1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n"

Transcript

1 Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές τις ασκήσεις. Επισημαίνουμε ότι στην εξέταση θα υπάρχουν και ερωτήματα σε θέματα Θεωρίας. Μ. Ανούσης 1

2 Ασκήσεις στην Ανάλυση ΙΙ 8 Μαρτίου Ομοιόμορφη σύγκλιση Άσκηση 1 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Δείξτε ότι η {f n + g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f + g. Άσκηση 2 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Ψποθέτουμε ότι οι f και g είναι φραγμένες. Δείξτε ότι η {f n g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην fg. Άσκηση 3 Δίνονται δύο ακολουθίες συναρτήσεων {f n } n N, {g n } n N με f n : R R, g n : R R, για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f και ότι η {g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g. Εξετάστε αν η {f n g n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην fg. Άσκηση 4 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N, με f n : R R, που ορίζεται f n (x) = 1 n x2, για κάθε n N. 1. Θεωρούμε M R, M > 0. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [ M, M]. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. 2

3 Άσκηση 5 Θεωρούμε ένα μετρικό χώρο X. Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f : X R. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M n R τέτοιο ώστε f n (x) M n για κάθε x X. Δείξτε ότι υπάρχει M R τέτοιο ώστε f n (x) M για κάθε n N και για κάθε x X. Άσκηση 6 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, 1] και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, 1]. 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, 1] για δ > 0. Άσκηση 7 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, ) για δ > 0. Άσκηση 8 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n (x) = x2n 1 + x 2n για κάθε n N. 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο R και βρείτε το όριο. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο R. 3

4 3. Εξετάστε αν υπάρχουν M > 0 για τα οποία η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [M, ). Άσκηση 9 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = 1 1 x n 1. Δείξτε ότι η η {f n } n N συγκλίνει σημειακά στο (1, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο (1, ). 3. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, ) για a > 1. Άσκηση 10 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για κάθε n N. f n (x) = ( 1) n x2 + n n 2 1. Δείξτε ότι η η {f n } n N συγκλίνει σημειακά στο R και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. 3. Εξετάστε αν η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [ M, M] για M > 0. Άσκηση 11 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = nx 1 + nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, ) για δ > 0. 4

5 Άσκηση 12 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = n 2 xe nx 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, 1] και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, 1]. 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [δ, 1] για δ > 0. Άσκηση 13 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με για n N. f n (x) = 2x + n x + n 1. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο [0, ) και βρείτε το όριο της. 2. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, ). 3. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο [0, M] για M > 0. Άσκηση 14 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n (x) = x 1 + nx 2 για n N. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει στο R και βρείτε το όριο της. Εξετάστε αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο R. Άσκηση 15 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N και f : X R. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι και η { f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 16 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που ορίζεται f n (x) = ( 1) n (1 + x n ). Δείξτε ότι η { f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1] ενώ η {f n } n N δεν συγκλίνει. 5

6 Άσκηση 17 Θεωρούμε ένα μετρικό χώρο X και δ > 0. Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N με την ιδιότητα f n (x) δ για κάθε x X και n N και μια συνάρτηση f με f n : X R. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι: 1. f(x) 0 για κάθε x X. 2. Η { 1 f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην 1 f. Άσκηση 18 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N που ορίζεται f n (x) = x 1 + nx Δείξτε ότη η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R και βρείτε το όριο f. 2. Δείξτε ότι f n(x) f (x) αν x 0, αλλά f n(0) f (0). 3. Βρείτε για ποιά διαστήματα [a, b] ισχύει ότι η {f n} n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο [a, b]. Άσκηση 19 Θεωρούμε ένα σημείο x 0 R. Βρείτε μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με {f n } : R R ασυνεχών στο x 0 που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση συνεχή στο x 0. Άσκηση 20 Βρείτε μια ακολουθία {f n } n N Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων που συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση που δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. Άσκηση 21 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η f n είναι συνεχής συνάρτηση για κάθε n N και ότι η ακολουθία {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο Q. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. Άσκηση 22 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : R R για κάθε n N που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f με f : R R. Θεωρούμε x 0 R. Υποθέτουμε ότι Δείξτε ότι lim f n (x) = a n. x x 0 6

7 1. Η {a n } n N συγκλίνει σε ένα σημείο a R. 2. lim f(x) = a. x x 0 Δηλαδή lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n n x x0 x x 0 Άσκηση 23 Δίνεται ένας μετρικός χώρος X και μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N. Δείξτε ότι η f n συγκλίνει ομοιόμορφα αν και μόνο αν είναι ομοιόμορφα Cauchy. Άσκηση 24 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N που συγκλίνει ο- μοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση f σε ένα σύνολο E, E R. Δείξτε ότι αν {x n } n N είναι μια ακολουθία στο E που συγκλίνει σε ένα σημείο x E, τότε f n (x n ) f(x). Άσκηση 25 Δίνεται ένας συμπαγής μετρικός χώρος X και μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X R για κάθε n N και μια συνεχής συνάρτηση f με f : X R. Υποθέτουμε ότι για κάθε x X και για κάθε ακολουθία {x n } n N στο X που συγκλίνει στο σημείο x X, ισχύει f n (x n ) f(x). Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 26 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : (0, 1] R με { n αν 0 1 f n (x) = n 1, αν 1 < x 1 x n και η συνάρτηση f : (0, 1] R που ορίζεται f(x) = 1 x. 1. Δείξτε ότι ότι για κάθε x (0, 1] και για κάθε ακολουθία {x n } n N στο (0, 1] που συγκλίνει στο σημείο x, ισχύει f n (x n ) f(x). 2. Δείξτε ότι η {f n } n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 27 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που συγκλίνει σημειακά σε μια συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N είναι αύξουσα για κάθε n N. Είναι η f αύξουσα; 7

8 Άσκηση 28 Δίνεται μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R για κάθε n N που συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση f. Δείξτε ότι 1 1 n 0 f n (x)dx 1 0 f(x)dx. Άσκηση 29 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, ) R που ορίζεται f 1 (x) = x για κάθε n N. f n+1 (x) = x + f n (x) 1. Δείξτε ότι 0 = f n (0) < f n (x) < f n+1 (x) < 1 + x για κάθε n N και για κάθε x (0, ). 2. Δείξτε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, b] για 0 < a < b <. 3. Δείξτε ότι η {f n } n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1]. Άσκηση 30 Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : [0, 1] R που ορίζεται f n (x) = x n. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση g : [0, 1] R με g(1) = 0. Δείξτε ότι η {gf n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 31 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f n } n N με f n : X [0, 1] για κάθε n N και μια συνάρτηση f : X [0, 1]. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση g : [0, 1] R. Δείξτε ότι η {g f n } n N συγκλίνει ομοιόμορφα στην g f. Άσκηση 32 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων με f n : [0, ) R n=1 1 n 2 x 2 1. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει για κάθε x R, x Εξετάστε αν η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο x R {0}. 8

9 3. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [a, ) για 0 < a. 4. Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο (, a] για 0 < a. Άσκηση 33 Δίνεται η σειρά x n (1 x). n=1 Δείξτε ότι συγκλίνει στο [0, 1]. Δείξτε ότι δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 34 Δίνεται η σειρά ( 1) n x n (1 x). n=1 Δείξτε ότι συγκλίνει στο [0, 1]. Δείξτε ότι συγκλίνει ομοιόμορφα. Άσκηση 35 Δίνεται μια ακολουθία {a n } n N στο R. Υποθέτουμε ότι n=1 a n <. Δείξτε ότι η σειρά a n e nx συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, ). Άσκηση 36 Δίνεται η σειρά n=1 n=1 x n 1 + x n. Βρείτε για ποιά σημεία του R η σειρά συγκλίνει. Βρείτε για ποιά διαστήματα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άσκηση 37 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων 1 (x + n)(x + n + 1). n=0 Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, a] για a R, a > 0. Άσκηση 38 Δίνεται η σειρά συναρτήσεων x n(x + n). n=1 Δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0, 1]. 9

10 2 Μέτρο Lebesgue Άσκηση Δίνεται το σύνολο A = {1, 2, 3}. Βρείτε όλες τις άλγεβρες υποσυνόλων του A. 2. Δίνεται το σύνολο A = {1, 2, 3, 4}. Βρείτε όλες τις άλγεβρες υποσυνόλων του A. Άσκηση Βρείτε την άλγεβρα υποσυνόλων του N που παράγεται απο τα μονοσύνολα. 2. Βρείτε την σ-άλγεβρα υποσυνόλων του N που παράγεται απο τα μονοσύνολα. Άσκηση Βρείτε την άλγεβρα υποσυνόλων του R που παράγεται απο τα μονοσύνολα. 2. Βρείτε την σ-άλγεβρα υποσυνόλων του R που παράγεται απο τα μονοσύνολα. Άσκηση 42 Δίνεται μια σ-άλγεβρα A υποσυνόλων του R. Δείξτε ότι αν η A περιέχει μια αριθμήσιμη οικογένεια διαφορετικών ανά δύο συνόλων, τότε το πλήθος των στοιχείων της A είναι υπεραριθμήσιμο. Άσκηση 43 Δίνεται μια συνάρτηση f : X Y. 1. Αν η B είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Y τότε η A = {f 1 (B) : B B} είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X. 2. Αν η A είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X τότε η B = {B Y : f 1 (B) A} είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Y. Άσκηση 44 Δίνεται μια άλγεβρα συνόλων A. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Αν A i A για κάθε i N τότε i=1 A. 2. Αν A i A για κάθε i N και τα A i είναι ξένα ανά δύο, τότε i=1a i A. 3. Αν A i A για κάθε i N και A i A i+1 για κάθε i N, τότε i=1a i A. 10

11 Άσκηση 45 Δίνεται μια συνάρτηση f : R R. Δείξτε ότι το σύνολο των σημείων που η f είναι συνεχής είναι G δ. Άσκηση 46 Δίνεται μια ακολουθία συναρτήσεων {f} n N με f n : R R για κάθε n N. Δείξτε ότι το σύνολο των σημείων που η {f} n N συγκλίνει είναι F σδ. Άσκηση 47 Δίνεται ένα υποσύνολο E του [0, 1] με m (E) = 0. Δείξτε ότι το [0, 1] E είναι πυκνό στο [0, 1]. Άσκηση 48 Δίνεται ένα υποσύνολο E του R. Δείξτε ότι m (E) = inf{m (U) : E U, Uανοικτό }. Άσκηση 49 Δίνονται δύο υποσύνολα A και B του R. Δείξτε ότι αν m (A) = 0 τότε m (A B) = m (B). Άσκηση 50 Δίνονται δύο μετρήσιμα σύνολα A και B. Δείξτε ότι m (A B) + m (A B) = m (A) + m (B). Άσκηση 51 Δίνονται δύο σύνολα A και B τέτοια ώστε d(a, B) = inf{ x y : x A, y B} > 0. Δείξτε ότι m (A B) = m (A) + m (B). Άσκηση 52 Δίνονται δύο μετρήσιμα σύνολα A και B με B A και m (A) <. Δείξτε ότι m (A) = m (A B) + m (B). Άσκηση 53 Δίνονται ένα μετρήσιμο σύνολο A με m (A) < και ένα σύνολο B με A B. Δείξτε ότι m (B) = m (B A) + m(a). Άσκηση 54 Δίνονται ένα σύνολο A με m (A) < και ένα μετρήσιμο υποσύνολο B του A τέτοιο ώστε m(b) = m (A). Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο. 11

12 Άσκηση 55 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q. Για ɛ > 0 θέτουμε Θέτουμε 1. Δείξτε ότι Q A. A(ɛ) = n=1(q n ɛ 2 n, q n + ɛ 2 n ). A = n=1a( 1 n ). 2. Δείξτε ότι το A(ɛ) είναι μετρήσιμο και m(a(ɛ)) 2ɛ. 3. Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο και m(a) = 0. Άσκηση 56 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q [0, 1]. Για ɛ > 0 θέτουμε A(ɛ) = n=1(q n ɛ 2, q n n + ɛ 2 ). n Θέτουμε A = n=1a( 1 n ). 1. Δείξτε ότι αν ɛ < 1, το [0, 1] A(ɛ) είναι μη κενό Δείξτε ότι το A(ɛ) είναι μετρήσιμο και m(a(ɛ)) 2ɛ. 3. Δείξτε ότι Q [0, 1] A. 4. Δείξτε ότι A [0, 1]. 5. Δείξτε ότι το A είναι μετρήσιμο και m(a) = Δείξτε ότι το A είναι υπεραριθμήσιμο. Άσκηση 57 Δίνονται n ανοικτά διαστήματα I 1, I 2,..., I n. Δείξτε ότι αν το n i=1i i περιέχει το Q [0, 1], τότε n i=1 l(i i) 1. Άσκηση 58 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U) m (A) + ɛ. Άσκηση 59 Δίνεται ένα υποσύνολο A του R. Υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U) = m (A); 12

13 Άσκηση 60 Δίνεται ένα υποσύνολο A του R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα G δ υποσύνολο G του R που περιεχει το A και τέτοιο ώστε m (G) = m (A). Άσκηση 61 Δίνονται ένα ανοικτό φραγμένο υποσύνολο U του R και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει ένα συμπαγές υποσύνολο K του R που περιέχεται στο U και τέτοιο ώστε m (K) m (U) ɛ. Άσκηση 62 Δίνεται μια ακολουθία {A} n N ξένων ανά δύο μετρήσιμων συνόλων. Δείξτε ότι για κάθε σύνολο B έχουμε m (B ( i=1)a i )) = m (B A i ). Άσκηση 63 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα. 1. Το A είναι μετρήσιμο. 2. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που περιεχει το A τέτοιο ώστε m (U A) < ɛ. 3. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα κλειστό υποσύνολο F του R που περιέχεται στο A τέτοιο ώστε m (A F ) < ɛ. 4. Υπάρχει ένα G δ υποσύνολο G του R που περιέχει το A και τέτοιο ώστε m (G) = m (A). 5. Υπάρχει ένα F σ υποσύνολο F του R που περιέχεται στο A και τέτοιο ώστε m (F ) = m (A). Άσκηση 64 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R με 0 < m (A) <. Δείξτε ότι για κάθε 0 < a < 1 υπάρχει ανοικτό διάστημα J τέτοιο ώστε m (A J) am (J). Άσκηση 65 Δίνονται ένα υποσύνολο A του R με m (A) <. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα. 1. Το A είναι μετρήσιμο. 2. Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο U του R που είναι ένωση πεπερασμένου πλήθους ανοικτών διαστημάτων τέτοιο ώστε m (U A) < ɛ. 13 i=1

14 Άσκηση Δείξτε ότι για κάθε ακολουθία {c n } n N στο {0, 1, 2} η σειρά c n 3 n n=1 συγκλίνει σε κάποιον αριθμό στο [0, 1]. 2. Δείξτε ότι για κάθε αριθμό x στο [0, 1] υπάρχει ακολουθία {c n } n N στο {0, 1, 2} τέτοια ώστε c n x = 3. n n=1 Το 0.c 1 c 2 c 3... λέγεται τριαδικό ανάπτυγμα του x. 3. Δείξτε ότι αν x [0, 1] τότε ο x έχει δύο τριαδικά αναπτύγματα αν και μόνον αν x = m 3 n για κάποιους m, n στο N. 4. Συμβολίζουμε C το σύνολο του Cantor. Δείξτε ότι αν x [0, 1] τότε x C αν και μόνον αν ο x έχει τουλάχιστον ένα τριαδικό ανάπτυγμα 0.c 1 c 2 c 3... με c n {0, 2} για κάθε n N. Άσκηση 67 Δείξτε ότι το σύνολο Cantor έχει μέτρο 0. Άσκηση 68 Δίνεται 0 < δ < 1. Κατασκευάστε ένα υποσύνολο D(δ) του [0, 1] με τον ίδιο τρόπο όπως το σύνολο του Cantor, με την διαφορά ότι στο n- οστό βήμα τα διαστήματα που αφαιρούνται έχουν μήκος δ. Δείξτε ότι το σύνολο 3 n που προκύπτει δεν περιέχει διαστήματα. Δείξτε ότι το D(δ) είναι μετρήσιμο και βρείτε το μέτρο του. Άσκηση 69 Δίνεται το υποσύνολο E του [0, 1] το οποίο αποτελείται απο τους αριθμούς των οποίων η δεκαδική γραφή δεν έχει το ψηφίο 4. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο και βρείτε το m(e). Άσκηση 70 Δίνεται το υποσύνολο E του [0, 1] το οποίο αποτελείται απο τους αριθμούς των οποίων η δεκαδική γραφή δεν έχει τα ψηφία 5 και 7. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο και βρείτε το m(e). Άσκηση 71 Δίνεται E R. Δείξτε ότι το E είναι μετρήσιμο αν και μόνον αν η χ E είναι μετρήσιμη. 14

15 Άσκηση 72 Δίνεται E R. Δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f(x) = χ [0,1] (x) ς.π.. Άσκηση 73 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : R R και μια συνεχής συνάρτηση g : R R. Δείξτε ότι η g f είναι μετρήσιμη. Άσκηση 74 Δίνεται μια συνάρτηση f : R R. Υποθέτουμε ότι το {x R : f(x) > a} είναι μετρήσιμο για κάθε a Q. Δείξτε ότι η f είναι μετρήσιμη. Άσκηση 75 Δείξτε ότι: 1. χ A B = χ A + χ B χ A χ B. 2. χ A B = χ A χ B. 3. χ A c = 1 χ A. Άσκηση Δείξτε ότι το γινόμενο δύο απλών συναρτήσεων είναι α- πλή. 2. Δειξτε ότι το άθροισμα δύο απλών συναρτήσεων είναι απλή. Άσκηση 77 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 τότε υπάρχει M > 0 και A [a, b] τέτοια ώστε m(a) < ɛ και f(x) M για κάθε x [a, b] A. Άσκηση 78 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R τέτοια ώστε m f(x) M για m R και M R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ : [a, b] R τέτοια ώστε f(x) φ(x) < ɛ για κάθε x [a, b] και m φ(x) M για κάθε x [a, b]. Άσκηση 79 Δίνεται μια μετρήσιμη συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ : [a, b] R τέτοια ώστε f(x) φ(x) < ɛ για κάθε x [a, b] τέτοιο ώστε f(x) < M. Άσκηση 80 Δίνεται μια απλή συνάρτηση f : [a, b] R. Δείξτε ότι αν ɛ > 0 υπάρχει μια βηματική συνάρτηση φ : [a, b] R και ένα σύνολο A τέτοια ώστε f(x) = φ(x) για κάθε x [a, b] A και m(a) < ɛ. Άσκηση 81 Δείξτε ότι αν η f είναι αύξουσα τότε η f είναι μετρήσιμη. 15

16 Άσκηση 82 Δείξτε ότι αν f είναι μετρήσιμη και το B είναι σύνολο Borel τότε το f 1 (B) είναι μετρήσιμο. Άσκηση 83 Δείξτε ότι αν η f είναι συνεχής και το B είναι σύνολο Borel τότε το f 1 (B) είναι σύνολο Borel. Άσκηση 84 Δίνεται μια ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Δείξτε ότι το σύνολο {x X : {f n (x)} n N συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Άσκηση 85 Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R. 1. Δείξτε ότι αν το A είναι F σ τότε το f(a) είναι F σ. 2. Δείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα (αʹ) Αν m(e) = 0 τότε m(f(e)) = 0. (βʹ) Αν E είναι μετρήσιμο, τότε το f(e) είναι μετρήσιμο. Άσκηση 86 Δίνεται μια μη αρνητική, μετρήσιμη, φραγμένη συναρτήση f με f : [a, b] R. Δείξτε ότι υπάρχει μια αύξουσα ακολουθία {φ n } n N απλών μετρήσιμων συναρτήσεων που τείνει ομοιόμορφα στην f. Άσκηση 87 Δίνεται μια μη ακολουθία μετρήσιμων υποσυνόλων του R. 1. Αν m(e n ) < 1 2 n για κάθε n N, δείξτε ότι χ En (x) 0 σ.π.. 2. Αν m(e n ) < 1 2 n, ισχύει ότι χ En (x) 0 σ.π.. 3 Ολοκλήρωση Άσκηση 88 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι αν f = 0 τότε f = 0 σχεδόν παντού. Άσκηση 89 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι υπάρχει μια αύξουσα ακολουθία {φ n } n N από μη αρνητικές απλές συναρτήσεις τέτοια ώστε 1. Υπάρχει E n τέτοιο ώστε m(e n ) < και φ n (x) = 0 αν x / E n. 2. Η {φ n } n N τείνει στην f. 16

17 Άσκηση 90 Δίνεται μια μη αρνητική μετρήσιμη συνάρτηση f. Δείξτε ότι f = sup{ φ : φ απλή, φ f}. Άσκηση 91 Δείξτε ότι η ανισότητα στο Λήμμα του Fatou μπορεί να είναι γνήσια. Θεωρείστε την ακολουθία {f n } n N όπου η συνάρτηση f n ορίζεται όπως παρακάτω: { 1 αν n x < n + 1 f n (x) = 0, αν < x / [n, n + 1) Άσκηση 92 Δείξτε ότι το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης δεν ισχύει για φθίνουσες ακολουθίες συναρτήσεων. Θεωρείστε την ακολουθία {f n } n N όπου η συνάρτηση f n ορίζεται όπως παρακάτω: { 0 αν x < n f n (x) = 1, αν n x Άσκηση 93 Δίνεται μια ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f και ότι f n f για κάθε n N. Δείξτε ότι lim f n = f. n Άσκηση 94 Δίνεται μια ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων {f n } n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f σ.π. και ότι f n f <. lim n Δείξτε ότι για κάθε μετρήσιμο σύνολο E έχουμε f n f <. lim n E Άσκηση 95 Δίνεται μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο E και ɛ > 0. Δείξτε ότι υπάρχει μια απλή συνάρτηση φ τέτοια ώστε f φ < ɛ. E 17

18 Άσκηση 96 Θεωρούμε μια αρίθμηση {q n } n N του Q [0, 1]. Για 0 < ɛ < 1 2 θέτουμε A = n=1(q n ɛ 2, q n n + ɛ 2 ). n 1. Δείξτε ότι η χ A είναι μετρήσιμη. 2. Δείξτε ότι η χ A δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. 3. Δείξτε ότι η η χ A δεν είναι ίση σ.π. με καμμιά Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Άσκηση 97 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N με f n : [a, b] R για κάθε n N. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει ομοιόμορφα στην f. Δείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη και ότι b a f n f 0. Άσκηση 98 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι f n f 0. Δείξτε ότι f n f και ότι f n f. Άσκηση 99 Δίνονται τρείς μετρήσιμες συναρτήσεις f, g, h. Υποθέτουμε ότι οι f, h είναι ολοκληρώσιμες και ότι f g h. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η g είναι ολοκληρώσιμη; Άσκηση 100 Δίνεται μια αύξουσα ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f n f; Άσκηση 101 Δίνεται μια ακολουθία ολοκληρώσιμων συναρτήσεων {f n } n N και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Υποθέτουμε ότι η {f n } n N τείνει στην f σ.π.. Τότε f n f 0 αν και μόνον αν f n f. 18

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1

G n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.

sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B. Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Περιεχόμενα Μέρος I Γνώσεις Θεωρίας Μέτρου 1 1 σ-άλγεβρες 3 1.1 σ-άλγεβρες 3 1.2 Παραγόμενη σ-άλγεβρα 5 1.3 Τα σύνολα Borel 6 Ασκήσεις 7 2 Μέτρα 9 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, + ) και με τύπο (x) = x για κάθε x [0, + ). + x Έχουμε δει ότι 0 στο [0, + ). Τώρα, για

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Πραγματική Ανάλυση Πέτρος Βαλέττας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών 2010-11 Περιεχόμενα I Μετρικοί χώροι 1 1 Μετρικοί χώροι 3 1.1 Ορισμός και παραδείγματα........................... 3 1.2 Χώροι με

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.

Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 1: Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

convk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 4: Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B).

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B). Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Οµάδα Α 1. α) Εστω A ϕραγµένο υποσύνολο του R d. είξτε ότι λ A) < +. ϐ) Εστω ότι το A R d έχει τουλάχιστον ένα εσωτερικό σηµείο. είξτε ότι λ A) > 0. Υπόδειξη. α) Αφού το A

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 25 Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Όσοι έχουν πάρει προβιβάσιμο βαθμό στην Πρόοδο (πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω [, b] ένα κλειστό διάστημα με < b. Διαμέριση του [, b] είναι ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο του [, b] το οποίο περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim

= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρμογές Σημειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018

Ανάλυση Ι και Εφαρμογές Σημειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Ανάλυση Ι και Εφαρμογές Σημειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 08 Περιεχόμενα Το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Φυσικοί, ακέραιοι και ρητοί αριθμοί............................

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν η f είναι συνεχής στο [, b], τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Απόδειξη. Έστω ότι η f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Τότε υπάρχει κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΣ Ο ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΟΣ ΧΡΟΝΟΣ!! Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΚΑΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Σήμερα θα δούμε κάποια πράγματα για μια σημαντική ειδική κατηγορία σειρών, εκείνες που έχουν όλους τους προσθετέους τους μη-αρνητικούς. Και θα αρχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Το Θεώρημα των Bolzano και Weierstrass συμπληρώνεται με την εξής Πρόταση (.16 του βιβλίου). ΠΡΟΤΑΣΗ. [α] Κάθε όχι άνω φραγμένη ακολουθία έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x)

2. d(x, y) = 0 x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) Τελεστές σε χώρους Hilbert Γεωργάτος Σπυρίδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Επιτροπή Επιβλέπων: Φελουζής Ευάγγελος - Αναπληρωτής Καθηγητής Μέλη : Τσολομύτης Αντώνιος - Καθηγητής Νικολόπουλος Χρήστος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΥΡΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Α. Γιαννόπουλος, Α. Τσολομύτης ΚΥΡΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ) 2013 2018 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του αρχείου από άλλες ιστοσελίδες εκτός των http://yria.ath.aegea.gr/~atsol και http://users.uoa.gr/~apgiaop

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα