ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΑ Η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σ' ένα μέσο ονομάζεται κύμα. Για τη δημιοργία ενός μηχανικού κύματος απαιτούνται: i) Μια πηγή διαταραχής ή πηγή το κύματος όπως την ονομάζομε, δηαδή η αιτία πο θα προκαέσει τη διαταραχή, ii) Ένα μέσο στο οποίο κάθε ικό σημείο αηεπιδρά με τα γειτονικά το (εαστικό μέσο). Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή, και όχι ύη, από ένα ικό σημείο το μέσο σε άο. Εγκάρσια κύματα : Είναι τα κύματα πο όταν διαδίδονται σ' ένα εαστικό μέσο, τα ικά σημεία το μέσο τααντώνονται κάθετα προς τη διεύθνση διάδοσης το κύματος. έτοια κύματα διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής. α εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά. α κύματα στην επιφάνεια των γρών μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση εγκάρσια. Διαμήκη κύματα : Είναι τα κύματα πο όταν διαδίδονται σ' ένα εαστικό μέσο, τα ικά σημεία το μέσο τααντώνονται παράηα προς τη διεύθνση διάδοσης το κύματος. α διαμήκη κύματα διαδίδονται τόσο στα στερεά όσο και στα γρά και τα αέρια. Περιοδικό κύμα : Όταν η πηγή ενός κύματος εκτεεί περιοδική κίνηση, τότε και τα ικά σημεία το μέσο στο οποίο διαδίδεται το κύμα θα εκτεούν επίσης περιοδική κίνηση. Σε ατή την περίπτωση έχομε ένα περιοδικό κύμα. Όταν η περιοδική κίνηση της πηγής το κύματος είναι απή αρμονική ταάντωση, τότε όα τα ικά σημεία το μέσο εκτεούν απή αρμονική ταάντωση και το κύμα ονομάζεται αρμονικό (ή ημιτονοειδές) κύμα.

Α ΧΑΡΑΚΗΡΙΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΟΣ αχύτητα διάδοσης το αρμονικού κύματος : x = t Η ταχύτητα διάδοσης το κύματος εξαρτάται από τις ιδιότητες το μέσο και είναι ανεξάρτητη από το πόσο ισχρή είναι η διαταραχή. Περίοδος ενός αρμονικού κύματος : Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα ικό σημείο το μέσο όπο διαδίδεται το κύμα εκτεεί μία πήρη αρμονική ταάντωση. Περίοδος ενός κύματος είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο, για μια ορισμένη περιοχή το μέσο, η κματική εικόνα (θέσεις και ταχύτητες των ικών σημείων) επανααμβάνεται. Σχνότητα f ενός αρμονικού κύματος : Είναι η σχνότητα με την οποία τααντώνονται τα ικά σημεία το μέσο εκτεώντας το καθένα απή αρμονική ταάντωση. Η σχνότητα ενός αρμονικού κύματος ισούται με το πηίκο το αριθμού των κορφών (αν πρόκειται για εγκάρσιο κύμα) πο φτάνον σε κάποιο σημείο το εαστικού μέσο σε χρόνο t, προς το χρόνο ατό. Δηαδή η σχνότητα ενός αρμονικού κύματος εκφράζει τον αριθμό των κορφών πο φτάνον σε κάποιο σημείο το εαστικού μέσο στη μονάδα το χρόνο. Πάτος (A) ενός αρμονικού κύματος είναι το πάτος με το οποίο τααντώνονται τα σωματίδια το μέσο. Μήκος κύματος : Ονομάζεται την απόσταση πο διατρέχει το κύμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο το. Μήκος κύματος ενός αρμονικού κύματος είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ικών σημείων το μέσο τα οποία έχον την ίδια φάση, δηαδή απέχον το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τος και κινούνται κατά την ίδια φορά. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΗΣ ΚΥΜΑΙΚΗΣ Αν η ταχύτητα διάδοσης το κύματος και το μήκος κύματος το, από τη σχέση = x/t, αφού για t = είναι x = (ορισμός το μήκος κύματος), θα είναι : =, και επειδή = f, παίρνομε: = f Η σχέση ατή αποτεεί τη θεμειώδη εξίσωση της κματικής. 2

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΚΥΜΑΟΣ Η εξίσωση το αρμονικού κύματος και μας δίνει την απομάκρνση y από τη θέση ισορροπίας το ικού σημείο πο απέχει x από την πηγή το κύματος, για κάθε χρονική στιγμή t. t x = Aημ2π(y ) T Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά, τότε η εξίσωση το γράφεται: t x = Aημ2π(y + ) T Στιγμιότπο το κύματος : Για μια δεδομένη χρονική στιγμή t=t η εξίσωση το αρμονικού κύματος γράφεται ως εξής : x t y = Aημ2π y = Aημ2π σταθ όπο = σταθ. T T 3

αάντωση ενός σημείο το μέσο : Για δεδομένο σημείο το άξονα Οx, δηαδή για x =x, η εξίσωση το αρμονικού κύματος γράφεται: t x y = Aημ2π y = Aημ2π σταθ όπο = σταθ. T T ο σημείο x=x αρχίζει να τααντώνεται την χρονική στιγμή x = και όχι την χρονική στιγμή t t=0. ην χρονική στιγμή t το κύμα φτάνει στο σημείο x, όποτε το σημείο ατό θα αρχίσει να τααντώνεται. Φάση ενός σημείο το μέσο : Η φάση ενός δεδομένο σημείο x =x το άξονα Οx, δίνεται από την σχέση : 2πφ = T x t 2πφ = = = t x t x xt x φ t ] 2π t,0 0 0 t = = = = t = == ο σημείο τομής της εθείας φ xt = 2π T με τον άξονα των χρόνων αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή t στην οποία αρχίζει να τααντώνεται το σημείο x=x. Φάση των σημείων το μέσο για μια δεδομένη χρονική στιγμή t=t : Για μια δεδομένη χρονική στιγμή t=t, η σχέση της φάσης το κύματος γράφεται : Έχομε : 2πφ = T = t 2πφ x t 0 2πt Για = 0 ] 2πφ x = φ =. T 4

Επίσης : t 2πφ x Για φ 0] = t x t x x t t = = 0 2π = 0 x x = = xt = = = ο σημείο τομής της εθείας 2πφ = με τον άξονα των χρόνων αντιστοιχεί στο σημείο T x=x = t το οποίο αρχίζει να τααντώνεται την χρονική στιγμή t. Η φάση το σημείο x την χρονική στιγμή t είναι μηδέν. ο σημείο τομής της εθείας με τον άξονα των φάσεων αντιστοιχεί στην φάση της πηγής (σημείο x=0) την χρονική στιγμή t. ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΥΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΟΥ ΜΕΣΟΥ ΟΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΑΙ ΕΝΑ ΚΥΜΑ, Α ΟΠΟΙΑ ΑΠΕΧΟΥΝ Δx=x 2 -x, ΗΝ ΙΔΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΙΓΜΗ t. Οι φάσεις των Μ και Μ 2 τη χρονική στιγμή t δίνονται από τις σχέσεις : t x t x2 φ 2π = και φ 2 2π = T T πt2 πx2 πt2 πx2 πx2 πx2 π( 2πφφΔ = = 2 φ 2 2 = =+ 2 )x x2 T T T T 2 Δφ = πδx2 ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΟΥ ΜΕΣΟΥ ΣΕ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΗΜΑ Δt=t 2 -t. Θεωρούμε δεδομένο ικό σημείο Μ (x=x ) το εαστικού μέσο πάνω στην εθεία διάδοσης το κύματος Οx. ις χρονικές στιγμές t 2,t (t 2 >t ) η φάση το σημείο Μ θα είναι αντίστοιχα : t x 2πφ = και 2πφ = 2 2 T T πt2 πx2 πt2 πx2 π( = = =+ = )t t2 2πφφΔ 2 2 φ 2 Δφ = πδt2 T T T T 2 5

ΥΠΑΛΛΗΛΙΑ Η ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΩΝ Αρχή της επαηίας ή πέρθεσης : Όταν σε ένα εαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα, η απομάκρνση ενός σωματιδίο το μέσο είναι ίση με τη σνισταμένη των απομακρύνσεων πο οφείεται στα επιμέρος κύματα. Η αρχή της επαηίας παραβιάζεται όταν τα κύματα είναι τόσο ισχρά ώστε να μεταβάον τις ιδιότητες το μέσο. Ατό σημαίνει ότι οι δνάμεις πο ασκούνται στα σωματίδια το μέσο δεν θα είναι πια ανάογες της απομάκρνσης. Η αρχή της επαηίας παραβιάζεται στην περίπτωση των κμάτων πο δημιοργούνται από μια έκρηξη. ο αποτέεσμα της τατόχρονης διάδοσης δύο ή περισσότερων κμάτων στην ίδια περιοχή ενός εαστικού μέσο ονομάζεται σμβοή. ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΩΝ ΣΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΥ ΥΓΡΟΥ Έστω Μ τχαίο σημείο πάνω στην επιφάνεια το γρού το οποίο απέχει από τις σύγχρονες πηγές Π, και Π 2 αποστάσεις r και r 2 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα t r t r2 = Aημ2π και y2 = Aημ2π T T y Σύμφωνα με την αρχή της επαηίας ο οική απομάκρνση το σημείο Μ από την θέση ισορροπίας το θα είναι : = 2Ασν2π rr 2 t + rr ημ2π 2 T 2 y 2 Η κίνηση στο σημείο Μ είναι απή αρμονική ταάντωση με πάτος: rr t + rr A' = 2Ασν2π 2 και φάση 2πφ = 2 2 T 2 Όα τα σημεία της επιφάνειας το γρού πο η διαφορά των αποστάσεων τος από τις δύο πηγές των κμάτων είναι ακέραιο ποαπάσιο το μήκος κύματος, εκτεούν ταάντωση με μέγιστο πάτος 2Α. ότε έμε ότι έχομε ενίσχση. rr 2 Ν= όπο Ν 0,,2... Σνθήκη ενίσχσης. 6

Όα τα σημεία της επιφάνειας το γρού πο η διαφορά των αποστάσεων τος από τις δύο πηγές των κμάτων είναι περιττό ποαπάσιο το μισού μήκος κύματος 2, παραμένον σνεχώς ακίνητα. ότε έμε ότι έχομε απόσβεση. +Ν= ) όπο 2 Ν 0,,2... (rr Σνθήκη απόσβεσης. 2 2 = ΣΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΑ Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέεσμα της σμβοής δύο κμάτων της ίδιας σχνότητας και το ίδιο πάτος, πο διαδίδονται στο ίδιο μέσο με την ίδια ταχύτητα και προς αντίθετες κατεθύνσεις. Επιέγομε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων και το χρόνο ένα σημείο Ο το οποίο βρίσκεται στην θέση x=0, και την χρονική στιγμή t=0 περνά από την θέση ισορροπίας (y=0) με θετική ταχύτητα >0. Έστω Μ τχαίο σημείο το οποίο απέχει από το σημείο Ο απόσταση x. y = Aημ2π και y 2 = Aημ2π + T T Εξίσωση το στάσιμού κύματος : 2πx 2πt y = 2Ασν ημ T Κάθε σημείο το μέσο, μέσα οποίο πάρχει στάσιμο κύμα, εκτεεί απή αρμονική ταάντωση πο έχει την ίδια σχνότητα με ατή των δύο αρχικών κμάτων. ο πάτος της ταάντωσης δεν είναι το ίδιο για όα τα σημεία αά εξαρτάται από την θέση κάθε σημείο το μέσο. Κοιίες το στάσιμο κύματος : Ονομάζονται τα σημεία πο τααντώνονται με μέγιστο πάτος 2Α. = Nx=, Ν 0,,2,3...... 2 7

Δεσμοί το στάσιμο κύματος : Ονομάζονται τα σημεία πο παραμένον σνεχώς ακίνητα. x (2Ν += ), Ν 0,,2,3... 4 Απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιιών : Απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών : Απόσταση μεταξύ δεσμού και κοιίας : Δx = 4 Δ x κ = 2 Δx δ = 2 Στα στάσιμα κύματα δεν μεταφέρεται ενέργεια, γιατί εμποδίζεται από τος δεσμούς πο παραμένον σνεχώς ακίνητοι. Ατή είναι μια από τις βασικές διαφορές το στάσιμο από το τρέχον κύμα. Στιγμιότπα το στάσιμο κύματος Στα στιγμιότπα t=t/4 και t=3t/4 όα τα σημεία το μέσο είναι ακίνητα, αφού τα σημεία βρίσκονται στις θέσεις της μέγιστης απομάκρνσης τος. α βέη παριστάνον διανύσματα ταχτήτων. 8

α ικά σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχον κάθε χρονική στιγμή την ίδια φάση. Όα τα ικά σημεία πο βρίσκονται δεξιά ενός δεσμού και απέχον από ατόν απόσταση μικρότερη από 2 έχον κάθε χρονική στιγμή διαφορά φάσης π rad με όα τα ικά σημεία πο βρίσκονται αριστερά το δεσμού και απέχον από ατόν απόσταση μικρότερη από 2. Δύο τχαία ικά σημεία ή θα βρίσκονται σε φάση ή θα έχον διαφορά φάσης π rad. ΗΛΕΚΡΟΜΑΓΝΗΙΚΑ ΚΥΜΑΑ Ηεκτρομαγνητικό κύμα είναι η τατόχρονη διάδοση ενός ηεκτρικού και ενός μαγνητικού πεδίο. α ηεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται ατό κενό με την ταχύτητα το φωτός. Σε όα τα άα ικά διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα. Η αιτία δημιοργίας το ηεκτρομαγνητικού κύματος είναι η επιταχνόμενη κίνηση των ηεκτρικών φορτίων. ο ηεκτρομαγνητικό κύμα είναι εγκάρσιο, με τα διανύσματα το ηεκτρικού και το μαγνητικού πεδίο να είναι κάθετα μεταξύ τος και κάθετα στη διεύθνση διάδοσης το κύματος. Κάθε στιγμή ο όγος των μέτρων των εντάσεων το ηεκτρικού και το μαγνητικού πεδίο είναι ίσος με c. Δηαδή : E = c B α ηεκτρομαγνητικά κύματα όπως και τα μηχανικά πακούον στην αρχή της επαηίας. Οι εξισώσεις πο περιγράφον το ηεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, ενός αρμονικού ηεκτρομαγνητικού κύματος πο διαδίδεται κατά τη διεύθνση x, είναι : = EE max ημ2π και = max ημ2πββ T T 9

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΟΥ ΦΩΟΣ Κατοπτρική ανάκαση Διάχτη ανάκαση ή διάχση. Η προσπίπτοσα ακτίνα, η ανακώμενη ακτίνα και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. 2. Η γωνία ανάκασης θr είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης θa, δηαδή : = θθ ra ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΟΥ ΦΩΟΣ Διάθαση το φωτός ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν μια μονοχρωματική ακτίνα σναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων, μέρος ατής περνάει από το πρώτο στο δεύτερο μέσο και αάζει διεύθνση διάδοσης. Αιτία της διάθασης είναι η διαφορετική ταχύτητα το φωτός στα δύο διαφανή μέσα. Δείκτης διάθασης n ενός διαφανούς ικού : Ονομάζεται ο όγος της ταχύτητας c το φωτός στο κενό προς την ταχύτητα το σε ένα διαφανές ικό. Δηαδή : c n = Στο κενό ο δείκτης διάθασης ισούται με την μονάδα = n Σε οποιοδήποτε διαφανές ικό ο δείκτης διάθασης είναι μεγαύτερος της μονάδας > n 0

n a = n Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές ικό (a) σε διαφανές ικό () με μικρότερο δείκτη διάθασης n από ατόν το ικού (a) (δηαδή φωτός αξάνεται ( > ). a < nn ), τότε η ταχύτητα το Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές ικό (a) σε διαφανές ικό () με μεγαύτερο δείκτη διάθασης n από ατόν το ικού (a) (δηαδή φωτός μειώνεται ( < ). > nn ), τότε η ταχύτητα το Νόμος το Snell : Όταν το φως είναι μονοχρωματικό, ο όγος το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης (θ a ) προς τη ημίτονο της γωνίας διάθασης (θ ) είναι ίσος με τον αντίστροφο όγo των δεικτών διάθασης των δο διαφανών μέσων. ημθ a n = ή n ημθ = n ημθ aa ημθ n a Όταν μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από ένα διαφανές μέσο (a). σε ένα άο διαφανές μέσο (), για τα οποία ισχύει > nn, τότε : > θθ. a Δηαδή η διαθώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετο. Όταν μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από ένα διαφανές μέσο (a). σε ένα άο διαφανές μέσο (), για τα οποία ισχύει < nn, τότε : θ < θ a Δηαδή η διαθώμενη ακτίνα πησιάζει την κάθετο στο σημείο πρόσπτωσης.

Όταν μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από το κενό (ή τον αέρα) σε ένα διαφανές ικό, τότε προσεγγίζει πάντα την κάθετο. Όταν μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων, τότε η ακτίνα δεν αάζει κατεύθνση. Όταν το μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα διαφανές ικό μέσο σε κάποιο άο, τότε η σχνότητα το φωτός f δεν αάζει (ο φώς είναι ηεκτρομαγνητική ακτινοβοία). a = a και n a = Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές ικό (a) σε διαφανές ικό () με μεγαύτερο δείκτη διάθασης n από ατόν το ικού (a) (δηαδή κύματος το φωτός μειώνεται ( > ). a n a > nn ), τότε το μήκος Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές ικό (a) σε διαφανές ικό () με μικρότερο δείκτη διάθασης n από ατόν το ικού (a) (δηαδή το φωτός αξάνεται ( > ). < nn ), τότε το μήκος κύματος Όταν μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από το κενό (ή τον αέρα) σε ένα διαφανές ικό, τότε μήκος κύματος και η ταχύτητα το μειώνονται. ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Η γωνία πρόσπτωσης θ α για την οποία η διαθώμενη ακτίνα είναι παράηη προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων ονομάζεται κρίσιμη (ή οριακή) γωνία και σμβοίζεται με θ crit. Έχομε : n ημθ crit = n α 2

Όταν η γωνία πρόσπτωσης γίνει μεγαύτερη από την κρίσιμη γωνία θ crit, τότε δεν πάρχει διαθώμενη ακτίνα και οόκηρη η προσπίπτοσα ακτίνα ανακάται πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια (ακτίνα 4). ο φαινόμενο ατό ονομάζεται οική ανάκαση. Η ακτίνα 4 ακοοθεί το νόμο της ανάκασης, δηαδή η γωνία πρόσπτωσης ισούται με την γωνία ανάκασης. ο φαινόμενο της οικής ανάκασης σμβαίνει μόνον όταν το φως μεταβαίνει από ένα διαφανές μέσο α σε ένα διαφανές μέσο για τα οποία ισχύει n α > n. Για να έχομε οική ανάκαση, πρέπει η γωνία πρόσπτωσης να είναι μεγαύτερη της κρίσιμης γωνίας. Όταν το φως κατεθύνεται από ένα διαφανές μέσο με δείκτη διάθασης n α =n στο κενό (n =), τότε : ημθ crit =. n 3