προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

Transcript

1 Σύγχρονο ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5 99 & ης Μαρτίου 74 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ & Πρωτεσιλάου 6 ΙΛΙΟΝ 6 55 & 6 57 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Καθηγητές: ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΦΑΣΜΑ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 5 Μαρτίου 5 Ονοματεπώνυμο: Θ έ μ α Α Α. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι : όλες οι συναρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c, c είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G( ) F( ) c, c. Μονάδες 7 Α. Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο o τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα που είναι γνωστό ως Κριτήριο Παρεμβολής. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε ως Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : i. Οι ρητές συναρτήσεις με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο, τουλάχιστον, κατά δύο βαθμούς του παρονομαστή, δεν έχουν ασύμπτωτες. ii. Αν lim ( ) τότε υπάρχει το όριο lim ( ) και ισούται με μηδέν. iii. Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g στο [, ] ισχύει: ( ) g( ) d [ ( ) g( )] ( ) g ( ) d iv. Αν η ευθεία : y με, είναι εφαπτομένη της παραγωγίσιμη στο. v. Γι α κάθε συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) για κάθε C στο τότε η είναι ισχύει ότι ( ), c όπου c μια πραγματική σταθερά. Μονάδες Θ έ μ α Β Για τους μιγαδικούς z, w και με u ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: u z( z ) Β. Να δείξετε ότι z w 5 i w i 4 Im Im( z). Μονάδες 6 Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των M ( z ). Μονάδες 6 Β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των N( w ) είναι κύκλος με K( 4,) και ακτίνα R. Μονάδες 6 Β4. Να δείξετε ότι 6 ww 6. Μονάδες 7

2 Θ έ μ α Γ ln, Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ( ) στο D [, )., Γ. Να δείξετε ότι και να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 5 Γ. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C με την εφαπτομένη της στο σημείο με τετμημένη και την ευθεία. Μονάδες 5 Γ4. Να δείξετε ότι ( h) ( h) για κάθε h. Μονάδες 6 Γ5. Να υπολογίσετε το όριο lim ( ) ( ) ( ). Μονάδες 5 Θ έ μ α Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύουν: ( ) lim m ( ) γ ι α κ ά θ ε Επίσης για κάθε ( ) ( ) ln( ) m ορίζονται οι συναρτήσεις: F( ) ( t) κ α ι G( ) t ( t) γ ι α κ ά θ ε Δ. Δείξτε ότι m κ α ι ( ) ln( ) μ ε. Μονάδες 9 Δ. Να λυθεί η εξίσωση G( ) ( t) γ ι α F ( ). Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι Δ 4. Δείξτε ότι η εξίσωση. Μονάδες 5 ( t) t ( t) G G G F( ) 4 ( ) ( ) ( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,). Μονάδες 6 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

3 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Σύγχρονο ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5 99 & ης Μαρτίου 74 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ & Πρωτεσιλάου 6 ΙΛΙΟΝ 6 55 & 6 57 Μάθηµα: Τάξη: Ε ιµέλεια: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΦΑΣΜΑ Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Αθήνα Μάρτιος 5

4 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Θ έ µ α Α Α. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου. Α. Ο ορισµός βρίσκεται στη σελίδα 59 του σχολικού βιβλίου. Α. Το Κριτήριο - Θεώρηµα στη σελίδα 69 του σχολικού βιβλίου. Α4. i. Λάθος (µπορεί να έχουν κατακόρυφες) ii. Σωστό iii. Λάθος (πρέπει να είναι συνεχείς οι, g ) iv. Σωστό v. Λάθος (είναι σε ένωση διαστηµάτων άρα έχουµε διαφορετική σταθερά στο καθένα) Θ έ µ α Β Για τους µιγαδικούς z, w C και µε u R ισχύουν οι αρακάτω σχέσεις: u= z( z ) Β. Να δείξετε ότι ( z ) w+ 5 i + w+ i = 4 Im = Im( z). u R u= u z( z ) = z( z ) z z= z z ( ) z z = z z Im z i= Im( z ) i Im z = Im( z) Οπότε από Β έχουµε y= y y( ( ) Α όδειξη Β. Να βρείτε το γεωµετρικό τό ο των M ( z ). Θέτω z= + yi,, y R τότε z = ( y ) + yi y= Άξονας ) = ή = Ευθεία / / y y

5 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Β. Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τό ος των N( w ) είναι κύκλος µε K( 4,) και ακτίνα R=. Θέτω w= + yi,, y R τότε ( + 5) + ( y ) i + ( + ) + ( y ) i = 4 ( 5) ( y ) ( ) ( y ) = y y = Α= 8, Β= 6, Γ= 4 Α +Β 4Γ= = 4> Α Β Άρα είναι κύκλος µε κέντρο Κ, δηλαδή Κ( 4,) και ακτίνα R= ό ως αρατίθεται αρακάτω και σε σχήµα. Β4. Να δείξετε ότι 6 ww 6. ος τρό ος (Αλγεβρικά) Με την βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας έχουµε: Ma w = w+ i + + i w+ i + + i = = + = ( 4 ) ( 4 ) 4 4 ( 4) ( ) 5 6 Min w = w+ i + + i w+ i + i = + + = = ( 4 ) ( 4 ) 4 4 ( 4) ( ) w 6 6 w 6 6 ww 6 ος τρό ος (Γεωµετρικά) Με την βοήθεια σχήµατος έχουµε: Ma w = ( OK) + R= 5+ = 6 Min w = ( OK) R= 5 = 4 4 w 6 6 w 6 6 ww 6 Ma - Min

6 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Θ έ µ α Γ ln, > ίνεται η συνεχής συνάρτηση ( ) = στο D = [, + ). κ, = Γ. Να δείξετε ότι κ = και να µελετήσετε την ως ρος τη µονοτονία και τα ακρότατα. Απόδειξη για κ= Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της, από υπόθεση θέµατος, θα είναι και στο =, οπότε µε την βοήθεια του ορισµού συνέχειας σε σηµείο έχουµε: lim ( ) = () lim ln = κ () Για το όριο έχουµε: lim( ln ) ( ) ln ( ) ln = lim lim lim lim + + = = = D L H = Ο κανόνας D L Hospital εφαρµόστηκε καθώς για τις συναρτήσεις ln και, ισχύει ότι lim ln = και lim =+ + αντίστοιχα, οπότε έχουμε απροσδιοριστία + που ανάγεται στην και οι συναρτήσεις ln και είναι παραγωγίσιμες για > και κοντά στο. Οπότε από την σχέση () και το όριο προκύπτει κ =. Εύρεση Μονοτονίας και Ακροτάτων Στο εσωτερικό του διαστήµατος δηλαδή για > έχουµε ότι η είναι παραγωγίσιµη ως γινόµενο παραγωγίσιµων (πολυωνυµική - λογαριθµική) οπότε: ( ) = ( ln ) = ( ) ln + (ln ) = ln + = ln + = ( ln + ) ( ) (ln ) > = + = ln + = ln = = = ( ) (ln ) > ln > + > ln + > ln > ln > ln ր > > + + ( ) =

7 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Μονοτονία Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, +.. Ακρότατα Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στη θέση = ως άκρο κλειστού την τιµή () =. Η συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στη θέση = την τιµή =. εν είναι απαραίτητο να γράψουµε ότι είναι (ολικό) ακρότατο, αρκεί τοπικό καθώς το ερώτηµ µα ζητούσε απλά τα ακρότατα και όχι τα ολικά! Γ. Να µελετήσετε την ως ρος την κυρτότητα και τα σηµεία καµ ής. Εύρεση Κυρτότητας και Σηµείων Καµ µ ής Από Γ έχουµε ( ) = (ln + ), > οπότε η προκύπτει παραγωγίσιµη για > ως γινόµενο παραγωγίσιµων, ενός πολυωνύµου και της συνάρτησης ln + που είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση παραγωγίσιµων (λογαριθµική µε πολυωνυµική) στο διάστηµα αυτό. " [ ] ( ) = (ln + ) = ( ) (ln + ) + (ln + ) = ln + + = ln + για > " ( ) = ln + = l ln = = = = =. " lnր ( ) > ln + > l ln > ln > ln > > >.

8 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Κυρτότητα Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη) στο,. Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή) στο, +. Σηµεία Καµ ής Η συνάρτηση παρουσιάζει σηµείο καµπής το A, δηλαδή το A, αφού εκατέρωθεν της θέσης = αλλάζει η κυρτότητα (δηλαδή το πρόσηµο της ") και ορίζεται η εφαπτοµένη στο σηµείο Α καθώς η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο =. Γ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται α ό την C µε την εφα τοµένη της στο σηµείο µε τετµηµένη = και την ευθεία =. Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο (,) () = έχουµε : y Ε Ω = ορίζεται ως ( ) B είναι η: ε : y () = ()( ) δηλαδή µε () = και ε =. Οπότε αναζητούµε το εµβαδόν του χωρίου { C, ε,, } Ω= = = οπότε αυτό ( ) ( ) d. Αφού η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστηµα ολοκλήρωσης όπως προκύπτει από το ερώτηµα Γ, από το σχόλιο της εφαπτοµένης εύκολα εξάγουµε ότι η εφαπτοµένη θα βρίσκεται κάτω από την C µε εξαίρεση το σηµείο επαφής Β. Άρα ( ) ( ) για [, ] οπότε το ολοκλήρωµα γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln Ε Ω = d= d= + d= d d+ d= ΠΟ = ln d [ ] ln ( ln ) d [ ] + = + = = ln d + [ ] = ln d [ ] + = = ln [ ] ln 9 + = + = = + + = + + = ( ) Ε Ω = τµ

9 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Γ4. Να δείξετε ότι ( + h) < (+ h ) για κάθε h>. Θεωρούµε τα διαστήµατα [, + h] και [ + h,+ h] που προκύπτουν για h>. ΘΜΤ συνεχής στο [, + h ] [, + ) από υπόθεση θέµατος Γ. παραγωγίσιµη στο (, + h) (, + ) όπως αποφάνθηκε στο Γ. Ανισότητες Jnsn Από Θεώρηµα Μέσης Τιµής (ΘΜΤ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, + h) έτσι ώστε ( + h) () ( ξ) =. h ΘΜΤ συνεχής στο [ + h, + h] [, + ) από υπόθεση θέµατος Γ. παραγωγίσιµη στο ( + h,+ h) (, + ) όπως αποφάνθηκε στο Γ. Από Θεώρηµα Μέσης Τιµής (ΘΜΤ) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( + h,+ h) έτσι ώστε (+ h) ( + h) ( ξ) =. h Για < ξ< + h< ξ < + h µε την κυρτή στο ( ξ, ξ), + οπότε έχουµε: κυρτή (+ h) () (+ h) ( + h) h> ξ< ξ ( ξ) < ( ξ) < ( + h) < (+ h) ( + h) ր h h ( + h) < (+ h) ( Γ5. Να υ ολογίσετε το όριο lim + ) ( ) + ( ηµ + ) ( + ) ( ) ( + ) ln( + ) ln lim ηµ lim + = ( + ) + ηµ = ( + ) + = lim ( ln( + ) ln ) ηµ = lim ln + ηµ +

10 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) ln + ln + ηµ ln + γ ι α > + L= lim ln + Ο π ό τ ε + + Θ έ τ ω u= lim ln = L = + + u = lim = lim = lim ln = L = + L= lim ln u= ln= u Τελικά από κριτήριο παρεµβολής + lim ln ηµ =. + «Μηδενική επί Φραγµένη» Θ έ µ α Έστω η αραγωγίσιµη συνάρτηση στο R για την ο οία ισχύουν: ( ) lim = m R ( ) γ ι α κ ά θ ε R Ε ίσης για κάθε. είξτε ότι m= κ α ι ( ) + = ( ) + ln( + ) + m + ορίζονται οι συναρτήσεις: F( ) = ( t) κ α ι G( ) t ( t) = ( ) ln( ) = + µ ε R. γ ι α κ ά θ ε R Α όδειξη για m= ( ) ( ) Από υπόθεση έχουµε lim = m R. Θεωρώ συνάρτηση g( ) =, οπότε µε επίλυση προκύπτει ( ) = g( ) + για. Εξετάζοντας αυτή τη σχέση κοντά στο έχουµε ότι: το όριο lim ( ) υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός καθώς η συνάρτηση είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη από υπόθεση οπότε lim ( ) = ( ) R. το lim( g( ) + ) γνωρίζουµε ότι υπάρχει στους πραγµατικούς αριθµούς καθώς lim g( ) = m R από αρχική θεώρηση και ως ιδιότητες βασικών πεπερασµένων οριών. Συνολικά έχουµε:

11 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) lim ( ) = lim( g( ) + ) = lim lim g( ) + lim= m+ = lim ( ) = () = συνεχήςωςπαραγωγίσιµη Τέλος το αρχικό όριο γίνεται: παραγωγίσιµη ( ) ( ) () lim = m lim = m () = m () Από την δοσµένη ανισότητα ( ) για κάθε R και για () = που αποδείξαµε έχουµε: ( ) () για κάθε R άρα η τιµή () είναι ολικό ελάχιστο οπότε ακρότατο. Η θέση ακροτάτου = είναι στο εσωτερικό του R. Στη θέση = η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη. Από θεώρηµα Frmat () = οπότε ισοδύναµα από την σχέση () έχουµε m=. Έυρεση Συνάρτησης ος Τρό ος Από υπόθεση έχουµε m= ( ) + = ( ) + ln( + ) + m ( ) + = ( ) + ln( + ) + + Με θεώρηση συνάρτησης ϕ ( ) = ( ) + ln( + ) και παρατηρώντας ότι ϕ ( ) = ( ) + + προκύπτει η ισοδύναµη σχέση ϕ ( ) = ϕ ( ) από την οποία έχουµε: ( ϕ ) ΘΣΣ ϕ ( ) = ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) = ϕ ( ) ϕ( ) = ( ) = ϕ( ) = a για κάθε R µε a µια πραγµατική σταθερά. Για = έχουµε ϕ () = a () + = a a=. Οπότε ϕ ( ) = ϕ ( ) = ( ) ( ) ( ) ln ϕ = + + = Άρα ( ) = ln( + ) για κάθε R. ος Τρό ος Από υπόθεση έχουµε m= ( ) + = ( ) + ln( + ) + m ( ) + = ( ) + ln( + ) + + Πόρισµα ΘΣΣ.. ( ) ( ( )) ( ) ( ) = ln( + ) ( ) ( ) = ln ( + ) + + ( ) = ln + ( ) = ln( + ) + c, για κάθε R µε c µια πραγµατική σταθερά. για = = + c = c c= : () ln (). ( ) ( ) ( ) = ln + + ( ) = ln + + ( ) = ln( + ), R

12 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5). Να λυθεί η εξίσωση G( ) ( t) = γ ι α F ( ). ος Τρό ος Ύ αρξης Ριζών: Για την συνάρτηση F( ) = ( t) έχουµε ότι είναι παραγωγίσιµη στο R ως ολοκλήρωµα της συνεχούς συνάρτησης στο R όπως προκύπτει από θεώρηµα,οπότε η F είναι παραγωγίσιµη και στο, + R. Με παραγώγιση έχουµε F ( ) = ( ) > για κάθε R άρα και στο υποσύνολό του, + R. Οπότε η συνάρτηση F προκύπτει γνησίως αύξουσα στο, + άρα και ένα προς ένα (-) στο ίδιο διάστηµα. Άρα για την εξίσωση έχουµε: F ( ) = ( ) G( ) G( ) F ( ) F ( ) F : [ ] ( t) = F ( t) = F( t) = F( G( )) F( F( )) = G( ) F ( ) F( G( )) = F( F( )) G( ) = F( ) ( t) = t ( t) και ως προφανή ρίζα έχουµε την =, καθώς επαληθεύει: ( t) = t ( t) = =. Για την ε ίλυση της εξίσωσης (δηλαδή της εύρεσης όλων των ριζών) θα ρέ ει να α οφανθούµε για τη µοναδικότητα της ρίζας (ή να αναζητήσουµε υ όλοι ες) άρα να µελετήσουµε µονοτονία. Η α όδειξη µοναδικότητας θα γίνει µε µονοτονία ου ολοκληρώνει τις α αιτήσεις του θέµατος, η ο οία αρατίθεται µετά τον δεύτερο τρό ο ύ αρξης ριζών. ος Τρό ος Ύ αρξης Ριζών: Από υπόθεση έχουµε ( ) > για κάθε R. συνεχής ως παραγωγίσιµη από υπόθεση στο R και ( ) > στο R Από θεώρηµα για κάθε α, β R µε α < β ισχύει ότι ( ) d> α β β και αν α > β ισχύει ότι ( ) d> ( ) d> ( ) d< β α α Οπότε συνολικά για α β έχουµε ( ) d. β α β α

13 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5) Άρα για να ισχύει G( ) ( t) = απαιτώ τα άκρα να είναι ίσα καθώς σε κάθε άλλη περίπτωση όπως εξηγήσαµε F ( ) παραπάνω, το ολοκλήρωµα θα ήταν διάφορο του µηδενός. Για έχουµε F( ) = G( ) ( t) = t ( t) καθώς ισχύει Α όδειξη Μοναδικότητας και ως προφανή ρίζα έχουµε την ( t) = t ( t) = =. Θεωρώ συνάρτηση H ( ) = F ( ) G( ) για η F( ) είναι παραγωγίσιµη στο στο R άρα και στο, + R. = µε H =. Η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιµη καθώς:, + ως ολοκλήρωµα της συνεχούς ως παραγωγίσιµης συνάρτησης η G( ) είναι παραγωγίσιµη στο, + ως ολοκλήρωµα του γινοµένου συνεχών συναρτήσεως στο R (πολυώνυµο µε την συνάρτηση ). Οπότε η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιµη στο, + ως πράξεις παραγωγίσιµων (γινόµενο πολυωνυµικής µε την F και διαφορά µε την G ). H ( ) = ( F( ) G( ) ) = ( ) F( ) + F ( ) G ( ) = ( t) + ( t) t ( t) H ( ) = ( t) + ( ) ( ) = ( t) Οπότε προκύπτει όπως αναλύσαµε και παραπάνω ότι: H είναι γνησίως αύξουσα στο, + άρα η ρίζα = είναι µοναδική. H ( ) = ( t) > για > άρα η συνάρτηση

14 Λύσεις Θεµάτων Μαθηµατικών Γ Λυκείου (Μάρτιος 5). Να α οδείξετε ότι. ( t) > t ( t) Α ό δ ε ι ξ η Γ ι α τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η H τ ο υ ε ρ ω τ ή µ α τ ο ς έ χ ο υ µ ε : Hր < Η <Η() < F() G() G() < F() t ( t) < ( t) 4. είξτε ότι η εξίσωση G G G F( ) = 4 ( ) ( + ) + ( ) έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα (, ). Α ό δ ε ι ξ η Θεωρώ συνάρτηση L( ) = F( )( ) G( ) + G( + ) G( ) στο [,]. 4 Η συνάρτηση L είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις(γινοµένου-αθροίσµατος και σύνθεσης) µεταξύ συνεχών συναρτήσεων αφού η F και η G είναι συνεχής όπως αναλύσαµε παραπάνω. Οπότε αν συνθέσουµε συνεχείς συναρτήσεις (πολυώνυµα) µε την G θα προκύψουν συνεχείς συναρτήσεις. L() = G() + G() G() = G() < 4 4 Αφού G ( ) = ( ) > για, + άρα G γνησίως αύξουσα στο,, +. Για Gր < () () G < G < G G () < L () < 4 L() = F() G(4) + G(5) G() = F() G() + G(5) G(4) Οµοίως G γνησίως αύξουσα στο [4,5], +. Για 4< 5 G(4) < G(5) G(5) G(4) > ( A) G() G() Από έχουµε F() > G() F() > F() > ( B) Οπότε από (Α) και (Β) µε πρόσθεση κατά µέλη προκύπτει: L () > Αφού λοιπόν L() L () < από Θεώρηµα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) έτσι ώστε L( ) = οπότε ισοδύναµα G( ) G( + ) + G( ) L( 4 ) = F( )( ) G( ) + G( + ) G( ) = F( ) = 4 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ!!!