K και έστω U, V, και W τρεις υπόχωρου του E τέτοιοι ώστε : (1) U V = U W. (2) U + V = U + W. (3) V W. Να δειχθεί ότι V = W. Ασκηση 22. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χλωρος υπεράνω ενός σώµατος K και έστω U, V δύο υπόχωροι του E τέτοιοι ώστε : E = U V. Να δειχθεί ότι, για κάθε υπόχωρο Wτου E τέτοιον ώστε U W, ισχύει ότι : W = (W U) (W V) Ασκηση 23. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χλωρος υπεράνω ενός σώµατος K και έστω U, V, X, και Y είναι υπόχωρου του E τέτοιοι ώστε : U V = X Y. Να δειχθεί ότι : ( U + (V X) ) ( U + (V Y) ) = U Ασκηση 24. (1) Στον K-διανυσµατικό χώρο K 2 [x] των πολυωνύµων υπεράνω του K µε ϐαθµό 2, να προσδιοριστεί ο υπόχωρος 1 + x, 1 + 2x, 1 + x 2, 1 + 2x 2 (2) Θεωρούµε το οµογενές σύστηµα 2x 1 + x 2 + 0x 3 + x 4 = 0 (Σ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 0x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 Να ϐρεθούν κατάλληλα διανύσµατα X 1, X 2,, X n του διανυσµατικού χώρου Λ(Σ) των λύσεων του (Σ) έτσι ώστε : Λ(Σ) = X 1, X 2,, X n

6 6 Ασκηση 25. (1) Στον διανυσµατικό χώρο K 4 υπεράνω του K, να εξετασθεί αν το διάνυσµα x = (1, 1, 0, 3) περιέχεται στον υπόχωρο του K 4 ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα y = (1, 0, 1, 7) και z = ( 1, 1, 0, 3). (2) Να προσδιορισθεί ο υπόχωρος του K 3 ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα x = (1, 0, 1) και y = ( 1, 1, 1). Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού a ισχύει ότι : (1, 0, 1), ( 1, 1, 1), (a, 1, 1) = K 3 ; Ασκηση 26. Στον διανυσµατικό χώρο K 3 ϑεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα : V = { (x, y, 0) K 3 y = 2x }, U = { (x, y, z) K 3 2x + y z = 0 } W = { (x + y, 3x, x) K 3 x, y K } (1) Να δειχθεί ότι τα υποσύνολα V, W, και U είναι υπόχωροι του K 3. (2) Να προσδιορισθουν οι υπόχωροι V W, V U, και W U. (3) Να προσδιορισθουν οι υπόχωροι V + W, V + U, και W + U. (4) Να εξετασθεί αν ισχύουν οι εξής ισότητες : V + W = K 3, V + U = K 3, W + U = K 3 Ασκηση 27. Στον R-διανυσµατικό χώρο R 4 ϑεωρούµε τον υπόχωρο U = (1, 1, 1, 1), ( 1, 2, 0, 1) ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα (1, 1, 1, 1) και ( 1, 2, 0, 1), και τον υπόχωρο V = ( 1, 1, 1, 11), (2, 2, 0, 1) ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα ( 1, 1, 1, 1) και (2, 2, 0, 1), Να δειχθεί ότι R 4 = U V και να ϐρεθεί η προβολή του διανύσµατος (4, 2, 4, 4) στον υπόχωρο U. Ενας n n πίνακας A = (a ij ) µε στοιχεία από το σώµα K καλείται µαγικός αν, i, j = 1, 2,, n: n n n n a ij = a ij = a kk = a k n k+1, j=1 i=1 k=1 δηλαδή αν το άθροισµα των στοιχείων κάθε γραµµής, κάθε στήλης και το άθροισµα των στοιχείων των κύριων διαγωνίων του είναι είναι ίδιο. Ο σταθερός αυτός αριθµός καλείται ο µαγικός αριθµός του A. Για παράδειγµα ο πίνακας είναι µαγικός : το άθροισµα των στοιχείων κάθε γραµµής, κάθε στήλης και το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του είναι ίσο µε τον µαγικό αριθµό 15. k=1 Ασκηση 28. (1) Να δειχθεί ότι το σύνολο MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K είναι ένας υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K). (2) Να δειχθεί ότι το σύνολο 0 MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K µε µαγικό αριθµό ίσο µε 0, είναι ένας υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K). (3) Να δειχθεί ότι το σύνολο k MS n (K) των µαγικών n n πινάκων υπεράνω του K µε µαγικό αριθµό ίσο µε k 0, δεν είναι υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου M n (K).

7 7 Ασκηση 29. Θεωρούµε το ακόλουθο υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου R n : V = { (x 1, x 2,, x n ) R n x 1 + x x n = 0 } Να δειχθεί ότι το υποσύνολο V είναι ένας υπόχωρος του R n και να ϐρεθεί ένα σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,, x m του R n, για κατάλληλο ϑετικό ακέραιο m, έτσι ώστε : V = x 1, x 2,, x m Ασκηση 30. Εστω ότι V, V 1, V 2, V 3 είναι υπόχωροι του K-διανυσµατικού χώρου E. Να εξετασθεί ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιές δεν είναι αληθείς : (1) V 1 + (V 2 + V 3 ) = (V 1 + V 2 ) + V 3. (2) V 1 + V 2 = V 2 + V 1. (3) Υπάρχει υπόχωρος W του E έτσι ώστε, για κάθε υπόχωρο V του E: V + W = V = W + V. Είναι ο υπόχωρος W µοναδικός ; (4) Αν η απάντηση στο (3) είναι καταφατική, τότε είναι αληθές ότι για κάθε υπόχωρο V του E, υπάρχει υπόχωρος V του E έτσι ώστε V + V = W = V + V; (5) V 1 (V 2 V 3 ) = (V 1 V 2 ) V 3. (6) V 1 V 2 = V 2 V 1. (7) Υπάρχει υπόχωρος Z του E έτσι ώστε, για κάθε υπόχωρο V του E: V Z = V = Z V. Είναι ο υπόχωρος Z µοναδικός ; (8) Αν η απάντηση στο (7) είναι καταφατική, τότε είναι αληθές ότι για κάθε υπόχωρο V του E, υπάρχει υπόχωρος V του Eέτσι ώστε V V = Z = V V; Ασκηση 31. Εστω F([0, 1], R) ο διανυσµατικός χώρος των συναρτήσεων ορισµένων επί του κλειστού διαστήµατος [0, 1] R µε τιµές πραγµατικούς αριθµούς, και έστω τα ακόλουθο υποσύνολο του F([0, 1], R): C([0, 1], R) = { f : [0, 1] R f : συνεχής } (1) Να δειχθεί ότι το υποσύνολο C([0, 1], R) είναι ένας υπόχωρος του F([0, 1], R). (2) Να εξεταστεί ποιά από τα ακόλυθα υποσύνολα του R-διανυσµατικού χώρου C([0, 1], R) είναι υπόχω- ϱος : (αʹ) V 1 = { f C([0, 1], R) f( 1 n ) = 0, n N} (ϐʹ) V 2 = { f C([0, 1], R) f (x) = 0, x [0, 1] }. { 1 } (γʹ) V 3 = f C([0, 1], R) f(x)dx = 0. 0 (δʹ) V 4 = { f C([0, 1], R) af (x) + bf (x) + cf(x) = 0, x [0, 1] }, όπου a, b, c είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Ασκηση 32. Εστω το κλειστό διάστηµα [a, b] R και ϑεωρούµε το σύνολο E = { f : [a, b] R + f : συνάρτηση } όπου R + = { x R x > 0 }. Ορίζουµε πράξεις επί του E ως εξής : : E E E, f g = f g, όπου (f g)(x) = f(x)g(x) : R E E, r f = f r, όπου f r (x) = f(x) r Να δειχθεί ότι η τριάδα (E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R. Ασκηση 33. Εστω K ένα σώµα και ϑεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο K n [x] των πολυωνύµων υπεράνω του K µε ϐαθµό n. Εστω V ένας υπόχωρος του K n [x] και υποθέτουµε ότι ο V περιέχει ένα πολυώνυµο ϐαθµού k για κάθε k = 0, 1, 2,, m, και δεν περιέχει πολυώνυµα ϐαθµού > m. Να δειχθεί ότι V = K m [x].

8 8 Ασκηση 34. Εστω ότι η τριάδα (E, +, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R και ϑεωρούµε το σύνολο E E = { ( x, y) x, y E } (1) Στο σύνολο E E ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : : (E E) (E E) E E, ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) : R (E E) E E, r ( x, y) = (r x, r y) Να δειχθεί ότι η τριάδα (E E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R. (2) Στο σύνολο E E ορίζουµε πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως εξής : : (E E) (E E) E E, ( x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) : C (E E) E E, (a + bi) ( x, y) = (a x b y, a y + b x) Να δειχθεί ότι η τριάδα (E E,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του C. Ασκηση 35. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και P(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του X. Εστω Z 2 το σώµα των κλάσεων υπολοίπων mod 2. Ορίζουµε πράξεις : P(X) P(X) P(X), (A, B) A B = (A B c ) (A c B) { [0] 2 A = : Z 2 P(X) P(X), [1] 2 A = A Να δειχθεί ότι η τριάδα (P(X),, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος Z 2. Ασκηση 36. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K, και έστω U, V, W τρεις υπόχωροι του E. Να δειχθεί ότι : (U V) + (V W) + (W U) (U + V) (V + W) (W + U) Ασκηση 37. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K το οποίο έχει άπειρο πλήθος στοιχείων, π.χ. K { Q, R, C }. Εστω ότι V 1, V 2,, V n είναι υπόχωροι του E. Αν E = V 1 V 2 V n να δειχθεί ότι υπάρχει k = 1, 2,, n έτσι ώστε : V k = E. Ασκηση 38. Εστω Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K, και έστω R µια σχέση ισοδυναµίας ορισµένη επί του συνόλου E. Συµβολίζουµε µε E/R το σύνολο πηλίκο του συνόλου E ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R: E/R = { [ x] R E x E } όπου [ x] R = { y E x R y } Υποθέτουµε ότι η σχέση ισοδυναµίας R είναι συµβατή µε τις πράξεις της πρόσθεσης και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού του E, δηλαδή, k K, x, y, z, w E: Να δειχθεί ότι ορίζοντας x R z & y R w = x + y R z + w x R y = k x R k y : E/R E/R E/R, [ x ] R [ y ] R = [ x + y ] R : K E/R E/R, k [ x ] R = [k x ] R αποκτούµε καλά ορισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού επί του συνόλου πηλίκο E/R έτσι ώστε η τριάδα (E/R,, ) είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K,

9 9 Ασκηση 39. Εστω Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K, και έστω V ένας υπόχωρος του E. Ορίζουµε µια σχέση R(V) επί του συνόλου E ως εξής : x, y E : x R(V) y x y V (1) Να δειχθεί ότι η σχέση R(V) είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί τουν συνόλου E και η κλάση ισοδυνα- µίας του τυχόντος διανύσµατος x E είναι το σύνολο [ x ] R = x + V = { x + v E v V } (2) Να δειχθεί ότι η σχέση ισοδυναµίας R(V) είναι συµβατή µε τις πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού του E. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K, και έστω V ένας υπόχωρος του E. Ο διανυσµατικός χώρος E/R(V) συµβολίζεται µε E/V = E/R(V) = { x + V E x E } όπου x + V = { x + v E v V } και x + V = y + V x y V και καλείται ο διανυσµατικός χώρος πηλίκο του E ως προς τον V. Από την παραπάνω Άσκηση οι πράξεις µε τος οποίες το σύνολο E/V είναι διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K είναι οι εξής : ( x + V) ( y + V) = ( x + y) + V και k ( x + V) = k x + V Το µηδενικό διάνυσµα 0 E/V του E/V είναι η κλάση ισοδυναµίας του µηδενικού διανύσµατος 0 του E, δηλαδή 0 E/V = 0 + V = V και το αντίθετο του διανύσµατος x + V E/V είναι το διάνυσµα ( x) + V. Ασκηση 40. Εστω (E, +, ) ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K. διανυσµατικοί χώροι πηλίκα E/{ 0} και E/E. Επιπλέον : Να περιγραφούν οι (1) Αν E = R 2 και V = { k x R 2 k R }, όπου x είναι ένα σταθερό διάνυσµα του R 2, να περιγραφεί ο χώρος πηλίκο R 2 /V. (2) Αν E = R 3 και V = { k x R 3 k R }, όπου x είναι ένα σταθερό διάνυσµα του R 3, να περιγραφεί ο χώρος πηλίκο R 3 /V. (3) Αν E = R 3 και V = { k x + λ y R 3 k, λ R }, όπου x, y είναι δύο σταθερά διανύσµατα του R 3, να περιγραφεί ο χώρος πηλίκο R 3 /V.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 11 Μαίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 ιανυσµατικοι Χωροι Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα ορίσουµε την πολύ ϐασική

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 2. Σύντομες Λύσεις

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 2. Σύντομες Λύσεις Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz 2 Σύντομες Λύσεις Άσκηση 1. Βρείτε μία βάση και τη διάσταση, για τους διανυσματικούς χώρους M 3

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα