«ΣΟΙΦΕΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΟΝ ΠΛΑΣΩΝΑ. ΔΙΑΘΕΜΑΣΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ»

2 ο ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΣΗ Γ2 ΣΑΞΗ «ΣΟΙΦΕΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΟΝ ΠΛΑΣΩΝΑ. ΔΙΑΘΕΜΑΣΙΚΗ ΠΡΟΕΓΓΙΗ» ΤΠΕΤΘΤΝΟΙ ΚΑΘΗΓΗΣΕ: ΓΕΨΡΓΙΟ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΗ ΠΕ03 ΝΙΚΟΛΑΟ ΠΕΣΑ ΠΕ02 ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΪΟ 2012

Πίνακας περιεχομένων Σο γεωμετρικό πρόβλημα (Μένων 82a-85b)...2 Πλατωνικός διάλογος «Μένων» Μετάφραση...4 υμπεράσματα από τη μελέτη του διαλόγου...18 1. Γεωμετρική απόδειξη με σύγχρονο συμβολισμό...18 2. Αλγεβρική απόδειξη με σύγχρονο συμβολισμό...19 3. Η σημασία του προβλήματος σήμερα...20 Η αθανασία της ψυχής...22 Η γένεση όλων των πραγμάτων από το αντίθετό τους (Φαίδων 69e-72e)...22 Η θεωρία της ανάμνησης (Μένων 80d-86c)...25 Βιβλιογραφία...29 1

Σο γεωμετρικό πρόβλημα (Μένων 82a-85b) Ο ωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά να εξετάσει μαζί του ένα γεωμετρικό πρόβλημα: με ποιο τρόπο μπορεί να διπλασιάσει ένα τετράγωνο. Μολονότι ο δούλος δεν γνωρίζει γεωμετρία, παρακολουθεί και άλλοτε συναινεί και άλλοτε όχι στην πορεία των σκέψεων του ωκράτη, ο οποίος επιχειρεί: α. Να διπλασιάσει το τετράγωνο εμβαδού 2 2=4 ποδών διπλασιάζοντας κάθε του πλευρά (4 4=16). Έτσι όμως έχουμε τετραπλασιασμό του τετραγώνου. Ο δούλος αναγνωρίζει ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό να ισχύει. β. Να μεγεθύνει την κάθε πλευρά κατά το ήμισυ. Σότε όμως έχοντας κάθε πλευρά 3 ποδών έχουμε ένα τετράγωνο 9 ποδών (3 3=9) και όχι διπλάσιο. Ο δούλος σκέπτεται μαζί με τον ωκράτη και συμφωνεί. 2

γ. Ο ωκράτης προχωρεί τέλος στον τετραπλασιασμό του τετραγώνου. χηματίζοντας τέσσερα τετράγωνα σε σχήμα τετραγώνου τα μοιράζει σε δύο σύροντας την διαγώνιο έτσι καταλήγει σ ένα τετράγωνο, που είναι διπλάσιο του πρώτου. Σο συμπέρασμα που βγάζει μαζί με τον δούλο είναι ότι ο διπλασιασμός του τετραγώνου γίνεται, όταν σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά την διαγώνιο του πρώτου. Έτσι όμως αποδεικνύεται ότι τον μαθηματικό συλλογισμό ο δούλος τον αντλεί από μέσα του. Ο δούλος τώρα θυμήθηκε, λειτούργησε μέσα του η ἀνάμνησις. Γιατί μέσα στην ψυχή του έχει τις αρχές του διπλάσιου, του τετραπλάσιου, του μισού, των σχημάτων και των μεταξύ τους σχέσεων. Ο δούλος έχει την ορθή γνώμη γι αυτά τα αισθητά σχήματα αντλώντας τις αρχές από μέσα του, ενεργοποιώντας την ανάμνησή τους. Έτσι, λοιπόν, υπάρχουν τρία στάδια σ αυτή την πορεία: 1) Πρώτο στάδιο: Χεύτική γνώση. Ο δούλος δίνει λανθασμένες απαντήσεις, παραδέχεται όμως την άγνοιά του. 2) Δεύτερο στάδιο: Απορία. Ο ωκράτης επισημαίνει την απορία του δούλου, διότι η απορία είναι το πρώτο στάδιο της γνώσης. 3) Σρίτο στάδιο: Ανάμνηση. Ο δούλος κινείται προς την ορθή κατεύθυνση και οδηγείται στον εντοπισμό της ορθής πλευράς: πρόκειται για την διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου. Ο δούλος ξαναθυμήθηκε γνώση που δεν διέθετε. υνεπώς, αφού κανείς δεν δίδαξε τον δούλο, έπεται ότι η ψυχή του κατείχε τις ορθές γνώμες, οι οποίες με τις ερωτήσεις ανακινήθηκαν και μετατράπηκαν σε γνώση. Και εφόσον η ψυχή κατέχει συνεχώς την αλήθεια των όντων, είναι αθάνατη. Με άλλα λόγια: Ο δούλος κάποτε «είχε» την γνώση που λησμόνησε αργότερα, και αφού ποτέ του στην ζωή αυτή δεν «διδάχτηκε» γεωμετρία, το «κάποτε» κατ ανάγκην σημαίνει «πριν γίνει άνθρωπος» και έτσι διαπιστώνουμε την αθανασία της ψυχής. 3

ΠΛΑΣΩΝΙΚΟ ΔΙΑΛΟΓΟ «ΜΕΝΩΝ» ΜΕΣΑΥΡΑΗ 82a-85b Και πριν λίγο είπα, Μένωνα, ότι είσαι πανούργος άνθρωπος έρχεσαι και με ρωτάς αν μπορώ να σε διδάξω, εγώ που υποστηρίζω ότι δεν υπάρχει διδασκαλία αλλά ανάμνηση, για να παρουσιασθώ ως ένας που αντιφάσκει με τον εαυτό του. ΜΕΝ: Όχι, μα τον Δία, ωκράτη, δεν το είπα αυτό με τέτοια πρόθεση, αλλά από συνήθεια. Όμως αν μπορείς με κάποιον τρόπο να μου δείξεις ότι έτσι έχει το πράγμα, όπως το λες, δείξε τό μου. Η απόδειξη της ανάμνησης Δεν είναι εύκολο, όμως για χάρη σου θέλω να μπω στον κόπο. Υώναξέ μου μόνο έναν από αυτούς εδώ τους ακόλουθούς σου, όποιον θέλεις, για να σου το δείξω με τη βοήθειά του. ΜΕΝ: Πολύ ευχαρίστως. Εσύ εκεί, έλα κοντά μου. Είναι Έλληνας και μιλά ελληνικά; 4

ΜΕΝ: Πολύ καλά, μεγάλωσε άλλωστε στο σπίτι μας. Πρόσεξε τώρα τι από τα δύο συμβαίνει, αν από μόνος του ξαναθυμάται ή μαθαίνει από μένα ΜΕΝ: Είμαι όλος προσοχή. Σο διπλάσιο τετράγωνο είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο Πες μου τώρα, παλληκάρι, βλέπεις ότι αυτό είναι μία τετράγωνη επιφάνεια; Είναι μια τετράγωνη επιφάνεια που έχει ίσες όλες αυτές τις γραμμές και όλες είναι τέσσερις; ΠΑΙ: Ακριβώς. Και αυτές εδώ οι γραμμές στο μέσον της δεν είναι ίσες; ΠΑΙ: Βέβαια. Μια τέτοια επιφάνεια δεν θα μπορούσε να είναι και μεγαλύτερη και μικρότερη; (Σχήμα 1) Σχήμα 1 ΠΑΙ: Οπωσδήποτε. 5

Εαν τώρα πάρουμε αυτήν την πλευρά με μήκος δύο πόδια και την άλλη επίσης δύο πόδια, πόσα πόδια θα ήταν όλη η επιφάνεια; κέψου ως εξής αν το μήκος αυτής της πλευράς ήταν δύο πόδια, της άλλης όμως μόνον ένα, ολόκληρη η επιφάνεια δεν θα ήταν μία φορά τα δύο πόδια; Επειδή όμως και αυτή είναι δύο ποδών, δεν είναι όλη δύο φορές τα δύο πόδια; Είναι λοιπόν δύο επί δύο πόδια; Και πόσο κάνουν δύο επί δύο πόδια; κέψου και απάντησε. ΠΑΙ: Σέσσερα πόδια, ωκράτη. Μπορούμε τότε να σχηματίσουμε και μια δεύτερη, διπλάσια και όμοια επιφάνεια, που θα έχει ίσες όλες τις πλευρές, όπως και η πρώτη; Πόσων ποδών θα είναι αυτή; ΠΑΙ: Οκτώ ποδών. Ψραία, προσπάθησε τώρα να μου πεις πόσου μήκους θα είναι η κάθε πλευρά της δεύτερης επιφάνειας. Αυτή εδώ, της πρώτης, έχει μήκος δύο πόδια τι συμβαίνει με την πλευρά της διπλάσιας; ΠΑΙ: Είναι φανερό, ωκράτη, ότι θα είναι διπλάσια. Βλέπεις, Μένωνα, ότι εγώ τίποτα δεν τον διδάσκω, αλλά υποβάλλω μόνον ερωτήσεις; Αυτός νομίζει ότι ξέρει το μέγεθος της πλευράς από την οποία θα προκύψει η επιφάνεια των οκτώ ποδών. Ή μήπως έχεις άλλη γνώμη; ΜΕΝ: Έχω την ίδια γνώμη. 6

Λοιπόν μήπως ξέρει; ΜΕΝ: Όχι ασφαλώς. Νομίζει δηλαδή ότι προκύπτει από το μήκος μιας διπλάσιας πλευράς; ΜΕΝ: Ναι. Παρακολούθησέ τον τώρα να ξαναθυμάται σύμφωνα με τη σειρά που επιβάλλει η ανάμνηση. Μία ακόμη απόπειρα του δούλου Εσύ, πες μου τώρα νομίζεις ότι η διπλάσια επιφάνεια θα γίνει από τη διπλάσια πλευρά; Σο εξής εννοώ η επιφάνεια δεν πρέπει να έχει τη μία πλευρά μακριά και την άλλη κοντή αλλά πρέπει όλες να είναι ίσες, όπως σε αυτό εδώ το σχήμα θα είναι όμως διπλάσια από αυτό, οκτώ πόδια. Κοίταξε τώρα αν θα νομίζεις πάντοτε το ίδιο, ότι η επιφάνεια σχηματίζεται από τη διπλάσια πλευρά. 7

ΠΑΙ: Εντάξει. Διπλάσια δεν θα γίνει αυτή η γραμμή, αν προσθέσουμε σε αυτό το σημείο μία δεύτερη με το ίδιο μήκος; ΠΑΙ: Βέβαια. Από αυτήν λοιπόν δεν θα γίνει η επιφάνεια των οκτώ ποδών, όταν πάρουμε τέσσερις τέτοιες; Ας σχεδιάσουμε τότε, με βάση αυτή τη διπλάσια, τέσσερις ίσες πλευρές. Αυτή είναι η επιφάνεια των οκτώ ποδών που μας λες ή όχι; ΠΑΙ: Ακριβώς αυτή είναι. ε αυτό το σχήμα δεν περιέχονται τέσσερις επιφάνειες σαν την πρώτη και καθεμιά τους δεν είναι ίση με εκείνη των τεσσάρων ποδών; Πόσο μεγάλο είναι; Δεν είναι τέσσερις φορές πιο μεγάλο; ΠΑΙ: Βέβαια και είναι. Μπορεί επομένως, αυτό που είναι τέσσερις φορές πιο μεγάλο, να είναι διπλάσιο; ΠΑΙ: Όχι, μα τον Δία. Αλλά πόσες φορές είναι μεγαλύτερο; ΠΑΙ: Σέσσερις φορές μεγαλύτερο (Σχήμα 2). 8

Σχήμα 2 Επομένως, παλληκάρι μου, από τη διπλάσια πλευρά σχηματίζεται επιφάνεια όχι διπλάσια, αλλά τετραπλάσια; ΠΑΙ: Ναι, πράγματι. Σέσσερις φορές το τέσσερα μας κάνει ή δεν μας κάνει δεκάξι; Ναι, αλλά από τι μήκους πλευρά θα σχηματισθεί η επιφάνεια των οκτώ ποδών; Από αυτήν εδώ δεν γίνεται τετραπλάσια; ΠΑΙ: Σόση γίνεται. 9

Και τεσσάρων ποδών δεν γίνεται με βάση αυτήν εδώ την πλευρά που είναι το μισό της προηγούμενης; Ψραία η επιφάνεια λοιπόν των οκτώ ποδών δεν είναι διπλάσια από αυτήν των τεσσάρων, όμως το μισό της μεγάλης; χηματίζεται λοιπόν από πλευρά μεγαλύτερη από αυτήν εδώ αλλά μικρότερη από εκείνη τη μεγάλη ή όχι; ΠΑΙ: Ναι, αυτή είναι η γνώμη μου. Ψραία ό,τι είναι η γνώμη σου, αυτό να μου απαντάς. Πες μου τώρα αυτή η πλευρά δεν είναι μήκους δύο ποδών και η άλλη τεσσάρων; Πρέπει επομένως η πλευρά της επιφάνειας των οκτώ ποδών να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά των δύο ποδών και μικρότερη από εκείνη των τεσσάρων. ΠΑΙ: Ναι, αυτό πρέπει. Προσπάθησε τώρα να μου πεις πόσο μεγάλη είναι αυτή. ΠΑΙ: Σρία πόδια. Σότε, εφ όσον είναι τριών ποδών, δεν θα προσθέσουμε το μισό μήκος αυτής της πλευράς, ώστε να γίνει τριών ποδών; Δύο πόδια της πρώτης 10

πλευράς και ένα από εδώ το ίδιο και με την άλλη πλευρά, δύο πόδια έως εδώ συν ένα σχηματίζεται έτσι η επιφάνεια που μας λες (Σχήμα 3). Σχήμα 3 ΠΑΙ: Πράγματι. Εφ όσον όμως αυτή η πλευρά είναι τρία πόδια και η άλλη τρία πόδια, η όλη επιφάνεια δεν είναι τρία επί τρία πόδια; 11

ΠΑΙ: Είναι φανερό. Και πόσο κάνουν τρία επί τρία πόδια; ΠΑΙ: Εννέα. Πόσων όμως ποδών έπρεπε να είναι η διπλάσια επιφάνεια; ΠΑΙ: Οκτώ. χηματίζεται τότε η επιφάνεια των οκτώ ποδών από πλευράς μήκους τριών ποδών; ΠΑΙ: ε καμία περίπτωση. Από ποια τέλος πάντων; Προσπάθησε να μας πεις ακριβώς αν δεν θέλεις να το πεις με αριθμούς, δείξε μας από ποια πλευρά. ΠΑΙ: Μα τον Δία, ωκράτη, εγώ δεν ξέρω καθόλου. Η λήξη της άγνοιας Βλέπεις, Μένωνα, πόσο αυτός εδώ έχει προοδεύσει κατά τη διαδικασία της ανάμνησης; την αρχή δεν ήξερε τίποτα, ποια είναι η πλευρά της επιφάνειας με τα οκτώ πόδια, ακριβώς όπως δεν ξέρει και τώρα. Σότε όμως είχε τη γνώμη ότι την ήξερε και με θάρρος απαντούσε λες και ήξερε, χωρίς να του περνά από το μυαλό ότι βρισκόταν σε δύσκολη θέση. Σώρα όμως αντιλαμβάνεται τη δύσκολη θέση του το ίδιο, πραγματικά δεν ξέρει, ούτε νομίζει ότι ξέρει. ΜΕΝ: Έχεις δίκαιο. 12

Όμως αυτός δεν βρίσκεται τώρα σε καλύτερη θέση σχετικά με το ζήτημα που δεν ήξερε; ΜΕΝ: Αυτή τη γνώμη έχω και εγώ. Αφού λοιπόν τον κάναμε να απορήσει και να μουδιάσει ό,τι κάνει εκείνη η θαλασσινή μουδιάστρα μήπως του προξενήσαμε κάποιο κακό; ΜΕΝ: Δεν το νομίζω. 13

Απορία και γνώση Εμείς λοιπόν τον έχουμε σπρώξει, καθώς φαίνεται, να ανακαλύψει πώς ακριβώς έχει το ζήτημα. Γιατί αυτός τώρα με προθυμία, νομίζω, θα το διερευνήσει, επειδή δεν ξέρει τότε όμως χωρίς δισταγμό και μπροστά σε πολλούς και πολλές φορές είχε την ιδέα ότι απαντούσε ορθά για τη διπλάσια επιφάνεια, ότι η πλευρά της πρέπει να είναι διπλάσια. ΜΕΝ: Έτσι φαίνεται. Και νομίζεις ότι αυτός εκ των προτέρων θα επιχειρούσε να ερευνήσει ή να μάθει αυτό που νόμιζε ότι ήξερε παρ όλο που δεν το ήξερε, προτού να βρεθεί σε απορία και πριν αντιληφθεί ότι δεν ήξερε και έτσι να επιθυμήσει τη γνώση; ΜΕΝ: Δεν το νομίζω ωκράτη. Επομένως το μούδιασμα τον ωφέλησε; ΜΕΝ: Ναι, αυτό νομίζω. Η ανάμνηση και η ορθή γνώμη Κοίταξε τώρα τι θα ανακαλύψει μέσα από αυτήν την απορία του μαζί μου θα ερευνήσει, εγώ όμως μόνο θα ρωτώ και δεν θα τον διδάσκω. Πρόσεξε μάλιστα μήπως με πιάσεις να τον διδάσκω και να τον καθοδηγώ και όχι να αναζητώ τις γνώμες του. Πες μου εσύ αυτή εδώ δεν είναι μια επιφάνεια τεσσάρων ποδών; Σο καταλαβαίνεις; 14

Μπορούμε να της προσθέσουμε μια δεύτερη ίση επιφάνεια; Και αυτήν εδώ, ίση με καθεμιά από τις προηγούμενες; Να συμπληρώσουμε και αυτήν την επιφάνεια εδώ στη γωνία; ΠΑΙ: Βέβαια. Δεν σχηματίζονται αυτές οι τέσσερις ίσες επιφάνειες; Λοιπόν; Ολόκληρη αυτή η επιφάνεια πόσες φορές είναι μεγαλύτερη από την πρώτη; ΠΑΙ: Είναι τετραπλάσια. Έπρεπε όμως να έχουμε διπλάσια ή δεν το θυμάσαι; ΠΑΙ: Βέβαια το θυμάμαι. Είναι και αυτή μια γραμμή που τη φέρουμε από τη μια γωνία στην άλλη και τέμνει στα δύο καθεμιά από αυτές τις επιφάνειες; Αυτές όλες δεν είναι τέσσερις ίσες γραμμές, οι οποίες περιέχουν αυτήν την επιφάνεια; 15

ΠΑΙ: Ναι, πράγματι. Πρόσεξε τώρα πόσο μεγάλη είναι αυτή η επιφάνεια; ΠΑΙ: Δεν ξέρω. Είναι αυτά τέσσερα τετράγωνα και καθεμία εσωτερική γραμμή τέμνει το καθένα σε ίσα ημίση ή όχι; Πόσα τέτοια σχήματα περιέχει αυτό το τετράγωνο; ΠΑΙ: Σέσσερα. Και πόσα αυτό; ΠΑΙ: Δύο. Και ποια η αναλογία του τέσσερα προς δύο; ΠΑΙ: Είναι διπλάσιο. Πόσων ποδών λοιπόν είναι αυτή η επιφάνεια (Σχήμα 4); 16

Σχήμα 4 ΠΑΙ: Οκτώ πόδια. Από ποια πλευρά; ΠΑΙ: Από αυτή. Από αυτή δηλαδή που στο τετράγωνο των τεσσάρων ποδών εκτείνεται από τη μία γωνία προς την άλλη. Οι διδάσκαλοι ονομάζουν αυτή τη γραμμή διαγώνιο. 17

υμπεράσματα από την μελέτη του διαλόγου 1. Γεωμετρική απόδειξη με σύγχρονο συμβολισμό Θα αποδείξουμε ότι το τετράγωνο ΔΒΝΡ είναι το ζητούμενο τετράγωνο. Καταρχάς, αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα, διαπιστώνουμε ότι είναι όλα μεταξύ τους ίσα, καθώς είναι όλα ορθογώνια και έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες από κατασκευής (Π Γ Π). Από την ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι Δηλαδή το ΔΒΝΡ είναι ρόμβος και επειδή οι διαγώνιοί του ΔΝ και ΒΡ είναι ίσες λόγω κατασκευής, θα είναι και ορθογώνιο. Άρα, τελικά πρόκειται για τετράγωνο. Σώρα, επειδή στο τετράγωνο ΑΒΓΔ η ΔΒ είναι διαγώνιος, θα ισχύει ότι ( ) ( ) Εντελώς όμοια, αν δουλέψουμε στα άλλα τρία τετράγωνα, τα οποία έχουν ίδιο εμβαδό με το ΑΒΓΔ, θα πάρουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη όλες τις παραπάνω ισότητες παίρνουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18

Δηλαδή τελικά ότι ( ) ( ) που είναι και το ζητούμενο. 2. Αλγεβρική απόδειξη με σύγχρονο συμβολισμό Θα αποδείξουμε ότι το μήκος της ζητούμενης πλευράς ισούται με. Πράγματι, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΔΓΒ παίρνουμε: Φρησιμοποιώντας και τον τύπο για το εμβαδό τετραγώνου, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι: ( ) ( ) ( ) 19

3. Η σημασία του προβλήματος σήμερα Βρήκαμε λοιπόν ότι η ζητούμενη πλευρά πρέπει να έχει μήκος. Άρα, αν υπολογίσουμε τον λόγο: αυτός είναι ένας άρρητος αριθμός. Αυτή είναι και η δυσκολία που αντιμετώπισε ασυνείδητα ο δούλος, ότι δηλαδή έπρεπε να βρει ένα μέγεθος που ήταν ασύμμετρο σε σχέση με την αρχική πλευρά. Σην εποχή που πραγματοποιείται ο διάλογος (γύρω στο 403 π. Φ.) η ύπαρξη των άρρητων αριθμών ήταν ήδη γνωστή: ο είχε ανακαλυφθεί από τους Πυθαγόρειους, περίπου 150 χρόνια πριν, και ο Πλάτωνας αναφέρει ότι ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος απέδειξε το 430 π. Φ. την αρρητότητα των αριθμών. Παρόλα αυτά εκείνη την εποχή αριθμοί θεωρούνταν μόνο οι ακέραιοι, καθώς η φύση των άρρητων ήταν τελείως άγνωστη. Η συμβολή λοιπόν της παραπάνω κατασκευής είναι διπλή: 1. Μας δείχνει ότι οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί γνώριζαν μόνο την ύπαρξη των άρρητων και αυτό τους επέτρεπε να λύνουν γεωμετρικά τα προβλήματα που περιείχαν άρρητους και 2. Αποτέλεσε ένα από τα αμέτρητα παραδείγματα που λειτούργησαν ως έναυσμα για την μελέτη της φύσης των άρρητων αριθμών, οι οποίοι μαζί με τους ρητούς αποτελούν το γνωστό σε εμάς σύνολο R των πραγματικών αριθμών, στο οποίο η εξίσωση έχει λύση. Μόνο όταν θεμελιώθηκε αυστηρά το σύνολο R τον 19 ο αιώνα από τους Cantor και Dedekind (με 20

διαφορετική μέθοδο ο καθένας) κατέστη δυνατή όχι μόνο η αλγεβρική επίλυση εξισώσεων που έχουν άρρητες λύσεις αλλά και η πλήρης κατανόηση άλλων θεμελιωδών εννοιών, όπως αυτή του ορίου και της συνέχειας συναρτήσεων. Κλείνοντας, να αναφέρουμε ένα απλό παράδειγμα που μας πείθει για τον ρόλο των άρρητων: Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ΟΑΒΓ με πλευρά 1, έτσι ώστε η διαγώνιος ΟΒ να βρίσκεται ολόκληρη στην ευθεία των ρητών αριθμών. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα βρίσκουμε ότι ΟΒ =. Άρα, θεωρώντας το Ο ως αρχή του άξονα, το σημείο Β θα έχει τετμημένη, οπότε θα αντιστοιχεί σε ρητό αριθμό, μόνο αν ο είναι ρητός, πράγμα φυσικά που δεν ισχύει. Γ Ο 1 Β 1 Α υνεπώς, ευθεία των ρητών αριθμών, όσο παράξενο κι αν μας φαίνεται, έχει «κενά», δηλαδή σημεία τα οποία δεν αντιστοιχούν σε ρητό αριθμό. υμπληρώνοντάς την όμως με τους άρρητους, όλα τα κενά καλύπτονται και παίρνουμε την ευθεία των πραγματικών αριθμών. 21

Η αθανασία της ψυχής Σι είναι ο άνθρωπος δεν μας αποκαλύπτεται με την διερεύνηση αποκλειστικά της σωματικής του υπόστασης από βιολογική σκοπιά, διότι θα φτάναμε τότε στο συμπέρασμα ότι ο άνθρωπος δεν είναι ένα έξοχο είδος του γένους «ον με αισθήσεις» τα περισσότερα ζώα έχουν επιδεξιότητες που ο άνθρωπος πρέπει να αποκτήσει με μεγάλο κόπο και που πολλές φορές δεν μπορεί να αποκτήσει. Σο ερώτημα τι είναι ο άνθρωπος μπορούμε να το απαντήσουμε μόνο αν προσπαθήσουμε, με εφόδιο την σκέψη, να εισδύσουμε στην ψυχή ως αρχή της ζωής. Μόνο η ψυχή επιτρέπει στον άνθρωπο να εξυψώνεται πάνω από το παρόν και να αποκτά γνώση της αλήθειας και του ψεύδους, αυτή μόνο τον κάνει άνθρωπο. Ήδη στα πρώιμα έργα του Πλάτωνα το ερώτημα για την φύση της ψυχής ισχύει ως ένα από τα πιο σημαντικά φιλοσοφικά ερωτήματα, όμως μόνο σε συνάρτηση με την θεωρία των ιδεών γίνεται ξεχωριστό θέμα. Οι ιδέες μπορούν να κατακτηθούν γνωστικά μόνο μέσω κάποιου που είναι όμοιο και συγγενές προς αυτές. Αυτό σημαίνει πως η ψυχή πρέπει να είναι αιώνια όπως οι ιδέες. την απόδειξη αυτής της κατάστασης είναι αφιερωμένα εκτενή τμήματα του Φαίδωνα, καθώς και τμήματα της Πολιτείας και του Φαίδρου. Η γένεση όλων των πραγμάτων από το αντίθετό τους (Φαίδων 69e-72e) Ο Πλάτων ξεκινά από μια παρατήρηση που είχε γίνει πολύ πριν απ αυτόν, ότι δηλαδή όλα τα πράγματα γεννιούνται από το αντίθετό τους. Όλο το γίγνεσθαι είναι κίνηση μεταξύ αντιθέτων. Ο σπόρος, π.χ., πέφτει στην γη και πεθαίνει ως σπόρος. Σο φυτό παράγει σπόρους, το ίδιο πεθαίνει από τον σπόρο γεννιέται πάλι ένα φυτό κ.ο.κ. Αυτή την ιδέα της ανακύκλησης στην φύση ο Πλάτων την μεταφέρει σε καθετί στο οποίο υπάρχει ένα αντίθετο. Σο 22

δίκαιο είναι αντίθετο στο άδικο, το ωραίο στο άσχημο, το μεγάλο στο μικρό, η εγρήγορση στον ύπνο. Όποιος γίνεται δίκαιος, δεν ήταν πρωτύτερα δίκαιος όποιος ξυπνά δεν ήταν πρωτύτερα ξύπνιος. Επομένως, όλα γεννιούνται από το αντίθετό τους, ο δίκαιος άνθρωπος από τον άδικο άνθρωπο, ο άδικος από τον δίκαιο, ο ξύπνιος από τον κοιμισμένο, ο κοιμισμένος από τον ξύπνιο κ.λπ. Σο ίδιο αντίθετα όπως τα ζεύγη αντιθέτων που προαναφέρθηκαν, προπάντων όπως η εγρήγορση και ο ύπνος, είναι η ζωή και ο θάνατος. Αν αυτό αληθεύει, τότε πρέπει το να είναι κανείς ζωντανός να προκύπτει από το να είναι νεκρός και το να είναι νεκρός από το να είναι κανείς ζωντανός. Σο τελευταίο είναι προφανές: Σο να είναι κανείς νεκρός προκύπτει από το να είναι ζωντανός. Και από πού προκύπτει το να είναι κανείς ζωντανός; Από το αντίθετό του, δηλαδή από το να είναι κανείς νεκρός. Ο Πλάτων όμως θέλει να αποδείξει κάτι άλλο. Κάθε μεταβολή στο αντίθετο γίνεται πάνω σ ένα υποκείμενο: Δεν γεννιέται το δίκαιο από το άδικο και αντίστροφα, αλλά είναι ο άνθρωπος που από δίκαιος γίνεται άδικος και αντίστροφα δεν γεννιέται η εγρήγορση από τον ύπνο, αλλά ο άνθρωπος είναι το υποκείμενο στο οποίο γίνεται η αλλαγή από τον ύπνο στην εγρήγορση. 1 Πώς έχουν λοιπόν τα πράγματα σχετικά με το να είναι κανείς ζωντανός και το να είναι κανείς νεκρός; Πρόκειται για καταστάσεις που προϋποθέτουν ένα υποκείμενο δεν αποτελούν κάτι αυθύπαρκτο αλλά κάτι που συμβαίνει σ ένα υπόστρωμα. Ποιο είναι το υπόστρωμα, το υποκείμενο γι αυτές τις καταστάσεις; Δεν μπορεί να είναι το ανθρώπινο σώμα, γιατί αυτό αποσυντίθεται μετά τον θάνατο. Άρα, η ψυχὴ πρέπει να είναι το υποκείμενο στο οποίο γίνεται η αλλαγή ζωής και θανάτου. Αυτό σημαίνει ότι, όπως η εγρήγορση και ο ύπνος είναι εναλλασσόμενες καταστάσεις του ανθρώπου, έτσι η ζωή και ο θάνατος είναι εναλλασσόμενες καταστάσεις της ψυχής. Ο άνθρωπος επιζεί της εναλλαγής εγρήγορσης και ύπνου το ίδιο επιζεί και η ψυχή της εναλλαγής ζωής και θανάτου. 1 Βλ. Φαίδων 103a-b. 23

Ζωή λοιπόν δεν είναι τίποτε άλλο παρά η ένωση της ψυχής με το σώμα, θάνατος είναι ο χωρισμός της ψυχής από το σώμα, όπου όμως η ψυχή η ίδια δεν πεθαίνει, αλλά υφίσταται μόνη καθεαυτήν. Όπως ο κοιμισμένος ξυπνάει, έτσι και η ψυχή που έχει χωριστεί από το σώμα εισέρχεται ξανά σ ένα σώμα, μετά από ορισμένο διάστημα εγκαταλείπει το σώμα αυτό, μένει για λίγο καιρό χωρισμένη από το σώμα, εισέρχεται πάλι σ ένα σώμα κ.ο.κ. Αν δεν συνέβαινε κάτι τέτοιο, αν οι ψυχές που χωρίζονταν από το σώμα δεν περνούσαν ξανά σε άλλα σώματα, στο τέλος θα εξαφανιζόταν κάθε ζωή από τον κόσμο της εμπειρίας μας. Η διαρκής όμως αναγέννηση στην φύση αποδεικνύει το αντίθετο, ότι δηλαδή δεν μπορεί να γίνει λόγος για βαθμιαία εξαφάνιση των ζώντων όντων, που θα οδηγούσε τελικά στον θάνατο των πάντων. Τπάρχει επομένως ένας κύκλος ζωής και θανάτου εκείνο που επιζεί αυτού του κύκλου είναι η ψυχή. Αν όμως οι ψυχές δεν πεθαίνουν, αλλά συνεχίζουν να υπάρχουν κατά τον χωρισμό τους από το σώμα και κατόπιν, τότε ο αριθμός των ψυχών δεν είναι δυνατόν να ελαττωθεί αλλά ούτε και να αυξηθεί, γιατί δεν προστίθενται νέες ψυχές στις ήδη υπάρχουσες. 2 Οι ψυχές βεβαίως δεν χρειάζεται να εισέλθουν σε ανθρώπινα σώματα, αλλά μπορούν να συνδεθούν και με οργανισμούς ζώων σ ένα έντομο μπορεί να υπάρχει η ψυχή κάποιου που σε μια προηγούμενη ζωή ήταν άνθρωπος, και αντίστροφα. Έτσι λύνεται και το πρόβλημα της αύξησης του πληθυσμού. Ο Πλάτων διδάσκει συνεπώς την μετεμψύχωση και δεν την δίδαξε πρώτος αυτός. Ο Ξενοφάνης (περ. 570-475 π. Φ.), απ. 7, μαρτυρεί ότι ο Πυθαγόρας δίδαξε την μετεμψύχωση το ίδιο μαρτυρεί και ο Εμπεδοκλής (περ. 495-435 π.φ.), απ. 129, που και ο ίδιος πίστευε, απ. 115-7, πως η ίδια ψυχή μπορεί να εισέλθει σε φυτά, ζώα και ανθρώπους. Ο Ηρόδοτος (2, 123) αναφέρει ότι οι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που δέχτηκαν την μετεμψύχωση. Ο ίδιος ο Πλάτων 3 2 Βλ. Πολιτεία 611a. 3 Μένων 81b κ.ε. 24

λέει τα εξής: «Ο Πίνδαρος και άλλοι ποιητές *<+ λένε ότι η ψυχή του ανθρώπου είναι αθάνατη και άλλοτε φθάνει στο τέλος, που ονομάζουν θάνατο, άλλοτε όμως ξαναγεννιέται, αλλά ποτέ δεν καταστρέφεται.». Η θεωρία της ανάμνησης (Μένων 80d-86c) Αν η ψυχή ενσαρκώνεται αλλεπάλληλα σε πλήθος σωμάτων και στο διάστημα μεταξύ κάθε ενσάρκωσης περιπλανιέται, χωρισμένη από το σώμα, σ έναν άλλο κόσμο ή και σε τούτο τον κόσμο, τότε «δεν υπάρχει τίποτε που να μην το έχει μάθει». 4 Γι αυτό είναι δυνατόν να μπορεί η ψυχή να θυμηθεί ό,τι είδε κατά την περιπλάνησή της. Όλοι μας ξέρουμε την διαδικασία της ανάμνησης: Έχουμε μάθει πρωτύτερα κάτι, αλλά το έχουμε ξεχάσει ξαφνικά, μας έρχεται πάλι στο νου. Με την ανάμνηση ο Πλάτων εξηγεί κάθε μάθηση και κάθε γνώση. Η μάθηση και η γνώση δεν έχουν καμία σχέση με εμπειρικά 4 Μένων 81c. 25

γεγονότα ο Πλάτων επιχειρεί με την θεωρία της ανάμνησης να δώσει λύση στο μέχρι σήμερα αναπάντητο ζήτημα πώς φθάνει ο άνθρωπος στην γνώση ενός πράγματος, το οποίο δεν καθίσταται αντικείμενο της εμπειρίας. Από πού γνωρίζουμε τι είναι το καλό, το δίκαιο; Από πού γνωρίζουμε τα μαθηματικά αντικείμενα; Με την ανάμνηση δεν θα εξηγηθεί η «γνώση» εμπειρικών καταστάσεων αλλά η γνώση του μη εμπειρικού. Μία πρώτη απάντηση δίνεται στον Μένωνα. Σίθεται το ερώτημα περὶ ἀρετῆς. Μετά από μερικές αποτυχημένες προσπάθειες ορισμού της, ο συνομιλητής του ωκράτη φθάνει σε αμηχανία και είναι της γνώμης πως ό,τι είναι άγνωστο δεν μπορεί καθόλου να διερευνηθεί δεν μπορούμε να διερευνήσουμε ούτε αυτό που γνωρίζουμε ούτε αυτό που δεν γνωρίζουμε. Απεναντίας, ο ωκράτης θέλει προφανώς να αποδείξει ότι το άγνωστο μπορεί κάλλιστα να διερευνηθεί. Κι αυτό το δείχνει θέτοντας στον νεαρό δούλο του Μένωνα το πρόβλημα να κατασκευάσει ένα τετράγωνο με διπλάσια επιφάνεια από ένα δεδομένο τετράγωνο. Ο δούλος νομίζει στην αρχή ότι ξέρει πώς μπορεί να λυθεί το πρόβλημα, μετά από λίγο όμως φθάνει στην διαπίστωση ότι δεν ξέρει, αλλά νομίζει ότι ξέρει. Μετά οδηγείται στην σωστή λύση. Ποιο είναι το όφελος απ αυτό για την ανάμνηση; 1) Ο νεαρός δούλος δεν διδάχθηκε ποτέ μαθηματικά, δεν μπορεί επομένως να φθάσει στην λύση χάρη στις σχολικές του γνώσεις. 2) Νομίζει στην αρχή ότι ξέρει, μετά όμως αντιλαμβάνεται την άγνοιά του. Εδώ τίθεται σε ενέργεια η ανάμνηση: Ο δούλος, καθοδηγημένος από τις ερωτήσεις του ωκράτη, βρίσκει τελικά το σωστό. 3) ε κάποια χρονική στιγμή απόκτησε μια γνώση στην περίπτωση αυτή την γνώση των μαθηματικών αντικειμένων που την λησμόνησε και που με τις ερωτήσεις αφυπνίσθηκε πάλι μέσα του. Επειδή δεν είναι δυνατόν να έχει αποκτήσει την γνώση αυτή από τα παιδικά του χρόνια, ως μόνη δυνατότητα απομένει να την απόκτησε σε κάποιο άλλο χρόνο, δηλαδή πριν από την τωρινή του ζωή. Η θεωρία της ανάμνησης μπορεί επομένως να είναι επιχείρημα για την προΰπαρξη της ψυχής: Επειδή η ψυχή 26

προΰπάρχει, κατέχει πάντοτε γνώσεις κατά την είσοδό της στο σώμα λησμόνησε τα πάντα μέσω ερωτήσεων ή δια του συνειρμού η γνώση ενεργοποιείται ξανά. «Γνώση» μπορεί να σημαίνει μία επιμέρους βέβαιη γνώση. Σον Πλάτωνα όμως δεν τον ενδιαφέρουν οι διάφορες βέβαιες γνώσεις που ενδεχομένως δεν βρίσκονται σε καμία συνάρτηση μεταξύ τους. Ἐπιστήμη, φρόνησις ή νόησις σημαίνουν ένα σύνολο γνώσεων που βρίσκονται σε αιτιολογική συνάρτηση μεταξύ τους. Αν λοιπόν η ἐπιστήμη είναι ένα σύνολο γνώσεων που βρίσκονται σε συνάρτηση μεταξύ τους, τότε και τα αντικείμενα της ἐπιστήμης βρίσκονται σε μία τέτοια συνάρτηση μεταξύ τους. Αν υπάρχει μία τέτοια συνάρτηση μέσα σε ό,τι συγκροτεί την φύσιν, 5 τότε δεν χρειάζεται παρά να ξαναθυμηθεί κανείς ένα μόνο, για να μπορέσει να βρει όλα τ άλλα. 6 Αυτό σημαίνει το εξής: Υθάνουμε στην γνώση με το να ξαναθυμηθούμε κάποια από τις γνώσεις που φέρει εντός της ασυνείδητα η ψυχή. Μετά όμως όλες τις άλλες γνώσεις δεν τις βρίσκουμε με την ανάμνηση, αλλά με την ερευνητική αναζήτηση. υνοψίζουμε όσα μάθαμε στον Μένωνα για την ἀνάμνησιν. Η ψυχή πριν εισέλθει στο τωρινό της σώμα βρισκόταν στον Άδη. Εκεί είδε και γνώρισε όλα τα πράγματα, δεν υπάρχει μάλιστα τίποτα που δεν έμαθε. Επομένως, είναι δυνατόν να ξαναθυμηθεί όσα γνώρισε, αρκεί να φέρει στην επιφάνεια έστω ένα, 7 την στιγμή μάλιστα που όλα τα πράγματα μέσα στην φύση είναι μεταξύ τους συγγενή. Πρόκειται για μία ανάκληση στην συνείδησή μας και επανενεργοποίηση των πρωταρχικών γνωστικών αρχών, που λανθάνουν μέσα μας. Οι γνώσεις αυτές υπάρχουν μέσα στην ψυχή σαν σε όνειρο, καθώς τις είχαμε σε μία προγεννητική κατάσταση και τις χάσαμε με τον ερχομό μας στην γη όταν τις ενεργοποιούμε με την ανάμνησή μας, τις φωτίζουμε και τις ανακαλύπτουμε σαν ορθές γνώμες. Η ανάμνηση είναι αυτή η εγρήγορση της 5 Μένων 81c-d. 6 Μένων 81c-d. 7 Μένων 81d1-2. 27

συνείδησής μας, η οποία ξαναζωντανεύει μέσα της τις αρχές εκείνες, που αποτελούν τον πρωταρχικό πνευματικό της πλούτο. Με την ανάμνηση δεν δίνεται εξήγηση για το πώς αποκτούμε γνώση των εμπειρικών καταστάσεων, επειδή 1) Σις εμπειρικές καταστάσεις τις προσλαμβάνουμε με την αντίληψη και 2) Δεν υπάρχει γνώση για την περιοχή του εμπειρικού αλλά μόνο γνώμη. Η ανάμνηση κάνει κατανοητό το πώς φθάνουμε στην ἐπιστήμην, δηλαδή πώς αποκτούμε γνώση για κάτι που δεν μπορεί να αποτελέσει αντικείμενο της αισθητηριακής αντίληψης. Όλοι βεβαίως νομίζουμε στην αρχή ότι ξέρουμε κάτι. Κατά την συζήτηση όμως ή και όταν οι ίδιοι θέτουμε ακριβείς ερωταποκρίσεις στον εαυτό μας, σε λίγο καταλαβαίνουμε ότι δεν ξέρουμε τίποτα. Η κατανόηση της ίδιας μας της άγνοιας είναι η ουσιαστική προϋπόθεση, για να μπορέσουμε να ξαναθυμηθούμε. Μόνο όποιος κατανοήσει την άγνοιά του είναι έτοιμος να μάθει. την πλατωνική θεωρία της ἀναμνήσεως μανθάνω σημαίνει φθάνω στην γνώση υπερβαίνοντας τα αντικείμενα της αντίληψης και προχωρώ προς το αμετάβλητο ον. Η σκέψη συνειδητοποιεί μία κατάσταση η οποία δεν μπορεί να επαληθευτεί με ακρίβεια στην εμπειρία, είναι όμως εντελώς προφανής. Αυτή η μία προφανής κατάσταση παραπέμπει αμέσως σε κάτι άλλο, με το οποίο εκείνη βρίσκεται σε αναγκαία συνάρτηση. Έτσι, από εδώ και πέρα αποκαλύπτεται το όλο πεδίο της γνώσης. αυτό ακριβώς θέλει να επιστήσει την προσοχή μας ο Πλάτων. Όποιος έχει προχωρήσει σ ένα αντικείμενο της γνώσης και ερευνά παραπέρα, φθάνει από αυτό το ένα αντικείμενο σ ολόκληρο το σύστημα που συσχετίζεται μ αυτό. τον Μένωνα βέβαια η θεωρία των ιδεών δεν έχει διαμορφωθεί ακόμη. Διακρίνουμε όμως καθαρά από πού προέρχεται, δηλαδή από την αναζήτηση του αμετάβλητου όντος, που μόνο αυτό μπορεί να είναι το αντικείμενο της ἐπιστήμης. τον Φαίδωνα 73a παρουσιάζεται η θεωρία της ἀναμνήσεως, επειδή θα αποτελέσει επιχείρημα για την αθανασία της ψυχής. Εντούτοις, αποδεικνύει μόνο την προΰπαρξη της ψυχής. 28

Βιβλιογραφία 1) Bormann K., Πλάτων, μτφ. Γ. Καλογεράκος, Αθήνα 2006. 2) Μαραγγιανού Δερμούση Ε., Πλατωνικά θέματα. Συστηματική προσέγγιση των κυριότερων θεμάτων της πλατωνικής φιλοσοφίας, Αθήνα 1994. 3) Μιχαηλίδης Κ. Π., Πλάτων. Λόγος και μύθος. Εισαγωγή στην πλατωνική φιλοσοφία, Αθήνα 1998. 4) Πετράκης Ι., Πλάτων. Μένων, Αθήνα 2008. 5) Taylor A. E., Πλάτων. Ο άνθρωπος και το έργο του, μτφ. Ι. Αρζόγλου, Αθήνα 1990. 6) Kline Morris, Mathematical Τhought from Ancient to Modern Times, New York 1972. 7) Van der Waerden B. L., Η Αφύπνιση της Επιστήμης, μτφ. Γ. Φριστιανίδης, Ηράκλειο 2000. 8) Γιαννακούλιας Ε., Πανεπιστημιακές Παραδόσεις του μαθήματος: «Διδακτική του Απειροστικού Λογισμού», Αθήνα 2001. 29

Καθηγητές και μαθητές που συμμετείχαν στο πρόγραμμα 30