ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου 005 Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 4 του συγγράµµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Άσκηση i. Κάνετε πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις και γράψτε το αποτέλεσµα στη µορφή a + ib, όπου a, b πραγµατικοί αριθµοί: α. + + i i ii. Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης 6 + i β. ( µονάδες) i + 64i = 0, ως σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο. Τι σχήµα φτιάχνουν τα σηµεία αυτά αν ενωθούν µεταξύ τους διαδοχικά µε ευθύγραµµα τµήµατα; (4 µονάδες) iii. Βρείτε το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z = + iy που ικανοποιούν ταυτόχρονα: ( + i) = και z ( i) z = ( µονάδες) και σχολιάστε την γεωµετρική ερµηνεία τους. Απάντηση. i. α. + = = = + i i i β. + i ( + i) 4 8 = = i = ( i ) = i i ii. π i = 0 + i= 0 = ( i) = e i π i kπ + 6 kπ π i( + ) 4 = e = e για k = 0,,,, 4,5, k δηλαδή,

2 π π 0 = cos + isi = + i = + i π π π π + = cos + + isi + i i 4 4 = + = + π π π π + = cos + + isi + i i 4 4 = + = + π π = cos + π + isi + π = i = i π 4π π 4π + 4 = cos + + isi + i i 4 4 = + = π 5π π 5π + 5 = cos + + isi + = + i = i 4 4 όπου έχουµε χρησιµοποιήσει τις ταυτότητες: cos( A+ B) = cos Acos A si Asi B, si( A+ B) = si Acos B+ si Bcos A Αν αναπαραστήσουµε τα σηµεία αυτά, 0,, 5 στο µιγαδικό επίπεδο θα έχουµε το σχήµα ενός κανονικού εξαγώνου. iii. Έστω z = + iy όπου y,. Τότε θα έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z + i = + i y = + y = 4 () Όµοια ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z i = + i y+ = + y+ = 4 () Αν αφαιρέσουµε από την () την () θα έχουµε ( ) ( ) y+ y = 0 4y = 0 y= 0 () Αντικαθιστώντας την () στην εξίσωση () έχουµε : ( ) ( ) ( ) + 0 = 4 = = ± Η εξίσωση () παριστάνει τα σηµεία περιφέρειας κύκλου µε κέντρο το σηµείο (,) και ακτίνα µήκους, στη δε εξίσωση () ο κύκλος έχει κέντρο το σηµείο (,-) και ακτίνα. Τα σηµεία τοµής των παραπάνω κύκλων είναι η κοινή λύση των () και ().

3 Άσκηση i. Να βρεθούν τα όρια των ακολουθιών : α. + = 4 + β. y + =, > + γ. z = (9 µονάδες) (Υπόδειξη: Για το β. βλ. Άσκηση Αυτοαξιολόγησης β, σελ. 6 και για το γ., βλ. και το Παράδειγµα στη σελ. 5). ii. Ένας ορισµός συγκλίνουσας ακολουθίας είναι και ο εξής: Μία ακολουθία a, N συγκλίνει σε ένα πεπερασµένο όριο, α, αν, για κάθε ε > 0, υπάρχει 0 τέτοιος ώστε, για κάθε > 0, ισχύει α α < ε. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό αυτό εξετάστε αν οι κάτωθι ακολουθίες συγκλίνουν και αν ναι σε ποιο όριο: ( ) a = +, b = ( ) + (4 µονάδες) Απάντηση i. α. = = lim = lim = = 0, διότι για α <, lim a = 0. β. Επειδή y ( + ) = = + + = = ( )

4 είναι + + lim y = lim = =. + + γ. Παρατηρούµε πρώτα ότι < ( ) /, όπως αποδεικνύεται εύκολα µε επαγωγή: Η ανισότητα ισχύει για =,. Με την υπόθεση ότι ισχύει για = k, δηλαδή k < ( /) k, (/ ) / k + < και επειδή k+ (/) k, k, έχουµε ότι η τότε έχουµε k ( ) ανισότητα ισχύει για = k+, και άρα για κάθε. Aυτό σηµαίνει ότι (/ ) > > 0. Όµως η ακολουθία lim(/ 4) = 0, οπότε συµπεραίνουµε ότι και lim = 0. ii. Επειδή a ( ) = = < ε, καθόσον lim = 0 έχουµε : ε >0, 0 (ε) = + ε, ώστε > 0 a < ε. Η b έχει δύο υπακολουθίες, για = k και = k+, που σύµφωνα µε τον ορισµό, συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια. Συγκεκριµένα lim bk =, lim bk =. Επειδή k k όµως το όριο πρέπει να είναι µοναδικό, συµπεραίνουµε ότι η ακολουθία b δεν συγκλίνει. Άσκηση i. Εξετάστε αν συγκλίνουν οι σειρές : α. β. + =! cos( πα) γ. (9 µονάδες) b = = + ii. εχόµαστε το ακόλουθο Θεώρηµα (Κριτήριο Leibiz): Αν η ακολουθία των θετικών όρων a έχει όριο το µηδέν και είναι φθίνουσα, τότε η σειρά συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό. Χρησιµοποιώντας το παραπάνω θεώρηµα εξετάστε τη σύγκλιση των σειρών + = 0 ( ) a α. + = ( ) + β. + ( ) ( + ) = + (6 µονάδες) 4

5 Απάντηση. i. α. Σύµφωνα µε το κριτήριο της σελ. 6 του βιβλίου, παρατηρούµε ότι ισχύει η ανισότητα: < + για.επειδή η σειρά αποκλίνει τότε και η σειρά = + αποκλίνει. = + β. Εφαρµόζοντας το κριτήριο λόγου έχουµε: Συνεπώς η σειρά! αποκλίνει. = a ( + )! lim = lim = lim a! => cos( πα) γ. Επειδή, η δε σειρά συγκλίνει, από το κριτήριο +b +b b = + cos( πα) σύγκρισης συµπεραίνουµε, ότι και η συγκλίνει. b ii. α. Επειδή lim = 0 και + = + + ( + ) + + +, η οποία είναι αληθής για όλες τις τιµές του N, ισχύουν οι προϋποθέσεις του κριτηρίου Leibiz, και συνεπώς η σειρά + = ( ) + συγκλίνει. β. Επειδή + lim = 0, η σειρά + + ( ) ( + ) = + δεν συγκλίνει. Άσκηση 4 i. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα, αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α. Είναι δυνατόν να συγκλίνουν ταυτόχρονα οι αριθµητικές σειρές όπου α µη µηδενικοί πραγµατικοί αριθµοί; β. Αν οι αριθµητικές σειρές α και = συγκλίνει; ii. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσµατα : β συγκλίνουν, η σειρά = = α, = α β, α = ( µονάδες) ( µονάδες) 5

6 α. β. = + ( )( ) + + (6 µονάδες) 5 = Απάντηση. i. α. εν είναι δυνατόν οι σειρές να συγκλίνουν ταυτόχρονα διότι αν συγκλίνει, τότε lim a = 0 οπότε Όµοια, αν = a αποκλίνει. = συγκλίνει, τότε a lim a a β. Επειδή aβ α + β και οι σειρές συµπεραίνουµε ότι και η σειρά =, άρα η ii. α. Επειδή = ( )( + ) ( ) ( + ) αθροισµάτων s =. ( )( + ) = β. Έχουµε : = ( + ) = = a αποκλίνει. a lim = 0, άρα lim a = συνεπώς η σειρά α, β συγκλίνουν, = = aβ συγκλίνει απολύτως άρα και απλώς. =. Τότε lim s, η ακολουθία των µερικών =, δηλαδή, + + = + 6 = = = + 9 = = = = = καθόσον οι σειρές είναι γεωµετρικές. Άσκηση 5 i. ίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) = και g( ) = Προσδιορίστε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών τους. Ελέγξετε ως προς τη µονοτονία τις παραπάνω συναρτήσεις και βρείτε τις αντιστρόφους τους όπου ορίζονται. Υπολογίστε τη σύνθεση των συναρτήσεων f g και g f, όπου αυτή ορίζεται. (8 µονάδες) 6

7 ii. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια, στην περίπτωση που αυτά υπάρχουν: α. lim Απάντηση + + β. lim γ. lim si( ) (6 µονάδες) + i. Η συνάρτηση f ( ) = έχει πεδίο ορισµού { : } y y y 0 y R. Αν = = R και επειδή y = 0, το πεδίο τιµών είναι το διάστηµα [0, ). Για f ( ) f ( ) < > > >, άρα η f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα, στο (,]. Επειδή είναι γνήσια µονότονη, υπάρχει η f ( ), η οποία είναι f ( ) =. Το πεδίο ορισµού της g( ) = είναι το R, και από y y = + = 0 (), βρίσκουµε από τη σχέση 0 y 0 y, συνεπώς πεδίο τιµών της g ( ) είναι το (,], (βλέπε διπλανό σχήµα). Για < έχουµε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) g g = = + < 0, δηλαδή η g ( ) είναι γνήσια αύξουσα, ενώ για <, επειδή ( ) ( ) ( )( ) g g = + > 0, η g ( ) είναι γνήσια φθίνουσα. Επιπλέον οι ρίζες της () είναι = ± y, οπότε έχουµε για τον περιορισµό της gστο ( ) διάστηµα (,], η αντίστροφη συνάρτηση είναι η g ( ) = ενώ για τον περιορισµό της gστο ( ) διάστηµα [, ) η αντίστροφη συνάρτηση είναι g ( ) = +. Σηµειώστε ότι και ( )( ) ( ( )) f g = f g = + = 7

8 ( )( ) ( ) ( ) ( ). g f = g f = = + ii. α. Πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση του παρονοµαστή, έχουµε ( )( + + ) lim = lim = lim = + + ( ) ( + ) β. lim = lim = lim = lim (5+ )( ) (5+ ) Όµως lim δεν υπάρχει καθώς τα πλευρικά όρια lim = lim = + _ δηλαδή δεν υπάρχει το όριο, αφού αυτό δεν είναι µοναδικό. si( ) γ. lim si( ) = lim =, καθόσον + + siω lim =. ω ω 0 Άσκηση 6 i. Να βρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών a,b ώστε : ( ) lim a b = (7 µονάδες) ii. ίνεται η συνάρτηση f ( ) a + b = > + + Για ποιες τιµές των a,b η συνάρτηση είναι συνεχής στο = ; (7 µονάδες) Απάντηση. i. ( a b) lim + + = lim ( ) ( ) a + ab + b = lim = a+ b ( ) + + a+ b a+ b Επειδή για, το παραπάνω όριο είναι πεπερασµένος αριθµός, πρέπει 8

9 ab + a a = και ( ) = Η a = απορρίπτεται., όπου a + 0. Για a= b=. ii. Από τον ορισµό της συνάρτησης είναι f ( ) ( ) να είναι συνεχής στο lim = lim + + =. Για =, πρέπει επιπλέον f ( ) a + b lim = lim =. + + Επειδή το όριο είναι πεπερασµένος αριθµός, ο αριθµητής θα πρέπει να µηδενίζεται για =, δηλαδή, a+ b= (). Τότε a + ( a) ( a + )( ) ( a + ) a + lim f( ) = lim = lim = lim = = Συνεπώς a = 6, και από την () έχουµε b = 8. Άσκηση 7 i. Έστω A πίνακας, τέτοιος ώστε το άθροισµα των στοιχείων της διαγωνίου του να ισούται µε. Αν Ι ο µοναδιαίος πίνακας, αποδείξτε ότι ο πίνακας Α δεν είναι det[ A+ ( ) I] αντιστρέψιµος, όταν lim είναι πραγµατικός αριθµός. ii. Έστω A πίνακας, τέτοιος ώστε A A I = 0 και η συνάρτηση det[ A ( I)] 8, f( ) =. a, = (7 µονάδες) Αν η f ( ) είναι συνεχής στο =, να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα Α και την τιµή της συνάρτησης f ( ) = a. (7 µονάδες) Απάντηση. i. Για να δείξουµε ότι ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος, αρκεί να δείξουµε ότι detα = 0. Επειδή o Α είναι πίνακας, έχουµε λι Α = λ tra λ + A = λ λ + A, det( ) ( ) det det αφού το άθροισµα των διαγωνίων όρων είναι, δηλαδή tra = (Γραµµική Άλγεβρα, σελ., άσκ..6()). Τότε 9

10 det A+ I det ( A + ( ) I ) lim = lim ( ) det I A + det A = lim = lim det A ( ) + ( ) det A + = lim = lim Aν det A 0, τότε το όριο αυτό είναι -. Για να είναι εποµένως πραγµατικός αριθµός πρέπει det A = 0. ii. Για την συνάρτηση f ( ) έχουµε ( ) det[ A ( I)] 8 det( A I),, f( ) = = a, = a, = Εποµένως, για να είναι συνεχής στο σηµείο =, θα πρέπει ο αριθµητής του ως άνω κλάσµατος να δέχεται το ως παράγοντα. Αυτό όµως συµβαίνει µόνον όταν det( A I) =. Στην περίπτωση αυτή δηλαδή a =. Επιπλέον, από την ισότητα 8 lim f( ) = lim = lim( + + 4) = A A I ( A I) = A ( ) A I A A = 0 έχουµε det = det det = = 4., Άσκηση 8 i. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του λόγου, να βρεθούν όλες οι τιµές του για τις οποίες συγκλίνουν οι σειρές: + = ( + ) 6 + = + (5 µονάδες) ii. Έστω η πραγµατική συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε f ( + y) = f( ) + f( y) για κάθε,y R. Aποδείξτε πρώτα ότι f ( ) = f ( ), για κάθε R και φυσικό αριθµό. Κατόπιν δείξτε ότι f (0) = 0 και εξηγείστε γιατί f ( ) = f ( ), για κάθε R και ακέραιο αριθµό. (5 µονάδες) Απάντηση. 0

11 i. α. Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: ( + ) 6 ( + ) + = = + =. ( + ) 6 ( + ) ( + ) 6 ( + ) ( + ) lim lim lim + Άρα, αν + < + < 6 7< < 5, τότε η 6 + ( + ) συγκλίνει. 6 = Για = 5, προκύπτει η αριθµητική σειρά όπως η αντίστοιχη αρµονική. =, η οποία αποκλίνει, = = Για = 7, έχουµε + + ( 6) ( ) = = 6 6 =, η οποία συγκλίνει, γιατί είναι η εναλλάσσουσα αρµονική, (ικανοποιεί τις υποθέσεις του κριτηρίου Leibiz). Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει όταν [ 7,5). β. Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: Άρα, αν < < < 0< < > 0, τότε η ( ) ( ) lim + = lim = + = + συγκλίνει. Για = 0, η σειρά + αποκλίνει, όπως η αντίστοιχη p-σειρά ( = Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει όταν (0, ). ii. Για = y έχουµε f ( ) = f( + ) = f( ) + f( ) = f( ), f ( ) = f( + ) = f( ) + f( ) = f( ), p = ). και γενικά f ( ) = f ( ), όπου φυσικός αριθµός (ευκολη απόδειξη µε επαγωγή). Επειδή f ( ) = f( + 0) = f( ) + f(0), έχουµε f (0) = 0. Επιπλέον 0 = f (0) = f( + ( )) = f( ) + f( ), δηλαδή, f ( ) = f( ).

12 Συνεπώς ( ) f ( ) = f ( ) + ( ) = f( ) + f( ) = f( ) = f( ), ( ) f ( ) = f + ( ) = f( ) + f( ) = f( ) και γενικά f ( ) = f ( ) για κάθε ακέραιο αριθµό. Άσκηση 9 i. Με τη βοήθεια του προγράµµατος του MATLAB ή της Octave, υπολογίστε τους 0 a + πρώτους όρους της ακολουθίας a+ = µε a 0 = 5. Τι συµπεραίνετε για τη a + 4 σύγκλιση της ακολουθίας καθώς ; Στη συνέχεια σχεδιάστε τη γραφική παράσταση των σηµείων αυτών. (5 µονάδες) Υπόδειξη: Για να υπολογίσετε τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας, oρίστε πρώτα ένα διάνυσµα µε ένα στοιχείο το a 0 =, ως εξής: >>akol=[] Στη συνέχεια µε τη χρήση της εντολής επανάληψης, for,δηµιουργείστε τους επόµενους όρους της ακολουθίας και προσθέστε τους στο τέλος του διανύσµατος akol. Αυτό µπορεί να γίνει µε την εντολή >> for =:0,akol=[akol;(*akol(-)+)/(akol(-)+4)];ed Μετά, δείτε τους όρους της ακολουθίας µε την εντολή >>akol αφού πρώτα εκτελέσετε την εντολή >> format log ώστε να βλέπετε τα στοιχεία µε δεκαέξι ψηφία. Στη συνέχεια µε την εντολή plot κάντε το γράφηµα των όρων. >> plot(akol) Για να αντιγράψετε το γράφηµα από την Octave στο Word, στο παράθυρο µε το γράφηµα κάνετε δεξί κλικ στη λωρίδα τίτλου και από την επιλογή Optios επιλέγετε Copy to Clipboard. Στη συνέχεια κάνετε Paste στο Word. Στο MATLAB είναι πιο απλό µιας και υπάρχει διαθέσιµη επιλογή στα µενού του παράθυρου του γραφήµατος. Απάντηση. Εφαρµόζοντας τις παραπάνω οδηγίες : α) ηµιουργούµε τον πρώτο όρο της ακολουθίας : >> akol=[5]; β) ηµιουργούµε τους υπόλοιπους 9 όρους της ακολουθίας (χωρίς να τους εκτυπώσουµε) : >>for =:0,akol=[akol;(*akol(-)+)/(akol(-)+4)];ed γ) Εκτελούµε την εντολή format log για να δούµε τους όρους που θα ακολουθήσουν µε 6 δεκαδικά ψηφία. >> format log δ) Εµφανίζω τους όρους της ακολουθίας : >> akol

13 akol = Παρατηρείστε ότι οι όροι της ακολουθίας συγκλίνουν στο. ε) Σχεδιάζω τους όρους της ακολουθίας µε την plot() >> plot(akol,'o') ii. Με τη βοήθεια του MATLAB ή της Octave, υπολογίστε τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας µερικών αθροισµάτων s =, s = +, s = , s 0 = και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση των όρων αυτών. Τι συµπεραίνετε για την σύγκλιση της σειράς ; Εργασθείτε όµοια για τα µερικά αθροίσµατα k =

14 s =, =,,..., 0 και γράψτε τις παρατηρήσεις σας για την σύγκλιση της k = σειράς. (5 µονάδες) k = Υπόδειξη: ηµιουργείστε ένα διάνυσµα µε όρους τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας. Για να το κάνετε αυτό χρησιµοποιείστε τις διανυσµατικές πράξεις (vectorized)./ και.^ οι οποίες εφαρµόζονται ανάµεσα σε διανύσµατα, ή διανύσµατα και αριθµούς, στοιχείο προς στοιχείο διανύσµατος. Για παράδειγµα για να ορίσω τους 0 πρώτους όρους της ακολουθίας µπορώ να πληκτρολογήσω >> a=./([:0].^) Στη συνέχεια εφαρµόστε στο διάνυσµα την εντολή cumsum >> b=cumsum(a) η οποία επιστρέφει διάνυσµα που περιέχει στην κ θέση τα αθροίσµατα των κ πρώτων στοιχείων του a (cumulative sum). Στη συνέχεια µε την plot κάνετε το γράφηµα που σας ζητείται: >> plot(b) Επαναλάβατε τα ίδια για τα µερικά αθροίσµατα s =, =,,..., 0. Για να αντιγράψετε το γράφηµα από την Octave στο Word, στο παράθυρο µε το γράφηµα κάνετε δεξί κλικ στη λωρίδα τίτλου και από την επιλογή Optios επιλέγετε Copy to Clipboard. Στη συνέχεια κάνετε Paste στο Word. Στο MATLAB είναι πιο απλό µιας και υπάρχει διαθέσιµη επιλογή στα µενού του παράθυρου του γραφήµατος. Απάντηση Η εντολή [:0].^ υψώνει τα στοιχεία του πίνακα [... 0] στο τετράγωνο. Όµοια η εντολή a=./([:0].^) στην θέση των στοιχείων του πίνακα [:0].^ τοποθετεί τις αντίστροφες τιµές τους π.χ. >> a=./([:0].^) k = a = Colums through Colums 6 through Colums through 5 4

15 Colums 6 through Εφαρµόζοντας την εντολή cumsum στον προηγούµενο πίνακα θα πάρουµε τον πίνακα των µερικών αθροισµάτων : >> b=cumsum(a) b = Colums through Colums 6 through Colums through Colums 6 through τα στοιχεία του οποίου µπορούµε να αναπαραστήσουµε µε την εντολή plot() >> plot(b,'o') 5

16 Παρατηρούµε ότι υπάρχει µια σύγκλιση των τιµών στο Η ακριβής τιµή του αθροίσµατος δίνεται από την εντολή symsum(f(),0,k) : >> syms >> symsum(/^,,if) as = /6*pi^ = όπου pi=.459. Αν εφαρµόσουµε τις παραπάνω εντολές για το άθροισµα >> a=./([:0]) a = Colums through 5 k, k =,,...,0 θα έχουµε : = Colums 6 through Colums through Colums 6 through 0 6

17 >> b=cumsum(a) b = Colums through Colums 6 through Colums through Colums 6 through >> plot(b,'o') 7

18 Παρατηρείστε ότι η γραφική αυτή παράσταση παρέχει απλώς µια ένδειξη ότι η σειρά δεν συγκλίνει. Στην πραγµατικότητα, όσους όρους και να συµπεριλάβουµε, ποτέ δεν θα µπορέσουµε να αποφανθούµε µε σιγουριά για την απόκλιση της σειράς, µε αυτόν τον τρόπο. Η απόκλιση της αρµονικής σειράς είναι ένα κλασικό παράδειγµα αποτελέσµατος για το οποίο η αναλυτική µαθηµατική σκέψη δεν µπορεί να αντικατασταθεί από µια απλή υπολογιστική διαδικασία