1. Μικρή σφαίρα Σ1, μάζας 2 kg που κινείται πάνω σε λείο επίπεδο με ταχύτητα 10 m/s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας 8 kg. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. β) τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας καθώς και τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σφαιρών. γ) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1. δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 που μεταφέρθηκε κατά την κρούση στη σφαίρα Σ2. [απ. 6 m/s, 4 m/s β) Δ 32 kg m/s, Δ 32 kg m/s γ) Δ 64 J δ) 64%] 2. Σώμα Σ 1 μάζας κινούμενο προς τη θετική φορά σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου 8 m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου 4 m/s. Να υπολογίσετε: α) το λόγο των μαζών /. β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης. δ) την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής των δύο σωμάτων, αν 3 kg. Τι παρατηρείτε; [απ. α) 3 β) 4 m/s γ) 75% δ) Δ 12 kg m/s, Δ 12 kg m/s] 3. Δύο τελείως ελαστικές σφαίρες με μάζες 1 kg και 3 kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και πλησιάζουν η μία την άλλη με ταχύτητες μέτρου 10 m/s. Να βρείτε: α) Τις ταχύτητές των σωμάτων μετά την κρούση. β) Τη μεταβολή της ορμής της. γ) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας. δ) Τη μέση δύναμη που ασκήθηκε στη σφαίρα κατά την κρούση αν αυτή διαρκεί χρόνο Δ 0,02 s. [απ. α) 20 m/s, 0 β) Δ 30 kg γ) 100% δ) 1500 N] 4. Το σώμα μάζας 2 kg του παρακάτω σχήματος βάλλεται με αρχική ταχύτητα μέτρου 10 m/s πάνω σε οριζόντιο δάπεδο που παρουσιάζει συντελεστή τριβής 0,2. Αφού διανύσει απόσταση 9 m συγκρούεται κεντρικά και ε λαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας 6 kg που είναι αρχικά ακίνητο. Να βρείτε: α) την ταχύτητα του σώματος μάζας λίγο πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της ενέργειας του σώματος που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1
δ) το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μάζας μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s. [απ. α) 8 m/s β) 4 m/s, 4 m/s γ) 75% δ) 4 m] 5. Τρεις μικρές σφαίρες Σ 1, Σ 2 και Σ 3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχήμα. Οι σφαίρες έχουν μάζες, και 3 αντίστοιχα. Δίνουμε στη σφαίρα Σ1 ταχύτητα μέτρου. Όλες οι κρούσεις που α κολουθούν ανάμεσα στις σφαίρες είναι κεντρικές και ελαστικές. Να βρεθούν: α) ο αριθμός των κρούσεων που θα γίνουν συνολικά. Αφού ολοκληρωθούν όλες οι κρούσεις των σφαιρών μεταξύ τους, να υπολογισθεί: β) η τελική ταχύτητα κάθε σφαίρας. γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της πρώτης σφαίρας. δ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 που μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα Σ3. Δίνονται: η μάζα 2 kg και 10 m/s. [απ. α) 3 β), 0, γ) Δ δ) 75%] 6. Μια σφαίρα Σ1 μάζας κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ 2 συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο επίπεδο τοίχο, που είναι κάθετος στη διεύθυνση της κίνησης των δυο σφαιρών. α) Αν ο λόγος των μαζών των δυο σφαιρών είναι / να εκφράσετε τις αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών Σ1 και Σ2 σε συνάρτηση με το λ και το μέτρο της ταχύτητας. Να βρεθεί: β) για ποιες τιμές του η σφαίρα Σ1 μετά την κρούση της με τη σφαίρα Σ 2 κινείται προς τα αριστερά. γ) για ποια τιμή του, η σφαίρα Σ2, μετά τη κρούση της με τον τοίχο θα διατηρεί σταθερή απόσταση από την σφαίρα Σ1. Με βάση την παραπάνω τιμή του, να υπολογισθεί: δ) ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ2, που έχει μετά την κρούση της με τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ1. [απ. α), β) 1, γ) 3, δ) ] 7. Δυο σφαίρες Σ1 και Σ2, που έχουν μάζες 1 kg και 2 kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος της ίδιας ευθείας και πλησιάζουν η μια την άλλη με ταχύτητες μέτρων 6 m/s και 9 m/s, αντίστοιχα. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται μετωπικά. Μετά την κρούση η σφαίρα Σ1 αλλάζει κατεύθυνση κινούμενη με ταχύτητα μέτρου 14 m/s. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ2 μετά την κρούση. β) Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. γ) Να υπολογίσετε: ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 2
1) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας κατά την κρούση. Τι παρατηρείτε; 2) τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας κατά την κρούση. Τι παρατηρείτε; [απ. α) 1 m/s β) Ελαστική γ1) Δ 80 J, Δ 80 J γ2) Δ 20 kg, Δ 20 kg ] 8. Σώμα Α μάζας 2 kg αφήνεται να γλιστρήσει από απόσταση l 20 m από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης 30. Ταυτόχρονα δεύτερο σώμα Β μάζας βάλλεται με αρχική ταχύτητα 10 m/s από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την κρούση. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Α κατά τη διάρκεια της κρούσης. δ) την ταχύτητα με την οποία το συσσωμάτωμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας: 10 m/s. (α) 10 0, 5 m/s, Δ 10 kg, 5 5 m/s) 9. Από την κορυφή (A) ενός κεκλιμένου επιπέδου μεγάλου μήκους και γωνίας κλίσης α φήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ 1 μάζας 1 kg το οποίο εμφανίζει με το κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,5. Αφού διανύσει διάστημα 4 m κινούμενο στο κεκλιμένο επίπεδο, συναντά ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας 3 kg, με το οποίο συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά (σημείο Γ). Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση των δύο σωμάτων διανύει διάστημα 2 m και φτάνει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) τη συνολική θερμότητα λόγω τριβών που παράχθηκε από τη στιγμή που αφήσαμε ελεύθερο το σώμα μάζας μέχρι τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έφτασε στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. γ) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο μαζών κατά τη κρούση. δ) το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 που έγινε θερμότητα μέχρι το συσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση Β του κεκλιμένου επιπέδου. Να θεωρηθεί: Το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο επίπεδο που περνά από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση γίνεται θερμότητα. Το έργο που καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα. Τα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 3
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης πριν και μετά την κρούση παραμένει ίδιος. Δίνονται: ημ 0,6, συν 0,8 και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s. [απ. α) 1 m/s β) 48 J γ) 6 J δ) 75%] 10. Αρχικά η σφαίρα βρίσκεται ακίνητη και το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Εκτρέπουμε τη σφαίρα μάζας από την αρχική της θέση ώστε το νήμα μήκους l 1,6 m να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία 60 και την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν αυτή περάσει από την αρχική της θέση ισορροπίας συγκρούεται ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας 3 που βρισκόταν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τριβές. Το σώμα μετά την κρούση, αφού διανύσει διάστημα σταματάει. Να βρεθούν: α) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας ελάχιστα πριν την κρούση. β) Το συνημίτονο της τελικής γωνίας απόκλισης που θα σχηματίσει το νήμα με την κατακόρυφο μετά την ελαστική κρούση. γ) Το διάστημα μέχρι να σταματήσει το σώμα. δ) Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του κατά την κρούση. Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου 0,2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s. [απ. α) 4 m/s β) συν γ) 1 m δ) 75%] 11. Σώμα μάζας 2 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,2. Μια μικρή μπάλα μάζας 100 g κινούμενη οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου 100 m/s, συγκρούεται με το σώμα και επιστρέφει με ταχύτητα μέτρου 20 m/s. Να υ πολογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την κρούση. β) η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση. Σε ποιες μορφές ενέργειας μετατράπηκε; γ) η μετατόπιση του σώματος μάζας μέχρι να σταματήσει εξαιτίας της τριβής του με το επίπεδο. Δίνεται: 10 m/s. [απ. α) 6 m/s β) 444 J γ) Δ 9 m] 12. Σώμα μάζας 5 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 100 m/s και μάζας 0,2 kg, διαπερνά το σώμα χάνοντας το 75% της κινητικής του ενέργειας και εξέρχεται με ταχύτητα. Να υπολογιστεί: ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 4
α) το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος και της ταχύτητας του σώματος αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μεταφέρθηκε στο σώμα κατά την κρούση. γ) Η μεταβολή της ορμής του βλήματος και του σώματος από τη στιγμή που ηρεμούσε το σώμα μέχρι την έξοδο του βλήματος. δ) Η μέση δύναμη που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της διέλευσης του βλήματος, αν αυτή διαρκεί Δ 0,01 s. [απ. α) 50 m/s, 2 m/s β) 1% γ) Δ 10 kg m/s, Δ 10 kg m/s δ) 1000 N] 13. Ένα ξύλινο σώμα μάζας 0,96 kg είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 200 m/s και σφηνώνεται στο σώμα, σε βάθος 7,68 cm. Να υπολογιστεί: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος μετά την κρούση. β) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα (να θεωρήσετε ότι όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος γίνεται θερμότητα και ότι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας είναι το οριζόντιο επίπεδο). γ) η μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σε αυτό. δ) η μετατόπιση του ξύλινου σώματος μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο. (α) 8 m/s, β) 96% γ) 10000N, δ) 0,3072 cm) 14. Το σώμα του παρακάτω σχήματος έχει μάζα 0,98 kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους l 2 m. Κάποια χρονική στιγμή βλήμα μάζας 0,02 kg σφηνώνεται στο σώμα μάζας και το συσσωμάτωμα που προκύπτει, εκτελώντας κυκλική κίνηση, φτάνει σε θέση όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία τέτοια ώστε συν 0,6 και σταματά στιγμιαία. Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Την αρχική ταχύτητα του βλήματος. γ) Την τάση του νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. ε) Τη μηχανική ενέργεια, που μετατράπηκε σε θερμότητα στην πλαστική κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας 10 m/s. [απ. 4 m/s β) 200 m/s γ) 9,8 Ν δ) 18 Ν ε) 392 J] 15. Σώμα Σ1 με μάζα 2 kg και ταχύτητα μέτρου 20 m/s, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, προς τη θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ 1 συγκρούεται με σώμα Σ 2 μάζας 3 kg που αρχικά είναι ακίνητο. Η κρούση οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση. β) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 5
γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ2. δ) τη μεταβολή της ορμής του σώματος Σ1. [απ. α) 8 m/s β) 240 J γ) 24% δ) Δ 24 kg m/s] 16. Ένα βλήμα μάζας 1 kg, βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 100 2 m/s και διαπερνά ένα κιβώτιο μάζας 8 kg που ήταν αρχικά ακίνητο στη θέση 0 μη λείου οριζόντιου δαπέδου. Το βλήμα εξέρχεται από το κιβώτιο με ταχύτητα 20 2 m/s. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδου και κιβωτίου είναι 0,5, όπου η θέση του κιβωτίου στο (S.I.), να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα του κιβωτίου αμέσως μετά την κρούση. β) Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης. γ) Το διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο μέχρι να σταματήσει. δ) Το μέτρο του στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής της ορμής του κιβωτίου στη θέση 2 m. ε) Τη συνολική θερμότητα που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον στη διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας 10 m/s. [απ. α) 10 2 m/s β) 99% γ) 4 m δ) 200 Ν ε) 800 J] 17. Ένα βλήμα μάζας 0,1 kg σφηνώνεται με ταχύτητα 100 m/s σε ακίνητο κιβώτιο μάζας 0,9 kg όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το κιβώτιο μπορεί να ολισθαίνει σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αν η δύναμη αντίστασης που εμφανίζεται μεταξύ βλήματος και κιβωτίου κατά την κρούση θεωρηθεί σταθερού μέτρου 4500 N, να υπολογίσετε: α) Την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος. β) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος (βλήμα κιβώτιο) κατά τη διάρκεια της κρούσης. γ) Το χρόνο που διαρκεί η κίνηση του βλήματος σε σχέση με το κιβώτιο. δ) Πόσο βαθιά εισχωρεί το βλήμα στο κιβώτιο. [απ. α) 10 m/s β) Δ 450 J γ) Δ 2 ms δ) 0,1 m] 18. Σώμα μάζας 0,9 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος μήκους l 2 m, α φήνεται ελεύθερο από ύψος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου 2 m/s και συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας 0,1 kg και ταχύτητας μέτρου 48 m/s με φορά προς το σώμα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 6
Να υπολογίσετε: α) το ύψος από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας m 1. β) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση. γ) το ύψος στο οποίο θα φτάσει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Σε τι μορφή ενέργειας μετατράπηκε αυτή; Δίνεται: 10 m/s. [απ. α) 0,2 m β) 3 m/s γ) 0,45 m δ) Δ 112,5 J, Θερμική] 19. Ένας ξύλινος κύβος μάζας 4,5 kg είναι δεμένος στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους 0,2 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε οροφή. Ο κύβος ηρεμεί με το νήμα κατακόρυφο. Ένα βλήμα μάζας 0,5 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα 20 m/s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τον κύβο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων. γ) τη μέγιστη ανύψωση που επιτυγχάνει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. Δίνεται 10 m/s. [απ. α) 2 m/s β) 90 J γ) 0,2 m δ) 150 Ν] 20. Το σώμα του παρακάτω σχήματος έχει μάζα 4,8 kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου μη εκτατού νήματος μήκους l 0,18 m. Σώμα μάζας 0,2 kg κινείται με ταχύτητα και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα. Να υπολογίσετε: α) Την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το σώμα ώστε μετά την πλαστική τους κρούση, το συσσωμάτωμα να διαγράψει μία πλήρη κυκλική τροχιά (να κάνει ανακύκλωση). β) Τη μεταβολής της ορμής του σώματος μάζας. γ) Την τάση του νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας 10 m/s. [απ. α) 75 m/s β) Δ 14,4 kg m/s γ) 48 Ν δ) 300 Ν] 21. Σφαίρα Σ 1 μάζας 1 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου 6 m/s και συγκρούεται με άλλη σφαίρα Σ2 μάζας 2 kg, που είναι αρχικά ακίνητη. Η κρούση είναι έκκεντρη και ελαστική και η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Μετά την κρούση, η σφαίρα Σ1 κινείται με ταχύτητα που έχει διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της. Να υπολογιστεί: α) το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας της σφαίρας Σ2, μετά την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ1, μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας που μεταβιβάστηκε στη σφαίρα μάζας m 2 λόγω της κρούσης. δ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ 1 κατά τη κρούση. [απ. α) 2 3 m/s, 30 β) 2 3 m/s γ) 67% δ) Δ 4 3 kg m/s] 22. Ένα πρωτόνιο Π 1 μάζας κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 10 m/s αλληλεπιδρά (συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά) με ένα άλλο ακίνητο πρωτόνιο Π 2 μάζας ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 7
. Μετά την κρούση το πρωτόνιο Π 1 κινείται σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 30 σε σχέση με την αρχική του πορεία. Α. Να υπολογισθεί αμέσως μετά τη κρούση: α) το μέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου Π 1. β) η ταχύτητα του πρωτονίου Π 2. Β. Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του πρωτονίου Π 1 που μεταφέρεται στο πρωτόνιο Π 2. γ) στην παραπάνω κρούση. δ) αν η κρούση ήταν κεντρική. [απ. α) β) γ) 25% δ) 100%] 23. Ένας ξύλινος κύβος μάζας 0,9 kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα μικρό βλήμα μάζας 0,1 kg το οποίο, λίγο πριν να συγκρουστεί, κινείται με ταχύτητα μέτρου 50 m/s, σχηματίζοντας με τον ορίζοντα γωνία, σφηνώνεται στον κύβο. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος. β) τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την κρούση. γ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του βλήματος το οποίο μεταφέρθηκε στον κύβο. δ) τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σωμάτων κατά την κρούση. Δίνονται: ημ 0,6, συν 0,8. [α) 4, β) 117 J, γ) 5,76 % δ) Δ 3 kg m/s] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 8
24. Σφαίρα μάζας m 1 kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος 5 m πάνω σε δίσκο μάζας 10 kg ο οποίος ισορροπεί στερεωμένος στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς 1000 Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά με το δίσκο και η διάρκεια της κρούσης είναι πάρα πολύ μικρή. Μετά την κρούση της η σφαίρα φθάνει σε ύψος 1,25 m. Να βρείτε α) τα μέτρα των ταχυτήτων της σφαίρας και του δίσκου αμέσως μετά την κρούση. β) το επί τοις % ποσοστό της κινητικής ενέργειας που είχε η σφαίρα λίγο πριν την κρούση με μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου, σε σχέση με το φυσικό μήκος του ελατηρίου [απ. α) 5 m/s, 1,5 m/s, β) 52,5%, γ) 0,25 m] 25. Σφαίρα μάζας 1 kg αφήνεται να πέσει από ύψος 0,8 m πάνω σε δίσκο μάζας 3 kg ο οποίος ισορροπεί στερεωμένος στην άκρη κατακορύφου ιδανικού ελατηρίου σταθερά 200 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το δίσκο. Δεδομένου ότι η διάρκεια της κρούσης θεωρείται πολύ μικρή, να βρείτε α) την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος σφαίρας δίσκου κατά την κρούση. β) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος. γ) την κινητική ενέργεια του συστήματος σφαίρας δίσκου, τη στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του είναι ίσος με μηδέν. Δίνεται 10 m/s. [απ. α) 6 J, β) 0,35 m, γ) 2,25 J] 26. Σώμα μάζας 2 kg είναι δεμένο με αβαρές, μη εκτατό νήμα μήκους l 1,8 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε α κλόνητο σημείο Ο. Αρχικά το σώμα μάζας ισορροπεί ακίνητο με το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Μια σφαίρα μάζας 4 kg κινείται οριζόντια και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα μάζας, έχοντας ελάχιστα πριν την κρούση ταχύτητα. α) Αν γνωρίζετε ότι μετά την κρούση το νήμα φτάνει το πολύ έως την οριζόντια θέση, να υπολογίσετε : i) το μέτρο της ταχύτητας υ ii) το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται το σώμα μάζας αμέσως μετά την κρούση. β) Αν γνωρίζετε ότι το σώμα μάζας μετά την ελαστική κρούση εκτελεί πλήρη κατακόρυφο κύκλο (ανακύκλωση), να υπολογίσετε την μικρότερη δυνατή τιμή του μέτρου της ταχύτητας. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με 10 m/s. [απ. α) 4,5 m/s, 60 Ν β) 2,25 10 m/s] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 9
27. Στο διπλανό σχήμα τα δύο ακίνητα σώματα μάζας 1,8 kg και 3 kg είναι ελεύθερα να κινηθούν σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συνδέονται μεταξύ τους με ελατήριο σταθεράς 750 N/m που βρίσκεται στο φυσικό μήκος. Ένα βλήμα μάζας 0,2 kg, το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα 100 m/s και σφηνώνεται σε αυτό. Να υπολογίσετε : α) την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που έχει μετατραπεί σε δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή της μέγιστης συσπείρωσής του. [απ. α) 100 J β) 0,4 m γ) 6%] 28. Ένα σώμα μάζας 2 kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 10m/s. Μπροστά του, στην ίδια κατεύθυνση κινείται ομαλά άλλο σώμα μάζας 8 kg με ταχύτητα μέτρου 5 m/s. Στην πίσω πλευρά του είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο φυσικού μήκους 1 m και σταθεράς 1000 N/m. Ο άξονας του ελατηρίου συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων. Να βρείτε α) την ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν τα σώματα β) τις ταχύτητες με τις οποίες κινούνται μετά τον αποχωρισμό τους. [απ. 0,8 m, β) 2 m/s, 7 m/s] 29. Μια σφαίρα Σ 1 μάζας 2 kg είναι δεμένη σε αβαρές νήμα μήκους 1,25 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα ώστε το νήμα να γίνει ο ριζόντιο και κάποια στιγμή την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο, η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας 3 kg. Το σώμα μάζας μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του ο ποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση, β) την μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποκτά το ελατήριο μετά την κρούση των δύο σωμάτων γ) το μέγιστο ύψος στο οποίο θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά το Σ 1, δ) τη σχέση που θα έπρεπε να είχαν οι μάζες και, ώστε όλη η αρχική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας να μετατρεπόταν τελικά σε δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης ελατηρίου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s. Θεωρήστε ότι το επίπεδο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο επίπεδο. Οι τριβές είναι αμελητέες. [απ. α) 1 m/s, 4 m/s β), 24 J, γ) 0,05 m, δ) ] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 10
30. Από το ανώτερο σημείο Α ενός λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας 0,8 m αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ 1 μάζας 2 kg. Φτάνοντας το σώμα στην βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας. Μετά την κρούση το σώμα Σ 2 κινείται για διάστημα 0,7 m σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,5, και συναντά ακίνητο σώμα Σ 3 μάζας 4 kg, το οποίο είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς 1200 N/m που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα εμφανίζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης 0,5 με το δάπεδο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 2 αμέσως μετά την κρούση του με το σώμα Σ 1 β το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται από την κρούση των σωμάτων Σ 2 και Σ 3 γ) τη μέγιστη απόσταση μεταξύ του σώματος Σ 1 και του συσσωματώματος. Δίνεται 10 m/s. [απ. α) 4 m/s, β) 1 m/s, γ) 0,75 m] 31. Σώμα μάζας 1 kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος 5 m πάνω σε δίσκο μάζας 4 kg που ι σορροπεί προσαρμοσμένος σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς 10 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η κρούση θεωρείται ελαστική. Να βρείτε α) την ταχύτητα με την οποία το σώμα μάζας θα προσκρούσει στο δίσκο. β) την πρόσθετη συσπείρωση Δ του ελατηρίου, από την αρχική θέση του δίσκου. γ) το ύψος, πάνω από την αρχική θέση του δίσκου, στο οποίο θα αναπηδήσει το σώμα μάζας μετά την κρούση. Δίνεται 10 m/s. [απ. α) 10 m/s, β) 0,08 m, 1,8 m] ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 11