A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ"

Transcript

1 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim ( ( Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο, αφού lim ( Σχόλια : α Έστω οι συναρτήσεις, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα y y y C h 6 ( C g( C g O (a O Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο και ισχύει : ( (β Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο αλλά lim g( g( O (γ Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο αλλά δεν υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της δε διακόπτεται στο Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο μόνο τη συνάρτηση β Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, (, στο σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

2 Για παράδειγμα,, αν Η συνάρτηση ( δεν είναι συνεχής στο, αφού, αν lim(, ενώ lim(, οπότε δεν υπάρχει το όριο της στο Η συνάρτηση (, αν δεν είναι συνεχής στο, αφού 3, αν ( ( lim lim(, ενώ ( 3 γ Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση δ Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε lim P( P( R ισχύει Κάθε ρητή συνάρτηση P είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της Q ισχύει P( P( lim Q( Q( Οι συναρτήσεις ( ημ και ( συν lim ημ ημ και lim συν συν Οι συναρτήσεις ( α και ( log g είναι συνεχείς, αφού για κάθε g, α α είναι συνεχείς R ισχύει Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Απάντηση : Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις : i g, ii c, όπου c R, iii g, iv, v και vi με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το g Σχόλιο :Τα αντίστροφα των i, iii, iv, v, και ii, για c, δεν ισχύουν Δηλαδή, μπορεί οι συναρτήσεις : g, g,,, να είναι συνεχείς στο και οι, g να μην είναι συνεχείς στο g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

3 ,, Για παράδειγμα : ( και g( Προφανώς οι συναρτήσεις,, και g δεν είναι συνεχείς στο, όμως οι συναρτήσεις : ( g(,, ( g(,, (,, g (,, (, είναι συνεχείς στο Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Απάντηση : Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, και πότε στο κλειστό διάστημα [, ] Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ, 7 Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, και επιπλέον : lim ( ( και lim ( ( Σχόλιο : Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (, ], [, Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε καθένα από τα ξένα διαστήματα (, και (,, τότε η είναι συνεχής στο σύνολο (, (, Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο περιοχή του, δεν είναι υποχρεωτικά συνεχής και σε μια ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής : Εξηγούμε γιατί είναι συνεχής κάθε κλάδος της συνάρτησης ξεχωριστά, στα ανοιχτά διαστήματα που ορίζεται Εξετάζουμε (με τον ορισμό τη συνέχεια στα σημεία που αλλάζει ο τύπος Αν ( τότε η είναι συνεχείς στο, αλλιώς όχι Τονίζουμε ότι για την εύρεση του εργαζόμαστε με πλευρικά όρια Η δεν είναι συνεχείς στο, αν : Δεν υπάρχει κάποιο από τα πλευρικά όρια ή Τα πλευρικά όρια στο υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικά ή Τα πλευρικά όρια στο είναι ίσα, όχι όμως ίσα με το ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 97 Α Ομάδας σχολικό βιβλίο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις : 4, i ( αν = 3,, ii ( αν = 3,, iii ( αν =- 3, Λύση : i Είναι : lim( 4 8, lim( 3 8, Άρα ( 8 άρα η ( είναι συνεχής στο ii Είναι : lim(, lim 3, Άρα ( άρα η ( είναι συνεχής στο ( ( i Είναι : lim lim lim( 3, Άρα ( 3 άρα η ( είναι συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3 (Άσκηση 4 σελ 98 Α Ομάδας σχολικό βιβλίο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις : 3, i (,, ii (, ( 3 8 ( 3 ( 3

5 Λύση : i Αν, ( 3 είναι συνεχής ως πολυωνυμική Αν, ( είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών Θα εξετάσω τώρα αν η ( είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου ( ( lim lim ( ( ( Άρα η ( δεν είναι συνεχής στο ii Αν, ( είναι συνεχής ως πηλίκο συνέχων Αν, ( είναι συνεχής Θα εξετάσω τώρα αν η ( είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου ( Άρα η ( είναι συνεχής στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: lim( 3 lim lim ( ( lim lim 3 Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς y 3 y O 3 3,5 O 3 4 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : ln (, 3 3, 5 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : 3, 3 4 (, 3 3 (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5 6 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις : i στο = ii στο =- 7 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν i,, ( ii, 5, 6 5 ( iii, ln, ( iv,, ( e 8 Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις : i ii iii,, ln( ( e iv,, ( e v e e (,, 9 Αν η συνάρτηση : είναι συνεχής στο χ = με (=, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, ( 3,, ( 3,, 3 ( 3, 5, 3 ( 3,, ( ( g

7 , Δίνεται η συνάρτηση (, e, i Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια ii Να βρείτε τα όρια και Δίνεται η συνάρτηση ( e ln i Να δείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να βρείτε τα όρια : α β Να ελέγξετε αν είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους οι παρακάτω συναρτήσεις Για αυτές που δεν είναι να βρείτε τα σημεία ασυνέχειας i ( 5 4 ii ( iii ( iv ( ln( v ( e vi ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μια συνάρτηση μας δίνεται ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και ζητείται να προσδιορίσω κάποιες παραμέτρους τότε κάνω χρήση του ορισμού : H είναι συνεχείς στο τότε ( Αν χρειαστεί κάνω χρήση του ορισμού με τα πλευρικά όρια :H είναι συνεχείς στο τότε : ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3 Για ποια τιμή του α η συνάρτηση Λύση : α, αν ( ημ είναι συνεχής;, αν Στο διάστημα (, η έχει τύπο ( και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική Στο διάστημα (, η έχει τύπο συνεχών συναρτήσεων ημ ( και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

8 Για να είναι η συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο, δηλαδή αρκεί ημ ( Έχουμε όμως : lim(, lim και ( Επομένως, αρκεί 4 (Άσκηση σελ 99 B Ομάδας σχολικό βιβλίο ( (, Αν (, να προσδιορίσετε το κ, ώστε η 5, ( να είναι συνεχής στο Λύση : Η ( είναι συνεχής στο ( lim( ( Άρα lim( 5 5 ( ( ( lim( 5 (Άσκηση σελ 99 B Ομάδας σχολικό βιβλίο, Αν ( 5,, να βρείτε τις τιμές των,, για τις οποίες η, ( να είναι συνεχής στο Λύση : Η ( είναι συνεχής στο ( lim( ( 5 ( 5 5 4, ή, 3 Για 4, ( : 5 4 Για 3, ( : lim( 5,( Άρα 5,( ( : 5 5 ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 7

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:, 6 Δίνεται η συνάρτηση (, Να βρείτε την τιμή των α, β ώστε η να a, είναι συνεχής e, 7 Δίνεται η συνάρτηση ( (, Να βρείτε την τιμή των ln( (, α, β ώστε η να είναι συνεχής 8 Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε να είναι συνεχής οι συναρτήσεις :, i ( ii 3, 3, (,, a e ln, 9 Δίνεται η συνάρτηση ( Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, 3a3 ln(3 e, ώστε η να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 ( : ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ Ή ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΗΣ Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο D, τότε ( Άρα αν μας ζητείται η τιμή αν μας ζητείται το (, τότε αρκεί να βρούμε το, τότε αρκεί να βρούμε το αν η είναι συνεχής στο και μας δίνεται μια ανισοτική σχέση, τότε το ( το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας πλευρικά όρια και καταλήγοντας στις σχέσεις (, (, οπότε ( ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 5 6 για κάθε Να βρείτε την τιμή ( Στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της ( Λύση : Είναι ( ( 5 6 για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 8

10 5 6 Αν τότε ( ( 5 6 ( Για να βρούμε το ( θα χρησιμοποιήσουμε την συνέχεια της ( Δηλ Η ( είναι συνεχής για κάθε, άρα η ( συνεχής και στο άρα ισχύει : 5 6 ( ( 3 ( lim lim lim( 3 5 6, Άρα για τον τύπο της ( ισχύει : (, Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( ( για κάθε Να βρείτε το ( Λύση : Επειδή η ( είναι συνεχής για κάθε, άρα η ( συνεχής και στο άρα ισχύει : ( ( ( Για έχω : ( ( ( ( ( Άρα ( ( ( ( lim ( lim lim έ * u ( u ( ( 3 ( (* lim lim ό :, u u ό : u Για έχω : ( ( ( ( ( Άρα ( ( ( ( lim ( lim lim * ( ( 3 (3 Άρα από ( και (3 έχω ότι ( 3 Αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο να βρεθεί η τιμή ( όταν ( ( ( lim 4 Λύση : ( ( ( Έστω : g( με [, (, και limg( 4 έτσι : ( ( ( g( ( ( g( ( ( g( ( ( (, άρα είναι g( ( lim ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 9

11 Επειδή όμως η ( είναι συνεχής στο, ισχύει : lim ( ( 3 έ u ( u (* lim lim ό :, u u ό : u 3 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο Λύση : 3 3 Για κάθε έχουμε ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 ( Είναι : ( για κάθε ( ( Δηλ ( ( Έτσι : lim lim από κριτήριο παρεμβολής : ( για κάθε Επίσης : (, άρα (, άρα η είναι συνεχής στο ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, να βρείτε τη τιμή ( στις παρακάτω περιπτώσεις : i ( ( 3 4 για κάθε και ii ( 5 ( 3 για κάθε και iii ( για κάθε iv v vi * * g( ( ( lim lim lim g( ( lim ( ( g( lim * και ( 3 για κάθε και ( 4 * για κάθε και ( για κάθε και 5 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 7 3 για κάθε Να βρείτε την τιμή ( 6 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( 3, για κάθε Αν η είναι συνεχής στο, να βρείτε το ( g( ( ( ( ( 4 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3

12 7 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 3 για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 8 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 9 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( (, για κάθε Αν (=4, να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο 3 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 4 για κάθε Να βρείτε το ( 3 Έστω συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( ( για κάθε i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το και να εξετάσετε αν η είναι συνεχής στο 3 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : ( ( 3 για κάθε Αν συνεχής στο, να βρεθεί η τιμή ( 33 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 3 για κάθε Να βρείτε το ( 34 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : * κάθε Να βρείτε το ( 35 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3 ( 3 για 3 ( 3 για κάθε 36 Αν η συνάρτηση :[, είναι συνεχής στο 4, να βρεθεί η τιμή (4 όταν για κάθε, ισχύει : 4 8 ( 4 ( 4 37 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( lim Να βρεθεί το ( 38 Δίνεται συνάρτηση : Αν η είναι συνεχής στο, και ισχύει : ( 3 lim να βρεθεί το ( 39 Δίνεται συνάρτηση : της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(, Αν επιπλέον ισχύει : είναι συνεχής στο ( ( 3 lim να αποδείξετε ότι η

13 ( 3 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : lim 8 4 Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση της τον άξονα y y 4 Αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο να βρεθεί η τιμή ( όταν ( ( lim 3 ( 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : κάθε i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το, ώστε η συνάρτηση : συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3 ( 3 3 για (, g(, να είναι 43 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( 6 ( 9 για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο 44 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 4 ( 3 για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( ii Να βρείτε το lim 45 Έστω : (, μια συνάρτηση, ώστε 3 ( ( ln (, για κάθε Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( 46 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με lim ( i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το α ώστε lim 3 ( ( 47 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με lim ( ( i Να βρείτε το ( και το lim ii Να βρείτε το λ ώστε lim Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής στο, περιττή και ( lim 3 ( i Να βρείτε το (, ii να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( 3 ii Να βρείτε το lim

14 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 ΣΧΕΣΕΙΣ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ Όταν μια συνάρτηση δίνεται μέσα από μια συναρτησιακή σχέση και γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο α, τότε για να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού Α, αποδεικνύουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο, χρησιμοποιώντας τη συναρτησιακή σχέση με αλλαγή μεταβλητής στην εύρεση του ορίου Ισχύει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν : ( ( ( lim lim ( h ( h ή lim ( h ( h (στο όριο θέτω (στο όριο θέτω h ή h ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 49 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( y ( ( y για κάθε, y i Να βρείτε το ( ii Αν η είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι : α η είναι συνεχής στο, β η είναι συνεχής στο 5 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( y ( ( y για κάθε, y (,, να δείξετε ότι : i Αν η είναι συνεχής στο, τότε η είναι συνεχής στο (, ii Αν η είναι συνεχής στο α με, τότε η είναι συνεχής στο (, 5 Δίνεται συνάρτηση :, η οποία είναι συνεχής Να βρείτε την τιμή : ( h ( ( i (, όταν lim και στη συνέχεια να βρείτε το όριο : lim h h 4 (3h ii (3, όταν lim 6 και στη συνέχεια να βρείτε τα όρια : h h ( (3 ( α lim και β lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 33

15 8Β ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano Απάντηση : (3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει ( (, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, τέτοιο, ώστε ( Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης ( στο ανοικτό διάστημα (, Σχόλια : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ y y (> O a β O a (< β (α Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της y (β ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και ισχύει ( ( τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [, ] τέτοιο, ώστε ( Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano, δεν ισχύει πάντα Δηλαδή, υπάρχει συνάρτηση : [, ] που έχει ρίζα στο (α,β αλλά δεν είναι συνεχής στο [α,β] ή δεν ισχύει ( ( Αν δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, δεν έχουμε ως συμπέρασμα ότι η δεν έχει ρίζα στο (α,β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 34

16 5 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημα του Bolzano Απάντηση : Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, ( α και B ( β, ( β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο y (β O a 64 B(β,(β β (a Α(α,(α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η είναι συνεχής στο [ α, β] και, επιπλέον, ισχύει ( α ( β, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( α, τέτοιο, ώστε β ( Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης ( στο ανοικτό διάστημα ( α, β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα (α,β ακολουθούμε τα εξής βήματα : φέρνουμε όλους τους όρους στο α μέλος θεωρούμε το α μέλος ως μια συνάρτηση εξασφαλίζουμε για την τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο [α,β] Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( ή ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( ή h ( ( αντίστοιχα και εφαρμόζω ΘBolzano στην h ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (,π Λύση : Έχω 4 3, έστω ( 4 3, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,π Εφαρμόζω Θ Bolzano για την ( στο [,π] ( συνεχής στο [,π] ως πράξεις συνέχων (πσ (, ( Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,π ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 35

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 53 Να δειχθεί ότι έχουν μια τουλάχιστον ρίζα, στο αντίστοιχο διάστημα, οι παρακάτω εξισώσεις : i στο (, ii 3 ln 4 στο (,e iii ln ln στο (,e iv 3 στο (, 54 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,π (Υποδ H τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο άρα η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα 3 55 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,3 56 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο, ώστε ( και ( 3, τότε η εξίσωση ( e έχει τουλάχιστον μια λύση στο (, 57 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ln και g ( e 3 Να δειχθεί ότι γραφικές παραστάσεις των των, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,e (Υποδ Οι C και C έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο αν η εξίσωση ( g( έχει τουλάχιστον μια ρίζα Θεωρώ τη συνάρτηση h( ( g( και εφαρμόζοντας Θ Bolzano για την h ( δείχνω ότι η εξίσωση h( ( g( ( g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα 58 Δίνονται οι συναρτήσεις ( και g ( ln 3 Να δειχθεί ότι γραφικές παραστάσεις των των, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,e 59 Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα ( α, α η εξίσωση ( να έχει μία τουλάχιστον ρίζα 3 5 i ( ii ( 4 3 iii ( 4 iv ( g C 6 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ( Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 3 3 ( ( ( 6 για κάθε, όπου, με 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, (Πανελλήνιες 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και g συνεχής στο [α,β] Η είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει g ( για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( g( ( g( έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α,β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 36

18 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες ρίζες, τότε εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία σε περισσότερα διαστήματα, είτε χωρίζοντας το αρχικό διάστημα, είτε εντοπίζοντας νέα διαστήματα Τα διαστήματα δεν πρέπει να έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 63 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο διάστημα (-, Λύση : Έχω 4 4, έστω (, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο (-, Εφαρμόζω ΘBolzano για την ( στα [-,] & [,] ΘBolzano για την ( στα [-,] ( συνεχής στο [-,] ως πολυωνυμηκή (, ( Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-, ΘBolzano για την ( στα [,] ( συνεχής στο [,] ως πολυωνυμηκή (, ( Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Άρα τελικά η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο (-, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 64 Να δειχθεί ότι έχουν δυο τουλάχιστον ρίζες οι επόμενες εξισώσεις : i στο (, ii στο (-, iii 3 5 στο (, iv 3 (3 ln 5 5 στο (, **Δίνεται η συνάρτηση ( με i Να αποδείξετε ότι ( ii Να βρείτε τα όρια και iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει δυο τουλάχιστον λύσεις 66 Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ( e ( i μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,3 ii δυο τουλάχιστον ρίζες αντίθετες έχει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 37

19 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ Αν η εξίσωση περιέχει παρανομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο άκρο, τότε πρώτα απαλείφουμε τους παρανομαστές και μετά θέτουμε συνάρτηση ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 67 (Άσκηση 5β σελ Ομάδας σχολικού βιβλίου e ln Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Λύση : Αν θέσουμε ως συνάρτηση ( το ο μέλος της εξίσωσης δεν θα ορίζονται τα (, ( με αποτέλεσμα να μην μπορώ να εφαρμόσω ΘΒ Γι αυτό κάνω πρώτα e ln απαλοιφή παρανομαστών : e ( ln (, έστω ( e ( ln (, D (,, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Εφαρμόζω Θ Bolzano για την ( στο [,] ( συνεχής στο [,] ως πσ ( e, ( ln Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 68 Να δειχθεί ότι έχουν μια τουλάχιστον ρίζα, στο αντίστοιχο διάστημα, οι παρακάτω εξισώσεις : : 4 3 e i στο (, ii στο (, ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Δ Αν ζητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] (Δηλ ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε ( τότε αρκεί να δείξουμε ότι ( ( και διακρίνω τις περιπτώσεις αν ( (, τότε θεωρούμε ή αν ( ( τότε ισχύει το Bolzano ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 69 Μια συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [-3,3] και για κάθε [3,3] ισχύει ( 3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] Λύση : Έχω (, έστω g( (, D [3,3], θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] Εφαρμόζω ΘBolzano για την g ( στο [-3,3] g ( συνεχής στο [-3,3] ως πσ Από εκφώνηση : ( 3 3 ( 3 ( για κάθε [3,3] Άρα g ( 3 ( 3 3 ( Από ( : 3 ( 3 3 ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 38 g

20 Και g ( 3 (3 3 ( Από ( : 3 (3 3 6 (3 3 Άρα g ( 3 g(3 Αν g( 3 g(3 g( 3 το -3 είναι ρίζα της εξίσωσης g ( ή g(3 το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης g ( Αν g ( 3 g(3 από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-3,3 Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Έστω συνεχής συνάρτηση στο [α,β] με ( ( Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] 7 Έστω : συνεχής συνάρτηση με ( ( 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [,] 7 Έστω : [,6] συνεχής συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( 9 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [,] ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ε Αν σε κάποιο άκρο (ή και στα δυο δεν ορίζεται η ( τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της τιμής της από όριο : αν l, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( αν l, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( αν αν, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε (, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 73 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, Λύση : Έστω ( ln, D (, (,, θα δείξουμε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, limln ( τέτοιο, ώστε (, οπότε υπάρχει α κοντά στο limln (, οπότε υπάρχει β κοντά στο τέτοιο, ώστε ( Η είναι συνεχής στο [, ] (, και επιπλέον ( (, άρα από Θ Bolzano η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 39

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 74 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 75 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln 4 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (, 76 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln( (, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ (, ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει (, (ή (, που να ικανοποιεί μια ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής : Στην ισότητα που δίνεται, (αν χρειάζεται κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και θέτουμε όπου το Θεωρούμε συνάρτηση g ( το πρώτο μέλος Εφαρμόζουμε Θ Bolzano για την g ( στο [α,β] και δείχνουμε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε g ( Από την ισότητα g ( οδηγούμαστε στη ζητούμενη ισότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 77 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : [, ], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (, Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,, ώστε : ( ( Λύση : Θα δείξω ότι η εξίσωση ( ( (α,β Έστω ( ( ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο g, D [, ], άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β ΘΒ για τη g ( στο [α,β] g ( συνεχής στο [, ] ως πσ Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το (, άρα (, g ( ( ( ( ( άρα και g ( ( ( ( ( ( Άρα έχω g ( g( και άρα από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β 78 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και για κάθε ισχύει ( ( ( Να αποδειχτεί ότι υπάρχει [, ] ώστε να είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4 g ( ( Λύση : Θα δείξω ότι η εξίσωση ( ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] Έστω g ( ( (, D, άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] ΘΒ για τη g ( στο [, ] g

22 g ( συνεχής στο [, ] ως πσ g( ( ( ( ( g( ( ( ( ( ( ( ( [ ( ( ] Άρα έχω g ( g( [ ( ( ] Αν g( g( g( το α- είναι ρίζα της εξίσωσης g ( ή g( το α+ είναι ρίζα της εξίσωσης g ( Αν g ( g( από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 79 Αν οι συναρτήσεις, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [,] και πληρούν τις σχέσεις ( g( και ( g(, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε ( g( 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[,3] [,3] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα 6 τουλάχιστον [,3] τέτοιο ώστε : ( 8 **Έστω : συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει : ( 4 ( ( (4 Να αποδείξετε ότι : i ( (4 ii Υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] τέτοιο ώστε : ( ( 8 Δίνεται η συνάρτηση ( 4 5 με και 3 Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,, ώστε : ( ( 83 Οι συναρτήσεις,g είναι συνεχής στο [α,β], η είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει g ( για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ώστε ( g( ( g( 84 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε : 3 85 Δίνονται οι συναρτήσεις, g που είναι συνεχείς στο [α,β] Αν ( g( και ( g(, να αποδεδειχθεί ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( g( 86 Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 3 ( 4 ( 5 ( 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ώστε ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

23 87 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν ( και Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ( e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΡΙΖΑ ΣΤΟ (α,β Για να δείξω ότι η εξίσωση (= έχει ακριβώς μια ρίζα στο (α,β: ο Βήμα : Δείχνω ότι η εξίσωση (= έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β με Θ Bolzano ο Βήμα : Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο (α,β, οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 88 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e έχει μοναδική ρίζα στο (, Λύση : Έχω : e e, έστω ( e, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ο Βήμα : θδο η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ΘΒ για την ( στο [,] ( συνεχής στο [,] ως πσ (, ( e άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ο Βήμα : θδο η ( είναι γνησίως μονότονη Έστω, με : e e ( (, προσθέτω κατά μέλη τις ( και ( και έχω : e ( ( e άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα οπότε η εξίσωση ( έχει το πολύ μια ρίζα Άρα τελικά η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 89 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e 3 έχει μοναδική ρίζα στο (, 3 9 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : 3 έχει μοναδική ρίζα στο (-, 9 Δίνεται η συνάρτηση ( 3ln Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα μόνο σημείο, του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (,e 9 Δίνονται οι συναρτήσεις ( 3 και g( 5 5 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των,g τέμνονται σε ένα μόνο σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο διάστημα (,3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

24 93 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ( ( ( ( (, όπου,, και, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (, και μια στο (, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ Θ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 94 Ένας πεζοπόρος ξεκάνει από ένα χωριό Α στις 6 πμ και φτάνει σε ένα άλλο χωριό Β στις πμ Την επόμενη μέρα ξεκάνει από το χωριό Β στις 6 πμ και φτάνει στο χωριό Α στις πμ, κάνοντας την ίδια διαδρομή Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής στο οποίο βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δυο ημέρες 95 Ένα αυτοκίνητο ξεκάνει στις 7 πμ από μια πόλη Α και φτάνει στις μμ σε μια πόλη Β Την επόμενη μέρα ξεκάνει στις 7 πμ από την πόλη Β και φτάνει στις μμ στην πόλη Α ακλουθώντας την ίδια διαδρομή Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής στο οποίο βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δυο ημέρες 96 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [,] συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου ii Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C τέμνει και τις δύο διαγώνιες y Γ(, Ο(, Β(, Α(, 97 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική y B(β,(β παράσταση μιας συνάρτησης που είναι συνεχής Μ (,y στο [ α, β] και το Μ(, y είναι ένα σημείο του επιπέδου Μ(,( i Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d( ( MM Α(α,(α του σημείου M (, y από το σημείο M (, ( της C για κάθε [ α, β] O a β ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [ α, β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που απέχει από το M λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που απέχει από το M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 43

25 8Γ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO 6 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του ενδιαμέσων τιμών Διατύπωση : Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ( τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( και ( υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, τέτοιος, ώστε ( Απόδειξη : ( ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5 Ας υποθέσουμε ότι ( ( Τότε θα ισχύει ( ( (Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( (, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g( g(, Αφού g( ( και g( ( Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, τέτοιο, ώστε g( (, οπότε ( y (β η (a Α(α,(α 67 B(β,(β y=η O a β Γεωμετρική ερμηνεία Αν η είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και τα σημεία (, ( και (, ( βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας y, τότε η C τέμνει την ευθεία y σε ένα τουλάχιστον σημείο (, με τετμημένη (, Σχόλια : α Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β Η εικόνα ( ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 44

26 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y y ( a O β (α O ( a β (β y y Μ Μ m m O [ a (γ β O [ a (δ ] β 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Απάντηση : Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [α, β ], ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m ( και M (, να ισχύει m ( M, για κάθε [ α, β] Σχόλιο : Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ m, M ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ημ, [, ] έχει σύνολο τιμών το [, ], αφού είναι συνεχής στο [, ] με m και y 3π/ O π/ π π Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, (Σχ 7α, όπου lim ( και lim ( Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, (Σχ 7β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 45

27 B y Α y 7 A Β O ( a β (α O ( a β (β Για παράδειγμα, Το σύνολο τιμών της ( ln, (, e, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7, είναι το διάστημα (,, αφού και e y 7 y 73 O e O Το σύνολο τιμών της (, (,, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ 73 είναι το διάστημα (,, αφού και Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [, ], [, και (, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 46

28 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΤ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ & ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ Α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ( τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( και ( υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, τέτοιος, ώστε : η Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παίρνει δυο τιμές διαφορετικές μεταξύ τους, τότε η παίρνει και όλες τις ενδιάμεσες (ΘΕΤ Άρα αν η δεν είναι σταθερή, τότε το σύνολο τιμών της (Δ είναι επίσης διάστημα Β Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β], τότε η παίρνει και μέγιστη και ελάχιστη τιμή Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν, [, ] ώστε : ( ( ( για κάθε [, ] που σημαίνει ότι τα μ, Μ είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της στο [, ] Γ Ένα θεωρητικό συμπέρασμα που προκύπτει από τα παραπάνω θεωρήματα είναι ότι «Αν η είναι συνεχείς και - σε διάστημα Δ, τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Δ» ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ( 98 Δίνεται η συνάρτηση 5 3 ( 5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( 5 ος Τρόπος : Εφαρμόζω ΘΕΤ για την ( ( συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική ( ( (αφού ( 5, ( 8 Άρα από ΘΕΤ, αφού ( 5 (, η εξίσωση ( 5 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ος Τρόπος : Έστω g( ( 5, θδο η εξίσωση g( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Εφαρμόζοντας ΘΒolzano στη g( στο [,] 99 Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,] Αν (= και (=4 να δείξετε ότι : i Η ευθεία y=3, τέμνει τη C, σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, ii Υπάρχει (, τέτοιο ώστε : ( 4 (Πανελλήνιες Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 47

29 Λύση : i Αρκεί νδο η εξίσωση ( 3 έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ος Τρόπος : Εφαρμόζω ΘΕΤ για την ( ( συνεχής στο [,] ( ( (αφού (, ( 4 Άρα από ΘΕΤ, αφού ( 3 (, η εξίσωση ( 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, και επειδή η ( είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και μοναδική ος Τρόπος : Έστω g( ( 3, θδο η εξίσωση g( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ΘΒ στη g( στο [,] και μονοτονία ii Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,], έχουμε : ( ( ( για κάθε (, Άρα : ( ( ( 5 ( ( ( 5 3 ( ( (3 5 4 ( ( (4 5 Αν προσθέσω κατά μέλη τις (, (, (3, (4 έχω : ( 4 ( ( ( Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε : ( 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,4] ( ( ( 3 (4 6 Λύση : Επειδή η είναι συνεχής στο [,4], από ΘΜΕΤ θα έχει μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη τιμή m επομένως θα ισχύει m ( για κάθε [,4 ] Άρα : m ( ( m ( m ( ( m (4 3m 3 (3 3 (3 Αν προσθέσω κατά μέλη τις (, (, (3, έχω : 6m ( ( 3 (3 6 ( ( 3 (3 m Επειδή η είναι συνεχής στο [,4 ], το σύνολο 6 τιμών της θα είναι το διάστημα ( [ m, ] Έτσι ο αριθμός ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 48

30 ( ( 3 (4 ανήκει στο σύνολο τιμών της, έτσι υπάρχει ένα, 6 τουλάχιστον, [,4 ] τέτοιο, ώστε : ( ( 3 (4 ( 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 3 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ( 5 (, Έστω η συνεχής συνάρτηση :[,3] με και ( (3 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 4 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,3 3 Έστω : μια συνεχής συνάρτηση με ( (3 5 ( (4 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ώστε 5 και ( ( 5 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,5] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,5] 3 ( 5 (3 7 (4, τέτοιο ώστε : ( 5 5 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [,4] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει [,4] τέτοιο ώστε ( 3 ( 4 (3 9 ( 6 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [,4] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ( ( 3 (3 6 ( (,4 7 Έστω συνάρτηση συνεχής και [, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (, τέτοιο ώστε ( ( ( 3 8 Έστω συνεχής και γνησίως μονότονη στο [,4] με ( 4 και ( 7 i Να βρεθεί το είδος μονοτονίας της ii Αν [,7] να δείξετε ότι η ( έχει μοναδική ρίζα στο [,4] iii Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,4 τέτοιο ώστε : ( ( 3 ( 5 (3 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 49

31 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα, στα οποία χωρίζουν το πεδίο ορισμού οι διαδοχικές ρίζες της Η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης είναι η εξής : Λύνουμε την εξίσωση (, D Σε πίνακα πρόσημου χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε διαστήματα, τοποθετώντας τις ρίζες και τα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής ( Το πρόσημο αυτό έχει η σε ολόκληρο το αντίστοιχο διάστημα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης : ( ημ συν, [, ] Λύση : Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της ( στο [, ] Έχουμε 5 ( ημ συν ημ συν εφ ή 4 4 Έτσι οι ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα, 5 5,, και, Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της σε κάθε διάστημα Διάστημα, 5 5,, Επιλεγμένος αριθμός ( Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα, είναι (,, 4 5, 4 είναι (, ενώ στο διάστημα Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης 3 6 ( Λύση : ( 3 6, πρέπει 3 3 ( και 6 [ 4,4] ( άρα από ( και ( [3,4] D 3 6 ( δεκτή ή δεκτή ή 4 απορ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

32 ( Άρα : ( για κάθε [ 3,, ( για κάθε (,4 και ( όταν, ή, 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με : ( 9 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii Να βρεθούν οι ρίζες της (= iii Να αποδειχθεί ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-3,3 Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης για όλες τις πραγματικές τιμές του, όταν: i ( εφ 3, (, ii ( ημ συν, [, ] 3 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν : ( 7 (6 και ( για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν είναι συνεχής 4 Δίνεται η συνάρτηση ( ( i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, ii Να λύσετε την εξίσωση ( στο [,π] iii Να βρείτε το πρόσημο της στο [,π] 5 **Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 3 lim και η εξίσωση ( έχει μοναδικές ρίζες τις - και 3 Να βρείτε : i Την τιμή ( ii Το όριο lim ( eln iii Το όριο lim 3 ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

33 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ( ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΙ ( Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό Αυτή η διαπίστωση μας βοηθάει να βρούμε τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία ικανοποιεί μια δοσμένη σχέση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 (Άσκηση 7 σελ Ομάδας σχολικό βιβλίο Έστω μια συνεχή συνάρτηση στο διάστημα [-,], για την οποία ισχύει : ( για κάθε [, ] i Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iii Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης Λύση : i Έχω ( (, ( (, ή, ii Στο διάστημα (-, η ( είναι συνεχής και δεν μηδενίζει (αφού οι μόνες ρίζες της ( είναι οι, ή, άρα η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iii Η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, άρα ( για κάθε (, ή ( για κάθε (, Αν ( στο (,, τότε : ( ( ( για κάθε (, ( και από τη σχέση ( [,] παίρνουμε : ( (,έτσι έχουμε ( για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

34 Αν ( στο (,, τότε : ( ( από τη σχέση ( ( ( για κάθε [, ] ( ( για κάθε (, παίρνουμε : ( ( και,έτσι έχουμε 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 3 4 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Αν η γραφική παράσταση της τέμνει τον y y στο σημείο με τεταγμένη -, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης Λύση : i Για κάθε είναι : ( 3 4, όμως ( άρα πρέπει 3 4 [,4] οπότε : [,4] ii ( ( 3 4 ή 4 iii C Η γραφική παράσταση της τέμνει τον y y στο σημείο με τεταγμένη -, δηλ το σημείο (, ( Επίσης : ( 3 4 ( 3 4 Όμως η είναι συνεχής στο (,4 και ( για κάθε (,4, άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (,4 και ( άρα ( για κάθε (,4 Επίσης είναι ( (4, οπότε : ( για κάθε [,4] Έτσι έχουμε : ( 3 4 ( 3 4 ( 3 4 για κάθε [,4] 8 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει ότι : ( για κάθε Λύση : Έχουμε : (, ( (, δηλ ( Η συνάρτηση στο διάστημα (, είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σε αυτό άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 53

35 Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( ( Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( Ομοίως η συνάρτηση στο διάστημα (, είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σε αυτό άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( (3 Αν ( στο (, τότε : ( ( ( (4 Συνδυάζοντας τα παραπάνω η : έχει έναν από τους παρακάτω τύπους : ον, από (, (3 ( αφού για, (, ον, από (, (4 ( ( για κάθε αφού για,, ( 3 ον, από (, (3 ( ( για κάθε αφού για,, ( 4 ον, από (, (4 ( αφού για, (, 9 Δίνεται η συνάρτηση g( e, η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : που ικανοποιούν την σχέση : ( e για κάθε ΘΕΜΑ Γ (6 Λύση : Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το g(, δηλ g( g( g( για κάθε και το «=» ισχύει μόνο για Είναι : ( Για είναι : g( e ( g ( ( g( ( g( ( g( ( ( Για είναι : ( άρα g( άρα ( και συνεχής, άρα η διατηρεί πρόσημο στο (, Αν ( τότε ( g( ( Αν ( τότε ( g( ( Για είναι : ( άρα g( άρα ( και συνεχής, άρα η διατηρεί πρόσημο στο (, Αν ( τότε ( g( (3 Αν ( τότε ( g( (4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 54

36 Τελικά : ον από (, (3 ( e, αφού για, ( e, ον από (, (4 ( αφού για, ( e, e, 3 ον από (, (3 ( αφού για, ( e, 4 ον από (, (4 ( e, αφού για, ( Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] με ( για κάθε [,4], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-,-5 i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,4 ii Να βρεθεί το όριο lim 3 ( 5 3 Λύση : i Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(-,-5, άρα ( 5 Επίσης η είναι συνεχής στο [,4] και ( για κάθε [,4], άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,4] Όμως ( 5, άρα ( για κάθε [,4] Έστω g ( ( ( 6 με [,4], θα δείξω ότι η εξίσωση g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,4 ΘBolzano για τη g ( στο [,4] Η g ( είναι συνεχής στο [,4], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g( ( ( 4 6 g( 4 4 (4 ( (4 καθώς ( για κάθε [,4] Άρα g( g(4 Οπότε από ΘBolzano η εξίσωση g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-, ii lim ( 5 3 lim ( καθώς ( και lim ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 4 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iv Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 9 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-3,3 iv Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 55

37 3 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : για κάθε 4 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : ( e ( για κάθε 5 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : ( ( 4 ( ( για κάθε i να αποδείξετε ότι ( ii να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον χ χ iii να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο iv να βρείτε τον τύπο της 6 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει ότι : ( για κάθε 7 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : [,] με ( για κάθε [, ] Να ( ( αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[, ] με ( για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,, ώστε : ( 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε για την οποία ( ( ισχύει ότι : lim 8 3 i Να βρείτε την τιμή ( ii Να βρείτε το όριο lim 3 ( Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε για την οποία ( 3 ισχύει ότι : lim 6 4 i Να βρείτε την τιμή ( ii Να βρείτε το όριο lim ( Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] με ( για κάθε [,4 ], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,5 i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,4 ii Να βρεθεί το όριο lim 5 3 (3 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 56

38 3 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : (-, ( ( 4 e έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 33 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : 3 5 ( ( για κάθε i Να βρείτε το ( ii Να αποδείξετε ότι ( για κάθε 34 **Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : ( ( 5 για κάθε Επίσης η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,- i Να αποδείξετε ότι η ( για κάθε ii Να βρείτε τον τύπο της iii Να βρεθεί το όριο 35 **Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε Επίσης η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(3, Να αποδείξετε ότι : i (, για κάθε ii υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( * 36 **Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : 4 ( 6 ( 5 4 για κάθε Να βρείτε : i την τιμή ( ii τον τύπο της iii lim ( 37 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύουν : ( ( για κάθε και ( 38 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( ( για κάθε i να δείξετε ότι η συνάρτηση g(=( - διατηρεί σταθερό πρόσημο ii αν (=, τότε α να βρείτε τον τύπο της β να υπολογίσετε το όριο Α= lim ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 57

39 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ Για να βρούμε το σύνολο τιμών (Δ μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ=(α,β κάνω τα εξής : Διαπιστώνω ότι η είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ=(α,β Βρίσκω τα όρια : και οπότε : (Δ=(Α,Β, αν η είναι γνησίως αύξουσα ή (Δ=(Β,Α, αν η είναι γνησίως φθίνουσα Αν κάποιο από τα άκρα του Δ είναι κλειστό, τότε και το αντίστοιχο του (Δ θα είναι κλειστό ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ [α,β] Γνησίως Αύξουσα (, ( [α,β] Γνησίως Φθίνουσα (, ( (α,β] Γνησίως Αύξουσα, ( (α,β] [α,β [α,β (α,β (α,β Γνησίως Φθίνουσα Γνησίως Αύξουσα Γνησίως Φθίνουσα Γνησίως Αύξουσα Γνησίως Φθίνουσα (, (, lim lim (, ( (,, lim ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 39 Δίνεται η συνάρτηση ( e ln Να βρείτε το σύνολο τιμών της Λύση : Πρέπει και άρα (, ] (,], έστω (, ] με :, ( e e e ( (3, προσθέτω κατά μέλη τις (, ( και (3 και έχω: e ln e ln ( ( άρα η ( είναι γνησίως φθίνουσα Η ( είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ] άρα ( [ (,, lim( e ln άρα ( [ e, e ln ln ln ln ( e e( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 58

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 43 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο διάστημα i ( 3 στο [-,] ii ( ln στο [,e] iii ( e στο [, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΓΙΑ ΝΔΟ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (= ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ ος Τρόπος Με προφανή ρίζα ος Τρόπος Αν ζητείται να δείξω ότι η (= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β τότε εφαρμόζω το ΘBolzano για την Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( ή ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( ή h( ( αντίστοιχα και εφαρμόζω ΘBolzano στην h 3 ος Τρόπος Με τη βοήθεια του συνόλου τιμών Αν το ( τότε η εξίσωση (= έχει μια τουλάχιστον ρίζα Γενικότερα αν το ( τότε η εξίσωση (=κ, έχει μια τουλάχιστον ρίζα Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( και βρίσκω το h( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΓΙΑ ΝΔΟ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (= ΕΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ΡΙΖΑ ο Βήμα δείχνω ότι η (= έχει τουλάχιστον μια ρίζα με έναν από τους παραπάνω τρόπους ο Βήμα δείχνω ότι η (= έχει το πολύ μια ρίζα (συνήθως με μονοτονία οπότε συμπεραίνω ότι έχει ακριβώς μια ρίζα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 59

41 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 44 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e έχει μια μόνο ρίζα Στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή Λύση : ln( e ln( e, έστω ( ln( e με (,, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, έστω, (, με : ln( ln( προσθέτω κατά μέλη τις ( και ( και έχω: ln( e ln( e ( ( άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα Η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, άρα Για να βρούμε τη ρίζα θα ψάξουμε να βρούμε την προφανή ρίζα Παρατηρώ ότι για, έχω ( ln( e ln, άρα η ρίζα της ( και επειδή η ( είναι γνησίως αύξουσα είναι και μοναδική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 45 (ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (, είναι συνεχής και -, τότε η είναι γνησίως μονότονη 46 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρεθεί το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln e έχει μια μόνο ρίζα iv Να βρεθεί η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης 47 Δίνεται η συνάρτηση ( e e i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρεθεί το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια μόνο ρίζα 48 3 Για κάθε δίνεται η συνάρτηση : ( i Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο (,] να βρείτε το (Δ ii Για κάθε (4,5 να δείξετε ότι η εξίσωση ( 5 έχει ακριβώς μια ρίζα 49 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια ακριβώς θετική ρίζα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6 ( e e e e ( (, lim(ln( e, lim (ln( e άρα ( (, Το ( άρα η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα είναι και μοναδική (

42 5 Δίνεται η συνάρτηση ( ln(9 i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ( e έχει μια ακριβώς ρίζα 5 Δίνεται η συνάρτηση ( ln i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο 5 Δίνεται η συνάρτηση ( e ln i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο 53 Δίνεται η συνάρτηση ( e i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e e έχει ακριβώς μια ρίζα 54 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο i ( e και g( ii ( ln και g( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΟΡΙΟ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ Αν μια συνάρτηση : (, είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με (, (, με,,,,, τότε και Αν μια συνάρτηση : (, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα με (, (, με,,,,, τότε και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 55 Έστω : μια συνεχής συνάρτηση η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Αν η ( έχει σύνολο τιμών το διάστημα (,, να βρείτε το όριο : lim 6 Λύση : H είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο, οπότε έχει σύνολο τιμών (,lim ( (,, άρα και ( ( ( Τελικά : lim lim lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

43 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 56 Έστω : μια συνεχής συνάρτηση η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Αν η ( έχει σύνολο τιμών το διάστημα (,, να βρείτε το όριο : lim 57 Έστω : (, μια συνάρτηση με ( i Να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να δείξετε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση και ότι είναι γνησίως φθίνουσα iii ( ( Να βρείτε τα lim, lim αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι ( ( συνεχής 58 Έστω : (, μια συνάρτηση με ( i Να βρείτε το σύνολο τιμών της ii Να δείξετε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση και ότι είναι γνησίως αύξουσα iii ( ( Να βρείτε τα lim, lim αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η είναι ( ( συνεχής ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; (5 ΕΣΠ Β ) Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια

2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα